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九年级数学中考专题(空间与图形)-第九讲《四边形(一)》课件(北师大版)
F D
B
C
E
体验中考
1．（06常州）已知：如图，在四边形ABCD AO CO， 中，AC与BD相交与点O，AB∥CD， 求证：四边形ABCD是平行四边形.
A O B C D
体验中考
2.（06大连西岗）如图，ABCD中， AE⊥BD于E，CF⊥BD于F. 求证：AE = CF
A F E B D
典型例题
E 变式1：顺次连结矩形四边中点所得的四边形是菱形. D 变式2：顺次连结菱形四边中点所得的四边形是矩形. G H 变式3：顺次连结正方形四边中点所得的四边形 是正方形. B F 变式4：顺次连结等腰梯形四边中点所得的四边形 A 是菱形. 变式5：若AC＝BD，AC⊥BD，则四边形EFGH是正方形. 变式6：在四边形ABCD中，若AB＝CD，E、F、G、H分别为AD、BC、 BD、AC的中点，求证：EFGH是菱形. C 变式7：如图：在四边形ABCD中， M D E为边AB上的一点，△ADE和△ Q BCE都是等边三角形，P、Q、M、 N N分别是AB、BC、CD、DA边上 的中点，求证：四边形PQMN是菱形. B A E P
二、选择题： 1、若□ABCD的周长为28，△ABC的周长为17cm，则AC的长 为（ ） A、11cm B、5.5cm C、4cm D、3cm 2、如图，□ABCD和□EAFC的顶点D、E、F、B在同一条直 线上，则下列关系中正确的是（ ） C A、DE＞BF B、DE＝BF D C、DE＜BF D、DE＝FE＝BF E F B
C
典型例题
例3 已知如图，在△ABC中，∠C＝900，点M在BC上， 且BM＝AC，点N在AC上，且AN＝MC，AM和BN相交于 P，求∠BPM的度数.
分析：条件给出的是线段的等量关系，求的却是角的度数，为此，我们由条件中 的直角及相等的线段，可联想到构造等腰直角三角形，从而应该平移AN. 证明：过M作ME∥AN，且ME＝AN，连结NE、BE，则四边形AMEN是平行四 边形，得NE＝AM，ME∥AN，AC⊥BC ∴ME⊥BC在△BEM和△AMC中， ME＝CM，∠EMB＝∠MCA＝900，BM＝AC ∴△BEM≌△AMC A ∴BE＝AM＝NE，∠1＝∠2， ∠3＝∠4，∠1＋∠3＝90° 1 ∴∠2＋∠4＝90 ° ，且BE＝NE N P ∴△BEN是等腰直角三角形 3 C B ∴∠BNE＝45 ° ∵AM∥NE M ∴∠BPM＝∠BNE ＝45 ° 2
B
C
E
体验中考
1．（06常州）已知：如图，在四边形ABCD AO CO， 中，AC与BD相交与点O，AB∥CD， 求证：四边形ABCD是平行四边形.
A O B C D
体验中考
2.（06大连西岗）如图，ABCD中， AE⊥BD于E，CF⊥BD于F. 求证：AE = CF
A F E B D
典型例题
E 变式1：顺次连结矩形四边中点所得的四边形是菱形. D 变式2：顺次连结菱形四边中点所得的四边形是矩形. G H 变式3：顺次连结正方形四边中点所得的四边形 是正方形. B F 变式4：顺次连结等腰梯形四边中点所得的四边形 A 是菱形. 变式5：若AC＝BD，AC⊥BD，则四边形EFGH是正方形. 变式6：在四边形ABCD中，若AB＝CD，E、F、G、H分别为AD、BC、 BD、AC的中点，求证：EFGH是菱形. C 变式7：如图：在四边形ABCD中， M D E为边AB上的一点，△ADE和△ Q BCE都是等边三角形，P、Q、M、 N N分别是AB、BC、CD、DA边上 的中点，求证：四边形PQMN是菱形. B A E P
二、选择题： 1、若□ABCD的周长为28，△ABC的周长为17cm，则AC的长 为（ ） A、11cm B、5.5cm C、4cm D、3cm 2、如图，□ABCD和□EAFC的顶点D、E、F、B在同一条直 线上，则下列关系中正确的是（ ） C A、DE＞BF B、DE＝BF D C、DE＜BF D、DE＝FE＝BF E F B
C
典型例题
例3 已知如图，在△ABC中，∠C＝900，点M在BC上， 且BM＝AC，点N在AC上，且AN＝MC，AM和BN相交于 P，求∠BPM的度数.
分析：条件给出的是线段的等量关系，求的却是角的度数，为此，我们由条件中 的直角及相等的线段，可联想到构造等腰直角三角形，从而应该平移AN. 证明：过M作ME∥AN，且ME＝AN，连结NE、BE，则四边形AMEN是平行四 边形，得NE＝AM，ME∥AN，AC⊥BC ∴ME⊥BC在△BEM和△AMC中， ME＝CM，∠EMB＝∠MCA＝900，BM＝AC ∴△BEM≌△AMC A ∴BE＝AM＝NE，∠1＝∠2， ∠3＝∠4，∠1＋∠3＝90° 1 ∴∠2＋∠4＝90 ° ，且BE＝NE N P ∴△BEN是等腰直角三角形 3 C B ∴∠BNE＝45 ° ∵AM∥NE M ∴∠BPM＝∠BNE ＝45 ° 2
平行四边形的性质(第1课时)PPT课件
中,∵BC=AD=8,BC∥AD,CD=AB,CD∥AB, D∥AB,∴∠DAE=∠AEB,∠ADF=∠
∴∠DAE=∠AEB,∠ADF=∠DFC.∵AE平 DFC,∵AE平分∠BAD,DF平分
分∠BAD,DF平分
∠ADC,∴∠BAE=∠DAE,∠ADF=
∠ADC,∴∠BAE=∠DAE,∠ADF=∠CDF, ∠CDF,∴∠BAE=∠AEB,∠CFD=
8.如图所示,在▱ABCD中,E是CD的中点,AE的延长线与BC的延 长线相交于点F. 求证BC=CF.
解析:先证明△ADE≌△FCE,得出AD=CF,再根据平行四边形的性 质可知AD=BC,继而得出结论.
证明:∵四边形ABCD为平行四边形, ∴AD∥BC,AD=BC. ∴∠ADE=∠FCE.
∵E是CD的中点,∴DE=CE.
八年级数学·下 新课标[冀教]
第二十二章 四边形
学习新知
检测反馈
问题思考
学习新知
问题1:同学们,你们观察过阳光透过长方形窗 口投在地面上的影子是什么形状吗?
问题2:爱动脑筋的小刚观察到平行四边形的影 子有一种对称的美,他说只要量出一个内角的度数, 就能知道其余三个内角的度数;只需测出一组邻边 的长,便能计算出它的周长,这是为什么呢?
由已知条件,得 2(AB+AD)=22, ∴AB+AD=11.
又∵AB+AD+BD=18, ∴BD=18-11=7.
(教材第128页例1)已知:如图所示,在▱ABCD中,∠B+∠D=260°, 求∠A,∠C的度数.
解:在▱ABCD中, ∵∠B=∠D,∠B+∠D=260°,
. ∴∠B=∠D=260 =130° 2
解析:设该平行四边形的两边长分别为x cm,y cm,且x>y,根据题
【北师大版】数学九年级(上)1.4中点四边形习题课件
课程标准
第一章 特殊平行四边形
第7课 中点四边形
A组
1. 如图，在△ABC 中，点 D，E 分别是 AB,AC 的中点．下 列说法错误的是( D )
A. BC = 2DE C. AD = BD
B. DE⫽BC D. DE = AE
2. 顺次连接一个四边形的各边中点，得到了一个矩 形，则下列四边形满足条件的是（ C ）
证明：∵点 H，G 是 DA，CD 的中点， ∴HG⫽AC，且 HG = 1AC.
2
同理 EF⫽AC，且 EF = 1AC.∴HG⫽EF，且 HG = EF.
2
∴四边形 EFGH 是平行四边形. ∵G、F 是中点，∴GF⫽BD. ∵AC ⊥ BD,∴EF ⊥ GF.∴四边形 EFGH 是矩形.
C组
6. 如图，依次连接第一个矩形各边的中点得到一个
菱形，再依次连接菱形各边的中点得到第二个矩形，
按照此方法继续下去. 已知第一个矩形的面积为
1
1，则第 n 个矩形的面积为 4n−1
.
7. 我们把依次连接任意一个四边形各边中点所得的四边
形叫做中点四边形. 若一个四边形 ABCD 的中点四边形
是一个矩形，则四边形 ABCD 可以是
A. ∠HGF = ∠GHE C. ∠HEF = ∠EFG
B. ∠GHE = ∠HEF D. ∠HGF = ∠HEF
B组
5. 如图，在四边形 ABCD 中，对角线 AC、BD 相交于点 O， 且 AC ⊥ BD，点 E，F，G，H 分别是 AB，BC，CD，DA 的中点. 求证：四边形 EFGH 是矩形.
①平行四边形 ②菱形 ③等腰梯形 ④对角线互相垂直的四边形 A. ①③ C. ②④
B. ②③ D. ③④
第一章 特殊平行四边形
第7课 中点四边形
A组
1. 如图，在△ABC 中，点 D，E 分别是 AB,AC 的中点．下 列说法错误的是( D )
A. BC = 2DE C. AD = BD
B. DE⫽BC D. DE = AE
2. 顺次连接一个四边形的各边中点，得到了一个矩 形，则下列四边形满足条件的是（ C ）
证明：∵点 H，G 是 DA，CD 的中点， ∴HG⫽AC，且 HG = 1AC.
2
同理 EF⫽AC，且 EF = 1AC.∴HG⫽EF，且 HG = EF.
2
∴四边形 EFGH 是平行四边形. ∵G、F 是中点，∴GF⫽BD. ∵AC ⊥ BD,∴EF ⊥ GF.∴四边形 EFGH 是矩形.
C组
6. 如图，依次连接第一个矩形各边的中点得到一个
菱形，再依次连接菱形各边的中点得到第二个矩形，
按照此方法继续下去. 已知第一个矩形的面积为
1
1，则第 n 个矩形的面积为 4n−1
.
7. 我们把依次连接任意一个四边形各边中点所得的四边
形叫做中点四边形. 若一个四边形 ABCD 的中点四边形
是一个矩形，则四边形 ABCD 可以是
A. ∠HGF = ∠GHE C. ∠HEF = ∠EFG
B. ∠GHE = ∠HEF D. ∠HGF = ∠HEF
B组
5. 如图，在四边形 ABCD 中，对角线 AC、BD 相交于点 O， 且 AC ⊥ BD，点 E，F，G，H 分别是 AB，BC，CD，DA 的中点. 求证：四边形 EFGH 是矩形.
①平行四边形 ②菱形 ③等腰梯形 ④对角线互相垂直的四边形 A. ①③ C. ②④
B. ②③ D. ③④
北师大版初中九年级上册数学课件 《矩形的性质与判定》特殊平行四边形PPT课件(第3课时)
【点评】此题考查了矩形的判定与性质、三线合一以及三角形 中位线的性质．此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用.
例3：如图，在△ABC中, AB=AC,D为BC上一点，以AB,BD为 邻边作平行四边形ABDE,连接AD, EC. （1）求证：△ADC≌△ECD; （2）若BD=CD,求证：四边形ADCE是矩形.
MN MK2 NK2 2x2 8x2 2 3x,
MN 2 3x 2 3. DN x
当堂练习
1.如图，四边形ABCD和四边形AEFC是两个矩形，点B在
EF边上，若矩形ABCD和矩形AEFC的面积分别是S1，S2，
则S1，S2的大小关系是( )
A．S1>S2
B B．S1＝S2
C．S1<S2D．3S1＝2S2
（3）线段DF与AB有怎样的关系？请直接写出你的结论. 分析：由四边形ADCE为矩形，可得AF=CF，又由AD是BC边 的中线，即可得DF是△ABC的中位线，则可得DF∥AB， DF=A1B.
2
解：DF∥AB，DF=A12B．理由如下： ∵四边形ADCE为矩形， ∴AF=CF， ∵BD=CD， ∴DF是△ABC的中位线， ∴DF∥AB，DF=A12B
∴四边形ADCE是平行四边形.
而∠ADC=90°,
∴四边形ADCE是矩形.
例4：如图所示，在△ABC中，D为BC边上的一点，E是 AD的中点，过A点作BC的平行线交CE的延长线于点F，且 AF＝BD.连接BF.
(1)BD与DC有什么数量关系？请说明理由； (2)当△ABC满足什么条件时，四边形AFBD是矩形？并说 明理由．
4.如图，点D是△ABC的边AB上一点，CN∥AB，DN交AC 于点M，MA＝MC.
(1)求证：CD＝AN； (2)若∠AMD＝2∠MCD， 求证：四边形ADCN是矩形．
例3：如图，在△ABC中, AB=AC,D为BC上一点，以AB,BD为 邻边作平行四边形ABDE,连接AD, EC. （1）求证：△ADC≌△ECD; （2）若BD=CD,求证：四边形ADCE是矩形.
MN MK2 NK2 2x2 8x2 2 3x,
MN 2 3x 2 3. DN x
当堂练习
1.如图，四边形ABCD和四边形AEFC是两个矩形，点B在
EF边上，若矩形ABCD和矩形AEFC的面积分别是S1，S2，
则S1，S2的大小关系是( )
A．S1>S2
B B．S1＝S2
C．S1<S2D．3S1＝2S2
（3）线段DF与AB有怎样的关系？请直接写出你的结论. 分析：由四边形ADCE为矩形，可得AF=CF，又由AD是BC边 的中线，即可得DF是△ABC的中位线，则可得DF∥AB， DF=A1B.
2
解：DF∥AB，DF=A12B．理由如下： ∵四边形ADCE为矩形， ∴AF=CF， ∵BD=CD， ∴DF是△ABC的中位线， ∴DF∥AB，DF=A12B
∴四边形ADCE是平行四边形.
而∠ADC=90°,
∴四边形ADCE是矩形.
例4：如图所示，在△ABC中，D为BC边上的一点，E是 AD的中点，过A点作BC的平行线交CE的延长线于点F，且 AF＝BD.连接BF.
(1)BD与DC有什么数量关系？请说明理由； (2)当△ABC满足什么条件时，四边形AFBD是矩形？并说 明理由．
4.如图，点D是△ABC的边AB上一点，CN∥AB，DN交AC 于点M，MA＝MC.
(1)求证：CD＝AN； (2)若∠AMD＝2∠MCD， 求证：四边形ADCN是矩形．
《平行四边形的性质》PPT课件(第1课时)
（来自教材）
知3－练
证明：在▱ABCD中，因为AB∥CD，所以∠FBE＝∠DCE. 因为E为BC的中点，所以BE＝CE. FBE＝DCE， 在△FBE和△DCE中，BE＝CE , BEF＝CED， 所以△FBE≌△DCE.所以BF＝CD. 又因为AB＝CD，所以BF＝AB，即点B为AF的中 点．
（来自教材）
知3－讲
导引：根据BM平分∠ABC和AB∥CD可以判定△BCM 是等腰三角形，从而得到BC＝MC＝2，再结合 ▱ABCD的周长是14得到CD的长，进而得到DM的 长．具体过程如下： ∵在▱ABCD中，AB∥CD，BM是∠ABC的平分 线，∴∠CBM＝∠ABM＝∠CMB.∴BC＝MC＝2. 又∵▱ABCD的周长是14，∴AB＝CD＝5.∴DM＝ 3.
2. 数学表达式：如图， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB∥CD，AD∥BC， AB＝CD，AD＝BC.
（来自《点拨》）
知3－讲
例3 [中考·玉林]如图，在▱ABCD中，BM是∠ABC
的平分线，交CD于点M，且MC＝2，▱ABCD的
周长是14，则DM等于( C )
A．1
B．2
C．3
D．4
（来自《点拨》）
（来自《点拨》）
总结
知3－讲
当题目中平行线和角平分线同时出现时，极有可 能出现等腰三角形，如本题中由AB∥CD和BM平分 ∠ABC就得到△BCM是等腰三角形；在平行四边形 的边的计算中，“平行四边形相邻两边之和等于平行 四边形的周长的一半”会经常用到．
（来自《点拨》）
知3－练
1 在▱ ABCD 中，已知AB=3，AD=2，求▱ ABCD的
第二十二章 四边形
平行四边形的性质
第1课时
九年级数学中考专题(空间与图形)-第十讲《四边形(二)》课件(北师大版)
B
E
参考答案
一、填空题： 1、180；2、20cm；3、3；4、；5、200 提示：4题过点P作矩形任一边的垂线，利用勾股定理求 解； 5题连结AC，证△ABE≌△ACF得AE＝AF，从而△AEF 是等边三角形. 6、 2 1 ；7、2 1 ；8、②
参考答案
二、DDBBA 三、解答题： 14、可证△DEA≌△ABF 15、略证：AE平分∠BAC，且EG⊥AB， EC⊥AC，故EG＝EC，易得∠AEC＝∠CEF， ∵CF＝EC，EG＝CF，又因EG⊥AB，CD⊥AB， 故EG∥CF.四边形GECF是平行四边形，又因EG ＝FG，故GECF是菱形.
A
D G B E F C
能力训练
16、如图，以△ABC的三边为边在BC的同一侧分别作 三个等边三角形，即△ABD、△BCE、△ACF.请回答下 列问题（不要求证明）： （1）四边形ADEF是什么四边形？ （2）当△ABC满足什么条件时，四边形ADEF是矩形？ （3）当△ABC满足什么条件时，以A、D、E、F为顶点 的四边形不存在？ E F D
第十讲 四边形（二）
复习目标
1．复习矩形、菱形、正方形的判定与性质. 2．复习运用矩形、菱形、正方形的判定和性质 解决相关的证明和计算问题.
知识要点
1．矩形的四个角都是直角，对角线相等；菱形 的四条边相等，对角线互相垂直平分. 2. 三个角是直角的四边形，或对角线相等的平行 四边形是矩形;四边相等的四边形，或对角线互 相垂直的平行四边形是菱形. 3. 是矩形又是菱形的四边形是正方形.正方形既 具有矩形的性质又具有菱形的性质.
典型例题
例1 如图，已知矩形ABCD中，对角线AC、BD 相交于点O，AE⊥BD，垂足为E， ∠DAE∶∠BAE＝3∶1，求∠EAC的度数. 分析：本题充分利用矩形对角线把矩形分成四个 等腰三角形的基本图形进行求解. 答案：45° A D
人教版八年级数学下册《平行四边形的判定》平行四边形PPT精品课件
新知探究
于是我们又得到平行四边形的一个判断定理： 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形.
数学表达式：如图，∵AB ＝∥ CD， ∴四边形ABCD是平行四边形．
例题精析
例1 如图，在▱ABCD中，E，F分别是AB，CD的中点.
求证：四边形EBFD是平行四边形.
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
人教版八年级数学下册
第十八章 平行四边形
平行四边形的判定
第1课时
新课导入
前面我们学习了平行四边形的定义和性质，它们的内容是什么？ 平行四边形的定义：
两组对边分别平行的四边形叫平行四边形； 平行四边形的性质：
对边相等，对角相等，对角线互相平分.
新课导入 一、复习反思，引出课题
学习完定义和性质后，由以前经验接下来我们应该研究什么？
定义
性质
判？定
平行四边形的判定
新课探究
根据以往学习一些图形判定定理的经验，如何寻找平行四边形 的判定方法？
性质定理 两直线平行，同位角相等
角平分线上的点到角两边的距离相等
线段垂直平分线上的点到线段两端点的距 离相等
全等三角形的对应边相等 ……
判定定理 同位角相等，两直线平行
角的内部，到角两边距离相等的 点在这个角的角平分线上
∴ △AOD≌△COB．
∴ ∠OAD=∠OCB．
∴ AD∥BC． 同理 AB∥DC．
判定3： 对角线互相平分的四边形是平行四边形．
∴ 四边形ABCD是平行四边形．
新课探究
两组对边分别平行 两组对边分别相等 两组对角分别相等 对角线互相平分
的四边形是平行四边形
例题精析
例1 如图，AB=DC=EF，AD=BC，DE=CF.求证：AB∥EF.
中考数学《特殊平行四边形》专题复习课件(共32张PPT)
ACEF是菱形？请回答并证明你的结论. （3）四边ACEF有可能是正方形吗？请证明
你的结论。
7.如图，OABC是一张放在平面直角坐标系中的 矩形纸片，O为原点，点A在x轴上，点C在y 轴上，OA=10，OC=6。
（1）如图①，在OA上选取一点G，将△COG 沿CG翻折，使点O落在BC边上，设为E， 求折痕CG所在直线的解析式。
谢谢观赏
You made my day!
我们，还在路上……
⑵当x为何值时，⊿PBC的周长最 小，并求出此时y的值
❖1、书籍是朋友,虽然没有热情,但是非常忠实。2022年3月5日星期六2022/3/52022/3/52022/3/5 ❖2、科学的灵感，决不是坐等可以等来的。如果说，科学上的发现有什么偶然的机遇的话，那么这种‘偶然的机遇’只能给那些学有素养的人，给那些善于 独立思考的人，给那些具有锲而不舍的人。2022年3月2022/3/52022/3/52022/3/53/5/2022 ❖3、书籍—通过心灵观察世界的窗口.住宅里没有书,犹如房间里没有窗户。2022/3/52022/3/5March 5, 2022 ❖4、享受阅读快乐，提高生活质量。2022/3/52022/3/52022/3/52022/3/5
一、四边形的分类及转化
两组对边平行 平行四边形
任意四边形
一组对边平行
梯形
另一组对边不平行
矩形
菱 形
正方形
等腰梯形
直角梯形
二、几种特殊四边形的性质：
项目 四边形
对边
角
对角线
对称性
对角相等
平行且相等
平行四边形
邻角互补
四个角
矩形 平行且相等 都是直角
平行
对角相等
你的结论。
7.如图，OABC是一张放在平面直角坐标系中的 矩形纸片，O为原点，点A在x轴上，点C在y 轴上，OA=10，OC=6。
（1）如图①，在OA上选取一点G，将△COG 沿CG翻折，使点O落在BC边上，设为E， 求折痕CG所在直线的解析式。
谢谢观赏
You made my day!
我们，还在路上……
⑵当x为何值时，⊿PBC的周长最 小，并求出此时y的值
❖1、书籍是朋友,虽然没有热情,但是非常忠实。2022年3月5日星期六2022/3/52022/3/52022/3/5 ❖2、科学的灵感，决不是坐等可以等来的。如果说，科学上的发现有什么偶然的机遇的话，那么这种‘偶然的机遇’只能给那些学有素养的人，给那些善于 独立思考的人，给那些具有锲而不舍的人。2022年3月2022/3/52022/3/52022/3/53/5/2022 ❖3、书籍—通过心灵观察世界的窗口.住宅里没有书,犹如房间里没有窗户。2022/3/52022/3/5March 5, 2022 ❖4、享受阅读快乐，提高生活质量。2022/3/52022/3/52022/3/52022/3/5
一、四边形的分类及转化
两组对边平行 平行四边形
任意四边形
一组对边平行
梯形
另一组对边不平行
矩形
菱 形
正方形
等腰梯形
直角梯形
二、几种特殊四边形的性质：
项目 四边形
对边
角
对角线
对称性
对角相等
平行且相等
平行四边形
邻角互补
四个角
矩形 平行且相等 都是直角
平行
对角相等
中招复习数学四边形公开课一等奖课件省赛课获奖课件
线 AC 上的两点，且 BE⊥AC，DF⊥AC. (1)求证：△ABE≌△CDF； (2)请写出图中除△ABE≌△CDF 外其余两对全等三角
形(不再添加辅助线)．
图 25－1
第25学时┃ 课堂热身
[解析] 根据平行四边形对边平行，对边相等得出证 明三角形全等的条件．
解：(1)证明：∵四边形 ABCD 是平行四边形， ∴AB＝CD，AB∥CD. ∴∠BAE＝∠FCD， 又∵BE⊥AC，DF⊥AC， ∴∠AEB＝∠CFD＝90°， ∴△ABE≌△CDF(AAS)． (2)①△ABC≌△CDA；②△BCE≌△DAF.
第25学时┃ 豫考探究
1．平行四边形的性质的应用，主要是利用平行四边形的 边与边，角与角及对角线之间的特殊关系进行证明或计算．
2．判别一个四边形是不是平行四边形，要根据具体条件 灵活选择判别方法．凡是可以用平行四边形知识证明的问题， 不要再回到用三角形全等证明，应直接运用平行四边形的性质 和判定去解决问题．
(1)若 CE＝1，求 BC 的长； (2)求证：AM＝DF＋ME.
图26－2
(1)请直接写出图中所有的等腰三角形(不添加字母)； (2)求证：△AB′O≌△CDO.
图 25－3
第25学时┃ 豫考探究
[解析] 由折叠和平行四边形的性质判断图中的等 腰三角形．
解：(1)△ABB′，△AOC 和△BB′C. (2)证明：在▱ABCD 中，AB＝DC，∠ABC＝∠D. 由轴对称知 AB′＝AB，∠ABC＝∠AB′C. ∴AB′＝CD，∠AB′O＝∠D. 在△AB′O 和△CDO 中，
考点2 平面图形的镶嵌
定义
平面镶嵌 的条件
防错 提醒
用 __形__状__ 、 _大___小__ 完 全 相 同 的 一 种 或 几 种 _平__面__图__形__进行拼接，彼此之间不留空隙、不 重叠地铺成一片，就是平面图形的_镶__嵌___
形(不再添加辅助线)．
图 25－1
第25学时┃ 课堂热身
[解析] 根据平行四边形对边平行，对边相等得出证 明三角形全等的条件．
解：(1)证明：∵四边形 ABCD 是平行四边形， ∴AB＝CD，AB∥CD. ∴∠BAE＝∠FCD， 又∵BE⊥AC，DF⊥AC， ∴∠AEB＝∠CFD＝90°， ∴△ABE≌△CDF(AAS)． (2)①△ABC≌△CDA；②△BCE≌△DAF.
第25学时┃ 豫考探究
1．平行四边形的性质的应用，主要是利用平行四边形的 边与边，角与角及对角线之间的特殊关系进行证明或计算．
2．判别一个四边形是不是平行四边形，要根据具体条件 灵活选择判别方法．凡是可以用平行四边形知识证明的问题， 不要再回到用三角形全等证明，应直接运用平行四边形的性质 和判定去解决问题．
(1)若 CE＝1，求 BC 的长； (2)求证：AM＝DF＋ME.
图26－2
(1)请直接写出图中所有的等腰三角形(不添加字母)； (2)求证：△AB′O≌△CDO.
图 25－3
第25学时┃ 豫考探究
[解析] 由折叠和平行四边形的性质判断图中的等 腰三角形．
解：(1)△ABB′，△AOC 和△BB′C. (2)证明：在▱ABCD 中，AB＝DC，∠ABC＝∠D. 由轴对称知 AB′＝AB，∠ABC＝∠AB′C. ∴AB′＝CD，∠AB′O＝∠D. 在△AB′O 和△CDO 中，
考点2 平面图形的镶嵌
定义
平面镶嵌 的条件
防错 提醒
用 __形__状__ 、 _大___小__ 完 全 相 同 的 一 种 或 几 种 _平__面__图__形__进行拼接，彼此之间不留空隙、不 重叠地铺成一片，就是平面图形的_镶__嵌___
《正方形的性质与判定》特殊平行四边形PPT(第1课时)教学课件
再由一个直角，得出是矩形；最后由一组邻边相等可
F
得正方形；
证明: ∵ BF∥CE,CF∥BE，
∴四边形BECF是平行四边形. ∵四边形ABCD是矩形, ∴ ∠ABC = 90°, ∠DCB = 90°, ∵BE平分∠ABC, CE平分∠ DCB, ∴∠EBC = 45°, ∠ECB = 45°, ∴ ∠ EBC =∠ ECB .
第一章 特殊平行四边形
正方形的性质与判定
第1课时
导入新课
讲授新课
当堂练习
课堂小结
学习目标 1.了解正方形的定义及其与平行四边形的关系. 2.探索并证明正方形的性质定理.（重点） 3.应用正方形的性质定理解决相关问题.（难点）
导入新课
活动:观察这些图片，你什么发现？正方形四条边有什么关系？ 四个角呢？
A M
B
P
D
N C
∴∠ADB=∠CDB=45°.
∴∠MPD=∠NPD=45°.
∴DM=PM,DN=PN.
∴四边形NPMD是矩形（有一组邻边相等的矩形是正方形）.
课堂小结
矩形
平行四边形
一组邻边相等且一个内角为直角 （或对角线互相垂直平分且相等）
菱形
正方形
请同学们动手完成以上证明？
A
D
O
B
C
提示：可以先通过证明来得到正方形是矩形、菱形，然后利用矩形和菱形 的定理来完成该题.
想一想： 正方形是矩形吗？是菱形吗？
矩形 正方形 菱形 平行四边形
归纳 正方形是特殊的平行四边形,也是特殊的矩形,也是特殊的菱形.所 以平行四边形、矩形、菱形有的性质,正方形都有.
一 正方形判定的定理
动一动：过点A作射线AM的垂线AN,分别在AM , AN上取点B , D ,使
四边形课件ppt
正方形的面积计算公 式：面积 = 边长 × 边长
矩形的面积计算公式 ：面积 = 长 × 宽
02 矩形
矩形的定义
矩形的定义
矩形是有一个角是直角的平行四边形，也称为长方形。
矩形是特殊的平行四边形
矩形具有平行四边形的性质，同时也有特殊的性质和判定方法。
矩形的性质
对边相等
矩形的两条对边相等，这是平行 四边形的普遍性质。
03 梯形
梯形的定义
总结词
简单描述梯形的定义。
详细描述
梯形是一种四边形，其中有两边平行，而另外两边不平行。这两组边在梯形的顶 部和底部相交，形成一个开口。
梯形的性质
总结词
简单描述梯形的性质。
详细描述
梯形有一个平行四边形的性质，即其对角线互相平分。此外，梯形的两腰不等长。
梯形的判定
总结词
简单描述如何判断一个四边形是否为梯形。
四边形课件
contents
目录
• 四边形的定义与性质 • 矩形 • 梯形 • 平行四边形 • 菱形 • 正方形 • 四边形间的关系
01 四边形的定义与性质
四边形的定义
01
02
03
平行四边形的定义
两组对边分别平行的四边 形叫做平行四边形。
矩形的定义
有一个角是直角的平行四 边形叫做矩形。
正方形的定义
邻边相等且四个角都是直 角的平行四边形叫做正方 形。
四边形的性质
平行四边形的性质
对边平行且相等，对角相 等，邻角互补，对角线互 相平分。
矩形的性质
四个角都是直角，对角线 相等且互相平分。
正方形的性质
四个角都是直角，四条边 都相等，对角线相等且互 相垂直平分。
最新人教版八年级下册数学精品课件第19章 四边形-三角形的中位线定理
A
最新人教版数学精品课件设
B
A
M
若MN=36 m，则AB=2MN=72 m
如果，MN两点之间还有阻 隔，你有什么解决办法？
C
N
B
在AB外选一点C，使C能直接到达A和B，
连结AC和BC，并分别找出AC和BC的中点M、N.
测出MN的长，就可知A、B两点的距离
最新人教版数学精品课件设
例2：已知，如图AD是△ABC的中线， EF是中位线， 求证：AD与EF互相平分
∴DB FC
∴四边形BCFD是平行四边形
∴DE// BC 且DE=EF=1/2BC
A D BF
返回
证法四：如图，过E作AB的平行线交 BC于F，自A作BC的平行线交FE于G
∵AG∥BC∴∠EAG=∠ECF
又∵ AE=EC, ∠AEG=∠CEF
G ∴△AEG≌△CEF∴AG=FC，GE=EF
又AB∥GF，AG∥BF∴四边形ABFG
A
E
F
BDC
最新人教版数学精品课件设
例3：已知 ABCD中，AC、BD相交于点 O，E、F、G、H分别是AB、OB、CD、OD的 中点。H OG
C
最新人教版数学精品课件设
例4：求证顺次连结四边形各边中点所得的四边 形是平行四边形。
已知：E、F、G、H分别是四边形ABCD中AB、
BC、CD、DA的中点。 求证：EFGH是平行四边形。
A
H
D
E
G B
F C
任意四边形四边中点连线所得的四边形一定是 平行四边形。 最新人教版数学精品课件设
例5：已知:E为平行四边形ABCD中DC边的延长 线上一点,且CE=DC,连结AE,分别交BC、BD于 点F、G，连接AC交BD于O，连结OF. 求证: AB= 2 OF
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四边形EFGH一组 邻边相等
四边形EFGH是菱形
活动探究 3．
四边形对角线满足什么条件时，中点四边形是 正方形？
猜想：对角线互相垂直且相等的四边形 的中点四边形是正方形。
情景探究 3．
四边形对角线满足什么条件时， 中点四边形是正方形？
探究思路：
由AC⊥BD
由点E、F、G、
H是四边
四边形
ABCD各边中 EFGH是
1. 四边形对角线满足什么条件时，它的中点四边 形是矩形？
猜想： 对角线互相垂直的四边形的中点四边形 是矩形。
2.四边形对角线满足什么条件时，它的中点四边 形是菱形？
猜想： 对角线相等的四边形的中点四边形是菱 形。
活动探究 2．
1.四边形对角线满足什么条件时， 中点四边形是矩形？
A
3 H1
2
探究思路：
2
B
C
这个定理提供了证明线段平行以及线段
成倍分关系的根据。
矩形
四边形 平行四边形
菱形
正方形
定义：顺次连接任意四边形各边中点所
得四边形称为中点四边形。
GC D
H
F
A
E
B
活动探究 1. 猜想： 顺次连接任意四边形各边中点所
得中点四边形是 平行四边 形。
命题 ：任意四边形的中点四边形 都是平行四边形。
中
国 航 天 之 父
世 界 著 名 物
理
学
家
，
的不“ “出为 钱杰什 学出么 森人我 之才们 问？的 。”学
这校 就总 是是 著培 名养
有趣的数学活动
1.什么是三角形的中位线？三角形的中位 线的性质什么？
定理：三角形的中位线平行于第三边， A
且等于第三边的一半。 ∵DE是ABC的中位线
D
E
∴DE∥BC，DE= 1 BC
本节课——
我学会了…… •使我感触最深的……
•我感到最困难的是…… •最值得我学习的同学是……
试一试：
1.平行四边形的中点四边形 是 平行四边 形 。
2.矩形的中点四边形
是 菱形 。 3.菱形形的中点四边形
是 矩形 。 4.正方形的中点四边形
是 正方形 。
请各位领导、专家 多多指导！
D
G
由点E、F、G、H是
E B
F
C
四边形EFGH是
四边形EFGH一个 内角为90°
四边形EFGH是矩形
A
活动探究 2．
2. 四边形对角线满足什么条件时，中点
四边形是菱形？
H
探究思路：
E B
F
D
C
由点E、F、G、H是
由AC=BD
G
四边形ABCD各边中点
四边形EFGH是
任意四边形的中点四边形都是平
行四边形。
AE
已知：点E、F、G、H是四边形ABCD
各边上的中点，
H
求证：四边形EFGH是平行四边形。
D
证法1：连接AC，证EF∥GH，EF=GH。
G
证法2：连接AC、BD，证EF∥GH ，FG∥EH。
证法3：连接AC、BD，证EF=GH，FG=EH。
B F
C
活动探究 2．
点
由AC=BD
EFGH是 矩形
EFGH是 菱形
EFGH 是正方
形
中点四边形的有关结论：
1.任意四边形的中点四边形都是平行四边形。
2.对角线互相垂直的四边形的中点四边形是矩形。
3.对角线相等的四边形的中点四边形是菱形。 4.对角线互相垂直且相等的四边形的中点四边
形是正方形。
归纳：
中点四边形的形状是由原四边形对角线的 关系决定的。