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常微分方程_习题集(含答案)

《常微分方程》课程习题集一、单选题1. 设函数(,),(,)M x y N x y 连续可微, 则方程(,)(,)0M x y dx N x y dy += 是全微分方程的充分必要条件是 . (A) M N y x ∂∂=∂∂， (B) ,M N x y ∂∂=∂∂ (C) ,M N y x ∂∂≠∂∂ (D) .M N x y ∂∂≠∂∂2. 下面的方程是全微分方程的是 . (A) 0ydx xdy x y-=+， (B) 220y dx x dy +=， (C) 220xy dx x ydy -=， (D)220ydx xdy x y -=-. 3. 设一阶方程2()()(),(()()0)dy p x y q x y r x p x r x dx=++≠，则它是。

（A ）线性非齐次方程；（B ）伯努利方程；（C ）黎卡堤方程； (D) 克莱洛方程。

4. 设一阶方程()(),(0,1)n dy p x y q x y n dx=+≠，则它是。

（A ）线性非齐次方程；（B ）伯努利方程；（C ）黎卡堤方程； (D) 克莱洛方程。

5. 形如'(')y xy y ϕ=+的一阶隐式方程称为。

（A ）线性非齐次方程；（B ）伯努利方程；（C ）黎卡堤方程； (D) 克莱洛方程。

6. 二阶微分方程2100x x x '''++=的通解是。

（A ）12[cos3sin 3]t x e C t C t -=+,（B ）312[cos sin ]t x e C t C t -=+,（C ）12[cos sin ]t x e C t C t -=+,(D) 312[cos3sin 3]t x e C t C t -=+.7. 二阶微分方程250x x x '''++=的通解是。

（A ）12[cos sin ]t x e C t C t -=+,（B ）212[cos sin ]t x e C t C t -=+,（C ）12[cos 2sin 2]t x e C t C t -=+,(D) 212[cos 2sin 2]t x e C t C t -=+.8. 二阶微分方程440x x x '''-+=的通解是。

常微分方程试题及答案

常微分方程试题及答案一、单项选择题（每题5分，共20分）1. 下列哪一项不是常微分方程的特点？A. 未知函数是连续的B. 未知函数是可微的C. 未知函数的导数是未知的D. 方程中包含未知函数的导数答案：A2. 常微分方程的解是指满足方程的函数，下列哪一项不是解的性质？A. 唯一性B. 存在性C. 可微性D. 可积性答案：D3. 一阶线性微分方程的一般形式是：A. \( y' + p(x)y = q(x) \)B. \( y' = p(x)y + q(x) \)C. \( y' - p(x)y = q(x) \)D. \( y' + p(x)y = q(x) \) 或 \( y' - p(x)y = q(x) \)答案：A4. 已知微分方程 \( y'' - y = 0 \) 的一个特解是 \( y = e^x \)，那么它的通解是：A. \( y = C_1e^x + C_2e^{-x} \)B. \( y = C_1e^x + C_2 \)C. \( y = C_1e^x + C_2e^x \)D. \( y = C_1 + C_2e^{-x} \)答案：A二、填空题（每题5分，共20分）1. 微分方程 \( y'' + y' + y = 0 \) 的通解是 \( y = C_1e^{-x}+ C_2e^{-\frac{1}{2}x} \)，其中 \( C_1 \) 和 \( C_2 \) 是常数。

2. 微分方程 \( y'' - 4y = 0 \) 的通解是 \( y = C_1\cos(2x) +C_2\sin(2x) \)，其中 \( C_1 \) 和 \( C_2 \) 是常数。

3. 微分方程 \( y'' + 4y = 0 \) 的通解是 \( y = C_1\cos(2x) +C_2\sin(2x) \)，其中 \( C_1 \) 和 \( C_2 \) 是常数。

常微分方程试题库

常微分方程试题库二、计算题（每题6分）1. 解方程：0cot tan =-xdy ydx ；2. 解方程：x y xye 2d d =+； 3. 解方程：；4. 解方程：t e x dtdx23=+； 5. 解方程：0)2(=+---dy xe y dx e y y ；6. 解方程：0)ln (3=++dy x y dx xy；7. 解方程：0)2()32(3222=+++dy y x x dx y x xy ；8. 解方程：0485=-'+''-'''x x x x ； 9. 解方程：02)3()5()7(=+-x x x ； 10. 解方程：02=-''+'''x x x ； 11. 解方程：1,0='-'='+'y x y x ；12. 解方程：y y dx dyln =； 13. 解方程：y x e dxdy-=；14. 解方程：02)1(22=+'-xy y x ；15. 解方程：x y dxdycos 2=；16. 解方程：dy yx x dx xy y )()(2222+=+；17. 解方程：x xy dx dy42=+；18. 解方程：23=+ρθρd d ；19. 解方程：22x y xe dxdy+=；20. 解方程：422x y y x =-'；选题说明：每份试卷选2道题为宜。

二、计算题参考答案与评分标准：（每题6分） 1. 解方程：0cot tan =-xdy ydx解： ,2,1,0,2,±±=+==k k x k y πππ是原方程的常数解，（2分）当2,πππ+≠≠k x k y 时，原方程可化为：0cos sin sin cos =-dx xxdy y y ，（2分）积分得原方程的通解为：C x y =cos sin . （2分）2. 解方程：x y xye 2d d =+ 解：由一阶线性方程的通解公式⎰⎰+⎰=-),)(()()(dx e x f C e y dxx p dxx p （2分）x xx xdxx dx e Cedx e C edx e e C e 31)()(23222+=+=⎰+⎰=---⎰⎰分）（分）（223. 解方程：解：由一阶线性方程的通解公式⎰⎰+⎰=-))(()()(dx e x f C e y dxx p dx x p （2分）=⎰⎰+⎰-)sec (tan tan dx xe C e xdxxdx（2分）⎰+=)sec (cos 2xdx C xx x C sin cos +=. （2分）4. 解方程：t e x dtdx23=+ 解：由一阶线性方程的通解公式⎰⎰+⎰=-))(()()(dt e t f C e x dtt p dt t p （2分）=⎰⎰+⎰-)(323dt e e C e dtt dt （2分）⎰+=-)(53dt e C e t t t t e Ce 2351+=-. （2分） 5. 解方程：0)2(=+---dy xe y dx e y y解：原方程可化为：02=+---y y xde ydy dx e ，（2分）即 0)(2=--y xe d y ，（2分）原方程的通解为：C y xe y =--2. （2分）6. 解方程：0)ln (3=++dy x y dx xy解：原方程可化为：0ln )(ln 3=++xdy dy y x yd ，（2分）即 0)41ln (4=+y x y d ，（2分）原方程的通解为：C y x y =+441ln . （2分）7. 解方程：0)2()32(3222=+++dy y x x dx y x xy解：因为xNx x y M ∂∂=+=∂∂62，所以原方程为全微分方程，（2分）由 02323222=+++ydy x dy x dx y x xydx ，（1分）得: 0)()(232=+y x d y x d ，（2分）故原方程的通解为：C y x y x =+232. （1分）8. 解方程：0485=-'+''-'''x x x x 解：其特征方程为：0)2)(1(485223=--=-+-λλλλλ，（1分）特征根为2=λ为2重根，1=λ. （2分）所以其基本解组为： t t t e te e ,,22，（2分）原方程的通解为： t t t e C te C e C x 32221++=. （1分）9. 解方程：02)3()5()7(=+-x x x 解：其特征方程为：0)1()1(2223357=+-=+-λλλλλλ，（1分）特征根为：0=λ为3重根，1=λ，为2重根，1-=λ为2重根.（2分）所以其基本解组为： 2,1t t ，t t t t te e te e --,,,，（2分）原方程的通解为：t t t t te C e C te C e C t C t C C x --++++++=76542321. （1分）10. 解方程：02=-''+'''x x x 解：其特征方程为：0)22)(1(2223=++-=-+λλλλλ，（1分）特征根为：i ±-==11321，，λλ. （2分）所以其实基本解组为： t e t e e t t t s i n ,c o s ,--，（2分）原方程的通解为： t e C t e C e C y t t t sin cos 321--++=. （1分）11. 解方程：1,0='-'='+'y x y x ；解：原方程可化为：21,21-='='y x ，（2分）积分得通解为：212,2c t y c t x +-=+=. （4分）12. 解方程：y y dxdyln = 解：原方程可化为：0ln 1=-dx dy yy ，（3分）积分得原方程的通解为：C y x =ln ln . （3分）13. 解方程：y x e dxdy-= 解：原方程可化为： dx e dy e x y =，（3分）积分得原方程的通解为：c x y +=. （3分）14. 解方程：02)1(22=+'-xy y x解：0=y 是原方程的常数解，（1分）当0≠y 时，原方程可化为：012122=-+dx x xdy y ，（2分）积分得原方程的通解为：c x y +-=-1ln 21. （3分） 15. 解方程：x y dxdycos 2= 解：0=y 是原方程的常数解，（1分）当0≠y 时，原方程可化为：xdx dy ycos 12=，（2分）积分得原方程的通解为：x c y sin 1-=-. （3分）16. 解方程：dy yx x dx xy y )()(2222+=+解：0=y ，0=x 是原方程的常数解，（1分）当,0≠x 0≠y 时，原方程可化为：dx xx dy y y )11()11(22+=+，（2分）积分得原方程的通解为：c x x y y +-=---11ln ln . （3分）17. 解方程：x xy dxdy42=+ 解：分析可知2=y 是其特解. （2分）对应齐方程的02=+xy dxdy通解为：2x ce y -=，（2分）故原方程的通解为：22+=-x ce y . （2分）18. 解方程：23=+ρθρd d 解：分析可知32=ρ是其特解. （2分）对应齐方程03=+ρθρd d 的通解为：θρ3-=ce ，（2分）故原方程的通解为：323+=-θρce . （2分）19. 解方程：22x y xe dxdy+= 解：原方程可化为： dx xe dy e x y 22=-，（3分）积分得原方程的通解为：c e e x y =+-22. （3分）20. 解方程：422x y y x =-' 解：分析可知4x y =是其特解. （2分）又对应齐方程02=-'y y x 的通解为：2cx y =，（2分）故原方程的通解为：42x cx y +=. （2分）。

(完整版)常微分方程练习试卷及答案

常微分方程练习试卷一、填空题。

1. 方程23210d xx dt+=是阶（线性、非线性）微分方程. 2. 方程()x dyf xy y dx=经变换_______，可以化为变量分离方程 . 3. 微分方程3230d yy x dx--=满足条件(0)1,(0)2y y '==的解有个.4. 设常系数方程x y y y e αβγ'''++=的一个特解*2()x x xy x e e xe =++，则此方程的系数α= ，β= ，γ= .5. 朗斯基行列式()0W t ≡是函数组12(),(),,()n x t x t x t L 在a x b ≤≤上线性相关的条件.6. 方程22(2320)0xydx x y dy ++-=的只与y 有关的积分因子为 .7. 已知()X A t X '=的基解矩阵为()t Φ的，则()A t = .8. 方程组20'05⎡⎤=⎢⎥⎣⎦x x 的基解矩阵为． 9.可用变换将伯努利方程化为线性方程.10 .是满足方程251y y y y ''''''+++= 和初始条件的唯一解.11.方程的待定特解可取的形式:12. 三阶常系数齐线性方程 20y y y '''''-+=的特征根是二、计算题1.求平面上过原点的曲线方程, 该曲线上任一点处的切线与切点和点(1,0)的连线相互垂直.2．求解方程13dy x y dx x y +-=-+. 3. 求解方程222()0d x dx x dt dt+= 。

4．用比较系数法解方程..5．求方程 sin y y x '=+的通解.6．验证微分方程22(cos sin )(1)0x x xy dx y x dy -+-=是恰当方程，并求出它的通解.7．设 3124A -⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦ ， ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=11η ，试求方程组X A dt dX =的一个基解基解矩阵)(t Φ，求X A dt dX=满足初始条件η=)0(x 的解. 8. 求方程2213dyx y dx=-- 通过点(1,0) 的第二次近似解.9.求的通解试求方程组x Ax '=的解(),t ϕ 12(0),ηϕηη⎡⎤==⎢⎥⎣⎦并求expAt 10.若三、证明题1. 若(),()t t Φψ是()X A t X '=的基解矩阵，求证：存在一个非奇异的常数矩阵C ，使得()()t t C ψ=Φ.2. 设),()(0βαϕ≤≤x x x 是积分方程],[,,])([)(0200βαξξξξ∈++=⎰x x d y y x y xx的皮卡逐步逼近函数序列)}({x n ϕ在],[βα上一致收敛所得的解，而)(x ψ是这积分方程在],[βα上的连续解，试用逐步逼近法证明：在],[βα上)()(x x ϕψ≡.3. 设都是区间上的连续函数, 且是二阶线性方程的一个基本解组. 试证明:(i) 和都只能有简单零点(即函数值与导函数值不能在一点同时为零); (ii) 和没有共同的零点; (iii) 和没有共同的零点.4.试证：如果)(t ϕ是AX dtdX=满足初始条件ηϕ=)(0t 的解，那么ηϕ)(ex p )(0t t A t -= .2114A ⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦32()480dy dy xy y dx dx -+=答案一.填空题。

《常微分方程》题库及答案

《常微分方程》题库及答案一．求解下列方程1．求方程0sin cos =+x y dxdyx之通解; 2．求方程xx y ax dy cos 1tan =+之通解； 3．解初值问题2(1)20(0)1dy x xy dx y ⎧-+=⎪⎨⎪=⎩； 4．求方程()lndy x yxy x y dx x+-=+ 之通解； 5．求方程 yx xy y dx dy 321++= 的通解； 6. 求方程 0)3()3(2323=-+-dy y x y dx xy x 的通解； 7．求由以xxx x cos ,sin 为基本解组的线性齐次方程； 8．求方程 2)(22x dx dy xdx dy y +-=的通解及奇解； 9．求方程⎰+=+xx y x dt dtt dy 02)(2))((1 的通解； 10. 求方程 0)sin ()2sin (22=-++dy y xy dx x y x 的通解； 11．求由以 x x x ln , 为基本解组的线性齐次方程； 12．求方程 2222)(12dxdy y y dx y d += 的通解. 13.求方程y y dxdyln =之通解。

14.求方程xy dxdyy x 2)(22=+之通解。

15.求方程0)(222=-+dy y x xydx 之通解。

16. 求方程y x e dxdy-=之通解。

17. 求方程0)2(=+---dy xe y dx e yy 之通解。

18. 求方程x x y y sec tan '=+之通解。

二．1．解初值问题⎪⎩⎪⎨⎧-==y x e axdyy 20)1(2.求如下微分方程组之通解：⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧-=++-=--=z x dtdz z y x dtdyz y x dt dx2. 3.求出初值问题的逐次近似解21,0y y y ：2(0)0dyx y dxy =+=⎧⎪⎨⎪⎩. 4. 求出微分方程0).().(=+dy y x N dx y x M 有形如)(22y x +=ϕυ的积分因子的充要条件。

15春华师《常微分方程》在线作业答案

C. y'+y^3=0
D. y'+y^2=0
正确答案：ABC
7.下列微分方程中，哪些不是可分离变量？（）。
A. dy/dx+y/x=e
B. dy/dx=k(x-a)(b-y)(k,a,b是常数)
C. dy/dx-siny=x
D. y'+xy=y^2*e^x
正确答案：ACD
8.在下列函数中，不可能是微分方程y''+y=0的解的函数有（）。
D. y''+y=cosx
正确答案：C
19. f(y)连续可微是保证方程dy/dx=f(y)解存在且唯一的（）条件．
A.必要
B.充分
C.充分必要
D.必要非充分
正确答案：B
20.方程dy/dx=y^(1/2)+1（）奇解．
A.有一个
B.有两个
C.无
D.有无数个
正确答案：C
华师《常微分方程》在线作业
二、多选题（共10道试题，共20分。）
1.下列哪些不可以作为变量可分离方程M(x)N(y)dx+p(x)q(y)dy=0的积分因子？（）
A. 1/(N(y)+P(x))
B. 1/(N(y)-P(x))
C. 1/(N(y)P(x))
D. 1/(P(x)-N(y))
正确答案：ABD
2.下列函数中，哪些不是微分方程xdy+ydy=0的通解？（）。
C. e^x+1
D. 2-e^x
正确答案：A
13.微分方程y''-4y'+4y=0的两个线性无关解是（）。
A. e^(2x)与2e^(2x)

《常微分方程》试题-5页精选文档

常微分方程试卷1一、填空题（每题3分，共15分）1．一阶微分方程的通解的图像是维空间上的一族曲线．2．二阶线性齐次微分方程的两个解)(),(21x y x y 为方程的基本解组充分必要条件是3．方程02=+'-''y y y 的基本解组是．4．一个不可延展解的存在在区间一定是区间． 5．方程21d d y xy-=的常数解是．二、单项选择题（每题3分，共15分）6．方程y x xy+=-31d d 满足初值问题解存在且唯一定理条件的区域是（）．（A ）上半平面（B ）xoy 平面（C ）下半平面（D ）除y 轴外的全平面 7. 方程1d d +=y xy （）奇解．（A ）有一个（B ）有两个（C ）无（D ）有无数个8．)(y f 连续可微是保证方程)(d d y f xy=解存在且唯一的（）条件．（A ）必要（B ）充分（C ）充分必要（D ）必要非充分9．二阶线性非齐次微分方程的所有解（）．（A ）构成一个2维线性空间（B ）构成一个3维线性空间（C ）不能构成一个线性空间（D ）构成一个无限维线性空间10．方程323d d y xy=过点(0, 0)有（）．(A) 无数个解 (B) 只有一个解 (C) 只有两个解 (D) 只有三个解三、计算题（每题６分，共30分）求下列方程的通解或通积分：11.y y x yln d d = 12. x yx y x y +-=2)(1d d13. 5d d xy y xy+=14．0)d (d 222=-+y y x x xy 15．32y y x y '+'=四、计算题（每题10分，共20分） 16．求方程255x y y -='-''的通解． 17．求下列方程组的通解．⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=+=x ty ty t x d d sin 1d d五、证明题（每题10分，共20分）18．设)(x f 在),0[∞+上连续，且0)(lim =+∞→x f x ，求证：方程)(d d x f y xy=+ 的一切解)(x y ，均有0)(lim =+∞→x y x ．19．在方程0)()(=+'+''y x q y x p y 中，)(),(x q x p 在),(∞+-∞上连续，求证：若)(x p 恒不为零，则该方程的任一基本解组的朗斯基行列式)(x W 是),(∞+-∞上的严格单调函数．常微分方程试卷1答案及评分标准一、填空题（每题3分，共15分） 1．22．线性无关（或：它们的朗斯基行列式不等于零）3．x x x e ,e 4．开5．1±=y二、单项选择题（每题3分，共15分） 6．D 7．C 8．B 9．C 10．A 三、计算题（每题６分，共30分）11．解当0≠y ，1≠y 时，分离变量取不定积分，得 C x y y y+=⎰⎰d ln d （3分）通积分为x C y e ln = （6分）12．解令xu y =，则xu x u x y d d d d +=，代入原方程，得 21d d u xux-= （3分）分离变量，取不定积分，得 C xxu u ln d 1d 2+=-⎰⎰（0≠C ）通积分为： Cx xyln arcsin= （6分）13．解方程两端同乘以5-y ，得x y xyy +=--45d d 令 z y =-4，则xzx y y d d d d 45=--，代入上式，得 x z xz=--d d 41（3分）通解为41e 4+-=-x C z x 原方程通解为41e 44+-=--x C y x （6分）14．解因为xNx y M ∂∂==∂∂2，所以原方程是全微分方程．（2分）取)0,0(),(00=y x ，原方程的通积分为C y y x xy yx=-⎰⎰020d d 2（4分）即C y y x =-3231 （6分）15．解原方程是克莱洛方程，通解为32C Cx y += （6分）四、计算题（每题10分，共20分）16．解对应齐次方程的特征方程为052=-λλ，特征根为01=λ，52=λ，齐次方程的通解为x C C y 521e += （4分）因为0=α是特征根。

常微分方程试题目库试卷库-74页文档资料

常微分方程期终考试试卷(1)一、填空题（30%）1、方程(,)(,)0M x y dx N x y dy +=有只含x 的积分因子的充要条件是（）。

有只含y 的积分因子的充要条件是______________。

２、_____________称为黎卡提方程，它有积分因子______________。

３、__________________称为伯努利方程，它有积分因子_________。

４、若12(),(),,()n X t X t X t 为n 阶齐线性方程的n 个解，则它们线性无关的充要条件是__________________________。

５、形如___________________的方程称为欧拉方程。

６、若()t φ和()t ψ都是'()x A t x =的基解矩阵，则()t φ和()t ψ具有的关系是_____________________________。

７、当方程的特征根为两个共轭虚根是，则当其实部为_________时，零解是稳定的，对应的奇点称为___________。

二、计算题（６０％）1、3()0ydx x y dy -+= ２、sin cos2x x t t ''+=-３、若2114A ⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦试求方程组x Ax '=的解12(),(0)t ηϕϕηη⎡⎤==⎢⎥⎣⎦并求expAt ４、32()480dy dyxy y dx dx -+=５、求方程2dyx y dx =+经过（0，0）的第三次近似解6.求1,5dx dyx y x y dt dt =--+=--的奇点,并判断奇点的类型及稳定性. 三、证明题（１０％）１、n 阶齐线性方程一定存在n 个线性无关解。

试卷答案一填空题１、()M N y x x N ϕ∂∂-∂∂= ()M Ny xy M ϕ∂∂-∂∂=-２、 2()()()dyp x y Q x y R x dx =++ y y z =+ ３、 ()()n dyp x y Q x y dx =+ (1)()(,)n p x dxn u x y y e --⎰= ４、12[(),(),,()]0n w x t x t x t ≠５、11110n n nn n nn d y d dyx a a a y dx dxdx ---++++=６、()()t t C ψφ=７、零稳定中心二计算题１、解：因为1,1M Ny x∂∂==-∂∂，所以此方程不是恰当方程，方程有积分因子22ln 21()dyyy y ee y μ--⎰===，两边同乘21y 得320dx x y dy y y +-=所以解为 321x x y y dx dy c y y y⎡⎤∂⎢⎥-++-=⎢⎥∂⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎰⎰22x y c y +=即22()x y y c =+另外y=0也是解２、线性方程0x x ''+=的特征方程210λ+=故特征根i λ=±1()sin f t t = i λ=是特征单根，原方程有特解(cos sin )x t A t B t =+代入原方程A=-12B=0 2()cos 2f t t =- 2i λ=不是特征根，原方程有特解cos2sin 2x A t B t =+代入原方程13A =B=0 所以原方程的解为1211cos sin cos cos223x c t c t t t t=+-+３、解：221()69014p λλλλλ--==-+=-解得1,23λ=此时 k=112n =由公式expAt= 10()!in tii te A E i λλ-=-∑得４、解：方程可化为3284dy y dxx dy ydx ⎛⎫+ ⎪⎝⎭=令dy p dx =则有3284p y x yp +=（*）（*）两边对y 求导：322322(4)(8)4dpy p y p y p y p dy -+-=即32(4)(2)0dp p y yp dy --=由20dp y p dy -=得12p cy =即2()p y c =将y 代入（*）2224c p x c =+即方程的含参数形式的通解为：22224()c px c p y c ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩p 为参数又由3240p y -=得123(4)p y =代入（*）得：3427y x=也是方程的解５、解：00210022520041072511830002()4220()4400202204400160xx x y x y xdx x x x y x dx x x x x x x x y x dx ϕϕϕϕ===+==++=+=++++=+++⎰⎰⎰ ６、解：由1050x y x y --+=⎧⎨--=⎩解得奇点（3，-2）令X=x-3,Y=y+2则dxx y dt dy x y dt ⎧=--⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩因为1111---=1+1 ≠0故有唯一零解（0，0）由221121122011λλλλλλ+=+++=++=-+得1i λ=-±故（3，-2）为稳定焦点。

福师(2021-2022)《常微分方程》在线作业二(2)-辅导资料(答案)

福师[2021-2022]《常微分方程》在线作业二
注：本科目作业有多套随机试卷，请核实是否与您的试卷顺序相一致！！！
一、判断题（共50题，100分）
1、微分方程的通解包含了它的所有的特解.
[A]错误
[B]正确
提示：认真复习课本知识302，并完成以上题目
[正确答案是]：[A]
2、
[A]错误
[B]正确
提示：认真复习课本知识302，并完成以上题目
[正确答案是]：[B]
3、
[A]错误
[B]正确
提示：认真复习课本知识302，并完成以上题目
[正确答案是]：[B]
4、若函数x1(t),x2(t),…,xn(t)在区间[[A],[B]]上的朗斯基行列式恒为0，则它们线性相关
[A]错误
[B]正确
提示：认真复习课本知识302，并完成以上题目
[正确答案是]：[A]
5、
[A]错误
[B]正确
提示：认真复习课本知识302，并完成以上题目
[正确答案是]：[B]
6、
[A]错误
[B]正确
提示：认真复习课本知识302，并完成以上题目
[正确答案是]：[A]
7、。

1.《常微分方程》在线考试答案

D、 xxyyc (c为常数）
6、微分方程(y2-6x)yy +2y=0的通解为（A）
A、2x-y2+cy3=0
B、2y-x3+cx3=0
C、2x-cy2+y3=0
D、 2y-cx3+x3=0
7、下列函数组在定义域内线性无关的是（D）
A、01 t
B、et
C、2et
D、e-t
8、若y11e,y22xe，则它们所满足的微分方程为（C）
B、y11(AxxBxxc)e
C、y11(AxxB)e
D、Ae
11、方程yyy+y=2sinx特解的形状为(C)
A、 y11x(AcosxxBsinx)
B、？y+6yy=1
C、yyyBxcosx
D、xxy(c-e)
12、微分方程2yyyy=(yy)2的通解（C）
A、(x-c)2
B、c1(x-1)2+c2(x+1)2
6、2-2x3、方程 y""3y' 2yyxe特解的形状为(BCD)
A、(A) y11axey22-2x 222x22
B、 (B) y11(ax22bxxc)e-2x -2x 22-2x
C、y11x(axxbxxc)e
D、y11x(axxbxxc)e
7、表达式[cos(xxy))ay]dxx[bycos(xxy))3x]dy是某函数的全微分，则（CD）
A、sin2x
B、sin2x
C、sin3x
D、sin3x
4、微分方程edxxx(2xyye)dyy0的通解为（AD）
A、xeeyyc
B、xeey22c
C、xeyyxyyc
D、eyyyc

《常微分方程》练习题库参考答案

华中师范大学网络教育学院《常微分方程》练习测试题库参考答案一、判断说明题1、在线性齐次方程通解公式中C 是任意常数而在常数变易法中C （x ）是x 的可微函数。

将任意常数C 变成可微函数C （x ），期望它解决线性非齐次方程求解问题，这一方法成功了，称为常数变易法。

2、因p(x)连续，y(x)= y 0exp(-dx x⎰0x p(x))在p(x)连续的区间有意义，而exp(-dx x⎰x p(x))＞0。

如果y 0＝0，推出y(x)=0,如果y(x)≠0,故零解y(x)=0唯一。

3、（1）它是常微分方程，因为含有未知函数的导数，f,g 为已知函数，y 为一元函数，所建立的等式是已知关系式。

（2）它是常微分方程，理由同上。

（3）它不是常微分方程，因y 是未知函数，y(y(y(x)))也是未知的，所建立的等式不是已知关系式。

4、微分方程求解时，都与一定的积分运算相联系。

因此，把求解一个微分方程的过程称为一个微分方程。

微分方程的解又称为（一个）积分。

5、把微分方程的通解用初等函数或通过它们的积分来表达的方法。

注意如果通解能归结为初等函数的积分表达，但这个积分如果不能用初等函数表示出来，我们也认为求解了这个微分方程，因为这个式子里没有未知函数的导数或微分。

6、 y `＝f(x,y)主要特征是f(x,y)能分解为两个因式的乘积，其中一个因式仅含有x,另一因式仅含y ，而方程p(x,y)dx+q(x,y)dy=0是可分离变量方程的主要特征，就像f(x,y)一样，p,q 分别都能分解成两个因式和乘积。

7、二元函数f(x,y)满足f(rx,ry)=r mf(x,y),r.>0,则称f(x,y)为m 次齐次函数。

m=0则称它为0次齐次函数。

8、如果f(x,y)是0次齐次函数，则y `＝f(x,y)称为齐次方程。

如果p(x,y)和q(x,y)同为m 次齐次函数，则pdx+qdy=0为齐次方程。

第七章常微分方程练习题(含答案)

第7章常微分方程一、单项选择题1．微分方程3245(''')3('')(')0y y y x -++=阶数是（ b ）A.4阶 B ．3阶 C ．2阶 D ．1阶2．微分方程222y x dxdy x +=是（ b ） A.一阶可分离变量方程 B.一阶齐次方程 C.一阶非齐次线性方程 D.一阶齐次线性方程3．下列方程中，是一阶线性微分方程的是（ c ）A.0'2)'(2=+-x yy y xB.0'2=-+x yy xyC.0'2=+y x xyD.0)()67(=++-dy y x dx y x4．方程x y xy =-'满足初始条件11==x y 的特解是（ a ）A.x x x y +=lnB.Cx x x y +=lnC.x x x y +=ln 2D.Cx x x y +=ln 25．微分方程y y x 2='的通解为（ c ）A ．2x y =B ． c x y +=2C ． 2cx y =D ．0=y6．微分方程y y x ='满足1)1(=y 的特解为（ a ）A.x y =B. c x y +=C.cx y =D.0=y8．微分方程05))(sin(2''=+-+x y y xy y 是（ a ）A 一阶微分方程B 二阶微分方程C 可分离变量的微分方程D 一阶线性微分方程9．微分方程2y xy '=的通解为（ c ）A ．2x y e C =+B ． x y Ce =C ． 2x y Ce =D ．22x y Ce =二、填空题1．微分方程34()"30y y y y '++=的阶数为__2____；2．微分方程0=+y dxdy 的通解是x y ce -=； 3．微分方程02=+'xy y 的通解是2x y ce -=；4．微分方程x y y e +'=的通解是()10,0x ye C e C ++=<； 5. 一阶线性微分方程()()y P x y Q x '+=的通解为()()()()P x dx P x dx P x dx y Ce e Q x e dx --⎰⎰⎰=+⎰； 6. n 阶微分方程的通解含有__n __个独立的任意常数。

常微分方程试题及参考答案

常微分方程试题一、填空题(每小题3分，共39分)1.常微分方程中的自变量个数是________.2.路程函数S(t)的加速度是常数a，则此路程函数S(t)的一般形式是________.3.微分方程=g( )中g(u)为u的连续函数，作变量变换________，方程可化为变量分离方程.4.微分方程F(x,y′)=0中令P=y′,若x、P平面上的曲线F(x,P)=0的参数形式为x= (t),P=ψ(t),t为参数，则方程参数形式的通解为________.5.方程=(x+1)3的通解为________.6.如果函数f(x,y)连续，y= (x)是方程=f(x,y)的定义于区间x0≤x≤x0+h上，满足初始条件 (x0)=y0的解.则y= (x)是积分方程________定义于x0≤x≤x0+h 上的连续解.7.方程=x2+xy，满足初始条件y(0)=0的第二次近似解是________.8.方程+a1(t) +…+a n-1(t) +a n(t)x=0中a i(t) i=1,2,…，n是〔a,b〕上的连续函数，又x1(t),x2(t),…，x n(t)为方程n 个线性无关的解，则其伏朗斯基行列式W(t) 应具有的性质是：________.9.常系数线性方程x(4)(t)-2x″(t)+x(t)=0的通解为________.10.设A(t)是区间a≤t≤b上的连续n×n矩阵，x1(t),x2(t),…，x n(t)是方程组x′=A(t)x的n个线性无关的解向量.则方程组的任一解向量x(t)均可表示为：x(t)=________的形式.11.初值问题(t)+2x″(t)-tx′(t)+3x(t)=e-t,x(1)=1,x′(1)=2,x″(1)=3 可化为与之等价的一阶方程组________.12.如果A是3×3的常数矩阵，-2为A的三重特征值，则方程组x′=Ax的基解矩阵exp A t=________.13.方程组的奇点类型是________.二、计算题(共45分)1.(6分)解方程= .2.(6分)解方程x″(t)+ =0.3.(6分)解方程(y-1-xy)dx+xdy=0.4.(6分)解方程5.(7分)求方程：S″(t)-S(t)=t+1满足S(0)=1, (0)=2的解.6.(7分)求方程组的基解矩阵Φ(t).7.(7分)验证方程：有奇点x1=1, x2=0,并讨论相应驻定方程的解的稳定性.三、证明题(每小题8分，共16分)1.设f(x,y)及连续，试证方程dy-f(x,y)dx=0为线性方程的充要条件是它有仅依赖于x的积分因子.2.函数f(x)定义于-∞<x<+∞，且满足条件|f(x1)-f(x2)|≤N|x1-x2|,其中0<N<1,证明方程x=f(x)存在唯一的一个解.常微分方程试题参考答案一、填空题(每小题3分，共39分)1.12. 2+c1t+c23.u=4. c为任意常数5.y= (x+1)4+c(x+1)26.y=y0+7. (x)=8.对任意t9.x(t)=c1e t+c2te t+c3e-t+c4te-t10.x(t)=c1x1(t)+c2x2(t) +c n x n(t)11. x1(1)=1,x2(1)=2, x3(1)=312.expAt=e-2t[E+t(A+2E)+ ]13.焦点二、计算题（共45分）1.解：将方程分离变量为改写为等式两边积分得y-ln|1+y|=ln|x|-即y=ln 或e y=2.解：令则得=0当0时-arc cosy=t+c1y=cos(t+c1) 即则x=sin(t+c1)+c2当=0时y= 即x3.解：这里M=y-1-xy, N=x令u=xye-xu关于x求偏导数得与Me-x=ye-x-e-x-xye-x 相比有则因此u=xye-x+e-x方程的解为xye-x+e-x=c4.解：方程改写为这是伯努利方程，令z=y1-2=y-1 代入方程得解方程z==于是有或5.特征方程为特征根为对应齐线性方程的通解为s(t)=c1e t+c2e-tf(t)=t+1, 不是特征方程的根从而方程有特解=（At+B）,代入方程得-(At+B)=t+1两边比较同次幂系数得A=B=-1故通解为S(t)=c1e t+c2e-t-(t+1)据初始条件得c1=因此所求解为：S(t)=6.解：系数矩阵A=则，而det特征方程det( )=0, 有特征根对对对因此基解矩阵7.解：因故x1=1，x2=0是方程组奇点令X1=x1-1, X2=x2, 即x1=X1+1,x2=X2代入原方程，得化简得*这里R(X)= , 显然（当时）方程组*中，线性部分矩阵det(A- )=由det(A- )=0 得可见相应驻定解渐近稳定三、证明题（每小题8分，共16分）1.证明：若dy-f(x,y)dx=0为线性方程则f(x,y)=因此仅有依赖于x的积分因子反之，若仅有依赖于x的积分因子。

（完整版）常微分方程试题库.

1 常微分方程一、填空题1．微分方程0)(22=+-+x y dxdy dx dy n 的阶数是____________ 答：12．若),(y x M 和),(y x N 在矩形区域R 内是),(y x 的连续函数,且有连续的一阶偏导数,则方程0),(),(=+dy y x N dx y x M 有只与y 有关的积分因子的充要条件是_________________________答：)()1)((y Mx N y M φ=-∂∂-∂∂3．_________________________________________ 称为齐次方程.答：形如)(x y g dx dy =的方程4．如果),(y x f ___________________________________________ ,则),(y x f dxdy =存在唯一的解)(x y ϕ=,定义于区间h x x ≤-0上,连续且满足初始条件)(00x y ϕ=,其中=h _______________________ .答：在R 上连续且关于y 满足利普希兹条件),min(mb a h =5．对于任意的),(1y x ,),(2y x R ∈(R 为某一矩形区域),若存在常数)0(>N N 使______________________ ,则称则称),(y x f 在R 上关于y 满足利普希兹条件.答：2121),(),(y y N y x f y x f -≤-6．方程22y x dxdy +=定义在矩形区域R :22,22≤≤-≤≤-y x 上,则经过点)0,0(的解的存在区间是___________________ 答：4141≤≤-x 7．若),.....2,1)((n i t x i=是齐次线性方程的n 个解,)(t w 为其伏朗斯基行列式,则)(t w 满足一阶线性方程___________________________________答：0)(1'=+w t a w8．若),.....2,1)((n i t x i =为齐次线性方程的一个基本解组，)(t x 为非齐次线性方程的一个特解,则非齐次线性方程的所有解可表为_____________________答：x x c x n i i i +=∑=1 9．若)(x ϕ为毕卡逼近序列{})(x n ϕ的极限，则有≤-)()(x x n ϕϕ __________________答：1)!1(++n nh n ML 10．______________________称为黎卡提方程，若它有一个特解)(x y ，则经过变换，则经过变换 ___________________ ，可化为伯努利方程．，可化为伯努利方程．答：形如)()()(2x r y x q y x p dxdy ++=的方程的方程 y z y += 11．一个不可延展解的存在区间一定是．一个不可延展解的存在区间一定是区间．区间．答：开答：开12．方程1d d +=y x y 满足解的存在唯一性定理条件的区域是满足解的存在唯一性定理条件的区域是．答：}0),{(2>∈=y R y x D ，（或不含x 轴的上半平面）轴的上半平面）13．方程y x x ysin d d 2=的所有常数解是的所有常数解是．答：Λ,2,1,0,±±==k k y π14．函数组)(,),(),(21x x x n ϕϕϕΛ在区间I 上线性无关的上线性无关的条件是它们的朗斯基行列式在区间I 上不恒等于零．上不恒等于零．答：充分答：充分15．二阶线性齐次微分方程的两个解)(),(21x y x y 为方程的基本解组充分必要条件是．答：线性无关（或：它们的朗斯基行列式不等于零）答：线性无关（或：它们的朗斯基行列式不等于零）16．方程02=+'-''y y y 的基本解组是的基本解组是．答：x x x e ,e17．若)(x y ϕ=在),(∞+-∞上连续，则方程y x xy )(d d ϕ=的任一非零解的任一非零解与x 轴相交．轴相交．答：不能答：不能18．在方程0)()(=+'+''y x q y x p y 中，如果)(x p ，)(x q 在),(∞+-∞上连续，那么它的任一非零解在xoy 平面上平面上与x 轴相切．轴相切．答：不能答：不能19．若)(),(21x y x y ϕϕ==是二阶线性齐次微分方程的基本解组，则它们则它们共同零点．零点．答：没有答：没有20．方程21d d y xy -=的常数解是的常数解是．答：1±=y21．向量函数组)(,),(),(21x x x n Y Y Y Λ在其定义区间I 上线性相关的上线性相关的条件是它们的朗斯基行列式0)(=x W ，I x ∈．答：必要答：必要22．方程22dd y x x y +=满足解的存在唯一性定理条件的区域是满足解的存在唯一性定理条件的区域是．答：答： xoy 平面平面23．方程0d )1(1)d (22=-+-y x y x y x 所有常数解是所有常数解是．答：1,1±=±=x y24．方程04=+''y y 的基本解组是的基本解组是．答：x x 2cos ,2sin25．一阶微分方程的通解的图像是．一阶微分方程的通解的图像是维空间上的一族曲线．维空间上的一族曲线．答：2二、单项选择题1．n 阶线性齐次微分方程基本解组中解的个数恰好是（阶线性齐次微分方程基本解组中解的个数恰好是（ A ）个．）个．（A ）n （B ）n -1 （C ）n +1 （D ）n +22．如果),(y x f ，y y x f ∂∂),(都在xoy 平面上连续，那么方程),(d d y x f x y =的任一解的存在区间（区间（ D ）．（A ）必为),(∞+-∞ （B ）必为),0(∞+（C ）必为)0,(-∞ （D ）将因解而定）将因解而定3．方程y x x y +=-31d d 满足初值问题解存在且唯一定理条件的区域是（满足初值问题解存在且唯一定理条件的区域是（ DD D ））．（A ）上半平面）上半平面（（B ）xoy 平面平面（C ）下半平面）下半平面（（D ）除y 轴外的全平面轴外的全平面4．一阶线性非齐次微分方程组的任两个非零解之差（．一阶线性非齐次微分方程组的任两个非零解之差（ C ）．（A ）不是其对应齐次微分方程组的解）不是其对应齐次微分方程组的解（B ）是非齐次微分方程组的解）是非齐次微分方程组的解（C ）是其对应齐次微分方程组的解）是其对应齐次微分方程组的解（D ）是非齐次微分方程组的通解）是非齐次微分方程组的通解5. 方程21d d y x y -=过点)1,2(π共有（共有（B ）个解．）个解．（A ）一）一（B ）无数）无数（C ）两）两（D ）三）三 6. 6. 方程方程2dd +-=y x x y （ B B ）奇解．）奇解．）奇解．（A ）有三个）有三个（（B ）无）无（（C ）有一个）有一个（（D ）有两个有两个7．n 阶线性齐次方程的所有解构成一个（阶线性齐次方程的所有解构成一个（ A A A ）线性空间．）线性空间．）线性空间．（A ）n 维（（B ）1+n 维（（C ）1-n 维（（D ）2+n 维8．方程323d d y x y =过点（过点（ A A A ））．（（A ）有无数个解）有无数个解（（B ）只有三个解）只有三个解（（C ）只有解0=y （（D ）只有两个解）只有两个解 9. ),(y x f y '连续是保证),(y x f 对y 满足李普希兹条件的（满足李普希兹条件的（ B B B ）条件．）条件．）条件．（A ）充分）充分（（B ）充分必要）充分必要（（C ）必要）必要（（D ）必要非充分）必要非充分1010．二阶线性非齐次微分方程的所有解（．二阶线性非齐次微分方程的所有解（．二阶线性非齐次微分方程的所有解（ C C C ））．（（A ）构成一个2维线性空间维线性空间（（B ）构成一个3维线性空间维线性空间（C ）不能构成一个线性空间）不能构成一个线性空间（（D ）构成一个无限维线性空间）构成一个无限维线性空间11．方程y x y =d d 的奇解是（的奇解是（ D ）．（A ）x y = （B ）1=y （C ）1-=y （D ）0=y1212．若．若)(1x y ϕ=，)(2x y ϕ=是一阶线性非齐次微分方程的两个不同特解，则该方程的通解可用这两个解表示为（通解可用这两个解表示为（ C C C ））．（（A ）)()(21x x ϕϕ- （（B ）)()(21x x ϕϕ+（C ）)())()((121x x x C ϕϕϕ+- （（D ）)()(21x x C ϕϕ+1313．．),(y x f y '连续是方程),(d d y x f xy =初值解唯一的（初值解唯一的（ D D D ）条件．）条件．）条件．（A ）必要）必要（（B ）必要非充分）必要非充分（（C ）充分必要）充分必要（（D ）充分）充分14.14. 方程方程1dd+=y x y （ C C ）奇解．）奇解．）奇解．（A ）有一个）有一个（（B ）有两个）有两个（（C ）无）无（（D ）有无数个）有无数个1515．方程．方程323d d y x y =过点过点(0, 0)(0, 0)(0, 0)有（有（有（ A A ）． (A) (A) 无数个解无数个解无数个解 (B) (B) 只有一个解只有一个解只有一个解 (C) (C) (C) 只有两个解只有两个解只有两个解 (D) (D) 只有三个解只有三个解只有三个解三、求下列方程的通解或通积分1．3yx y dx dy += 解：23y y x y y x dy dx +=+= ，则，则 )(121⎰+⎰⎰=-c dy e y e x dy y dy y 所以所以 cy y x +=23 另外另外 0=y 也是方程的解也是方程的解2．求方程2y x dxdy +=经过)0,0(的第三次近似解的第三次近似解解：0)(0=x ϕ[]2020121)()(x dx x x x x =+=⎰ϕϕ []52021220121)()(x x dx x x x x +=+=⎰ϕϕ[]81152022316014400120121)()(x x x x dx x x x x +++=+=⎰ϕϕ 3．讨论方程2y dx dy = ，1)1(=y 的解的存在区间的解的存在区间解：dx ydy =2 两边积分两边积分 c x y+=-1 所以所以方程的通解为方程的通解为 cx y +-=1 故过1)1(=y 的解为的解为 21--=x y 通过点通过点 )1,1(的解向左可以延拓到∞-，但向右只能延拓到，但向右只能延拓到２，２，所以解的存在区间为所以解的存在区间为 )2,(-∞4．求方程01)(22=-+y dxdy 的奇解的奇解解: 利用p 判别曲线得判别曲线得⎩⎨⎧==-+020122p y p 消去p 得 12=y 即 1±=y 所以方程的通解为所以方程的通解为 )sin(c x y += , 所以所以 1±=y 是方程的奇解是方程的奇解5．0)1()1(cos 2=-++dy yx y dx y x 解: y M ∂∂=2--y , xN ∂∂=2--y , y M ∂∂=xN ∂∂ , 所以方程是恰当方程. ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=∂∂+=∂∂211cos y x y y v y x x u 得 )(sin y y x x u ϕ++=)('2y xy y u ϕ+-=∂∂- 所以y y ln )(=ϕ 故原方程的解为故原方程的解为 c y y x x =++ln sin6． x x x y y y 22'sin cos sin 2-=-+解: x x x y y y 22'sin cos sin 2-++-= 故方程为黎卡提方程.它的一个特解为它的一个特解为x y sin = ,令x z y sin += , 则方程可化为2z dx dz -= , c x z +=1 即 c x x y +=-1sin , 故 c x x y ++=1sin 7．0)37()32(232=-+-dy xy dx y xy解: 两边同除以2y 得037322=-+-xdy dy y ydx xdx0732=--yd xy d dx 所以所以 c y xy x =--732, 另外另外 0=y 也是方程的解也是方程的解 8．21d d xxy x y += 解当0≠y 时，分离变量得时，分离变量得 x x xy yd 1d 2+=等式两端积分得等式两端积分得C x y ln )1ln(21ln 2++= 即通解为即通解为 21x C y +=9. x y xy 2e 3d d =+ 解齐次方程的通解为齐次方程的通解为 x C y 3e -= 令非齐次方程的特解为令非齐次方程的特解为x x C y 3e)(-=代入原方程，确定出代入原方程，确定出 C x C x +=5e 51)( 原方程的通解为原方程的通解为x C y 3e-=+x2e 51 10. 5d d xy y xy += 解方程两端同乘以5-y ，得，得x yx y y+=--45d d 令 z y =-4，则x z x y yd d d d 45=--，代入上式，得，代入上式，得 x z x z =--dd 41 通解为通解为41e4+-=-x C z x 原方程通解为原方程通解为41e 44+-=--x C yx11．0)d (d 222=-+y y x x xy 解因为xN x y M ∂∂==∂∂2，所以原方程是全微分方程．，所以原方程是全微分方程．取)0,0(),(00=y x ，原方程的通积分为，原方程的通积分为C y y x xy yx =-⎰⎰020d d 2 即 C y y x =-323112． y y x y ln d d = 解：当0≠y ，1≠y 时，分离变量取不定积分，得时，分离变量取不定积分，得 C x y y y +=⎰⎰d ln d 通积分为通积分为 x C ye ln =13．03)(22=+'+''x y y y解原方程可化为原方程可化为0)(2='+'x y y 于是于是 12d d C x x y y =+积分得通积分为积分得通积分为23123121C x x C y +-= 14．x y x y x y+-=2)(1d d解：令xu y =，则x u x u x y d d d d +=，代入原方程，得，代入原方程，得 21d d u x u x -= 分离变量，取不定积分，得分离变量，取不定积分，得 C xx u uln d 1d 2+=-⎰⎰ （0≠C ）通积分为：通积分为： Cx x yln arcsin =15． x y x y xy tan d d += 解令u x y =，则x u x u x y dd d d +=，代入原方程，得，代入原方程，得 u u x u x u tan d d +=+，u x u x tan d d = 当0tan ≠u 时，分离变量，再积分，得时，分离变量，再积分，得C xx u u ln d tan d +=⎰⎰ C x u ln ln sin ln +=即通积分为：即通积分为： Cx xy =sin 16． 1d d +=xy x y 解：齐次方程的通解为解：齐次方程的通解为Cx y = 令非齐次方程的特解为令非齐次方程的特解为x x C y )(=代入原方程，确定出代入原方程，确定出 C x x C +=ln )( 原方程的通解为原方程的通解为Cx y =+x x ln 17. 0d d )e (2=+-y x x y x y解积分因子为积分因子为 21)(xx =μ 原方程的通积分为原方程的通积分为1012d d )(e C y x x y y x x =+-⎰⎰ 即 1e ,e C C C x y x +==+18．0)(2='+''y y y解：原方程为恰当导数方程，可改写为解：原方程为恰当导数方程，可改写为 0)(=''y y 即1C y y =' 分离变量得分离变量得x C y y d d 1= 积分得通积分积分得通积分21221C x C y += 19．1)ln (='-'y x y解令p y ='，则原方程的参数形式为，则原方程的参数形式为⎪⎩⎪⎨⎧='+=py p p x ln 1 由基本关系式由基本关系式y x y '=d d ，有，有p p p p x y y )d 11(d d 2+-⋅='=p p )d 11(-=积分得积分得 C p p y +-=ln得原方程参数形式通解为得原方程参数形式通解为⎪⎩⎪⎨⎧+-=+=Cp p y p p x ln ln 1 20．022=+'+''x y y y解原方程可化为原方程可化为0)(2='+'x y y于是于是 12d d C x xyy =+ 积分得通积分为积分得通积分为23123121C x x C y +-= 21． 0)d (d )(3223=+++y y y x x xy x解：由于x N xy y M ∂∂==∂∂2，所以原方程是全微分方程．，所以原方程是全微分方程．取)0,0(),(00=y x ，原方程的通积分为，原方程的通积分为103023d d )(C y y x xy x y x =++⎰⎰即 C y y x x =++42242 四、计算题1．求方程xy y e 21=-''的通解．的通解．解对应的齐次方程的特征方程为：对应的齐次方程的特征方程为：012=-λ特征根为：特征根为： 1,121-==λλ故齐次方程的通解为：故齐次方程的通解为： x x C C y -+=e e 21因为1=α是单特征根．所以，设非齐次方程的特解为是单特征根．所以，设非齐次方程的特解为 xAx x y e )(1=代入原方程，有代入原方程，有 x x x x Ax Ax A e 21e e e 2=-+，可解出可解出 41=A ．故原方程的通解为故原方程的通解为 x x x x C C y e 41e e 21++=-2．求下列方程组的通解．求下列方程组的通解⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=--=y x t y y x t x 43d d 2d d ．解方程组的特征方程为方程组的特征方程为04321=----=-λλλE A即 0232=+-λλ特征根为特征根为 11=λ，22=λ11=λ对应的解为对应的解为t b a y x e 1111⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡其中11,b a 是11=λ对应的特征向量的分量，满足对应的特征向量的分量，满足⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡----0014321111b a 可解得1,111-==b a ．同样可算出22=λ对应的特征向量分量为对应的特征向量分量为 3,212-==b a ．所以，原方程组的通解为所以，原方程组的通解为⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡t tt t C C y x 2221e 32e e e 3．求方程x y y 5sin 5='-''的通解．的通解．解：方程的特征根为01=λ，52=λ齐次方程的通解为齐次方程的通解为 x C C y 521e +=因为i i 5±=±βα不是特征根。

《常微分方程》在线作业题库

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（判断题1表示正确，0表示错误）1．第1题满足初始条件和方程组的解为( ).A. ;B. ;C. ;D. .A..B..C..D..答案:C标准答案：C您的答案：题目分数：3.0此题得分：0.02．第2题可将四阶方程化为二阶方程的变换是( ).A.;B. ;C.;D..A..B..C..D..答案:B标准答案：B您的答案：题目分数：3.0此题得分：0.03．第3题下列四个微分方程中, 二阶常微分方程有( )个.(i) , (ii) ,(iii) , (iv) .A. 四个;B. 三个;C. 两个;D. 一个.A..B..C..D..答案:B标准答案：B您的答案：题目分数：3.0此题得分：0.04．第4题可将一阶方程化为变量分离方程的变换为A. ；B. ；C. ；D. .A..B..C..D..答案:D标准答案：D您的答案：题目分数：3.0此题得分：0.05．第9题设有四个常微分方程：(i) , (ii) ,(iii) , (iv) .A.非线性方程有一个;B.非线性方程有两个;C.非线性方程有三个;D.非线性方程有四个.答案:B标准答案：B您的答案：题目分数：3.0此题得分：0.06．第10题是某个初值问题的唯一解，其中方程是, 则初始条件应该是( ).A. ,B. ,C. ,D. .A..B..C..D..答案:A标准答案：A您的答案：题目分数：3.0此题得分：0.07．第11题设是n 阶齐次线性方程的线性无关的解, 其中是连续函数. 则A. 的伏朗斯基行列式恒为零;B. 的伏朗斯基行列式或恒为零, 或恒不为零;C. 的伏朗斯基行列式恒不为零;D. 无法判断的伏朗斯基行列式是否为零.A..B..C..D..答案:C标准答案：C您的答案：题目分数：3.0此题得分：0.08．第12题下列四个微分方程中, 三阶常微分方程有( )个.(i) , (ii) ,(iii) , (iv) .A.1B.2C.3D.4答案:C标准答案：C您的答案：题目分数：3.0此题得分：0.09．第13题微分方程是( ).A.n阶变系数非齐次线性常微分方程;B.n阶变系数齐次线性常微分方程;C.n阶常系数非齐次线性常微分方程;D.n阶常系数齐次线性常微分方程.答案:A标准答案：A您的答案：题目分数：3.0此题得分：0.010．第14题微分方程是( ).A.n阶常系数非齐次线性常微分方程;B.n阶常系数齐次线性常微分方程;C.n阶变系数非齐次线性常微分方程;D.n阶变系数齐次线性常微分方程.答案:C标准答案：C您的答案：题目分数：3.0此题得分：0.011．第15题设有四个常微分方程：(i) , (ii) ,(iii) , (iv) .A.线性方程有一个;B.线性方程有两个;C.线性方程有三个;D.线性方程有四个.答案:C标准答案：C您的答案：题目分数：3.0此题得分：0.012．第16题微分方程是( ).A.n阶常系数非齐次线性常微分方程;B.n阶常系数齐次线性常微分方程;C.n阶变系数非齐次线性常微分方程;D.n阶变系数齐次线性常微分方程.答案:D标准答案：D您的答案：题目分数：3.0此题得分：0.013．第17题设是n 阶齐次线性方程的线性无关的解, 其中是连续函数. 则A. 的朗斯基行列式恒不为零;B. 的朗斯基行列式恒等于零;C. 的朗斯基行列式一定是负的;D. 的朗斯基行列式一定是正的.A..B..C..D..答案:A标准答案：A您的答案：题目分数：3.0此题得分：0.014．第18题设，及是连续函数，和是二阶变系数齐次线性方程的两个线性无关的解, 则以常数变易公式作为唯一解的初值问题是A. B.C. D.A..B..C..D..答案:B标准答案：B您的答案：题目分数：3.0此题得分：0.015．第19题初值问题, 的第二次近似解可以写为( ).A. ;B. ;C. + ;D. .A..B..C..D..答案:C标准答案：C您的答案：题目分数：3.0此题得分：0.016．第20题初值问题, 的第二次近似解可以写为( ).A. 4;B. ;C. ;D. + .A..B..C..D..答案:D标准答案：D您的答案：题目分数：3.0此题得分：0.017．第21题可将四阶方程化为一阶方程的变换是( ).A.;B. ;C.;D..A..B..C..D..答案:B标准答案：B您的答案：题目分数：3.0此题得分：0.018．第26题常微分方程的基本解组是A.B.C.D.A.AB.BC.CD.D答案:D标准答案：D您的答案：题目分数：3.0此题得分：0.019．第5题利用变换( )可将伯努利方程化为线性方程( ).答案:, .标准答案：, .您的答案：题目分数：6.0此题得分：0.020．第6题当求方程的一个待定系数特解时, 可将这个特解设为( ).答案:标准答案：您的答案：题目分数：6.0此题得分：0.021．第7题利用变换( )可将伯努利方程化为线性方程( ).答案:, .标准答案：, .您的答案：题目分数：6.0此题得分：0.022．第8题平面上过点的曲线为, 曲线上任意一点的切线与该点的向径之间夹角为, 则这个曲线应满足的常微分方程及初始条件分别为( ，).答案:, .标准答案：, .您的答案：题目分数：5.0此题得分：0.023．第22题平面上过点的曲线为, 曲线上任意一点的切线与该点的向径之间夹角为, 则这个曲线应满足的常微分方程及初始条件分别为( ，).答案:, .标准答案：, .您的答案：题目分数：6.0此题得分：0.024．第23题利用变换( )可将伯努利方程化为线性方程( ).答案:, .标准答案：, .您的答案：题目分数：6.0此题得分：0.025．第24题对于初值问题, , 可判定其解在的某邻域内存在且唯一, 理由是( ).答案:连续且关于y 满足局部利普希茨条件.标准答案：连续且关于y 满足局部利普希茨条件.您的答案：题目分数：6.0此题得分：0.026．第25题利用变换( )可将伯努利方程化为线性方程( ).答案:, .标准答案：, .您的答案：题目分数：5.0此题得分：0.0作业总得分：0.0作业总批注：作业1．第1题已知是某一三阶齐次线性方程的解, 则和的伏朗斯基行列式( ).A. ;B.; C.; D. .A.AB.BC.CD.D答案:A标准答案：A您的答案：题目分数：3.0此题得分：0.02．第2题是某个初值问题的唯一解，其中方程是, 则初始条件应该是( ).A. ,B. ,C. ,D. .A..B..C..D..答案:A标准答案：A您的答案：题目分数：3.0此题得分：0.03．第3题是某个初值问题的唯一解，其中方程是, 则初始条件应该是( ).A. ,B. ,C. ,D. .A..B..C..D..答案:C标准答案：C您的答案：题目分数：3.0此题得分：0.04．第4题微分方程是( ).A.n阶常系数非齐次线性常微分方程;B.n阶常系数齐次线性常微分方程;C.n阶变系数非齐次线性常微分方程;D.n阶变系数齐次线性常微分方程.答案:D标准答案：D您的答案：题目分数：3.0此题得分：0.05．第5题已知是某一三阶齐次线性方程的解, 则和的伏朗斯基行列式( ).A. ;B.; C.; D. .A..B..C..D..答案:D标准答案：D您的答案：题目分数：3.0此题得分：0.06．第6题可将四阶方程化为二阶方程的变换是( ).A.;B.; C.;D..A..B..C..D..答案:B标准答案：B您的答案：题目分数：3.0此题得分：0.07．第7题设和是方程组的两个基解矩阵, 则A. 存在某个常数方阵C使得, 其中;B. 存在某个常数方阵C使得, 其中;C. ;D. .A..B..C..D..答案:A标准答案：A您的答案：题目分数：3.0此题得分：0.08．第8题初值问题, 的第二次近似解可以写为( ). ＋A. 5;B.; C.; D. +.A..B..C..D..答案:D标准答案：D您的答案：题目分数：3.0此题得分：0.09．第13题是某个初值问题的唯一解，其中方程是, 则初始条件应该是( ).A. ,B. ,C. ,D. .A.AB.BC.CD.D答案:A标准答案：A您的答案：题目分数：3.0此题得分：0.010．第14题满足初始条件和方程组的解为( ).A. ;B.; C.; D. .A..B..C..D..答案:B标准答案：B您的答案：题目分数：3.0此题得分：0.011．第15题设，及是连续函数，和是二阶变系数齐次线性方程的两个线性无关的解, 则以常数变易公式作为唯一解的初值问题是A. B.C. D.A..B..C..D..答案:B标准答案：B您的答案：题目分数：3.0此题得分：0.012．第16题微分方程是( ).A.n阶变系数非齐次线性常微分方程;B.n阶变系数齐次线性常微分方程;C.n阶常系数非齐次线性常微分方程;D.n阶常系数齐次线性常微分方程.答案:A标准答案：A您的答案：题目分数：3.0此题得分：0.013．第17题设是n 阶齐次线性方程的线性无关的解, 其中是连续函数. 则A. 的朗斯基行列式一定小于零;B. 的朗斯基行列式恒不为零;C. 的朗斯基行列式可有零点, 但不恒为零;D. 的朗斯基行列式一定大于零.A..B..C..D..答案:B标准答案：B您的答案：题目分数：3.0此题得分：0.014．第18题可将六阶方程化为二阶方程的变换是( ).A.;B.; C.;D..A..B..C..D..答案:D标准答案：D您的答案：题目分数：3.0此题得分：0.015．第19题设，及是连续函数，和是二阶变系数齐次线性方程的两个线性无关的解, 则以常数变易公式作为唯一解的初值问题是A. B.C. D.A..B..C..D..答案:B标准答案：B您的答案：题目分数：3.0此题得分：0.016．第20题设和是方程组的两个基解矩阵, 则A. ;B.;C. 存在某个常数方阵C使得, 其中;D. 存在某个常数方阵C使得, 其中.A..B..C..D..答案:C标准答案：C您的答案：题目分数：3.0此题得分：0.017．第21题可将一阶方程化为变量分离方程的变换为A. ；B. ；C.； D. .A..B..C..D..答案:D标准答案：D您的答案：题目分数：3.0此题得分：0.018．第26题常微分方程的基本解组是A.B.C.D.A.AB.BC.CD.D答案:D标准答案：D您的答案：题目分数：3.0此题得分：0.019．第9题当求方程的一个待定系数特解时, 可将这个特解设为().答案:标准答案：您的答案：题目分数：6.0此题得分：0.020．第10题对于初值问题, , 可判定其解在的某邻域内存在且唯一, 理由是().答案:连续且关于y 满足局部利普希茨条件.标准答案：连续且关于y 满足局部利普希茨条件.您的答案：题目分数：6.0此题得分：0.021．第11题欧拉方程的一个基本解组为( ).答案:.标准答案：.您的答案：题目分数：6.0此题得分：0.022．第12题当求方程的一个待定系数特解时, 可将这个特解设为().答案:标准答案：您的答案：题目分数：5.0此题得分：0.023．第22题对于初值问题, , 可判定其解在的某邻域内存在且唯一, 理由是().答案:连续且关于y 满足局部利普希茨条件.标准答案：连续且关于y 满足局部利普希茨条件.您的答案：题目分数：6.0此题得分：0.024．第23题对于初值问题, , 可判定其解在的某邻域内存在且唯一, 理由是().答案:连续且关于y 满足局部利普希茨条件.标准答案：连续且关于y 满足局部利普希茨条件.您的答案：题目分数：6.0此题得分：0.025．第24题利用变换( )可将伯努利方程化为线性方程().答案:,.标准答案：,.您的答案：题目分数：6.0此题得分：0.026．第25题当求方程的一个待定系数特解时, 可将这个特解设为().答案:标准答案：您的答案：题目分数：5.0此题得分：0.0作业总得分：0.0作业总批注：作业1．第1题设有四个常微分方程：(i) , (ii),(iii) , (iv) .A.非线性方程有一个;B.非线性方程有两个;C.非线性方程有三个;D.非线性方程有四个.答案:B标准答案：B您的答案：题目分数：3.0此题得分：0.02．第2题设，及是连续函数，和是二阶变系数齐次线性方程的两个线性无关的解, 则以常数变易公式作为唯一解的初值问题是A. B.C. D.A..B..C..D..答案:B标准答案：B您的答案：题目分数：3.0此题得分：0.03．第3题设，及是连续函数，和是二阶变系数齐次线性方程的两个线性无关的解, 则以常数变易公式作为唯一解的初值问题是A. B.C. D.A..B..C..D..答案:B标准答案：B您的答案：题目分数：3.0此题得分：0.04．第4题设是n 阶齐次线性方程的线性无关的解, 其中是连续函数. 则A. 的伏朗斯基行列式恒为零;B. 的伏朗斯基行列式或恒为零, 或恒不为零;C. 的伏朗斯基行列式恒不为零;D. 无法判断的伏朗斯基行列式是否为零.A..B..C..D..答案:C标准答案：C您的答案：题目分数：3.0此题得分：0.05．第5题已知是某一三阶齐次线性方程的解, 则和的伏朗斯基行列式( ).A. ;B.; C.; D. .A..B..C..D..答案:D标准答案：D您的答案：题目分数：3.0此题得分：0.06．第6题微分方程的一个解是( ).A. ,B. ,C. ,D. .A..B..C..D..答案:C标准答案：C您的答案：题目分数：3.0此题得分：0.07．第7题设和是方程组的两个基解矩阵, 则A. 存在某个常数方阵C使得, 其中;B. 存在某个常数方阵C使得, 其中;C. ;D. .A..B..C..D..答案:A标准答案：A您的答案：题目分数：3.0此题得分：0.08．第8题可将一阶方程化为变量分离方程的变换为A. ；B.； C. ； D..A..B..C..D..答案:C标准答案：C您的答案：题目分数：3.0此题得分：0.09．第9题可将一阶方程化为变量分离方程的变换为A. ；B.； C. ； D..A..B..C..D..答案:A标准答案：A您的答案：题目分数：3.0此题得分：0.010．第14题设有四个常微分方程：(i) , (ii),(iii) , (iv) .A.四阶方程有一个;B.四阶方程有两个;C.四阶方程有三个;D.四阶方程有四个.答案:D标准答案：D您的答案：题目分数：3.0此题得分：0.011．第15题微分方程是( ).A.n阶变系数非齐次线性常微分方程;B.n阶变系数齐次线性常微分方程;C.n阶常系数非齐次线性常微分方程;D.n阶常系数齐次线性常微分方程.答案:A标准答案：A您的答案：题目分数：3.0此题得分：0.012．第16题设是n 阶齐次线性方程的线性无关的解, 其中是连续函数. 则A. 的朗斯基行列式一定小于零;B. 的朗斯基行列式恒不为零;C. 的朗斯基行列式可有零点, 但不恒为零;D. 的朗斯基行列式一定大于零.A..B..C..D..答案:B标准答案：B您的答案：题目分数：3.0此题得分：0.013．第17题设是n 阶齐次线性方程的线性无关的解, 其中是连续函数. 则A. 的朗斯基行列式一定是正的;B. 的朗斯基行列式一定是负的;C. 的朗斯基行列式可有零点, 但不恒为零;D. 的朗斯基行列式恒不为零.A.AB.BC.CD.D答案:B标准答案：B您的答案：题目分数：3.0此题得分：0.014．第18题初值问题, 的第二次近似解可以写为( ). ＋A. +;B.; C.; D. 3.A..B..C..D..答案:A标准答案：A您的答案：题目分数：3.0此题得分：0.015．第19题满足初始条件和方程组的解为( ).A. ;B.; C.; D. .A..B..C..D..答案:C标准答案：C您的答案：题目分数：3.0此题得分：0.016．第20题可将一阶方程化为变量分离方程的变换为A. ；B. ；C.； D. .A..B..C..D..答案:D标准答案：D您的答案：题目分数：3.0此题得分：0.017．第21题微分方程是( ).A. n阶常系数非齐次线性常微分方程;B.n阶变系数齐次线性常微分方程;C.n阶变系数非线性常微分方程;D.n阶常系数非线性常微分方程.答案:B标准答案：B您的答案：题目分数：3.0此题得分：0.018．第26题常微分方程的基本解组是A.B.C.D.A.AB.BC.CD.D答案:D标准答案：D您的答案：题目分数：3.0此题得分：0.019．第10题当求方程的一个待定系数特解时, 可将这个特解设为().答案:标准答案：您的答案：题目分数：6.0此题得分：0.020．第11题当求方程的一个待定系数特解时, 可将这个特解设为().答案:标准答案：您的答案：题目分数：6.0此题得分：0.021．第12题当求方程的一个待定系数特解时, 可将这个特解设为().答案:标准答案：您的答案：题目分数：6.0此题得分：0.022．第13题利用变换( )可将伯努利方程化为线性方程().答案:,.标准答案：,.您的答案：题目分数：5.0此题得分：0.023．第22题欧拉方程的一个基本解组为( ).答案:.标准答案：.您的答案：题目分数：6.0此题得分：0.024．第23题平面上过点的曲线为, 曲线上任意一点的切线与该点的向径之间夹角为, 则这个曲线应满足的常微分方程及初始条件分别为(，).答案:, .标准答案：, .您的答案：题目分数：6.0此题得分：0.025．第24题平面上过点的曲线为, 曲线上任意一点的切线与该点的向径之间夹角为, 则这个曲线应满足的常微分方程及初始条件分别为(，).答案:, .标准答案：, .您的答案：题目分数：6.0此题得分：0.026．第25题欧拉方程的一个基本解组为( ).答案:.标准答案：.您的答案：题目分数：5.0此题得分：0.0作业总得分：0.0作业总批注：作业1．第1题是某个初值问题的唯一解，其中方程是, 则初始条件应该是( ).A. ,B. ,C. ,D. .A.AB.BC.CD.D答案:A标准答案：A您的答案：题目分数：3.0此题得分：0.02．第2题已知是某一三阶齐次线性方程的解, 则和的伏朗斯基行列式( ).A. ;B.; C.; D. .A.AB.BC.CD.D答案:A标准答案：A您的答案：题目分数：3.0此题得分：0.03．第3题设有四个常微分方程：(i) , (ii),(iii) , (iv) .A.四阶方程有一个;B.四阶方程有两个;C.四阶方程有三个;D.四阶方程有四个.答案:D标准答案：D您的答案：题目分数：3.0此题得分：0.04．第4题已知是某一三阶齐次线性方程的解, 则和的伏朗斯基行列式( ).A. ;B.; C.; D. .A..B..C..D..答案:D标准答案：D您的答案：题目分数：3.0此题得分：0.05．第5题下列四个微分方程中, 二阶常微分方程有( )个.(i) , (ii),(iii) , (iv).A. 四个;B. 三个;C. 两个;D. 一个.A..B..C..D..答案:B标准答案：B您的答案：题目分数：3.0此题得分：0.06．第6题微分方程是( ).A.n阶常系数非齐次线性常微分方程;B.n阶常系数齐次线性常微分方程;C.n阶变系数非齐次线性常微分方程;D.n阶变系数齐次线性常微分方程.答案:C标准答案：C您的答案：题目分数：3.0此题得分：0.07．第7题设和是方程组的两个基解矩阵, 则A. 存在某个常数方阵C使得, 其中;B. 存在某个常数方阵C使得, 其中;C. ;D. .A..B..C..D..答案:A标准答案：A您的答案：题目分数：3.0此题得分：0.08．第8题微分方程的一个解是( ).A. ,B. ,C. ,D. .A..B..C..D..答案:D标准答案：D。

常微分方程练习题

习题一一、单项选择题.1. 微分方程352cos y y y y ''''-=-的阶数是（）.A. 1B. 2C. 3D. 52. 克莱罗方程的一般形式是（）.A. ()y xy y ϕ''=+B. ()x xy y ϕ''=+C. ()y xy x ϕ'=+D. ()x xy y ϕ'=+3. 下列方程中为全微分方程的是（）. A. 0xdy ydx x y -=+ B. 220xdy ydx x y -=+ C. 0xdy ydx -= D. 220x dy y dx +=4. 用待定系数法求方程22x y y y x e '''-+=的特解*y 时，下列特解的设法正确的是（）.A. *2()x y ax bx c e =++B. *2()x y x ax bx c e =++C. *2()x y x ax b e =+D. *22()x y x ax bx c e =++ 5．Lipschitz 条件是一阶微分方程存在唯一解的（）条件.A. 充分条件B. 必要条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件二、填空题1．方程tan y x y '=的所有常数解是 .2．函数3252x x y C =++满足的一阶方程是 . 3．设22123,,x x x x x x x y xe e y xe e y xe e e --=+=+=++为某一常系数二阶非齐次方程的三个解，则此方程为 .4．方程y '=满足解的存在唯一性定理条件的区域是 . 5．系统dx x dt dy y dt⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩的零解的是稳定的.三、求下列一阶微分方程的通解. 1.22410dy y x y dx x+++= 2. 2(cos sin )dy y y x x dx +=- 3. (2)0.x y dx xdy +-=四、求下列高阶方程的通解.1. 1cos y y x''+= 2. 试用观察法求方程 211(1ln )0x y y y x x'''-+-=的通解．五、求解微分方程组5533x y z y x y z x z '=-⎧⎪'=-+⎨⎪'=-⎩的通解. 六、判定系统33333dx x y dt dy x y dt⎧=--⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩的零解稳定性. 七、证明题1．设)(x f 在),0[∞+上连续，且0)(lim =+∞→x f x ，求证：方程)(d d x f y xy =+的任意解)(x y y =均有0)(lim =+∞→x y x . 2. 假设m 不是矩阵A 的特征值，试证非齐线性方程组mt Ce AX dtdX +=，有一解形如：mt Pe t =)(ϕ.其中P C ,是常数向量. 习题二一、单项选择题1. 微分方程22x y dxdy +=的阶数是（）. A. 1 B. 2 C. 3 D. 42. 克莱罗方程的一般形式是（）.A. ()y xy y ϕ''=+B. ()x xy y ϕ''=+C. ()y xy x ϕ'=+D. ()x xy y ϕ'=+3. Lipschitz 条件是一阶微分方程存在唯一解的（）条件.A. 充分条件B. 必要条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件4. n 阶齐次线性常微分方程的任意1+n 个解必定（）.A. 可组成方程的一个基本解组B. 线性相关C. 朗斯基行列式不为0D. 线性无关5．用待定系数法求方程2x y y y xe '''-+=的特解*y 时，下列特解的设法正确的是（）.A. *2()x y ax bx c e =++B. *2()x y x ax bx c e =++C. *2()x y x ax b e =+D. *22()x y x ax bx c e =++ 二、填空题.1．当≠n 时，微分方程ny x Q y x P y )()(+='为伯努利方程．2．在方程0)()(=+'+''x t q x t p x 中，当系数满足条件时，其基本解组的朗斯基行列式等于常数.3．若y=y 1(x )，y=y 2(x )是一阶线性非齐次方程的两个不同解，则用这两个解可把其通解表示为．4．方程y '=满足解的存在唯一性定理条件的区域是 .5．设I x ∈0，)(,),(1x Y x Y n 是区间I 上线性齐次微分方程的n 个解，则)(,),(1x Y x Y n 在区间I 上线性相关的条件是向量组)(,),(001x Y x Y n 线性相关.三、求下列一阶微分方程的通解. 1. x y x y x y y x ++=-'ln)( 2. 2(cos sin )dy y y x x dx+=- 3. 0)1()(=+++--dy e dx e e y y y x四、求下列高阶方程的通解.1. 02=+'-'y y x y2. 1cos y y x''+= 五、求解微分方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+=x y dtdy x y dt dx 5445的通解. 六、判定系统33333dx x y dt dy x y dt⎧=--⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩的零解稳定性.七、证明题.1．设(,)f x y 及yf ∂∂连续,试证方程0),(=-dx y x f dy 为线性方程的充要条件是它有仅依赖与x 的积分因子.2. 设在方程 0)()(22=++y x q dx dy x p dxy d 中，)(x p 在区间I 上连续且恒不为零，试证它的任意两个线性无关解的朗斯基行列式是在区间I 上严格单调函数．习题三一、单项选择题.1. 微分方程y x x y sin +='''的阶数是（）.A. 1B. 2C. 3D. 52. 下列方程中为全微分方程的是（）.A. 0xdy ydx x y -=+B. 220xdy ydx x y-=+ C. 0xdy ydx -= D. 220x dy y dx +=3. 微分方程n y x Q y x P y )()(+='，当1=n 时为（）.A. 一阶线性齐次微分方程B. 一阶线性非齐次微分方程C. 伯努利方程D. 里卡蒂方程4. Lipschitz 条件是一阶微分方程存在唯一解的（）条件.A. 充分条件B. 必要条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件5．用待定系数法求方程22(2)x y y y x x e '''-+=+的特解*y 时，下列特解的设法正确的是（）.A. *2()x y ax bx c e =++B. *2()x y x ax bx c e =++C. *2()x y x ax b e =+D. *22()x y x ax bx c e =++ 二、填空题.1．函数12cos sin x c t c t =+(其中21,c c 为任意常数)满足的一阶方程是 .2．方程0d cot d tan =-y x x y 所有常数解是．3．设22123,,x x x x x x x y xe e y xe e y xe e e --=+=+=++为某一常系数二阶非齐次方程的三个解，则此方程为 .4．方程y '=满足解的存在唯一性定理条件的区域是 .5．与初值问题2)1(,7)1(,72-='==+'+''-x x e tx x x t 等价的一阶方程组的初值问题为 .三、求下列一阶微分方程的通解.1. 02)1(22=+'-xy y x2. 2(cos sin )dy y y x x dx+=- 3. 532)4(++='+y x y y x四、求下列高阶方程的通解.1. 0222=+'-''x x t x t2. 02=-''+'''x x x 五、求解微分方程组5533x y z y x y z x z '=-⎧⎪'=-+⎨⎪'=-⎩的通解.六、判定系统33333dx x y dt dy x y dt⎧=--⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩的零解稳定性. 七、证明题.1．设)(x f 在),0[∞+上连续，且0)(lim =+∞→x f x ，求证：方程)(d d x f y xy =+的任意解)(x y y =均有0)(lim =+∞→x y x . 2. 证明：二阶线性齐次方程的任意两个线性无关解组的朗斯基行列式之比是一个不为零的常数．习题四一、单项选择题1. 微分方程2y xy x '''''=+的通解中含有任意常数的个数为（）.A. 1B. 2C. 3D. 42. 当1=n 时，微分方程()()n y p x y q x y '+=最确切的名称为（）.A. 一阶线性齐次微分方程B. 伯努利方程C. 一阶线性非齐次微分方程D. 里卡蒂方程3. Lipschitz 条件是一阶微分方程存在唯一解的（）条件.A. 充分条件B. 必要条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件4. 在整个数轴上线性无关的一组函数为（）.A. ,1,1x x x +- B. 230,,,x x x C. 22,x x e e +- D. 22,x x e e -- 5．用待定系数法求方程22x y y y x e '''-+=的特解*y 时，下列特解的设法正确的是（）.A. *2()x y ax bx c e =++B. *2()xy x ax bx c e =++C. *2()x y x ax b e =+D. *22()x y x ax bx c e =++ 二、填空题.1. 方程0d cot d tan =-y x x y 所有常数解是．2．若12(),()y y x y y x ==是一阶线性非齐次方程的两个不同解，则用这两个解可把其通解表示为．3．方程y '=满足解的存在唯一性定理条件的区域是 .4．已知cos t 和sin t 是二阶齐次线性方程()()0x a t x b t x '''++=的两个解，则()a t = ．5．如果常系数线性方程组x Ax '=的特征值的实部都是负数，则该方程组的任一解当t →+∞时收敛于．三、求下列一阶微分方程的通解 1. tan dy y y dx x x=+ 2. yx x y dx dy 222+= 3. 0)1()(=+++--dy e dx e e y y y x四、求下列高阶方程的通解1. 2350t x tx x '''++=2. ''tan x x t += 五、求解常微分方程组4545dx x y dt dy y x dt⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩.六、判定系统 33x y ax y x ay '⎧=-+⎨'=+⎩（这里的a ∈）的零解稳定性. 七、设)(x y 在),0[+∞上连续可微，且有0)]()([lim =+'+∞→x y x y x ，试证：0)(lim =+∞→x y x .。

18秋华师《常微分方程》在线作业满分答案

华师《常微分方程》在线作业微分方程y'-y=0满足初始条件y(0)=1的特解为（）。

A.e^xB.e^x-1C.e^x+1D.2-e^x正确答案:A微分方程dx/y+dy/x=0满足当x=3时，y=4的特解是（）。

A.x^2+y^2=25B.3x+4y=CC.x^2+y^2=CD.x^2+y^2=7正确答案:An阶线性非齐次微分方程的所有解（）．A.构成一个线性空间B.构成一个n-1维线性空间C.构成一个n+1维线性空间D.不能构成一个线性空间正确答案:Dxy'''+2x^2(y')^2+x^3*y=x^4+1是（）阶微分方程。

A.1B.2C.3D.4正确答案:Cy'=y满足当x=0时，y=2的特解是（）。

A.Y=e^x+1B.y=2e^xC.y=2e^(x/2)D.y=3e^x正确答案:B微分方程xyy''+x(y')^3-y^4-y'=0的阶数是（）。

A.3B.4C.5D.2正确答案:D方程xy'+y=3的通解是（）。

A.y=C/x+3B.y=3/x+CC.y=-C/x-3D.y=C/x-3正确答案:A微分方程ylnydx+(x-lny)dy=0是（）A.可分离变量方程B.线性方程C.全微分方程D.贝努利方程正确答案:B方程dy/dx=x^(-1/3)+y满足初值问题解存在且唯一定理条件的区域是（）A.上半平面B.xoy平面C.下半平面D.除y轴外的全平面正确答案:Dy=C1e^x+C2e^(-x)是方程y''-y=0的（），其中C1，C2为任意常数。

A.通解B.特解C.是方程所有的解D.上述都不对。

福建师范大学《常微分方程》在线作业二附参考答案

答案:正确
22.
答案:正确
23.
答案:正确
24.若A为n×n矩阵，则对任意常数c1,c2，有exp(c1 A+c2 A）=expc1 A·expc2 A
答案:正确
25.题目如图{图}
答案:错误
26.
答案:错误
27.
答案:正确
28.
答案:正确
29.
答案:正确
30.方程x''+x=tant是齐次线性方程
答案:错误
15.
答案:正确
16.
答案:错误
17.有些非齐次线性微分方程可以用比较系数法来解
答案:正确
18.线性方程dy/dx=p(x)y+Q(x)只有与y有关的积分因子。
答案:错误
19.函数sinx和cosx在任何区间上是线性无关的
答案:正确
20.
答案:正确
21.dy/dx=(x+y)/(x-y)是一阶齐次方程。
答案:正确
39.
答案:错误
40.
答案:正确
41.
答案:正确
42.
答案:正确
43.
答案:正确
44.n阶齐次线性微分方程的线性无关解的最大个数等于n
答案:正确
45.
答案:正确
46.{图}
答案:正确
47.n阶非齐次线性方程的任意两个解之差也是该方程的解
答案:错误
48.偏微分方程自变量个数不只一个
答案:正确
福建师范大学《常微分方程》在线断题 (共 50 道试题,共 100 分)
1.
答案:错误
2.
答案:正确
3.
答案:错误
4.

(完整版)常微分方程试题及答案2023年修改整理

第十二章常微分方程(A)一、是非题1．任意微分方程都有通解。

( X )2．微分方程的通解中包含了它所有的解。

( X )3．函数x x y cos 4sin 3-=是微分方程0=+''y y 的解。

( O ) 4．函数x e x y ⋅=2是微分方程02=+'-''y y y 的解。

( X )5．微分方程0ln =-'x y x 的通解是()C x y +=2ln 21 (C 为任意常数)。

( O )6．y y sin ='是一阶线性微分方程。

( X ) 7．xy y x y +='33不是一阶线性微分方程。

( O ) 8．052=+'-''y y y 的特征方程为0522=+-r r 。

( O )9．221xy y x dxdy +++=是可分离变量的微分方程。

( O )二、填空题1．在横线上填上方程的名称①()0ln 3=-⋅-xdy xdx y 是可分离变量微分方程。

②()()022=-++dy y x y dx x xy 是可分离变量微分方程。

③xy y dx dy x ln ⋅=是齐次方程。

④x x y y x sin 2+='是一阶线性微分方程。

⑤02=-'+''y y y 是二阶常系数齐次线性微分方程。

2．x x y x y cos sin =-'+'''的通解中应含 3 个独立常数。

3．x e y 2-=''的通解是21241C x C e x ++-。

4．x x y cos 2sin -=''的通解是21cos 2sin 41C x C x x +++-。

5．124322+=+'+'''x y x y x y x 是 3 阶微分方程。

6．微分方程()06='-''⋅y y y 是 2 阶微分方程。

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