第二章 单自由度系统的振动44

（5）
t 6 (t ) p(t ) m y (t ) 3 (t ) p y(t ) c(t ) 3 y y(t ) 2 t
（6）
得到：
(t )y(t ) p (t ) k
(t ) y 3 t (t ) y (t ) 3 y y (t ) t 2
y (t )
1 p(t ) FD (t ) FS (t ) m
（8）
逐步积分法的步骤（略）。
逐步积分法的步骤：
1）确定任一区间的初始速度和初始位移； 2）根据（8）式求出区间的初始加速度； 3）根据（5）（6）式计算等效刚度和等效增量荷载； 4）根据（7）式计算位移增量； 5）根据（3）式计算速度增量； 6）由（9）式计算区间末端的位移和速度； 7）重复2）-6）步骤，计算下一区间，直到体系的动力 响应过程完全被确定。
yi yi 1 t yi ( ) t 2
（e）
yi
pi cyi kyi m
i点的加速度可由（a）使求得：
（d）
将（e）式代人（d）式整理得：
yi pi 2c( yi yi 1 ) 2kyi 2 2m ct (2m ct )t 2m ct
6 t 6 3 (t ) 3 (t ) m 2 y(t ) y y(t ) c(t ) y(t ) 3 y y(t ) t 2 t t k (t )y(t ) p(t ) （4）
6 3 ~ k k ( t ) 2 m c( t ) t t
三 线加速度法
1、增量型动平衡方程：
v (t) c m k p (t)
v (t)
FD
FS
FI
p(t )
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在任一瞬间，质量m上力的平衡方程：
FI (t ) FD (t ) FS (t ) p(t )
经过t时间后，成为：
FI (t t ) FD (t t ) FS (t t ) p(t t )
x t t x x t t x
x t x
速度（二次）
2 x t x t t x x 2 t t x
0.5 t x
t t x t x
t y y (t )t y (t ) 2
p( t ) t t
t
FS (t ) k (t )y(t )
p(t ) p(t t ) p(t )
运动增量平衡方程的最终形式：
(t ) k (t ) y(t ) p(t ) m y(t ) c(t ) y
（1）
线性加速度法：
加速度（线性）
假定在每个时间增 量内加速度线性变 化，而且体系的特 性在这个间隔内保 持为常量。
（a）
采用递推公式来求解微分方程，步骤如下： 1、将时间t划分成等间距的等分点：
t0，t1，t 2， ，t n 且 t=t1 -t0 =t 2 -t1 = =t n -t n-1
2、确定初始条件：
0 设t=t 0时，位移为y0，速度为y
3、推导：
设在点 i-1，i，i+1区间，位移用二次抛物线来代替真实的位移曲线，则 在此区间内的位移方程y(t)可近似取为： y 2 yi yi 1 2 yi 1 yi 1 y(t)= i 1 t t yi 2 2(t ) 2t
t 2 t 2 (t )t y (t ) y y(t ) y(t ) 2 6
6 6 (t ) 3 y (t ) 2 y (t ) y y (t ) t t t 代入：y y (t )t y (t ) 2 3 t (t ) y (t ) 3 y (t ) y y (t ) t 2
（7）
6 6 (t ) 3 y (t ) 2 y (t ) y y (t ) t t
(t )y(t ) p (t ) k
(t ) y 3 t (t ) y (t ) 3 y y (t ) t 2
y(t t ) y(t ) y(t )
平衡方程：
~ ~ P M x
~ M m 0.5tc 0.25 t 2 k ~ 2 t P p c t x k t x 0 . 5 k t x t t
2.8 用Rayleigh法进行振动分析
y (t)
Vmax
Tmax
1 2 2 mv0 2
Vmax

1 2 kv0 2
Tmax
1 2 2 mv0 2
Rayleigh法的理论基础为能量守恒定律。即认为如果没有阻尼力消耗能量 的话，在自由振动体系中，能量应该保持常量。 最大动能等于最大位能：
ˆ ˆ ˆP ˆ M x
1 2 ˆ M m 0.5c k 6 2 ˆP ˆ ˆ p c t x k x 0 . 5 k x t t
1 ˆ x x
q
Newmark-法
t x t [(1 ) t t t ] x x x 2 x x x [( 0 . 5 ) x x ] t t t t t t
运动方程的增量形式：
FI (t ) FD (t ) FS (t ) p(t )
fD (v ) fD (t+t ) fD ( t )
c( t )
初始斜率
平均斜率
fS ( v ) fS (t+t ) fS ( t )
初始斜率
k( t )
平均斜率
fD ( t )
fS ( t ) v ( t )
Wilson-q法
Wilson-q法：假定在每个时 间段(t,t+qt)内加速度线性 变化，而且体系的特性在 (t,t+t)内保持为常量。
t x
t+ t
x
^ x
t t x
t
t
q t
t
t +
ˆx ˆ t 0.5 x x 1 2ˆ ˆ 2 x xt 0.5 xt x 6
2 位t 移（三次） (t )t y (t ) y y (t ) 2 t 2 y (t ) 6
3 x t 0 .5 t 2 xt xt x x 6 t
1 t 2 x 6
t t 2 0.5 x t t x xt t t+ t xt
（2）
由（1）、（2）便可求出各个分点上的位移。 y11 不存在，不能应用（1）式求得，对此可采用近 4、注意，对于 y 由于y y 11 似公式计算：
y1 y0 1 y0 (t ) 2 2
此式的物理意义是把第一区间的运动视为等加速度运动。如不考虑阻尼， 则（2）式可简化为
pi kyi yi (t ) m
（9）
(t t ) y (t ) y (t ) y y(t t ) y(t ) y(t )
6 6 (t ) 3 y (t ) 2 y (t ) y y (t ) t t
为了避免累计误差，利用总的平衡条件：
（2）
（3）
(t ) k (t )y(t ) p(t ) 得到： 代入 m y(t ) c(t )y
6 t 6 3 (t ) 3 (t ) m 2 y(t ) y y(t ) c(t ) y(t ) 3 y y(t ) t 2 t t k (t )v(t ) p(t )
自振频率：

k m*
*
c m k
自由振动位移： 自由振动速度： 弹簧变形能：
v(t ) v0 sint
(t ) v0 cost v
1 2 kv0 2
质量块动能：
1 2 1 2 V kv kv0 sin2 t 2 2
1 1 2 2 2 mv0 T mv cos2 t 2 2
( t ) v
v v ( t ) v (t+t )
v v( t )
p( t ) p (t+t ) p (t) t
v (t+t )
FI (t ) FI (t t ) FI (t ) m y(t )
(t ) FD (t ) c(t )y c(t ) dFD / dy k (t ) dFS / dy
i (t ) y
yi 1 2 yi yi 1 yi (t ) (t ) 2
于是由（c）式可得：
yi 1 yi 1 2t
（b） （c）
yi 1 yi 1 2 yi yi (t )2
将（1）式代人（b）式得：
（1）
i (t ) y
无条件稳定要求： 无人工阻尼要求：
0.5
x
真实 x
0.5
无条件稳定要求：
xt
x t+ t

0.25(0.5 )2

t t t t+ t
0.25
Newmark-法 （=1/4）
t x 加 速 度 （ 常 数 ）
t t t ) t x x 0.25( x t t
2
位移（二次）
xt
t t+ t
xt
Newmark-法 （=1/4）
( ) 0.5 t 0.5 t t x x x (t t t )
t t x t 0.5( t t t )t x x x 2 x x x t 0 . 25 ( x x ) t t t t t t t t
则杜哈姆积分可简写为：
（1）
y(t ) A(t )sin t B(t )cont
（2）
对（1）式可采用辛普生积分公式来计算。（参考数值计算方法）由此便 可求得杜哈姆积分。
二 加速度冲量外推法
有阻尼受迫振动的运动方程可写成：
y (t ) (t ) ky (t ) p(t ) cy m
2.7 单自由度体系振动计算的数值法
一 杜哈姆积分的数值计算方法
当作用于体系上的荷载函数是已知的而且便于积分时，则可 由杜哈姆积分直接求出。然而，当荷载函数较复杂，不便于直 接积分，就需要借助数值积分方法求解。下面以无阻尼情况为 例来讨论，有阻尼情况可参考。
设初始条件为零，则引入符号：
1 t A(t ) p ( ) con d m 0 1 t B (t ) p( ) sin d m 0
真实
x x t x
t 0.5 x x
t t t ) x t 0.5( x x
速度（线性）
t t t ) t x x 0.5( x t
x t
xt x t 0.25 ( t t t) 2 x x