1n阶行列式
n 阶行列式的定义与性质
a a
12
1n
a a
n
22
2n
a a ...a a . 11 22
nn
ii
i1
a a a
n1
n2
nn
例 2 计算 n 阶行列式
a a a
11
12
1n
0 a a
22
2
n
.
0 0 a nn
解 分析
展开式中项的一般形式是 a1 p1a2 p2 anpn . pn n, pn1 n 1, pn3 n 3, p2 2, p1 1,
a11 a12 a1n
ai1 ai2 ain
a j1 a j2 a jn
an1 an2 ann
a11 a12 a1n
a j1 a j2 a jn
ai1 ai2 ain
an1 an2 ann
证明 根据行列式的定义及定理 1.1
左端
(1)
(
a j1 ji j j jn ) 1 j1
an1 an2 ann
设 n 阶行列式 D 的第 i 行与第 k 行相同，于 是将第 i 行与第 k 行互换,行列式不变;但由性 质 4个知，它们又应当反号即有 D=-D ，即 2 个 D=0个，故 D=0.。
性质 6 如果行列式中两行（两列）的对应元 素成比例，那么行列式为 0 ．
证明 a11 a12 a1n
an1 an2 ann
右端
说明
利用行列式的性质可简化行列式的计算，基 本思路是根据性质把行列式化成为上三角形 行列式，它等于变换后的行列式的主对角元 素的乘积。
例5 解
计算行列式
1 9 13 7 2 5 1 3 3 1 5 5 2 8 7 10
n阶行列式的定义及性质
推论 如果行列式有两行(列)完全相同，则此行列式为零
证 把这两行互换，有 D D , 故D 0
推论1 行列式中某一行(列)的所有元素的公因子 可以提到行列式符号的外面
推论2 若行列式中有两行(列)成比例，则此行列 式等于零.
推论3 若行列式中某一行(列)的元素全为零，则 此行列式等于零.
证 设行列式
a11 D1 kai1 an1
a12 kai 2 an 2
a1n kain ann
是由行列式 D det(aij ) 的第i行中所有的元素都乘以同一数 k得到的. 由行列式的定义知 ( p1 p2 pn ) ( 1) a1 p1 D1
p1 p2 pn
ai 1 pi1 (kaipi )ai 1 pi1
因此 当
n 4k
或者 n
4k 1
时，该排列是偶排列；
当n
4k 2
或者
n 4k 3 时，该排列是奇排列。
6
定义 在一个排列中，把某两个数的位置互换，而保持其余的 数不动，这种对一个排列作出的变动叫做对换. 将相邻两个数 对换，叫做相邻对换.
例 五级偶排列21354经过2，3对换变成排列31254，容易计算
(21354)=2，所以21354是偶排列.
(2) 在六级排列135246中，共有逆序32，52，54，即
(135246)=3，所以135246是奇排列.
二、排列的逆序数
2. 逆序数计算法：
(q1q2 qn ) ( qi前边的比它
i 1
n
大的数字的个数 )
.例如
(64823517 ) 0 1 0 3 3 2 6 1 16
n阶行列式的定义及性质
注 在计算行列式 中, 经常需要用初等 变换来“打洞”, 可 以看出“打洞”中 起主要作用的是性 质5.
•命题
(1) A 初 B, 则|A|与|B|要么同时为0, 要么同时不为0.
(2)设n阶方阵A满足|A|≠0, 且A经过有限次初等行变换变 成行简化阶梯矩阵R, 则R=En.
❖性质7
a2n
an1 an2 ann
简记为det(aij) 其中p1p2 pn为自然数1 2 n的一个排列 t为这个排列的逆序数 ∑表示对所有排列p1p2 pn取和.
在n阶行列式D中 数aij为行列式D的(i j)元.
特别规定一阶行列式|(a)|的值就是a.
❖三阶行列式的结构二：
a12 a1n
a11 a12 a1n a11 a12 a1n
(2) ai1 bi1 ai2 bi2 ain bin ai1 ai2 ain bi1 bi2 bin .
an1
an2 ann an1 an2 ann an1 an2 ann
1 2 3 4
1 0 7 2
例
设
A
0
7
9 1
2 4
5
,
则Hale Waihona Puke 6AT 23
9 2
1 4
1. 8
2
1
8
3
4 5 6 3
(1)A的第3列元素3,2,4,8正好是AT的第3行元素; (2)A的第3列元素的余子式
0 9 51 2 41 2 41 2 4
7 1 6,7 1 6,0 9 5,0 9 5
2 1 32 1 32 1 37 1 6
行列式某一行(列)的元素与另一行(列)的对应元素的代
数余子式乘积之和等于零. 即
n阶行列式
则上述二元线性方程组的解可表示为
b1a22 a12b2 D1 x1 a11a22 a12a21 D a11b2 b1a21 D2 x2 a11a22 a12a21 D
例1
求解二元线性方程组 3 x1 2 x2 12
2 x1 x2 1
解
因为 D
二元线性方程组
a11 x1 a12 x2 b1 a21 x1 a22 x2 b2
其求解公式为
我们引进新的符号来表示“四个 数分成两对相乘再相减”.
数表
a11 a21
a12 a22
记号
a11
a12
a21 a22
b1a22 a12 b2 x1 a a a a 11 22 12 21 x a11b2 b1a21 2 a11a22 a12 a21
12
记
b1 D1 b2 b3
a12 a13 a22 a23 , a32 a33
a11 b1 D2 a21 b2 a31 b3
a13 a23 , a33
a11 a12 b1 D3 a21 a22 b2 . a31 a32 b3
则三元线性方程组的解为
D1 x1 , D D2 x2 , D D3 x3 . D
(1)
( j1 j2 j3 j4 j5 )
(1)
t
上述结论对n级排列也适用。
24
任一n级排列 j1 j2 ... jn可经上述方法对换变成1,2,…n 设n级排列 j1 j2 ... jn 经过t次对换变成1,2，…n 显然1,2…n为偶排列，因此
如果 j1 j2 ... jn 是奇（偶）排列，则t必为奇（偶）数
3-1 n阶行列式的概念
行列式理论是研究线性方程组的解法而产生的. 行列式理论是研究线性方程组的解法而产生的. 近代,被广泛应用于数学, 近代,被广泛应用于数学,物理以及工程技术等 许多领域. 许多领域. 在线性代数中,更是一个不可缺少的重要工具. 在线性代数中,更是一个不可缺少的重要工具. 主要介绍定义,性质,计算及克莱姆法则. 主要介绍定义,性质,计算及克莱姆法则. 定义
(a , b)
证明: 证明 (1)相邻对换
AabB → AbaB
A,B中的每一个数的逆序数都没有发生改变, 所以只需考虑a ,b的逆序数 若 a > b a的逆序数不变, b 的逆序数减少1 若
a < b a 的逆序数增加1,b 的逆序数不变, 所以, AabB, AbaB 的奇偶性不同
7
(2)一般对换
Aak1k2 kmbB → Abk1k2 kmaB
情况太复杂,改变思考角度 不是通过一次性得到结果,而是作如下过程:
(a , b)
Aak1k2 kmbB
m+1 +1次相邻对换 作m+1次相邻对换 作m次相邻对换 次相邻对换
→
由(1)知, 改变了2m+1(奇数) 次奇偶性 奇偶性当然改变.
8
→
Ak1k2 kmbaB Abk1k2 kmaB
1
第一节 n阶行列式的概念 阶行列式的概念
2
一,排列及其逆数 由n个自然数组成的一个有序数组, 定义3.1.1 定义3.1.1 称为由这n个自然数的一个全排列 全排列,简称排列 全排列 排列 记作: i1i2 in 例
自然数 1,2 1,2,3 1,2,3,4 123 1234 132 12 213 231 …… …… 312 4321 n(n-1) 321 ( -1)…321
第一节 n 阶行列式
§1.1
数域与n 排列 数域与n元排列
研究行列式需要数域和排列，为此， 研究行列式需要数域和排列，为此，我 们先讨论数域和排列. 们先讨论数域和排列.
一、数域
前家知道：数是数学的一个最基本的概 前家知道： 绝前多数计算最终都归结为数的代数运算. 念，绝前多数计算最终都归结为数的代数运算. 又研究某些问题， 又研究某些问题，常与研究对象的取值范围有 关，如方程 x 2 + 1 = 0 在有理数范围和实数范围均无解， 在有理数范围和实数范围均无解，但在复数 x 范围有解： 范围有解： = ±i
a11 a 21
a12 = a11 a 22 − a12 a 21 . a 22
称为2阶行列式(determinant)，其中横排叫行， 称为2阶行列式(determinant)，其中横排叫行， (determinant) a 纵排叫列， 叫行列式的元素， 纵排叫列， ij叫行列式的元素，元素aij 的第一个 下标i叫行标，第二个下标j叫列标. 下标i叫行标，第二个下标j叫列标. 16
a11 x1 + a12 x 2 = b1 a 21 x1 + a 22 x 2 = b2
15
当 a11a22 − a12 a21 ≠ 0时，
用加减消元法可求得它的唯一解： 用加减消元法可求得它的唯一解： b1 a 22 − b2 a12 b2 a11 − b1 a 21 x1 = , x2 = a11a 22 − a12 a 21 a11 a 22 − a12 a 21 为了便于记忆，引入记号 为了便于记忆，
定义1.3 在一个 级排列 1i2…in中, 如果有较前的数 t 在一个n级排列 级排列i 如果有较前的数i 定义 排在较小的数i 前面(i 则称i 构成一个逆序 逆序. 排在较小的数 s前面 s<it), 则称 t与is构成一个逆序 一个 n级排列中逆序的总数 称为它的逆序数 记为 1i2…in). 级排列中逆序的总数, 逆序数, 级排列中逆序的总数 称为它的逆序数 记为t(i 逆序数为奇数的排列称为奇排列, 逆序数为奇数的排列称为奇排列, 逆序数为偶数的排 奇排列 偶排列. 列称为偶排列 列称为偶排列. 交换一个排列中某两个数的的位置而 11 其余数的保持不动的变换称为对换 对换. 其余数的保持不动的变换称为对换.
09级第1章行列式n阶行列式
证
a11 a21 a31
a12 a22 a32
a13 a23 a33
= (−1)τ (123) a11a22a33 +(−1)τ(132) a11a23a32
+(−1)
τ (213)
τ (312)
a12a21a33 +(−1)
τ (231)
τ (321)
a12a23a31
a13a22a31
+(−1)
τ(i1 i L in )+τ(j1 j L jn )
2 2
τ(i1i L in ) 奇->偶
2
τ(i1i L in ) 偶->奇
2
τ(j1 j L jn )
2
奇->偶 偶->奇
偶->偶 奇->奇
奇->奇 偶->偶
τ(j1 j L jn )
2
则 τ(i1 i 2 L in )+τ(j1 j 2 L jn )的奇偶性不改变，于是
= ( −1 )
τ ( 12Ln )
1 ⋅ 2L ⋅ n
= n!
例2
计算行列式 (1) 计算行列式
6
跳转到第一页
1 2 3 4 D=
解
0 4 2 1 0 0 5 6 0 0 0 8
1 2 3 4 0 4 2 1 D= 0 0 5 6 0 0 0 8
= ( −1 )
τ ( 1234 )
1 ⋅ 4 ⋅ 5 ⋅ 8 = 160.
22
跳转到第一页
*证 证
由定理二
τ ( i1i2 Lin ) +τ ( j1 j2L jn )
D = ∑ ( −1 )
N阶行列式 01
按不同的行或列,展开的结果是一样的 按不同的行或列 展开的结果是一样的. 展开的结果是一样的 行列式按零元素较多的行(列 展开比较简便 行列式按零元素较多的行 列)展开比较简便
※降阶展开法可以应用到n阶行列式 降阶展开法可以应用到 阶行列式
a11 a12 a 22 L a1 n L a2n O M a nn .
对角线法则只适用于二阶与三阶行列式． 对角线法则只适用于二阶与三阶行列式．
2 三阶行列式包括 项,每一项都是位于不同行 三阶行列式包括3!项 每一项都是位于不同行 每一项都是位于不同行, 不同列的三个元素的乘积,其中三项为正 三项为负. 不同列的三个元素的乘积 其中三项为正,三项为负 其中三项为正 三项为负
例 6 计算上三角形行列式 A. =
解: 将n阶上三角形行列式按第一列元素降阶展开 后,再按同一方法继续下去,可得:
a11 A= a12 a 22 L a1n L a2 n O M a nn
a 22 = a11 ( −1)1+1 L a2 n O M + 0 +L+ 0 a nn
A22 = a11
A=
a11 a 21
a12 a 22
= a11a 22 − a12 a 21
= a21 A21 + a 22 A22
二阶行列式也可表示成它的第二行各元素与其对 应的代数余子式的乘积之和. 应的代数余子式的乘积之和 归纳:二阶行列式可表示成它的任意一行 列 各元 归纳 二阶行列式可表示成它的任意一行(列)各元 二阶行列式可表示成它的任意一行 素与其对应的代数余子式的乘积之和. 素与其对应的代数余子式的乘积之和
a i −12 L a i −1 j −1 a i −1 j
第一章 第一节 n阶行列式的定义和性质
第一章 行列式行列式的概念是在研究线性方程组的解的过程中产生的. 它在数学的许多分支中都有着非常广泛的应用，是常用的一种计算工具。
特别是在本门课程中，它是研究后面线性方程组、矩阵及向量组的线性相关性的一种重要工具。
§1.1 n 阶行列式定义和性质1.二阶行列式定义1 二阶行列式 由22个数排成2行2列所组成下面的式子（或符号）2112221122211211a a a a a a a a -=称为二阶行列式，行列式中每一个数称为行列式的元素，数ij a 称为行列式的元素,它的第一个下标i 称为行标,表明该元素位于第i 行,第二个下标j 称为列标, 表明该元素位于第j 列.位于第i 行第j 列的元素称为行列式的),(j i 元。
2阶行列式由22个数组成，两行两列；展开式是一个数或多项式；若是多项式则必有2!2=项，且正负项的各数相同。
应用：解线性方程例1：二阶线性方程组⎩⎨⎧=+=+22221211212111b x a x a b x a x a且021122211≠-a a a a . 解：2112221122211211a a a a a a a a D -==，2122212221211b a a b a b a b D -==，2112112211112a b b a b a b a D -==得 .,2211DD x DD x ==例2：解方程组.328322121⎩⎨⎧-=-=+x x x x 解 D 2132-=13)2(2⨯--⨯=,7-=1D 2338--=)3(3)2(8-⨯--⨯=,7-=2D 3182-=18)3(2⨯--⨯=.14-=因,07≠-=D 故所给方程组有唯一解1x D D 1=77--=,1=2x DD 2=714--=.2=2.三阶行列式定义2由23个数排成3行3列所组成下面的式子（符号） 333231232221131211a a a a a a a a a =.332112322311312213322113312312332211a a a a a a a a a a a a a a a a a a ---++ 称为三阶行列式。
行列式及其计算1
行列式及其计算行列式的定义：方法一：n 阶行列式111212122212.....................n n n n n nna a a a a a D a a a =121212(...)12...(1)...n n np p p p p np p p p a a a τ=-∑（1）n 阶行列式是!n 项的代数和；（2）每一项是取自不同行不同列的n 个元素的乘积1212...n p p np a a a （12....n p p p 是1,2,,n 的一个排列）；（3）当12....n p p p 是偶排列时, 1212...n p p np a a a 带正号, 当12....n p p p 是奇排列时, 1212...n p p np a a a 带负号.方法二：定义二阶行列式11122112212212122a a D a a a a a a ==-，假设我们已经定义了1n -阶行列式，称由n 行n 列2n 个数构成的111212122212.....................n n n n nna a a a a a D a a a =为n 阶行列式.定义D 的值为：121122(1)(1)(1)nn n n n n n n nn nn D a M a M a M +++=-+-++-1122n n n n nn nn a A a A a A =+++ . 其中ij M 是ijnD a =中划去元素ij a 所在的第i 行与第j 列，剩下的2)1(-n 个元素按原来的排列顺序构成一个1-n 级行列式，称其为(),i j 位置元素ij a 的余子式，(1)i j ij ij A M +=-称为元素ij a 的代数余子式. 行列式的性质与展开行列式的性质1.行列式D 与其转置行列式T D 相等(即TD D =).2.交换行列式的两行(或列),行列式改变符号（即i j i jr r c c D D D D ↔↔=-=-或）. 3.行列式中某行(或列)的公因子可以提到行列式符号外面做因子.（即1(0)1i r k kD kD ⨯≠=（或1(0)1i c k kDkD ⨯≠=）4.n 阶行列式D 可以按第i 行(或列)拆成两个行列式1D 与2D 的和，即12D D D =+.其中D 的第i 行(或列)为1D 与2D 的第i 行(或列)的和；D ，1D ，2D 的其余各行(或列)对应元素则同的完全一样.5.把行列式某一行(或列)的元素同乘一数后加到另一行(或列)的对应位置元素上,行列式的值不变.（即1i jr kr D D +=或1i jc kc D D +=） 行列式的展开1. n 阶行列式D 的某行（或列）元素与对应元素的代数余子式乘积之和为D .2.行列式的某行（或列）元素与另一行（或列）对应元素的代数余子式乘积之和为0.即1122()0()i k i k in kn D i k a A a A a A i k =⎧+++=⎨≠⎩1122()0()j t j t nj nt D j t a A a A a A j t =⎧+++==⎨≠⎩行列式计算的常用方法及注意事项：1.（1）利用性质将行列式化为三角形行列式（三角形行列式的值等于对角线元素之积）. （2）利用依行、依列展开转化为低阶行列式的计算（或给出递推公式、或利用数学归纳法）. （3）化简与展开同时进行（先化简，再按零较多的行（或列）展开）. 行列式化简时注意1.尽量避免分数运算；2.展开时注意代数余子式与余子式相差的的符号(1)i j+-.概念题例1.求xxx x x xD 22132121332154-=的展开式中的常数项 及x 4、3x 的系数解：45123312()123122x x x D f x xxx-==，展开式中的常数项为01230012(0)12030120f =123003*********312120120====-x 4的系数为30-，含3x 的项为()(2134)(4231)(1)12(1)33t t x x xx x x -创?-?创，系数为7例2.求行列式22357022220403--，则第4行各元素余子式之和解：4142434441424344M M M M A A A A +++=-+-+304022222807001111==----注意：ij a 的代数余子式与ij a 所在位置(),i j 有关，而与ij a 的取值无关。
线性代数1-3n阶行列式的定义
行列式的值具有可消性，即 行或列中某些元素为0时，其 对应的因子也为0。
THANKS
感谢观看
线性代数1-3n阶行列式的定义
• 1阶行列式 • 2阶行列式 • 3阶行列式 • n阶行列式
01
1阶行列式
定义
1阶行列式表示为|a|，其中a是一个数。
它表示数a的绝对值。
计算方法
计算方法很简单，直接取绝对值即可 。
如果a是正数，则|a|=a；如果a是负数， 则|a|=-a；如果a=0，则|a|=0。
计算方法
01
按照定义，三阶行列式是由三个行组成的矩阵，每个行有3个元素。
02
计算三阶行列式时，需要按照定义展开，即按照行优先的顺序展开。
03
具体计算方法为：将第一行的元素与第二行对应元素的代数余子式相乘，加上 第一行的元素与第三行对应元素的代数余子式相乘，最后加上第二行的元素与 第三行对应元素的代数余子式相乘。
03
行列式的值等于主对角线上的元素之积减去副对角线上的元 素之积。
计算方法
01
计算二阶行列式，需要先计算出矩阵中各元素的代数余子式。
02
行列式的值等于主对角线上的元素之积减去副对角线上的元素
之积。
如果行列式中存在0元素，则可以简化计算过程。
03
性质
01
行列式的值与矩阵的转置无关 。
02
行列式的值与矩阵的行变换或 列变换无关。
03
行列式的值是非负的，且等于0 当且仅当矩阵是奇异的（即行列 式中至少有一个元素为0）。
03
3阶行列式
式的扩展，由三个行组成的矩阵，每 个行有3个元素。
02
三阶行列式通常表示为3|a b c|，其中a、b、c分别表示三个 行中的元素。
1-3 n阶行列式的定义
(1) a 23 a 31a 42 a 56 a14 a65 → a14 a 23 a 31a 42 a 56 a65 ,
431265的逆序数为 的逆序数为
t = 1 + 0 + 2 + 2 + 1 + 0 = 6,
前边应带正号. 所以 a 23 a 31a 42 a 56 a14 a65 前边应带正号
它等于所有取自不同行不同列的 n 个元素的乘积 的 代数和
∑ (−1) a
t
1 p1
a2 p2 L anpn . （其中 p1 p2 L pn 为自然数
1， L，n 的一个排列，t 为这个排列的逆序数． 2， )
a11 a12 L a1n 即：D = a21 a22 L a2n LLLLLLL an1 an 2 L ann =
λn
= ( − 1)
= ( − 1)
t [n ( n −1 )L21]
n ( n −1 ) 2
a1na2 ,n−1 Lan1
证毕
λ1λ2 Lλn .
定理2 定理2 n阶ห้องสมุดไป่ตู้列式也可定义为
D = ∑ (− 1) a p1q1 a p2 q2 L a pn qn
t
是两个n级排列,t ,t为行 其中 p1 p2 L pn , q1 q2 L qn是两个n级排列,t为行 标排列逆序数与列标排列逆序数的和. 标排列逆序数与列标排列逆序数的和. 证明 交换 a p q a p q L a p q 中 a p q 与 a 1 1 2 2 n n p q 1 1 得
λ1 λ2
O
= λ1λ2 Lλn ;
λn
λ1
n ( n −1 ) 2
λ2
线性代数第一章课件
（五）性质5：把行列式的某一列（行） 的各元素乘以同一数，然后加到另一列 （行）对应的元素上去，行列式不变.
(以数 k 乘第 j 列加到第 i 列上,记作：ci kc j 以数 k 乘第
j 行加到第 i 行上,记作： ri krj )
a11 a21 an1
a1i a2i ani
a11
aij
的第一个下标ｉ称为行标，表明该元
素位于第ｉ行，第二个下标ｊ称为列标,表明 该元素位于第ｊ列,位于第i行第j列的元素称
为行列式的 i, j 元
。
把
a11 到 a22 的实联线称为主对角
到
线， a12
a21
的虚联线称为副对
角线 。
3、二元线性方程组的解
a11 x1 a12 x2 b1 的解为 a21 x1 a22 x2 b2
第一章 行列式 § 1-1 n阶行列式的定义
一、二阶与三阶行列式 ㈠ 二阶行列式与二元线性方程组 1、二阶行列式计算式：
D
a11
a12
a21 a22
a11a22 a12 a21
2、相关名称 a11 a12 在二阶行列式 中，把数 a21 a22
aij i 1.2; j 1.2 称为行列式的元素,元素
注意不要与绝对值记号相混淆。
a a
2、n阶行列式展开式的特点 （1）行列式由n!项求和而成 （2）每项是取自不同行、不同列的n个 元素乘积，每项各元素行标按自然顺序 排列后就是行列式的一般形式，
1
j1 j2
jn
a1 j1 a2 j2
anjn
（3）若行列式每项各元素的行标按自然 数的顺序排列,列标构成n级排列 j1 j2 jn j1 j2 jn 则该项的符号为 1
第1节 n阶行列式
n1 nn 1n2321 n 2
t n 1 n 2 2 1
nn 1 , 2 当 n 4k ,4k 1 时为偶排列；
当 n 4k 2,4k 3 时为奇排列.
山东财经大学数学与数量经济学院
练习 1.1.2
3 求解方程 4 1 1 x 0 x 0 0. x
解
方程左端
D 2 x2 4 x 0
解得
x 2 或 x 0.
山东财经大学数学与数量经济学院
1.1.2 排列与逆序
1.逆序数
定义1.1.1 由1,2, , n组成的一个有序数组，称为一个n级排列.
,
D2
a11 a21
b1 b2
.
山东财经大学数学与数量经济学院
则二元线性方程组的解为
b1
a12
a11
b1
D1 b2 a22 x1 , D a11 a12 a21 a22
注意
D2 a21 b2 x2 . D a11 a12 a21 a22
分母都为原方程组的系数行列式.
山东财经大学数学与数量经济学院
2 当 k 为偶数时，排列为偶排列，
k
21 k 1k 1
2 k k ,
当 k 为奇数时，排列为奇排列.
山东财经大学数学与数量经济学院
例 3 选择 i与k使 1）1274i56k9成偶排列；
i=8,k=3 i=3,k=6
2）1i25k4897 成奇排列。
山东财经大学数学与数量经济学院
a11 x1 a12 x2 b1 , a21 x1 a22 x2 b2 .
1 a22 : a11a22 x1 a12a22 x2 b1a22 , 2 a12 : a12a21 x1 a12a22 x2 b2a12 ,
线性代数第一章1-2行列式的性质
思考题
解 答解: 第一行各元素的代数余子式之和可以表示成
1 1 A11+A12+ · · · +A1n 1 1 1 2 0 0 1 0 3 0 1 0 0 n
a12 ai 2
a1 n ain
a11 ai 1
a12 a1 n ai 2 ain ai 2 ain an 2 ann
相同
k kai 2 kain ai 1 an 2 ann a
0.
n1
性质1.2.4: 若行列式的某一列(行)的元素都是两数之和,
t
故结论成立.
思考: P26 第三题
性质1.2.5: 把行列式的某一列(行)的各元素乘以 同一数然后加到另一列(行)对应的元素上去, 行列式 不变. a11 a1i a1 j a1n 例如 a21 a2i a2 j a2n k an1 ani anj ann a11 (a1i ka1 j ) a1 j a1n a21 (a2i ka2 j ) a2 j a2n an1 (ani kanj ) anj ann
n
ij ij
其中
D 当i j 1 当 i j . a ki Akj D ij 0 当 i j . ij k 1 0 当 i j
1 2 3 n 1 2 0 0 设 n 阶行列式 Dn 1 0 3 0 1 0 0 n 求第一行各元素的代数余子式之和: A11+A12+ · · · +A1n .
故
D D .
证毕
说明 行列式中行与列具有同等的地位,因此行列 式的性质凡是对行成立的对列也同样成立. 性质1.2.2 互换行列式的两行(列),行列式变号. 证明: 由行列式
线性代数n阶行列式
a11a22 a34 a43
上页 下页 返回
1t (1234) a11a22a33a44 x3 ,
1t 1243 a11a22a34a43 2 x3 .
故 x 的系数为 1.
3
上页 下页 返回
三、小结
1 n 个不同的元素的所有排列种数为 n!. 2 排列具有奇偶性.
注 由例4我们可以直接得出例3中（1）的结果．
上页 下页 返回
例5
设
a11 a12 a1n D1 a21 a22 a2 n an1 an 2 ann
a11 a12b 1 a1nb1 n a21b a22 a2 nb 2 n
n 1 n 2 a n 1b an 2b ann 证明 D1 D2 .
a11 a12 a1n a 22 a 2 n 1t 12n a a a 11 22 nn 0 a nn
a11a22 ann .
上页 下页 返回
同理可得下三角行列式
a11 a 21 a n1 a 22
0
a11a22 ann .
a n 2 a nn
2. 定义 把 n 个不同的元素排成一列，叫做这 n 个元素的全排列（或排列）.
n 个不同的元素的所有排列的种数，通常
用 Pn表示. 由引例 P3 3 2 1 6.
同理
Pn n ( n 1) ( n 2) 3 2 1 n!.
上页 下页 返回
3. 排列的逆序 我们规定各元素之间有一个标准次序, n 个 不同的自然数，规定由小到大为标准次序.
a12 a1n a 22 a 2 n a n 2 a nn
作出表中位于不同行不同列的 n个数的乘积
最完整的线代基础知识点
最完整的线代基础知识点第1章行列式1.1 n阶行列式1.1.1 二阶、三阶行列式起源：发现规律了，继续～从上述推倒可以看出，行列式说白了就是对方程求解的简化过程。
后续的所有变换也都是基于此的。
了解到根源了，就不难理解了。
知识点：（所有的知识其实都是不成体系的，体系都是人为归纳的，其实知识就是一个一个的点而已）1.对角线法则这个法则只能用在二阶和三阶，高阶有另外的算法，后面会介绍到，耐心往下看吧。
以后看到二三阶可以直接用这个算哦。
2.行列式应用（克莱姆法则）法则啥的就是别人先发现了，就是一个规律。
不用理解，直接记住。
（因为本来就是一个现象）小技巧：再算d1d2d3的时候默念一下d1换1（列）d2换2（列）d3换3（列）。
1.1.2 排列既逆序数起源：逆序数为奇数，为奇排列，偶数为偶排列。
知识点：1.任一排列经过对换后，必改变其奇偶性。
2.所有n阶排列中，奇排列与偶排列个数相同，各有n！/2个。
1.1.3 n阶行列式知识点：1.计算方法前面说了，n阶有其他方法，这个就是其中之一不过比较笨重难算一点。
只要看懂这个式子，这节就ok啦，看不懂的可以评论问我。
2.对角行列式对角行列式等于其对角元素的连乘，再加上一个逆序数。
因为除了去取对角之外但凡取到其他位置上的0，就会让这项变成0。
上三角行列式和下三角行列式与对角行列式类似，不能取0。
好题：1.对行列式中数字的选取规则理解如果不用分块矩阵的话，直接从定义出发，三行用两个书，必有一行选不到非零数。
1.2 行列式的性质知识点：1.行列式与它的转置行列式相同，即行与列为完全等价的。
2.互换行列式的两行或两列，行列式值变号3.若行列式有两行或两列元素相同则其行列式的值为04.行列式的某一行中所有元素都乘以k，等于用k数乘行列式5.如果行列式中某一行的元素都为0，则其值为06.若行列式有两列或两行元素成比例，则其为07.若两个行列式除了一行外相同，则可以相合。
相同的行不变，不同的行相加。
行列式
行列式的定义定义1.1 n阶行列式即：n2个数构成的n阶行列式等于所有取自不同行与不同列元素乘积的代数和。
一共有n!项，一半带负号，一半带正号。
其中为任意一个n级排列，为n级排列的逆序数。
我们知道n级排列一共有n!种。
行列式的性质性质1.1. 转置性质：行列式的行和列互换，其值不变。
这个性质说明行列式中行和列的地位是相当的，对称的。
通常，人们把一个行列式的第i行元素依次写成第j列（）的元素，所得的新的行列式称为原行列式的转置行列式。
如果原行列式记作D，则其转置行列式记作D T。
由性质1知，。
性质1.2. 互换性质：行列式的两行（两列）互换，其值变号。
也就是说，交换行列式两行（两列）的所有对应位置上的元素，所得的新的行列式的值等于原行列式的值的相反数。
性质1.3. 数乘性质：若行列式的某行（某列）有公因子k，则可把公因子k提到行列式外面。
即：,若把上述等式反过来看，即：，也可认为：数k与一个行列式的乘积等于在该行列式的某一行或某一列中各元素乘以k.性质1.4. 倍加性质（消法性质）：把行列式某行（某列）的所有元素的k倍，加到另一行（另一列）的相应元素上去，所得的新的行列式的值等于原行列式的值。
性质1.5. 加法性质：如果行列式有某行（列）的所有元素均可写成两个加数的和，即该行（列）有两个分行（分列），则这个行列式等于两个行列式的和，而这两个行列式分别以这两个分行（分列）为该行（列），其他行（列）与原行列式相同。
例：行列式按行、按列展开法则定理1.1 n阶行列式等于它的任一行（列）的各元素与其对应的代数余子式乘积之和，即（1.1）（1.2）定理1.2 n阶行列式某一行（列）的元素与另一行（列）的对应元素的代数余子式乘积之和等于零，即（1.3）（1.4）三、典型例题剖析数字型行列式类型：按形状【考点一】形如的行列式称为两条线形行列式，可直接展开降阶，利用行列式按行、按列展开法则进行计算。
【例题1·填空题】n阶行列式【答疑编号811010101：针对该题提问】按第一列展开【考点二】形如的行列式称为范德蒙行列式。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
0+1+0+2+4=7
故排列42531的逆序个数为7，即τ(42531)=7，
因而是奇排列.
返回
上一页 下一页
(2) 同理可得：
τ[135…(2n-1)246…(2n)]=0+(n-1)+(n-2)+…+2+1=
n(n 1) 2
所给排列当n=4k或4k+1时为偶排列，当n=4k+2或4k+3
时为奇排列.
把行列式
§3 行列式的性质
的行换成同序数的列,
称为行列式D的转置行列式。
返回
上一页 下一页
性质1 行列式与它的转置行列式相等 。
证： 记
即bij＝aji
(i，j＝1，2，…，n)
按行列式定义
返回
上一页 下一页
性质2 互换行列式的两行（列），行列式反号。 证
交换第p、q两列，得行列式
返回
上一页 下一页
同理可证
返回
上一页 下一页
代数余子式的重要性质（行列式按行（列）展开公式）:
返回
上一页 下一页
例 计算n阶行列式 解法一
返回
上一页 下一页
例 计算n阶行列式
解法二(递推法) 由行列式Dn可知
将Dn按第1列展开
返回
上一页 下一页
这个式子对任何n(n2) 都成立,故有
返回
上一页 下一页
例 利用递推公式法计算 解：按第一行展开
Dn＝
返回
上一页 下一页
例 证明
上面的行列式中，未写出的元素都是0。 证: 因为行列式的值为
而排列j1j2…jn只能是n(n－1)…21的排列， 故逆序数
返回
上一页 下一页
所以行列式的值为
返回
上一页 下一页
例设
a11
a1k 0
0
D ak1
akk 0
0
c11
c1k b11
b1n
cn1
a11 D1
则有R=P+Q，于是
D
(1)PQ a1p1 a2 p2
p1 pk q1 qn
a b b kpk 1,q1 2,q2
bn,qn
(1)P a1p1a2 p2
p1 pk
akpk (
(1)Q b1,q1b2,q2
q1 qn
bn,qn )
(1)P a1p1 a2 p2
p1 pk
对于D中任一项 其中I为排列 在D1中必有对应一项
的逆序数
其中I1为排列 与
的逆序数 只经过一次对换
返回
上一页 下一页
所以对于D中任一项，D1中必定有一项与它的 符号相反而绝对值相等，又D与D1的项数相同。
交换行列式i，j两行记作r（i，j），交换行列式 i，j两列，记作c（i，j）。
推论 若行列式有两行（列）元素对应相等， 则行列式为零。
练习
排列12的逆序数为 0. 排列231的 逆序数为 2. 排列215479683的逆序数为 11. 排列135…(2n-1)(2n)(2n-2)…42的逆序数是 n(n-1).
定义4 一个排列中，将某两个数对调，其余的 数不动，这种对排列的变换叫对换，将相邻两数对 换，叫做相邻对换（邻换）。
我们把排列231中的3与1对换，得到排列213，这两 个排列的奇偶性是相反的，事实上对一般的排列也 是如此。
全为零（即i≠j时元素aij＝0）的行列式称为对角行列 式，它等于对角线上元素的乘积。
返回
上一页 下一页
定理2 n阶行列式的项可以写成
其中S与T分别是n级排列p1p2…pn与q1q2…qn的逆序数。
证明：将
重排，使其行标成为自然
顺序
, 行标、列标同时作了一次对换，总
逆序数之和不改变奇偶性。
返回
上一页 下一页
例 计算以下各排列的逆序数，并指出它们的奇偶性 (1) 42531，（2） 135…（2n-1）246…(2n).
解（1） 对于所给排列， 4排在首位，逆序个数为0； 2的前面有一个比它大的数，逆序个数为1； 5的前面有0个比它大的数，逆序个数为0； 3的前面有两个比它大的数，逆序个数为2； 1的前面有四个比它大的数，逆序个数为4. 把这些数加起来，即
ak1
证明D=D1D2.
cnk bn1
bnn
a1k
b11
b1n
D2
akk
bn1
bnn
返回
上一页 下一页
证 记 a11
a1k 0
0
D ak1 c11
akk 0 c1k b11
0
d11
b1n
dk n,1
d1,k n dk n,k n
其中
cn1
cnk bn1
bnn
dij=aij dk+I ,k+j=bij
dk+i, j =cij di,k+j=0
(i, j= 1, 2,…，k)；
(i, j= 1, 2,…，n)；
(i= 1, 2,…，n; j= 1, 2,…，k).
(i= 1, 2,…，k; j= 1, 2,…，n).
返回
上一页 下一页
考察D的一般项 (1)R d1r1d2r2 d d krk k1,rk 1
返回
上一页 下一页
说明： 1) 等式右边的每一项都是n个元素的乘 积，这n个元素均位于不同的行和不同的列。
2) 各项的正负号与列标排列有关，偶 排列为正，奇排列为负。
3) 因为1,2,…n的排列有n!个，故等式
右边共有n!项。
返回
上一页 下一页
例 计算4阶行列式
解： 根据定义，D是4！＝24项的代数和，但每一
akpk D2
D1D2
行列式中，从左上角到右下角的直线称为主对角线。
主对角线以上的元素全为零（即i<j时元素aij＝0） 的行列式称为下三角行列式，它等于主对角线上各元
素的乘积。
主对角线以下的元素全为0（即i>j时元素aij＝0） 的行列式称为上三角行列式，它等于主对角线上各元
素的乘积。
行列式中，除对角线上的元素以外，其他元素
p1 pi1 pi1 pim pi pim1 pim2 pn , 再把 pim1 往前连续作 m+1 次相邻对换，排列变为
p1 pi1 pim1 pi1 pim pi pim2 pn ,
从而实现了 pi 与 pim1 的对换，
它是经过 2m+1 次相邻对换而成， 排列也就改变了 2m+1 次奇偶性， 所以两个排列的奇偶性相反.
D＝aijAij
证 先证i＝1，j＝1的情形
返回
上一页 下一页
对一般情形，只要适当交换D的行与列的位置，即 可得到结论。
返回
上一页 下一页
定理3 行列式等于它的任一行（列）的各元素 与其对应的代数余子式乘积之和，即
证
返回
上一页 下一页
返回
上一页 下一页
例 计算行列式 解 由定理3 知
注：运用定理3可适当减轻行列式的运算。
§4 行列式的计算
定义6 在n阶行列式中，划去元素aij所在的第i行 与第j列中的元素，剩下的(n-1)2 个元素按其原来的排法 构成一个n－1阶行列式叫做元素aij的余子式，记 Aij与行列式中第i行、第j列的元素无关。
返回
上一页 下一页
引理 在n阶行列式D中，如果第i行元素除aij外全部 为零，那么这个行列式等于aij与它的代数余子式的乘积， 即
于是D中不为0的项可以记作
这里
(1)R a1p1 a2 p2 a b b kpk 1,q1 2,q2 bn,qn
pi ri , qi rki k , 1 ri k , k 1 rki k n ,
R也就是排列 p1 p2 pk (k q1) (k qn ) 的逆序数， 以P，Q分别表示排列 p1 p2 pk 与 q1q2 qk 的逆序数，
3 行列式第i行或第i列乘上数k 加到第j行或第j列对应元素上
返回
上一页 下一页
例 计算四阶行列式 解
返回
上一页 下一页
返回
上一页 下一页
例 计算四阶行列式 解
返回
上一页 下一页
例：
返回
上一页 下一页
返回
上一页 下一页
例：计算行列式 解：
返回
上一页 下一页
返回
上一页 下一页
例：
返回
上一页 下一页
返回
上一页 下一页
故结论成立。
返回
上一页 下一页
例 利用范德蒙行列式求解 解：
返回
上一页 下一页
推论 行列式D 中任一行(列)的元素与另一行(列 )的对应元素的代数余子式乘积之和等于零, 即
证
返回
上一页 下一页
当ij, 因为Ajk 与行列式中的第j 行的元素无关，将
式中ajk换成aik(k=1,2,…,n),可得
返回
上一页 下一页
性质6 把行列式某一行（列）的元素乘以数k，加 到另一行（列）对应的元素上去，行列式的值不变。
以数k乘以第i行(列)上的元素加到第j行(列)对应元 素上，记作r（j＋i（k）），[ c（j＋i（k）]，有
返回
上一页 下一页
总结：三种行列式变换 1 互换两行或两列
2 第i行或第j列乘上非零数k
R是排列 r1r2 rk rk1 rkn的逆序数，
dkn,rk n
由于 di, jk 0 (i=1,2,…，k; j=1，2，…，n)，
可见 r1, r2 , , rk 均不可大于k值，否则该项为0， 故 r1, r2 , rk 只能在1，2，…，k中选取，