高中数学函数与方程知识点总结经典例题及解析高考真题及答案
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函数与方程
【知识梳理】
1、函数零点的定义
(1)对于函数)(x f y =,我们把方程0)(=x f 的实数根叫做函数)(x f y =
的零点。 (2)方程0)(=x f 有实根⇔函数()y f x =的图像与x 轴有交点⇔函数()y f x =有零点。因此判断一个函数是否有零点,有几个零点,就是判断方程0)(=x f 是否有实数根,有几个实数根。函数零点的求法:解方程0)(=x f ,所得实数根就是()f x 的零点
(3)变号零点与不变号零点
①若函数()f x 在零点0x 左右两侧的函数值异号,则称该零点为函数()f x 的变号零点。
②若函数()f x 在零点0x 左右两侧的函数值同号,则称该零点为函数()f x 的不变号零点。
③若函数()f x 在区间[],a b 上的图像是一条连续的曲线,则0)()(
2、函数零点的判定
(1)零点存在性定理:如果函数)(x f y =在区间],[b a 上的图象是连续不断的曲线,并且有
()()0f a f b ⋅<,那么,函数)(x f y =在区间(),a b 内有零点,即存在),(0b a x ∈,使得0)(0=x f ,这个0x 也就是方程0)(=x f 的根。
(2)函数)(x f y =零点个数(或方程0)(=x f 实数根的个数)确定方法
① 代数法:函数)(x f y =的零点⇔0)(=x f 的根;
②(几何法)对于不能用求根公式的方程,可以将它与函数)(x f y =的图象联系起来,并利用函数的性质找出零点。
(3)零点个数确定
0∆>⇔)(x f y =有2个零点⇔0)(=x f 有两个不等实根;
0∆=⇔)(x f y =有1个零点⇔0)(=x f 有两个相等实根;
0∆<⇔)(x f y =无零点⇔0)(=x f 无实根;对于二次函数在区间[],a b 上的零点个数,要结合图像进行确定.
1、 二分法
(1)二分法的定义:对于在区间[,]a b 上连续不断且()()0f a f b ⋅<的函数()y f x =,通过不断地把函数()y f x =的零点所在的区间一分为二,使区间的两个端点逐步逼近零点,进而得到零点的近似值的方法叫做二分法;
(2)用二分法求方程的近似解的步骤:
① 确定区间[,]a b ,验证()()0f a f b ⋅<,给定精确度ε;
②求区间(,)a b 的中点c ;
③计算()f c ;
(ⅰ)若()0f c =,则c 就是函数的零点;
(ⅱ) 若()()0f a f c ⋅<,则令b c =(此时零点0(,)x a c ∈);
(ⅲ) 若()()0f c f b ⋅<,则令a c =(此时零点0(,)x c b ∈);
④判断是否达到精确度ε,即a b ε-<,则得到零点近似值为a (或b );否则重复②至④步.
【经典例题】
1.函数3
()=2+2x f x x -在区间(0,1)内的零点个数是 ( )
A 、0
B 、1
C 、2
D 、3
2.函数 f (x )=2x +3x 的零点所在的一个区间是 ( )
A 、(-2,-1)
B 、(-1,0)
C 、(0,1)
D 、(1,2) 3.若函数=)(x f x a x a -- (0a >且1a ≠)有两个零点,则实数a 的取值范围是 .
4.设函数f (x )()x R ∈满足f (x -)=f (x ),f (x )=f (2-x ),且当[0,1]x ∈时,f (x )=x 3.又函数g (x )= |x cos ()x π|,则函数h (x )=g (x )-f (x )在13[,]22
-上的零点个数为 ( ) A 、5 B 、6 C 、7 D 、8
5.函数2()cos f x x x =在区间[0,4]上的零点个数为 ( )
A 、4
B 、5
C 、6
D 、7 6.函数()cos f x x x =-在[0,)+∞内 ( )
A 、没有零点
B 、有且仅有一个零点
C 、有且仅有两个零点
D 、有无穷多个零点
7.对实数a 和b ,定义运算“?”:a ?b =⎩⎪⎨⎪⎧
a ,a -
b ≤1,b ,a -b >1.
设函数f (x )=(x 2-2)?(x -x 2),x ∈R ,若函数y =f (x )-c 的图象与x 轴恰有两个公共点,则实数c 的取值范围是 ( )
A 、(-∞,-2]∪⎝⎛⎭⎫-1,32
B 、(-∞,-2]∪⎝
⎛⎭⎫-1,-34 C 、⎝⎛⎭⎫-1,14∪⎝⎛⎭⎫14,+∞ D 、⎝⎛⎭⎫-1,-34∪⎣⎡⎭⎫14,+∞ 8.已知函数f x ()=log (0a 1).a x x b a +-≠>,且当2<a <3<b <4时,函数f x ()的零点*0(,1),,n=x n n n N ∈+∈则 .
9.求下列函数的零点:
(1)32()22f x x x x =--+; (2)4()f x x x
=-. 10.判断函数y =x 3-x -1在区间[1,1.5]内有无零点,如果有,求出一个近似零点(精确度0.1).
【课堂练习】
1、在下列区间中,函数()43x f x e x =+-的零点所在的区间为 ( )
A 、1
(,0)4- B 、1
(0,)4 C 、1
1
(,)42 D 、13
(,)24
2、若0x 是方程lg 2x x +=的解,则0x 属于区间 ( )
A 、(0,1)
B 、(1,1.25)
C 、(1.25,1.75)
D 、(1.75,2)
3、下列函数中能用二分法求零点的是 ( )
4、函数f ()x =2x +3x 的零点所在的一个区间是 ( )
A .(-2,-1)
B 、(-1,0)
C 、(0,1)
D 、(1,2)
5、设函数f ()x =4sin (2x+1)-x ,则在下列区间中函数f ()x 不存在零点的是 ( )
A 、[-4,-2]
B 、[-2,0]
C 、[0,2]
D 、[2,4]
6、函数()x f =x -cos x 在[0,∞+﹚内 ( )
A 、没有零点
B 、有且仅有一个零点
C 、有且仅有两个零点
D 、有无穷多个零点
7、若函数()f x 的零点与()422x g x x =+-的零点之差的绝对值不超过0.25,则()f x 可以是(
) A 、()41f x x =- B 、2()(1)f x x =- C 、()1x f x e =- D 、1
()ln()
2f x x =-
8、下列函数零点不宜用二分法的是 ( )
A 、3()8f x x =-
B 、()ln 3f x x =+
C 、2()2f x x =++
D 、
2()41f x x x =-++
9、函数f(x)=log 2x+2x-1的零点必落在区间 ( )
A 、⎪⎭⎫ ⎝⎛41,81
B 、⎪⎭⎫ ⎝⎛21,41
C 、⎪⎭⎫
⎝⎛1,21
D 、(1,2)
10、01
lg =-x x 有解的区域是 ( )
A 、(0,1]
B 、(1,10]
C 、(10,100]
D 、(100,)+∞
11、在下列区间中,函数()e 43x f x x =+-的零点所在的区间为 ( )
A 、1(,0)4-
B 、 1(0,)4
C 、11(,)42
D 、13
(,)24
12、函数2()log f x x x π=+的零点所在区间为( )
A 、1
[0,]8 B 、1
1
[,]84 C 、11
[,]42 D 、1
[,1]2
13、设()833-+=x x f x ,用二分法求方程()2,10833∈=-+x x x 在内近似解的过程中得
()()(),025.1,05.1,01<> A 、(1,1.25) B 、(1.25,1.5) C 、(1.5,2) D 、不能确定 14、设函数()4sin(21)f x x x =+-,则在下列区间中函数()f x 不. 存在零点的是( ) A 、[]4,2-- B 、 []2,0- C 、[]0,2 D 、[]2,4