公路测量中平面坐标系之间的转换方法

公路测量中平面坐标系之间的转换方法

一、公路测量中产生不同平面坐标系的原因

近二十年来，我国公路基础设施建设实现了跨越式的发展，取得了举世瞩目的成就。据交通部最新发布的统计数据，1989年全社会交通投资仅156亿元，“八五”期间年均投资619亿元，“九五”期间年均已达2062亿元，2002年达3150亿元，“十一五”开局之年的2006年，公路投资更高达6231.05亿元。1989年我国高速公路通车里程仅为271公里，到1999年突破1万公里，2002年已达2.52万公里，跃居世界第二，2006年更高达4.53万公里，至2020年，还将重点建设3.5万公里高等级公路，组成国道主干线“五纵七横”十二条路线。

公路基础设施的建设并不是一蹴而就的，是随着我国国民经济综合实力的不断增强，分段分批建设的，每一段建设的公路项目之间由于下列原因，所采用的平面测量坐标系是不相同的。

1、根据《公路勘测规范》规定，选择路线平面控制测量坐标系时，应使测区内投影长度变形值不大于2.5cm/km。大型构造物平面控制测量坐标系，其投影长度变形值不应大于1cm/km。

当采用标准高斯正形投影的3°带或6°带分带，投影基准为1954年北京坐标系或1980西安坐标系时，6°带边缘最大变形值可达1.4m/km，3°带边缘最大变形值可达0.4m/km，测量面高度为2000m时，投影变形将达到0.3m/km，因此，测量长度投影变形对公路、桥梁和隧道施工产生较大的影响是客观存在的，如果投影变形值大到一定程度，该部分因素对施工影响的程度比测量误差的影响还要显著。鉴于此，根据公路设计、施工的需要，《公路勘测规范》规定，选择路线平面控制测量坐标系时，应使测区内投影长度变形值不大于2.5cm/km。大型构造物平面控制测量坐标系，其投影长度变形值不应大于1cm/km。

根据这一规定，对于一个具体的公路工程项目，就要根据工程所处的位置和高度，采用选择任一中央子午线和投影面的方法，建立变形值符合要求的独立坐标系。这是造成不同的公路项目具有不同坐标系统的主要原因。

2、由于原有国家控制网精度较差以及测量误差积累的原因，即就是采用统一的标准高斯正形投影的3°带或6°带分带，投影基准为1954年北京坐标系或1980西安坐标系，不同时期以及不同公路工程段落相互衔接时，同样存在相互不能很好兼容的问题。某种意义上看，相当于两个相互衔接的公路工程项目采用了不同的坐标系统。

3、由于《公路勘测规范》和《公路勘测细则》]对路线平面控制测量和大型构造物平面控制测量的投影长度变形值要求不一样，导致在同一个公路工程项目中可能采用不同的坐标系统，大型构造物平面控制测量可能采用与路线平面控制测量相对独立的坐标系统。

上述原因导致了在公路工程建设中，经常出现相互衔接的路段出现不同平面坐标系统的问题，因此在公路设计、施工过程中必然经常遇到平面坐标系之间相互转换的问题。

二、平面坐标系之间的转换方法

1、三参数转换法

假设两椭球体的长、短轴相互平行，零经线为格林威治本初子午线，从原坐标系转换到新坐标系可以采用三平移参数dX 、dY 、dZ 进行解算，转换公式为：

Xt=Xs+dX

Yt=Ys+dY

Zt=Zs+dZ

式中：Xs 、Ys 、Zs ——原坐标系的坐标值；

Xt 、Yt 、Zt ——新坐标系的坐标值。

利用上述公式前，首先将原坐标系中的坐标平面直角坐标通过大地反算转换为纬度φs 、经度λs 和椭球高hs ，利用公式(2)将纬度φs 、经度λs 和椭球高hs 转换为地心直角坐标Xs 、Ys 、Zs ，然后利用公式(1)求取新坐标系中的地心直角坐标，再利用公式(3)即可求出新坐标系中的大地坐标纬度φt 、经度λt 和椭球高ht ，最后通过大地正算转换为新坐标系中的平面直角坐标。其中椭球高ht 为从采用椭球的椭球面起算，如果需要换算到海平面高程必需作大地水准面高度校正。

X=(v+h)cosφcosλ

Y=(v+h)cosφsin λ

Z=((1-e 2)v+h)sin φ

φ=tg -1[(Z+e 2vsin φ)(X 2+Y 2)0.5]

λ=tg -1(Y/X)

h=Xsec λsec φ-v

式中：v ——纬度φ处的卯酉圈曲率半径，v=a(1-e2sin φ)0.5；

φ、λ——坐标点的纬度和经度，λ从格林威治本初子午线起算；

h ——相对椭球面的高度；

e ——椭球第一偏心率。

dX 、dY 、dZ 为坐标系转换的三参数，可以通过比较两个地心直角坐标系已知点的坐标求得。 h 为相对椭球面的高度，也就是通过GPS 卫星定位观测得到的高度值，而不是通常的与重力相关的大地测量高程值。重力相关的高程(H)通常是相对海平面，或某一水准面的高度。如果重力高程H 已知，那么在使用以上公式时必须将其转换成椭球高程h=H+N ，其中N 为大地水准面相对椭球面的高度，N 有时为负值。大地水准面是近视于海平面的重力面。

2、简化莫洛金斯基(Molodenski)转换

三参数法是最简单的坐标系转换方法，通过两坐标系的原点位移就可以实现，莫洛金斯基(Molodenski)在此基础上提出了相应三参数的直接转换方法：

φt =φs +d φ

λt =λs +d λ

h t =h s +d h

式中：dφ"=(-dX·sinφ·cosλ-dY·sinφ·sinλ+dZ·cosφ+[a·df+f·da]·sin2φ)/(ρ·sin1")

d λ"=(-dX·sin λ+dY·cos λ)/(v·cos φ·

sin1")

(1)

(4)

(2) (3)

dh=dX·cos φ·cos λ+dY·cos φ·sin λ+dZ·sin φ+(a·df+f·da)·sin2φ-da

其中：dX 、dY 、dZ ——两椭球参心差值，也就是椭球体原点平移参数；

ρ——原椭球体纬度φ处的子午圈曲率半径 ρ=a(1-e2)/(1-e2sin φ)3/2；

v ——为原椭球体纬度φ处的卯酉圈曲率半径 v=a/(1-e2sin2φ)1/2；

da ——为新椭球体与原椭球体的长半轴之差 da=at-as ；

df ——为新椭球体与原椭球体的扁率之差 df=ft-fs=1/(1/ft)-1/(1/fs)；

d φ、d λ——φ、λ的偏差值，以弧度为单位。

3、赫尔默特(Helmert)转换

从一个大地坐标系转换到另一个大地坐标系(俗称为基准面转换)一般需要经过三个环节：大地坐标到地心坐标→地心坐标到地心坐标→地心坐标到大地坐标。三参数法和简化莫洛金斯基(Molodenski)转换法都是假设两个大地坐标系的直角坐标轴相互平行，当两椭球体的长、短轴不相互平行并且考虑到位置矢量的比例因子时，就要使用7参数转换法，通常称为7参数赫尔默特(Helmert)转换，将转换公式用7参数矩阵表示，即得到著名的布尔莎—沃尔夫(Bursa-Wolf)公式：

式中：(Xs 、Ys 、Zs)为原坐标系中的点坐标，(Xt 、Yt 、Zt)为新坐标系中的点坐标。

(dX 、dY 、dZ)：两坐标系的原点平移矢量(平移参数)，原坐标系中的点位置矢量加上原点平移矢量即得到该点在新坐标系中的位置矢量。平移参数也就是原坐标系的原点在新坐标系中的坐标值。

(Rx 、Ry 、Rz)：位置矢量的旋转角(旋转参数)。参数符号约定如下：从直角坐标系原点沿轴正向看，位置矢量绕轴顺时针旋转为正。从原坐标系转换到新坐标系，如果绕Z 轴的旋转角度为正，那么转换后坐标点的经度将增大。

M ：位置矢量的比例因子(尺度比参数)，位置矢量从原坐标系转换到新坐标系的尺度伸缩量。M=(1+dS*10-6)，其中dS 为尺度校正量，以百万分之一计(ppm)。

4、莫洛金斯基—巴德卡斯(Molodenski-Badekas)转换

为了消除赫尔默特(Helmert)方法中平移与旋转参数之间的强相关性，引入了另一旋转中心点，也就是旋转中心由原来的地心坐标系原点，改为一个特定的位置，转换公式变为：

参数定义如下：

(Xp 、Yp 、Zp)：旋转中心点的坐标。

(dX 、dY 、dZ)：两坐标系的原点平移矢量(平移参数)，原坐标系中的点位置矢量加上原点平移矢量即得到该点在新坐标系中的位置矢量。平移参数也就是原坐标系的原点在新坐标系中的(5)

⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⨯⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+--++-⨯=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡dZ dY dX Z Y X R R R R R R M Z Y X S S S X Y X Z Y Z T T T 111(6) ⎥⎥⎥⎦

⎤⎢⎢⎢⎣⎡+⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---⨯⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-++--+⨯=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡dZ dY dX Z Y X Z Z Y Y X X R R R R R R M Z Y X p p p p S p S p S X Y X Z Y Z T T T 111