第7章动态电路状态变量分析
动态电路的状态变量分析
电路的复杂度(complexity)，亦称自由度(freedom)。 即电路独立状态变量的个数
（1）无源（RLC）电路的复杂度为n = nC + nL lC qL （2）有源电路复杂度的上下限为0 n nC + nL lC qL
L1
L2
R6 uC3 C3
R8 R9 uR9
uC 4 C4 R7 uR7
（2）列写基本割集1和2的KCL方程
du L1ddiLt1uC3uC4uR6uR7uR9
C4
C dt i i L2ddiLt2uC4uR7uR8uR9
4
L1 L2
1
割集2
2
6
回 路1
5
3
8
回路 2
4
7
9
C3
duC 3 dt
iL1
（1）当w = 0，x0 0时，状态方程描述零输入响应；
（2）当w 0，x0= 0时，状态方程描述零状态响应；
（3）当w 0，x0 0时，状态方程描述完全响应。
iL , uC
uC
(I0 ,U0 ) iL
O
t 0 (I0,U0)
t O t
iL
uC
(a) 过阻尼情况的时域波形
(b) 过阻尼情况的状态空间轨迹
直接观察
列写方法
不太复杂的电路 置换方法
系统法 复杂的电路
这里介绍直接观察或置换方法列写电路的状态方程。
一、直接观察法 步骤
(1) 选一个树，使它包含全部电容（和无伴电压源支路） 而不含电感（和无伴电流源支路）。
(2) 对每个电容树支确定的基本割集列写KCL方程；对 每个电感连支确定的基本回路列写KVL方程。
第七章 动态电路的暂态分析
（4）根据电路的初始条件，确定微分方程通解中的积分常数，从而求 得微分方程的特解（即待求电路响应）。
A u C (0 ) 3
微分方程的特解为
uC Ae 3e
t 2
t 2
V
t 0
（5）由求得的电路响应，求得其他响应。由uC可求得电流
t uC 3 2 i e A 2 2
第七章 动态电路的暂态分析
第一节 第二节 换路定律与初始值的计算 一阶电路的零输入响应
第三节
第四节
一阶电路的零状态响应
一阶电路的全响应
第五节
第六节
一阶电路的三要素法
RLC串联电路的零输入响应
第七章小结
电路
电阻性电路 ：仅含有电阻性元件（包括独立 电源和受控电源）的电路。 动态电路 ：含有动态元件（即储能元件） 的电路。
iC (0 ) iL (0 ) 2 A u L (0 ) R3iC (0 ) u C (0 ) u2 (0 ) 6 (2) 8 8 V 12 V
初始值的计算步骤
（1）由换路前的电路计算出电容元件的电压uC和电感元件 的电流iL，确定它们在t＝0－时的值uC (0－)和iL (0－) 。 （2）根据换路定律，确定电容元件和电感元件电流的初始 值uC (0＋)和iL (0＋) 。
（1）换路前：开关合于位置1，电路 处于稳态，电容元件已充电，其电压 为U0（U0=US）。开关合至位置2的最 初瞬间，由于电路中的电流不是不穷 大，电容元件的电压不能跃变，电容 元件中的电压仍保持为U0，即uC (0＋) =U0 。 （2）换路后：电路脱离电源，电容元 件两极上的正负电荷不断的地中和， 直至电容元件两极上的电荷全部中和， 电路中电压均为零时，电路暂态过程 告以结束，电路进入稳态。 换路后电路所经历的物理过程，实际 上就是电容元件的放电过程。
电路第七章
i2 (0 )
uC (0 ) 12 1.5 A R2 8
iC (0 ) i1 (0 ) i2 (0 ) 1.5 A
例5： 图示电路，t=0时S由1扳向2， t ＜ 0 时电路稳定。求初始值 i1(0+) 、 i2(0+)和uL(0+)。 Us 9 3A 解：(1) t＜0时：i L (0 ) R1 3 (2) 0+等效电路。根据换路定律：
方程通解：uC (t ) A e A e
pt
t RC
uC ( t ) U 0 e
t RC
带入初始条件： A U 0
t RC
(t 0)
duC U 0 i C e dt R
( t 0)
4、参量图形分析t
uC (t)和i(t)从初始值按指数规律衰减 电容充放电分析： 1、t＜0时充电，稳定后，uC=U0 。
第7章 一阶电路和二阶电路的时域分 析
7.1 动态电路的方程及其初始条件
7.2
7.3 7.4 7.5 7.7
一阶电路的零输入响应
一阶电路的零状态响应 一阶电路的全响应 二阶电路的零输入响应 一阶电路和二阶电路的阶跃响应
7.1 动态电路的方程及其初始条件
1. 动态电路
含有动态元件电容和电感的电路称动态电路。
例
电阻电路
i
+ i
（t = 0） R1 R2 0
i U S / R2
t 过渡期为零
us
i U S ( R1 R2 )
-
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动态电路的分析与计算
新型器件建模
随着新型电子器件的不断涌现，建立准确、高效的模型对于动态电路的精确分析至关重要。
智能化分析
利用人工智能和机器学习等方法，可以提高动态电路分析的效率和精度。
系统级集成
将动态电路集成到更大的系统中，可以实现更复杂的功能和更高的性能。
03
02
01
06
CHAPTER
参考文献
Jackson, J.D. (1975). Classical Electrodynamics. John Wiley & Sons.
公式
一阶RC电路广泛应用于各种电子设备中，如滤波器、定时器和振荡器等。
应用
二阶RLC电路比一阶电路更为复杂，其特性可以更好地满足某些特定应用需求。
总结词
详细描述
公式
应用
二阶RLC电路由一个电阻R、一个电感L和一个电容C组成，其中电感储存磁能，电容储存电能。
二阶RLC电路的微分方程为：d2i/dt2 + (R/L) * di/dt + (1/LC) * i = 0，其中i为电流。
动态电路的分析与计算
汇报人：
2023-11-27
目录
动态电路概述动态电路分析方法动态电路的计算机辅助分析动态电路计算实例总结与展望参考文献
01
CHAPTER
动态电路概述
VS
动态电路是指具有储能元件（如电容、电感）的电路，其状态会随时间变化。
动态电路在某一时刻的状态由该时刻的输入信号和电路的初始状态共同决定。
Smith, C.M., & Lee, C.H. (2001). Modelling of transient responses in complex RC circuits. Journal of Circuits, Systems, and Computers, 10(4), 427-445.
(整理)第七章二阶电路
第七章 二阶电路用二阶线性常微分方程描述的电路称为二阶电路，二阶电路中至少含有两个储能元件——当然含有两个储能元件的电路并不一定为二阶电路，比如两个电容（电感）串（并）联情况。
◆ 重点：1． 电路微分方程的建立 2． 特征根的重要意义 3． 微分方程解的物理意义◆ 难点：1． 电路微分的解及其物理意义 2． 不同特征根的讨论计算7.0 知识复习一、二阶齐次微分方程的通解形式0'''=++cy by ay ，其特征方程为：02=++c bp ap ，特征根：a acb a b p 44222,1-±-=。
当特征方程有不同的实根1p 、2p 时，tp t p e A e A y 2121+= 当特征方程有相同的实根p 时，pte t A A y )(21+=当特征方程有共轭的复根ω±δ-=j p 2,1时，)sin cos (21)(t A t A e ey t tj ω+ω==δ-ω+δ- 二、欧拉公式β+β=βsin cos j e j2)sin()()(j e e t t j t j β+ω-β+ω-=β+ω β-β=β-sin cos j e j2)cos()()(β+ω-β+ω+=β+ωt j t j ee t7.1 二阶电路的零输入响应7.1.1 二阶电路中的能量振荡在具体研究二阶电路的零输入响应之前，我们以仅仅含电容与电感的理想二阶电路（即R=0，无阻尼情况）来讨论二阶电路的零输入时的电量及能量变化情况。
+ U 0C L _-_C L+(d)图8-1 LC 电路中的能量振荡设电容的初始电压为0U ，电感的初始电流为零。
在初始时刻，能量全部存储于电容中，电感中没有储能。
此时电流为零，电流的变化率不为零（0≠==dt di Lu u L C ，0≠∴dt di ），这样电流将不断增大，原来存储在电容中的电能开始转移，电容的电压开始逐渐减小。
当电容电压下降到零时，电感电压也为零，此时电流的变化率也就为零，电流达到最大值I 0，此时电场能全部转化为电磁能，存储在电感中。
第7章 一阶电路和二阶电路的时域分析(2010-2011第一学期 邱关源)
uC ( ) U 0e1 0.368U 0
即经过一个时间常数τ 后，衰减了63.2％，为原值 的36. 8％。 理论上，t = ∞时，uC才能衰减到零，但实际上， 当t = 5τ 时，所剩电压只有初始值的0.674％，可以认 为放电已完毕。因此，工程上常取t = (3-5)τ 作为放电 完毕所需时间。τ 越大，衰减越慢，反之则越快。
uR uC U 0 e
t
可以看出，电压uC、uR及电流i都是按照同样的 指数规律衰减的。它们衰减的快慢取决于指数中τ 的大小。
第七章一阶电路和二阶电路的时域分析
§7-2 一阶电路的零输入响应
τ 的大小反映了一阶电路过渡过程的进展速度， 它是反映过渡过程特性的一个重要的量。可以计算得 t = 0时， t =τ 时，
第七章一阶电路和二阶电路的时域分析
§7-2 一阶电路的零输入响应
第七章一阶电路和二阶电路的时域分析
§7-2 一阶电路的零输入响应
经过全部放电过程，电阻上所吸收的能量为
WR
0
Ri 2 (t )dt
0
U 0 t 2 R ( e ) dt R
0
2 U0 R
0
e
2t RC
第七章 一阶电路和二阶电路的时域分析
河北大学数学与计算机学院
第七章一阶电路和二阶电路的时域分析
§7-1 动态电路的方程及其初始条件
电容和电感的VCR是通过导数（积分）表达 的。当电路中含电容和电感时，电路方程是以电流 和电压为变量的微分方程或微分―积分方程。 对于仅含一个电容或电感的电路，当电路的无 源元件都是线性和时不变时，电路方程将是一阶线 性常微分方程，称为一阶动态电路。 电路结构或参数变化引起的电路变化统称为 “换路”。换路可能使电路改变原来的工作状态， 转变到另一个工作状态。
初中物理电学：动态电路详细分析
起的有效电阻的变化。
• 3．熟练掌握串并联电路中电压、电流及电阻的规律。
动态电路中涉及的用电器肯定不止一个，必然会运用到 串并联电路中电压、电流及电阻的规律，如果学生不能 熟练掌握这些规律，那么解题也就无从谈起。
• 4．熟练掌握欧姆定律的运用，尤其是要分析好电路中局部和整体的关系。欧
❖[变式训练题]参考下图，在伏安法测电阻的实 验中，若由于各种原因，电压表改接在滑动变 阻器的两端，当滑片向左移动时，请判断 A 表 和 V 表的变化。
A 表变大 V 表变小
2.并联电路
例 2 如图 Z5－3 所示电路，电源电压保
解好怎样才是短路，以及短路对整个电路的影响。所以要想学好电学这部分内 容还得深刻理解短路这个概念。
动态电路专题总结
1、动态电路是由于电路中滑动变阻器的滑片移动 或电路中各开关的通断引起电路中的电流、电压等物 理量的变化；
2、解题时，应先判断确定滑动变阻器的滑片移动 或各开关通断时，电路的连接情况及各电表所测的物 理量；
3、再根据已知条件，利用其中一种情况解决部分 所求量，然后将所求得的量做为已知带入另一种情况 求解。
4、若题目中哪一种情况都没有将已知条件给足， 解决此类问题就必须将几种情况结合在一起看，将由 不同情况得出的几个等式联立起来解决问题。
二、问题导学 知识储备
1、快速说出串联和并联电路的电流、电压、电阻的特点：
数减小中，定值电压也减小，滑动电压在上升；并联电
阻在增大，电压示数不变化，滑动电流在减小，干路电 流跟着跑，定值电流不变化，反向思考靠大家。
在看电路图的时候，应该采用何种方式来弄清电 路的连接情况？
1.将电流表看成导线，电压表看成断开的，先弄清电路 是串联还是并联的；
电路第五版第七章
i
+
当i()为有限值时
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uC (0+) = uC (0－)
q =C uC
结论
q (0+) = q (0－)
电荷 守恒
换路瞬间，若电容电流保持为有限值， 则电容电压（电荷）换路前后保持不变。
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③电感的初始条件
t
iL
1 iL (t ) u ( )d L 1 0 1 t u ( )d u ( )d L L 0
电容电路
+ Us -
(t = 0) R i + k uC –
+ C Us -
(t →) R i + uC –
C
uc k未动作前，电路处于稳定状态： i = 0 , uC = 0 US 新的稳定状态 US k接通电源后很长时间，电容充电完毕，电路 R 达到新的稳定状态： i i = 0 , u有一过渡期 C= U s t1 t 0
电路方程
特点
当动态电路状态发生改变时（换路）需要 经历一个变化过程才能达到新的稳定状态。这 个变化过程称为电路的过渡过程。
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例
电阻电路
（t = 0） R1 R2 0 i
+ i us -
i U S / R2
t 过渡期为零
i U S ( R1 R2 )
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2
二阶电路中有二个动态元件,描述 电路的方程是二阶线性微分方程。
dx dx a2 2 a1 a0 x e(t ) t 0 dt dt
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高阶电路
第7章 一阶电路的时域分析
Chapter 7 一阶电路主要内容1.动态电路的方程及其初始条件；2.一阶电路（RC 电路、RL 电路）的时间常数；3.零输入响应、零状态响应、全响应、瞬态分量、稳态分量；4.三要素法；5.阶跃响应、冲激响应。
§7-1 动态电路的方程及其初始条件一、动态电路的方程1.动态电路：含有动态元件（电容或电感）的电路。
2.动态电路的方程： 电路中有储能元件（电容或电感）时，因这些元件的电压和电流的约束关系是通过导数（或积分）表达的。
根据KCL 、KVL 和支路方程式（VAR ）所建立的电路方程是以电流、电压为变量的微分方程或微分-积分方程。
一阶动态电路：仅含一个动态元件的电路（RC 电路、RL 电路）。
3.动态电路的特征：当电路的结构或元件的参数发生改变时（如电源或无源元件的断开或接入，信号的突然注入等），可能使电路改变原来的工作状态，而转变到另一个工作状态。
换路：电路或参数的改变引起的电路变化。
0=t ：换路时刻，换路经历的时间为 0_ 到 +0；-=0t ：换路前的最终时刻； +=0t ：换路后的最初时刻；4.经典法（时域分析法）：根据KCL ，KVL 和VAR 建立描述电路的以时间为自变量的线性常微分方程，然后求解常微分方程，从而得到所求变量（电流或电压）的方法。
用经典法求解常微分方程时，必须根据电路的初始条件确定解答中的积分常数。
电路独立初始条件：)0(+C u 和 L i )0(+。
二、电路的初始条件1.电容的电荷和电压⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+=⎰⎰ξξξξd tt i C t u t u d tti t q t q C C C C C C 0000)(1)()()()()(取 +-==0 ,00t t , 则⎪⎩⎪⎨⎧+=+=⎰⎰+-+--+-+ξξξξd i c u u d i q q C C C C C C 0000)(1)0()0()()0()0(若有限）( M i C ≤， 则 0)(00=⎰+-ξξd i C ，且⎩⎨⎧==-+-+)0()0()0()0(C C C C u u q q 电容上电荷和电压不发生跃变！① 若 -=0t 时，0)0(q q C =-, 0)0(U u C =-, 则有 0)0(q q C =+,)0(U u C =+, 故换路瞬间，电容相当于电压值为 0U 的电压源；② 若 -=0t 时，0)0( ,0)0(==--C C u q , 则应有)0( ,0)0(==++C C u q , 则换路瞬间，电容相当于短路。
(完整)高二物理电路的动态分析
直流电路的动态分析一般思路为：（1）确定电路的外电阻R 外总如何变化；① 当外电路的任何一个电阻增大（或减小）时，电路的总电阻一定增大（或减小） ② 若电键的闭合使串联的用电器增多，总电阻增大；若电键的闭合使并联的支路增多，总电阻减小。
（2）根据闭合电路欧姆定律r R E I +=外总总确定电路的总电流如何变化；（3）由U 内=I 总r 确定电源内电压如何变化；（4）由U 外=E －U 内确定电源的外电压如何（路端电压）如何变化）；（5）由部分电路欧姆定律确定干路上某定值电阻两的电压如何变化；（6）确定支路两端电压如何变化以及通过各支路的电流如何变化（可利用串联电路的电压关系、并联电路的电流关系）。
基本方法一、“先总后分”。
即先判断总电阻和总电流如何变化：例1、如图，当R 3变小时，R 1 、R 2上的电流、电压及灯泡的亮度如何变化？ 本题中，引起变化的是电阻R 3，当光照强度增强时，其阻值变小。
根据串并联电路的电阻关系可知，电路的总电阻变小。
这类题还有个特点，就是电源电动势恒定的，所以根据闭合电路欧姆定律可得：总总R E I =，总电阻变小则总电流增大。
二、“先干后支”。
即先分析干路部分，再分析支路部分：分析时要注意电源内阻必须考虑，且电源内阻是在干路上，根据部分电路欧姆定律有：r I U 总内=，总电流增大，则内阻上电压增大。
同理有：11R I U R 总=，则R1两端的电压增大，即电压表读数增大。
最后由外内U U E +=和并外U U U R +=1可判断并联部分的电压是减小的。
三、“先定后变”。
即先分析定值电阻所在支路，再分析阻值变化的支路： 并联部分有两个支路，其中R 2是定值电阻，那么，通过R 2的电流I 2为：22R U I 并=，并联部分电压变小，则I 2变小。
电阻R 3和灯泡所在的支路阻值是变化的，故不能直接由电压的变化判断其电流的变化。
需根据并联电路电流关系来判断，即由32I I I +=总得23I I I -=总，再由前面的分析可知，I 3是增大的，因此灯泡会变亮。
动态电路的分析与计算
动态电路的分析与计算动态电路是指根据电压和电流的变化情况，进行分析和计算的电路。
在动态电路中，电压和电流是随时间变化的，因此需要进行动态分析，即考虑电路中的时间响应。
动态电路有许多应用，如信号处理、通信系统、数据传输以及计算机等。
动态电路的分析方法主要有微分方程法和拉普拉斯变换法。
微分方程法以电路中的基本元件为基础，根据基尔霍夫定律和基本电路方程建立微分方程组，通过求解微分方程组来获得电路的时间响应。
拉普拉斯变换法则是将时间域的电路方程转化为复频域的代数方程，通过频域分析来求解电路的输出响应，最后再进行反变换得到时间响应。
对于动态电路的计算，通常需要计算电路的传输函数、单位冲激响应或者零输入响应等。
电路的传输函数是指输出与输入之间的关系，可以用于计算输出的频率响应和稳态响应。
单位冲激响应是指当输入是单位冲激信号时，电路的输出响应。
零输入响应是指当输入为零时，电路的输出响应。
在进行动态电路分析和计算时，需要考虑电路中的各种元器件的动态特性和非线性特性。
例如，电容和电感有时会引起频率依赖的阻抗，这需要在计算中进行考虑。
此外，对于非线性元件，可以使用小信号模型或者通过数值方法进行求解。
动态电路的分析和计算通常使用电路模拟软件或者数值分析软件进行。
这些软件可以提供丰富的模型和工具，使得电路的分析和计算更加方便和准确。
例如，SPICE软件可以模拟电路的动态响应，并给出电路的各种性能参数和波形图。
总的来说，动态电路的分析和计算是电路理论和实验的重要组成部分。
通过合理使用分析方法和计算工具，可以获得电路的时间响应和频率响应等信息，为电路设计和优化提供依据。
电路第7章一阶电路
4. 由t = 0+电路求所需各变量的t = 0+值。
例3
L iL
+ uL –
iC+
IS
K(t=0)
R
C
uC
–
求 iC(0+) , uL(0+)
t = iL(0-)电路
iL
放电过程中电容电压的 一般表达式
K(t=0)
i
t
U0 uC
C u+C
–
+
R uR
–
uc U 0e RC
t0
0
i
uC R
U0
t
e RC
R
t
I 0e RC
t0
i I0
• 电压、电流是随时间按同一指数规律衰减的函数。 0
t
• 响应与初始状态成线性关系，其衰减速度与 有关。
= RC ： 一阶电路的时间常数。
全响应
uc = Us (1 - e -t/ )+ U0e -t/
iL = Us/R (1 - e -t/ ) + I0 e -t/
零状态响应 充电
零输入响应 放电
零状态响应 充电
零输入响应 放电
例1
已知： t=0时合开关
1A
2 +
3F- uC
1 求 换路后的uC(t) 。 uc (V)
解
2
uC (0 ) uC (0 ) 2V
例2
R等
C
= R等C
7.3 一阶电路的零状态响应
电路原理第7章 一阶电路
10
uC（t）随t变化的曲线标绘于图7.1（b）中。分析此曲线不难发现： t<0时，电容电压uC=0的稳态；当t=∞ 时，电容电压又处于uC=US的另 一稳态；在0<t<∞ 时，电路从处于uC=0到uC=US的变化之中，即处于 过渡过程中。 关于动态电路的其他问题都将在以后各节中介绍。
11
7.2 电路动态过程的初始条件 7.2.1 电路的换路定则对于线性电容来说，在任意时刻t，其电荷、 电压、电流的关系为：
因此研究暂态过程的目的就是：认识和掌握这种客观存在的物理 现象的规律，在生产上既要充分利用暂态过程的特性，同时也必须预防 它所产生的危害。
4
电路有两种工作状态：稳态和暂态。比如当电路在直流电源的作 用下，电路的响应也都是直流时，或当电路在正弦交流电源的作用下， 电路的响应也都是正弦交流时，这种电路称为稳态电路，即电路处于 稳定工作状态。描述直流稳态电路的方程是代数方程。用相量法分析 正弦交流电路时，描述正弦交流稳态电路的方程也是代数方程。前面 第2章至第5章所述就是稳态电路。当电路中存在储能元件（电感和电 容），并且电路中的开关被断开或闭合，使电路的接线方式或元件参 数发生变化（称此过程为换路），电路将从一种稳态过渡到另外一种 稳态。这一过渡过程一般不会瞬间完成，需要经历一段时间，在这一 段时间里电路处于一种暂态过程，所以称它为动态电路。
15
7.2.2 如何计算电路的初始条件 对于一个动态电路，其独立的初始条件是uC（0+）或q（0+）和iL （0+）或ψ（0+），其余的是非独立初始条件。如果要计算电路的初始 条件，首先应计算独立的初始条件 uC（0+）和iL（0+）。这应根据换 路前的电路计算出 uC（0-）和 iL（0-），然后用换路定则求得 uC（0+ ）和iL（0+）。其次将换路后电路中的电容用一个电压源替代，这个 电压源的电压值等于 uC（0+）；将换路后的电感用一个电流源替代， 这个电流源的电流值等于 iL（0+）；如果 uC（0+）=uC（0-）=0及iL（ 0+）=iL（0-）=0，则电容相当于短路，电感相当于开路。电路中的独 立电源按t=0+取值（如果是直流电源则不变）；这样就可以画出一个 换路后的等效电路，在这个等效电路中就可以求出所需要的非独立初 始条件。
第7章 一阶电路
教案课程: 电路分析基础内容: 第七章一阶电路课时:12学时教师：刘*教学环节教学过程复习引入新课讲述新课简单回顾上次课的知识点。
通过第六章的学习，我们注意到电容和电感的一个重要特性是，它们都具有存储能量的能力。
可以确定一个电感或电容释放或得到能量时产生的电流和电压。
在这一章我们将学习由电源、电阻、电容（或电感）组成的电路。
多媒体课件展示：第七章一阶电路一、设置悬念、激发探究在日常生活中需要闪光灯的场合非常多。
照相机在光线比较暗的条件下照相，需要用闪光灯照亮场景一定时间，将影像记录在胶卷或存储设备上。
一般来说，照相机闪光灯电路需要重新充电后才能再照下一张照片。
还有些场合使用按一定时间间隔自动闪光的闪光灯作为危险警告，例如，高的天线塔、建筑工地和安全地带等。
那么类似这样的电路应该如何分析呢？我们在这一章就将详细学习。
二、动态电路及初始条件多媒体课件展示：7.1 动态电路的方程及其初始条件1.动态电路：电容元件和电感元件的电压和电流的约束关系是通过导数（或积分）表达的，所以称为动态元件。
当电路中含有动态元件时被称为动态电路。
特点：当动态电路状态发生改变时（换路）需要经历一个变化过程才能达到新的稳定状态。
这个变化过程称为电路的过渡过程。
动态电路的过渡过程：多媒体课件展示。
换路：电路结构、状态发生变化（①支路接入或断开；②电路参数变化）。
过渡过程产生的原因：电路内部含有储能元件 L 、C，电路在换路时能量发生变化，而能量的储存和释放都需要一定的时间来完成。
2. 动态电路的方程动态电路的方程：多媒体课件展示。
结论：（1）描述动态电路的电路方程为微分方程；（2）动态电路方程的阶数等于电路中动态元件的个数。
一阶电路：一阶电路中只有一个动态元件,描述电路的方程是一阶线性微分方程。
动态电路的分析方法：（1）根据KVl、KCL和VCR建立微分方程；（2）求解微分方程。
3. 电路的初始条件(1) t = 0＋与t = 0－的概念认为换路在 t=0时刻进行换路前一瞬间则：0－换路后一瞬间＋初始条件为t = 0＋时电路中所求变量（电压或电流）及其各阶导数的值，也称为初始值。
电路动态分析和电路故障分析
目录
• 电路动态分析 • 电路故障分析 • 电路动态分析与故障分析的关系 • 实际案例分析 • 总结与展望
01
CATALOGUE
电路动态分析
电路动态分析的基本概念
01
电路动态分析是研究电路中电压、电流和功率随时 间变化的规律和特性。
02
它涉及到电路中的元件参数、电路结构和信号源的 特性等因素。
实际电路故障分析案例
01
案例二：一个音频放大器的故障分析
02
通过分析音频放大器的故障现象和电 路图，定位故障位置并修复问题。
03
首先，观察音频放大器的故障现象， 如无声、噪声大、失真等。然后，阅 读和理解放大器的电路图，了解各个 元件的作用和连接方式。接着，使用 示波器和信号发生器等工具检测关键 节点（如输入、输出、电源等）的信 号质量。通过对比正常和异常信号， 可以定位故障位置并修复问题。
电路动态分析的应用
01
电子设备性能评估
通过电路动态分析，评估电子设 备的性能指标，如响应速度、设计
信号处理
利用电路动态分析方法，设计控 制系统的反馈环节，优化系统的 性能。
通过对电路的动态分析，提取信 号中的有用信息，进行滤波、放 大等处理。
02
CATALOGUE
电路故障分析
实际电路动态分析案例
01
案例二：一个复杂电子设备的动态分析
02
通过分析复杂电子设备的电路图和元件参数，理解实际电 路动态分析的挑战和技巧。
03
首先，阅读和理解电子设备的电路图，了解各个元件的功 能和连接方式。然后，根据实际测试数据，使用仿真软件 （如SPICE）模拟电路的行为。通过调整元件参数或改变 输入信号，可以观察和分析电路在不同条件下的动态特性 。
动态电路的状态方程
半状态描述 (semi-state description) (semi描述 系统
& Ex = Ax + Cu
E为奇异矩阵
广义系统（ system） 广义系统（Descriptor system）
Descriptor Form
独立完备状态变量 uC和iL选作电路的状态变量 两个术语
全电容回路 仅由电容和电压源组成的回路 全电容回路又称为 全电容回路又称为纯电容回路 又称为纯电容回路
矩阵形式
duC dt 0 di1 = − 1 dt L1 di2 − 1 dt L 2 1 C 0 0 1 C u 0 C 1 0 i1 + i L1 2 1 R − L2 L2 0 u s 0 is R − L2
duC 2 = iL − i dt
i = uC
duC 2 = −uC + iL dt
1Ω 1H
iL
＋
2F
uC
4
1Ω
2 1 3
＋
us
－
－
5
对基本回路列写KVL方程
diL = −uC − iL + us dt
写成标准形式
duC dt −0.5 0.5 uC 0 = i + 1 us diL −1 −1 L dt
＋
u1
is
i1
－
duC 1 1 = i1 + i2 dt C C
di1 1 1 = − uC + us dt L1 L1
di2 1 R R 1 = − uC − i2 − is + us dt L2 L2 L2 L2
动态电路的状态变量分析
称这一阶微分方程组为RLC并联电路动态过程的状态方程 (state equations)，并可简写成
x Ax Bw
x Ax Bw
其中x=[ iL uC]T称为电路的状 态 x中的元素iL和uC称为状态变 量 A、B —为系数矩阵，取决于电路拓扑结构和元件参 数 W —为输入向 量 x(0+)=[ I0 U0]T —为电路的初始 状态 x(0-) —电路的原始状 态 根据换路定律有 x(0+)=x(0)=x(0)=x0
qL
lC lC
（2）有源电路复杂度的上下限为0
qL
n
nC + n L
2 状态方程及其列写
2.1状态方程和输出方程
一、状态方程—一阶微分方程组 其一般形式为
xi fi ( x1, x2 ,
矩阵形式为 其形式为
, xn , w1, w2 ,
, wm , t )
i 1, 2,
,n
x f ( x, w, t )
一、直接观察法 步骤
(1) 选一个树，使它包含全部电容（和无伴电压源支路） 而不含电感（和无伴电流源支路）。
(2) 对每个电容树支确定的基本割集列写KCL方程；对 每个电感连支确定的基本回路列写KVL方程。
(3) 消去以上两组方程中的非状态变量（就是将非状态 变量用状态变量和激励来表示），并整理成标准形式的 状态方程。 二、输出方程的列写 （1）用置换定理将每个电容C用电压源uC置 换 将每个电感L用电流源iL置换 （2）将非状态变量用状态变量和输入激励表示
动态电路的状态变量分析
1 电路的状态和状态变量
2 状态方程及其列写 3 状态方程的解法 4 应用实例：解微分方程电路
(大学物理电路分析基础)第7章二阶电路分析
作用
阻尼比决定了二阶电路的响应 速度和振荡幅度，对电路的稳 定性有很大影响。
分类
根据阻尼比的大小，可以分为 欠阻尼、临界阻尼和过阻尼三
种情况。
自然频率
定义
自然频率是二阶电路在没有外部激励时自由振荡的频率，表示为ωn， 它等于电路的总电感与总质量的比值。
计算公式
自然频率的计算公式为ωn = sqrt(K/m)，其中K是弹簧常数，m是电 路的总质量。
赫尔维茨判据
赫尔维茨判据也是一种基于系统 极点的判据，通过计算系统函数 的零点和极点来判断系统的稳定 性。
乃奎斯特判据
乃奎斯特判据是一种基于频率域 分析的判据，通过分析系统的频 率响应来判断系统的稳定性。
稳定性分析方法
时域分析法
时域分析法是一种直接分析法，通过求解电路的微分方程来分析系统的动态响应和稳定 性。
大学物理电路分析基 础 第7章 二阶电路分 析
目 录
• 二阶电路的概述 • 二阶电路的响应分析 • 二阶电路的稳定性分析 • 二阶电路的阻尼比和自然频率 • 二阶电路的实例分析
01
二阶电路的概述
二阶电路的定义
二阶电路
由两个或更多电容元件或电感元 件组成的电路，其中每个元件有 两个端子。
定义中的关键点
频域分析法
频域分析法是一种间接分析法，通过将电路方程转化为频率域下的传递函数来分析系统 的稳定性。
04
二阶电路的阻尼比和自 然频率
阻尼比
定义
阻尼比是衡量二阶电路中阻尼作 用的参数，表示为ζ，它等于阻 尼电阻与电路总电阻的比值。
计算公式
阻尼比的计算公式为ζ = R/2L， 其中R是阻尼电阻，L是电路的总 电感。
二阶电路必须包含两个电容元件 或电感元件，且每个元件有两个 端子。
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则输出方程中将出现输出向量导数
iCCddutCCddutS CuS
uL
LdiL dt
LdiS dt
LiS
此时输出方程的形式为 yC xD wE w
“十一五”规划教材—电路基
7.2.2 线性非时变动态电路状态方程的列写础
直接观察
列写方法
不太复杂的电路 置换方法
系统法 复杂的电路
这里介绍直接观察或置换方法列写电路的状态方程。
uC
(I0 ,U0 )
O
iL
uC
(I0 ,U0 )
O
iL
“十一五”规划教材—电路基 础
uC
(I0 ,U0 )
O
iL
(a) 欠阻尼情况
(b) 无阻尼情况
(c) 发散情况
（2）欠阻尼情况：状态轨迹是从t=0+ 到t= 时的螺旋线
（3）无阻尼情况：状态轨迹是以原点为对称的椭圆
（4）响应为增幅振荡情况：在t趋于 时，零输入响应
C1
“十一五”规划教材—电路基 础
1
L 1
uiLC
RC
0
1iS C
是以iL和uC为变量的一阶微分方程组。
初始值iL(0+)= I0、uC(0+)=U0也可表示成
iL (0 )
uC
(0
)
I0 U 0
称这一阶微分方程组为RLC并联电路动态过程的状态方程 (state equations)，并可简写成
7.1 电路的状态和状态变量 一、状态变量
状态的定义：一个电路的状态是指在某个给定时刻必 须具备最少量的信息，这些信息与该时刻以后的激励， 就能够完全确定以后任何时刻该电路的行为。
状态变量(state variable)：一组能够确定电路行为的 最少变量。
表示成矩阵形式
diL
dt
0
duC dt
(b) 过阻尼情况的状态空间轨迹
RLC并联电路的零输入响应
uC
(I0 ,U0 )
O
iL
uC
(I0 ,U0 )
O
iL
“十一五”规划教材—电路基 础
uC
(I0 ,U0 )
O
iL
(a) 欠阻尼情况
(b) 无阻尼情况
(c) 发散情况
电路的状态空间轨迹能够反映电路的特性 1.过阻尼情况:
状态轨迹从t=0+ 的初始状态x0=[I0 U0]T开始，在 t= 时终止于坐标原点
二、输出方程的列写
（1）用置换定理将每个电容C用电压源uC置换 将每个电感L用电流源iL置换
（2）将非状态变量用状态变量和输入激励表示
（3）整理成标准形式的输出方程
“十一五”规划教材—电路基 础
例7.2.1 试列出图(a)所示电路的状态方程。
iL5
L5 iC 4 C4
iR1
uL5
R1 uR1
uC 3
矩阵形式为 xf(x,w,t)
线性非时变动态电路，状态方程是一阶线性微分方程组
其形式为
n
m
xi aikxk bijwj
k1
j1
i1,2, ,n
矩阵形式为 xAxBw
初始条件 状态向量
x(0) x0
x[x1x2 xn]T x[x1x2 xn]T w[w1w2 wm]T
x0[x10x20 xn0]T—初始状态
n—状态变量xi的个数 m—输入激励wj的个数
“十一五”规划教材—电路基 础
二、输出方程的一般形式为
“十一五”规划教材—电路基 础
y i g i ( x 1 , x 2 ,, x n , w 1 , w 2 ,, w m , t ) i 1 , 2 ,, r
矩阵形式
yg(x,w,t)
线性非时变动态电路，输出方程是线性代数方程组
（1）无源（RLC）电路的复杂度为n = nC + nL lC qL
（2）有源电路复杂度的上下限为0 n nC + nL lC qL
7.2 状态方程及其列写
“十一五”规划教材—电路基 础
7.2.1状态方程和输出方程
一、状态方程—一阶微分方程组
其一般形式为 x i f i ( x 1 , x 2 ,, x n , w 1 , w 2 ,, w m , t ) i 1 , 2 ,, n
一、直接观察法步骤
(1) 选一个树，使它包含全部电容（和无伴电压源支路） 而不含电感（和无伴电流源支路）。
(2) 对每个电容树支确定的基本割集列写KCL方程；对 每个电感连支确定的基本回路列写KVL方程。
“十一五”规划教材—电路基 础
(3) 消去以上两组方程中的非状态变量（就是将非状态 变量用状态变量和激励来表示），并整理成标准形式的 状态方程。
成为无界，状态轨迹是向外发散的。
“十一五”规划教材—电路基 础
注意：在线性非时变电路中，由于求解电路响应所必需的 初始条件可以由电容的初始电压和电感的初始电流完全确 定，所以通常选取独立的电容电压uC和独立的电感电流iL 作为状态变量
电路的复杂度(complexity)，亦称自由度(freedom)。 即电路独立状态变量的个数
“十一五”规划教材—电路基 础
第七章 动态电路的状态变量分析
7.1 电路的状态和状态变量 7.2 状态方程及其列写 7.3 状态方程的解法 7.4 应用实例：解微分方程电路
“十一五”规划教材—电路基 础
本章将给出电路的状态和状态变量的定义，讨论 状态方程的列写方法和求解方法。
状态变量法不仅适用于分析线性非时变电路，而 且适合用来分析线性时变电路和非线性电路。
“十一五”规划教材—电路基 础
（1）当w = 0，x0 0时，状态方程描述零输入响应；
（2）当w 0，x0= 0时，状态方程描述零状态响应；
（3）当w 0，x0 0时，状态方程描述完全响应。
iL , uC
uC
(I0 ,U0 ) iL
O
t 0 (I0,U0)
t O t
iL
uC
(a) 过阻尼情况的时域波形
uS
iC 3 uC 4
其形式为
n
m
yi cikxk dijwj i1,2, ,r
k1
j1
矩阵形式 yCxDw
y[y1y2 yr]T—为输出向量
r—为输出变量yi的个数
C=[cik]rn和D=[dij]rm —系数矩阵
如果电路中存在
“十一五”规划教材—电路基 础
（1）C与电压源uS组成的回路 （2）L与电流源iS组成的割集
xA xB w
“十一五”规划教材—电路基
xA xB w 础
其中x=[ iL uC]T称为电路的状态 x中的元素iL和uC称为状态变量
A、B —为系数矩阵，取决于电路拓扑结构和元件参数
W —为输入向量
x(0+)=[ I0 U0]T —为电路的初始状态 x(0-) —电路的原始状态
根据换路定律有 x(0+)=x(0-)=x(0)=x0