求解非对称线性方程组的积多项式预处理GMRES算法
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ｗａ ｓ ａｌ ｏ ｂ ｓｄ ｔ ｏ ｖ ｈ ｏ ｓ ｍ ｍｅ ｒ ａ ｉ ｅ ｒｅ ｕ ｔｏ ｅ．Ｂａ ｅ ｎ ｔ ｅｃ ｍ ｐｅ ｅ ｔｒ ｏ — ｓｕ ｕ ｌ ｔ ｅｕ ｅ ｏ ｓ ｌｅｔ ｅｎ ｎ ｙ ｙ ｔｉ ｌ ｎ ａ ｑ ａ ｉｎ ｓ ｔ ｃ ｌ ｓ ｄｏ ｈ ｏ ｌｍ ｎ ａ ｙ ｃ ｎ ｖ ｒ ｅ ｃ ｅ ａ ｉｒ ｏ ｅ ｇ ｎ ｅｂ ｈ ｖｏ ｆ ＧＭ ＲＥ ｌｏ ｉ ｍ ，ａ ｆｅｔｖ ｒ ｄ ｃ ｏ ｙ ｏ ｉ１ｐ ｅ ｒ ａｍ ｅ ｔ ｆｃｏ ｓ ｃ ｎ Ｓ ａｇ ｒ ｈ ｔ ｎ ｅｆｃｉｅ ｐ ｏ ｕ ｔ ｐ ｌｎ ｍ ａ ｒ ｔｅ ｔ ｎ ａ ｔ ｒ ｗａ ｏ — ｓｒ ｃｅ ． Ｕ ｎ ｅ ｅ ｔｉ ｏ ｄｔ ｎ ｈ ｏ ｆｉｉｎ ａｒｘ ｗａ ｒｔｅ ｔ ｄ ｗｉｈ ｔ ｅｐ ｏ ｕ ｔｐ ｌｎ ｍ ｉｌａ ｄ ｔｕ ｔｄ ｄ ｒｃ ｒａｎ ｃ ｎ ｉｉ ，ｔ ｅｃ ｅｆ ｅ ｔｍ ｔｉ ｓｐ ｅｒ ａ ｅ ｔ ｈ ｒ ｄ ｃ ｏ ｙ ｏ ａ ｎ ｏ ｃ ｔ ｅ ｎ ｍ ｂ ｒｏ ｐ ｃｒ ｌ ｏ ｄｔ ｎｃ ｕｄ ｂ ｅ ｕ ｅ ｅ ｒ ａ ｌ Ｏｔ ａ ｈ ｏ ｖ ｒ ｅ ｃ ｆｔ ｅｒ ｓｄ ａ ｕ ｄ ｈ ｕ ｅ ｆｓ ｅ ｔａ ｎ ｉｉ ｏ ｌ ｅｒ ｄ ｃｄ ｒ ｍａ ｋ ｂｙ Ｓ ｈ ｔ ｅｃ ｎ ｅｇ ｎ ｅｏ ｈ ｅ ｉｕ ｌ ｃ ｏ ｔ ｗｏ ｌ
失 去超 线性 收敛 性 ， 生停 滞［． ． Ｎａｈｉａ等 产 ２ Ｎ Ｍ． ｃｔ ｌ ］ ｇ
作者简介：孙春晓（ ９ １）女 ， １ ８－ ， 河南南阳人 ， 师 讲
兰
州
理 工
大 学
学 报
第 ３ ８卷
提出混合 Ｇ Ｅ ＭＲ Ｓ算法 ， 但此算法的收敛性从理论 上得不到保 证 ， 而且在实 际应 用中， Ｒｃａｄｏ 其 ｉ ｒｓｎ ｈ 迭代可能收敛得很慢甚至发散［． ３ 为了提高 Ｋ ｙ ｖ ］ ｒｌ ｏ 子空间的稳 定性 ， 实际求解 时通 常采用 预处理方
Ａｂ ｔａ ｔ ｓｒ ｃ ：Ｗ ｈ ｎ ｔ ｅ ｎ ｍ ｂ ｒｏ ｏ ｄｔｏ ｆｃ ｅｆ ｉｎ ａｒｘ ｗａ ｏ ａ ｇ ， ｔ ｅ ｐ ｅ ｒ ａｍ ｅ ｔｍ ｅｈ ｄ ｅ ｈ ｕ ｅ ｆｃ ｎ ｉ ｎ ｏ ｏ ｆｉ ｅ ｔｍ ｔｉ ｓｔ ｏ ｌｒ ｅ ｈ ｒ ｔｅ ｔ ｎ ｔ ｏ ｉ ｃ
设 是 Ａ 的任 一 特 征 值 ， 若 包 含 在 Ｌ 中， 则
Ｉ… （）＜ ． Ｐ （） 取值越小 ， ｝ Ｉ… Ｉ 迭代 残量在这
一
图２ 中所有特征值包含在双纽线 Ｌ中，ｚ （） ７， ｔ。 ＂ 在矩阵Ａ的谱上得到了整体 的下降．
０６ ． ０４ ． Ｏ２
Ｇ Ｅ （ ）ｅ ｅｖｌ ｓ ・ ＭＲ Ｓ３ ；ｉ ｎ ａｕ ： ｇ ｅ
（． ，． ，． ，． ）ＧＭＲ Ｓ（ ） 法 前 两 次 循 环 ０ ５ １０ １５２０ ． Ｅ ３算
所对 应 的双纽线 如 图 １所示．
１ ２ 理论 基础 ．
引理 １。 设方 程组 Ａ Ｅ ］ ｘ＝６的系数 矩阵 Ａ 是 可 对 角化 的且其谱 分解 为
１ 预处理多项式的构造
１１ Ｇ Ｅ （ 算法 的补足 收敛性 质 ． ＭＲ Ｓｍ） 定 义 Ｇ Ｅ （ 算法 第 次 循 环对 应 的双 纽 ＭＲ Ｓ ）
线 为
＾
源自文库
Ｌ 一｛ ｚ∈ Ｃ： Ｐ ， ｚ ｌ ｌ ） 一 ） （
其 中
一 ＜
（） ２ ｂ
图 １ 例 ｌＧ Ｅ （ ） ＭＲ Ｓ ３ 前两次循环的双纽线 ； 特征值 ：・
Ｆｉ．１ Ｌｅ ｎｉｃ ｔｓ ｏ ｈ ｒｔｔ ｙ ｌｓａ ｈｅｒ ｅｇ ｎ－ ｇ ｍ ｓ ａ ｅ ｆｔ ｅ ｆ ｓ ｗｏ ｃ ｃｅ ｎｄ ｔ ｉ ｉｅ ｉ
ｖｌ ｓ ｆ ＭＲ Ｓ３ ｆｒ ｘｍ ｌ １ｅ ｅｖｌ ： ａ ｅ ０ Ｇ Ｅ （ ） ｏ ａ ｐｅ ；ｉ ｎａ ｕ ｅ ｇ ｍｓ ・
ｌ— ｌ ｎ ）ｏＩ Ｉ （ ｒ ｌ— Ｐ Ａ
ｄｇ ｅ
） ＝ｌ
ｌ （ ）ｏＩ Ｉ Ａ ｒＩ ｐ
（） ３
这 里 ｚ （≥０ 为第 步迭 代 解 ， 一６一Ａｚ ） 为其 对应 的迭 代残 量． 等价地
一
式中：Ｉ・ｌ Ｒ ｌ ｌ 为 Ｎ上的 Ｅ ｃｄａ 范数． ｕｌ ｅｎ ｉ 由此定义
的迭 代方 法称 为最小 残量 法 ， ＧＭＲＥ 如 Ｓ算法 ．
， 。
（ ｒ Ａ）０
ｄ ｇＰ ｅ ≤
Ｐ （） １ Ｏ 一
（） ２
由最小残量所产生的残量按范数 ｌ ｌ ｌ・ｌ 是非增 的 ， 当 一 Ｎ 时 得 到方 程 组 （ ） 且 １ 的精 确 解 ， 因此 此
类方 法 总是收敛 的． 在 实际应 用 中 ， 但 由于 矩阵 的阶
条件数 ， 从而加 快残量 的收敛速度． 数值试验表明， 新算 法在残量 收敛方面具有 明显 的优势． 关键词 ：多项 式预处理 ； ｙ ｖ子空间；迭代法 ； Ｋｒｌ ｏ ＧＭＲ Ｓ Ｅ
中 图分 类 号 ： ４ ． ０２ １ ６ 文 献 标 识 码 ：Ａ
Ｐｒ ｄｕ ｔｐ ｌ ｎ ｍ ｉ ｌｐｒ ｔ ｅ ｔ ｅ ｏ ｃ ｏ ｙ ｏ ａ ｅ ｒ ａ ｍ ｎｔＧＭ ＲＥＳ ａ ｇ ｒ ｔ ｌ ｏ ｉｈｍ ｏ ｏ ｕ ｉ ｎ ｆ ｆ ｒ ｓ ｌ ｔｏ ｏ
ｋ ｙｏ ｒｌｖ子 空 间．
式 中： ＡＥＲ Ｎ 是非 奇异 的．
容易 证 明 ， 时残量 满 足 ： 此
求解 线性 方程 组 （ ） １ 的很 多 迭 代法 可 归 结 于 多
项 式法 ， 即满 足 ：
： ｚ ＋ ｑ－（ ｒ ： ０ ＝ ， Ａ）ｏ ￣ Ｉ ｄ ｇｑ ≤ 一 １ ｅ １
Ａ ＝ ＝
图 ２ Ｇ Ｆ ｛ ） 两 次 循 环 对 应 的 积 多 项 式 的 双 纽 ＭＲ￣ ３ 前 线 ： 征值 ： ・ 特
Ｆ吕 ２ Ｌ ｍｎｓａｅ ｐ ｏｕｔ ｏ ｏ￣ ｌ ｏｒｓｏ ｄｎ ｉ ｅ ｉ ｔ ｏ ａ ｒｄ ｃｐ ｂｎｎ ａ ｃｒｅｐ ｎ ｉｇ ｅ ｓｆ
第３ ８卷 第 ５期
２１ 年 １ ０２ Ｏ月
兰
州
理
工
大
学
学
报
Ｖ０． ８ １３ Ｎｏ ５ ． Ｏｃ ０ ２ ｔ２ １
Ｊ ｕ ｎ ｌ ｆＬ ｎ ｈ ｕＵｎｖ ｒ ｉ ｆＴｅ ｈ ｏｏ ｙ ｏ ｒ ａ ａ ｚ ｏ ｉｅｓｔ ｏ ｃ ｎ ｌｇ ｏ ｙ
文章编 号 ： ６ ３５９ （０ ２ ０ －１ ５０ １ ７— １６ ２ １ ） ５０ ４－４
ａ ｖ ｎ ａ ｅ ｉ ｏ ｎ ｃｉｎ ｗｉｈ ｒ ｓｄ ａ ｏ ｖ ｒ ｅ ｃ ． ｄ ａ ｔ ｇ ｎ ｃ ｎ ｅ ｔｏ ｔ ｅ ｉｕ ｌ ｎ ｅ ｇ ｎ ｅ ｃ
Ｋｅ ｒ ｓ ｐ ｌ ｎ ｍｉｌ ｒ ｔｅ ｔ ｅ ｔ ｙ ｗｏ ｄ ： ｏ ｙ ｏ ａ ｅ ｒａ ｍ ｎ ；Ｋｒ ｌｖ ｓ ｂ ｐ ｃ ；ｉ ｒ ｔｖ ｅｈ ｄ ｐ ｙ ｏ ｕ ｓ ａ ｅ ｔ ａ ｉｅｍ ｔ ｏ ；ＧＭ ＲＥＳ ｅ
其 中， （—ｌ ２ …， 都是正实 数． ， ， Ｎ） 不妨 设 ≤ ≤ … ≤ ， 给 定 初 始 估 计 ｚ ， 行 ｍ 步 Ｎ则 。执
ＧＭＲ Ｓ算 法 ， Ｅ 有
以相继迭代循环的残量多项式作乘积 ， 形成积
多项 式 ， 这样 能够保 证 残 量 在所 有 特 征 向量 方 向 上 都有 均匀 、 明显 的下 降． 取前 两次 循 环 的残 量 多 项 式 作乘 积 丌＇ ） ２ （ 一 ｓ
ｎ ｎｓ ｍ ｍ ｅ ｒｃ ｌｌｎｅ ｒ ｅ ａ ｉ ｎ ｓ ｔ ｏ ｙ ｔ ｉａ ｉ ａ ｑｕ ｔｏ ｅ
Ｓ Ｎ ｕ － ｉｏ Ｕ Ｃｈ ｎ ｘａ ，ＸＵ － ｈ ｎ Ｌｅｓ ｕ
（ ｌｅ ｅｏ ｃｅ ｃ ，Ｎｏ ｗｅｔＵｎｖ ｒ ｉｙｏ ｒｃ ｌｕ ｅａ ｄ Ｆ ｒ ｓｒ Ｃｏ ｌｇ ｆＳ ｉｎ ｅ ￣ｈ ｓ ｉｅ ｓｔ ｆＡｇ ｉｕｔ ｒ ｎ ｏ ｅｔｙ，Ｙａ ｇｉｇ ７１ １ ０，Ｃｈｎ ） ｎｌ ｎ ２０ ｉａ
Ｏ
—
特征 向量方 向有 明显下 降． 下 面用数 值实验 来 说 明 ＧＭＲＥ （ 算 法 的补 Ｓ ｍ）
足收敛 性质 ． 例 １ 考虑 线性方 程组 Ａ 一６ ｚ ． 其 中
０． ５
—
Ｏ２ ．
０４
一
Ｏ６ ．
０ ５＋ ．
１０ ．
１ ０＋ ．
ｂ＝ ＝ １５ ．
很 多科 学计算 问题 经过 离散 可归 结为求 解线性
方 程组
Ａｚ 一 ６ （） １
∈ ． ＋ ／ （０Ａ） ７ ７ Ｏ ｒ， ０ ｎ
上 ／ （ｏＡ） ￣ ｒ， ｎ
其 中 ， （０ 一 ｓａ ｛ ０ｎ０ 对 应 于 ｒ， 的 ｒ． Ａ） ｐｎ Ａ， ） Ｉ － 是 － ｏＡ
ｂ ｉｎ ｆ ａ ｔ ｃ ｅｅ ａｅ ． Ｎ ｕ ｅ ｉａ ｘ ｅ ｉ ｅ ｔｓ ｏ ｄ ｔ ａ ｈ ｅ ａｇ ｒｔ ｍ ｕｄ ｈ ｖ ｉｔ ｃ ｅｓｇ ｉ ｃ ｎ ｌ ａ ｃ ｌｒ ｔ ｄ ｉ ｙ ｍ ｒｃ ｌｅ ｐ ｒｍ ｎ ｈ ｗｅ ｈ ｔｔ ｅ ｎ ｗ ｌｏ ｉ ｈ ｗｏ ｌ ａ ｅａ ｄ ｓｉ ｔ ｎ
法 ［５ 本 文采用 多项式 预处理 ＧＭＲＥ （ 方法 ， ４］ ．． Ｓ ｍ） 找
到有效 的 低 阶多 项 式 Ｓ ）这 样 迭 代 解 被 应 用 到 （ ， ｓＡ）ｘ— （ ） 中． 种 预 处 理 方 法 在 解 决 某 些 大 （ Ａ Ａ ６ 这 型稀 疏线性 方 程 组 的 系数 矩 阵 Ａ 的条 件 数 过 大 时 是很 有效 的． 文利 用 ＧＭＲ Ｓ ） 法 的补 足 收 本 Ｅ （ 算 敛性 质构 造预处 理多项 式． 由此给 出一种 新 的算 法 ， 称 为积多 项式预 处理 Ｇ Ｅ ＭＲ Ｓ算 法 （ ＰＧＭＲ Ｓ ． Ｐ－ Ｅ）
求 解 非对 称 线 性 方程 组 的积 多项 式 预处理 Ｇ ＭＲ Ｓ算法 Ｅ
孙春晓 ， 徐乐顺
（ 西北农林科技大学 理学 院，陕西 杨凌 ７ ２０ ） １ １０
摘要 ：当系数矩 阵的条件 数过 大时， 求解非对称线性方程组通常采用预处理方法． 根据 Ｇ Ｅ ＭＲ Ｓ算法的补足 收敛特
性， 构造 一种有 效的积 多项 式预处理 因子． 一定条件下 ， 在 应用 积多项 式对 系数 矩阵进行预 处理， 以显著 降低谱 可
式 中 ：，ｚ 一１ 夕 ） 一 一 （） （ ｚ 称为 残量 多项式 ．
或 有
收稿 日期 ：２ １—００ ０ １１－８
数可达１。 Ｏ 以上， 执行整体 的最小残量法所需 的存 储量和计算量会 随着迭代步数的增加而变得不可接 受［． ａｄ １ Ｓａ 采用循环 Ｇ Ｅ （ 算法， ］ ＭＲ Ｓｍ） 但此算法会
ｔ ｔ ｅ ｉｒ ｔ ｗｏ ｙ ｌｓ ｎｄ ｈｅｒ ｉｅ ｖ ｌ ｅ ｏ ｏ ｈ ｆ ｓ ｔ ｃ ｃｅ ａ ｔ ｉ ｅｇ ｎ ａ ｕ ｓ ｆ
１ ５＋ ．
２０ ． ２０ ．
取 一０ ０ ， 始迭代 向量 Ｘ 一［ ，， ，］ ． ．５初 ｏ ０Ｏ ０Ｏ
记 Ａ 的 谱 口 （ ） 一 （１ ２ ３ ４ Ａ ， ， ， ）一
Ｚ ｚ＝ ｄａ １ ， ， ， －Ａ ： ｉｇ（ ｌ ＝ ２ … Ｎ）
重新开始 Ｇ Ｅ （ 算法的不 同迭代循环所 ＭＲ ｓ 仇）
产生 的迭代 残量偏 向于 不 同的特 征 向 量 ， 使其 所 形 成 的残量 多项式 在 收敛 方 向上相 互 补 足 ， 而残 量 从
的收敛达 到一种 平衡．
失 去超 线性 收敛 性 ， 生停 滞［． ． Ｎａｈｉａ等 产 ２ Ｎ Ｍ． ｃｔ ｌ ］ ｇ
作者简介：孙春晓（ ９ １）女 ， １ ８－ ， 河南南阳人 ， 师 讲
兰
州
理 工
大 学
学 报
第 ３ ８卷
提出混合 Ｇ Ｅ ＭＲ Ｓ算法 ， 但此算法的收敛性从理论 上得不到保 证 ， 而且在实 际应 用中， Ｒｃａｄｏ 其 ｉ ｒｓｎ ｈ 迭代可能收敛得很慢甚至发散［． ３ 为了提高 Ｋ ｙ ｖ ］ ｒｌ ｏ 子空间的稳 定性 ， 实际求解 时通 常采用 预处理方
Ａｂ ｔａ ｔ ｓｒ ｃ ：Ｗ ｈ ｎ ｔ ｅ ｎ ｍ ｂ ｒｏ ｏ ｄｔｏ ｆｃ ｅｆ ｉｎ ａｒｘ ｗａ ｏ ａ ｇ ， ｔ ｅ ｐ ｅ ｒ ａｍ ｅ ｔｍ ｅｈ ｄ ｅ ｈ ｕ ｅ ｆｃ ｎ ｉ ｎ ｏ ｏ ｆｉ ｅ ｔｍ ｔｉ ｓｔ ｏ ｌｒ ｅ ｈ ｒ ｔｅ ｔ ｎ ｔ ｏ ｉ ｃ
设 是 Ａ 的任 一 特 征 值 ， 若 包 含 在 Ｌ 中， 则
Ｉ… （）＜ ． Ｐ （） 取值越小 ， ｝ Ｉ… Ｉ 迭代 残量在这
一
图２ 中所有特征值包含在双纽线 Ｌ中，ｚ （） ７， ｔ。 ＂ 在矩阵Ａ的谱上得到了整体 的下降．
０６ ． ０４ ． Ｏ２
Ｇ Ｅ （ ）ｅ ｅｖｌ ｓ ・ ＭＲ Ｓ３ ；ｉ ｎ ａｕ ： ｇ ｅ
（． ，． ，． ，． ）ＧＭＲ Ｓ（ ） 法 前 两 次 循 环 ０ ５ １０ １５２０ ． Ｅ ３算
所对 应 的双纽线 如 图 １所示．
１ ２ 理论 基础 ．
引理 １。 设方 程组 Ａ Ｅ ］ ｘ＝６的系数 矩阵 Ａ 是 可 对 角化 的且其谱 分解 为
１ 预处理多项式的构造
１１ Ｇ Ｅ （ 算法 的补足 收敛性 质 ． ＭＲ Ｓｍ） 定 义 Ｇ Ｅ （ 算法 第 次 循 环对 应 的双 纽 ＭＲ Ｓ ）
线 为
＾
源自文库
Ｌ 一｛ ｚ∈ Ｃ： Ｐ ， ｚ ｌ ｌ ） 一 ） （
其 中
一 ＜
（） ２ ｂ
图 １ 例 ｌＧ Ｅ （ ） ＭＲ Ｓ ３ 前两次循环的双纽线 ； 特征值 ：・
Ｆｉ．１ Ｌｅ ｎｉｃ ｔｓ ｏ ｈ ｒｔｔ ｙ ｌｓａ ｈｅｒ ｅｇ ｎ－ ｇ ｍ ｓ ａ ｅ ｆｔ ｅ ｆ ｓ ｗｏ ｃ ｃｅ ｎｄ ｔ ｉ ｉｅ ｉ
ｖｌ ｓ ｆ ＭＲ Ｓ３ ｆｒ ｘｍ ｌ １ｅ ｅｖｌ ： ａ ｅ ０ Ｇ Ｅ （ ） ｏ ａ ｐｅ ；ｉ ｎａ ｕ ｅ ｇ ｍｓ ・
ｌ— ｌ ｎ ）ｏＩ Ｉ （ ｒ ｌ— Ｐ Ａ
ｄｇ ｅ
） ＝ｌ
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（） ３
这 里 ｚ （≥０ 为第 步迭 代 解 ， 一６一Ａｚ ） 为其 对应 的迭 代残 量． 等价地
一
式中：Ｉ・ｌ Ｒ ｌ ｌ 为 Ｎ上的 Ｅ ｃｄａ 范数． ｕｌ ｅｎ ｉ 由此定义
的迭 代方 法称 为最小 残量 法 ， ＧＭＲＥ 如 Ｓ算法 ．
， 。
（ ｒ Ａ）０
ｄ ｇＰ ｅ ≤
Ｐ （） １ Ｏ 一
（） ２
由最小残量所产生的残量按范数 ｌ ｌ ｌ・ｌ 是非增 的 ， 当 一 Ｎ 时 得 到方 程 组 （ ） 且 １ 的精 确 解 ， 因此 此
类方 法 总是收敛 的． 在 实际应 用 中 ， 但 由于 矩阵 的阶
条件数 ， 从而加 快残量 的收敛速度． 数值试验表明， 新算 法在残量 收敛方面具有 明显 的优势． 关键词 ：多项 式预处理 ； ｙ ｖ子空间；迭代法 ； Ｋｒｌ ｏ ＧＭＲ Ｓ Ｅ
中 图分 类 号 ： ４ ． ０２ １ ６ 文 献 标 识 码 ：Ａ
Ｐｒ ｄｕ ｔｐ ｌ ｎ ｍ ｉ ｌｐｒ ｔ ｅ ｔ ｅ ｏ ｃ ｏ ｙ ｏ ａ ｅ ｒ ａ ｍ ｎｔＧＭ ＲＥＳ ａ ｇ ｒ ｔ ｌ ｏ ｉｈｍ ｏ ｏ ｕ ｉ ｎ ｆ ｆ ｒ ｓ ｌ ｔｏ ｏ
ｋ ｙｏ ｒｌｖ子 空 间．
式 中： ＡＥＲ Ｎ 是非 奇异 的．
容易 证 明 ， 时残量 满 足 ： 此
求解 线性 方程 组 （ ） １ 的很 多 迭 代法 可 归 结 于 多
项 式法 ， 即满 足 ：
： ｚ ＋ ｑ－（ ｒ ： ０ ＝ ， Ａ）ｏ ￣ Ｉ ｄ ｇｑ ≤ 一 １ ｅ １
Ａ ＝ ＝
图 ２ Ｇ Ｆ ｛ ） 两 次 循 环 对 应 的 积 多 项 式 的 双 纽 ＭＲ￣ ３ 前 线 ： 征值 ： ・ 特
Ｆ吕 ２ Ｌ ｍｎｓａｅ ｐ ｏｕｔ ｏ ｏ￣ ｌ ｏｒｓｏ ｄｎ ｉ ｅ ｉ ｔ ｏ ａ ｒｄ ｃｐ ｂｎｎ ａ ｃｒｅｐ ｎ ｉｇ ｅ ｓｆ
第３ ８卷 第 ５期
２１ 年 １ ０２ Ｏ月
兰
州
理
工
大
学
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报
Ｖ０． ８ １３ Ｎｏ ５ ． Ｏｃ ０ ２ ｔ２ １
Ｊ ｕ ｎ ｌ ｆＬ ｎ ｈ ｕＵｎｖ ｒ ｉ ｆＴｅ ｈ ｏｏ ｙ ｏ ｒ ａ ａ ｚ ｏ ｉｅｓｔ ｏ ｃ ｎ ｌｇ ｏ ｙ
文章编 号 ： ６ ３５９ （０ ２ ０ －１ ５０ １ ７— １６ ２ １ ） ５０ ４－４
ａ ｖ ｎ ａ ｅ ｉ ｏ ｎ ｃｉｎ ｗｉｈ ｒ ｓｄ ａ ｏ ｖ ｒ ｅ ｃ ． ｄ ａ ｔ ｇ ｎ ｃ ｎ ｅ ｔｏ ｔ ｅ ｉｕ ｌ ｎ ｅ ｇ ｎ ｅ ｃ
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其 中， （—ｌ ２ …， 都是正实 数． ， ， Ｎ） 不妨 设 ≤ ≤ … ≤ ， 给 定 初 始 估 计 ｚ ， 行 ｍ 步 Ｎ则 。执
ＧＭＲ Ｓ算 法 ， Ｅ 有
以相继迭代循环的残量多项式作乘积 ， 形成积
多项 式 ， 这样 能够保 证 残 量 在所 有 特 征 向量 方 向 上 都有 均匀 、 明显 的下 降． 取前 两次 循 环 的残 量 多 项 式 作乘 积 丌＇ ） ２ （ 一 ｓ
ｎ ｎｓ ｍ ｍ ｅ ｒｃ ｌｌｎｅ ｒ ｅ ａ ｉ ｎ ｓ ｔ ｏ ｙ ｔ ｉａ ｉ ａ ｑｕ ｔｏ ｅ
Ｓ Ｎ ｕ － ｉｏ Ｕ Ｃｈ ｎ ｘａ ，ＸＵ － ｈ ｎ Ｌｅｓ ｕ
（ ｌｅ ｅｏ ｃｅ ｃ ，Ｎｏ ｗｅｔＵｎｖ ｒ ｉｙｏ ｒｃ ｌｕ ｅａ ｄ Ｆ ｒ ｓｒ Ｃｏ ｌｇ ｆＳ ｉｎ ｅ ￣ｈ ｓ ｉｅ ｓｔ ｆＡｇ ｉｕｔ ｒ ｎ ｏ ｅｔｙ，Ｙａ ｇｉｇ ７１ １ ０，Ｃｈｎ ） ｎｌ ｎ ２０ ｉａ
Ｏ
—
特征 向量方 向有 明显下 降． 下 面用数 值实验 来 说 明 ＧＭＲＥ （ 算 法 的补 Ｓ ｍ）
足收敛 性质 ． 例 １ 考虑 线性方 程组 Ａ 一６ ｚ ． 其 中
０． ５
—
Ｏ２ ．
０４
一
Ｏ６ ．
０ ５＋ ．
１０ ．
１ ０＋ ．
ｂ＝ ＝ １５ ．
很 多科 学计算 问题 经过 离散 可归 结为求 解线性
方 程组
Ａｚ 一 ６ （） １
∈ ． ＋ ／ （０Ａ） ７ ７ Ｏ ｒ， ０ ｎ
上 ／ （ｏＡ） ￣ ｒ， ｎ
其 中 ， （０ 一 ｓａ ｛ ０ｎ０ 对 应 于 ｒ， 的 ｒ． Ａ） ｐｎ Ａ， ） Ｉ － 是 － ｏＡ
ｂ ｉｎ ｆ ａ ｔ ｃ ｅｅ ａｅ ． Ｎ ｕ ｅ ｉａ ｘ ｅ ｉ ｅ ｔｓ ｏ ｄ ｔ ａ ｈ ｅ ａｇ ｒｔ ｍ ｕｄ ｈ ｖ ｉｔ ｃ ｅｓｇ ｉ ｃ ｎ ｌ ａ ｃ ｌｒ ｔ ｄ ｉ ｙ ｍ ｒｃ ｌｅ ｐ ｒｍ ｎ ｈ ｗｅ ｈ ｔｔ ｅ ｎ ｗ ｌｏ ｉ ｈ ｗｏ ｌ ａ ｅａ ｄ ｓｉ ｔ ｎ
法 ［５ 本 文采用 多项式 预处理 ＧＭＲＥ （ 方法 ， ４］ ．． Ｓ ｍ） 找
到有效 的 低 阶多 项 式 Ｓ ）这 样 迭 代 解 被 应 用 到 （ ， ｓＡ）ｘ— （ ） 中． 种 预 处 理 方 法 在 解 决 某 些 大 （ Ａ Ａ ６ 这 型稀 疏线性 方 程 组 的 系数 矩 阵 Ａ 的条 件 数 过 大 时 是很 有效 的． 文利 用 ＧＭＲ Ｓ ） 法 的补 足 收 本 Ｅ （ 算 敛性 质构 造预处 理多项 式． 由此给 出一种 新 的算 法 ， 称 为积多 项式预 处理 Ｇ Ｅ ＭＲ Ｓ算 法 （ ＰＧＭＲ Ｓ ． Ｐ－ Ｅ）
求 解 非对 称 线 性 方程 组 的积 多项 式 预处理 Ｇ ＭＲ Ｓ算法 Ｅ
孙春晓 ， 徐乐顺
（ 西北农林科技大学 理学 院，陕西 杨凌 ７ ２０ ） １ １０
摘要 ：当系数矩 阵的条件 数过 大时， 求解非对称线性方程组通常采用预处理方法． 根据 Ｇ Ｅ ＭＲ Ｓ算法的补足 收敛特
性， 构造 一种有 效的积 多项 式预处理 因子． 一定条件下 ， 在 应用 积多项 式对 系数 矩阵进行预 处理， 以显著 降低谱 可
式 中 ：，ｚ 一１ 夕 ） 一 一 （） （ ｚ 称为 残量 多项式 ．
或 有
收稿 日期 ：２ １—００ ０ １１－８
数可达１。 Ｏ 以上， 执行整体 的最小残量法所需 的存 储量和计算量会 随着迭代步数的增加而变得不可接 受［． ａｄ １ Ｓａ 采用循环 Ｇ Ｅ （ 算法， ］ ＭＲ Ｓｍ） 但此算法会
ｔ ｔ ｅ ｉｒ ｔ ｗｏ ｙ ｌｓ ｎｄ ｈｅｒ ｉｅ ｖ ｌ ｅ ｏ ｏ ｈ ｆ ｓ ｔ ｃ ｃｅ ａ ｔ ｉ ｅｇ ｎ ａ ｕ ｓ ｆ
１ ５＋ ．
２０ ． ２０ ．
取 一０ ０ ， 始迭代 向量 Ｘ 一［ ，， ，］ ． ．５初 ｏ ０Ｏ ０Ｏ
记 Ａ 的 谱 口 （ ） 一 （１ ２ ３ ４ Ａ ， ， ， ）一
Ｚ ｚ＝ ｄａ １ ， ， ， －Ａ ： ｉｇ（ ｌ ＝ ２ … Ｎ）
重新开始 Ｇ Ｅ （ 算法的不 同迭代循环所 ＭＲ ｓ 仇）
产生 的迭代 残量偏 向于 不 同的特 征 向 量 ， 使其 所 形 成 的残量 多项式 在 收敛 方 向上相 互 补 足 ， 而残 量 从
的收敛达 到一种 平衡．