定积分的概念和性质ppt

合集下载

经济应用数学课件4.1定积分概念及性质

将区间 [ a , b ] 分成 n 个小区间，[ xi1, xi ] (i1,2,3, n)
记 xi xi xi1,m 1ian{xxi},(i1,2,3, n) 在每个小区间 [ xi1, xi ] 内任取一点 i(xi1i xi),
则乘积 f (i )xii1,2,3, ,n的总和为
(3)当 f ( x ) 在 [a, b] 有正有负时, 定积分
b
f (x)dx
a
就等于由曲线 y f(x), 直线 xa,xb 及 x
轴所围成的几个曲边梯形的面积的代数和.
y
A1
A3
a A2 0
b
A4
x
b
af(x)dxA 1A 2A 3A 4
17
首页
返回
结束
上页
下页
铃
经济应用数学
数 f ( x ) 以及积分区间[a,b]有关而与积分变量
的选取无关.
b
b
b
af(x )d xaf(t)d t af(u )d u
13
首页
返回
结束
ห้องสมุดไป่ตู้
上页
下页
铃
经济应用数学
（3）在定积分的定义中，我们假定a<b，为今后使用方便，我们规定：
b
(1a )b, af(x)d x0;
b
a
(2) af(x)dx-bf(x)dx

4cosxdx 4sinxdx
0
0
28
首页
返回
结束
上页
下页
铃
练习题
经济应用数学
一、判断题
（1）设 f ( x) 在区间 [a, b] 上连续，则

《定积分课件》课件

03 定积分的应用
CHAPTER
面积与体积的计算
总结词
定积分在计算平面图形的面积和三维物体的体积方面具有广泛应用。
详细描述
利用定积分，可以计算出由曲线围成的平面图形的面积，例如由y=sinx和y=cosx围成的图形面积。此外，定积分还可以用于计算三维物体的体积，例如球体、圆柱体和旋转体的体积。
详细描述
在静水压力问题中，压力分布是深度的函数。通过定积分，我们可以计算任意深度的压力分布，从而了解水下物体的受力情况。
引力场的强度
总结词
通过定积分计算引力场的强度，理解引力场的分布规律。
VS
详细描述
在引力场中，场强是位置的函数。通过定积分，我们可以计算任意位置的场强，从而了解物体在引力场中的运动规律。
符号表示
02
定积分的符号为∫，读作“拉姆达”。
计算方法
03
定积分的计算方法是通过微积分基本定理，将定积分转化为求
原函数在某点的值。
定积分的几何意义
平面区域面积
定积分可以用来计算平面图形的面积，特别是当面积元素与坐标轴平行时。
体积
定积分还可以用来计算三维物体的体积，例如旋转体的体积。
曲线下面积
定积分可以用来计算曲线下在某一区间内的面积。
定积分的计算方法
要点一
总结词
定积分的计算方法包括直接法、换元法和分部积分法等。
要点二
详细描述
定积分的计算可以通过多种方法进行。直接法是根据微积分基本定理，通过求原函数并计算其差值来得到定积分的结果。换元法是在积分变量进行换元，使得积分简化。分部积分法则是通过将两个函数的乘积进行积分，将一个积分转化为另一个积分，从而简化计算。这些方法在计算定积分时常常需要结合使用。

定积分的概念及性质课件

度、磁场强度等；在弹性力学中，定积分可以用于求解应力和应变等问题。
06
定积分的进一步应用
积分变换
积分变换的定义
积分变换是一种将函数在某一区间内的行为转化为另一种函数的方法，常见的积分变换包括傅里叶变换和拉普拉斯变换等。
积分变换的性质
积分变换具有一些重要的性质，例如线性性质、时间平移性质和微分性质等，这些性质在解决实际问题中具有广泛的应用。
积分变换的应用
积分变换在信号处理、图像处理和控制系统等领域有着广泛的应用，通过积分变换可以将复杂的信号或系统转换为易于分析和处理的函数形式。
傅里叶变换
傅里叶变换的定义
傅里叶变换是一种将时间域函数转换为频域函数的方法，它可以将一个时间函数分解成一系列不同频率的正弦和余弦函数的线性组合。
傅里叶变换的性质
傅里叶变换具有一些重要的性质，例如线性性质、对称性质和微分性质等，这些性质在解决实际问题中具有广泛的应用。
傅里叶变换的应用
傅里叶变换在信号处理、图像处理和控制系统等领域有着广泛的应用，通过傅里叶变换可以将复杂的信号或系统转换为易于分析和处理的频域函数形式。
反常积分
反常积分的定义
反常积分是一种在无穷区间上定义的积分，它通常用于处理一些在无穷远处收敛的函数。
符号的意义
定积分的符号表示一个函数在一个区间上的总值，其中“∫”表示积分号。
计算公式
定积分可以通过一个公式
来计算x，其中a和b
是区间的端点。
02
定积分的性质
连续函数的积分性质
积分区间可加性
对于任意两个不相交的区间[a,b]和[b,c]，有$\int_{a}^{c}f(x)dx = \int_{a}^{b}f(x)dx + \int_{b}^{c}f(x)dx$。

定积分概念、性质ppt课件

上例曲边图形的面积用定积分表示
S1x2d x lin m (n 1 )2 (n 1 )1
0
n 6 n 3
3
注意：据定义有如下说明:
(1)定积分是特殊和式极限,它是一个定数;
(2)定积分的大小仅与区间[a,b]和被积函数f(x)有关；
(3)规定：
a
f(x)d x0,
b
a
f(x)d x f(x)dx
b f (x)dx
b
g ( x)dx
a
a
推2 论：b
.
f(x)d
x
b
f（ x） dx,(ab)
a
a
因f(x)f(x)f(x)
.
性质6（介值定理）：设f(x)在[a,b]上可取得最大值M和最
小值m，于是，由性质5有
b
m (ba)af(x)d xM (ba)
几何意义也很明显
性质 7（积分中值若定函理 f(数 x)）在[a： ,b]上连续，
S曲
lim n
n i 1
S i矩
lim
n
(n
1)( 2n 6n 2
1)
1 0.333 3
.
总结：求曲边梯形面积的步骤 v
引例1——曲边梯形的面积（演示）引例2——变速直线运动的路程
设物体的运动速度 vvt
分割区间作和
取近似值取极限
T1
ti-1 i ti T2 t
（1）细分区间 [ T 1 ,T 2 ] [ T 1 ,t 1 ] U [ t 1 ,t2 ] U L U [ tn 1 ,T 2 ]
曲边梯形的面积，即：
n
S曲
.
lim
n i1

第五章积分 5-1 定积分的概念与基本性质

性质 4 若 f (x) 是 [a, b] 上的连续函数, 则 | f (x) | 也是 [a, b] 上的连续函数, 从而可积, 且
b
b
|
a
f (x)d
x|
|
a
f (x)|d
x.
证明由于 | f (x) | f (x) | f (x) |, 应用性质 3
b
b
b
a | f (x)|d x | a f (x) d x a | f (x)|d x,
43
4
1
1
1
2
7 1 sin 2
1 sin 2 x 1 sin 2
, 3
3
4
所以
21
3
4
4 7
d
x
3
4
dx 1 sin 2
x
3
4
2 3
d
x
.
18
《高等数学》课件 (第五章第一节)
推论 2 设 f R [a, b], 且在 [a, b] 上 f (x) 0, 则
b
a f ( x) d x 0.
性质 2 (积分对区间的可加性) 设 a c b, f R [a, b], 则 f R [a, c], f R [c, b],
且
b
c
b
f (x) d x f (x) d x f (x) d x.
a
a
c
一般, 当上式中三个积分都存在时, 无论 a, b, c 之间具有怎样的大小关系, 等式都成立.
当 f (x) R [a, b] 时, 可在积分的定义中, 对 [a, b] 作特殊的分
划, 并取特殊的 i [x i 1, x i] , 计算和式. 如等分区间 [a, b], 并取点 i 为 [x i 1, x i] 的右端点 x i 或左端点 x i 1 或中点.

高等数学第五章第一节定积分的概念及性质课件.ppt

二、定积分定义
a x0 x1 x2 xn b ,
任一种分法任取
总趋于确定的极限 I ,则称此极限 I 为函数
上的定积分,
记作
b
a
f
( x) dx
即
b a
f
(
x)
dx
lim
0
n
i1
f
(
i
)
xi
o
a x1
此时称 f ( x ) 在 [ a , b ] 上可积 .
在区间
i
x xi1xi b
证: f (i ) xi 0
i1
b
n
a
f
( x) d
x
lim
0 i1
f
(i ) xi
0
推论1. 若在 [a , b] 上
则
推论2.
(a b)
证: f (x) f (x) f (x)
b
b
b
a f (x) dx a f (x) dx a f (x) dx
即
b
b
a f (x) dx a f (x) dx
使
因此定理成立.
说明:
• 积分中值定理对
• 可把
b
a f (x) dx f ( )
ba
因
y f (x) y
oa bx
故它是有限个数的平均值概念的推广.
例4. 计算从 0 秒到 T 秒这段时间内自由落体的平均速度.
解: 已知自由落体速度为
v gt
故所求平均速度
1 1 g T 2 gT
第一节
第五章
定积分的概念及性质
一、定积分问题举例二、定积分的定义三、定积分的性质

ppt-0403--定积分的概念与性质

1b
b a a
f
( x)dx
为函数f(x)在[a,b]上的平均值.
如已知某地某时自0至24时天气温度曲线为f(t),
t为时间，则
1 24
024
f (t)dt
表示该地、该日的平均气温.
如已知某河流在某处截面上各点的水深为h(x),
0 x a (a为河流在该截面处水面之宽度)，则该河流
在该截面处的平均水深为
b
a f (x) d x a f (x) d x c f (x) d x
当c在区间[a,b] 之外时，上面表达式也成立.
性质3表明定积分对积分区间具有可加性，这个性质可以用于求分段函数的定积分.
例1 已知
1 x,
f
(
x)
1
x 2
,
x 0, x 0,
求21 f (x)dx.
解
2
1
f
(x)dx
sin
xdx
3 2
π 3
π 6
，
即
ππ
12
3 π 6
sinxdx
3π . 12
性质7(积分中值定理) 如果函数f(x)在闭区间[a,b]上连
续，则在积分区间[a,b]上至少存在一个点，使下式成
立
b
a
f
( x)dx
f
( )(b a)
(a b).
证明因为函数f(x)在闭区间[a,b]上连续，根据闭区间
定积分ab f (x)dx在几何上表示上述曲边梯形的面积A的
相反数.
如果在[a,b]上f(x)既可取正值又可取负值，则定
积分 ab f (x)dx在几何上表示介于曲线y=f(x)，直线

定积分的概念及性质PPT

在每个小区间[ xi1, xi ]
上任取
一点
，
i
o a x1
b xi1i xi xn1
x
以 [ xi1, xi ]为底，f (i ) 为高的小矩形面积为
Ai f (i )xi
首页
上页
下页
曲边梯形面积的近似值为
n
A f (i )xi
i 1
当分割无限加细,即小区间的最大长度
max{x1, x2 , xn }
点i 怎样的取法，只要当 0时，和S 总趋于
确定的极限I ，我们称这个极限I 为函数 f ( x)
在区间[a, b]上的定积分，记为
积分上限 b a
f ( x)dx
I
lim 0
n i 1
积分和
f (i )xi
积分下限
被积函数
被
积
[a,b] 积分区间
积
分
表
变
达式
量
首页
上页
下页
注意：
思路：把整段时间分割成若干小段，每小段上速度看作不变，求出各小段的路程再相加，便得到路程的近似值，最后通过对时间的无限细分过程求得路程的精确值．
首页
上页
下页
（1）分割 T1 t0 t1 t2 tn1 tn T2
ti ti ti1
si v( i )ti
部分路程值
某时刻的速度
i ，(i n
1,2,
,n)
小区间[ xi1 , xi ]的长度xi
1 ，(i n
1,2,
,n)
取i xi ，(i 1,2, , n)
n
n
n
f (i )xi i2xi xi2xi ,

高等数学(微积分)课件--§6.1定积分的概念与性质

y = f (x)
O a
b x
3
无限细分、无限求和

处理该类问题的基本思路：无限细分(化曲为直)、无限求和！
y y= f (x)
O
a
b
x
4
曲边梯形的面积计算—分割

设函数在区间[a,b]上连续, y=f(x)≥0 y 分割：
任意插入n-1个分点：
a x0 x1 xn 1 xn b
T1 t0 t1 t n 1 t n T2
把[T1,T2]分成n小段[ti-1, ti] (i=1,2,…,n),每小段时间长度∆ti= ti- ti-1 ;相应地,位移也分成n段∆si v ②取近似: ∆siv(i)∆ti (i=1,2,…,n) v vt ③求和:
浙江财经学院本科教学课程 ----经济数学(一)
微积分
第六章定积分
§6.1定积分的概念与性质 §6.2微积分基本定理 §6.3定积分计算方法 §6.4定积分的应用 §6.5广义积分初步
1
§6.1定积分的概念与性质

一、曲边梯形的面积二、定积分的定义三、定积分的几何意义四、定积分的基本性质在本节中我们将从一些实际问题的计算里提炼出一类关于“和式极限”计算的数学问题,从而引申出定积分的概念,并探讨它的性质、几何意义。
s v i ti
i 1 n
④取极限: 所求位移为
s lim
0
T1
T2
v t (其中 maxt )
i i i 1
1i n i
n
O
t 0 ... ti 1 t i ... t n
t
10
解决此类求和问题的数学模式

( 人教A版)高中数学选修22：1.5.3定积分的概念课件 (共35张PPT)

)dx＝1，
a
a
所以c2f(x)dx＋b2f(x)dx
a
c
＝2(cf(x)dx＋bf(x)dx)
a
c
＝2bf(x)dx＝4. a
答案：4
3．计算定积分3(2x＋1)dx＝________. 0
解析：3(2x＋1)dx 表示直线 f(x)＝2x＋1，x＝0，x＝3 围成的直角梯形 OABC 的 0
a
＝b，y＝0，再明确被积函数 f(x)，从而确定曲边梯形的曲边，这样就可以通过求曲边梯形的面积 S 而得到定积分的值：当 f(x)≥0 时，bf(x)dx＝S；
a
当 f(x)<0 时，bf(x)dx＝－S. a
2．利用定积分的几何意义，求：
3
9－x2dx.
－3
解析：(1)在平面上 y＝ 9－x2表示的几何图形为以原点为圆心以 3 为半径的上半圆如
2
3552－x2dx＝21×2×1＝1，
∴5f(x)dx＝2xdx＋3(4－x)dx＋
0
0
2
3552－x2dx＝2＋23＋1＝29.
利用定积分的性质计算定积分的步骤： (1)如果被积函数是几个简单函数的和的形式，可以利用定积分的线性性质计算，可以简化计算． (2)如果被积函数含有绝对值或被积函数为分段函数，一般利用积分区间的连续可加性质计算．
dx
1
1
＝32.
(3)
1
1－x2dx 表示的是图(3)中阴影所示半径为 1 的半圆的面积，其值为π2，
-1
所以1
1－x2dx＝π2.
-1
由定积分的几何意义求定积分的步骤： (1)当 f(x)≥0 时，bf(x)dx 等于由直线 x＝a，x＝b，y＝0 与曲线 y＝f(x)围成曲边

《定积分的概念》课件

微积分基本定理是定积分计算的核心，它建立了定积分与不定积分之间的联系。
详细描述
微积分基本定理指出，一个定积分可以用被积函数的不定积分来表示。这个定理是计算定积分的基石，因为它提供了一种将定积分问题转化为求不定积分问题的途径。
பைடு நூலகம்
微积分基本定理的应用
总结词
微积分基本定理的应用广泛，包括计算面积、体积、速度和加速度等。
详细描述
通过微积分基本定理，我们可以计算各种物理量，如物体的运动速度、加速度，以及平面图形的面积等。这些应用在科学、工程和经济学等领域都有广泛的应用。
定积分的计算方法
总结词
定积分的计算方法包括直接法、换元法和分部积分法等。
VS
详细描述
直接法是直接利用微积分基本定理计算定积分的方法；换元法是通过换元公式将复杂的积分转化为简单的积分；分部积分法则是通过将两个函数的乘积进行求导，再利用微积分基本定理计算定积分的方法。这些方法在解决实际问题时各有优缺点，需要根据具体情况选择合适的方法。
通过将物体的运动轨迹分割成无数小的线段，再利用定积分计算这些线
段上的速度和加速度的积分和，可以求得物体的整体速度和加速度。
定积分在经济学中的应用
计算边际成本和边际收益
在经济学中，定积分可以用于计算边际成本和边际收益，这是通过将成本或收益函数在一定的范围内进行分割，再利用定积分计算这些分段上的成本或收益的积分和，可以求得整体的边际成本和边际收益。
预测市场需求
通过将市场需求函数在一定的范围内进行分割，再利用定积分计算这些分段上的需求函数的积分和，可以预测整体的市场需求。
评估投资项目的风险
通过将投资项目的风险函数在一定的范围内进行分割，再利用定积分计算这些分段上的风险函数的积分和，可以评估整体的投资项目的风险。

定积分的概念和性质课件

i 1
f(ξｉ )
0
a x0 x1
x2 xi 1 ξｉxi
xn 1 x b n
x
（4）取极限：当分割无限时，所有小矩形的面积之
分割越细， f (i )xi 就越接近于曲边梯形的面积A，当
和的极限就是曲边梯形面积A的精确值。 n
i 1
小区间长度最大值趋近于零，即
n
0（表示这些小区间的长度最大者）时，和式 f ( i )xi 的
b
• 证
[ f ( ) g ( )]x [ f ( x) g ( x)]dx lim
b a 0 i 1 n i i
n
i
lim f ( i )xi lim g ( i )xi
0
b i 1
n
0
i 1
f ( x)dx g ( x)dx
a
f ( x)dx f ( )(b a) ( a b)
这个公式叫积分中值公式。
证由性质6，有
m(b a) f ( x)dx M (b a)
a b
即有
1 b m f ( x)dx M a ba
因m、M分别是f ( x)的最小值和最大值，由连续函数的介值定理知，在[a，b]上至少存在一点，使得 1 b f ( x)dx f ( ) ba a
若f(x)≥0，则 a f ( x)dx 的几何意义表示由曲线y=f(x)，直线x=a，x=b与x轴所围成的曲边梯形的面积。
b
一般情形,a f ( x)dx 的几何意义为：它是介于x轴，曲线y=f(x)，直线x=a，x=b 之间的各部分面积的代数和。
b
y

定积分的概念课件

1n3·n1＋2n3·1n＋…＋nn3·n1.＝i＝n1 ni 3·n1.
(因为 x3 连续，所以 ξi 可随意取而不影响极限，故我们此处将 ξi 取为[xi，xi＋1] 的右端点也无妨)
(3)取极限：
n
i＝1
ni 3·1n＝n14i＝n1i3＝n14nn＋ 2 12＝411＋2n＋n12，
∴1x3dx＝lim
[解析] ∵y＝x3＋3x 为[－1,1]上的奇函数，图象关于原点对称，∴曲边梯形在 x 轴上方部分面积与在 x 轴下方部分面积相等，由积分的几何意义知1 (x3＋
－1
3x)dx＝0.
『规律总结』若函数f(x)的图象是某些特殊的图形，其面积运用几何方法容易求解，求定积分时还可以利用几何意义求解．
定积分的概念
1．定积分的概念
如果函数 f(x)在区间[a，b]上连续，用分点 a＝x0<x1<…<xi－1<xi<…<xn＝b 将区
间[a，b]等分成 n 个小区间，在每个小区间[xi－1，xi]上任取一点 ξi(i＝1,2，…，n)， n b－a
作和式 Sn＝n f(ξi)Δx＝___i＝_1___n___f(_ξ_i)___(其中 Δx 为小区间长度)，当 n→∞时，上
2
5352－2xdx＝12×2×1＝1. ∴50f(x)dx＝20xdx＋32(4－x)dx＋5352－2xdx＝2＋32＋1＝92.
利用定积分求平面图形的面积
将下列曲线围成的平面区域的面积用定积分表示. (1)y＝0，y＝ x，x＝2； (2)y＝x－2，x＝y2.
[思路分析] 可先作出函数图象，再根据图象及几何意义把围成的平面区域的面积进行表示．
kb
f(x)dx

高中数学(人教版)定积分的概念与性质课件

b
a
f ( x )dx
积分上限
b
[a , b ]
积分区间
n
f ( i ) xi a f ( x) d x lim 0 i 1
积分下限被积函数
b
被积表达式
T2 T1
积分变量
积分和
注 (1)
A f ( x )dx , s v ( t )dt .
a a
性质2 设 a c b , 则
b a
f ( x )dx f ( x )dx f ( x )dx
a c
c
b
可加性
不论a,b,c的相对位置如何,上述等式均成立
性质3 如果在区间 [a , b ]上 f ( x ) 1,那么
1dx dx b a
a a
a x 0 x1 x 2 x n 1 x n b .
2) 取近似.
T1 t 0 t1 t 2 t n1 t n T2
2) 取近似.
T1
Ai f ( i ) x i
n
3) 求和. A A i f ( i )xi
i 1
n
si v ( i )t i
)x i 4) 取极限. A lim f ( i取极限
0
i 1
n
i 1
4) 取极限.
不同点：背景不同
相同点：方法相同
（一）引例
1．曲边梯形的面积 1) 分割. 在[a , b]中任意插入 n –1 个分点 2.变速直线运动的路程 1) 分割. 在[T1 , T2]中任意插入 n –1 个分点
b a