第7章动态电路状态变量分析
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成为无界，状态轨迹是向外发散的。
“十一五”规划教材—电路基 础
注意：在线性非时变电路中，由于求解电路响应所必需的 初始条件可以由电容的初始电压和电感的初始电流完全确 定，所以通常选取独立的电容电压uC和独立的电感电流iL 作为状态变量
电路的复杂度(complexity)，亦称自由度(freedom)。 即电路独立状态变量的个数
（1）无源（RLC）电路的复杂度为n = nC + nL lC qL
（2）有源电路复杂度的上下限为0 n nC + nL lC qL
7.2 状态方程及其列写
“十一五”规划教材—电路基 础
7.2.1状态方程和输出方程
一、状态方程—一阶微分方程组
其一般形式为 x i f i ( x 1 , x 2 ,, x n , w 1 , w 2 ,, w m , t ) i 1 , 2 ,, n
uC
(I0 ,U0 )
O
iL
uC
(I0 ,U0 )
O
iL
“十一五”规划教材—电路基 础
uC
(I0 ,U0 )
O
iL
(a) 欠阻尼情况
(b) 无阻尼情况
(c) 发散情况
（2）欠阻尼情况：状态轨迹是从t=0+ 到t= 时的螺旋线
（3）无阻尼情况：状态轨迹是以原点为对称的椭圆
（4）响应为增幅振荡情况：在t趋于 时，零输入响应
7.1 电路的状态和状态变量 一、状态变量
状态的定义：一个电路的状态是指在某个给定时刻必 须具备最少量的信息，这些信息与该时刻以后的激励， 就能够完全确定以后任何时刻该电路的行为。
状态变量(state variable)：一组能够确定电路行为的 最少变量。
表示成矩阵形式
diL
dt
0
duC dt
“十一五”规划教材—电路基 础
第七章 动态电路的状态变量分析
7.1 电路的状态和状态变量 7.2 状态方程及其列写 7.3 状态方程的解法 7.4 应用实例：解微分方程电路
“十一五”规划教材—电路基 础
本章将给出电路的状态和状态变量的定义，讨论 状态方程的列写方法和求解方法。
状态变量法不仅适用于分析线性非时变电路，而 且适合用来分析线性时变电路和非线性电路。
一、直接观察法步骤
(1) 选一个树，使它包含全部电容（和无伴电压源支路） 而不含电感（和无伴电流源支路）。
(2) 对每个电容树支确定的基本割集列写KCL方程；对 每个电感连支确定的基本回路列写KVL方程。
“十一五”规划教材—电路基 础
(3) 消去以上两组方程中的非状态变量（就是将非状态 变量用状态变量和激励来表示），并整理成标准形式的 状态方程。
(b) 过阻尼情况的状态空间轨迹
RLC并联电路的零输入响应
uC
(I0 ,U0 )
O
iL
uC
(I0 ,U0 )
O
iL
“十一五”规划教材—电路基 础
uC
(I0 ,U0 )
O
iL
(a) 欠阻尼情况
(b) 无阻尼情况
(c) 发散情况
电路的状态空间轨迹能够反映电路的特性 1.过阻尼情况:
状态轨迹从t=0+ 的初始状态x0=[I0 U0]T开始，在 t= 时终止于坐标原点
二、输出方程的列写
（1）用置换定理将每个电容C用电压源uC置换 将每个电感L用电流源iL置换
（2）将非状态变量用状态变量和输入激励表示
（3）整理成标准形式的输出方程
“十一五”规划教材—电路基 础
例7.2.1 试列出图(a)所示电路的状态方程。
iL5
L5 iC 4 C4
iR1
uL5
R1 uR1
uC 3
n—状态变量xi的个数 m—输入激励wj的个数
“十一五”规划教材—电路基 础
二、输出方程的一般形式为
“十一五”规划教材—电路基 础
y i g i ( x 1 , x 2 ,, x n , w 1 , w 2 ,, w m , t ) i 1 , 2 ,, r
矩阵形式
yg(x,w,t)
线性非时变动态电路，输出方程是线性代数方程组
其形式为
n
m
yi cikxk dijwj i1,2, ,r
k1
j1
矩阵形式 yCxDw
y[y1y2 yr]T—为输出向量
r—为输出变量yi的个数
C=[cik]rn和D=[dij]rm —系数矩阵
如果电路中存在
“十一五”规划教材—电路基 础
（1）C与电压源uS组成的回路 （2）L与电流源iS组成的割集
xA xB w
“十一五”规划教材—电路基
xA xB w 础
其中x=[ iL uC]T称为电路的状态 x中的元素iL和uC称为状态变量
A、B —为系数矩阵，取决于电路拓扑结构和元件参数
W —为输入向量
x(0+)=[ I0 U0]T —为电路的初始状态 x(0-) —电路的原始状态
根据换路定律有 x(0+)=x(0-)=x(0)=x0
矩阵形式为 xf(x,w,t)
线性非时变动态电路，状态方程是一阶线性微分方程组
其形式为
n
m
xi aikxk bijwj
k1
j1
i1,2, ,n
来自百度文库
矩阵形式为 xAxBw
初始条件 状态向量
x(0) x0
x[x1x2 xn]T x[x1x2 xn]T w[w1w2 wm]T
x0[x10x20 xn0]T—初始状态
“十一五”规划教材—电路基 础
（1）当w = 0，x0 0时，状态方程描述零输入响应；
（2）当w 0，x0= 0时，状态方程描述零状态响应；
（3）当w 0，x0 0时，状态方程描述完全响应。
iL , uC
uC
(I0 ,U0 ) iL
O
t 0 (I0,U0)
t O t
iL
uC
(a) 过阻尼情况的时域波形
C1
“十一五”规划教材—电路基 础
1
L 1
uiLC
RC
0
1iS C
是以iL和uC为变量的一阶微分方程组。
初始值iL(0+)= I0、uC(0+)=U0也可表示成
iL (0 )
uC
(0
)
I0 U 0
称这一阶微分方程组为RLC并联电路动态过程的状态方程 (state equations)，并可简写成
则输出方程中将出现输出向量导数
iCCddutCCddutS CuS
uL
LdiL dt
LdiS dt
LiS
此时输出方程的形式为 yC xD wE w
“十一五”规划教材—电路基
7.2.2 线性非时变动态电路状态方程的列写础
直接观察
列写方法
不太复杂的电路 置换方法
系统法 复杂的电路
这里介绍直接观察或置换方法列写电路的状态方程。
uS
iC 3 uC 4
“十一五”规划教材—电路基 础
注意：在线性非时变电路中，由于求解电路响应所必需的 初始条件可以由电容的初始电压和电感的初始电流完全确 定，所以通常选取独立的电容电压uC和独立的电感电流iL 作为状态变量
电路的复杂度(complexity)，亦称自由度(freedom)。 即电路独立状态变量的个数
（1）无源（RLC）电路的复杂度为n = nC + nL lC qL
（2）有源电路复杂度的上下限为0 n nC + nL lC qL
7.2 状态方程及其列写
“十一五”规划教材—电路基 础
7.2.1状态方程和输出方程
一、状态方程—一阶微分方程组
其一般形式为 x i f i ( x 1 , x 2 ,, x n , w 1 , w 2 ,, w m , t ) i 1 , 2 ,, n
uC
(I0 ,U0 )
O
iL
uC
(I0 ,U0 )
O
iL
“十一五”规划教材—电路基 础
uC
(I0 ,U0 )
O
iL
(a) 欠阻尼情况
(b) 无阻尼情况
(c) 发散情况
（2）欠阻尼情况：状态轨迹是从t=0+ 到t= 时的螺旋线
（3）无阻尼情况：状态轨迹是以原点为对称的椭圆
（4）响应为增幅振荡情况：在t趋于 时，零输入响应
7.1 电路的状态和状态变量 一、状态变量
状态的定义：一个电路的状态是指在某个给定时刻必 须具备最少量的信息，这些信息与该时刻以后的激励， 就能够完全确定以后任何时刻该电路的行为。
状态变量(state variable)：一组能够确定电路行为的 最少变量。
表示成矩阵形式
diL
dt
0
duC dt
“十一五”规划教材—电路基 础
第七章 动态电路的状态变量分析
7.1 电路的状态和状态变量 7.2 状态方程及其列写 7.3 状态方程的解法 7.4 应用实例：解微分方程电路
“十一五”规划教材—电路基 础
本章将给出电路的状态和状态变量的定义，讨论 状态方程的列写方法和求解方法。
状态变量法不仅适用于分析线性非时变电路，而 且适合用来分析线性时变电路和非线性电路。
一、直接观察法步骤
(1) 选一个树，使它包含全部电容（和无伴电压源支路） 而不含电感（和无伴电流源支路）。
(2) 对每个电容树支确定的基本割集列写KCL方程；对 每个电感连支确定的基本回路列写KVL方程。
“十一五”规划教材—电路基 础
(3) 消去以上两组方程中的非状态变量（就是将非状态 变量用状态变量和激励来表示），并整理成标准形式的 状态方程。
(b) 过阻尼情况的状态空间轨迹
RLC并联电路的零输入响应
uC
(I0 ,U0 )
O
iL
uC
(I0 ,U0 )
O
iL
“十一五”规划教材—电路基 础
uC
(I0 ,U0 )
O
iL
(a) 欠阻尼情况
(b) 无阻尼情况
(c) 发散情况
电路的状态空间轨迹能够反映电路的特性 1.过阻尼情况:
状态轨迹从t=0+ 的初始状态x0=[I0 U0]T开始，在 t= 时终止于坐标原点
二、输出方程的列写
（1）用置换定理将每个电容C用电压源uC置换 将每个电感L用电流源iL置换
（2）将非状态变量用状态变量和输入激励表示
（3）整理成标准形式的输出方程
“十一五”规划教材—电路基 础
例7.2.1 试列出图(a)所示电路的状态方程。
iL5
L5 iC 4 C4
iR1
uL5
R1 uR1
uC 3
n—状态变量xi的个数 m—输入激励wj的个数
“十一五”规划教材—电路基 础
二、输出方程的一般形式为
“十一五”规划教材—电路基 础
y i g i ( x 1 , x 2 ,, x n , w 1 , w 2 ,, w m , t ) i 1 , 2 ,, r
矩阵形式
yg(x,w,t)
线性非时变动态电路，输出方程是线性代数方程组
其形式为
n
m
yi cikxk dijwj i1,2, ,r
k1
j1
矩阵形式 yCxDw
y[y1y2 yr]T—为输出向量
r—为输出变量yi的个数
C=[cik]rn和D=[dij]rm —系数矩阵
如果电路中存在
“十一五”规划教材—电路基 础
（1）C与电压源uS组成的回路 （2）L与电流源iS组成的割集
xA xB w
“十一五”规划教材—电路基
xA xB w 础
其中x=[ iL uC]T称为电路的状态 x中的元素iL和uC称为状态变量
A、B —为系数矩阵，取决于电路拓扑结构和元件参数
W —为输入向量
x(0+)=[ I0 U0]T —为电路的初始状态 x(0-) —电路的原始状态
根据换路定律有 x(0+)=x(0-)=x(0)=x0
矩阵形式为 xf(x,w,t)
线性非时变动态电路，状态方程是一阶线性微分方程组
其形式为
n
m
xi aikxk bijwj
k1
j1
i1,2, ,n
来自百度文库
矩阵形式为 xAxBw
初始条件 状态向量
x(0) x0
x[x1x2 xn]T x[x1x2 xn]T w[w1w2 wm]T
x0[x10x20 xn0]T—初始状态
“十一五”规划教材—电路基 础
（1）当w = 0，x0 0时，状态方程描述零输入响应；
（2）当w 0，x0= 0时，状态方程描述零状态响应；
（3）当w 0，x0 0时，状态方程描述完全响应。
iL , uC
uC
(I0 ,U0 ) iL
O
t 0 (I0,U0)
t O t
iL
uC
(a) 过阻尼情况的时域波形
C1
“十一五”规划教材—电路基 础
1
L 1
uiLC
RC
0
1iS C
是以iL和uC为变量的一阶微分方程组。
初始值iL(0+)= I0、uC(0+)=U0也可表示成
iL (0 )
uC
(0
)
I0 U 0
称这一阶微分方程组为RLC并联电路动态过程的状态方程 (state equations)，并可简写成
则输出方程中将出现输出向量导数
iCCddutCCddutS CuS
uL
LdiL dt
LdiS dt
LiS
此时输出方程的形式为 yC xD wE w
“十一五”规划教材—电路基
7.2.2 线性非时变动态电路状态方程的列写础
直接观察
列写方法
不太复杂的电路 置换方法
系统法 复杂的电路
这里介绍直接观察或置换方法列写电路的状态方程。
uS
iC 3 uC 4