拉普拉斯变换的应用及其综合举例(D)
拉普拉斯变换
在半平面 Re s > C 上一定存在.此时右端的积分绝对 收敛而且一致收敛.并且在此半平面内 F s 为解析 函数
1.3 一些常用函数的拉普拉斯变换
例1 求单位脉冲函数 t 的拉氏变换
解
ℒ (t ) 0 (t ) e st dt 1
t 1
所以
f t 1 et
s s s5 例14 已知 F s 求 f (t ) s 3 2 s s s5 5 2 解 F s s s 1 s s
3 2
所以
f t t t t 5
求 f (t ) s 2 9 2 s 2 2s 5 1 3 解 F s 2 2 2 2 2 3 s 2 9 s 2 3 s 2 3
0
我们称上式为函数
f (t ) 的拉普拉斯变换式 ,记做
F ( s ) ℒ f (t ) F ( s) 叫做 f (t ) 的拉氏变换,象函数.
f (t ) 叫做 F ( s ) 的拉氏逆变换,象原函数, f (t ) = ℒ
1
F ( s)
1.2 拉普拉斯变换存在定理
若函数 f (t ) 满足下列条件 Ⅰ 在 t 0 的任一有限区间上连续或分段连续,
3.1 利用拉普拉斯变换表和性质求拉普拉斯逆 变换 一些常用函数的拉氏变换
(t ) 1
1 e sk
kt
1 u (t ) s
tn n! s n 1
k sin kt 2 s k2
s cos kt 2 s k2
拉氏逆变换的性质 1 ℒ F 1 (s) F 2 (s) f1 (t ) f 2 (t )
9.3拉普拉斯逆变换
步骤 (1) 将微分方程(组)化为象函数的代数方程(组)； (2) 求解代数方程得到象函数；
(3) 求 Laplace 逆变换得到微分方程(组)的解。
微分方程(组)
Laplace
得到象函数 求 解
Laplace
正变换
逆变换
象函数的 代数方程(组)
微分方程(组) 的解
P218 例9.6
解 (1) 令 Y ( s )
由于真分式总能进行部分分式分解，因此，利用查表法
很容易得到象原函数。
(真分式的部分分式分解)
此外，还可以利用卷积定理来求象原函数。
二、求 Laplace 逆变换的方法
2. 查表法 几个常用的 Laplace 逆变换的性质
二、求 Laplace 逆变换的方法
2. 查表法 几个常用函数的 Laplace 逆变换
P227 ( 9.16 )式
定义 称 (B) 式为反演积分公式。 注 反演积分公式中的积分路径是 s 平面上的一条直线 Re s ,
c
j
该直线处于 F ( s ) 的存在域中。
j
二、求 Laplace 逆变换的方法
1. 留数法 利用留数计算反演积分。 定理 设函数 F ( s ) 除在半平面 Re s c 内有有限个孤立奇点
P227 定理 9.2
s1 , s2 , sn 外是解析的，且当 s 时，F ( s ) 0 , 则
1 f (t ) 2π j
n
j
j
F ( s ) e st d s
Res [ F ( s ) e s t , sk ] , (t 0) .
k 1
证明 (略)
x(-t+3)的拉普拉斯变换
一、介绍拉普拉斯变换是一种用来分析和处理连续时间信号的数学工具。
它在控制理论、信号处理和电路分析等领域有着广泛的应用。
本文将围绕着表达式x(-t+3)的拉普拉斯变换展开讨论，探讨其在实际问题中的应用。
二、x(-t+3)的拉普拉斯变换拉普拉斯变换是一种用于将连续时间信号转换为复频域的数学工具。
对于表达式x(-t+3)，它的拉普拉斯变换可以通过以下步骤来求解。
1. 根据拉普拉斯变换的定义，我们需要将表达式x(-t+3)乘以e^(-st)，其中s为复变量。
这样得到的新表达式为x(t)e^(-3s)e^(-st)。
2. 我们需要对新表达式进行积分运算。
将x(t)e^(-3s)e^(-st)关于t进行积分，得到积分表达式∫x(t)e^(-3s)e^(-st)dt。
3. 对积分表达式进行求解，得到x(-t+3)的拉普拉斯变换。
三、应用举例x(-t+3)的拉普拉斯变换在实际问题中有着重要的应用。
以下举例说明其在控制理论和信号处理中的应用。
1. 控制理论在控制系统中，经常需要对输入信号进行变换和处理。
对于一个以时间t为自变量的输入信号x(t)，我们希望将其延迟3个时间单位后输入系统中。
这时就需要用到x(-t+3)的拉普拉斯变换。
通过对输入信号进行拉普拉斯变换，可以方便地对系统的动态特性进行分析和控制。
2. 信号处理在信号处理中，经常需要对信号进行时移和频率变换。
对于表达式x(-t+3)，其拉普拉斯变换可以帮助我们分析信号在频域中的特性。
可以通过变换后的频域表达式来设计滤波器、降噪和提取信号特征等。
四、结论本文围绕着表达式x(-t+3)的拉普拉斯变换展开讨论，介绍了其求解步骤和在控制理论和信号处理中的应用。
拉普拉斯变换作为一种重要的数学工具，对于分析和处理连续时间信号有着重要的意义，希望本文的内容对读者有所启发和帮助。
一、引言拉普拉斯变换是一种在工程和科学领域中被广泛应用的数学工具，它能够将时域中的函数变换到复频域中，为我们探索和分析系统的动态特性提供了有力的工具。
拉普拉斯变换在电路中的应用
拉普拉斯变换在电路中的应用10071051朱海云 应用拉普拉斯变换求解线性电路的方法称为运算法。
运算法的思想是：首先找出电压、电流的像函数表示式，而后找出R、L、C 单个元件的电压电流关系的像函数表示式，以及基尔霍夫定律的像函数表示式，得到用像函数和运算阻抗表示的运算电路图，列出复频域的代数方程，最后求解出电路变量的象函数形式，通过拉普拉斯反变换，得到所求电路变量的时域形式。
显然运算法与相量法的基本思想类似，因此，用相量法分析计算正弦稳态电路的那些方法和定理在形式上均可用于运算法。
1.电路定律的运算形式 基尔霍夫定律的时域表示： 把时间函数变换为对应的象函数： 得基尔霍夫定律的运算形式：2.电路元件的运算形式 根据元件电压、电流的时域关系，可以推导出各元件电压电流关系的运算形式。
图1（a）1)电阻R的运算形式 图1(a)所示电阻元件的电压电流关系为：u =Ri ，两边取拉普拉斯变换，得电阻元件VCR 的运算形式： 或 根据上式得电阻R 的运算电路如图（b ）所示。
图1（b ）图2（a）图2（b）2)电感L 的运算形式 图2(a)所示电感元件的电压电流关系为 两边取拉普拉斯变换并根据拉氏变换的微分性质，得电感元件VCR 的运算形式： 或 根据上式得电感L 的运算电路如图(b)和图(c)所示。
图中表示附加电压源的电压，表示附加电流源的电流。
式中图2（c ）分别称为电感的运算阻抗和运算导纳。
图3（a）图3（b）3)电容C 的运算形式 图3(a)所示电容元件的电压电流关系为： 两边取拉普拉斯变换并根据拉氏变换的微分性质，得电容元件VCR 的运算形式： 或 根据上式得电容C 的运算电路如图(b)和图(c)所示。
图中表示附加电流源的电流，表示附加电压源的电压。
式中分别为电容的运算阻抗和运算导纳。
图3（c）4)耦合电感的运算形式 图4（a ）所示耦合电感的电压电流关系为： 图4（a ） 两边取拉普拉斯变换，得耦合电感VCR的运算形式： 根据上式得耦合电感的运算电路如图(b)所示。
拉氏变换及应用
§2-3拉普拉斯变换及其应用时域的函数可以通过线性变换的方法在变换域中表示，变换域的表示有时更为简捷、方便。
例如控制理论中常用的拉普拉斯变换，简称拉氏变换，就是其中的一种。
一、拉氏变换的定义已知时域函数，如果满足相应的收敛条件，可以定义其拉氏变换为(2-45)式中，称为原函数，称为象函数，变量为复变量，表示为(2-46)因为是复自变量的函数，所以是复变函数。
有时，拉氏变换还经常写为(2-47)拉氏变换有其逆运算，称为拉氏反变换，表示为(2-48)上式为复变函数积分，积分围线为由到的闭曲线。
二、常用信号的拉氏变换系统分析中常用的时域信号有脉冲信号、阶跃信号、正弦信号等。
现复习一些基本时域信号拉氏变换的求取。
(1)单位脉冲信号理想单位脉冲信号的数学表达式为(2-49)且(2-50)所以(2-51)说明：单位脉冲函数可以通过极限方法得到。
设单个方波脉冲如图2-13所示，脉冲的宽度为，脉冲的高度为，面积为1。
当保持面积不变，方波脉冲的宽度趋于无穷小时，高度趋于无穷大，单个方波脉冲演变成理想的单位脉冲函数。
在坐标图上经常将单位脉冲函数表示成单位高度的带有箭头的线段。
由单位脉冲函数的定义可知，其面积积分的上下限是从到的。
因此在求它的拉氏变换时，拉氏变换的积分下限也必须是。
由此，特别指明拉氏变换定义式中的积分下限是,是有实际意义的。
所以，关于拉氏变换的积分下限根据应用的实际情况有，，三种情况。
为不丢掉信号中位于处可能存在的脉冲函数，积分下限应该为。
(2)单位阶跃信号单位阶跃信号的数学表示为(2-52)又经常写为(2-53)由拉氏变换的定义式，求得拉氏变换为(2-54)因为阶跃信号的导数在处有脉冲函数存在，所以单位阶跃信号的拉氏变换，其积分下限规定为。
(3)单位斜坡信号单位斜坡信号的数学表示为(2-55)图2-15单位斜坡信号另外，为了表示信号的起始时刻，有时也经常写为(2-56)为了得到单位斜坡信号的拉氏变换，利用分部积分公式得(2-57)(4)指数信号指数信号的数学表示为(2-58)拉氏变换为(2-59)(5)正弦、余弦信号正弦、余弦信号的拉氏变换可以利用指数信号的拉氏变换求得。
第十五章 拉普拉斯变换
£[1] 1 , ( p 0) p
例2 求指数函数f (t) eat , (t 0, a为常数)的拉氏变换.
解 由式(27 1)知 £[eat ] eate ptdt e dt ( pa)t
0
0
同上例,这个积分在p a时收敛于 1 ,即 pa
£[eat ] 1 , ( p a) pa
解 £[sin t] sin te ptdt.] 0 用分部积分法可得sin te pt的一个原函数为 1 e pt ( p sin t p2 2
cost),因此有
£[sin t]
p2
1
2
e
pt
(
p
sin
t
cos
t
)
0
p2 2
,(p
0)
用同样方法可求得 £[cost] p , ( p 0) p2 2
显然,对任何 0,有
(t)dt
0
(t)dt
(t)dt (t)dt
0
1 dt 1
0
于是, 按 (t)函数的定义以及广泛意义积分运算与求极限运算
的可交换次序性,得
0
(t)dt
lim
0
(t)dt
lim
0
(t)dt 1
此积分的物理意义为:在t 0时刻出现宽度无限小,幅度无限
pa
pa
故£[shat] a , ( p | a |);类似的有, £[chat] p , ( p | a |)
p2 a2
p2 a2
性质2(位移性质) 设£[ f (t)] F( p),则有 £[eat f (t)] F( p a)
证明 由式(27-1)知
£[eat f (t)] eat f (t)e ptdt
教学课件：第二章拉普拉斯变换及其应用
在信号处理中，拉普拉斯变换可以用于分析信号的频域特性，例如傅里 叶变换和Z变换等。
03
电路分析
在电路分析中，拉普拉斯变换可以用于分析线性时不变电路的响应，例
如求解一阶和二阶电路的零状态响应。
02 拉普拉斯变换的基本理论
拉普拉斯变换的公式和定理
拉普拉斯变换的定义
对于所有实数$s$，定义函数$f(t)$的拉普拉斯变换为$int_{0}^{infty}f(t)e^{-st}dt$。
拉普拉斯变换的线性性质
如果$f(t)$和$g(t)$的拉普拉斯变换存在，那么对于任意实数$a$和$b$，$(af(t)+bg(t))$的 拉普拉斯变换等于$aF(s)+bG(s)$，其中$F(s)$和$G(s)$分别是$f(t)$和$g(t)$的拉普拉斯变 换。
拉普拉斯变换的延迟性质
如果$f(t)$的拉普拉斯变换存在，那么$f(t-a)$的拉普拉斯变换等于$e^{-as}F(s)$，其中 $F(s)$是$f(t)$的拉普拉斯变换。
拉普拉斯变换的公式为：F(s) = ∫f(t)e^(-st) dt (s为复数，t为 实数)。
拉普拉斯变换的性质
线性性质
如果c1和c2是常数，f1(t)和f2(t) 是任意函数，那么c1f1(t) + c2f2(t)的拉普拉斯变换等于 c1F1(s) + c2F2(s)。
时移性质
如果f(t)的拉普拉斯变换为F(s)， 那么f(at-b)的拉普拉斯变换为 a^(-b)F(s/a)。
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感谢您的观看
根轨迹的应用
03
根轨迹分析在控制系统分析和设计中具有重要应用，通过根轨
迹可以判断系统的稳定性、分析系统的性能指标等。
拉普拉斯变换的应用及综合举例(D)
(2) 求 Laplace 逆变换，得
x(t ) 3 2
e 2t ,
t
y(t )
1 2
e
t
1 2
t
2
3 2
.
14
§9.4 Laplace 变换的应用及综合举例 第 九 章
P232 例9.24
(跳过?)
拉 解 (1) 由于 f ( t ) sin t t f ( x ) sin( t x ) d x , 0 普 拉 因此原方程为 f ( t ) a t f ( t ) sin t . 斯 变 (2) 令 F ( s ) [ f ( t ) ] , 在方程两边取 Laplace 变换得 换
§9.4 Laplace 变换的应用及综合举例 第 九 章 拉 普 拉 斯 变 换
§9.4 Laplace 变换的应用及综合举例
一、求解常微分方程(组) 二、综合举例 *三、利用 Matlab 实现 Laplace 变换
1
§9.4 Laplace 变换的应用及综合举例 第 一、求解常微分方程(组) 九 (n) n n1 n2 (n1) [ f (t ) ] s F ( s) s f (0) s f ( 0 ) f (0) . 章 工具 拉 步骤 (1) 将微分方程(组)化为象函数的代数方程(组)； 普 (2) 求解代数方程得到象函数； 拉 斯 (3) 求 Laplace 逆变换得到微分方程(组)的解。 变 换 得到象函数 微分方程(组) 解 Laplace Laplace 求
求解得 X ( s )
,
Y ( s)
1 s( s 1)
2
.
8
§9.4 Laplace 变换的应用及综合举例 第 九 章 拉 普 解 (1) 令 X ( s ) [ x ( t ) ] , Y ( s ) [ y ( t ) ] , 拉 斯 1 1 2s 1 , , 2 求解得 X ( s ) 2 变 2 2 s ( s 1) s ( s 1) 换
拉普拉斯变换及其应用
第二章 拉普拉斯变换及其应用
2.3
拉氏反变换
① A(s)=0无重根
第二章 拉普拉斯变换及其应用
2.3
拉氏反变换
② A(s)=0有重根
第二章 拉普拉斯变换及其应用
2.3
拉氏反变换
② A(s)=0有重根
第二章 拉普拉斯变换及其应用
2.4
拉氏变换应用举例
例：求典型一阶系统的单位阶跃响应
第二章 拉普拉斯变换及其应用
4 积分定理
上式表明，在初始条件为零的前提下，原函数的n重积分的拉氏式等于其象函 数除以 。
第二章 拉普拉斯变换及其应用
2.2 拉氏变换的运算定理
在应用拉氏变换时，常需借用拉氏变换运算定理，叙述如下：
5 位移定理
上式表明， 即可，
第二章 拉普拉斯变换及其应用
2.2 拉氏变换的运算定理
在应用拉氏变换时，常需借用拉氏变换运算定理，叙述如下：
6 延迟定理
第二章 拉普拉斯变换及其应用
2.2 拉氏变换的运算定理
在应用拉氏变换时，常需借用拉氏变换运算定理，叙述如下：
6 延迟定理
第二章 拉普拉斯变换及其应用
2.2 拉氏变换的运算定理
在应用拉氏变换时，常需借用拉氏变换运算定理，叙述如下：
7 相似定理
第二章 拉普拉斯变换及其应用
2.2 拉氏变换的运算定理
拉氏变换是经典控制理论的数学基础。
第二章 拉普拉斯变换及其应用
2.1 拉氏变换的概念
第二章 拉普拉斯变换及其应用
2.1 拉氏变换的概念
具体实例如下：
第二章 拉普拉斯变换及其应用
2.1 拉氏变换的概念
例：求单位阶跃函数（Unit Step Function）1(t)的象函数。
第2章拉普拉斯变换及其应用
(式1)
(式2) （式3）
2）将式2分解为部分分式：
3）用待定系数法可求得A=1，B=-T，代入式3，得
（式4） 4）对式4进行拉氏反变换有： （式5）
惯性环节单位阶跃响应曲线
小
结
st F ( S ) L f (t ) dt (1) 拉氏变换定义式： 0 f (t )e
（2）常用典型输入信号的拉氏式
s2 c c 1 2 (s 1)(s 3) s 1 s 3
c1 lim (s 1)
s 1
s2 1 2 1 (s 1)(s 3) 1 3 2
c 2 lim (s 3)
s 3
s2 3 2 1 (s 1)(s 3) 3 1 2
12 12 F(s) s 1 s 3
f (t) 1 t 1 3t e e 2 2
2.4用拉氏变换方法解微分方程
应用拉氏变换求解微分方程的一般步骤: 微分方程 求待定系数 系统微分方程
y '' (t ) a1. y ' (t ) a2 y (t ) 1(t ) ' y ( 0 ) y (0) 0
1 (t )
1 0 t
单位阶跃函数定义为：
令：
1(t ) lim 1 (t )
0
有:
由拉氏变换的定义得1(t)的象函数为:
【2】求单位脉冲函数（Unit Pluse Function)
的象函数
单位脉冲函数
定义为：
在自动控制系统中，单位脉冲函数相当于一 个瞬时的扰动信号，拉氏变换为：
0(t 0) f (t ) sin t ( t 0 )
数学物理方法第7章拉普拉斯变换-2018-45页
1
(t )
18
(3) 利用位移定理
p L[cos t ] 2 p 2
L[sin t ]
p2 2
L[e t f (t )] f ( p )
p t ] e cos t 2 2 ( p )
L1 [
L1 [
t ] e sin t 2 2 ( p )
例1： RL 电路的方程 L
d j Rj E0 sin t , dt
j (0) 0
Lpj Rj E0
p
2 2
,
E0 1 j L p R / L p2 2
E0 t ( R / L)( t ) E0 ( R / L) t t ( R / L) j(t ) e sin d e e sin d L 0 L 0
(4) 相似定理
1 L[ ( t )] 0 p 1 p L[ f (at )] f ( ) (a>0), a a L[ ( )d ]
t
at y
a<0 ?
f (at )e pt dt ,
0
(5) 位移定理 L[et f (t )] f ( p )
f ( p)
0
f ( t )e pt dt
收敛横标 0 在半平面Re(p)=σ ＞σ 0
上一定存在，此时上式右端的积分绝对收敛而且一致 收敛，同时在此半平面内，f(p)是解析函数。
在间断点处左右极限都存在的是第一类间断点，包括两种，左右极 限相等是可去间断点，左右极限不等是跳跃间断点，否则为第二类 10 间断点。
Arg( p)
拉普拉斯(Laplace)变换及其应用
2s 1
1
1
1
t
2.4 应用拉氏变换求解微分方程
S (t=0)
R + UC -
+
Ｕs
-
C
这是一个一阶ＲＣ电路，我们取 电容两端的电压为输出电压，设 开关S闭合前，电路处于零初始状 态，即： uc (0 ) 0 在t=0时，开关S闭合，电路 接入直流电源Us。则根据KVL 定理，有：
u R uc U s
t 0
f ( ) d
p L( p)
1
0
性质3（相似性质） L
pt 性质4（延迟性质） L f ( t t 0 ) e L ( p )
p f ( a t ) L a a 1
性质5（位移性质） L
e
t
f ( t ) L ( p )
st 0
【例2-1】 求单位阶跃函数(Unit Step Function) 1(t)的象函数。
在自动控制原理中，单位阶跃函数是一个突加作用信 号，相当一个开关的闭合(或断开)。
在求它的象函数前，首先应给出单位阶跃函数的定义 式。
在自动控制系统中，单位阶跃函数相当一个突加作 用信号。它的拉氏式由定义式有：
F (t ) L[2 e
at
at
]
2 s
1 sa
3s 2a s ( s a)
例2-2 求
2s 1 s ( s 1)
的原函数。
解：首先用部分分式展开法，将所给的象函数展开：
2s 1 s( s 1) A s B s 1 A s B s 1 ( A B) s A s( s 1)
拉普拉斯变换及其应用
1.叠加定理 两个函数代数和的拉氏变换等于两个函数拉氏变换的 代数和。即
2.比例定理 K倍原函数的拉氏变换等于原函数拉氏变换的K倍。即
思考 （1）阶跃函数 K· 1(t)的拉氏变换式为多少？ （2）脉冲函数 K· δ(t)的拉氏变换式为多少？
3.微分定理 在零初始条件下， 即
则
上式表明，在初始条件为零的前提下，原函数的n阶导数的 拉氏式等于其象函数乘以sn。
● 系统的微分方程 ● 系统的传递函数
休息一下
4.积分定理 在零初始条件下， 即
则
上式表明，在初始条件为零的前提下，原函数的n重积分的 拉氏式等于其象函数除以sn。
5.延迟定理（也叫位移定理） 当原函数f(t)延迟时间τ，成为f(t-τ)时，它的拉Байду номын сангаас 式为
上式表明，当原函数f(t)延迟τ，即成为f(t-τ)时，相应 的象函数F(s)应乘以因子e-sτ。
图2-3
典型一阶系统的单位阶跃响应曲线
本次课小结：
● 了解并理解拉氏变换和拉氏反变换的定义、性质。 会查拉氏变换表。 ● 能够利用MATLAB软件求解已知函数的拉氏变换式、 拉氏反变换式。 ● 能够利用拉氏变换和拉氏反变换求解简单的微分方 程。
第三次作业：
教材习题2-1、2-2。
下次课展望：
f t t e
2 2t
sin t
解法一：利用手算。 解法二：利用MATLAB软件。
教材表2-1是常用函数的拉氏变换表，要求会查表。
第二节
拉氏变换的运算定理
有九个定理（或者说九个性质），教材介绍了5个。要 熟悉这5个定理的结论与用途。 1、线性定理（包括叠加定理、比例定理） 2、位移定理（也叫延迟定理） 3、相似定理 4、微分定理 5、积分定理 6、周期函数的拉氏变换 7、初值定理 8、终值定理 9、卷积定理
拉普拉斯变换基本应用
拉普拉斯变换的应用-拉普拉斯变换的应用拉普拉斯变换在许多领域中都有着重要的作用，在工程学上应用拉普拉斯变换解常变量齐次微分方程，可以将微分方程化为代数方程，使问题得以解决。
在工程学上，拉普拉斯变换的重大意义在于：将一个信号从时域上，转换为复频域（s域）上来表示；在线性系统，控制自动化上都有广泛的应用。
在计算机图像处理方面，拉普拉斯变换在Matlab 上的拉普拉斯算子在图像处理上有很强的应用性，例如：在图像的边缘检测、对图像进行拉普拉斯锐化、对图像进行滤波等。
二•拉普拉斯变换在图像处理方面的应用计算机进行图像处理一般有两个目的：（1）产生更适合人观察和识别的图像。
⑵ 希望能由计算机自动识别和理解图像。
数字图像的边缘检测是图像分害IJ、目标区域的识别、区域形状提取等图像分析领域的重要基础，图像处理和分析的第一步往往就是边缘检测。
物体的边缘是以图像的局部特征不连续的形式出现的，也就是指图像局部亮度变化最显著的部分，例如灰度值的突变、颜色的突变、纹理结构的突变等，同时物体的边缘也是不同区域的分界处。
图像边缘有方向和幅度两个特性，通常沿边缘的走向灰度变化平缓，垂直于边缘走向的像素灰度变化剧烈。
根据灰度变化的特点，图像边缘可分为阶跃型、房顶型和凸缘型。
首先要研究图像边缘检测，就要先研究图像去噪和图像锐化。
前者是为了得到飞更真实的图像，排除外界的干扰，后者则是为我们的边缘检测提供图像特征更加明显的图片，即加大图像特征。
早期的经典算法有边缘算子法、曲面拟合法、模版匹配法等。
经典的边缘检测算法是对原始图像中像素的某小领域米构造边缘检测算子，常用的边缘检测算子有Roberts算子、Sobel算子、Laplacian算子、Canny 算子等。
三•应用步骤用拉普拉斯变换进行数字图像处理，需要借用计算机上的Matlab软件去进行程序编码和运行来实现。
下边是应用步骤:(一)、选好需要进行处理的照片，用拉普拉斯算子实现数字图像的边缘检测。
拉普拉斯变换讲解
拉普拉斯变换拉普拉斯(Laplace)变换是分析和求解常系数线性微分方程的一种简便的方法，而且在自动控制系统的分析和综合中也起着重要的作用．本章将扼要地介绍拉普拉斯变换（以下简称拉氏变换）的基本概念、主要性质、逆变换以及它在解常系数线性微分方程中的应用．1拉氏变换的基本概念在代数中，直接计算是很复杂的，而引用对数后，可先把上式变换为，然后通过查常用对数表和反对数表，就可算得原来要求的数．这是一种把复杂运算转化为简单运算的做法，而拉氏变换则是另一种化繁为简的做法．1.1 拉氏变换的基本概念定义 设函数当时有定义，若广义积分在的某一区域内收敛，则此积分就确定了一个参量为的函数，记作，即（7-1）称（1-1）式为函数的拉氏变换式，用记号表示．函数称为的拉氏变换(Laplace) (或称为的象函数)．函数称为的拉氏逆变换（或称为象原函数），记作，即．关于拉氏变换的定义，在这里做两点说明：(1) 在定义中，只要求在时有定义．为了研究拉氏变换性质的方便，以后总假定在时，．（2）在较为深入的讨论中，拉氏变换式中的参数是在复数范围内取值．为了方便起见，本章我们把作为实数来讨论，这并不影响对拉氏变换性质的研究和应用．（3）拉氏变换是将给定的函数通过广义积分转换成一个新的函数，它是一种积分变换．一般来说，在科学技术中遇到的函数，它的拉氏变换总是存在的．例7-1 求一次函数（为常数）的拉氏变换．解．1.2 单位脉冲函数及其拉氏变换在研究线性电路在脉冲电动势作用后所产生的电流时，要涉及到我们要介绍的脉冲函数，在原来电流为零的电路中，某一瞬时(设为)进入一单位电量的脉冲，现要确定电路上的电流，以表示上述电路中的电量，则由于电流强度是电量对时间的变化率，即328.957812028.6⨯⨯=N 53)164.1(⨯164.1lg 53)20lg 28.9lg 5781(lg 3128.6lg lg ++-+=N N )(t f 0≥t dte tf pt ⎰∞+-0)(P P )(P F dte tf P F pt ⎰∞+-=)()()(t f )()]([P F t f L =)(P F )(t f )(t f )(t f )(P F )(P F )()]([1t f P F L =-)]([)(1P F L t f -=)(t f 0≥t 0<t 0)(=t f P P at t f =)(a t ，0≥⎰⎰⎰∞+-∞+-∞+-∞+-+-=-==00][)(][dte pa e p at etd pa dt ateat L pt pt ptpt2020][0p a e p a dt e papt pt =-=+=∞+-∞+-⎰)0(>p 0=t )(t i )(t Q ⎩⎨⎧=≠=.0,1,0,0)(t t t Q，所以，当时，；当时，．上式说明，在通常意义下的函数类中找不到一个函数能够用来表示上述电路的电流强度．为此，引进一个新的函数，这个函数称为狄拉克函数．定义设，当0时，的极限称为狄拉克（Dirac ）函数，简称为函数．当时，的值为；当时，的值为无穷大，即．和的图形如图7-1和图7-2所示．显然，对任何，有，所以．工程技术中，常将函数称为单位脉冲函数，有些工程书上，将函数用一个长度等于的有向线段来表示（如图7-2所示），这个线段的长度表示函数的积分，叫做函数的强度．例1-2 求的拉氏变换．解 根据拉氏变换的定义，有，即．例1-3 求单位阶梯函数的拉氏变换．解，．t t Q t t Q dt t dQ t i t ∆∆∆)()(lim )()(0-+==→0≠t 0)(=t i 0=t ∞=-=-+=→→)1(lim )0()0(lim)0(00t t Q t Q i t t ∆∆∆∆∆⎪⎩⎪⎨⎧>≤≤<=εεεδεt t t t ，，，00100)(ε→)(t εδ)(lim )(0t t εεδδ→=-δ0≠t )(t δ00=t )(t δ⎩⎨⎧=∞≠=0,0,0)(t t t δ)(t εδ)(t δ0>ε11)(0==⎰⎰∞+∞-dt dt t εεεδ1)(=⎰∞+∞-dt t δ-δ-δ1-δ-δ)(t δdte dt edt edt et t L pt ptptpt-→∞+-→-→∞+-⎰⎰⎰⎰=⋅+==εεεεεεεεδδ01lim0lim)1lim()()]([11lim 1)()1(lim 11lim 1][1lim 00000==''-=-=-=-→-→-→-→εεεεεεεεεεεp p p pt pe p e p e p p e 1)]([=t L δ⎩⎨⎧≥<=0,10,0)(t t t u p e p dt e dt et u t u L pt pt pt1]1[1)()]([00=-=⋅==∞+-∞+-∞+-⎰⎰)0(>p例1-4求指数函数（为常数）的拉氏变换． 解 ，即．类似可得；．习题1–1求1-4题中函数的拉氏变换1．．2．．3．4．是常数）．1.2 拉氏变换的性质拉氏变换有以下几个主要性质，利用这些性质，可以求一些较为复杂的函数的拉氏变换． 性质1 (线性性质) 若 ，是常数，且，，则． （7-2）证明．例7-5 求下列函数的拉氏变换：（1）； （2）．解（1）．（2）． 性质2（平移性质） 若，则（为常数）． （7-3）证明．位移性质表明：象原函数乘以等于其象函数左右平移个单位．ate tf =)(a dt e dt e e e L t a p ptat at ⎰⎰∞+--∞+-=⋅=0)(0][)(1a p a p >-=)(1][a p a p e L at >-=)0(][sin 22>+=p p t L ωωω)0(][cos 22>+=p p pt L ωωte tf 4)(-=2)(t t f =atte t f =)(ϕωϕω，()sin()(+=t t f 1a 2a )()]([11p F t f L =)()]([22p F t f L =)]([)]([)]()([22112211t f L a t f L a t f a t f a L +=+)()(2211p F a P F a +=dte tf a dt et f a dt et f a t f a t f a t f a L pt ptpt-∞+-∞+-∞+⎰⎰⎰+=+=+)()()]()([)]()([02211221102211)()()]([)]([22112211p F a p F a t f L a t f L a +=+=)1(1)(at e a t f --=t t t f cos sin )(=)(1}11{1]}[]1[{1]1[1)]1(1[a p p a p p a e L L a e L a e a L at at at +=+-=-=-=----412221]2sin 21[]cos [sin 222+=+⋅==p p t L t t L )()]([p F t f L =)()]([a p F t f e L at -=a ⎰⎰∞+--∞+--===)(0)()()()]([a p F dt e t f dt et f e t f e L t a p ptat atat e a例1-6 求 ，和． 解 因为，，，由位移性质即得性质3（滞后性质） 若，则． （7-4）证明=，在拉氏变换的定义说明中已指出，当时，．因此，对于函数，当（即）时，，所以上式右端的第一个积分为，对于第二个积分，令，则滞后性质指出：象函数乘以等于其象原函数的图形沿轴向右平移个单位（如图1-3所示）．由于函数是当时才有非零数值．故与相比，在时间上滞后了一个值，正是这个道理，我们才称它为滞后性质．在实际应用中，为了突出“滞后”这一特点，常在这个函数上再乘，所以滞后性质也表示为．例1-7 求．解 因为，由滞后性质得． 例1-8 求．解 因为，所以．例1-9 求下列函数的拉氏变换：（1） （2）解 （1）由图7-4容易看出，当时，的值是在的基础上加上了（），][at te L ]sin [t e L atω-]cos [t e L at ω-21][p t L =22][sin ωωω+=p t L 22][cos ωω+=p p t L 。
拉普拉斯变换及其应用(补充内容)
2
拉普拉斯变换的基本性质
证：
自动控制原理
Automatic Control Theory
d L [ f (t )] L f (t ) dt st d e f (t )dt 0 dt e st df (t )
0
f (t )e
st 0
3
拉普拉斯反变换
自动控制原理
Automatic Control Theory
根据极点的不同特点，部分分式分解法有以下两种情况： （1）A(s)=0且无重根 若A(s)=0且无重根，则F(s)可展开成n个简单的部分分式之 和，即 ki kn k1 k2 F s s p1 s p2 s pi s pn 系数可由右式求出：
自动控制原理
Automatic Control Theory
原函数 f (t ) 积分的拉氏变换为:
F (s) f (t )dt t 0 L [ f (t )dt] s s
2
拉普拉斯变换的基本性质
4.位移性质 设
L [ f (t )] F ( s)
自动控制原理
Automatic Control Theory
st 1 est dt ( 1 e )0 s s
[ (1 e
1
)]
1 s
(1 (1 s)) 1
即
L [d (t )] 1
9
常用函数的拉氏变换
(5)正弦函数
自动控制原理
Automatic Control Theory
f (t ) sin k t
f ( n1) (0) 0 时,
df (t ) L [ ] sF ( s ) dt d 2 f (t ) 2 L [ ] s F (s) 2 dt d n f (t ) n L [ ] s F ( s) n dt
拉氏变换及应用
a,b为常数
则他们的组合为
L [ a f 1 ( t ) b f 2 ( t )] a F1 ( s ) b F 2 ( s )
2、微分性质
L[ d f (t ) dt L[ d f (t ) dt
n 2 2 2 ] s F ( s ) 2 f (0 ) f (0 )
] sF ( s ) f (0 )
s1 t
i m 1
n
cie
si t
拉氏变换表如书中。 例
d y (t ) dt
2 2
2
d y (t ) dt
2 y (t ) (t )
y (0) y (0) 0
方程两端拉氏变换
带入初状态有
Y (s) s c1 1 2 j
1
2
2s 2 c2
m 1
c1 ( s s1 )
c m 1 s s m 1
cn s sn
系数如下
c m lim ( s s1 ) F ( s )
m s s1
c m 1 lim
[ ( s s1 ) ds
j m m
d [( s s1 ) F ( s )]
m
s s1
拉氏变换及应用
1、定义 如 f ( t ) e dt 其中 s j 为复变量存在 称为f(t)的拉普拉斯变换（简称拉氏变换） 记作F(s)= f ( t ) e dt 其中 s j F(s)=L[f(t)]称F(s)为f(t)的象函数，f(t) 为F(s)的原函数。 2、积分限问题 正常函数的积分下限为0但对于一些特殊函数的