非线性有限元1_塑性
第9章 非线性问题的有限单元法
第9章非线性问题的有限单元法9.1 非线性问题概述前面章节讨论的都是线性问题，但在很多实际问题中，线弹性力学中的基本方程已不能满足，需要用非线性有限单元法。
非线性问题的基本特征是变化的结构刚度，它可以分为三大类：材料非线性、几何非线性、状态非线性。
1. 材料非线性(塑性, 超弹性, 蠕变)材料非线性指的是材料的物理定律是非线性的。
它又可分为非线性弹性问题和非线性弹塑性问题两大类。
例如在结构的形状有不连续变化（如缺口、裂纹等）的部位存在应力集中，当外载荷到达一定数值时该部位首先进入塑性，这时在该部位线弹性的应力应变关系不再适用，虽然结构的其他大部分区域仍保持弹性。
2. 几何非线性(大应变, 大挠度, 应力刚化)几何非线性是有结构变形的大位移引起的。
例如钓鱼杆，在轻微的垂向载荷作用下，会产生很大的变形。
随着垂向载荷的增加，杆不断的弯曲，以至于动力臂明显减少，结构刚度增加。
3. 状态非线性(接触, 单元死活)状态非线性是一种与状态相关的非线性行为。
例如，只承受张力的电缆的松弛与张紧；轴承与轴承套的接触与脱开；冻土的冻结与融化。
这些系统的刚度随着它们状态的变化而发生显著变化。
9.2 非线性有限元问题的求解方法对于线性方程组，由于刚度方程是常数矩阵，可以直接求解，但对于非线性方程组，由于刚度方程是某个未知量的函数则不能直接求解。
以下将简要介绍借助于重复求解线性方程组以得到非线性方程组解答的一些常用方法。
1.迭代法迭代法与直接法不同，它不是求方程组的直接解，而是用某一近似值代人，逐步迭代，使近似值逐渐逼近，当达到允许的规定误差时，就取这些近似值为方程组的解。
与直接法相比，迭代法的计算程序较简单，但迭代法耗用的机时较直接法长。
它不必存贮带宽以内的零元素，因此存贮量大大减少，且计算中舍入误差的积累也较小。
以平面问题为例，迭代法的存贮量一般只需直接法的14左右。
在求解非线性方程组时，一般采用迭代法。
2. 牛顿—拉斐逊方法ANSYS程序的方程求解器计算一系列的联立线性方程来预测工程系统的响应。
工程力学中的非线性分析方法有哪些？
工程力学中的非线性分析方法有哪些？在工程力学领域，非线性问题的研究至关重要。
与线性问题相比，非线性问题更加复杂，需要采用专门的分析方法来准确描述和解决。
下面我们就来探讨一下工程力学中常见的非线性分析方法。
首先要提到的是有限元法。
这是一种非常强大且广泛应用的数值分析方法。
在处理非线性问题时，它能够有效地模拟材料的非线性行为，比如塑性、蠕变等。
通过将复杂的结构离散为有限个单元，并对每个单元进行分析，最终得到整个结构的响应。
对于几何非线性问题，如大变形、大转动等，有限元法能够通过更新坐标和刚度矩阵来准确捕捉结构的变化。
而对于材料非线性，如弹塑性问题，通过定义合适的本构关系，可以精确地模拟材料在不同应力状态下的行为。
再来看看边界元法。
它是另一种有效的数值方法，特别适用于处理无限域或半无限域问题。
在非线性分析中，边界元法可以结合迭代算法来求解非线性边界条件或非线性材料特性。
与有限元法相比，边界元法通常只需要对边界进行离散，从而降低了问题的维数，减少了计算量。
但在处理复杂的非线性问题时，其数学推导和编程实现可能会相对复杂。
还有一种方法是摄动法。
这是一种基于微扰理论的分析方法。
对于弱非线性问题，通过将非线性项视为对线性问题的小扰动，将问题的解表示为一个级数形式。
通过求解这个级数的各项，可以逐步逼近非线性问题的精确解。
摄动法在处理一些简单的非线性问题时非常有效，但对于强非线性问题，其精度可能会受到限制。
接下来是增量法。
在处理非线性问题时，将加载过程或变形过程分成一系列的小增量。
在每个增量步内，将问题近似为线性问题进行求解，然后逐步累加得到最终的结果。
这种方法适用于各种非线性问题，尤其是在考虑加载历史和路径相关性的情况下。
非线性有限差分法也是常用的手段之一。
它直接对控制方程进行离散，通过差分近似来表示导数项。
在处理非线性问题时，可以采用迭代的方式求解离散后的方程组。
这种方法对于简单的几何形状和边界条件的问题较为适用，但对于复杂的结构可能会面临网格划分和精度控制的挑战。
弹塑性力学与有限元-材料非线性问题和几何非线性问题
《弹塑性力学与有限元》
材料非线性问题和几何非线性问题 材料非线性问题
➢ 塑性力学的基本法则 (i) Prager运动硬化法则 规定加载曲面中心的移动是在表征现时应力状态的应力点的法线方向。
Prager运动法则一般说只能应用于九维应力空间。
《弹塑性力学与有限元》
材料非线性问题和几何非线性问题 材料非线性问题
(3)按单元内各个积分点计算D的预测值
1)计算屈服函数值
，然后区分三种情况
《弹塑性力学与有限元》
材料非线性问题和几何非线性问题
材料非线性问题
➢ 弹塑性增量分析数值方法中的几个问题 弹塑性状态的决定和本构关系的积分 (i)
(ii) 若
，则该积分点为由弹性
进入塑性的过渡情况，计算比例因子m。
（iii）若
二． 应力的度量
《弹塑性力学与有限元》
材料非线性问题和几何非线性问题
二． 应力的度量
《弹塑性力学与有限元》
材料非线性问题和几何非线性问题
➢ 大变形情况下的本构关系
《弹塑性力学与有限元》
材料非线性问题和几何非线性问题
➢ 大变形情况下的本构关系
《弹塑性力学与有限元》
材料非线性问题和几何非线性问题
➢ 大变形条件下的应变和应力的度量 一． 应变的度量
《弹塑性力学与有限元》
材料非线性问题和几何非线性问题
几何非线性问题
➢ 大变形条件下的应变和应力的度量 二． 应力的度量 在大变形问题中，是从变形后的物体中截取出微元体建立平衡方 程和与之相等效的虚功原理，所以应从变形后的物体内截取单元 体定义应力张量－－欧拉应力张量，tτij
➢ 大变形情况下的本构关系
《弹塑性力学与有限元》
非线性有限元方法
非线性有限元方法非线性有限元方法是大量应用于工程领域的计算方法，它主要用于求解复杂结构的力学问题，例如材料的变形、破坏和变形控制等。
与线性有限元方法不同，非线性有限元方法考虑因为载荷和边界条件的非线性导致问题的非线性本质，以及材料的非线性行为。
在这篇文章中，我们将讨论非线性有限元方法，包括其应用、工作原理以及其在工程领域中的重要性等内容。
首先，我们来研究一下非线性有限元方法的应用。
非线性有限元方法在许多方面都有应用。
其中最重要的领域是结构力学，包括建筑、航空航天、汽车等领域。
由于这些结构需要承受复杂的载荷，因此非线性有限元方法可以很好地模拟这些结构的行为，预测它们的性能和寿命。
此外，非线性有限元方法还可以应用于材料力学研究中，例如破碎、断裂和塑性变形等方面。
其次，我们来了解一下非线性有限元方法的工作原理。
与线性有限元方法类似，非线性有限元方法通过将结构分成小块进行离散，然后在每个小块中进行力学分析，最后将分析结果合并为整个结构的行为。
但是，与线性有限元方法不同的是，非线性有限元方法考虑到材料的非线性行为，采用迭代的方法计算结构的响应。
通常，在每一次迭代中，我们都将结构的当前状态作为一个初始猜测，然后求解出该状态下的切应力和位移场。
然后我们将这个位移场的结果代入底部，从而更新结构的状态。
如果解决方案收敛，则完成计算，否则就将新的状态再次代入求解。
这种方法的本质是将非线性问题转化为一系列线性问题的求解，通过迭代求解来逼近非线性问题的解。
最后，我们来讨论一下非线性有限元方法在工程领域中的重要性。
非线性有限元方法已成为现代工程设计和分析的不可或缺的工具。
它允许工程师们模拟和预测各种工程机构的行为，以及设计和优化各种结构。
例如，它可以帮助我们了解在不同载荷下建筑和桥梁行为的变化，预测材料的破坏和失效，以及优化汽车和飞机的结构以提高其性能。
总之，非线性有限元方法是一种复杂但十分有用的计算方法，它可以模拟各种结构的行为并预测其性能和寿命。
塑性材料的有限元分析
针对复杂材料和结构，需要深入研究材料的非线 性行为和多场耦合效应，建立更加完善的物理模 型和数值算法。
此外，应加强与实验研究的结合，通过实验验证 和修正有限元模型，提高模拟结果的可靠性。同 时，实验研究也能够为有限元分析提供更加真实 和全面的材料性能数据。
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03
有限元分析方法
有限元分析的基本原理
离散化
将连续的物理系统离散为有限个小的单元，每个 单元称为有限元。
近似解法
通过数学方法求解每个有限元的近似解，再通过 组合所有有限元的解得到整个系统的近似解。
平衡方程
建立每个有限元的平衡方程，通过求解平衡方程 得到每个节点的位移和应力。
有限元分析的实现过程
然而，塑性材料的有限元分析仍存在 一些挑战和限制，如模型的简化、边 界条件的确定、材料参数的获取等， 需要进一步研究和改进。
研究展望
未来研究应致力于发展更加精确和高效的有限元 分析方法，提高模拟结果的可靠性和精度。
在实际工程应用中，应加强有限元分析与其他数 值方法（如边界元、有限体积等）的结合，实现 优势互补，提高计算效率。
塑性变形的微观机
制
塑性变形是通过位错的滑移和攀 移等微观机制实现的，这些机制 在宏观上表现为塑性变形。
塑性变形的温度效
应
温度对塑性变形的影响较大，温 度升高会使材料的屈服强度降低， 塑性变形能力增强。
塑性变形的加工硬
化
在塑性变形过程中，材料的屈服 强度会随着变形程度的增加而逐 渐提高，这种现象称为加工硬化。
背景
随着计算机技术的不断发展，有限元分析已成为工程领域中解决复杂问题的常 用方法。通过有限元分析，可以模拟材料的变形、应力分布、应变等，为实际 工程提供重要的理论依据。
有限元材料本构模型
有限元材料本构模型
有限元材料本构模型是在有限元分析中用来描述材料行为的模型。
材料的力学行为可以通过应力-应变关系来描述，而材料的应力-应变关系可用本构方程来表示。
常见的材料本构模型包括线性弹性模型、非线性弹性模型和塑性模型等。
1. 线性弹性模型：这是最简单的本构模型，假设材料的应力和应变之间存在线性关系。
常见的线性弹性模型包括胡克定律和线弹性各向同性模型。
2. 非线性弹性模型：这种模型考虑了材料在加载过程中的非线性效应，如非线性弹性、渐进损伤和粘弹性等。
常用的非线性弹性模型包括各向同性和各向异性的本构模型。
3. 塑性模型：塑性模型用于描述材料的塑性变形行为，主要适用于金属等具有明显塑性变形的材料。
常见的塑性模型包括线性硬化模型、von-Mises模型和Drucker-Prager模型等。
在有限元分析中，选择适合材料行为的本构模型对于准确预测结构的行为和性能至关重要。
同时，也需要合理选择材料的力学性质参数来校准本构模型，以使得计算结果与实际情况相符合。
非线性有限元解法
(9)
(10 )
•在增量方法中通常引入载荷因子λ,用 R R表示载荷， 于是非线性有限
元方程可写成： ( u, ) P( u ) R 0
(1)
用载荷因子λ系列： 0 0 1 2 M 1
(2)
相应于不同的载荷。
若相应于载荷因子 n 的解已经求得，记为 u un ，则 ( un ,n ) P( un ) n R 0
KT n
KT ( un
)
un
(8)
un1 un un
其收敛判据与直接迭代法的收敛判据雷同。
非线性有限元方程组的解法（增量法）
•求解非线性方程组的另一类方法是增量方法。使用增量方法的一个优点是 可以得到整个载荷变化过程的一些中间的数值结果。当问题的性质与加载的 历史有关时，例如弹塑性问题，则必须采用增量方法。
u1 ( K1 )1 R
据此容易写出直接迭代法的迭代公式：
Kn K( un )
un1 ( K n )|1 R
(2)
按照这种迭代公式可以得到一个解数列 { un } ，当这个数列收敛时停止计
算，其数列收敛值就是方程（1）的解。
非线性有限元方程组的解法（直接迭代法）
关于数列收敛的判据，可以采用各种各样的范数定义和收敛判据。若设第 n
( un ) K( un )un R 0
(7)
该值可作为对偏离平衡的一种度量（称为失衡力），收敛判据可相应地取为：
( un ) R
(8)
（失衡力收敛判据）
非线性有限元方程组的解法（牛顿法）
把非线性有限元方程记为： ( u ) P( u ) R 0 (1)
材料非线性问题的有限元
一、材料非线性问题的有限单元法1．1 引言以前各章所讨论的均是线性问题。
线弹性力学基本方程的特点是1．几何方程的应变和位移的关系是线性的。
2．物性方程的应力和应变的关系是线性的。
3．建立于变形前状态的平衡方程也是线性的。
但是在很多重要的实际问题中，上述线性关系不能保持。
例如在结构的形状有不连续变化（如缺口、裂纹等）的部位存在应力集中，当外载荷到达一定数值时该部位首先进入塑性，这时在该部位线弹性的应力应变关系不再适用，虽然结构的其他大部分区域仍保持弹性。
又如长期处于高温条件下工作的结构，将发生蠕变变形，即在载荷或应力保持不变的情况下，变形或应变仍随着时间的进展而继续增长，这也不是线弹性的物性方程所能描述的。
上述现象都属于材料非线性范畴内所要研究的问题。
工程实际中还存在另一类所谓几何非线性问题。
例如板壳的大挠度问题，材料锻压成型过程的大应变问题等，这时需要采用非线性的应变和位移关系，平衡方程也必须建立于变形后的状态以考虑变形对平衡的影响。
由于非线性问题的复杂性，利用解析方法能够得到的解答是很有限的。
随着有限单元法在线性分析中的成功应用，它在非线性分析中的应用也取得了很大的进展，已经获得了很多不同类型实际问题的求解方案。
材料非线性问题的处理相对比较简单，不需要重新列出整个问题的表达格式，只要将材料本构关系线性化，就可将线性问题的表达格式推广用于非线性分析。
一般说，通过试探和迭代的过程求解一系列线性问题，如果在最后阶段，材料的状态参数被调整得满足材料的非线性本构关系，则最终得到问题的解答。
几何非线性问题比较复杂，它涉及非线性的几何关系和依赖于变形的平衡方程等问题，因此，表达格式和线性问题相比，有很大的改变，这将在下一章专门讨论。
这两类非线性问题的有限元格式都涉及求解非线性代数方程组，所以在本章开始对非线性代数方程组的求解作—一般性的讨论。
这对下一章也是必要的准备。
正如在前面已指出的，材料非线性问题可以分为两类。
非线性有限元在结构分析中的应用综述
非线性有限元在结构分析中的应用综述摘要：钢筋混凝土结构在土木工程中应用越来越广泛，随着理论研究的进一步深入和电子计算机的飞速发展，钢筋混凝土非线性有限元法得到了迅速的发展，尤其近几年来，在结构分析领域，钢筋混凝土非线性有限元法的应用日趋普遍。
因为非线性有限元法具有“全过程仿真”的特点，对于钢筋混凝土这种应用最为广泛而又复杂的结构更是有着其他方法无法比拟的优势。
从钢筋混凝土非线性有限元分析理论及其在结构工程中的应用说明了钢筋混凝土非线性有限元分析已成为结构分析中不可或缺的关键部分。
关键词：结构分析;非线性;仿真;有限元分析钢筋混凝土结构是土建工程中应用最为广泛的一种结构。
但是对钢筋混凝土的力学性能掌握的还不够全面，特别是混凝土。
因为混凝土成分复杂、性能多样。
长期以来，人们用线弹性理论来分析钢筋混凝土结构的应力或内力，以极限状态的设计方法确定构件的承载能力、刚度、和抗裂性，显然二者是互不协调的。
非线性有限元分析就是结合钢筋混凝土特点而新发展起来的一种弹塑性分析方法。
有限元分析方法能够给出结构内力和变形发展的全过程;能够描述裂缝的形成和扩展，以及结构的破坏过程及其形态;能够对结构的极限承载能力和可靠度作出评估;能够揭示出结构的薄弱部位和环节，以利于优化结构的设计。
同时，它能广泛地适应于各种结构类型和不同的受力条件和环境。
一、有限元方法发展概况最早把有限元分析方法用于钢筋混凝土结构的是美国学者D.Ngo和A.C.Scordelies，在他们的研究中，沿用已有的有限元方法，将钢筋和混凝土均划分为三角形单元，用线弹性理论分析钢筋和混凝土的应力;并针对钢筋混凝土结构的特点，在钢筋和混凝土之间附加了一种粘结弹簧，从而可以分析粘结应力的变化;对于裂缝，他们根据实验，预先设置了一条剪切斜裂缝，裂缝间也附加了特殊的连结弹簧，以模拟混凝土裂缝间的骨料咬合力和钢筋的销栓作用。
1968年，Nilsson等人发展了Ngo的工作，将钢筋与混凝土之间的非线性粘结关系及混凝土的非线性应力应变关系引入有限元分析。
钢结构的非线性分析
钢结构的非线性分析钢结构作为一种重要的结构形式，在建筑和工程领域被广泛应用。
而在设计和分析这类结构时，非线性分析是不可或缺的一部分。
本文将围绕钢结构的非线性分析展开讨论，并就该主题进行全面的阐述。
一、引言钢结构的非线性分析是指在考虑结构材料和结构构件在受荷过程中的非线性特性的条件下，对结构的变形、承载力和稳定性进行分析。
与线性分析相比，非线性分析更为精确，能够更好地反映实际结构的力学行为。
因此，在实际工程设计中，钢结构的非线性分析具有重要意义。
二、非线性分析的类型1. 几何非线性分析几何非线性分析是指在受荷过程中，结构的几何形状发生较大变形时的分析方法。
在传统线性分析中，通常假设结构的变形是较小的，而几何非线性分析则能更准确地考虑结构变形对力学特性的影响。
2. 材料非线性分析材料非线性分析是指考虑结构材料在受荷过程中的非线性特性进行的分析。
钢材的应力-应变曲线在高应力水平下表现出明显的非线性特性，材料非线性分析能更真实地模拟实际情况，确保结构的安全性。
3. 接触非线性分析钢结构中的接触问题也是需要考虑的一个重要方面。
接触非线性分析是指在考虑结构构件之间接触和摩擦时进行的分析。
通过准确分析接触问题，可以更精确地确定结构的承载能力和变形情况。
三、非线性分析的数值方法为了实现钢结构的非线性分析，需要借助于数值计算方法。
目前常用的数值方法包括有限元法、非线性弹性法和塑性铰接法等。
1. 有限元法有限元法是一种将结构划分为许多小单元，通过对这些小单元的力学特性进行分析，再综合考虑整体的力学性能的分析方法。
对于钢结构的非线性分析，有限元法能够较准确地考虑结构材料和几何的非线性特性。
2. 非线性弹性法非线性弹性法是基于弹性理论的扩展，通过引入非线性材料的应力-应变关系进行分析。
该方法适用于分析较小变形下的结构非线性行为。
3. 塑性铰接法塑性铰接法是一种将钢材的塑性行为简化为铰节点模型的分析方法。
通过确定铰节点的位置和性能，可以快速而准确地分析钢结构的非线性特性。
非线性有限元
（三）混合法 如对同一非线性方程组混合使用增量
法和迭代法，则称为混合法或逐步迭代法。 一般在总体上采用Euler增量法，而在
同一级荷载增量内，采用迭代法。
Ki-1
刚度的取值可根据给定的应力-应变曲 线导出。若每级计算都采用上一级增量计算 终了时的刚度值，则称为始点刚度法。
Ki-1
始点刚度法类似于解微分方程初值问题 的欧拉(Euler)折线法，计算方法简单但计算 精度较低，容易“漂移”。
若采用中点刚度法则可以提高精度。该 法类似于解常微分方程初值问题的龙格-库塔 （Runge-Kutta）法，包括中点切线刚度法 和中点平均刚度法。
(1) 直接迭代法 对非线性方程组
设其初始的近似解为 ，由此确定近似的
矩阵
可得出改进的近似解
重复这一过程，以第i次近似解求出第i＋1 次近似解的迭代公式为直接迭代法
对非线性方程组
直到 变得充分小，即近似解收敛时，终止迭代。
在迭代过程中,得到的近似解一般不会满足 作为对平衡偏离的一种度量，称为失衡力。
q-Newton—Raphson迭代法的计算过程
（2）初应力法 如果在弹性材料内确实存在初应力 ，则材料的应力应变关系为
由上式及虚功原理可导出单元的结点力为
集合单元得出以下的有限元方程 式中， 为由初应力 引起的等效结点荷载
初应力法就是将初应力看作是变化的， 以此来反映应力和应变之间的非线性关系。 通过不断地调整初应力，使线弹性解逼近非 线性解。
接触非线性 由于接触体的变形和接触边界的摩擦作用，
使得部分边界条件随加载过程而变化，且不 可恢复。这种由边界条件的可变性和不可逆 性产生的非线性问题，称为接触非线性。
材科非线性有限元法 材料非线性是由本构关系的非线性引
材料非线性
重复上述步骤
n (K n1)1 f
当误差小于规定的范围即可。
假设的初始的试探解可以由线性问题得到。 每次迭代需要计算和形成新的系数矩阵并进行求逆 计算，这表明K可以表示成 的函数，因此迭代法只 适用于与变形历史无关的非线性问题。
5
直接迭代法的收敛性分析 单自由度问题
P( ) K( )
0 1 2
硬化法则规定材料进入塑性变形后的后继屈服函 数（加载函数或加载曲面）。
F
(
ij
,
p ij
,
k)
0
其中：k --硬化参数，依赖于变形历史。
理想弹塑性材料，因无硬化效应，后继屈服函 数和初始屈服函数一致
F
(
ij
,
p ij
,
k)
F
0
(
ij
)
0
对于硬化材料，根据不同的硬化特征，采用不
同的硬化法则：各向同性硬化法则、运动硬化法则、
曲线是凸的，收敛
n2 n n1 n3
曲线是凹的，不收敛
其他的迭代方法： Newton-Raphson方法（N-R方法） 修正的Newton-Raphson方法（mN-R方法）
6
二、增量法
增量法
K( ) f 0
载荷分为若干步： f0 , f1, f2 , f3 位移分成若干步： 0,1,2,3
21
流动法则
流动法则规定塑性应变增量的分量和应力分量 以及应力分量增量之间的关系。
V.Mises流动法则假设塑性应变增量可由塑性势导出
其中：
d
p ij
d
Q
ij
d
p ij
--塑性应变增量分量；
d --待定的有限量，与材料的硬化法则有关；
非线性有限元-9-弹塑性本构关系
屈服面：
对于单向应力状态，其屈服条件可以写成 s
可以看出，描述一维问题的屈服条件需要应力－应变曲线上的一个临界点
（屈服点），描写多维问题的屈服条件就需要应力或应变空间的一个临界曲面，该
曲面称为屈服面。
考虑到塑性变形与静
水压力无关的特点
f 1,2,3 C
F J2, J3 C
至今已出现许多屈服理论。俞茂宏教授在这方面做出了重要贡献。 屈服函数：
最大剪应力屈服条件。 1870年：圣维南（Saint-Venant）提出在平面情
况下理想刚塑性的应力-应变关系。假设最大剪应 力方向和最大剪应变率方向一致，求解了柱体中发 生部分塑性变形的扭转和弯曲问题、以及厚壁筒受 内压问题。 1871年：莱维（Levy）将塑性应力-应变关系推广 到三维情况。
3) 塑性阶段：继续加载，材料可承受 更大应力，称为材料强化，并伴随 出现塑性应变。至A点以前卸载， 路径接近直线，即坏点：继续加载至可承受的最大 极限应力，试件出现颈缩而破坏，
称为强度极限。
单轴试验下材料的弹塑性性态 （3/3）
强度限 b
A
弹性限 s
其它：1）在强化规律方面，除等向强化模型外， 普拉格（Prager）提出随动强化等模型；2）在实 验分析方面，运用光塑性法、云纹法、散斑干涉法 等能测量大变形的手段。等等。
单轴试验下材料的弹塑性性态 （1/3）
对塑性变形基本规律的认识来自于实验： 1) 从实验中找出在应力超出弹性极限后材料的特性; 2) 将这些特性进行归纳并提出合理的假设和简化模型，
25
二、塑性力学的基本法则
将上述单轴应力状态的基本概念推广到一般的应力 状态，需要利用塑性力学的增量理论。
初始屈服条件
材料非线性有限元分析
e p 1 d ij d ij d ij Dijkl d kl f , ij d
A f , p Dijkl f , kl M
ij
dij ( D
dij ( D
1 ijkl
H (l ) f , ij f , kl )d kl Dep1,ijkl d kl A
1 J 2 [( 1 2 ) 2 ( 2 3 ) 2 ( 3 1 ) 2 ] 6 2 2
随动强化的米塞斯屈服准则
这种材料的屈服面方程为
p ij 1 1 p p f ( sij , , k ) [ ( sij ij )( sij ij )] 2 0 0 2
kk pp
纯剪
单向拉伸
Gp是塑性剪切 模量
Ep是塑性拉伸 模量
A f , p Dijkl f , kl M
ij
f , kl Dijkl f , kl
s ij G 2J 2G s ij G 2 2 2
由此可得A=G+Gp（或A=G+Ep/3），又因 1 1G G p Dijkl Dijkl f , kl Dklij f , kl sij skl A A 1 G G G 2 s ij s ij s kl s 2 kl G Gp G Gp p p d ij Dijkl d kl 由此可得弹塑性矩阵为
J 2 sij sij / 2
，因此
由于偏张量第一不变量＝0
J1 sii 0
1 2 2 2 J 2 [( s11 s22 ) 2 ( s22 s33 ) 2 ( s33 s11 ) 2 ] s12 s23 s31 6
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ANSYS 非线性有限元分析孙岩桦 副教授课程名称：有限元方法及CAE 软件课程代码：0121834 塑性分析4. 塑性分析4.1 塑性的基本概念4.2 增量塑性理论4.3 ANSYS中的塑性材料选项4.4 塑性分析的注意事项塑性: 在施加载荷的作用下，材料发生永久性变形（发生不可恢复塑性应变）的材料行为。
中碳钢的应力应变曲线（放大后的效果）εσ弹性理想塑性加工硬化上屈服点失效⏹非保守问题, 路径相关；⏹必须依据真实的加载历史加载以保证求解正确；⏹路径相关问题需要缓慢施加载荷（使用多个子步）4.1 塑性的基本概念4.1 塑性的基本概念在进行塑性分析之前应先理解下列基本概念:⏹比例极限⏹屈服点⏹应变强化⏹Bauschinger 效应⏹应力偏量⏹等效应力⏹率相关性4.1 塑性的基本概念－－比例极限与屈服点比例极限多数韧性金属在一定应力水平下的行为是线性的，此应力水平称为比例极限。
在比例极限下，应力与应变间的关系是线性的。
屈服点在此的应力水平下，应力－应变响应是弹性的。
在屈服点以下，发生的任何应变在载荷移走后都可完全恢复。
σ屈服点比例极限ε屈服点与比例极限之间的差别一般都很小，程序假定它们相同。
应力－应变曲线中屈服点以下的部分称为弹性部分，高于屈服点的部分是塑性或应变强化部分。
εσ屈服点弹性塑性4.1 塑性的基本概念－－比例极限与屈服点典型的塑性行为：理想弹塑性材料行为或应变强化行为对于单轴情况，代表塑性流动（应力超过屈服时材料的变形）的关系如下所示：εσσyεyεσyεy弹性理想塑性应变强化4.1 塑性的基本概念－－应变强化εσσy2σy拉伸压缩Bauschinger 效应 指在拉伸屈服后再压缩时屈服应力减小，因此在拉伸与屈服应力间存在接近 2σy 的差异。
大多数金属在小应变循环加载时出现Bauschinger 效应。
理论实际4.1 塑性的基本概念－－Bauschinger 效应4.1 塑性的基本概念－－应力偏量对于一般应力状态{σ}，应力可分解为⏹静水压应力⏹应力偏量应力偏量代表了移走静水压应力后的纯剪状态。
{S} = Deviatoric Stress Vector{S} = {σ} - σm [1 1 1 0 0 0]Twhere: σm = Hydrostatic Stress = 1/3(σx +σy +σz)⏹基于 P.W. Bridgeman’的经典实验，静水压力实际上对材料屈服无影响。
⏹剪切应力对屈服起主要作用。
既然应力－应变曲线定义屈服点为一个标量值，而又只有应力偏量才引起屈服。
则需要用一个标量来代表应力偏量，以定义屈服判据。
等效应力是从应力偏量中推导出的，它是剪切应变能的度量。
等效应力用于确定一应力状态是否发生了屈服，即定义屈服判据。
Mises 等效应力：4.1 塑性的基本概念－－等效应力4.1 塑性的基本概念－－率相关性塑性应变的大小可能是施加载荷快慢的函数。
率无关：塑性应变发生不需考虑时间效应。
率相关：塑性与应变率有关。
4.2 增量塑性理论增量塑性理论为表示塑性范围内的材料行为提供了一种应力应变增量(∆σ and ∆ε)间的数学关系。
在增量塑性理论中有三个基本组成部分：⏹屈服准则⏹流动准则⏹强化准则4.2 增量塑性理论－－屈服准则对于单轴拉伸试样，对比轴向应力与材料的屈服应力就可以确定材料是否屈服。
但是，对于多轴应力状态，就需要定义一个屈服准则。
屈服准则是应力状态的单值（标量）度量，将用于对比单轴实验中的屈服应力。
因此，知道了应力状态和屈服准则后，程序可确定是否发生了塑性应变。
常用的屈服准则是von Mises屈服准则。
当Mises等效应力（形状应变能〕超过一定值时屈服发生。
von Mises 等效应力定义为：这里 s 1 s 2 与 s 3 是主应力。
当等效应力超过材料屈服应力时发生屈服：4.2 增量塑性理论－－屈服准则4.2 增量塑性理论－－屈服准则von Mises 屈服准则：屈服面是三维空间中一个以σ1=σ2=σ3为轴的圆柱面。
在二维情况下，屈服准则可绘制为椭圆。
屈服面内的任意应力状态是弹性的，屈服面外的则表示已经发生屈服。
4.2 增量塑性理论－－流动准则总的应变增量可分为弹性部分与塑性部分。
塑性流动定义了应力与塑性应变增量间的关系。
流动准则也描述了发生屈服时塑性应变的方向。
从屈服准则推导出的流动方程表明，塑性应变发展的方向垂直于屈服面。
这样的流动准则称为相关流动准则。
如果使用其它的流动准则（从其它不同的函数中推导出的），则称为不相关的流动准则。
与单轴情况相联系，强化准则规定了材料的应变强化。
强化准则描述了在塑性流动过程中怎样更改屈服面。
屈服准则确定了如果继续加载或反向加载，材料将在何时重新屈服。
弹性塑性加载后的屈服面初始屈服面4.2 增量塑性理论－－强化准则4.2 增量塑性理论－－强化准则ANSYS使用了两种强化准则来规定屈服面的更改：⏹各向同性强化屈服面将随塑性流动扩大尺寸。
⏹随动强化屈服面在应力空间移动。
各向同性强化各向同性强化预测初始屈服面随塑性流动将均匀扩张。
此强化模型假设塑性变形是各向同性过程，忽略Bauschinger 效应。
对于循环加载，一般不采用此模型。
σ1初始屈服面σ2后继屈服面4.2 增量塑性理论－－强化准则εσ’σy2σ’σ注意后继的压缩屈服应力等于拉伸段的最大应力。
各向同性强化通常用于模拟大应变或比例加载。
4.2 增量塑性理论－－强化准则单轴试样各向同性强化的应力－应变行为随动强化⏹假设随塑性流动，初始屈服面象刚体一样移动。
⏹材料开始时是各向同性的，因为包括了Bauschinger 效应，在屈服后就不再是各向同性的了。
⏹随动强化通常用于小应变和循环加载情况。
σ1初始屈服面σ2后继屈服面4.2 增量塑性理论－－强化准则εσσy2σyσ’注意由于拉伸方向的屈服应力增加，导致后继的压缩屈服应力在数量上降低了，因此在屈服应力之间总存在2σy 的差异。
4.2 增量塑性理论－－强化准则单轴试样随动强化的应力－应变行为4.3 ANSYS中的塑性选项ANSYS 程序有10种塑性材料选项：双线性随动强化 BKIN双线性各向同性强化 BISO多线性随动强化 MKIN多线性随动强化 KINH多线性各向同性强化 MISO非线性随动强化 CHAB非线性各向同性强化 NLIS各向异性 ANISODrucker-Prager DPAnand模型 ANAND双线性随动强化(BKIN) 使用双线段表示应力－应变曲线，其中包括弹性模量和切向模量。
⏹随动强化使用von Mises 屈服准则⏹包括Bauschinger 效应⏹此选项可用于小应变和循环加载。
εσy εy σE T 双线性随动强化所需输入的数据是⏹弹性模量E⏹屈服应力σy⏹切向模量E T 。
4.3 ANSYS 中的塑性选项－－双线性随动强化4.3 ANSYS中的塑性选项－－多线性随动强化多线性随动强化有两个选项MKIN与KINH。
两种材料模型都使用多个线段的应力－应变曲线来模拟随动强化效应。
两个选项都使用von Mises 屈服准则，适用于金属的小应变塑性分析。
输入弹性模量和应力－应变数据点就可定义MKIN与KINH。
弹性模量 (E) 的输入步骤与BKIN模型相同。
MKIN 选项最多允许五个应力－应变数据点，最多可定义五条不同温度下的曲线。
MKIN 模型有下列限制：⏹每条应力－应变曲线必须 用同一组应变值。
⏹曲线的第一个点必须 与弹性模量一致。
⏹每一段的斜度不能超过弹性模量（不允许负斜度）。
⏹对于超过输入曲线末端的应变值，假设为理想塑性材料。
4.3 ANSYS 中的塑性选项－－多线性随动强化MKINKINH 具有与MKIN 选项TBOPT=2的Rice 模型相同的力学行为KINH 选项移走了施加在MKIN 模型上的一些限制：⏹最多可定义40条与温度相关的应力－应变曲线，⏹每条曲线最多20个点。
⏹不同温度下的曲线必须具有相同的点数，但各曲线间的应变值可不同。
假设不同的应力－应变曲线上的相应点代表了一个特别内层的温度相关屈服行为。
4.3 ANSYS 中的塑性选项－－多线性随动强化KINH4.3 ANSYS中的塑性选项－－非线性随动强化CHAB使用Chaboche模型模拟材料的周期行为,与BKIN 和MKIN一样,CHAB也能用来模拟单调强化和Bauschinger效应,另外此模型还可以与好几个随动和等向强化迭加起来以模拟复杂的周期塑性行为(如周期强化或软化)。
对CHAB模型可以定义C1到Cm个常数,m=1+2NPTS。
m的最大值为11,这对应5个随动模型；最小为3,这对应1个随动模型。
C1 k： 屈服应力：第一个随动模型的材料常数C2 C1C3 第一个随动模型的材料常数：第二个随动模型的材料常数C4 C2C5 第二个随动模型的材料常数……4.3 ANSYS中的塑性选项－－各向异性塑性各向异性塑性 (ANISO)允许材料的 x，y，与 z方向具有不同的应力－应变行为，拉伸与压缩时的行为也可不相同。
使用修正的带有各向同性强化假设的von Mises 屈服准则。
在每个正交方向上使用双线段代表应力－应变曲线（包括剪应力－剪应变曲线）。
此选项不允许温度相关性。
在应力空间中初始屈服面发生平动（如果拉伸与压缩时的屈服应力不同）并拉长为椭圆形（如果不同方向的屈服应力不同）。
ANISO 只适合于小应变，比例加载的情况。
4.3 ANSYS 中的塑性选项－－各向异性塑性Drucker-Prager (DP) 模型适用于颗粒状的材料，如土壤，岩石和混凝土。
使用与压力相关的von Mises 屈服准则，因此侧限压力（静水压应力σm ）的增加导致屈服强度相应增大。
假设为弹性－理想塑性材料。
需输入的数据包括三个常数：粘性值c ，内部摩擦角（角度） φ和膨胀角 φf 。
膨胀角 φf 控制体积膨胀量。
εσy σσy = f(σm )4.3 ANSYS 中的塑性选项－－Drucker-Prager 模型Drucker-Prager 模型的屈服面是一个圆锥。
压缩屈服应力大于拉伸屈服应力。
注意需要输入的常数（ c, φ, 与 φf ）可从单轴数据中得到。
详情请参见ANSYS理论手册。
4.3 ANSYS 中的塑性选项－－Drucker-Prager 模型4.3 ANSYS中的塑性选项－－ANAND模型Anand模型 (ANAND)描述了金属在热加工状态的大应变响应。
它是一个允许非线性应变强化与软化的率相关模型。
对于 Anand模型需要注意：⏹材料温度假设为高于熔点温度的一半。
⏹只允许各向同性弹性（与塑性）行为。
⏹只有Visco106, Visoc107, 与 Visco108 单元支持此材料模型。