高考数学一轮复习 2.1 映射与函数的概念教案 新课标

高考数学一轮复习 2.1 映射与函数的概念教案 新课标

一、映射

（１） 映射的概念：设Ａ，Ｂ是两个集合，如果按照某种对应法则f ，对于集合Ａ中的任何

一个元素，在集合Ｂ中都有惟一的元素与它对应，这样的对应关系叫做从集合Ａ到集合Ｂ的映射，记作B A f →:．

（２） 象和原象：给定一个集合Ａ到Ｂ的映射，且A a ∈，B b ∈，如果元素a 和元素b 对

应，那么，我们把元素b 叫做元素a 的象，元素a 叫做元素b 的原象．

二、函数

（１） 传统定义：如果在某变化过程中有两个变量x ，y ，并且对于x 在某个范围内的每一

个确定的值，按照某个对应法则f ，y 都有惟一确定的值和它对应，那么y 就是x 的函数，记为)(x f y =．

（２） 近代定义：函数是由一个非空数集到另一个非空数集的映射．

（３） 函数的三要素：函数是由定义域、值域以及从定义域到值域的对应法则三部分组成的

特殊的映射．

（４） 函数的表示法：解析法、列表法、图象法．

理解好函数概念还必须注意以下几点：

① 函数是一种特殊的映射，集合Ａ、Ｂ都是非空的数的集合．

② 确定函数的映射是从定义域Ａ到值域Ｃ上的映射，允许Ａ中的不同元素在Ｃ中有相同的象，但不允许Ｃ中的元素在Ａ中没有原象．

③ 两个函数只有当定义域、值域、对应法则都分别相同时，这两个函数才相同．

④ 函数的定义域、值域、对应法则f 统称为函数的三要素，其中对应法则f 是核心，f 是

使对应得以实现的方法和途径，是联系x 与y 的纽带．定义域是自变量x 的取值范围，是函数的一个重要组成部分．同一个函数的对应法则，由于定义域不相同，函数的图像与性质一般也不相同．

⑤ 函数的图像可以是一条或几条平滑的曲线也可以是一些离散的点，一些线段等． ⑥ )(a f 的含义与)(x f 的含义不同．)(a f 表示自变量a x =时所得的函数值，它是一个常

量；)(x f 是x 的函数，通常它是一个变量．

定义法

用数学概念的基本定义解决相关问题的方法，称之为定义法．利用定义解题的关键是把握住定义的本质特征．

[例1] 已知函数f (x )的定义域为[－1,5]，在同一直角坐标系下，函数y ＝f (x )的图象与直线x ＝1的交点个数为( )

A ．0个

B ．1个

C ．2个

D ．0个或1个

解析：∵f (x )的定义域为[－1,5]，而1∈[－1,5] ∴点(1，f (1))在函数y ＝f (x )的图象上 而点(1，f (1))又在直线x ＝1上

∴直线x ＝1与函数y ＝f (x )的图象必有一个交点(1，f (1))

根据函数的定义知，函数是一个特殊的映射，即对于定义域[－1,5]中的任何一个元素，在其值域中有唯一确定的元素f (1)与之对应，故直线x ＝1与y ＝f (x )的图象有且只有一个交点．选B.

三、典型例题

题型一.映射与函数的概念

[例1] 判断下列各组中两个函数是否为同一函数．

解析：(1)函数的定义域、对应法则均相同，所以是同一函数．

(2)y ＝ ＝x ＋1，但x ≠1，故两函数定义域不同，所以它们不是同一函数．

(3)函数f (x )＝ ·的定义域为{x |x ≥0}．

而g (x )＝ 的定义域为{x |x ≤－1或x ≥0}，

它们的定义域不同，所以它们不是同一函数． (4)去掉绝对值号可知f (x )与g (x )是同一函数．

总结评述：当一个函数的对应法则和定义域确定后，其值域随之得到确定，故函数的三要素(定义域、值域、对应法则)可简化为两要素(定义域、对应法则)，所以两个函数当且仅当定义域和对应法则相同时为同一函数．

练习：下列各组函数中，表示相同函数的是 （D ）

()()()x x g x x f A ln 2,ln 2== ()()()()x x g a a a x f B x

a =≠>=,1,0log

()()()[]1,1(1,12

-∈-=-=

x x x g x x f C ()()()33),

1,0(log x x g a a x f D x

a a =≠>= 例2、下列对应是否为从A 到B 的映射？能否构成函数？

()1

1

:,

,1+=

→==x y x f R B R A 不，不 ()a b a f N

n n b b B N a a A 1

:,,1,2

12=→⎭

⎬⎫⎩

⎨⎧∈==⎭

⎬⎫⎩⎨⎧∈=* 是，是

(){}{}作矩形的外接圆内的圆平面内的矩形平面:,

,3f B A αα==。是，不

（4）{}

0≥=x x A ，B=R f:x x y =→2

，不，不

总结评述：欲判断对应f ：A →B 是否是从A 到B 的映射，必须做两点工作：①明确集合A 、B 中的元素．②根据对应法则判断A 中的每个元素是否在B 中能找到惟一确定的对应元素． 例3（ 06年浙江卷）函数f:{1,2,3}→ {1,2,3}，满足f(f(x))=f(x),这样的函数个数（ D ） A. 1 B. 4 C. 8 D. 10

练习：{}{}M x N M f N M ∈→=-=使对任意的映射设集合,:,6,5,4,3,2,1,0,1都有 x+f(x)+xf(x)是奇数，这样的映射f 共有（）个

A 、22

B 、15

C 、50

D 、27

解:分步为-1,0,1找象,当x 为偶数时,f(x)必为奇数,当x 为奇数时,f(x)可奇可偶,所以当x=0时,f(x)只取3,5中一个,当x=-1或,1,f(x)可取2,3,4,5,6中任意一个,由乘法原理知,这个的映射的个数共有5×5×2=50 题型二.求定义域

例4（1）求下列函数的定义域：x

x x x x x f +-+

+-=

02

)1(65)(的定义域．

（2）已知函数()f x 的定义域是(,)a b ，求函数()(31)(31)F x f x f x =-++的定义域．

（3）已知函数f(2x

）的定义域是［-1，1］，求f(log 2x)的定义域.

解：由函数解析式有意义，得

⇒⎪⎩

⎪⎨

⎧>+≠-≥+-0

010652x x x x x 321011230x x x x x x x ≥≥⎧⎪

≠⇒<<<≤≥⎨⎪>⎩或或或 故函数的定义域是),3[]2,1()1,0(+∞ ．

(2）由113133

31113

3a b x a x b a x b a b x ++⎧<<⎪<-<⎧⎪⇔⎨⎨<+<--⎩⎪<<

⎪⎩ ．

∵ 函数的定义域不可能为空集，∴ 必有11

33a b +-<，即2b a -> 此时，11

33a b x +-<<，函数的定义域为（3

131-+b a ，）；

(2)∵y=f(2x

)的定义域是［-1，1］，即-1≤x≤1,∴2

1≤2x

≤2.

∴函数y=f(log 2x)中2

1≤log 2x≤2.即log 22≤log 2x≤log 24,∴2≤x≤4. 故函数f(log 2x)的定义域为［2，4］