2014届高考数学一轮复习精品学案：第10讲 空间中的平行关系
高三数学一轮复习 课时5 空间中的平行关系学案文
课时6 空间中的平行关系（课前自学案）重点处理的问题（预习存在的问题）：一、高考考纲要求1.了解直线和平面的位置关系；2.掌握直线和平面平行的判定定理和性质定理．3.了解平面和平面的位置关系；4.掌握平面和平面平行的判定定理和性质定理．二、基础知识梳理1.线面平行的判定定理：①文字语言表述：平面外一条直线，则该直线与此平面平行。
②符号语言表述：；错误！未找到引用源。
③作用：线线平行⇒线面平行2.面面平行的判定定理：①文字语言表述：一个平面内的与另一个平面平行，则这两个平面平行。
②符号语言表述：；错误！未找到引用源。
③作用：线面平行⇒面面平行3.线面平行的性质定理：①文字语言表述：一条直线与一个平面平行，则；②符号语言表述：；③作用：线面平行⇒线线平行4.面面平行的性质定理：①文字语言表述：如果两个平行平面同时和第三个平面相交，则；②符号语言表述：；错误！未找到引用源。
③作用：面面平行错误！未找到引用源。
线线平行5.面面平行性质的推论：①文字语言表述：两个平面平行，则；②符号语言表述：；错误！未找到引用源。
③作用：面面平行⇒线面平行三、课前自测1. 判断正错（1）若α内的两条相交直线分别平行于β内的两条直线，则α平行于β；（2）若α外一条直线l 与α内的一条直线平行，则l 和α平行；（3）平行于同一平面的两直线平行。
（4）一条直线与一平面平行，它就和这个平面内任一直线平行。
（5）与两相交平面的交线平行的直线，必平行于这两个相交平面。
（6）若两平行线中的一条平行于某个平面，则另一条也平行与这个平面 2．已知m 、n 是不重合的直线，α、β是不重合的平面，有下列命题 ①若m ⊂α，n∥α，则m∥n； ②若m∥α，m∥β，则α∥β； ③若α∩β=n ，m∥n，则m∥α且m∥β； 其中真命题的个数是（ ）A ．0B ．1C ．2D ．3课时6空间中的平行关系(课内探究案)典型例题【例1】如图所示，四面体ABCD 被一平面所截， 截面EFGH 为平行四边形.求证：GH CD //.跟进练习1 三棱柱111ABC A B C -中，过11AC 与点B 的平面α 交平面ABC 于直线L,试判定L 与11AC 的关系，并给出证明. 备课札记 学习笔记B FG HE A DCPDC BA考点二：线面平行问题【例2】如图在四棱锥ABCD P -中，ABCD 是平行四边形，N M ,分别是PC AB ,的中点，求证：MN // 平面PAD .跟进练习2正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，侧面对角线AB 1、BC 1上分别有两点E 、F ， 且B 1E =C 1F .求证：EF ∥平面ABCD .考点三：面面平行问题【典例3】 在正方体1111D C B A ABCD -中，P N M ,,分别为11111,,D C C B CC 的中点.求证：平面MNP // 平面BD A 1.备课札记 学习笔记D D AA C CB B1111A B 1D 1 C 1 A 1 D C BC 1B 1ACBA【变式3】如图所示，三棱柱111C B A ABC -，D 是BC 的中点，1D 是11C B 的中点，E 为1AC 的中点，求证：平面11BD A // 平面D AC 1.课堂检测1．下列命题中，可以判断平面α∥β的是（ ）①α，β分别过两条平行直线；②a ，b 为异面直线，α过a 平行b ，β过b 平行a.A ①B ②C ①②D 无 2. 设m ，n 是平面α 内的两条不同直线，1l ，2l 是平面β 内的两条相交直线，则α// β的一个充分而不必要条件是（ ）A.m // β 且1l //α B. m // 1l 且n // 2lC. m // β 且n // βD. m // β且n // l 23. 如图，S 是平行四边形ABCD 平面外一点，,M N 分别是,SA BD 上的点，且SM AM =NDBN。
高三数学一轮复习---高中数学人教A版必修2《空间中的平行关系》复习课教学设计
课题：《空间中的平行关系》复习课一、教学目标：1、知识与技能目标：通过复习三个平行的关系，使学生在《立体几何》的证明中能够正确运用定理证明三个平行，从而使学生重新认识学习立体几何的目的，明确立体几何研究的内容；使学生初步建立空间观念，会看空间图形的直观图；使学生知道立体几何研究问题的一般思想方法。
2、过程与方法目标：通过背定理、小组互相讨论等环节，使学生形成自主学习、语言表达等能力，以及相互协作的团队精神；通过对具体情形的分析，归纳得出一般规律，让学生具备初步归纳能力；借助图形，通过整体观察、直观感知，使学生形成积极主动、勇于探索的学习方式，完善思维结构，发展空间想象能力。
3、情感、态度、与价值观目标：在教学过程中培养学生创新意识和数学应用意识，提高学生学习数学的兴趣并注意在小组合作学习中培养学生的合作精神。
二、教学重点与难点：重点：培养空间想象能力，明确证明空间中的平行关系的一般思想方法，并会应用。
难点：在证明的过程中做辅助线或辅助平面。
三、教学方法：合作探究教学法、引导式教学法四、学情分析：1、由于这是复习课，学生已经系统学习了立体几何的知识，本节课就是让学生更深入地对空间中几何图形的平行位置和数量关系进行推理和计算；2、学生在学习过程中将会遇到一些问题：不能很好地使用直观图来表示立体图形、不能准确的做出辅助线、证明过程书写不规范等等。
五、教学过程：4. 如图，已知四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是平行四边形，E是棱PD的中点，F是线段CD上任意一点(不包括端点)，平面PBF与平面ACE交于直线GH. 求证：PB∥GH..AB DEBC EF =证明：BE//面α6.如图，在正方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，O 为底面ABCD 的中心，P 是DD 1的中点，设Q 是CC 1上的点，问：当点Q 在什么位置时，平面D 1BQ ∥平面PAO?检测题：如图，四棱锥P-ABCD的底面是边长为1的正方形，侧棱PA⊥底面ABCD，且PA=2，E是侧棱PA上的中点。
2014高考数学备考学案(文科)能力提升第53课 空间中的平行关系
第53课 空间中的平行关系1．（2012全国高考）已知正四棱柱1111ABCD A BC D -中 ，2AB =，1CC =E 为1CC 的中点，则直线1AC 与平面BED 的距离为（ ）A ．2 BCD ．1【答案】D【解析】连结BD AC ,交于点O ，连结OE ，∵E O ,是中点，∴1//AC OE ，∵OE ⊂平面BED ，1AC ⊄平面BED ，∴1AC ∥平面BED ，∴直线1AC 与平面BED 的距离等于点1C 到平面BED 的距离，等于点C 到平面BED 的距离，设点C 到平面BED 的距离为h ，则∵E BCD C EBD V V --=，∴1133BCD EBD S CE S h ∆∆⋅=⋅， ∴1122BC DC CE BD OE h ⋅⋅=⋅⋅，∴222h ⨯=⨯，∴1h =．2．（2011江西高考） 已知1α ，2α，3α是三个相互平行的平面，平面1α ，2α之间的距离为1d ，平面2α，3α之间的距离为2d ，直线l 与1α ，2α，3α分别相交于1P ，2P ，3P ，那么“3221P P P P =”是“21d d =”的（ ）A ．充分不必要条件B ． 必要不充分条件C ．充要条件D ． 既不充分也不必要条件【答案】CD 1O A B CD A 1B 1C 1E3．（2012东莞一模）如图，平行四边形ABCD 中，1=CD ， 60=∠BCD ，且CD BD ⊥，正方形ADEF和平面ABCD 垂直，H G ,是BE DF ,的中点．（1）求证：BD ⊥平面CDE ；（2）求证：GH ∥平面CDE ；（3）求三棱锥D CEF -的体积．【解析】（1）证明：平面ADEF ⊥平面ABCD ，交线为AD ，∵AD ED ⊥，∴ABCD ED 平面⊥，∴BD ED ⊥．又 CD BD ⊥，∴CDE BD 平面⊥．（2）证明：连接EA ，则G 是AE 的中点，∴EAB ∆中，AB GH //，又 CD AB //， ∴//GH CD ，∴//GH 平面CDE ．（3）设BCD Rt ∆中BC 边上的高为h ，依题意：3121221⋅⋅=⋅⋅h ， ∴23=h ． 即：点C 到平面DEF 的距离为23， ∴3323222131=⋅⋅⋅⋅==--DEF C CEF D V V ． F G EH A B C D3．（2012东城二模） 如图，矩形AMND 所在的平面与直角梯形MBCN 所在的平面互相垂直，MB ∥NC ,MN MB ⊥．（1）求证：平面AMB ∥平面DNC ；（2）若MC CB ⊥，求证BC AC ⊥.证明：（1）∵四边形AMND 是矩形，∴MA //DN ．∵MB //NC∴MA MB M =，DN NC N =，∴平面AMB //平面DNC ．（2）∵AMND 是矩形，∴AM MN ⊥.∵AMND MBCN ⊥平面平面，且AMND MBCN =MN 平面平面，∴AM MBCN ⊥平面.∵BC MBCN ⊂平面，∴AM BC ⊥.∵,MC BC MC AM M ⊥=，∴BC AMC ⊥平面.∵AC AMC ⊂平面，∴BC AC ⊥.M N A B C D4．（2012丰台二模）如图所示，四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是边长为2的菱形，Q 是棱PA 上的动点．（1）若Q 是PA 的中点，求证：PC //平面BDQ ；（2）若PB PD =，求证：BD CQ ⊥；（3）在（2）的条件下，若PA PC =，3PB =，60ABC ∠=，求四棱锥P ABCD -的体积．证明：（1）连结AC ，交BD 于O ,如图：∵ 底面ABCD 为菱形， ∴ O 为AC 中点．∵ Q 是PA 的中点，∴ OQ //PC ，∵OQ ⊂平面BDQ ，PC ⊄平面BDQ ，∴PC //平面BDQ ．（2）∵底面ABCD 为菱形，∴ AC BD ⊥，O 为BD 中点．∵ PB PD =，∴ PO BD ⊥．∵ AC PO O ⊥=， ∴ BD ⊥平面PAC ．∵CQ ⊂平面PAC ，∴ BD CQ ⊥．（3）∵ PA PC =，∴PAC ∆为等腰三角形 ．∵ O 为AC 中点，∴PO AC ⊥．由（2）知 PO BD ⊥，且AC BD O =，∴ PO ⊥平面ABCD ，即PO 为四棱锥P ABCD -的高．∵四边形是边长为2的菱形，且60ABC ∠=，∴BO =，∴PO =∴ 13P ABCD V -=⨯=P ABCD V -= C DB A PQ O C D B A P Q6．（2012辽宁高考) 如图，直三棱柱111ABC A B C - 中，90BAC ∠=，AB AC ==，11AA =，点,M N 分别为1A B 和11B C 的中点．(1)证明：MN ∥平面11A ACC ；(2)求三棱锥1A MNC -的体积．【解析】（1）连结1AB ，1AC ，∵在直三棱柱111ABC A B C - 中，四边形11ABB A 为平行四边形，∵M 为1A B 的中点，∴M 为1AB 中点． ∵N 为11B C 的中点，∴MN ∥1AC ，∵MN ⊄平面11A ACC ,1AC ⊂平面11A ACC ,∴MN ∥平面11A ACC ． (2)连结BN ，∵AB AC =,∴1111A B AC =, ∵N 为11B C 的中点，∴111A N B C ⊥,平面111A B C ⊥平面11B BCC ，平面111A B C 平面1111B BCC BC =, ∴1A N ⊥平面NBC ， ∵111112A NBC ==, ∴1112A MNC B MNC M NNC A NBC V V V V ----===111111(21)123626NBC S A N ∆=⨯⨯=⨯⨯⨯⨯=．A B CA 1B 1C 1M N A B C A 1B 1C 1M N。
【赢在高考】2014届高考数学第一轮复习配套课件：8.4 空间中的平行关系
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1.直线与平面的位置关系 直线 a 和平面 α 的位置关系有平行、 相交、 在平面内, 其中平行 与相交统称为直线在平面外. 2.直线与平面平行的判定与性质 判定 性质 图形 条件 a 与 α 无交点 a⊂α b⊄α b∥a b∥α a∥α, a⊂ β, α∩β=b a断或证明线面平行的常用方法有: 利用线面平行的定义( (1) 无 公共点);2)利用线面平行的判定定理(a⊄ α, α, ( b⊂ a∥b⇒ a∥α); 利 (3) 用面面平行的性质定理(α∥β, α⇒ a∥β); 利用面面平行的性质 a⊂ (4) (α∥β, β, a⊄ a∥α⇒ a∥β).
������������ 于是������������ ������������ ������������
=
������������ ������������ , ������������ 即 ������������
=
������������ , ������������
因此 MQ∥AD.又 AD∥BC, ∴ MQ∥BC.故 MQ∥平面 BCE. 又 PM∩MQ=M, BE∩BC=B, ∴ 平面 PMQ∥平面 BCE. ∵ PQ⊂ 平面 PMQ, PQ∥平面 BCE. ∴
故 FG∥B1C1∥BC. 又 EG∩FG=G, AB∩BC=B, ∴ 平面 EFG∥平面 ABCD. ∵ EF⊂ 平面 EFG, EF∥平面 ABCD. ∴
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T 题型二面面平行的判定与性质
例 2 如图所示, 正方体 ABCD-A1B1C1D1 的棱长为 a, 求证: 平面 AB1D1∥平面 C1BD.
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1.如图所示, 正方体 ABCD-A1B1C1D1 中, 侧面对角线 AB1, 1 上 BC 分别有两点 E, 且 B1E=C1F, F 求证: EF∥平面 ABCD.
(广东专用)2014高考数学第一轮复习用书 备考学案 第53课 空间中的平行关系课件 文
（1）求证： BF //平面 ACGD ； （2）求三棱锥 A BCF 的体积．
A B
C
D E F
G
【解析】 （1）取 DG 的中点 M ，连接 AM , FM ，
1 ∵ EF DG ，∴ EF DM ， 2
∵ EF ∥ DG ，∴ EF ∥ DM ，
【答案】D
【变式】 （2012 四川高考）下列命题正确的是（
）
A．若两条直线和同一个平面所成的角相等，则这两条直线平行 B．若一个平面内有三个点到另一个平面的距离相等，则这两个平面平行 C．若一条直线平行于两个相交平面，则这条直线与这两个平面的交线平行 D．若两个平面都垂直于第三个平面，则这两个平面平行
【答案】B
）
2． （2012 西城二模 ）设 m ， n 是不同的直线， ， 是不同的平面， 且 m, n ． 则“ ∥ ”是“ m ∥ 且 n ∥ ”的（ A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 ）
【答案】A
典例剖析
考点1 平行的基本问题
BE 平面 ABC ，∴ CC1 BE ， ∵ E 是 AC 的中点，∴ BE AC ， ∵ AC C1C C ，∴ BE 平面 ECC1 ， EC1 平面 ECC1 ，∴ BE EC1 ． 1 1 ∵ VA BEC1 VC1 ABE ， SBEC1 h SABE CC1 ， 3 3 1 1 ∴ BE EC1 h BE AE CC1 ， 2 2 5 5 AE CC1 ∴ h 2 1， 5 EC1 2 ∴点 A 到平面 BEC1 间的距离为 1 ．
归纳反思
1．证明直线和平面平行主要有两种方法： ①证明直线和这个平面内的一条直线相互平行， 即：线线平行 线面平行； ②证明经过这条直线的一个平面和这个平面平行， 即：面面平行 线面平行． 2．证明平面和平面平行的关键：在一个已知平面内“找出” 两条相交直线与另一平面平行．
高三一轮复习立体几何----空间中的平行关系讲义
高三数学（文）必修 2 空间中的平行关系使用时间：编制人：刘宝卉校正人：刘宝卉
一．考大纲求：(见上节教案 )
二．学习目标：掌握线线、线面、面面平行的证明方法，灵巧运用定理实现线线、线面、
面面平行的互相转变。
三．考点：线面平行、面面平行的判断和性质
四．自主学习：线面、面面平行的判断与性质
（一）知识梳理
（二）基础自测：
备课组长：年部教务主任：评论：五．典例剖析：
变式 1：（ 1）设P, Q是单位正方体AC 的面 AAD D 、面 A B C D 的中心，以下列图，
1 1 1 1 1 1 1
求证： PQ // 平面AAB B。
1 1
高三数学（文）必修 2 空间中的平行关系使用时间：编制人：刘宝卉校正人：刘宝卉
变式 3：如图，四边形ABCD 为矩形， AD⊥平面 ABE， AE＝ EB ＝ BC＝ 2，F为CE上的点，且 BF ⊥平面 ACE ．（1）求证： AE ⊥ BE；（2）求三棱锥D－ AEC 的体积；（3）设M在线段AB上，且知足AM ＝ 2MB ，试在线段CE 上确立一点N，使得 MN ∥平面DAE.
备课组长：年部教务主任：评论：六．讲堂检测：
高三数学（文）必修 2 空间中的平行关系使用时间：编制人：刘宝卉校正人：刘宝卉。
空间里的平行关系数学教案
空间里的平行关系数学教案第一章：引言1.1 教学目标让学生理解平面的基本概念引导学生观察和识别日常生活中的平行关系1.2 教学内容平面及其特性平行关系的定义与性质1.3 教学活动引入平面图形，引导学生观察和描述平面的特性通过实际生活中的例子，让学生识别和解释平行关系1.4 教学评估观察学生对平面概念的理解程度评估学生对平行关系识别和解释的能力第二章：平行线的性质2.1 教学目标让学生掌握平行线的定义和性质培养学生运用平行线解决实际问题的能力2.2 教学内容平行线的定义与判定平行线的性质与推论2.3 教学活动通过图形和实例，引导学生理解和记忆平行线的定义和性质让学生通过实际问题，运用平行线的性质解决问题2.4 教学评估检查学生对平行线定义和性质的理解程度评估学生运用平行线解决实际问题的能力第三章：平行公理3.1 教学目标让学生理解和掌握平行公理的概念培养学生运用平行公理解决几何问题的能力3.2 教学内容平行公理的定义与证明平行公理的应用与推论3.3 教学活动通过图形和实例，引导学生理解和记忆平行公理的概念和证明让学生通过实际问题，运用平行公理解决问题3.4 教学评估检查学生对平行公理的理解程度评估学生运用平行公理解决几何问题的能力第四章：平行线的判定4.1 教学目标让学生掌握平行线的判定方法培养学生运用平行线判定解决几何问题的能力4.2 教学内容平行线判定定理与推论平行线判定在实际问题中的应用4.3 教学活动通过图形和实例，引导学生理解和记忆平行线判定定理和方法让学生通过实际问题，运用平行线判定解决问题4.4 教学评估检查学生对平行线判定定理和方法的理解程度评估学生运用平行线判定解决几何问题的能力第五章：平行关系在实际问题中的应用5.1 教学目标让学生理解平行关系在实际问题中的应用培养学生运用平行关系解决实际问题的能力5.2 教学内容平行关系在实际问题中的例子平行关系在解决几何问题中的应用5.3 教学活动通过实际例子，引导学生理解和识别平行关系在实际问题中的应用让学生通过解决几何问题，运用平行关系解决问题5.4 教学评估检查学生对平行关系在实际问题中的应用的理解程度评估学生运用平行关系解决实际问题的能力第六章：平行四边形的性质6.1 教学目标让学生掌握平行四边形的定义和性质培养学生运用平行四边形性质解决几何问题的能力6.2 教学内容平行四边形的定义与判定平行四边形的性质与推论6.3 教学活动通过图形和实例，引导学生理解和记忆平行四边形的定义和性质让学生通过实际问题，运用平行四边形的性质解决问题6.4 教学评估检查学生对平行四边形定义和性质的理解程度评估学生运用平行四边形解决几何问题的能力第七章：平行四边形的判定7.1 教学目标让学生掌握平行四边形的判定方法培养学生运用平行四边形判定解决几何问题的能力7.2 教学内容平行四边形判定定理与推论平行四边形判定在实际问题中的应用7.3 教学活动通过图形和实例，引导学生理解和记忆平行四边形判定定理和方法让学生通过实际问题，运用平行四边形判定解决问题7.4 教学评估检查学生对平行四边形判定定理和方法的理解程度评估学生运用平行四边形判定解决几何问题的能力第八章：平行关系与坐标系8.1 教学目标让学生理解在坐标系中平行关系的表示和应用培养学生运用坐标系解决与平行关系相关的几何问题8.2 教学内容坐标系中平行线的表示和性质坐标系中平行公理和判定定理的应用8.3 教学活动通过坐标系图形和实例，引导学生理解和记忆平行线在坐标系中的表示和性质让学生通过实际问题，运用坐标系中平行关系解决问题8.4 教学评估检查学生对坐标系中平行关系表示和性质的理解程度评估学生运用坐标系解决与平行关系相关的几何问题的能力第九章：平行关系在几何证明中的应用9.1 教学目标让学生理解平行关系在几何证明中的应用培养学生运用平行关系进行几何证明的能力9.2 教学内容平行关系在几何证明中的重要性运用平行关系进行几何证明的步骤和方法9.3 教学活动通过几何证明实例，引导学生理解和识别平行关系在几何证明中的应用让学生通过解决几何证明问题，运用平行关系进行证明9.4 教学评估检查学生对平行关系在几何证明中应用的理解程度评估学生运用平行关系进行几何证明的能力10.1 教学目标培养学生运用平行关系解决更复杂几何问题的能力10.2 教学内容平行关系在更复杂几何问题中的应用10.3 教学活动让学生通过解决更复杂的几何问题，运用平行关系解决问题10.4 教学评估检查学生对平行关系知识的掌握程度和运用能力评估学生解决更复杂几何问题的能力重点和难点解析重点环节一：第一章引言中的平面概念理解和日常生活中的平行关系识别。
2014届高三数学一轮复习精讲精练：7.3空间中的平行关系-教学文档
第3课 空间中的平行关系【考点导读】1．掌握直线和平面平行、两个平面平行的判定定理和性质定理。
2．明确定义与定理的不同，定义是可逆的，既是判定也是性质，而判定定理与性质定理多是不可逆的。
3．要能灵活的对“线线平行”、“线面平行”和“面面平行”进行转化。
【基础练习】1．若b a 、为异面直线，直线c ∥a ，则c 与b 的位置关系是 异面或相交 。
2．给出下列四个命题:①垂直于同一直线的两条直线互相平行. ②垂直于同一平面的两个平面互相平行. ③若直线12,l l 与同一平面所成的角相等,则12,l l 互相平行. ④若直线12,l l 是异面直线,则与12,l l 都相交的两条直线是异面直线.其中假．命题的个数是 4 个。
3．对于任意的直线l 与平面a ,在平面a 内必有直线m ,使m 与l 垂直 。
4. 已知a 、b 、c 是三条不重合的直线，α、β、r 是三个不重合的平面，下面六个命题： ①a ∥c ，b ∥c ⇒a ∥b ；②a ∥r ，b ∥r ⇒a ∥b ；③α∥c ，β∥c ⇒α∥β； ④α∥r ，β∥r ⇒α∥β；⑤a ∥c ，α∥c ⇒a ∥α；⑥a ∥r ，α∥r ⇒a ∥α． 其中正确的命题是 ①④ 。
【范例导析】例1．如图，在四面体ABCD 中，截面EFGH 是平行四边形． 求证：AB ∥平面EFG ．证明 ：∵面EFGH 是截面．∴点E ，F ，G ，H 分别在BC ，BD ，DA ，AC 上． ∴EH 面ABC ，GF 面ABD ， 由已知，EH ∥GF ．∴EH ∥面ABD ．又 ∵EH 面BAC ，面ABC ∩面ABD=AB ∴EH ∥AB ． ∴AB ∥面EFG ．例2． 如图，在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，点N 在BD 上，点M 在B 1C 上，并且CM=DN. 求证:MN ∥平面AA 1B 1B.分析：“线线平行”、“线面平行”、“面面平行”是可以互相转化的。
高中空间中的平行关系教案
高中空间中的平行关系教案在高中数学的立体几何部分，平行关系的探究是基础而重要的一环。
它不仅关系到学生对空间直观的理解，也是后续学习的重要基础。
今天，我们就来设计一份高中空间中的平行关系教案范本，以帮助教师更好地展开教学活动。
#### 教学目标1. 理解并掌握直线与平面、平面与平面之间平行关系的定义及性质。
2. 能够运用公理、定理判断和证明空间中的平行关系。
3. 培养学生的空间想象能力和逻辑推理能力。
#### 教学内容- 直线与平面平行的判定及其性质。
- 平面与平面平行的判定及其性质。
- 平行关系的证明方法。
#### 教学过程**导入新课：**开始上课时，通过提问学生日常生活中关于平行现象的实例，如铁轨、桥梁等，引出平行线和平行面的概念。
**讲解新知：**- 首先，明确直线与平面平行的定义，即直线与平面不相交的情况。
- 其次，介绍直线与平面平行的判定方法，例如利用已知的平行线或使用反证法。
- 然后，阐述平面与平面平行的定义，即两个平面不相交的状态。
- 接着，讨论平面与平面平行的判定方法，包括利用公共线的性质等。
**课堂练习：**- 提供若干个直线与平面平行的判断题供学生练习，加深对知识点的理解。
- 设计一道平面与平面平行的题目，让学生尝试证明两平面的平行关系。
**小组合作：**- 分组进行讨论，每组给出一个生活中的例子，说明其中包含的平行关系，并尝试用所学的知识解释其原因。
**总结提升：**- 归纳本节课所学的平行关系的特点和证明方法。
- 强调空间想象力和逻辑推理能力在解决平行关系问题中的重要性。
#### 作业布置- 要求学生独立完成几个直线与平面、平面与平面平行的问题，作为课后练习。
- 鼓励学生在生活中寻找平行关系的实例，并尝试给出数学上的解释。
#### 教学反思- 分析学生在课堂上的表现，了解他们对平行关系的理解程度。
- 思考如何进一步提高学生的空间想象能力和逻辑推理能力。
- 根据学生的反馈调整教学方法，确保每个学生都能掌握平行关系的相关知识。
【公开课教案】《空间中的平行关系复习课》教学设计
《空间中的平行关系复习课》教学设计一．概述：本节课是在学生学习了空间点、直线、平面之间的位置关系和直线、平面平行的判定定理及其性质定理之后进行的，它蕴含丰富的数学思想，即“空间问题转化为平面问题”，“线线平行与线面平行、面面平行间互相转化”等数学思想．学好本节知识可帮助学生形成严谨、务实、求真的探索精神，为立体几何的学习和提高打下扎实的基础。
二．教学目标分析：知识与技能：使学生掌握线线平行与线面平行、面面平行的判定定理及其性质定理的本质，充分理解它们之间的内在联系和本质特征，真正掌握将空间问题平面化的技巧。
过程与方法：培养学生的几何识图能力，使他们在读图的同时也能结合所学的定理进行综合应用，在探索解法的过程中掌握定理的本质。
情感、态度与价值观：在体验数学美的过程中激发学生学习兴趣，从而培养学生勤于思考、善于总结的良好品质。
三．学习者特征分析：学生已有的认知基础是已经学过的空间点、直线、平面之间的位置关系和线线平行、线面平行、面面平行的判定定理及其性质定理等知识，也做了一定量的练习，这对本节知识的学习奠定了一定的基础。
学生学习的困难在于对学过的知识未进行梳理、生搬硬套，从而找不到正确的解题突破口。
教学重点：掌握线线平行与线面平行、面面平行的判定定理及其性质定理的区别和联系；教学难点：在于如何利用所学知识将空间问题平面化。
四．教学策略选择与设计：本节课综合运用讲授式、启发式、自主学习、协作学习等各种策略，指导学生进行自主探索学习。
通过质疑、小组交流等环节完成教学，激发学生的学习兴趣和进一步深入学习的欲望，启迪学生的思维，鼓励学生自己总结，使自身的认知结构得到得到提高和发展。
五、教学资源与工具设计：使用多媒体课件进行教学六．教学过程：七、教学反思：。
高考数学一轮复习 专题40 空间中的平行关系教学案 文-人教版高三全册数学教学案
专题40 空间中的平行关系1.以立体几何的有关定义、公理和定理为出发点，认识和理解空间中线面平行、面面平行的有关性质与判定定理，并能够证明相关性质定理；2.能运用线面平行、面面平行的判定及性质定理证明一些空间图形的平行关系的简单命题．1．直线与平面平行的判定与性质判定性质定义定理图形条件a∩α＝∅a⊂α，b⊄α，a∥b a∥αa∥α，a⊂β，α∩β＝b结论a∥αb∥αa∩α＝∅a∥b2.面面平行的判定与性质判定性质定义定理图形条件α∩β＝∅a⊂β，b⊂β，a∩b＝P，a∥α，b∥αα∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝bα∥β，a⊂β结论α∥βα∥βa∥b a∥α1．平行直线(1)平行公理：过直线外一点有且只有一条直线和已知直线平行．(2)基本性质4(空间平行线的传递性)：平行于同一条直线的两条直线互相平行．(3)定理：如果一个角的两边与另一个角的两边分别对应平行，并且方向相同，那么这两个角相等．(4)空间四边形：顺次连接不共面的四点A，B，C，D所构成的图形，叫做空间四边形．2．直线与平面平行(1)直线与平面平行的定义直线l与平面α没有公共点，则称直线l与平面α平行．(2)判定定理与性质定理文字语言图形表示 符号表示判定定理不在一个平面内的一条直线和平面内的一条直线平行，则该直线平行于此平面a ⊄α，b ⊂α，a ∥b ⇒a ∥α性质定理一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，则这条直线就和两平面的交线平行a ∥α，a ⊂β，α∩β＝b ⇒a ∥b3.平面与平面平行 (1)平面与平面平行的定义没有公共点的两个平面叫做平行平面． (2)判定定理与性质定理文字语言图形表示 符号表示判定定理 一个平面内有两条相交直线平行于另一个平面，则这两个平面平行a ⊂α，b ⊂α，a ∩b＝P ，a ∥β，b ∥β⇒α∥β性质定理 两个平面平行，则其中一个平面内的直线平行于另一个平面α∥β，a ⊂α⇒a ∥β如果两个平行平面同时与第三个平面相交，那么它们的交线平行α∥β，α∩γ＝a ，β∩γ＝b ⇒a ∥b4.与垂直相关的平行的判定 (1)a ⊥α，b ⊥α⇒a ∥b ． (2)a ⊥α，a ⊥β⇒α∥β．高频考点一 直线与平面平行的判定与性质例1、如图，四棱锥P －ABCD 中，AD ∥BC ，AB ＝BC ＝12AD ，E ，F ，H 分别为线段AD ，PC ，CD的中点，AC 与BE 交于O 点，G 是线段OF 上一点．(1)求证：AP ∥平面BEF ； (2)求证：GH ∥平面PAD . 证明 (1)连接EC ， ∵AD ∥BC ，BC ＝12AD ，(2)连接FH ，OH ，∵F ，H 分别是PC ，CD 的中点， ∴FH ∥PD ，∴FH ∥平面PAD .又∵O 是BE 的中点，H 是CD 的中点， ∴OH ∥AD ，∴OH ∥平面PAD .又FH ∩OH ＝H ，∴平面OHF ∥平面PAD . 又∵GH ⊂平面OHF ，∴GH ∥平面PAD .【举一反三】如图，四棱锥P －ABCD 的底面是边长为8的正方形，四条侧棱长均为217.点G ，E ，F ，H 分别是棱PB ，AB ，CD ，PC 上共面的四点，平面GEFH ⊥平面ABCD ，BC ∥平面GEFH .(1)证明：GH ∥EF ；(2)若EB ＝2，求四边形GEFH 的面积． 因为PA ＝PC ，O 是AC 的中点，所以PO ⊥AC ， 同理可得PO ⊥BD .又BD ∩AC ＝O ，且AC ，BD 都在底面内， 所以PO ⊥底面ABCD .又因为平面GEFH ⊥平面ABCD ， 且PO ⊄平面GEFH ，所以PO ∥平面GEFH . 由已知可得OB ＝42，PO ＝PB 2－OB 2＝68－32＝6，所以GK ＝3.故四边形GEFH 的面积S ＝GH ＋EF2·GK＝4＋82×3＝18.【变式探究】(1)如图所示，在四棱锥P －ABCD 中，∠ABC ＝∠ACD ＝90°，∠BAC ＝∠CAD ＝60°，E 为PD 的中点，AB ＝1，求证：CE∥平面PAB；(2)如图所示，CD，AB均与平面EFGH平行，E，F，G，H分别在BD，BC，AC，AD上，且CD⊥AB.求证：四边形EFGH是矩形．证明(1)由已知条件有AC＝2AB＝2，AD＝2AC＝4，CD＝2 3.如图所示，延长DC，AB，设其交于点N，连接PN，同理HE∥GF，∴四边形EFGH为平行四边形．∴CD∥EF，HE∥AB，∴∠HEF为异面直线CD和AB所成的角．又∵CD⊥AB，∴HE⊥EF.∴平行四边形EFGH为矩形．高频考点二平面与平面平行的判定与性质例2、如图所示，在三棱柱ABC－A1B1C1中，E，F，G，H分别是AB，AC，A1B1，A1C1的中点，求证：(1)B，C，H，G四点共面；(2)平面EFA1∥平面BCHG.证明(1)∵G，H分别是A1B1，A1C1的中点，∴GH是△A1B1C1的中位线，∴EF∥平面BCHG.∵A1G綊EB，∴四边形A1EBG是平行四边形，∴A1E∥GB.∵A1E⊄平面BCHG，GB⊂平面BCHG，∴A1E∥平面BCHG.∵A1E∩EF＝E，∴平面EFA1∥平面BCHG.【方法技巧】证明面面平行的方法：(1)面面平行的定义；(2)面面平行的判定定理：如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行；(3)利用垂直于同一条直线的两个平面平行；(4)两个平面同时平行于第三个平面，那么这两个平面平行； (5)利用“线线平行”、“线面平行”、“面面平行”的相互转化．【变式探究】如图，在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，S 是B 1D 1的中点，E 、F 、G 分别是BC 、DC 、SC 的中点，求证：(1)直线EG ∥平面BDD 1B 1； (2)平面EFG ∥平面BDD 1B 1. 证明 (1)如图，连接SB ，又EG ⊂平面EFG ，FG ⊂平面EFG ，EG ∩FG ＝G ， ∴平面EFG ∥平面BDD 1B 1.高频考点三 平行关系的综合应用例4、如图所示，在四面体ABCD 中，截面EFGH 平行于对棱AB 和CD ，试问截面在什么位置时其截面面积最大？ 解 ∵AB ∥平面EFGH ，平面EFGH 与平面ABC 和平面ABD 分别交于FG 、EH .∴AB ∥FG ，AB ∥EH ， ∴FG ∥EH ，同理可证EF ∥GH ， ∴截面EFGH 是平行四边形．设AB ＝a ，CD ＝b ，∠FGH ＝α (α即为异面直线AB 和CD 所成的角或其补角)． 又设FG ＝x ，GH ＝y ，则由平面几何知识可得x a ＝CG BC ，y b ＝BG BC ，两式相加得x a ＋y b ＝1，即y ＝ba(a －x )，∴S ▱EFGH ＝FG ·GH ·sin α即当截面EFGH 的顶点E 、F 、G 、H 为棱AD 、AC 、BC 、BD 的中点时截面面积最大． 【感悟提升】利用线面平行的性质，可以实现与线线平行的转化，尤其在截面图的画法中，常用来确定交线的位置，对于最值问题，常用函数思想来解决．【变式探究】如图所示，四棱锥P －ABCD 的底面是边长为a 的正方形，侧棱PA ⊥底面ABCD ，在侧面PBC 内，有BE ⊥PC 于E ，且BE ＝63a ，试在AB 上找一点F ，使EF ∥平面PAD . 解 如图所示，在平面PCD 内，过E 作EG ∥CD 交PD 于G ， 连接AG ，在AB 上取点F ，使AF ＝EG ，∵EG ∥CD ∥AF ，EG ＝AF ， ∴四边形FEGA 为平行四边形， ∴FE ∥AG .又AG ⊂平面PAD ，FE ⊄平面PAD ， ∴EF ∥平面PAD . ∴F 即为所求的点． 又PA ⊥面ABCD ，∴PA ⊥BC ， 即AF ＝23AB .故点F 是AB 上靠近B 点的一个三等分点．1.【2016高考山东理数】在如图所示的圆台中，AC 是下底面圆O 的直径，EF 是上底面圆O 的直径，FB 是圆台的一条母线.（I ）已知G ,H 分别为EC ，FB 的中点，求证：GH ∥平面ABC ；（II ）已知EF =FB =12AC =AB =BC .求二面角F BC A --的余弦值.【答案】（Ⅰ）见解析； 【解析】 （II ）解法一：连接'OO ,则'OO ⊥平面ABC ，又,AB BC =且AC 是圆O 的直径，所以.BO AC ⊥ 以O 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系O xyz -，由题意得(0,B ，(C -，过点F 作FM OB 垂直于点M ，所以3,FM =可得F故(23,23,0),(0,BC BF =--=-. 因为平面ABC 的一个法向量(0,0,1),n = 所以7cos ,||||m n m n m n ⋅<>==.所以二面角F BC A --的余弦值为7. 解法二：连接'OO ，过点F 作FM OB ⊥于点M ， 则有//'FM OO , 又'OO ⊥平面ABC ， 所以FM ⊥平面ABC,可得3,FM =过点M 作MN BC 垂直于点N ，连接FN ， 可得FN BC ⊥, 2.【2016高考江苏卷】如图，在直三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，D ，E 分别为AB ，BC 的中点，点F 在侧棱B 1B 上，且11B D A F ⊥，1111AC A B ⊥.求证：（1）直线DE ∥平面A 1C 1F ； （2）平面B 1DE ⊥平面A 1C 1F . 【答案】（1）详见解析（2）详见解析【解析】证明：（1）在直三棱柱111ABC A B C -中，11//AC AC 在三角形ABC 中，因为D,E 分别为AB,BC 的中点. 所以//DE AC ，于是11//DE AC又因为DE ⊄平面1111,AC F AC ⊂平面11AC F 所以直线DE//平面11AC F（2）在直三棱柱111ABC A B C -中，1111AA ⊥平面A B C 因为11AC ⊂平面111A B C ，所以111AA ⊥A C 3.【2016高考天津理数】如图，正方形ABCD 的中心为O ，四边形OBEF 为矩形，平面OBEF ⊥平面ABCD ，点G 为AB 的中点，AB =BE =2.（I）求证：EG∥平面ADF；（II）求二面角O-EF-C的正弦值；（III）设H为线段AF上的点，且AH =23 HF，求直线BH和平面CEF所成角的正弦值.【答案】（Ⅰ）详见解析（Ⅱ）33（Ⅲ）721【解析】依题意，OF ABCD⊥平面，如图，以O为点，分别以,,AD BA OF的方向为x轴，y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系，依题意可得(0,0,0)O，()1,1,0,(1,1,0),(1,1,0),(11,0),(1,1,2),(0,0,2),(1,0,0)A B C D E F G-------，.（I）证明：依题意，()(2,0,0),1,1,2AD AF==-.设()1,,n x y z=为平面ADF的法向量，则11n ADn AF⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即2020xx y z=⎧⎨-+=⎩.不妨设1z=，可得()10,2,1n=，又()0,1,2EG=-，可得1EG n⋅=，又因为直线EG ADF⊄平面，所以//EG ADF平面.O EF C--3（III）解：由23AH HF=，得25AH AF=.因为()1,1,2AF=-，所以2224,,5555AH AF⎛⎫==-⎪⎝⎭，进而有334,,555H⎛⎫- ⎪⎝⎭，从而284,,555BH⎛⎫= ⎪⎝⎭，因此2227cos,21BH nBH nBH n⋅<>==-⋅.所以，直线BH和平面CEF所成角的正弦值为721.1.【2015高考新课标2，理19】（本题满分12分）如图，长方体1111ABCD A B C D-中,=16AB，=10BC，18AA=，点E，F分别在11A B，11C D 上，114A E D F ==．过点E ，F 的平面α与此长方体的面相交，交线围成一个正方形．（Ⅰ）在图中画出这个正方形（不必说出画法和理由）； （Ⅱ）求直线AF 与平面α所成角的正弦值． 【答案】（Ⅰ）详见解析；（Ⅱ）4515． 【解析】（Ⅰ）交线围成的正方形EHGF 如图：线AF 与平面α所成角的正弦值为45． 2.【2015江苏高考，16】（本题满分14分）如图，在直三棱柱111C B A ABC -中，已知BC AC ⊥，1CC BC =，设1AB 的中点为D ，E BC C B =11 .求证：（1）C C AA DE 11//平面；（2）11AB BC ⊥.DD 1C 1A 1 EFA BCB 1【答案】（1）详见解析（2）详见解析 （2）因为棱柱111C C AB -A B 是直三棱柱， 所以1CC ⊥平面C AB ．因为C A ⊂平面C AB ，所以1C CC A ⊥．又因为C C A ⊥B ，1CC ⊂平面11CC B B ，C B ⊂平面11CC B B ，1C CC C B =，所以C A ⊥平面11CC B B ．又因为1C B ⊂平面11CC B B ，所以1C C B ⊥A ．因为1C CC B =，所以矩形11CC B B 是正方形，因此11C C B ⊥B ． 因为C A ，1C B ⊂平面1C B A ，1CC C A B =，所以1C B ⊥平面1C B A ．又因为1AB ⊂平面1C B A ，所以11C B ⊥AB ．3.【2015高考安徽，理19】如图所示，在多面体111A B D DCBA ，四边形11AA B B ，11,ADD A ABCD 均为正方形，E 为11B D 的中点，过1,,A D E 的平面交1CD 于F.（Ⅰ）证明：1//EF B C ；（Ⅱ）求二面角11E A D B --余弦值.【答案】（Ⅰ）1//EF B C ；（Ⅱ）3【解析】AB CD EA 1B 1C 1设面1A DE 的法向量1111(,,)n r s t =.而该面上向量11(0.5,0.5,0),(0,1,1)A E A D ==-，由1111,n A E n A D ⊥⊥得111,,r s t 应满足的方程组11110.50.500r s s t +=⎧⎨-=⎩，(1,1,1)-为其一组解，所以可取1(1,1,1)n =-.设面11A B CD 的法向量2222(,,)n r s t =，而该面上向量111(1,0,0),(0,1,1)A B A D ==-，由此同理可得2(0,1,1)n =.所以结合图形知二面角1E A D B --的余弦值为1212||6||||32n n n n ⋅==⋅⨯. 1．（2014·安徽卷）如图15，四棱柱ABCD A 1B 1C 1D 1中，A 1A ⊥底面ABCD ，四边形ABCD 为梯形，AD ∥BC ，且AD ＝2BC .过A 1，C ，D 三点的平面记为α，BB 1与α的交点为Q . 图15(1)证明：Q 为BB 1的中点；(2)求此四棱柱被平面α所分成上下两部分的体积之比；(3)若AA 1＝4，CD ＝2，梯形ABCD 的面积为6，求平面α与底面ABCD 所成二面角的大小． 解： (1)证明：因为BQ ∥AA 1，BC ∥AD ，BC ∩BQ ＝B ，AD ∩AA 1＝A ，所以平面QBC ∥平面A 1AD ，从而平面A 1CD 与这两个平面的交线相互平行，即QC ∥A 1D . 故△QBC 与△A 1AD 的对应边相互平行， 于是△QBC ∽△A 1AD ，所以BQ BB 1＝BQ AA 1＝BC AD ＝12，即Q 为BB 1的中点． (2)如图1所示，连接QA ，QD .设AA 1＝h ，梯形ABCD 的高为d ，四棱柱被平面α所分成上下两部分的体积分别为V 上和V 下，BC ＝a ，则AD ＝2a .图1V 三棱锥Q A 1AD ＝13×12·2a ·h ·d ＝13ahd ，V 四棱锥Q ABCD ＝13·a ＋2a 2·d ·⎝ ⎛⎭⎪⎫12h ＝14ahd ， 所以V 下＝V 三棱锥Q A 1AD ＋V 四棱锥Q ABCD ＝712ahd . 又V 四棱柱A 1B 1C 1D 1 ABCD ＝32ahd ， 所以V 上＝V 四棱柱A 1B 1C 1D 1 ABCD －V 下＝32ahd －712ahd ＝1112ahd ，故V 上V 下＝117. 故平面α与底面ABCD 所成二面角的大小为π4. 方法二：如图2所示，以D 为原点，DA ，DD 1→分别为x 轴和z 轴正方向建立空间直角坐标系．设∠CDA ＝θ，BC ＝a ，则AD ＝2a .因为S 四边形ABCD ＝a ＋2a 2·2sin θ＝6，所以a ＝2sin θ. 图2从而可得C (2cos θ，2sin θ，0)，A 1⎝ ⎛⎭⎪⎫4sin θ，0，4， 所以DC ＝(2cos θ，2sin θ，0)，DA 1→＝⎝⎛⎭⎪⎫4sin θ，0，4. 2．（2014·北京卷）如图13，正方形AMDE 的边长为2，B ，C 分别为AM ，MD 的中点．在五棱锥P ABCDE 中，F 为棱PE 的中点，平面ABF 与棱PD ，PC 分别交于点G ，H .(1)求证：AB ∥FG ；(2)若PA ⊥底面ABCDE ，且PA ＝AE ，求直线BC 与平面ABF 所成角的大小，并求线段PH 的长． 图13建立空间直角坐标系Axyz ，如图所示，则A (0，0，0)，B (1，0，0)，C (2，1，0)，P (0，0，2)，F (0，1，1)，BC →＝(1，1，0)．设平面ABF 的法向量为n ＝(x ，y ，z )，则⎩⎨⎧n ·o (AB,sup 6(→))＝0，n ·AF →＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＋z ＝0. 令z ＝1，则y ＝－1.所以n ＝(0，－1，1)．设直线BC 与平面ABF 所成角为α，则sin α＝|cos 〈n ，BC →〉|＝||f (n ·o (BC,sup 6(→)),|n ||BC →|)＝12. 因此直线BC 与平面ABF 所成角的大小为π6. 所以PH ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫432＋⎝ ⎛⎭⎪⎫232＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－432＝2. 3．（2014·湖北卷）如图14，在棱长为2的正方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，E ，F ，M ，N 分别是棱AB ，AD ，A 1B 1，A 1D 1的中点，点P ，Q 分别在棱DD 1，BB 1上移动，且DP ＝BQ ＝λ(0<λ<2)．(1)当λ＝1时，证明：直线BC 1∥平面EFPQ .(2)是否存在λ，使面EFPQ 与面PQMN 所成的二面角为直二面角？若存在，求出λ的值；若不存在，说明理由．图14解：方法一(几何方法)：(1)证明：如图①，连接AD 1，由ABCD A 1B 1C 1D 1是正方体，知BC 1∥AD 1.当λ＝1时，P 是DD 1的中点，又F 是AD 的中点，所以FP ∥AD 1，所以BC 1∥FP .而FP ⊂平面EFPQ ，且BC 1⊄平面EFPQ ，故直线BC 1∥平面EFPQ .图① 图②(2)如图②，连接BD .因为E ，F 分别是AB ，AD 的中点，所以EF ∥BD ，且EF ＝12BD . 故∠GOH 是面EFPQ 与面PQMN 所成的二面角的平面角．若存在λ，使面EFPQ 与面PQMN 所成的二面角为直二面角，则∠GOH ＝90°.连接EM ，FN ，则由EF ∥MN ，且EF ＝MN 知四边形EFNM 是平行四边形．连接GH ，因为H ，G 是EF ，MN 的中点， 所以GH ＝ME ＝2.在△GOH 中，GH 2＝4，OH 2＝1＋λ2－⎝ ⎛⎭⎪⎫222＝λ2＋12， OG 2＝1＋(2－λ)2－⎝ ⎛⎭⎪⎫222＝(2－λ)2＋12， 由OG 2＋OH 2＝GH 2，得(2－λ)2＋12＋λ2＋12＝4，解得λ＝1±22， 故存在λ＝1±22，使面EFPQ 与面PQMN 所成的二面角为直二面角． 方法二(向量方法)：以D 为原点，射线DA ，DC ，DD 1分别为x ，y ，z 轴的正半轴建立如图③所示的空间直角坐标系．由已知得B (2，2，0)，C 1(0，2，2)，E (2，1，0)，F (1，0，0)，P (0，0，λ)． 图③BC 1→＝(－2，0，2)，FP ＝(－1，0，λ)，FE ＝(1，1，0)．(1)证明：当λ＝1时，FP ＝(－1，0，1)，因为BC 1→＝(－2，0，2)，所以BC 1→＝2FP →，即BC 1∥FP .故存在λ＝1±22，使面EFPQ 与面PQMN 所成的二面角为直二面角． 4．（2014·新课标全国卷Ⅱ）如图13，四棱锥P ABCD 中，底面ABCD 为矩形，PA ⊥平面ABCD ，E 为PD 的中点．(1)证明：PB ∥平面AEC ；(2)设二面角D AE C 为60°，AP ＝1，AD ＝3，求三棱锥E ACD 的体积．图1318．解：(1)证明：连接BD 交AC 于点O ，连接EO .如图，以A 为坐标原点，AB →，AD ，AP 的方向为x 轴、y 轴、z 轴的正方向，|AP →|为单位长，建立空间直角坐标系A xyz ，则D ()0，3，0，E ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，32，12，AE →＝⎝⎛⎭⎪⎫0，32，12. 设B (m ，0，0)(m >0)，则C (m ，3，0)，AC →＝(m ，3，0)．设n 1＝(x ，y ，z )为平面ACE 的法向量，则⎩⎨⎧n 1·o (AC,sup 6(→))＝0，n 1·AE →＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧mx ＋3y ＝0，32y ＋12z ＝0， 可取n 1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫3m ，－1，3. 又n 2＝(1，0，0)为平面DAE 的法向量，由题设易知|cos 〈n 1，n 2〉|＝12，即 33＋4m 2＝12，解得m ＝32. 因为E 为PD 的中点，所以三棱锥E ACD 的高为12.三棱锥E ACD 的体积V ＝13×12×3×32×12＝38. 5．（2014·山东卷）如图13所示，在四棱柱ABCD A 1B 1C 1D 1中，底面ABCD 是等腰梯形，∠DAB ＝60°，AB ＝2CD ＝2，M 是线段AB 的中点．图13(1)求证：C 1M ∥平面A 1ADD 1；(2)若CD 1垂直于平面ABCD 且CD 1＝3，求平面C 1D 1M 和平面ABCD 所成的角(锐角)的余弦值． 连接AD 1.因为在四棱柱ABCD A 1B 1C 1D 1中，CD ∥C 1D 1，CD ＝C 1D 1，所以C 1D 1∥MA ，C 1D 1＝MA ，所以四边形AMC 1D 1为平行四边形，因此，C 1M ∥D 1A .因此CA ⊥CB .设C 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系C xyz .所以A (3，0，0)，B (0，1，0)，D 1(0，0，3)．因此M ⎝⎛⎭⎪⎫32，12，0， 所以MD 1→＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，－12，3，D 1C 1→＝MB →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，12，0. 设平面C 1D 1M 的一个法向量n ＝(x ，y ，z )，由⎩⎨⎧n ·o (D 1C 1,sup 6(→))＝0，n ·MD 1→＝0，得⎩⎨⎧3x －y ＝0，3x ＋y －2 3z ＝0， 可得平面C 1D 1M 的一个法向量n ＝(1，3，1)．又CD 1→＝(0，0，3)为平面ABCD 的一个法向量．因此cos 〈CD 1→，n 〉＝CD 1sup 6(→)·n |CD 1→||n |＝55， 所以平面C 1D 1M 和平面ABCD 所成的角(锐角)的余弦值为55. 方法二：由(1)知，平面D 1C 1M ∩平面ABCD ＝AB ，点过C 向AB 引垂线交AB 于点N ，连接D 1N . 所以平面C 1D 1M 和平面ABCD 所成的角(锐角)的余弦值为55. 1.有下列命题：①若直线l 平行于平面α内的无数条直线，则直线l ∥α；②若直线a在平面α外，则a∥α；③若直线a∥b，b∥α，则a∥α；④若直线a∥b，b∥α，则a平行于平面α内的无数条直线.其中真命题的个数是( )A.1B.2C.3D.4解析命题①l可以在平面α内，不正确；命题②直线a与平面α可以是相交关系，不正确；命题③a可以在平面α内，不正确；命题④正确.答案 A2.设m，n是不同的直线，α，β是不同的平面，且m，n⊂α，则“α∥β”是“m∥β且n∥β”的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件答案 A3.如图所示的三棱柱ABC－A1B1C1中，过A1B1的平面与平面ABC交于DE，则DE与AB的位置关系是( )A.异面B.平行C.相交D.以上均有可能解析在三棱柱ABC－A1B1C1中，AB∥A1B1，∵AB⊂平面ABC，A1B1⊄平面ABC，∴A1B1∥平面ABC，∵过A1B1的平面与平面ABC交于DE.∴DE∥A1B1，∴DE∥AB.答案 B4.下列四个正方体图形中，A，B为正方体的两个顶点，M，N，P分别为其所在棱的中点，能得出AB∥平面MNP的图形的序号是( )A.①③B.①④C.②③D.②④解析①中，易知NP∥AA′，MN∥A′B，∴平面MNP∥平面AA′B，可得出AB∥平面MNP(如图).④中，NP∥AB，能得出AB∥平面MNP.在②③中不能判定AB∥平面MNP.答案 B5.已知m，n表示两条不同直线，α表示平面，下列说法正确的是( )A.若m∥α，n∥α，则m∥nB.若m⊥α，n⊂α，则m⊥nC.若m⊥α，m⊥n，则n∥αD.若m∥α，m⊥n，则n⊥α答案 B6.在四面体A－BCD中，M，N分别是△ACD，△BCD的重心，则四面体的四个面中与MN平行的是________.解析如图，取CD的中点E.连接AE，BE，由于M，N分别是△ACD，△BCD的重心，所以AE，BE分别过M，N，则EM∶MA ＝1∶2，EN∶BN＝1∶2，所以MN∥AB.因为AB⊂平面ABD，MN⊄平面ABD，AB⊂平面ABC，MN⊄平面ABC，所以MN∥平面ABD，MN∥平面ABC.答案平面ABD与平面ABC7.如图所示，正方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝2，点E为AD的中点，点F在CD上.若EF∥平面AB1C，则线段EF的长度等于________.答案 28.如图所示，在正四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，E，F，G，H分别是棱CC1，C1D1，D1D，DC的中点，N是BC的中点，点M在四边形EFGH及其内部运动，则M只需满足条件________时，就有MN∥平面B1BDD1.(注：请填上你认为正确的一个条件即可，不必考虑全部可能情况)解析连接HN，FH，FN，则FH∥DD1，HN∥BD，∴平面FHN ∥平面B 1BDD 1，只需M ∈FH ，则MN ⊂平面FHN ，∴MN ∥平面B 1BDD 1.答案 点M 在线段FH 上(或点M 与点H 重合)9.一个正方体的平面展开图及该正方体的直观图的示意图如图所示.(1)请将字母F ，G ，H 标记在正方体相应的顶点处(不需说明理由)；(2)判断平面BEG 与平面ACH 的位置关系，并证明你的结论.解 (1)点F ，G ，H 的位置如图所示.又BE ∩BG ＝B ，所以平面BEG ∥平面ACH .10. 如图，四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 为矩形，PA ⊥平面ABCD ，E 为PD 的中点.(1)证明：PB ∥平面AEC ；(2)设AP ＝1，AD ＝3，三棱锥P －ABD 的体积V ＝34，求A 到平面PBC 的距离. (1)证明 设BD 与AC 的交点为O ，连接EO .因为ABCD 为矩形，所以O 为BD 的中点.又E 为PD 的中点，所以EO ∥PB .又因为EO ⊂平面AEC ，PB ⊄平面AEC ，所以PB ∥平面AEC .(2)解 V ＝16PA ·AB ·AD ＝36AB . 由V ＝34，可得AB ＝32.作AH ⊥PB 交PB 于H . 由题设知AB ⊥BC ，PA ⊥BC ，且PA ∩AB ＝A ，所以BC ⊥平面PAB .又AH ⊂平面PAB ，所以BC ⊥AH ，又PB ∩BC ＝B ，故AH ⊥平面PBC .∵PB ⊂平面PBC ，∴AH ⊥PB ，在Rt △PAB 中，由勾股定理可得PB ＝132， 所以AH ＝PA ·AB PB ＝31313.所以A 到平面PBC 的距离为31313.。
高考数学一轮复习 7.4 空间中的平行关系精品课件 理 新人教A版
（1）如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么
它们的交线平行. （2）两个平面平行，其中任一个平面内的直线必平行 于另一个平面.
考点一
直线与平面平行
如图，正方体ABCD—A1B1C1D1中，侧面对角线AB1， BC1上分别有两点E，F，且B1E=C1F，求证：EF∥平面 ABCD. 【分析】用线面平行的判定 定理来证,或用面面平行的性 质定理来证.
【证明】证法一：分别过E，F作EM⊥AB于M， FN⊥BC于N，连结MN. ∵BB1⊥平面ABCD， ∴BB1⊥AB,BB1⊥BC, ∴EM∥BB1,FN∥BB1, ∴EM∥FN. 又B1E=C1F，∴EM=FN， 故四边形MNFE是平行四边形, ∴EF∥MN. 又MN在平面ABCD中， ∴EF∥平面ABCD.
7.4 空间中的平行关系
一、直线与平面平行的判定和性质 1.判定定理
平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直 线与此平面平行.可以用符号表示 a α,b α，且a∥b ⇒ a∥α 为 . 2.性质定理
一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面 与此平面的交线与该直线平行.可以用符号表示 β,α∩β=b a∥ b 为 a∥α,a . ⇒
二、平面与平面平行的判定和性质
1.判定定理 （1）一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行， 则这两个平面平行.可以用符号表示 为 a α,b α,a∩b=P,a∥β,b∥β α∥ β ⇒ .
（2）如果一个平面内有两条相交直线分别平行于另一 个平面内的两条相交直线，那么，这两个平面平行.可 以用符号表示为 c β,d a α,b β,a∥c,b∥d , α,a a∩b=P, c∩d=D
则由平面几何知识可得 两式相加得 ∴S
2014届高考数学一轮复习 第8章《空间的平行关系》名师首选学案 新人教A版
学案40 空间的平行关系导学目标： 1.以立体几何的定义、公理和定理为出发点，认识和理解空间中线面、面面平行的有关性质与判定定理.2.能运用公理、定理和已获得的结论证明一些空间图形的平行关系的简单命题．自主梳理1．空间直线与平面、平面与平面的位置关系(1)直线a和平面α的位置关系有三种：________、__________、__________.(2)两个平面的位置关系有两种：________和________．2．直线与平面平行的判定与性质(1)判定定理：如果平面外一条直线和这个________________平行，那么这条直线与这个平面平行．(2)性质定理：一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线就和交线平行．3．平面与平面平行的判定与性质(1)判定定理：如果一个平面内有________________都平行于另一个平面，那么这两个平面平行．(2)性质定理：如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么所得的两条交线________．自我检测1．下列各命题中：①平行于同一直线的两个平面平行；②平行于同一平面的两个平面平行；③一条直线与两个平行平面中的一个相交，那么这条直线必和另一个相交；④垂直于同一直线的两个平面平行．不正确的命题个数是________．2．经过平面外的两点作该平面的平行平面，可以作______个．3．一条直线若同时平行于两个相交平面，则这条直线与这两个平面的交线的位置关系是________．4．已知α、β是不同的两个平面，直线a⊂α，直线b⊂β，命题p：a与b没有公共点；命题q ：α∥β，则p 是q 的________条件．5．在四面体ABCD 中，M 、N 分别是△ACD 、△BCD 的重心，则四面体的四个面中与MN 平行的是________________．探究点一 线面平行的判定例1 已知有公共边AB 的两个全等的矩形ABCD 和ABEF 不在同一平面内，P 、Q 分别是对角线AE 、BD 上的点，且AP ＝DQ .求证：PQ ∥平面CBE .变式迁移1 在四棱锥P —ABCD 中，四边形ABCD 是平行四边形，M 、N 分别是AB 、PC 的中点，求证：MN ∥平面PAD .探究点二 面面平行的判定例2 在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，M 、N 、P 分别是C 1C 、B 1C 1、C 1D 1的中点，求证：平面MNP ∥平面A 1BD .变式迁移2 已知P 为△ABC 所在平面外一点，G 1、G 2、G 3分别是△PAB 、△PCB 、△PAC 的重心．(1)求证：平面G 1G 2G 3∥平面ABC ； (2)求S △G 1G 2G 3∶S △ABC .探究点三 平行中的探索性问题例3 如图所示，在四棱锥P —ABCD 中，CD ∥AB ，AD ⊥AB ，AD ＝DC ＝12AB ，BC ⊥PC .(1)求证：PA⊥BC；(2)试在线段PB上找一点M，使CM∥平面PAD，并说明理由．变式迁移3 如图所示，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，O为底面ABCD的中心，P是DD1的中点，设Q是CC1上的点，问：当点Q在什么位置时，平面D1BQ∥平面PAO?1．直线与平面平行的主要判定方法：(1)定义法；(2)判定定理；(3)面与面平行的性质定理．2．平面与平面平行的主要判定方法：(1)定义法；(2)判定定理；(3)利用结论：a⊥α，a⊥β⇒α∥β.3．线线平行、线面平行、面面平行间的相互转化：线∥线判定性质线∥面判定性质面∥性质判定面课后练习(满分：90分)一、填空题(每小题6分，共48分)1．下列命题中真命题的个数为________．①直线l平行于平面α内的无数条直线，则l∥α；②若直线a在平面α外，则a∥α；③若直线a∥b，直线b⊂α，则a∥α；④若直线a∥b，b⊂α，那么直线a就平行于平面α内的无数条直线．2．给出下列命题，其中正确的命题是________(填序号)．①直线上有两点到平面的距离相等，则此直线与平面平行；②夹在两个平行平面间的两条异面线段的中点连线平行于这两个平面；③直线m⊥平面α，直线n⊥m，则n∥α；④a、b是异面直线，则存在唯一的平面α，使它与a、b都平行且与a、b距离相等．3．设l1、l2是两条直线，α、β是两个平面，A为一点，有下列四个命题，其中正确命题的个数是________．①若l1⊂α，l2∩α＝A，则l1与l2必为异面直线；②若l1∥α，l2∥l1，则l2∥α；③若l1⊂α，l2⊂β，l1∥β，l2∥α，则α∥β；④若α⊥β，l1⊂α，则l1⊥β.4．在四面体ABCD中，截面PQMN是正方形，则下列命题中，正确的为________(填序号)．①AC⊥BD；②AC∥截面PQMN；③AC＝BD；④异面直线PM与BD所成的角为45°.5．下列四个正方体图形中，A、B为正方体的两个顶点，M、N、P分别为其所在棱的中点，能得出AB∥面MNP的图形的序号是________(写出所有符合要求的图形序号)．6．过三棱柱ABC—A1B1C1的任意两条棱的中点作直线，其中与平面ABB1A1平行的有______条．7. 如图所示，ABCD —A 1B 1C 1D 1是棱长为a 的正方体，M ，N 分别是下底面的棱A 1B 1，B 1C 1的中点，P 是上底面的棱AD 上的一点，AP ＝a3，过P ，M ，N 的平面交上底面于PQ ，Q 在CD上，则PQ ＝________.8．已知平面α∥平面β，P 是α、β外一点，过点P 的直线m 与α、β分别交于A 、C ，过点P 的直线n 与α、β分别交于B 、D 且PA ＝6，AC ＝9，PD ＝8，则BD 的长为________．二、解答题(共42分)9．(12分) 如图所示，在三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，M 、N 分别是BC 和A 1B 1的中点． 求证：MN ∥平面AA 1C 1C .10．(14分)如图所示，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E 是棱DD 1的中点．在棱C 1D 1上是否存在一点F ，使B 1F ∥平面A 1BE ？证明你的结论．11．(16分)如图，四边形ABCD 为矩形，DA ⊥平面ABE ，AE ＝EB ＝BC ＝2，BF ⊥平面ACE ，且点F在CE上．(1)求证：AE⊥BE；(2)求三棱锥D—AEC的体积；(3)设点M在线段AB上，且满足AM＝2MB，试在线段CE上确定一点N，使得MN∥平面DAE.学案40 空间的平行关系答案自主梳理1．(1)平行相交在平面内(2)平行相交 2.(1)平面内的一条直线 3.(1)两条相交直线(2)平行自我检测1．1 2.0或1 3.平行 4.必要不充分5．面ABC和面ABD课堂活动区例1 解题导引证明线面平行问题一般可考虑证线线平行或证面面平行，要充分利用线线平行、线面平行、面面平行的相互转化．证明方法一如图所示，作PM∥AB交BE于M，作QN∥AB交BC于N，连结MN.∵矩形ABCD和矩形ABEF全等且有公共边AB，∴AE＝BD.又∵AP＝DQ，∴PE＝QB，又∵PM∥AB∥QN，∴PM AB ＝EP EA ，QN DC ＝BQ BD ，∴PM AB ＝QNDC.∴PM 綊QN ，∴四边形PQNM 为平行四边形， ∴PQ ∥MN又MN ⊂平面BCE ，PQ ⊄平面BCE ， ∴PQ ∥平面BCE . 方法二如图所示，连结AQ ，并延长交BC 于K ，连结EK ， ∵AE ＝BD ，AP ＝DQ ， ∴PE ＝BQ ， ∴AP PE ＝DQ BQ.①又∵AD ∥BK ，∴DQ BQ ＝AQ QK. ②由①②得AP PE ＝AQQK，∴PQ ∥EK .又PQ ⊄平面BCE ，EK ⊂平面BCE ， ∴PQ ∥平面BCE . 方法三如图所示，在平面ABEF 内，过点P 作PM ∥BE ，交AB 于点M ，连结QM . ∵PM ∥BE ，PM ⊄平面BCE ， ∴PM ∥平面BCE ， 且AP PE ＝AM MB.①又∵AP ＝DQ ，∴PE ＝BQ ，∴AP PE ＝DQ BQ. ②由①②得AM MB ＝DQQB，∴MQ ∥AD ，∴MQ ∥BC ，又∵MQ ⊄平面BCE ，BC ⊂平面BCE ，∴MQ ∥平面BCE .又∵PM ∩MQ ＝M ，∴平面PMQ ∥平面BCE ， 又PQ ⊂平面PMQ ，∴PQ ∥平面BCE . 变式迁移1 证明 方法一取CD 中点E ，连结NE 、ME 、MN . ∵M 、N 分别是AB 、PC 的中点， ∴NE ∥PD ，ME ∥AD .又∵NE ，ME ⊄平面PAD ，PD ，AD ⊂平面PAD ， ∴NE ∥平面PAD ，ME ∥平面PAD . 又NE ∩ME ＝E ，∴平面MNE ∥平面PAD . 又MN ⊂平面MNE ， ∴MN ∥平面PAD .方法二 取PD 中点F ，连结AF 、NF 、NM . ∵M 、N 分别为AB 、PC 的中点， ∴NF 綊12CD ，AM 綊12CD ，∴AM 綊NF .∴四边形AMNF 为平行四边形，∴MN ∥AF . 又AF ⊂平面PAD ，MN ⊄平面PAD ， ∴MN ∥平面PAD .例2 解题导引 面面平行的常用判断方法有：(1)面面平行的判定定理：如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行；(2)利用垂直于同一条直线的两个平面平行；关键是利用“线线平行”、“线面平行”、“面面平行”的相互转化．证明方法一如图所示，连结B1D1、B1C.∵P、N分别是D1C1、B1C1的中点，∴PN∥B1D1.又∵B1D1∥BD，∴PN∥BD.又PN⊄面A1BD，∴PN∥平面A1BD.同理MN∥平面A1BD.又PN∩MN＝N，∴平面MNP∥平面A1BD.方法二如图所示，连结AC1、AC.∵ABCD—A1B1C1D1为正方体，∴AC⊥BD.又CC1⊥面ABCD，BD⊂面ABCD，∴CC1⊥BD，∴BD⊥面ACC1，又∵AC1⊂面ACC1，∴AC1⊥BD.同理可证AC1⊥A1B，∴AC1⊥平面A1BD. 同理可证AC1⊥平面PMN，∴平面PMN∥平面A1BD.变式迁移2(1)证明 如图所示，连结PG 1、PG 2、PG 3并延长分别与边AB 、BC 、AC 交于点D 、E 、F ，连结DE 、EF 、FD ，则有PG 1∶PD ＝2∶3，PG 2∶PE ＝2∶3，∴G 1G 2∥DE .又G 1G 2不在平面ABC 内，DE 在平面ABC 内， ∴G 1G 2∥平面ABC . 同理G 2G 3∥平面ABC . 又因为G 1G 2∩G 2G 3＝G 2， ∴平面G 1G 2G 3∥平面ABC . (2)解 由(1)知PG 1PD ＝PG 2PE ＝23，∴G 1G 2＝23DE . 又DE ＝12AC ，∴G 1G 2＝13AC .同理G 2G 3＝13AB ，G 1G 3＝13BC .∴△G 1G 2G 3∽△CAB ，其相似比为1∶3， ∴S △G 1G 2G 3∶S △ABC ＝1∶9.例3 解题导引 近几年探索性问题在高考中时有出现，解答此类问题时先以特殊位置尝试探究，找到符合要求的点后再给出严格证明．(1)证明 连结AC ，过点C 作CE ⊥AB ，垂足为E . 在四边形ABCD 中，AD ⊥AB ，CD ∥AB ，AD ＝DC ， ∴四边形ADCE 为正方形． ∴∠ACD ＝∠ACE ＝45°.∵AE ＝CD ＝12AB ，∴BE ＝AE ＝CE .∴∠BCE ＝45°.∴∠ACB ＝∠ACE ＋∠BCE ＝45°＋45°＝90°. ∴AC ⊥BC .又∵BC ⊥PC ，AC ⊂平面PAC ，PC ⊂平面PAC ，AC ∩PC ＝C ，∴BC ⊥平面PAC .∵PA ⊂平面PAC ，∴PA ⊥BC .(2)解 当M 为PB 的中点时，CM ∥平面PAD .方法一 取AP 的中点F ，连结CM ，FM ，DF .则FM 綊12AB . ∵CD ∥AB ，CD ＝12AB ， ∴FM 綊CD .∴四边形CDFM 为平行四边形．∴CM ∥DF .∵DF ⊂平面PAD ，CM ⊄平面PAD ，∴CM ∥平面PAD .方法二在四边形ABCD 中，设BC 的延长线与AD 的延长线交于点Q ，连结PQ ，CM .∵CD ∥AB ，∴QC QB ＝CD AB ＝12. ∴C 为BQ 的中点．∵M 为BP 的中点，∴CM ∥QP .∵PQ ⊂平面PAD ，CM ⊄平面PAD ，∴CM ∥平面PAD .方法三取AB 的中点E ，连结EM ，CE ，CM .在四边形ABCD 中，CD ∥AB ，CD ＝12AB ，E 为AB 的中点， ∴AE ∥DC ，且AE ＝DC .∴四边形AECD 为平行四边形．∴CE ∥DA .∵DA ⊂平面PAD ，CE ⊄平面PAD ，∴CE ∥平面PAD .同理，根据E ，M 分别为BA ，BP 的中点，得EM ∥平面PAD .∵CE ⊂平面CEM ，EM ⊂平面CEM ，CE ∩EM ＝E ，∴平面CEM ∥平面PAD .∵CM ⊂平面CEM ，∴CM ∥平面PAD .变式迁移3 解 当Q 为CC 1的中点时，平面D 1BQ ∥平面PAO .∵Q 为CC 1的中点，P 为DD 1的中点，∴QB ∥PA .∵P 、O 为DD 1、DB 的中点，∴D 1B ∥PO .又PO ∩PA ＝P ，D 1B ∩QB ＝B ，D 1B ∥平面PAO ，QB ∥平面PAO ，∴平面D 1BQ ∥平面PAO . 课后练习区1．1 2.②④ 3.0 4.①②④5．①③解析 ①∵面AB ∥面MNP ，∴AB ∥面MNP ，②过N 作AB 的平行线交于底面正方形的中心O ，NO ⊄面MNP ，∴AB 与面MNP 不平行．③易知AB ∥MP ，∴AB ∥面MNP ；④过点P 作PC ∥AB ，∵PC ⊄面MNP ，∴AB 与面MNP 不平行．6.6解析 如图，EF ∥E 1F 1∥AB ，EE 1∥FF 1∥BB 1，F 1E ∥A 1D ，E 1F ∥B 1D ，∴EF 、E 1F 1、EE 1、FF 1、F 1E 、E 1F 都平行于平面ABB 1A 1，共6条． 7.223a 解析如图所示，连结AC ，易知MN ∥平面ABCD ，又∵PQ 为平面ABCD 与平面MNQP 的交线，∴MN ∥PQ .又∵MN ∥AC ，∴PQ ∥AC ，又∵AP ＝a 3， ∴DP AD ＝DQ CD ＝PQ AC ＝23，∴PQ ＝23AC ＝223a . 8．24或245解析 分两种情况：图(1)中，由α∥β得AB ∥CD ，求得BD ＝24，图(2)中，同理得AB ∥CD ，求得BD ＝245.9．证明 设A 1C 1的中点为F ，连结NF ，FC ，∵N 为A 1B 1的中点，∴NF ∥B 1C 1，且NF ＝12B 1C 1，又由棱柱性质知B1C1綊BC，(4分)又M是BC的中点，∴NF綊MC，∴四边形NFCM为平行四边形．∴MN∥CF，(8分)又CF⊂平面AA1C1C，MN⊄平面AA1C1C，∴MN∥平面AA1C1C.(12分)10．解在棱C1D1上存在点F，使B1F∥平面A1BE.证明如下：如图所示，分别取C1D1和CD的中点F，G，连结B1F，EG，BG，CD1，FG.因为A1D1∥B1C1∥BC，且A1D1＝BC，所以四边形A1BCD1是平行四边形，因此D1C∥A1B.又E，G分别为D1D，CD的中点，所以EG∥D1C，从而EG∥A1B.这说明A1，B，G，E四点共面，所以BG⊂平面A1BE.(7分)因为四边形C1CDD1与B1BCC1都是正方形，F，G分别为C1D1和CD的中点，所以FG∥C1C ∥B1B，且FG＝C1C＝B1B，因此四边形B1BGF是平行四边形，所以B1F∥BG.而B1F⊄平面A1BE，BG⊂平面A1BE，故B1F∥平面A1BE.(14分)11．(1)证明由AD⊥平面ABE及AD∥BC，得BC⊥平面ABE，BC⊥AE，(2分)而BF⊥平面ACE，所以BF⊥AE，(4分)又BC∩BF＝B，所以AE⊥平面BCE，又BE⊂平面BCE，故AE⊥BE.(6分)(2)解在△ABE中，过点E作EH⊥AB于点H，则EH⊥平面ACD.由已知及(1)得EH ＝12AB ＝2，S △ADC ＝2 2. 故V D —AEC ＝V E —ADC ＝13×22×2＝43.(10分) (3)解 在△ABE 中，过点M 作MG ∥AE 交BE 于点G ，在△BEC 中过点G 作GN ∥BC 交EC 于点N ，连结MN ，则由CN CE ＝BG BE ＝MB AB ＝13，得CN ＝13CE . 由MG ∥AE ，AE ⊂平面ADE ，MG ⊄平面ADE ，则MG ∥平面ADE .(12分)再由GN ∥BC ，BC ∥AD ，AD ⊂平面ADE ，GN ⊄平面ADE ，得GN ∥平面ADE ，所以平面MGN ∥平面ADE .又MN ⊂平面MGN ，则MN ∥平面ADE .(15分)故当点N 为线段CE 上靠近点C 的一个三等分点时，MN ∥平面ADE .(16分)。
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2014年普通高考数学科一轮复习精品学案第10讲空间中的平行关系一．课标要求：1．平面的基本性质与推论借助长方体模型，在直观认识和理解空间点、线、面的位置关系的基础上，抽象出空间线、面位置关系的定义，并了解如下可以作为推理依据的公理和定理：◆公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内；◆公理2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面；◆公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线；◆公理4：平行于同一条直线的两条直线平行；◆定理：空间中如果两个角的两条边分别对应平行，那么这两个角相等或互补。
2．空间中的平行关系以立体几何的上述定义、公理和定理为出发点，通过直观感知、操作确认、思辨论证，认识和理解空间中线面平行、垂直的有关性质与判定。
通过直观感知、操作确认，归纳出以下判定定理：◆平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行；◆一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行；通过直观感知、操作确认，归纳出以下性质定理，并加以证明：◆一条直线与一个平面平行，则过该直线的任一个平面与此平面的交线与该直线平行；◆两个平面平行，则任意一个平面与这两个平面相交所得的交线相互平行；◆垂直于同一个平面的两条直线平行能运用已获得的结论证明一些空间位置关系的简单命题。
二．命题走向立体几何在高考中占据重要的地位，通过近几年的高考情况分析，考察的重点及难点稳定，高考始终把直线与直线、直线与平面、平面与平面平行的性质和判定作为考察重点。
在难度上也始终以中等偏难为主，在新课标教材中将立体几何要求进行了降低，重点在对图形及几何体的认识上，实现平面到空间的转化，示知识深化和拓展的重点，因而在这部分知识点上命题，将是重中之重。
预测2013年高考将以多面体为载体直接考察线面位置关系： （1）考题将会出现一个选择题、一个填空题和一个解答题；（2）在考题上的特点为：热点问题为平面的基本性质，考察线线、线面和面面关系的论证，此类题目将以客观题和解答题的第一步为主。
三．要点精讲1．平面概述（1）平面的两个特征：①无限延展 ②平的（没有厚度） （2）平面的画法：通常画平行四边形来表示平面（3）平面的表示：用一个小写的希腊字母α、β、γ等表示，如平面α、平面β；用表示平行四边形的两个相对顶点的字母表示，如平面AC 。
2．三公理三推论:公理1：若一条直线上有两个点在一个平面内，则该直线上所有的点都在这个平面内：A l ∈,B l ∈,A α∈,B α∈⇒α⊂l公理2：如果两个平面有一个公共点，那么它们还有其他公共点，且所有这些公共点的集合是一条过这个公共点的直线。
公理3：经过不在同一直线上的三点，有且只有一个平面。
推论一：经过一条直线和这条直线外的一点,有且只有一个平面。
推论二：经过两条相交直线,有且只有一个平面。
推论三：经过两条平行直线,有且只有一个平面。
3．空间直线:（1）空间两条直线的位置关系： 相交直线——有且仅有一个公共点；平行直线——在同一平面内，没有公共点； 异面直线——不同在任何一个平面内，没有公共点。
相交直线和平行直线也称为共面直线。
异面直线的画法常用的有下列三种：（2）平行直线：在平面几何中，平行于同一条直线的两条直线互相平行，这个结论在空间也是成立的。
即公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行。
（3）异面直线定理：连结平面内一点与平面外一点的直线，和这个平面内不经过此点的直线是异面直线。
推理模式：,,,A B a B a ααα∉∈⊂∉⇒AB 与a 是异面直线。
aba bαα4．直线和平面的位置关系（1）直线在平面内（无数个公共点）；（2）直线和平面相交（有且只有一个公共点）；（3）直线和平面平行（没有公共点）——用两分法进行两次分类。
aα⊂，a Aα=，//aα。
aαaα线面平行的判定定理：如果不在一个平面内的一条直线和平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行。
推理模式：,,////a b a b aααα⊄⊂⇒．线面平行的性质定理：如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行。
推理模式：//,,//a ab a bαβαβ⊂=⇒．5．两个平面的位置关系有两种：两平面相交（有一条公共直线）、两平面平行（没有公共点）（1）两个平面平行的判定定理：如果一个平面内有两条相交直线都平行于一个平面，那么这两个平面平行。
定理的模式：//////aba b Pabββαβαα⊂⎫⎪⊂⎪⎪=⇒⎬⎪⎪⎪⎭推论：如果一个平面内有两条相交直线分别平行于另一个平面内的两条相交直线，那么这两个平面互相平行。
推论模式：,,,,,,//,////a b P a b a b P a b a a b bααββαβ'''''''=⊂⊂=⊂⊂⇒（2）两个平面平行的性质（1）如果两个平面平行，那么其中一个平面内的直线平行于另一个平面；（2）如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行。
四．典例解析abβα题型1：共线、共点和共面问题例1．（1）如图所示，平面ABD 平面BCD ＝直线BD ，M 、N 、P 、Q 分别为线段AB 、BC 、CD 、DA 上的点，四边形MNPQ 是以PN 、QM 为腰的梯形。
试证明三直线BD 、MQ 、NP 共点。
证明：∵ 四边形MNPQ 是梯形，且MQ 、NP 是腰， ∴直线MQ 、NP 必相交于某一点O 。
∵ O ∈直线MQ ；直线MQ ⊂平面ABD ， ∴ O ∈平面ABD 。
同理，O ∈平面BCD ，又两平面ABD 、BCD 的交线为BD ， 故由公理二知，O ∈直线BD ，从而三直线BD 、MQ 、NP 共点。
点评：由已知条件，直线MQ 、NP 必相交于一点O ，因此，问题转化为求证点O 在直线BD 上，由公理二，就是要寻找两个平面，使直线BD 是这两个平面的交线，同时点O 是这两个平面的公共点即可．“三点共线”及“三线共点”的问题都可以转化为证明“点在直线上”的问题。
（2）如图所示，在四边形ABCD 中，已知AB ∥CD ，直线AB ，BC ，AD ，DC 分别与平面α相交于点E ，G ，H ，F ．求证：E ，F ，G ，H 四点必定共线。
证明：∵AB ∥CD ， ∴AB ，CD 确定一个平面β．又∵AB α＝E ，AB ⊂β，∴E ∈α，E ∈β， 即E 为平面α与β的一个公共点。
同理可证F ，G ，H 均为平面α与β的公共点．∵两个平面有公共点，它们有且只有一条通过公共点的公共直线， ∴E ，F ，G ，H 四点必定共线。
点评：在立体几何的问题中，证明若干点共线时，常运用公理2，即先证明这些点都是某二平面的公共点，而后得出这些点都在二平面的交线上的结论。
例2．已知：a ，b ，c ，d 是不共点且两两相交的四条直线，求证：a ，b ，c ，d 共面。
α DC B AEFHA ．证明：1o 若当四条直线中有三条相交于一点，不妨设a ，b ，c 相交于一点A ， 但A ∉d ，如图1所示： ∴直线d 和A 确定一个平面α。
又设直线d 与a ，b ，c 分别相交于E ，F ，G ， 则A ，E ，F ，G ∈α。
∵A ，E ∈α，A ，E ∈a ，∴a ⊂α。
同理可证b ⊂α，c ⊂α。
∴a ，b ，c ，d 在同一平面α内。
2o 当四条直线中任何三条都不共点时， 如图2所示：∵这四条直线两两相交，则设相交直线a ，b 确定一个平面α。
设直线c 与a ，b 分别交于点H ，K ，则H ，K ∈α。
又 H ，K ∈c ，∴c ⊂α。
同理可证d ⊂α。
∴a ，b ，c ，d 四条直线在同一平面α内．点评：证明若干条线(或若干个点)共面的一般步骤是：首先根据公理3或推论，由题给条件中的部分线(或点)确定一个平面，然后再根据公理1证明其余的线(或点)均在这个平面内。
本题最容易忽视“三线共点”这一种情况。
因此，在分析题意时，应仔细推敲问题中每一句话的含义。
题型2：异面直线的判定与应用 例3．已知：如图所示， ＝a ，b ⊂ ，a b ＝A ，c ⊂ ，c ∥a 。
求证直线b 、c 为异面直线。
证法一：假设b 、c 共面于 ．由A ∈a ，a ∥c 知，A ∉c ，而a b ＝A ，＝a ，∴ A ∈ ，A ∈。
又c ⊂ ，∴、 都经过直线c 及其外的一点A ，αb adcG F EA a bcdα H K图1图2∴与 重合，于是a ⊂ ，又b ⊂。
又 、 都经过两相交直线a 、b ，从而、 重合。
∴、 、 为同一平面，这与＝a 矛盾。
∴ b 、c 为异面直线．证法二：假设b 、c 共面，则b ，c 相交或平行。
（1）若b ∥c ，又a ∥c ，则由公理4知a ∥b ，这与a b ＝A 矛盾。
（2）若b c ＝P ，已知b ⊂ ，c ⊂ ，则P 是 、 的公共点，由公理2，P ∈a ，又b c ＝P ，即P ∈c ，故a c ＝P ，这与a ∥c 矛盾。
综合（1）、（2）可知，b 、c 为异面直线。
证法三：∵＝a ，a b ＝A ，∴ A ∈a 。
∵ a ∥c ，∴ A ∉c ，在直线b 上任取一点P （P 异于A ），则P ∉（否则b ⊂ ，又a ⊂ ，则 、 都经过两相交直线a 、b ，则 、 重合，与＝a 矛盾）。
又c ⊂ ，于是根据“过平面外一点与平面内一点的直线，和平面内不经过该点的直线是异面直线”知，b 、c 为异面直线。
点评：证明两直线为异面直线的思路主要有两条：一是利用反证法；二是利用结论“过平面外一点与平面内一点的直线，和平面内不经过该点的直线是异面直线．。
异面直线又有两条途径：其一是直接假设b 、c 共面而产生矛盾；其二是假设b 、c 平行与相交；分别产生矛盾。
判定直线异面，若为解答题，则用得最多的是证法一、二的思路；若为选择或填空题，则往往都是用证法三的思路。
用反证法证题，一般可归纳为四个步骤：（1）否定结论；（2）进行推理；（3）导出矛盾；（4）肯定结论．宜用反证法证明的命题往往是（1）基本定理或某一知识系统的初始阶段的命题（如立体几何中的线面、面面平行的判定定量的证明等）；（2）肯定或否定型的命题（如结论中出现“必有”、“必不存在”等一类命题）；（3）唯一型的命题（如“图形唯一”、“方程解唯一”等一类命题）；（4）正面情况较为繁多，而结论的反面却只有一两种情况的一类命题；（5）结论中出现“至多”、“不多于”等一类命题。
例4．（1）已知异面直线a,b 所成的角为700，则过空间一定点O ，与两条异面直线a,b 都成600角的直线有( )条A ．1B ．2C ．3D ．4（2）异面直线a,b 所成的角为θ,空间中有一定点O ，过点O 有3条直线与a,b 所成角都是600，则θ的取值可能是（ ）A ．300B ．500C ．600D ．900解析：（1）过空间一点O 分别作a '∥a,b '∥b 。