高中数学必修二全书导学案

1.1简单旋转体

[学习目标] 1.通过实物操作，增强直观感知． 2.能根据几何结构特征对空间物体进行分类． 3.会用语言概述球、圆柱、圆锥、圆台的结构特征． 4.会表示有关几何体以及柱、锥、台的分类.

【主干自填】

几种简单旋转体

【即时小测】

1．思考下列问题

(1)铅球和乒乓球都是球吗？

提示：铅球是球，乒乓球不是球，铅球是实心球，符合球的定义，乒乓球是空心球，不符合球的定义．

(2)圆柱、圆锥、圆台的底面都是圆吗？

提示：它们的底面都不是圆，而是圆面．

2．用一个平面截一个几何体，各个截面都是圆面，则这个几何体一定是() A．圆柱B．圆锥

C．球D．圆台

提示：C由球的性质可知，用平面截球所得截面都是圆面．

3．给出下列命题：

①在圆柱的上、下底面的圆周上各取一点，则这两点的连线是圆柱的母线；

②圆锥的顶点与底面圆周上任意一点的连线是圆锥的母线；

③在圆台的上、下两底面圆周上各取一点，则这两点的连线是圆台的母线；

④圆柱的任意两条母线所在的直线是互相平行的．

其中正确的是()

A．①②B．②③

C．①③D．②④

提示：D依据圆柱、圆锥和圆台的定义及母线的性质可知，②④正确，①③错误．

例1有下列说法：

①球是以半圆的直径所在直线为旋转轴，半圆面旋转一周形成的旋转体；

②球的直径是球面上任意两点间的连线；

③用一个平面截一个球，得到的是一个圆；

④空间中到一定点距离等于定长的点的集合是球．

其中正确的序号是________．

[解析]球可看作是半圆面绕其直径所在的直线旋转形成的，因此①正确；如果球面上的两点连线经过球心，则这条线段就是球的直径，因此②错误；球是一个几何体，平面截它应得到一个面而不是一条曲线，所以③错误；空间中到一定点距离等于定长的点的集合是一个球面，而不是一个球体，所以④错误．[答案]①

类题通法

透析球的概念

(1)球是旋转体，球的表面是旋转形成的曲面，球是球面及其内部空间组成的几何体，球体与球面是两个不同的概念，用一个平面截球得到的是圆面而不是圆．

(2)根据球的定义，篮球、排球等虽然它们的名字中都有一个“球”字，但它

们都是空心的，不符合球的定义．

[变式训练1]下列命题：

①球面上四个不同的点一定不在同一平面内；

②球面上任意三点可能在一条直线上；

③空间中到定点的距离等于定长的点的集合构成球面．

其中正确的命题序号为________．

答案③

解析①中作球的截面，在截面圆周上任取四点，则这四点在同一平面内，所以①错；②球面上任意三点一定不能共线，所以②错；③由球的定义可知③正确.

例2下列命题：

①用一个平面去截圆锥得到一个圆锥和一个圆台；

②以直角梯形的一腰为轴旋转一周所得的旋转体是圆台；

③圆柱的任意两条母线平行；

④以等腰三角形的底边上的高所在的直线为旋转轴，其余各边旋转一周形成的曲面围成的几何体叫圆锥．

其中正确命题的个数为()

A．0 B．1 C．2 D．3

[解析]本题主要考查圆柱、圆锥、圆台的概念，关键理解它们的形成过程．①用平行于圆锥底面的平面去截圆锥才能得到一个圆锥和一个圆台；②以直角梯形垂直于底边的腰为轴旋转一周可得到圆台；③、④显然都正确．

[答案]C

类题通法

透析几种旋转体的概念

解决此类问题一般是利用有关旋转体的定义，所以必须对各种旋转体的概念

在理解的基础上熟记．

圆柱、圆锥、圆台它们都是由平面图形旋转得到的，圆柱和圆台有两个底面，圆柱的两个底面是半径相等的圆面，圆台的两个底面是半径不等的圆面，圆锥只有一个底面．

[变式训练2]下列命题中：

①圆台的母线有无数条，且它们长度相同；②圆台的母线延长后一定相交于一点；③圆台可以看作直角梯形以其垂直于底边的腰所在直线为旋转轴，其余三边旋转形成的曲面围成的几何体；④圆绕其直径所在直线旋转半周形成的曲面围成的几何体是球．正确命题的序号是________．

答案①②③④

解析由圆台与球的定义可知①②③④都对.

例3如下图，用一个平行于圆锥底面的平面截这个圆锥，截得圆台上下底面半径的比是1∶4，截去的圆锥的母线长是3 cm，求圆台的母线长．

[解]如图，设圆台的母线长为y cm，截得的圆锥底面与原圆锥底面半径分别是x cm,4x cm，根据相似三角形的性质得

3

3＋y

＝x 4x ， 解此方程得y ＝9，

因此，圆台的母线长为9 cm.

类题通法

处理旋转体的有关问题一般要作出其轴截面，在轴截面中去寻找各元素的关系，常利用相似三角形去寻找等量关系.

[变式训练3] 圆锥的轴截面是正三角形，它的面积是3，则圆锥的高与母线的长分别为________．

答案

3，2

解析 设正三角形的边长为a ，则3

4a 2＝3，∴a ＝2.由于圆锥的高即为圆锥的轴截面三角形的高，所以所求的高为3

2

a ＝3，圆锥的母线即为圆锥的轴截面正三角形的边，所以母线长为2.

易错点⊳空间位置关系考虑不全导致漏解

[典例] 已知半径为10的球的两个平行截面的周长分别是12π和16π，试求这两个截面间的距离．

[错解] 如图(1)，设球的球心为O ，C ，D 分别为两截面圆的圆心，AB 为经过C ，O ，D 的球的直径，

由题意知两截面圆的半径分别为6和8. 在Rt △COE 中，OC ＝102－62＝8. 在Rt △DOF 中，OD ＝102－82＝6. 所以CD ＝OC －OD ＝8－6＝2.