1n阶行列式

于是D中不为0的项可以记作
这里
(1)R a1p1 a2 p2 a b b kpk 1,q1 2,q2 bn,qn
pi ri , qi rki k , 1 ri k , k 1 rki k n ,
R也就是排列 p1 p2 pk (k q1) (k qn ) 的逆序数， 以P，Q分别表示排列 p1 p2 pk 与 q1q2 qk 的逆序数，
§4 行列式的计算
定义6 在n阶行列式中，划去元素aij所在的第i行 与第j列中的元素，剩下的(n-1)2 个元素按其原来的排法 构成一个n－1阶行列式叫做元素aij的余子式，记为Mij .
Aij叫做元素aij的代数余子式。 Aij与行列式中第i行、第j列的元素无关。
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引理 在n阶行列式D中，如果第i行元素除aij外全部 为零，那么这个行列式等于aij与它的代数余子式的乘积， 即
p1 pi1 pi1 pim pi pim1 pim2 pn , 再把 pim1 往前连续作 m+1 次相邻对换，排列变为
p1 pi1 pim1 pi1 pim pi pim2 pn ,
从而实现了 pi 与 pim1 的对换，
它是经过 2m+1 次相邻对换而成， 排列也就改变了 2m+1 次奇偶性， 所以两个排列的奇偶性相反.
个乘积项
中，只要有一个元素为0，乘
积就等于0，所以只需计算展开式中不明显为0 的项。
行列式展开式中不为0的项只可能是a11a22a33a44， 而列标排列1234的逆序数为0，即此项符号为正，因此
行列式D＝a11a22a33a44 .
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注：可扩充到n阶的情形。 例：n阶行列式
Dn＝
定理1 一个排列中的任意两数对换，排列改变 奇偶性。
证 先证相邻对换的情形.
设排列为 p1 pi1 pi pi1 pi2 pn ,
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对换 pi与 pi1排列变为 p1 pi1 pi1 pi pi2 pn.
显然 p1 pi1 pi2 pn 这些数的逆序数经过对换并不改变， 仅 pi 与 pi1 两数的逆序数改变： 当 pi pi1时，经对换后，pi1 pi 是逆序，
则有R=P+Q，于是
D
(1)PQ a1p1 a2 p2
p1 pk q1 qn
a b b kpk 1,q1 2,q2
bn,qn

(1)P a1p1a2 p2
p1 pk
akpk (
(1)Q b1,q1b2,q2
q1 qn
bn,qn )

(1)P a1p1 a2 p2
p1 pk
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例 计算行列式 解：由定理3知
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例 计算行列式 (加边法)
解 当x＝0 或y＝0时，显然D＝0，现假设x≠0，且 y≠0，由引理知
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例 证明范德蒙(Vander monde)行列式
证明：用数学归纳法。 当n＝2时
假设对n－1阶成立，现证对n阶也成立。
R是排列 r1r2 rk rk1 rkn的逆序数，
dkn,rk n
由于 di, jk 0 (i=1,2,…，k; j=1，2，…，n)，
可见 r1, r2 , , rk 均不可大于k值，否则该项为0， 故 r1, r2 , rk 只能在1，2，…，k中选取，
从而 rk r 1, k2 , , rkn 只能在 k+1, k+2, … , k+n 中选取，
akpk D2
D1D2
行列式中，从左上角到右下角的直线称为主对角线。
主对角线以上的元素全为零（即i<j时元素aij＝0） 的行列式称为下三角行列式，它等于主对角线上各元
素的乘积。
主对角线以下的元素全为0（即i>j时元素aij＝0） 的行列式称为上三角行列式，它等于主对角线上各元
素的乘积。
行列式中Байду номын сангаас除对角线上的元素以外，其他元素
把行列式
§3 行列式的性质
的行换成同序数的列,
称为行列式D的转置行列式。
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性质1 行列式与它的转置行列式相等 。
证： 记
即bij＝aji
(i，j＝1，2，…，n)
按行列式定义
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性质2 互换行列式的两行（列），行列式反号。 证
交换第p、q两列，得行列式
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Dn＝
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例 证明
上面的行列式中，未写出的元素都是0。 证: 因为行列式的值为
而排列j1j2…jn只能是n(n－1)…21的排列， 故逆序数
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所以行列式的值为
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例设
a11
a1k 0
0
D ak1
akk 0
0
c11
c1k b11
b1n
cn1
a11 D1
的前后位置与大小顺序相反，即前面的数大于后面
的数，那么称这两个数构成一个逆序(反序)。一个
排列中，逆序的总数称为这个排列的逆序数。
排列j1, j2,…, jn的逆序数，一般记为 ( j1 , j2 ， …， jn )
定义3 逆序数为偶数的排列称为偶排列，逆序
数为奇数的排列称为奇排列。
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证：由条件有 D＝－D 故可得 D＝0
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性质3 行列式的某一行（列）中所有元素都 乘以同一个数k，等于用数k乘以此行列式。
性质4 行列式中若有两行(列)元素对应成比 例，则此行列式为零。
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性质5 若行列式的某行（列）的元素都是两个数 之和，例如
则行列式D等于下列两个行列式之和：
dk+i, j =cij di,k+j=0
(i, j= 1, 2,…，k)；
(i, j= 1, 2,…，n)；
(i= 1, 2,…，n; j= 1, 2,…，k).
(i= 1, 2,…，k; j= 1, 2,…，n).
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考察D的一般项 (1)R d1r1d2r2 d d krk k1,rk 1
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性质6 把行列式某一行（列）的元素乘以数k，加 到另一行（列）对应的元素上去，行列式的值不变。
以数k乘以第i行(列)上的元素加到第j行(列)对应元 素上，记作r（j＋i（k）），[ c（j＋i（k）]，有
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总结：三种行列式变换 1 互换两行或两列
2 第i行或第j列乘上非零数k
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例 求方程 f (x) 0 的根，其中
x 1 x 2 x 1 x
x2 x4 x2 x f (x)
x 3 x 6 x 4 x 1
D＝aijAij
证 先证i＝1，j＝1的情形
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对一般情形，只要适当交换D的行与列的位置，即 可得到结论。
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定理3 行列式等于它的任一行（列）的各元素 与其对应的代数余子式乘积之和，即
证
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例 计算行列式 解 由定理3 知
注：运用定理3可适当减轻行列式的运算。
同理可证
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代数余子式的重要性质（行列式按行（列）展开公式）:
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例 计算n阶行列式 解法一
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例 计算n阶行列式
解法二(递推法) 由行列式Dn可知
将Dn按第1列展开
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这个式子对任何n(n2) 都成立,故有
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例 利用递推公式法计算 解：按第一行展开
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故结论成立。
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例 利用范德蒙行列式求解 解：
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推论 行列式D 中任一行(列)的元素与另一行(列 )的对应元素的代数余子式乘积之和等于零, 即
证
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当ij, 因为Ajk 与行列式中的第j 行的元素无关，将
式中ajk换成aik(k=1,2,…,n),可得
0+1+0+2+4=7
故排列42531的逆序个数为7，即τ(42531)=7，
因而是奇排列.
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(2) 同理可得：
τ[135…(2n-1)246…(2n)]=0+(n-1)+(n-2)+…+2+1=
n(n 1) 2
所给排列当n=4k或4k+1时为偶排列，当n=4k+2或4k+3
时为奇排列.
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说明： 1) 等式右边的每一项都是n个元素的乘 积，这n个元素均位于不同的行和不同的列。
2) 各项的正负号与列标排列有关，偶 排列为正，奇排列为负。
3) 因为1,2,…n的排列有n!个，故等式
右边共有n!项。
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例 计算4阶行列式
解： 根据定义，D是4！＝24项的代数和，但每一
全为零（即i≠j时元素aij＝0）的行列式称为对角行列 式，它等于对角线上元素的乘积。
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定理2 n阶行列式的项可以写成
其中S与T分别是n级排列p1p2…pn与q1q2…qn的逆序数。
证明：将
重排，使其行标成为自然
顺序
, 行标、列标同时作了一次对换，总
逆序数之和不改变奇偶性。
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课程：线性代数

第一章 n 阶行列式
第一节 全排列与逆序数 第二节 行列式的定义 第三节 行列式的性质 第四节 行列式的计算 第五节 克莱姆法则 第六节 拉普拉斯定理
§1 全排列与逆序数
定义 1 由1，2，……,n组成的一个有序数组
称为一个n 级全排列（简称排列）。
定义2 在一个排列中，如果两个数(称为数对)
3 行列式第i行或第i列乘上数k 加到第j行或第j列对应元素上
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例 计算四阶行列式 解
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例 计算四阶行列式 解
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例：
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例：计算行列式 解：
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例：
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§2 行列式的定义
定义5 设有n2个数aij（i，j＝1，2，…, n），
排成方阵形式
在不同行、不同列中取n个数作乘积
，并乘
以符号 为
（其中J为列标排列j1, j2,…,jn的逆序数），记 ，这样的乘积有 项。
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它们的和 记Dn＝
，称为n阶行列式。
为行列式第i行第j列的元素
称为n阶行列式的展开 式或行列式的值。
新排列的逆序数增加1；
当 pi pi1时，pi1 pi 不是逆序，
所以
新排列的逆序数减少1；
排列 p1 pi1 pi pi1 pi2 pn 与排列 p1 pi1 pi1 pi pi2 pn
的逆序数相差1，奇偶性改变.
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下证一般对换的情形.
设排列为 p1 pi1 pi pi1 p p p im im1 im2 pn , 对换 pi 与 pim1 ， 先把 pi 往后连续作m次相邻对换，排列变为
练习
排列12的逆序数为 0. 排列231的 逆序数为 2. 排列215479683的逆序数为 11. 排列135…(2n-1)(2n)(2n-2)…42的逆序数是 n(n-1).
定义4 一个排列中，将某两个数对调，其余的 数不动，这种对排列的变换叫对换，将相邻两数对 换，叫做相邻对换（邻换）。
我们把排列231中的3与1对换，得到排列213，这两 个排列的奇偶性是相反的，事实上对一般的排列也 是如此。
对于D中任一项 其中I为排列 在D1中必有对应一项
的逆序数
其中I1为排列 与
的逆序数 只经过一次对换
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所以对于D中任一项，D1中必定有一项与它的 符号相反而绝对值相等，又D与D1的项数相同。
交换行列式i，j两行记作r（i，j），交换行列式 i，j两列，记作c（i，j）。
推论 若行列式有两行（列）元素对应相等， 则行列式为零。
例 计算以下各排列的逆序数，并指出它们的奇偶性 (1) 42531，（2） 135…（2n-1）246…(2n).
解（1） 对于所给排列， 4排在首位，逆序个数为0； 2的前面有一个比它大的数，逆序个数为1； 5的前面有0个比它大的数，逆序个数为0； 3的前面有两个比它大的数，逆序个数为2； 1的前面有四个比它大的数，逆序个数为4. 把这些数加起来，即
ak1
证明D=D1D2.
cnk bn1
bnn
a1k
b11
b1n
D2
akk
bn1
bnn
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证 记 a11
a1k 0
0
D ak1 c11
akk 0 c1k b11
0
d11

b1n
dk n,1
d1,k n dk n,k n
其中
cn1
cnk bn1
bnn
dij=aij dk+I ,k+j=bij