高考数学一轮复习 2.1 映射与函数的概念教案 新课标

高考数学一轮复习 2.1 映射与函数的概念教案 新课标
一、映射
（１） 映射的概念：设Ａ，Ｂ是两个集合，如果按照某种对应法则f ，对于集合Ａ中的任何
一个元素，在集合Ｂ中都有惟一的元素与它对应，这样的对应关系叫做从集合Ａ到集合Ｂ的映射，记作B A f →:．
（２） 象和原象：给定一个集合Ａ到Ｂ的映射，且A a ∈，B b ∈，如果元素a 和元素b 对
应，那么，我们把元素b 叫做元素a 的象，元素a 叫做元素b 的原象．
二、函数
（１） 传统定义：如果在某变化过程中有两个变量x ，y ，并且对于x 在某个范围内的每一
个确定的值，按照某个对应法则f ，y 都有惟一确定的值和它对应，那么y 就是x 的函数，记为)(x f y =．
（２） 近代定义：函数是由一个非空数集到另一个非空数集的映射．
（３） 函数的三要素：函数是由定义域、值域以及从定义域到值域的对应法则三部分组成的
特殊的映射．
（４） 函数的表示法：解析法、列表法、图象法．
理解好函数概念还必须注意以下几点：
① 函数是一种特殊的映射，集合Ａ、Ｂ都是非空的数的集合．
② 确定函数的映射是从定义域Ａ到值域Ｃ上的映射，允许Ａ中的不同元素在Ｃ中有相同的象，但不允许Ｃ中的元素在Ａ中没有原象．
③ 两个函数只有当定义域、值域、对应法则都分别相同时，这两个函数才相同．
④ 函数的定义域、值域、对应法则f 统称为函数的三要素，其中对应法则f 是核心，f 是
使对应得以实现的方法和途径，是联系x 与y 的纽带．定义域是自变量x 的取值范围，是函数的一个重要组成部分．同一个函数的对应法则，由于定义域不相同，函数的图像与性质一般也不相同．
⑤ 函数的图像可以是一条或几条平滑的曲线也可以是一些离散的点，一些线段等． ⑥ )(a f 的含义与)(x f 的含义不同．)(a f 表示自变量a x =时所得的函数值，它是一个常
量；)(x f 是x 的函数，通常它是一个变量．
定义法
用数学概念的基本定义解决相关问题的方法，称之为定义法．利用定义解题的关键是把握住定义的本质特征．
[例1] 已知函数f (x )的定义域为[－1,5]，在同一直角坐标系下，函数y ＝f (x )的图象与直线x ＝1的交点个数为( )
A ．0个
B ．1个
C ．2个
D ．0个或1个
解析：∵f (x )的定义域为[－1,5]，而1∈[－1,5] ∴点(1，f (1))在函数y ＝f (x )的图象上 而点(1，f (1))又在直线x ＝1上
∴直线x ＝1与函数y ＝f (x )的图象必有一个交点(1，f (1))
根据函数的定义知，函数是一个特殊的映射，即对于定义域[－1,5]中的任何一个元素，在其值域中有唯一确定的元素f (1)与之对应，故直线x ＝1与y ＝f (x )的图象有且只有一个交点．选B.
三、典型例题
题型一.映射与函数的概念
[例1] 判断下列各组中两个函数是否为同一函数．
解析：(1)函数的定义域、对应法则均相同，所以是同一函数．
(2)y ＝ ＝x ＋1，但x ≠1，故两函数定义域不同，所以它们不是同一函数．
(3)函数f (x )＝ ·的定义域为{x |x ≥0}．
而g (x )＝ 的定义域为{x |x ≤－1或x ≥0}，
它们的定义域不同，所以它们不是同一函数． (4)去掉绝对值号可知f (x )与g (x )是同一函数．
总结评述：当一个函数的对应法则和定义域确定后，其值域随之得到确定，故函数的三要素(定义域、值域、对应法则)可简化为两要素(定义域、对应法则)，所以两个函数当且仅当定义域和对应法则相同时为同一函数．
练习：下列各组函数中，表示相同函数的是 （D ）
()()()x x g x x f A ln 2,ln 2== ()()()()x x g a a a x f B x
a =≠>=,1,0log
()()()[]1,1(1,12
-∈-=-=
x x x g x x f C ()()()33),
1,0(log x x g a a x f D x
a a =≠>= 例2、下列对应是否为从A 到B 的映射？能否构成函数？
()1
1
:,
,1+=
→==x y x f R B R A 不，不 ()a b a f N
n n b b B N a a A 1
:,,1,2
12=→⎭
⎬⎫⎩
⎨⎧∈==⎭
⎬⎫⎩⎨⎧∈=* 是，是
(){}{}作矩形的外接圆内的圆平面内的矩形平面:,
,3f B A αα==。

是，不
（4）{}
0≥=x x A ，B=R f:x x y =→2
，不，不
总结评述：欲判断对应f ：A →B 是否是从A 到B 的映射，必须做两点工作：①明确集合A 、B 中的元素．②根据对应法则判断A 中的每个元素是否在B 中能找到惟一确定的对应元素． 例3（ 06年浙江卷）函数f:{1,2,3}→ {1,2,3}，满足f(f(x))=f(x),这样的函数个数（ D ） A. 1 B. 4 C. 8 D. 10
练习：{}{}M x N M f N M ∈→=-=使对任意的映射设集合,:,6,5,4,3,2,1,0,1都有 x+f(x)+xf(x)是奇数，这样的映射f 共有（）个
A 、22
B 、15
C 、50
D 、27
解:分步为-1,0,1找象,当x 为偶数时,f(x)必为奇数,当x 为奇数时,f(x)可奇可偶,所以当x=0时,f(x)只取3,5中一个,当x=-1或,1,f(x)可取2,3,4,5,6中任意一个,由乘法原理知,这个的映射的个数共有5×5×2=50 题型二.求定义域
例4（1）求下列函数的定义域：x
x x x x x f +-+
+-=
02
)1(65)(的定义域．
（2）已知函数()f x 的定义域是(,)a b ，求函数()(31)(31)F x f x f x =-++的定义域．
（3）已知函数f(2x
）的定义域是［-1，1］，求f(log 2x)的定义域.
解：由函数解析式有意义，得
⇒⎪⎩
⎪⎨
⎧>+≠-≥+-0
010652x x x x x 321011230x x x x x x x ≥≥⎧⎪
≠⇒<<<≤≥⎨⎪>⎩或或或 故函数的定义域是),3[]2,1()1,0(+∞ ．
(2）由113133
31113
3a b x a x b a x b a b x ++⎧<<⎪<-<⎧⎪⇔⎨⎨<+<--⎩⎪<<
⎪⎩ ．
∵ 函数的定义域不可能为空集，∴ 必有11
33a b +-<，即2b a -> 此时，11
33a b x +-<<，函数的定义域为（3
131-+b a ，）；
(2)∵y=f(2x
)的定义域是［-1，1］，即-1≤x≤1,∴2
1≤2x
≤2.
∴函数y=f(log 2x)中2
1≤log 2x≤2.即log 22≤log 2x≤log 24,∴2≤x≤4. 故函数f(log 2x)的定义域为［2，4］
练习：
题型三.实际问题中函数定义域的确定
四、作业：
1.求函数f(x)=2
1)|lg(|x
x x --的定义域.
解 由,110
010||2⎩⎨⎧<<-<⎪⎩
⎪⎨
⎧>->-x x x x x ，得 ∴-1＜x ＜0. ∴函数f(x)=
2
1)|lg(|x
x x --的定义域为（-1,0）.
2．已知向量c b a ),0,1(),1,1(==满足0=⋅c a
，且c a =，0>⋅c b
（１）求向量c （２）若映射c y a x y x y x f
+=''→),(),(:，
① 求映射f 下)2,1(的原象；
② 若将),(y x 作点的坐标，问是否存在直线l ，使得直线l 上任一点在映射f 的作用下，
仍在直线l 上，若存在，求出l 的方程，若不存在，请说明理由．
解：（１）设),,(y x c = 则⎪⎩
⎪⎨⎧>=+=+0
20
2
2x y x y x ∴⎩⎨⎧-==11y x ∴)1,1(-=c
（２）①∵)2,1()1,1()1,1(=-+y x ， ∴21,23-==
y x ∴原象是)2
1,23(-； ② 假设l 存在，设其方程为)0(≠+=k b kx y
∴),(y x y x c y a x -+=+
．∵点),(y x y x -+在直线l 上，∴b y x k y x ++=-)( 即b x k y k --=+)1()1(与b kx y +=表示同一直线 ∴21,0±-==k b ，∴直线l 存在，其方程为x y )21(±-=。