数学建模案例分析第8讲 最短路问题

G
2018/3/21
G[{v1,v4,v5}]
数学建模
G[{e1,e2,e3}]
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关联矩阵
对无向图Ｇ，其关联矩阵Ｍ＝ (mij ) ，其中：
1 mij 0
若vi与e j 相关联 若vi与e j不关联 e1 e2 1 0 M= 1 1 0 0 0 1
注：假设图为简单图
对有向图Ｇ＝（Ｖ，Ｅ） ，其邻接矩阵 A (aij ) ，其中：
1 aij 0
2018/3/21
若（vi，v j） E 若（vi，v j） E
数学建模
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对有向赋权图Ｇ，其邻接矩阵 A (aij ) ，其中：
wij aij 0
若(vi , v j ) E, 且wij为其权 若i j 若(vi , v j ) E
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邻接矩阵
对无向图Ｇ，其邻接矩阵 A (aij ) ，其中：
1 aij 0
若vi 与v j 相邻 若vi 与v j 不相邻
注：假设图为简单图
v4 v1 v2 v 3 v 4
v1 v2 v3 0 1 0 1 A= 1 0 1 1 0 1 0 1 1 1 1 0
数学建模与数学实验 最短路问题
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实验目的
1．了解最短路的算法及其应用 2．会用MATLAB软件求最短路
实验内容
1．图 论 的 基 本 概 念
2．最 短 路 问 题 及 其 算 法
3．最 短 路 的 应 用
4．建模案例：最优截断切割问题
5．实验作业
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数学建模
图论的基本概念
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子图
定义 设图 G=(V,E, ),G1=(V1,E1, 1 )
(1) 若 V1 V，E1 E,且当 e E1 时， 1 ( e )= ( e ),则称 G1 是 G 的子图． 特别的，若 V1=V，则 G1 称为 G 的生成子图．
(2) 设 V1 V，且 V1 ，以 V1 为顶点集、两个端点都在 V1 中的 图 G 的边为边集的图 G 的子图，称为 G 的由 V1 导出的子图，记为 G[V1]. (3)设 E1 E,且 E1 ,以 E1 为边集,E1 的端点集为顶点集的图 G 的子图, 称为 G 的由 E1 导出的子图,记为 G[E1].
d (v) = d ＋(v) + d －(v) 称为 v 的次数．
d (v4 ) 4
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d (v4 ) 2 d (v4 ) 3 d (v4 ) 5
定理１
vV (G )
d (v) 2 (G)
推论１ 任何图中奇次顶点的总数必为偶数．
例 在一次聚会中，认识奇数个人的人数一定是偶数.
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顶点的次数
定义 （１）在无向图中，与顶点 v 关联的边的数目（环算两次）称 为 v 的次数，记为 d (v) ． （２）在有向图中，从顶点 v 引出的边的数目称为 v 的出度， 记为 d ＋ (v) ，从顶点 v 引入的边的数目称为 v 的入度，记为 d － (v) ，
e3 e4 e5 0 0 1 v1 0 1 0 v2 1 1 0 v3 1 0 1 v4
对有向图Ｇ，其关联矩阵Ｍ＝ (mij ) ，其中：
1 mij 1 0
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若vi 是e j的起点 若vi 是e j的终点 若vi 与e j 不关联
和 分别表示图的顶点数和边数. 规定用记号
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常用术语： （１）端点相同的边称为环． （２）若一对顶点之间有两条以上的边联结，则这些边称为重边． （３）有边联结的两个顶点称为相邻的顶点，有一个公共端点的边 称为相邻的边． （４）边和它的端点称为互相关联的． （５）既没有环也没有平行边的图，称为简单图． （６）任意两顶点都相邻的简单图，称为完备图，记为 Kn，其中 n 为顶点的数目． ( 7)若 V=X Y，X Y= ，且 X 中任两顶点不相邻，Y 中任两顶 点不相邻，则称 G 为二元图；若 X 中每一顶点皆与 Y 中一切顶点 相邻，则 G 称为完备二元图，记为 Km,n，其中 m,n 分别为 X 与 Y 的顶 点数目．
(e1 ) v1v2 , (e2 ) v1v3 , (e3 ) v1v4 , (e4 ) v1v4 , (e5 ) v4v4 .
G 的图解如图
V={v1 ,v2 , v3 , v4}， E={e1, e2 , e3, e4, e5},
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定义 在图 G 中， 与 V 中的有序偶(vi， vj)对应的边 e ， 称为图的有向边
（或弧） ， 而与 V 中顶点的无序偶 vivj 相对应的边 e ， 称为图的无 向边.每一条边都是无向边的图，叫无向图；每一条边都是有向 边的图，称为有向图；既有无向边又有有向边的图称为混合图.
定义 若将图 G 的每一条边 e 都对应一个实数 w ( e )，则称 w ( e )为边的
权，并称图 G 为赋权图.
无向赋权图的邻接矩阵可类似定义．
v1 v 2 0 2 A= 2 0 8 7 3
v3 v 4 7 v1 8 3 v2 0 5 v3 5 0 v4
一、 图 的 概 念 1．图的定义 2．顶点的次数
3．子图
二、 图 的 矩 阵 表 示
1． 关联矩阵
2． 邻接矩阵
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图的定义
定义 有序三元组G=(V,E, )称为一个图,如果：
[1] V= {v1 , v2 ,, vn } 是有限非空集，V 称为顶点集， 其中的元素叫图 G 的顶点. [2] E 称为边集，其中的元素叫图 G 的边. [3] 是从边集 E 到顶点集 V 中的有序或无序的元素 偶对构成集合的映射，称为关联函数. 例1 设 G=(V,E, )，其中