【数学】2011版《3年高考2年模拟》： 第八章 立体几何 第三节 空间向量在立体几何中的应用

第三节 空间向量在立体几何中的应用

第一部分 三年高考荟萃

2010年高考题

一、选择题

1.（2010全国卷2理）（11）与正方体1111ABCD A BC D -的三条棱

AB 、1CC 、11A D 所在直线的距离相等的点

（A ）有且只有1个 （B ）有且只有2个 （C ）有且只有3个 （D ）有无数个 【答案】D

【解析】直线

上取一点，分别作

垂直于

于

则

分别

作

，垂足分别为M ，N ，Q ，连PM ，PN ，PQ ，由三垂线定理可得，PN ⊥

PM ⊥

；PQ ⊥AB ，由于正方体中各个表面、对等角全等，所以

，∴PM=PN=PQ ，即P 到三条棱AB 、CC 1、A 1D 1.所在直线的

距离相等所以有无穷多点满足条件，故选D.

2.（2010辽宁理）(12) (12)有四根长都为2的直铁条，若再选两根长都为a 的直铁条，使这六根铁条端点处相连能够焊接成一个三棱锥形的铁架，则a 的取值范围是

(A)（ (B)（1,

(D) （0, 【答案】A

【命题立意】本题考查了学生的空间想象能力以及灵活运用知识解决数学问题的能力。 【解析】根据条件，四根长为2的直铁条与两根长为a 的直铁条要组成三棱镜形的铁架，有以下两种情况：（1）地面是边长为2的正三角形，三条侧棱长为2，a ，a ，如图，此时a

可以取最大值，可知AD=

，SD=

，则有<2+，即

228a <+=，即有

(2)构成三棱锥的两条对角线长为a，其他各边长为2，如图所示，此时a>0;

综上分析可知a∈（

3.（2010全国卷2文）（11）与正方体ABCD—A1B1C1D1的三条棱AB、CC1、A1D1所在直线的距离相等的点

（A）有且只有1个（B）有且只有2个

（C）有且只有3个（D）有无数个

【答案】D

【解析】：本题考查了空间想象能力

∵到三条两垂直的直线距离相等的点在以三条直线为轴，以正方体边长为半径的圆柱面上，∴三个圆柱面有无数个交点，

4.（2010全国卷2文）（8）已知三棱锥S ABC

-中，底面ABC为边长等于2的等边三角形，SA垂直于底面ABC，SA=3，那么直线AB与平面SBC所成角的正弦值为

（A）

(C)

4 (D)

3

4

【答案】D

【解析】：本题考查了立体几何的线与面、面与面位置关系及直线与平面所成角。过A作AE垂直于BC交BC于E，连结SE，过A作AF垂直于SE交

SE于F，连BF，∵正三角形ABC，∴ E为BC中点，∵ BC⊥AE，SA

⊥BC，∴ BC⊥面SAE，∴ BC⊥AF，AF⊥SE，∴ AF⊥面SBC，∵∠

ABF为直线AB与面SBC所成角，由正三角形边长3，∴

AE=

AS=3，∴

SE=AF=3

2，∴

3

sin

4

ABF

∠=

A

B

C

S

E

F

A

B

C D

A 1

B 1

C 1

D

1

O

5.（2010全国卷1文）（9）正方体ABCD -1111A B C D 中，

1BB 与平面1ACD 所成角的余弦值为 （A ）

3 （B ）

3 （C ）23 （D ）3

【答案】D

【命题意图】本小题主要考查正方体的性质、直线与平面所成的角、点到平面的距离的求法，利用等体积转化求出D 到平面AC 1D 的距离是解决本题的关键所在,这也是转化思想的具体体现.

【解析1】因为BB 1//DD 1,所以B 1B 与平面AC 1D 所成角和DD 1与平面AC 1D 所成角相等,设DO ⊥平面AC 1D ，由等体积法得11D ACD D ACD V V --=,

即1111

33

ACD ACD S DO S DD ∆

∆⋅=⋅.

设DD 1=a,

则122

111sin 60)22ACD S AC AD ∆=

=⨯= ,21122ACD

S AD CD a ∆=

= . 所以131

A C D A C D S D D D O a S ∆∆= ,记DD 1与平

面AC 1D 所成角为θ,则

1sin 3

DO DD θ=

=

,所以cos θ=. 【解析2】设上下底面的中心分别为1,O O ；1O O 与平面AC 1D 所成角就是B 1B 与平面

AC 1

D

所成角，1111

cos O O O OD OD ∠=

== 6.（2010全国卷1理）（12）已知在半径为2的球面上有A 、

B 、

C 、

D 四点，若AB=CD=2,则四面体ABCD 的体积的最大值为

(C)

7.（2010全国卷1理）（7）正方体ABCD-1111A B C D 中，B 1B 与平面AC 1D 所成角的余弦值为

（A ）（B （C ）23 （D

8.（2010四川文）（12）半径为R 的球O 的直径AB 垂直于平面a ，垂足为B ，BCD ∆是

平面a 内边长为R 的正三角形，线段AC 、AD 分别与球面交于点M 、N ，那么M 、N 两点间的球面距离是

（A ）17arccos 25R （B ）18

arccos 25

R （C ）13

R π （D ）4

15R π

【答案】A

【解析】由已知，AB ＝2R ,BC ＝R ,故tan ∠BAC ＝

1

2

cos ∠BAC ＝

5

连结OM ，则△OAM 为等腰三角形

AM ＝2AOcos ∠BAC R ，同理AN ，且MN ∥CD

而AC ,CD ＝R