高中数学必修二全书导学案

1.1简单旋转体[学习目标] 1.通过实物操作，增强直观感知． 2.能根据几何结构特征对空间物体进行分类． 3.会用语言概述球、圆柱、圆锥、圆台的结构特征． 4.会表示有关几何体以及柱、锥、台的分类.【主干自填】几种简单旋转体【即时小测】1．思考下列问题(1)铅球和乒乓球都是球吗？提示：铅球是球，乒乓球不是球，铅球是实心球，符合球的定义，乒乓球是空心球，不符合球的定义．(2)圆柱、圆锥、圆台的底面都是圆吗？提示：它们的底面都不是圆，而是圆面．2．用一个平面截一个几何体，各个截面都是圆面，则这个几何体一定是() A．圆柱B．圆锥C．球D．圆台提示：C由球的性质可知，用平面截球所得截面都是圆面．3．给出下列命题：①在圆柱的上、下底面的圆周上各取一点，则这两点的连线是圆柱的母线；②圆锥的顶点与底面圆周上任意一点的连线是圆锥的母线；③在圆台的上、下两底面圆周上各取一点，则这两点的连线是圆台的母线；④圆柱的任意两条母线所在的直线是互相平行的．其中正确的是()A．①②B．②③C．①③D．②④提示：D依据圆柱、圆锥和圆台的定义及母线的性质可知，②④正确，①③错误．例1有下列说法：①球是以半圆的直径所在直线为旋转轴，半圆面旋转一周形成的旋转体；②球的直径是球面上任意两点间的连线；③用一个平面截一个球，得到的是一个圆；④空间中到一定点距离等于定长的点的集合是球．其中正确的序号是________．[解析]球可看作是半圆面绕其直径所在的直线旋转形成的，因此①正确；如果球面上的两点连线经过球心，则这条线段就是球的直径，因此②错误；球是一个几何体，平面截它应得到一个面而不是一条曲线，所以③错误；空间中到一定点距离等于定长的点的集合是一个球面，而不是一个球体，所以④错误．[答案]①类题通法透析球的概念(1)球是旋转体，球的表面是旋转形成的曲面，球是球面及其内部空间组成的几何体，球体与球面是两个不同的概念，用一个平面截球得到的是圆面而不是圆．(2)根据球的定义，篮球、排球等虽然它们的名字中都有一个“球”字，但它们都是空心的，不符合球的定义．[变式训练1]下列命题：①球面上四个不同的点一定不在同一平面内；②球面上任意三点可能在一条直线上；③空间中到定点的距离等于定长的点的集合构成球面．其中正确的命题序号为________．答案③解析①中作球的截面，在截面圆周上任取四点，则这四点在同一平面内，所以①错；②球面上任意三点一定不能共线，所以②错；③由球的定义可知③正确.例2下列命题：①用一个平面去截圆锥得到一个圆锥和一个圆台；②以直角梯形的一腰为轴旋转一周所得的旋转体是圆台；③圆柱的任意两条母线平行；④以等腰三角形的底边上的高所在的直线为旋转轴，其余各边旋转一周形成的曲面围成的几何体叫圆锥．其中正确命题的个数为()A．0 B．1 C．2 D．3[解析]本题主要考查圆柱、圆锥、圆台的概念，关键理解它们的形成过程．①用平行于圆锥底面的平面去截圆锥才能得到一个圆锥和一个圆台；②以直角梯形垂直于底边的腰为轴旋转一周可得到圆台；③、④显然都正确．[答案]C类题通法透析几种旋转体的概念解决此类问题一般是利用有关旋转体的定义，所以必须对各种旋转体的概念在理解的基础上熟记．圆柱、圆锥、圆台它们都是由平面图形旋转得到的，圆柱和圆台有两个底面，圆柱的两个底面是半径相等的圆面，圆台的两个底面是半径不等的圆面，圆锥只有一个底面．[变式训练2]下列命题中：①圆台的母线有无数条，且它们长度相同；②圆台的母线延长后一定相交于一点；③圆台可以看作直角梯形以其垂直于底边的腰所在直线为旋转轴，其余三边旋转形成的曲面围成的几何体；④圆绕其直径所在直线旋转半周形成的曲面围成的几何体是球．正确命题的序号是________．答案①②③④解析由圆台与球的定义可知①②③④都对.例3如下图，用一个平行于圆锥底面的平面截这个圆锥，截得圆台上下底面半径的比是1∶4，截去的圆锥的母线长是3 cm，求圆台的母线长．[解]如图，设圆台的母线长为y cm，截得的圆锥底面与原圆锥底面半径分别是x cm,4x cm，根据相似三角形的性质得33＋y＝x 4x ， 解此方程得y ＝9，因此，圆台的母线长为9 cm.类题通法处理旋转体的有关问题一般要作出其轴截面，在轴截面中去寻找各元素的关系，常利用相似三角形去寻找等量关系.[变式训练3] 圆锥的轴截面是正三角形，它的面积是3，则圆锥的高与母线的长分别为________．答案3，2解析 设正三角形的边长为a ，则34a 2＝3，∴a ＝2.由于圆锥的高即为圆锥的轴截面三角形的高，所以所求的高为32a ＝3，圆锥的母线即为圆锥的轴截面正三角形的边，所以母线长为2.易错点⊳空间位置关系考虑不全导致漏解[典例] 已知半径为10的球的两个平行截面的周长分别是12π和16π，试求这两个截面间的距离．[错解] 如图(1)，设球的球心为O ，C ，D 分别为两截面圆的圆心，AB 为经过C ，O ，D 的球的直径，由题意知两截面圆的半径分别为6和8. 在Rt △COE 中，OC ＝102－62＝8. 在Rt △DOF 中，OD ＝102－82＝6. 所以CD ＝OC －OD ＝8－6＝2.故这两个截面间的距离为2.[错因分析] 错解中由于考虑问题不全面而导致错误．事实上，两个截面既可以在球心的同侧，也可以在球心的两侧．[正解]如图(1)(2)，设球的球心为O，C，D分别为两截面圆的圆心，AB为经过C，O，D的球的直径，由题意知两截面圆的半径分别为6和8.当两截面在球心同侧时，CD＝OC－OD＝102－62－102－82＝2.当两截面在球心两侧时，CD＝OC＋OD＝102－62＋102－82＝14.所以这两个截面间的距离为2或14.课堂小结1.圆柱、圆锥、圆台的关系如图所示.2.处理台体问题常采用还台为锥的补体思想.3.重视圆柱、圆锥、圆台的轴截面在解决几何量中的特殊作用，切实体会空间几何平面化的思想.1．图1是由哪个平面图形旋转得到的()答案D解析图中给出的组合体是一个圆台上接一个圆锥，因此平面图形应由一个直角三角形和一个直角梯形构成，并且上面应是直角三角形，下面应是直角梯形．2．将一个等腰梯形绕着它较长的底边所在的直线旋转一周，所得几何体由下面哪些简单几何体构成()A．一个圆台和两个圆锥B．两个圆台和一个圆锥C．两个圆柱和一个圆锥D．一个圆柱和两个圆锥答案D解析把等腰梯形分割成两个直角三角形和一个矩形，由旋转体的定义可知所得几何体．3．给出下列四个命题：①夹在圆柱的两个平行截面间的几何体还是一个旋转体；②圆锥截去一个小圆锥后剩余部分是圆台；③通过圆台侧面上一点，有无数条母线．其中正确命题的序号是________．答案②解析①错误，没有说明这两个平行截面的位置关系，当这两个平行截面与底面平行时正确，其他情况则结论是错误的，如图(1)；②正确，如图(2)；③错误，通过圆台侧面上一点，只有一条母线，如图(3)．4．圆台上底面面积为π，下底面面积为16π，用一个平行于底面的平面去截圆台，该平面自上而下分圆台的高的比为2∶1，则这个截面的面积为________．答案9π解析如下图，把圆台还原成圆锥，设截面⊙O1的半径为r，因为圆台上底面面积为π，下底面面积为16π，所以上底面半径为1，下底面半径为4，所以SOSO2＝14.设SO＝x，则SO2＝4x，从而OO2＝3x.因为OO1∶O1O2＝2∶1，所以OO1＝2x，则SO1＝SO＋OO1＝3x.在△SBO1中，1r ＝SOSO1＝x3x，所以r＝3，因此截面的面积是9π.时间：25分钟1．给出以下说法：①圆台的上底面缩小为一点时(下底面不变)，圆台就变成了圆锥；②球面就是球；③过空间四点总能作一个球．其中正确说法的个数是()A．0 B．1 C．2 D．3答案B解析根据圆锥和圆台的形状之间的联系可知①正确；球面是曲面，球是球体的简称，是实心的几何体，故②不正确；当空间四点在同一条直线上时，过这四点不能作球，故③不正确．2．如图阴影部分，绕中间轴旋转一周，形成的几何体形状为()A．一个球体B．一个球体中间挖去一个圆柱C．一个圆柱D．一个球体中间挖去一个棱柱答案B解析按旋转体的定义得到几何体B.3．有下列三个命题：①圆柱是将矩形旋转一周所得的几何体；②圆台的任意两条母线的延长线，可能相交也可能不相交；③圆锥的轴截面是等腰三角形．其中错误命题的个数是()A．0 B．1 C．2 D．3答案C解析①将矩形的一边作为旋转轴旋转一周得到的几何体是圆柱．②圆台的两条母线的延长线必相交，故①②错误，③是正确的．4．如图所示的几何体由一个圆柱挖去一个以圆柱的上底面为底面，下底面圆心为顶点的圆锥而得到的．现用一个竖直的平面去截这个几何体，则所截得的图形可能是()A．(1)(2) B．(1)(3) C．(1)(4) D．(1)(5)答案D解析轴截面为(1)，平行于圆锥轴截面的截面是(5)．5．下列命题中，错误的是()A．圆柱的轴截面是过母线的截面中面积最大的一个B．圆锥的轴截面是所有过顶点的截面中面积最大的一个C．圆台的所有平行于底面的截面都是圆面D．圆锥所有的轴截面都是全等的等腰三角形答案B解析当圆锥的截面顶角大于90°时，面积不是最大．6．圆锥被平行于底面的平面所截，若截面面积与底面面积之比为1∶2，则此圆锥的高被分成的两段之比为()A．1∶2 B．1∶4C．1∶(2＋1) D．1∶(2－1)答案D解析根据相似性，若截面面积与底面面积之比为1∶2，则对应小圆锥与原圆锥高之比为1∶2，那么圆锥的高被截面分成的两段之比为1∶(2－1)．7．一个正方体内有一个内切球，作正方体的对角面，所得截面图形是下图中的( )答案 B解析 由组合体的结构特征知，球只与正方体的六个面相切，而与两侧棱相离，故正确答案为B.8．将等边三角形绕它的一条中线旋转180°，形成的几何体是________． 答案 圆锥解析 由旋转体的概念可知，得到的几何体是圆锥．9．圆台两底面半径分别是2 cm 和5 cm ，母线长是310 cm ，则它的轴截面的面积是________．答案 63 cm 2解析 画出轴截面，如图，过A 作AM ⊥BC 于M ，则BM ＝5－2＝3(cm)，AM ＝AB 2－BM 2＝9(cm)，∴S 四边形ABCD ＝(4＋10)×92＝63(cm 2)．10．如图所示的四个几何体中，哪些是圆柱与圆锥，哪些不是，并指出圆柱与圆锥的结构名称．解②是圆锥，圆面AOB是圆锥的底面，SO是圆锥的高，SA，SB是圆锥的母线．③是圆柱，圆面A′O′B′和圆面AOB分别为上、下底面，O′O为圆柱的高，A′A与B′B为圆柱的母线．①不是圆柱，④不是圆锥．1.2简单多面体[学习目标] 1.通过对实物模型的观察，归纳认知简单多面体——棱柱、棱锥、棱台的结构特征． 2.能运用棱柱、棱锥、棱台的结构特征解决简单多面体的有关计算.【主干自填】1．几种常见的简单多面体2．我们把若干个平面多边形围成的几何体叫作多面体．其中棱柱、棱锥、棱台是□13简单多面体．【即时小测】1．思考下列问题(1)如下图中的几何体，哪些是旋转体？哪些是多面体？提示：观察图中的几何体，其中②是圆柱，③是圆锥，④是半球，⑥是圆台，都是旋转体；①和⑤都是由若干个平面多边形围成的几何体，都是多面体．(2)棱锥有哪些作为棱锥集合的特征性质？如何利用棱锥的特征性质给棱锥下一个定义？提示：通过观察，我们可以得到棱锥的主要特征性质：棱锥有一个面是多边形，而其余各面都是有一个公共顶点的三角形．有一个面是多边形，其余各面是有一个公共顶点的三角形，这些面围成的几何体叫作棱锥．2．若正棱锥的底面边长和侧棱长相等，则该棱锥一定不是() A．三棱锥B．四棱锥C．五棱锥D．六棱锥提示：D六棱锥的所有棱长不能都相等．3．棱台不一定具有的性质是()A．两底面相似B．侧面都是梯形C．侧棱都相等D．侧棱延长后都交于一点提示：C只有正棱台的侧棱都相等．例1下列说法正确的是()A．有两个面平行，其余各面都是四边形的几何体叫棱柱B．有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体叫棱柱C．各侧面都是正方形的四棱柱一定是正方体D．九棱柱有9条侧棱，9个侧面，侧面为平行四边形[解析]由棱柱的定义可判断A、B、C均错，故选D.[答案] D类题通法棱柱结构特征问题的解题策略(1)有关棱柱概念辨析问题应紧扣棱柱定义①两个面互相平行；②其余各面是四边形；③相邻两个四边形的公共边互相平行．求解时，首先看是否有两个面平行，再看是否满足其他特征．三个条件缺一不可．(2)多注意观察一些实物模型和图片便于反例排除．[变式训练1]下列关于棱柱的说法：①所有的面都是平行四边形；②每一个面都不会是三角形；③两底面平行，并且各侧棱也平行；④被平面截成的两部分可以都是棱柱．其中正确说法的序号是________．答案③④解析三棱柱的两底面都是三角形，所以①②错误．③显然正确．对于④若用平行于底面的平面截棱柱，则截成的两部分都是棱柱，故④正确.例2下列关于棱锥、棱台的说法：①棱台的侧面一定不会是平行四边形；②棱锥的侧面只能是三角形；③由四个面围成的封闭图形只能是三棱锥；④棱锥被平面截成的两部分不可能都是棱锥．其中正确说法的序号是________．[解析]因为棱台的侧棱延长后必交于一点所以侧面一定不会是平行四边形，故①正确，②③显然也正确．对于④一个四棱锥沿顶点与底面对角线切开是两个三棱锥，故④错误．[答案]①②③类题通法棱锥、棱台结构特征问题的判断方法(1)举反例法结合棱锥、棱台的定义举反例直接判断关于棱锥、棱台结构特征的某些说法不正确．(2)直接法棱锥棱台定底面只有一个面是多边形，此面即为底面两个互相平行的面，即为底面看侧棱相交于一点延长后相交于一点[变式训练2]判断如图所示的几何体是不是棱台，为什么？答案图①，②，③都不是棱台．解析因为图①和图③都不是由棱锥所截得的，故图①，③都不是棱台，虽然图②是由棱锥所截得的，但截面不和底面平行，故不是棱台，只有用平行于棱锥底面的平面去截棱锥，底面与截面之间的部分才是棱台.例3一个棱柱是正四棱柱的条件是()A．底面是正方形，有两个侧面是矩形B．底面是正方形，有两个侧面垂直于底面C．底面是正方形，相邻的两个侧面是矩形D．每个侧面都是全等的矩形[解析]将正方体ABCD－A1B1C1D1的下底面ABCD水平移动一段距离(上底面A1B1C1D1不动)，形成新的几何体，如下图所示．新的几何体底面ABCD为正方形，侧面B1BCC1与A1ADD1是矩形，且侧面ABB1A1，侧面CDD1C1与底面的垂直关系未发生变化，但它是斜四棱柱，故A、B错；对于D选项，底面是菱形的直四棱柱每个侧面都是全等的矩形，但它不是正四棱柱．故选C.[答案] C类题通法几种四棱柱之间关系是判断基础四棱柱是一种非常重要的棱柱，平行六面体(底面是平行四边形的四棱柱)、直平行六面体(侧棱垂直于底面的平行六面体)、长方体、正方体、正四棱柱等都是一些特殊的四棱柱，它们之间的关系如下图所示：[变式训练3]用一个平面去截正方体，所得截面不可能是()A．六边形B．菱形C．梯形D．直角三角形答案D解析用一个平面去截正方体，当截面为三角形时，可能为锐角三角形、等腰三角形、等边三角形，但不可能为直角三角形．易错点⊳概念理解不透判断易错[典例] 有两个面互相平行，其余各面都是平行四边形，由这些面围成的几何体是棱柱吗？[错解] 因为棱柱的两个底面平行，其余各面都是平行四边形，所以所围成的几何体是棱柱．[错因分析] 棱柱的定义是这样的：有两个面互相平行，其余各面都是平行四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面围成的几何体叫作棱柱．显然题中漏掉了“并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行”这一条件，因此所围成的几何体不一定是棱柱．定义都是非常严格的，只要不满足所有的条件就会有特殊的例子出现．这提醒我们必须严格按照定义判定．[正解]满足题目条件的几何体不一定是棱柱，如图所示．课堂小结1.棱柱、棱锥、棱台的关系棱柱、棱锥、棱台的关系如下图所示.2.棱柱、棱锥、棱台的共性棱柱、棱锥、棱台的各面都是平面多边形，因此可以看作是由平面多边形所围成的几何体，即多面体．所谓多面体就是由平面多边形所围成的几何体，它还含有除棱柱、棱锥、棱台之外的几何体.1．在三棱锥A－BCD中，可以当作棱锥底面的三角形的个数为()A．1 B．2 C．3 D．4答案D解析三棱锥的四个面都是三角形都可以作为棱锥的底面．2．下列几何体中棱柱有()A．5个B．4个C．3个D．2个答案D解析由棱柱的定义可知，只有①③两个满足棱柱的定义，故选D.3．下面三个命题，其中正确的有()①用一个平面去截棱锥，棱锥底面与截面之间的部分一定是棱台；②两个底面平行且相似，其余各面都是梯形的多面体是棱台；③有两个面互相平行，其余四个面都是等腰梯形的六面体是棱台．A．0个B．1个C．2个D．3个答案A解析本题主要考查棱台有关的概念．关键利用棱台的定义和特殊的几何体加以说明．命题①中的平面不一定平行于底面，故①错；命题②③可用举反例说明不成立，如图所示，故②③不对．4．已知集合I＝{四棱柱}，M＝{平行六面体}，N＝{直平行六面体}，P＝{正四棱柱}，Q＝{长方体}，R＝{直四棱柱}，S＝{正方体}，则下列关系中不正确的是()答案C解析各个集合中的元素首先都是四棱柱，所以选项D中的关系是正确的；正方体是侧棱与底面边长都相等的正四棱柱，而正方形是矩形的特例，所以正四棱柱是特殊的长方体，再由长方体的定义知选项A中的关系是正确的；同理选项B的关系也正确；而M∩R＝N，且直平行六面体的底面不一定是矩形，所以选项C的关系不正确．时间：25分钟1．五棱柱中，不同在任何侧面且不同在任何底面的两顶点的连线称为它的对角线，那么一个五棱柱对角线的条数共有()A．20 B．15 C．12 D．10答案D解析如图，在五棱柱ABCDE－A1B1C1D1E1中，从顶点A出发的对角线有两条：AC1，AD1，同理从B，C，D，E点出发的对角线均有两条，共2×5＝10(条)．2．有两个面平行的多面体不可能是()A．棱柱B．棱锥C．棱台D．长方体答案B解析棱锥的各面都相交，故有两个面平行的多面体不可能是棱锥．3．如图，将装有水的长方体水槽固定底面一边后倾斜一个小角度，则倾斜后水槽中的水形成的几何体是()A．棱柱B．棱台C．棱柱与棱锥的组合体D．不能确定答案A解析形成的几何体前后两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，符合棱柱的定义．4．若棱台上、下底面的对应边之比为1∶2，则上、下底面的面积之比是() A．1∶2 B．1∶4C．2∶1 D．4∶1答案B解析由棱台的结构特征知，棱台上、下底面是相似多边形，面积比为对应边之比的平方，故选B.5．某同学制作了一个对面图案相同的正方体礼品盒(如下图1)，则这个正方体礼品盒的表面展开图应该为()答案A解析两个不能相邻，B、D错误；两个不能相邻，C错误，故选A.也可通过制作模型来判断．6．如下图所示，在三棱台A′B′C′－ABC中，截去三棱锥A′－ABC后，剩余部分是()A．三棱锥B．四棱锥C．三棱柱D．三棱台答案B解析剩余部分是四棱锥A′－BB′C′C.7．若一个正棱锥有6个顶点，所有侧棱长的和为20 cm，则每条侧棱的长为________cm.答案4解析依题意，正棱锥有6个顶点，则该正棱锥为正五棱锥，所以每条侧棱＝4 cm.长为2058．在下面的四个平面图形中，属于侧棱都相等的四面体的展开图的是________(填序号)．答案①②解析③④中的图不能组成四面体，只有①②行．9．一个正方体内接于一个球，过球心作一截面，则截面的可能图形有________．答案①②③解析当截面平行于正方体的一个侧面时得③，当截面过正方体的对角线时得②，当截面不平行于任何侧面也不过对角线时得①，但无论如何都不能截出④.10．已知长方体ABCD－A1B1C1D1(如下图所示)．(1)这个长方体是棱柱吗？如果是，是几棱柱？为什么？(2)用截面BCFE把这个长方体分成两部分后，各部分形成的几何体还是棱柱吗？如果是，是几棱柱？如果不是，请说明理由．解(1)是棱柱，并且是四棱柱．因为以长方体相对的两个面作底面，这两个面都是四边形且平行，其余各面都是矩形，当然是平行四边形，并且四条侧棱互相平行．(2)截面BCFE上方部分是棱柱，且是三棱柱BEB1－CFC1，其中△BEB1和△CFC1是底面．截面BCFE下方部分也是棱柱，且是四棱柱ABEA1－DCFD1，其中四边形ABEA1和四边形DCFD1是底面．[学习目标] 1.用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图． 2.用斜二测画法画常见的柱、锥、台以及简单组合体的直观图.【主干自填】1．平面图形直观图的画法斜二测画法规则：(1)在已知图形中建立平面直角坐标系xOy，画直观图时，它们分别对应x′轴和y′轴，两轴交于点O′，使∠x′O′y′＝□0145°，它们确定的平面表示□02水平平面．(2)已知图形中平行于x轴或y轴的线段，在直观图中分别画成□03平行于x′轴和y′轴的线段．(3)已知图形中平行于x轴的线段，在直观图中保持原长度□04不变；平行于y 轴的线段，长度为原来的□0512.2．立体图形与平面图形相比多了一个□06z轴，其直观图中对应于z轴的是□07 z′轴，平面x′O′y′表示□08水平平面，平面y′O′z′和x′O′z′表示□09直立平面．平行于z轴的线段，在直观图中□10平行性和□11长度都不变．【即时小测】1．思考下列问题(1)相等的角在直观图中还相等吗？提示：不一定．例如正方形的直观图为平行四边形．(2)空间几何体的直观图唯一吗？提示：不唯一．作直观图时，由于选轴的不同，画出的直观图也不同．2．长方形的直观图可能为下图中的哪一个()A．①②B．①②③C．②⑤D．③④⑤提示：C因为长方形的直观图中直角应为45°角，且平行线仍为平行的平行四边形，只有②⑤满足．3．梯形的直观图是()A．梯形B．矩形C．三角形D．任意四边形提示：A因为梯形的两底在直观图中应平行且不相等，故仍为梯形．4．如图所示的直观图△A′O′B′，其平面图形的面积为________．提示：6由直观图可知其对应的平面图形AOB中，∠AOB＝90°，OB＝3，OA＝4，∴S△AOB＝12OA·OB＝6.例1画出如图所示水平放置的等腰梯形的直观图．[解]画法：(1)如图所示，取AB所在直线为x轴，AB中点O为原点，建立直角坐标系，画对应的坐标系x′O′y′，使∠x′O′y′＝45°.(2)以O′为中点在x′轴上取A′B′＝AB，在y′轴上取O′E′＝12OE，以E′为中点画C′D′∥x′轴，并使C′D′＝CD.(3)连接B′C′，D′A′，所得的四边形A′B′C′D′就是水平放置的等腰梯形ABCD的直观图．类题通法(1)本题巧借等腰梯形的对称性建系使“定点”“画图”简便易行.(2)在画水平放置的平面图形的直观图时，选取适当的直角坐标系是关键，一般要使平面多边形尽可能多的顶点在坐标轴上，以便于画点.原图中不平行于坐标轴的线段可以通过作平行于坐标轴的线段来完成.[变式训练1]用斜二测画法画如图所示边长为4 cm的水平放置的正三角形的直观图．解(1)如图①所示，以BC边所在的直线为x轴，以BC边上的高线AO所在的直线为y轴．(2)画对应的x′轴、y′轴，。