最新浙教版初三数学知识点整理
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1
第一章反比例函数
1 知识点:1.定义:形如y =
x
k
(k 为常数,k ≠0)的函数称为反比例函数。其中x 2 是自变量,y 是函数,自变量x 的取值是不等于0的一切实数。
3
4 说明:1)y 的取值范围是一切非零的实数。
5 2)反比例函数可以理解为两个变量的乘积是一个不为0的常数,因此其解析式也
6 可以写成xy=k ;1-=kx y ;x
k
y 1
=(k 为常数,k ≠0) 7
3)反比例函数y =x
k
(k 为常数,k ≠0)的左边是函数,右边是分母为自变量x 的分式,
8 也就是说,分母不能是多项式,只能是x 的一次单项式,如x
y 1=
,x y 2
13=等都是反比例函
9
数,
10 但2
1
+=
x y 就不是关于x 的反比例函数。 11 2. 用待定系数法求反比例函数的解析式 12 由于反比例函数y =
x
k
只有一个待定系数,因此只需要知道一组对应值,就可以求出k 的13 值,从而确定其解析式。 14 3. 反比例函数的画法:
15
2
1)列表;2)描点;3)连线
16 注:(1)列表取值时,x ≠0,因为x =0函数无意义,为了使描出的点具有17 代表性,可以“0”为中心,向两边对称式取值,即正、负数各一半,且互为相18 反数,这样也便于求y 值
19 (2)由于函数图象的特征还不清楚,所以要尽量多取一些数值,多描一些点,这20 样便于连线,使画出的图象更精确
21 (3)连线时要用平滑的曲线按照自变量从小到大的顺序连接,切忌画成折线
22 (4)由于x ≠0,k ≠0,所以y ≠0,函数图象永远不会与x 轴、y 轴相交,只是无限靠近23 两坐标轴
24 4. 图像:反比例函数的图像属于双曲线。反比例函数的图象既是轴对称图25 形又是中心对称图形。有两条对称轴:直线y=x 和 y= -x ;对称中心是:原点
26 5. 性质:
27
反比例函数
y =
x
k
(k 为常数,k ≠0) k 的取值 k <0 k >0
图像
3
性质 a) x 的取值范围是x ≠0;y 的取值范围是y ≠0;
b) 函数的图像两支分别位于第二、第四象限,在每个象限内y 值随x 值的增大而增大。
a) x 的取值范围是x ≠0;y 的取值范围是y ≠0;
b) 函数的图像两支分别
位于第一、第三象限,在每个象限内y 值随x 值的增大而减小。
说明:1)反比例函数的增减性不连续,在讨论函数增减问题时,必须有“在每一个象限28 内”这一条件。
29 2)反比例函数图像的两个分只可以无限地接近x 轴、y 轴,但与x 轴、y 轴没有30 交点。
31
3)越大,图象的弯曲度越小,曲线越平直. 越小,图象的弯曲度越大.
32 4)对称性:图象关于原点对称,即若(a ,b )在双曲线的一支上,则(,
)
33 在双曲线的另一支上.
34 图象关于直线对称,即若(a ,b )在双曲线的一支上,则(,)和(
,)
35 在双曲线的另一支上.
36 6. 反比例函数y =x
k
(k ≠0)中的比例系数k 的几何意义表示反比例函数图像上的点向
37 两坐标轴所作的垂线段与两坐标轴围成的矩形的面积。如图,过双曲线y =x
k
(k ≠0)上的任
38 意一点P (x , y )做x 轴、y 轴的垂线PA 、PB ,所得矩形OBPA 的面积S=PA ·PB=∣xy ∣=∣k
39
4
∣。
40 41
42
43
推出:过双曲线上的任意一点做坐标轴的垂线,连接原点,所得三角形的面积为2
k
44 7. 经典例题考察:
45 1)反比例关系与反比例函数的区别和联系:如果xy=k (k ≠0),那么x 与y 这两个量成46 反比例的关系,这里的x 、y 可以表示单独的一个字母,也可以代表多项式或单项式。例如y
47 -1与x+1成反比例,则11+=
-x k y ;若y 与x 2 成反比例,则2x
k
y =成反比例关系,x 和y 48 不一定是反比例函数;但反比例函数x
k
y =(k ≠0)必成反比例关系。
49 2)坐标系中的求不规则图形的面积
50 3)反比例函数与一次函数、正比例函数的综合题 51 8 反比例函数与一次函数的联系. 52
53 (1)双曲线的两个分支是断开的,研究反比例函数的增减性时,要将两个分支分别讨论,54 不能一概而论.
55
5
56 (2)直线与双曲线的关系:
57 当时,两图象没有交点;当时,两图象必有两个交点,且这两个交点
58 关于原点成中心对称.
59 8. 实际问题与反比例函数的应用
60 1)步骤:分析问题,列解析式建立反比例函数模型→利用反比例函数解决相关61 问题,建立反比例函数模型是解决问题的关键。
62 思路:题目中已明确两变量的函数关系,常利用待定系数法求出函数解析式。 63 题目中不能确定变量间的函数关系,找出等量关系,将变量联系起来64 就能得到函数关系式,并解决问题。 65 2)反比例函数的应用
66 (1)反比例函数在几何问题中的应用。求实际问题中的面积
67 (2)反比例函数在其他学科中的应用,
68 a)
物理学中,电压一定时,电阻R 与电流强度I 成反比例函数,R
U
I
69