2019年安徽省数学高考模拟卷一

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2019年安徽省蚌埠市高考数学一模试卷(文科)(解析版)

2019年安徽省蚌埠市高考数学一模试卷（文科）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．（5分）已知全集U＝{1，2，3，4}，集合A＝{2，3}，集合B＝{1，3}，则A∩（∁U B）＝（）A．{3}B．{2}C．{2，3}D．{2，3，4} 2．（5分）已知复数z满足z（1﹣i）＝2﹣i，其中i是虚数单位，则复数z在复平面内对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限3．（5分）如图是一个边长为3的正方形二维码，为了测算图中黑色部分的面积，在正方形区域内随机投掷1089个点，其中落入白色部分的有484个点，据此可估计黑色部分的面积为（）A．4B．5C．8D．94．（5分）命题p：存在常数数列不是等比数列，则命题￢p为（）A．任意常数数列不是等比数列B．存在常数数列是等比数列C．任意常数数列都是等比数列D．不存在常数数列是等比数列5．（5分）已知双曲线的渐近线方程为y＝±x，一个焦点F（2，0），则该双曲线的虚轴长为（）A．1B．C．2D．26．（5分）已知角α满足cos（α+）＝，则sin（2α﹣）＝（）A．﹣B．C．﹣D．7．（5分）设向量＝（m，0），＝（1，1），且||2＝||2﹣|﹣|2，则m等于（）A．1B．2C．3D．48．（5分）要得到函数y＝sin（2x+）的图象，只需将函数y＝sin（2x﹣）的图象（）A．向右平移个单位B．向左平移个单位C．向右平移个单位D．向左平移个单位9．（5分）设函数g（x）＝f（x）+2x是定义R在上的偶函数，且F（x）＝f（x）+2x，若f （1）＝1，则F（﹣1）＝（）A．﹣B．C．D．10．（5分）已知F1，F2是椭圆+＝1的左右焦点，点M的坐标为（﹣1，），则∠F1MF2的角平分线所在直线的斜率为（）A．﹣2B．﹣1C．﹣D．﹣11．（5分）某三棱锥的三视图如图所示，网格纸上小正方形的边长为1，三棱锥表面上的点M在俯视图上的对应点为A，三棱锥表面上的点N在左视图上的对应点为B，则线段MN 的长度的最大值为（）A．2B．3C．4D．312．（5分）已知函数f（x）＝，则满足f[f（a）]＞2的实数a的取值范围是（）A．（﹣2，0）∪（0，+∞）B．（﹣2，0）C．（0，+∞）D．（﹣2，+∞）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．（5分）曲线f（x）＝e x﹣x+1在x＝1处的切线方程为．14．（5分）若x，y满足约束条件，则z＝2x﹣3y的最小值为．15．（5分）如图所示，正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为2，E，F为AA1，AB的中点，M 点是正方形ABB1A1内的动点，若C1M∥平面CD1E，则M点的轨迹长度为．16．（5分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，点D为BC中点，若A＝且AD＝3，则bc的最大值为．三、解答题（共60分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（12分）已知数列{a n}前n项和为S n，a1＝1且S n＝a n（n+1）．（1）求a2，a3；（2）求数列{a n}的通项公式．18．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，AC⊥BD交于点O，△ABC＝90°，AD＝CD，PO⊥底面ABCD．（1）求证：AC⊥底面PBD；（2）若△PBC是边长为2的等边三角形，求O点到平面PBC的距离．19．（12分）2018年3～12年月某市邮政快递业务量完成件数较2017年月3～12月同比增长25%，如图为该市2017年3～12月邮政快递业务量柱状图及2018年3～12月邮政快递业务量饼图，根据统计图，解决下列问题：（1）2018年3～12月该市邮政快递同城业务量完成件数与2017年3～12月相比是有所增大还是有所减少，并计算，2018年3～12月该市邮政快递国际及港澳台业务量同比增长率；（2）若年平均每件快递的盈利如表所示：估计该市邮政快递在2018年3～12月的盈利是多少？20．（12分）已知抛物线C：y2＝2px（p＞0），直线y＝x﹣1与C相交所得的长为8．（1）求P的值；（2）过原点O直线l与抛物线C交于M点，与直线x＝﹣l交于H点，过点H作y轴的垂线交抛物线C于N点，求证：直线MN过定点．21．（12分）已知函数f（x）＝a（x2﹣x）﹣lnx．（1）当a＝1时，求函数f（x）单调区间；（2）若f（x）≥0恒成立，求a的值．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为：（α为参数），以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线C2的极坐标方程为θ＝（ρ∈R）．（1）求C1的极坐标方程；（2）若直线C2与曲线C1相交于M，N两点，求|MN|．[选修4-5：不等式选讲]23．（10分）已知函数f（x）＝|x+a|+|x+2|．（1）当a＝﹣1时，求不等式f（x）≥2x+3的解集；（2）若不等式f（x）＞|x﹣4|在[﹣1，1]恒成立，求a的取值范围．2019年安徽省蚌埠市高考数学一模试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．【解答】解：根据题意，全集U＝{1，2，3，4}，集合B＝{1，3}，则∁U B＝{2，4}，又由集合A＝{2，3}，则A∩（∁U B）＝{2}；故选：B．2．【解答】解：∵（1﹣i）z＝（2﹣i）∴z＝＝＝＝则在复平面内对应的点的坐标为（，），位于第一象限．故选：A．3．【解答】解：由题意在正方形区域内随机投掷1089个点，其中落入白色部分的有484个点，则其中落入黑色部分的有605个点，由随机模拟试验可得：，又S正＝9，即S黑≈5，故选：B．4．【解答】解：特称命题的否定为全称命题，则命题p：存在常数数列不是等比数列，则命题￢p为任意常数数列都是等比数列，故选：C．5．【解答】解：根据题意，有a2+b2＝c2＝4，①，②联立①、②可得：a2＝3，b2＝1，该双曲线的虚轴长为：2；故选：C．6．【解答】解：∵cos（α+）＝sin[﹣（α+）]＝sin（﹣α）＝，∴sin（2α﹣）＝cos[﹣（2α﹣）]＝cos（﹣2α）＝cos2（﹣α）＝1﹣2sin2（﹣α）＝1﹣2×（）2＝．故选：D．7．【解答】解：由题意，可知：∵＝（m，0），∴2＝m2．∵＝（1，1），∴2＝2．，∴2＝（m﹣1）2+1∴2＝m2﹣（m﹣1）2﹣1，解得：m＝2．故选：B．8．【解答】解：得到函数y＝sin（2x+）的图象，只需将函数y＝sin（2x﹣）的图象向左平移个单位，即：＝sin（2x+）．故选：D．9．【解答】解：∵g（x）＝f（x）+2x是定义R在上的偶函数，∴g（1）＝f（1）+2＝1+2＝3，g（﹣1）＝f（﹣1）﹣2＝g（1）＝3，即f（﹣1）＝5，则F（﹣1）＝f（﹣1）+2﹣1＝5+＝，故选：D．10．【解答】解：∵A（﹣1，），F1，F2是椭圆+＝1的左右焦点，F1（﹣1，0），∴AF1⊥x轴，∴|AF1|＝，|AF2|＝，∴点F2（1，0）关于l对称的点F2′在线段AF1的延长线上，又|AF2′|＝|AF2|＝，∴|F2′F1|＝1，∴F2′（﹣1，﹣1），线段F2′F2的中点（0，﹣），∴k1＝＝﹣2．故选：A．11．【解答】解：由题意可知，几何体的直观图如图：M在AD上，B、N重合，则线段MN的长度的最大值为：BD＝＝3．故选：D．12．【解答】解：设f（a）＝t，∵f[f（a）]＞2，即求解函数f（t）＞2（t∈R）∴f（t）＝，可得或解得：t＞1；即f（a）＞1；由函数f（a）＝，∴或解得：﹣2＜a＜0或a＞0，故选：A．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．【解答】解：f′（x）＝e x﹣1，f′（1）＝e﹣1，f（1）＝e，故切线方程是：y﹣e＝（e﹣1）（x﹣1），即（e﹣1）x﹣y+1＝0，故答案为：（e﹣1）x﹣y+1＝0．14．【解答】解：由约束条件得到可行域如图：z＝2x﹣3y变形为y＝x﹣，当此直线经过图中A（1，1）时，在y轴的截距最大，z最小，所以z的最小值为2×1﹣3×1＝﹣1；故答案为：﹣1．15．【解答】解：如图所示，取A1B1的中点H，B1B的中点G，连接GH，C1H，C1G，EG，HF．可得：四边形EGC1D1是平行四边形，∴C1D∥D1E．同理可得：C1H∥CF．∵C1H∩C1G＝C1．∴平面C1GH∥平面CD1E，∵M点是正方形ABB1A1内的动点，若C1M∥平面CD1E．∴点M在线段GH上．∴M点的轨迹长度＝GH＝＝．故答案为：．16．【解答】解：在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，点D为BC中点，由于A＝且AD＝3，则：，所以：，整理得：，所以：36＝（b2+c2+bc）≥2bc+bc＝3bc，故：bc的最大值为12．故答案为：12三、解答题（共60分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．【解答】解：（1）∵a1＝1且S n＝a n（n+1），∴n＝2时，1+a2＝，a2＝2，n＝3时，1+2+a3＝4×a3，解得a3＝3．（2）n≥2时，a n＝S n﹣S n﹣1＝a n（n+1）﹣•n，化为：＝．∴＝＝……＝＝＝1．，∴a n＝n．n＝1时也成立．∴a n＝n．18．【解答】证明：（1）∵在四棱锥P﹣ABCD中，AC⊥BD交于点O，△ABC＝90°，AD ＝CD，PO⊥底面ABCD．∴AC⊥PO，又BD∩PO＝O，∴AC⊥平面PBD．解：（2）以O为原点，OD为x轴，OC为y轴，OP为z轴，建立空间直角坐标系，∵AC⊥BD交于点O，△ABC＝90°，AD＝CD，△PBC是边长为2的等边三角形，∴AB＝BC＝2，AC＝＝2，AO＝CO＝BO＝，PO＝＝，∴P（0，0，），O（0，0，0），C（0，，0），B（﹣，0，0），＝（0，0，﹣），＝（﹣，0，﹣），＝（0，），设平面PBC的法向量＝（x，y，z），则，取x＝1，得＝（1，﹣1，﹣1），∴O点到平面PBC的距离d＝＝＝．19．【解答】解：（1）由题意得：2018年3～12月该市邮政快递同城业务量完成件数为242.4万件，2018年3～12月该市邮政快递同城业务量完成件数为：（242.4+948+9.6）×（1+25%）×20%＝300万件，∴2018年3～12月该市邮政快递同城业务量完成件数与2017年3～12月相比是有所增大．2017年3～12月该市邮政快递国际及港澳台业务量完成件数为9.6万件，2018年3～12月该市邮政快递国际及港澳台业务量完成件数为：（242.4+948+9.6）×（1+25%）×1.4%＝21万件，∴2018年3～12月该市邮政快递国际及港澳台业务量同比增长率为：＝118.75%．（2）2018年3～12月该市邮政快递同城业务量完成件数为：（242.4+948+9.6）×（1+25%）×20%＝300万件，2018年3～12月该市邮政快递国际及港澳台业务量完成件数为：（242.4+948+9.6）×（1+25%）×1.4%＝21万件，2018年3～12月该市邮政快递异地业务量完成件数为：（242.4+948+9.6）×（1+25%）×（1﹣20%﹣1.4%）＝1179万件，∴估计该市邮政快递在2018年3～12月的盈利是：（300×0.5+1179×5+21×250＝6570（万元）．20．【解答】解：（1）由，消x可得y2﹣2py﹣2p＝0，∴y1+y2＝2p，y1y2＝﹣2p，∴弦长为•＝•＝8，解得p＝2或p＝﹣4（舍去），∴p＝2，证明（2）由（1）可得y2＝4x，设M（y02，y0），∴直线OM的方程y＝x，当x＝﹣1时，∴y H＝﹣，代入抛物线方程y2＝4x，可得x N＝，∴N（，﹣），∴直线MN的斜率k＝＝，直线MN的方程为y﹣y0＝（x﹣y02），整理可得y＝（x﹣1），故直线MN过点（1，0）．21．【解答】解：（1）a＝1时，f（x）＝x2﹣x﹣lnx，（x＞0）故f′（x）＝2x﹣1﹣＝，令f′（x）＞0，解得：x＞1，令f′（x）＜0，解得：0＜x＜1，故f（x）在（0，1）递减，在（1，+∞）递增；（2）若f（x）≥0恒成立，即a（x2﹣x）≥lnx，①x∈（0，1）时，x2﹣x＜0，问题转化为a≤，令g（x）＝（0＜x＜1），则g′（x）＝，令h（x）＝x﹣1﹣lnx（2x﹣1），（0＜x＜1），则h′（x）＝﹣1+﹣2lnx，h″（x）＝﹣﹣＜0，故h′（x）在（0，1）递减，h′（x）＞h′（1）＝0，故h（x）在（0，1）递增，h（x）＜h（1）＝0，故g′（x）＜0，g（x）在（0，1）递减，而x→1时，g（x）→1，故g（x）＞1，故a≤1，②x＝1时，显然成立，③x＞1时，x2﹣x＞0，问题转化为a≥，令m（x）＝（x＞1），则m′（x）＝，令n（x）＝x﹣1﹣lnx（2x﹣1），（x＞1），则n′（x）＝﹣1+﹣2lnx，h″（x）＝﹣﹣＜0，故n′（x）在（0，1）递减，n′（x）＞n′（1）＝0，故n（x）在（0，1）递增，n（x）＜n（1）＝0，故m′（x）＜0，m（x）在（0，1）递减，而x→1时，g（x）→1，故g（x）＞1，故a≥1，综上：a＝1．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．【解答】解：（1）曲线C1的参数方程为：（α为参数），转换为直角坐标方程为：（x﹣2）2+（y﹣4）2＝4，转换为极坐标方程为：ρ2﹣4ρcosθ﹣8ρsinθ+16＝0．（2）直线C2的极坐标方程为θ＝（ρ∈R）．转换为参数方程为：（t为参数）．把直线的参数方程代入（x﹣2）2+（y﹣4）2＝4，得到：，（t1和t2为M、N对应的参数），故：，t 1•t2＝16．所以：|MN|＝＝2．[选修4-5：不等式选讲]23．【解答】解：（1）a＝﹣1时，|x﹣1|+|x+2|≥2x+3，①x≥1时，x﹣1+x+2≥2x+3，不成立，②﹣2＜x＜1时，1﹣x+x+2≥2x+3，解得：x≤0，故﹣2＜x≤0，③x≤﹣2时，1﹣x﹣x﹣2≥2x+3，解得：x≤﹣1，故x≤﹣2，综上：不等式的解集是（﹣∞，0]；（2）若不等式f（x）＞|x﹣4|在[﹣1，1]恒成立，则|x+a|＞2﹣2x在x∈[﹣1，1]恒成立，故a＞2﹣3x或a＜x﹣2在x∈[﹣1，1]恒成立，故a＞5或a＜﹣3．。

2019年安徽省合肥市高考数学一模试卷和答案(文科)

22．（10 分）在直角坐标系 xOy 中，曲线 C1 的方程为
（α 为参数）．以坐标原点
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O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C2 的极坐标方程为 ρ＝2cosθ．
（Ⅰ）求 C1、C2 交点的直角坐标；
（Ⅱ）设点 A 的极坐标为
，点 B 是曲线 C2 上的点，求△AOB 面积的最大值．
函数 h（x）＝f（x）﹣g（x）．
（Ⅰ）求函数 h（x）的单调递增区间；
（Ⅱ）若
，求 h（α）的值．
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18．（12 分）已知：如图，在四棱锥 P﹣ABCD 中，△BCD 为等边三角形， AB＝AD＝PB＝PD，∠BAD＝120°．（Ⅰ）若点 E 为 PC 的中点，求证：BE∥平面 PAD；（Ⅱ）求四棱锥 P﹣ABCD 的体积．
20．（12 分）设椭圆 E：
（a＞b＞0）的左、右焦点分别为 F1，F2，过 F1 的直线
交椭圆于 A，B 两点，若椭圆 E 的离心率为，△ABF2 的周长为．
（Ⅰ）求椭圆 E 的方程；（Ⅱ）设不经过椭圆的中心而平行于弦 AB 的直线交椭圆 E 于点 C，D，设弦 AB，CD 的中点分别为 M，N，证明：O，M，N 三点共线． 21．（12 分）已知函数 f（x）＝ex﹣1﹣a（x﹣1）+lnx（a∈R，e 是自然对数的底数）．（Ⅰ）设 g（x）＝f'（x）（其中 f'（x）是 f（x）的导数），求 g（x）的极小值；（Ⅱ）若对 x∈[1，+∞），都有 f（x）≥1 成立，求实数 a 的取值范围． [选修 4-4：坐标系与参数方程]
D．{x|﹣2≤x＜1}
2．（5 分）设 i 是虚数单位，复数（a+i）（1+2i）为纯虚数，则实数 a 为（）

2019年安徽省合肥市高考数学一模试卷(文科)(解析版)

2019年安徽省合肥市高考数学一模试卷（文科）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．若集合P={x∈R|x＞0}，Q={x∈Z|（x+1）（x﹣4）＜0}，则P∩Q=（）A．（0，4）B．（4，+∞）C．{1，2，3}D．{1，2，3，4}2．设i为虚数单位，复数的虚部是（）A．B． C．1 D．﹣13．执行如图所示的程序框图，则输出的n的值为（）A．3 B．4 C．5 D．64．若将函数y=sin2x的图象向左平移个单位，则平移后的图象（）A．关于点对称B．关于直线对称C．关于点对称D．关于直线对称5．若实数x，y满足约束条件，则x﹣2y的最大值为（）A．﹣9 B．﹣3 C．﹣1 D．36．已知双曲线的两条渐近线分别与抛物线y2=2px（p＞0）的准线交于A，B两点，O为坐标原点，若△OAB的面积为1，则p的值为（）A．1 B．C．D．47．祖暅原理：“幂势既同，则积不容异”．它是中国古代一个涉及几何体体积的问题，意思是两个同高的几何体，如在等高处的截面积恒相等，则体积相等．设A、B为两个同高的几何体，p：A、B的体积不相等，q：A、B在等高处的截面积不恒相等，根据祖暅原理可知，p是q的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件8．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，bcosA+acosB=2，则△ABC的外接圆的面积为（）A．4πB．8πC．9πD．36π9．设圆x2+y2﹣2x﹣2y﹣2=0的圆心为C，直线l过（0，3）与圆C交于A，B两点，若，则直线l的方程为（）A．3x+4y﹣12=0或4x﹣3y+9=0 B．3x+4y﹣12=0或x=0C．4x﹣3y+9=0或x=0 D．3x﹣4y+12=0或4x+3y+9=010．一个几何体的三视图如图所示（其中正视图的弧线为四分之一圆周），则该几何体的表面积为（）A ．72+6πB ．72+4πC ．48+6πD ．48+4π11．从区间[﹣2，2]中随机选取一个实数a ，则函数f （x ）=4x ﹣a•2x +1+1有零点的概率是（）A ．B ．C ．D ．12．设函数f （x ）=，（e 是自然对数的底数），若f （2）是函数f （x ）的最小值，则a 的取值范围是（） A ．[﹣1，6] B ．[1，4] C ．[2，4]D ．[2，6]二、填空题：本题共4小题，每小题5分．13．某同学一个学期内各次数学测验成绩的茎叶图如图所示，则该组数据的中位数是．14．若非零向量，b 满足||=1，||=2，且（+）⊥（3﹣），则与的夹角余弦值为．15．已知sin2a=2﹣2cos2a，则tana=．16．函数f（x）=﹣x3+3x2﹣ax﹣2a，若存在唯一的正整数x0，使得f （x0）＞0，则a的取值范围是．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．已知等差数列{a n}的前n项和为S n，且满足S4=24，S7=63．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）若b n=2an+a n，求数列{b n}的前n项和T n．18．一企业从某条生产线上随机抽取100件产品，测量这些产品的某项技术指标值x，得到如下的频率分布表：（Ⅰ）作出样本的频率分布直方图，并估计该技术指标值x的平均数和众数；（Ⅱ）若x＜13或x≥21，则该产品不合格．现从不合格的产品中随机抽取2件，求抽取的2件产品中技术指标值小于13的产品恰有一件的概率．19．已知四棱锥P﹣ABCD的底面ABCD为菱形，且PA⊥底面ABCD，∠ABC=60°，点E、F分别为BC、PD的中点，PA=AB=2．（Ⅰ）证明：AE⊥平面PAD；（Ⅱ）求多面体PAECF的体积．20．已知椭圆经过点，离心率为．（Ⅰ）求椭圆E的标准方程；（Ⅱ）若A1，A2是椭圆E的左右顶点，过点A2作直线l与x轴垂直，点P是椭圆E上的任意一点（不同于椭圆E的四个顶点），联结PA；交直线l与点B，点Q为线段A1B的中点，求证：直线PQ与椭圆E 只有一个公共点．21．已知函数．（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）若∀x∈[1，+∞]，不等式f（x）＞﹣1恒成立，求实数a的取值范围．请考生在22、23中任选一题作答．注意：只能做所选定的题目，如果多做，则按所做第一个题目记分.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．已知直线l的参数方程为（t为参数）以坐标原点O 为极点，以x轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C的方程为．（Ⅰ）求曲线C的直角坐标方程；（Ⅱ）写出直线l与曲线C交点的一个极坐标．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）=|x﹣m|﹣|x+3m|（m＞0）．（Ⅰ）当m=1时，求不等式f（x）≥1的解集；（Ⅱ）对于任意实数x，t，不等式f（x）＜|2+t|+|t﹣1|恒成立，求m的取值范围．参考答案与试题解析一、选择题：本题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．若集合P={x∈R|x＞0}，Q={x∈Z|（x+1）（x﹣4）＜0}，则P∩Q=（）A．（0，4）B．（4，+∞）C．{1，2，3}D．{1，2，3，4}【考点】交集及其运算．【分析】先分别求出集合P和A，由此利用交集定义能求出P∩Q．【解答】解：∵集合P={x∈R|x＞0}，Q={x∈Z|（x+1）（x﹣4）＜0}={0，1，2，3}，∴P∩Q={1，2，3}．故选：C．2．设i为虚数单位，复数的虚部是（）A．B． C．1 D．﹣1【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】直接由复数代数形式的乘除运算化简复数z得答案．【解答】解：∵=，∴复数的虚部是：．故选：B．3．执行如图所示的程序框图，则输出的n的值为（）A．3 B．4 C．5 D．6【考点】程序框图．【分析】执行程序框图，写出每次循环得到的k，n的值，当有k＜时退出循环，输出n的值．【解答】解：执行程序框图，如下；k=5，n=1，不满足条件k＜；k=3，n=2，满足条件k＜；k=2，n=3，不满足条件k＜；k=，n=4，不满足条件k＜；k=，n=5，满足条件k＜；退出循环，输出n=5．故选：C．4．若将函数y=sin2x的图象向左平移个单位，则平移后的图象（）A．关于点对称B．关于直线对称C．关于点对称D．关于直线对称【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【分析】利用函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，正弦函数的图象的对称性，得出结论．【解答】解：将函数y=sin2x的图象向左平移个单位，则平移后得到y=sin2（x+）=sin（2x+）的图象，令2x+=kπ，可得x=﹣，故函数的图象的对称中心为（﹣，0），k∈Z，故排除A、C；令2x+=kπ+，可得x=+，故函数的图象的对称轴方程为x=+，k∈Z，故排除B，故选：D．5．若实数x，y满足约束条件，则x﹣2y的最大值为（）A．﹣9 B．﹣3 C．﹣1 D．3【考点】简单线性规划．【分析】作出不等式组表示的平面区域；作出目标函数对应的直线；结合图象知当直线过B（2，3）时，z最小，当直线过A时，z最大．【解答】解：画出不等式表示的平面区域：将目标函数变形为z=x﹣2y，作出目标函数对应的直线，直线过B时，直线的纵截距最小，z最大，由：，可得B（1，1），z最大值为﹣1；故选：C．6．已知双曲线的两条渐近线分别与抛物线y2=2px（p＞0）的准线交于A，B两点，O为坐标原点，若△OAB的面积为1，则p的值为（）A．1 B．C．D．4【考点】双曲线的简单性质．【分析】求出双曲线的两条渐近线方程与抛物线y2=2px（p ＞0）的准线方程，进而求出A，B两点的坐标，再由△AOB的面积为1列出方程，由此方程求出p的值．【解答】解：双曲线的两条渐近线方程是y=±2x，又抛物线y2=2px（p＞0）的准线方程是x=﹣，故A，B两点的纵坐标分别是y=±p，又△AOB的面积为1，∴=1，∵p＞0，∴得p=．故选B．7．祖暅原理：“幂势既同，则积不容异”．它是中国古代一个涉及几何体体积的问题，意思是两个同高的几何体，如在等高处的截面积恒相等，则体积相等．设A、B为两个同高的几何体，p：A、B的体积不相等，q：A、B在等高处的截面积不恒相等，根据祖暅原理可知，p是q的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】由p⇒q，反之不成立．即可得出．【解答】解：由p⇒q，反之不成立．∴p是q的充分不必要条件．故选：A．8．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，bcosA+acosB=2，则△ABC的外接圆的面积为（）A．4πB．8πC．9πD．36π【考点】余弦定理；正弦定理．【分析】由余弦定理化简已知等式可求c的值，利用同角三角函数基本关系式可求sinC的值，进而利用正弦定理可求三角形的外接圆的半径R的值，利用圆的面积公式即可计算得解．【解答】解：∵bcosA+acosB=2，∴由余弦定理可得：b×+a×=2，整理解得：c=2，又∵，可得：sinC==，∴设三角形的外接圆的半径为R，则2R===6，可得：R=3，∴△ABC的外接圆的面积S=πR2=9π．故选：C．9．设圆x2+y2﹣2x﹣2y﹣2=0的圆心为C，直线l过（0，3）与圆C交于A，B两点，若，则直线l的方程为（）A．3x+4y﹣12=0或4x﹣3y+9=0 B．3x+4y﹣12=0或x=0C．4x﹣3y+9=0或x=0 D．3x﹣4y+12=0或4x+3y+9=0【考点】直线与圆的位置关系．【分析】当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x=0，满足条件；当直线AB的斜率存在时，设直线AB的方程为y=kx+3，求出圆半径r，圆心C（1，1）到直线y=kx+3的距离d，由d2+（）2=r2，能求出直线l的方程．【解答】解：当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x=0，联立，得或，∴|AB|=2，成立．当直线AB的斜率存在时，设直线AB的方程为y=kx+3，∵圆x2+y2﹣2x﹣2y﹣2=0的圆心为C，直线l与圆C交于A，B两点，，∴圆半径r==2，圆心C（1，1）到直线y=kx+3的距离d==，∵d2+（）2=r2，∴+3=4，解得k=﹣，∴直线AB的方程为y=﹣+3，即3x+4y﹣12=0．综上，直线l的方程为3x+4y﹣12=0或x=0．故选：B．10．一个几何体的三视图如图所示（其中正视图的弧线为四分之一圆周），则该几何体的表面积为（）A．72+6πB．72+4πC．48+6πD．48+4π【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积．【分析】由已知中的三视图，可得该几何体是一个以正视图为为底面的柱体，由柱体表面积公式，可得答案．【解答】解：由已知中的三视图，可得该几何体是一个以正视图为为底面的柱体，（也可以看成一个凹六棱柱与四分之一圆柱的组合体），其底面面积为：4×4﹣2×2+=12+π，底面周长为：4+4+2+2+=12+π，柱体的高为4，故柱体的表面积S=（12+π）×2+（12+π）×4=72+6π，故选：A11．从区间[﹣2，2]中随机选取一个实数a，则函数f（x）=4x﹣a•2x+1+1有零点的概率是（）A．B．C．D．【考点】几何概型．【分析】找出函数f（x）有零点时对应的区域长度的大小，再将其与a∈[﹣2，2]，表示的长度大小代入几何概型的计算公式进行解答．【解答】解：函数f（x）=4x﹣a•2x+1+1有零点，即4x﹣a•2x+1+1=0有解，即a=，∵从区间[﹣2，2]中随机选取一个实数a，∴函数f（x）=4x﹣a•2x+1+1有零点时，1≤a≤2，区间长度为1，∴函数f（x）=4x﹣a•2x+1+1有零点的概率是=，故选：A．12．设函数f（x）=，（e是自然对数的底数），若f（2）是函数f（x）的最小值，则a的取值范围是（）A．[﹣1，6]B．[1，4]C．[2，4]D．[2，6]【考点】函数的最值及其几何意义．【分析】x≤2时，函数的对称轴为x=a，可确定a≥2，再利用f（e）是函数的极小值，f（e）≥f（2），即可求出a 的范围．【解答】解：x≤2时，函数的对称轴为x=a，∵f（2）是函数f（x）的最小值，∴a≥2．x＞2，f（x）=+a+10，f′（x）=，x∈（2，e），f′（x）＜0，x ∈（2，+∞），f′（x）＞0，∴f（e）是函数的极小值，∵f（2）是函数f（x）的最小值，∴f（e）≥f（2），∴1≤a≤6，∴1≤a≤6．故选：D．二、填空题：本题共4小题，每小题5分．13．某同学一个学期内各次数学测验成绩的茎叶图如图所示，则该组数据的中位数是83．【考点】茎叶图．【分析】根据茎叶图中的数据，求出它们的中位数即可．【解答】解：根据茎叶图知，该组数据为65，72，73，79，82，84，85，87，90，92；排在中间的两个数是82和84，所以这组数据的中位数是=83．故答案为：83．14．若非零向量，b满足||=1，||=2，且（+）⊥（3﹣），则与的夹角余弦值为．【考点】平面向量数量积的运算．【分析】运用向量垂直的条件：数量积为0，以及数量积的性质：向量的平方即为模的平方，结合向量的夹角的余弦公式，计算即可得到所求值．【解答】解：非零向量，b满足||=1，||=2，且（+）⊥（3﹣），可得（+）•（3﹣）=0，即有32+2•﹣2=0，即为3+2•﹣4=0，解得•=，则与的夹角余弦值为==．故答案为：．15．已知sin2a=2﹣2cos2a，则tana=0或．【考点】同角三角函数基本关系的运用．【分析】利用二倍角的余弦公式，同角三角的基本关系，求得tana 的值．【解答】解：∵已知sin2a=2﹣2cos2a=2﹣2（1﹣2sin2a）=4sin2a，∴2sinacosa=4sin2a，∴sina=0，或cosa=2sina，即tana=0，或tana=，故答案为：0或．16．函数f（x）=﹣x3+3x2﹣ax﹣2a，若存在唯一的正整数x0，使得f（x0）＞0，则a的取值范围是．【考点】其他不等式的解法；利用导数研究函数的极值．【分析】由题意设g（x）=﹣x3+3x2、h（x）=a（x+2），求出g′（x）并化简，由导数与函数单调性的关系，判断出g（x）的单调性、并求出特殊函数值，在同一个坐标系中画出它们的图象，结合条件由图象列出满足条件的不等式组，即可求出a的取值范围．【解答】解：由题意设g（x）=﹣x3+3x2，h（x）=a（x+2），则g′（x）=﹣3x2+6x=﹣3x（x﹣2），所以g（x）在（﹣∞，0）、（2，+∞）上递减，在（0，2）上递增，且g（0）=g（3）=0，g（2）=﹣23+3•22=4，在一个坐标系中画出两个函数图象如图：因为存在唯一的正整数x0，使得f（x0）＞0，即g（x0）＞h（x0），所以由图得x0=2，则，即，解得23≤a＜1，所以a的取值范围是，故答案为：．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．已知等差数列{a n}的前n项和为S n，且满足S4=24，S7=63．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）若b n=2an+a n，求数列{b n}的前n项和T n．【考点】数列的求和；等差数列的前n项和．【分析】（I）利用等差数列的通项公式与求和公式即可得出．（II）b n=2an+a n=2×4n+（2n+1），再利用等差数列与等比数列的求和公式即可得出．【解答】解：（Ⅰ）∵{a n}为等差数列，∴．（Ⅱ）∵=2×4n+（2n+1），∴+（3+5+…+2n+1）==．18．一企业从某条生产线上随机抽取100件产品，测量这些产品的某项技术指标值x，得到如下的频率分布表：（Ⅰ）作出样本的频率分布直方图，并估计该技术指标值x的平均数和众数；（Ⅱ）若x＜13或x≥21，则该产品不合格．现从不合格的产品中随机抽取2件，求抽取的2件产品中技术指标值小于13的产品恰有一件的概率．【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率；频率分布直方图．【分析】（Ⅰ）由频率分布表能作出频率分布直方图，由此能估计平均值和众数．（Ⅱ）不合格产品共有6件，其中技术指标值小于13的产品有2件，现从不合格的产品中随机抽取2件，基本事件总数n==15，抽取的2件产品中技术指标值小于13的产品恰有一件包含的基本事件个数m=C C=8，由此能求出抽取的2件产品中技术指标值小于13的产品恰有一件的概率．【解答】解：（Ⅰ）由频率分布表作出频率分布直方图为：估计平均值： +16×0.34+18×0.38+20×0.10+22×0.04=17.08．估计众数：18．（Ⅱ）∵x＜13或x≥21，则该产品不合格．∴不合格产品共有2+4=6件，其中技术指标值小于13的产品有2件，现从不合格的产品中随机抽取2件，基本事件总数n==15，抽取的2件产品中技术指标值小于13的产品恰有一件包含的基本事件个数m=C C=8，∴抽取的2件产品中技术指标值小于13的产品恰有一件的概率．19．已知四棱锥P﹣ABCD的底面ABCD为菱形，且PA⊥底面ABCD，∠ABC=60°，点E、F分别为BC、PD的中点，PA=AB=2．（Ⅰ）证明：AE⊥平面PAD；（Ⅱ）求多面体PAECF的体积．【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面垂直的判定．【分析】（Ⅰ）由PA⊥底面ABCD，得PA⊥AE．再由已知得△ABC为等边三角形，可得AE⊥BC，即AE⊥AD．然后由线面垂直的判定可得AE⊥平面PAD；（Ⅱ）令多面体PAECF的体积为V，则V=V P﹣AEC+V C﹣PAF．然后结合已知分别求出两个三棱锥的体积得答案．【解答】（Ⅰ）证明：由PA⊥底面ABCD，得PA⊥AE．底面ABCD为菱形，∠ABC=60°，得△ABC为等边三角形，又∵E为BC的中点，得AE⊥BC，∴AE⊥AD．∵PA∩AD=A，∴AE⊥平面PAD；（Ⅱ）解：令多面体PAECF的体积为V，则V=V P﹣AEC+V C﹣PAF．∵底面ABCD为菱形，且PA⊥底面ABCD，∠ABC=60°，点E、F分别为BC、PD的中点，PA=AB=2，∴=；××．∴多面体PAECF的体积为．20．已知椭圆经过点，离心率为．（Ⅰ）求椭圆E的标准方程；（Ⅱ）若A1，A2是椭圆E的左右顶点，过点A2作直线l与x轴垂直，点P是椭圆E上的任意一点（不同于椭圆E的四个顶点），联结PA；交直线l与点B，点Q为线段A1B的中点，求证：直线PQ与椭圆E 只有一个公共点．【考点】直线与椭圆的位置关系．【分析】（Ⅰ）利用椭圆的离心率公式，将M代入椭圆方程，即可求得a和b的值，即可求得椭圆E的标准方程；（Ⅱ）利用点斜方程，求得直线PA1的方程，求得B的中点，利用中点坐标公式求得Q坐标，求得直线PQ的斜率，直线PQ方程为，代入椭圆方程，由△=0，则直线PQ与椭圆E相切，即直线PQ与椭圆E只有一个公共点．【解答】解：（Ⅰ）由题意可得：，解得：a=，b=，c=1，∴椭圆E的标准方程为．（Ⅱ）证明：设P（x0，y0）（x0≠0且，直线PA1的方程为：，B的中点，令得，则线段A则直线PQ的斜率，①∵P是椭圆E上的点，∴，代入①式，得，∴直线PQ方程为，联立，又∵，整理得，∵△=0∴直线PQ与椭圆E相切，即直线PQ与椭圆E只有一个公共点．21．已知函数．（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）若∀x∈[1，+∞]，不等式f（x）＞﹣1恒成立，求实数a的取值范围．【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值．【分析】（Ⅰ）求出函数的导数，通过讨论a的范围，求出函数的单调区间即可；（Ⅱ）问题转化为2a＞x2﹣e x对∀x≥1成立，令g（x）=x2﹣e x，根据函数的单调性求出a的范围即可．【解答】解（Ⅰ），当时，x2﹣2x﹣2a≥0，故f'（x）≥0，∴函数f（x）在（﹣∞，+∞）上单调递增，∴当时，函数f（x）的递增区间为（﹣∞，+∞），无减区间．当时，令x2﹣2x﹣2a=0，，列表：由表可知，当时，函数f（x）的递增区间为和，递减区间为．（Ⅱ）∵⇔2a＞x2﹣e x，∴由条件，2a＞x2﹣e x对∀x≥1成立．令g（x）=x2﹣e x，h（x）=g'（x）=2x﹣e x，∴h'（x）=2﹣e x当x∈[1，+∞）时，h'（x）=2﹣e x≤2﹣e＜0，∴h（x）=g'（x）=2x﹣e x在[1，+∞）上单调递减，∴h（x）=2x﹣e x≤2﹣e＜0，即g'（x）＜0∴g（x）=x2﹣e x在[1，+∞）上单调递减，∴g（x）=x2﹣e x≤g（1）=1﹣e，故f（x）＞﹣1在[1，+∞）上恒成立，只需2a＞g（x）max=1﹣e，∴，即实数a的取值范围是．请考生在22、23中任选一题作答．注意：只能做所选定的题目，如果多做，则按所做第一个题目记分.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．已知直线l的参数方程为（t为参数）以坐标原点O 为极点，以x轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C的方程为．（Ⅰ）求曲线C的直角坐标方程；（Ⅱ）写出直线l与曲线C交点的一个极坐标．【考点】参数方程化成普通方程；简单曲线的极坐标方程．【分析】（Ⅰ）利用极坐标与直角坐标互化方法，求曲线C的直角坐标方程；（Ⅱ）将，代入得，，求出交点坐标，即可直线l与曲线C交点的一个极坐标．【解答】解：（Ⅰ）∵，∴，即；（Ⅱ）将，代入得，，即t=0，从而，交点坐标为，所以，交点的一个极坐标为．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）=|x﹣m|﹣|x+3m|（m＞0）．（Ⅰ）当m=1时，求不等式f（x）≥1的解集；（Ⅱ）对于任意实数x，t，不等式f（x）＜|2+t|+|t﹣1|恒成立，求m的取值范围．【考点】绝对值不等式的解法；绝对值三角不等式．【分析】（Ⅰ）将m=1的值带入，得到关于x的不等式组，求出不等式的解集即可；（Ⅱ）问题等价于对任意的实数xf（x）＜[|2+t|+|t﹣1|]min恒成立，根据绝对值的性质求出f（x）的最大值以及[|2+t|+|t﹣1|]min，求出m的范围即可．【解答】解：（Ⅰ），当m=1时，由或x≤﹣3，得到，∴不等式f（x）≥1的解集为；（Ⅱ）不等式f（x）＜|2+t|+|t﹣1|对任意的实数t，x恒成立，等价于对任意的实数xf（x）＜[|2+t|+|t﹣1|]min恒成立，即[f（x）]max＜[|2+t|+|t﹣1|]min，∵f（x）=|x﹣m|﹣|x+3m|≤|（x﹣m）﹣（x+3m）|=4m，|2+t|+|t﹣1|≥|（2+t）﹣（t﹣1）|=3，∴4m＜3又m＞0，所以．。

2019年安徽省合肥市高考数学一模试卷(文科)

2019年安徽省合肥市高考数学一模试卷（文科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）若集合A＝{x|﹣1≤x≤2}，B＝{x|x﹣1＜0}，则A∪B＝（）A．{x|x＜1}B．{x|﹣1≤x＜1}C．{x|x≤2}D．{x|﹣2≤x＜1} 2．（5分）设i是虚数单位，复数（a+i）（1+2i）为纯虚数，则实数a为（）A．﹣2B．2C．D．3．（5分）设双曲线（a＞0，b＞0）的虚轴长为4，一条渐近线为，则双曲线C的方程为（）A．B．C．D．4．（5分）执行如图所示的程序框图，则输出n的值为（）A．63B．47C．23D．75．（5分）设向量，向量与向量方向相反，且，则向量的坐标为（）A．B．（﹣6，8）C．D．（6，﹣8）6．（5分）设a＝0.23，b＝log20.3，c＝log32，则（）A．a＞b＞c B．a＞c＞b C．b＞a＞c D．c＞a＞b7．（5分）某调查机构对全国互联网行业进行调查统计，得到整个互联网行业从业者年龄分布饼状图、90后从事互联网行业岗位分布条形图，则下列结论中不一定正确的是（）注：90后指1990年及以后出生，80后指1980﹣1989年之间出生，80前指1979年及以前出生．A．互联网行业从业人员中90后占一半以上B．互联网行业中从事技术岗位的人数超过总人数的20%C．互联网行业中从事运营岗位的人数90后比80前多D．互联网行业中从事技术岗位的人数90后比80后多8．（5分）已知，则＝（）A．B．C．D．9．（5分）如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某三棱锥的三视图，则该三棱锥的外接球的表面积为（）A．6πB．24πC．48πD．96π10．（5分）已知函数f（x）＝|x|（e x﹣e﹣x），对于实数a，b，“a+b＞0”是“f（a）+f（b）＞0”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件11．（5分）已知过抛物线焦点F的直线与抛物线交于点A，B，，抛物线的准线l与x轴交于点C，AM⊥l于点M，则四边形AMCF的面积为（）A．B．12C．D．12．（5分）若关于x的方程e x+ax﹣a＝0没有实数根，则实数a的取值范围是（）A．（﹣e2，0]B．[0，e2）C．（﹣e，0]D．[0，e）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.把答案填在答题卡的相应位置.13．（5分）设x，y满足约束条件，则z＝2x﹣y的取值范围为．14．（5分）部分与整体以某种相似的方式呈现称为分形．谢尔宾斯基三角形是一种分形，由波兰数学家谢尔宾斯基1915年提出．具体操作是取一个实心三角形，沿三角形的三边中点连线，将它分成4个小三角形，去掉中间的那一个小三角形后，对其余3个小三角形重复上述过程逐次得到各个图形，如图．现在上述图（3）中随机选取一个点，则此点取自阴影部分的概率为．15．（5分）设等差数列{a n}满足a2＝5，a6+a8＝30，则数列的前n项的和等于．16．（5分）设△ABC的内角A，B，C的对边长a，b，c成等比数列，，延长BC至D，若BD＝2，则△ACD面积的最大值为．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（12分）将函数f（x）＝sin2x的图象向左平移个单位后得到函数g（x）的图象，设函数h（x）＝f（x）﹣g（x）．（Ⅰ）求函数h（x）的单调递增区间；（Ⅱ）若，求h（α）的值．18．（12分）已知：如图，在四棱锥P﹣ABCD中，△BCD为等边三角形，，，AB＝AD＝PB＝PD，∠BAD＝120°．（Ⅰ）若点E为PC的中点，求证：BE∥平面P AD；（Ⅱ）求四棱锥P﹣ABCD的体积．19．（12分）某学校九年级三个班共有学生140人．为了了解学生的睡眠情况，现通过分层抽样的方法获得这三个班部分学生周一至周五睡眠时间的数据（单位：小时）甲班30 31 32 32.5 34 35 36；乙班30 32 33 35.5 37 39 39.5；丙班30 30 31 33.5 39 40．（Ⅰ）试估算每一个班的学生数；（Ⅱ）设抽取的这20位学生睡眠时间的平均数为．若在丙班抽取的6名学生中，再随机选取3人作进一步地调查，求选取的这3名学生睡眠时间既有多于、又有少于的概率．20．（12分）设椭圆E：（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，过F1的直线交椭圆于A，B两点，若椭圆E的离心率为，△ABF2的周长为．（Ⅰ）求椭圆E的方程；（Ⅱ）设不经过椭圆的中心而平行于弦AB的直线交椭圆E于点C，D，设弦AB，CD的中点分别为M，N，证明：O，M，N三点共线．21．（12分）已知函数f（x）＝e x﹣1﹣a（x﹣1）+lnx（a∈R，e是自然对数的底数）．（Ⅰ）设g（x）＝f'（x）（其中f'（x）是f（x）的导数），求g（x）的极小值；（Ⅱ）若对x∈[1，+∞），都有f（x）≥1成立，求实数a的取值范围．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）在直角坐标系xOy中，曲线C1的方程为（α为参数）．以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ＝2cosθ．（Ⅰ）求C1、C2交点的直角坐标；（Ⅱ）设点A的极坐标为，点B是曲线C2上的点，求△AOB面积的最大值．[选修4-5：不等式选讲]23．设函数f（x）＝|x+1|．（Ⅰ）若f（x）+2x＞2，求实数x的取值范围；（Ⅱ）设g（x）＝f（x）+f（ax）（a＞1），若g（x）的最小值为，求a的值．2019年安徽省合肥市高考数学一模试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）若集合A＝{x|﹣1≤x≤2}，B＝{x|x﹣1＜0}，则A∪B＝（）A．{x|x＜1}B．{x|﹣1≤x＜1}C．{x|x≤2}D．{x|﹣2≤x＜1}【考点】1D：并集及其运算．【专题】11：计算题；37：集合思想；4O：定义法；5J：集合．【分析】先求出集合A，B，由此能求出A∪B．【解答】解：∵集合A＝{x|﹣1≤x≤2}，B＝{x|x﹣1＜0}＝{x|x＜1}，∴A∪B＝{x|x≤2}．故选：C．【点评】本题考查并集的求法，考查并集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．2．（5分）设i是虚数单位，复数（a+i）（1+2i）为纯虚数，则实数a为（）A．﹣2B．2C．D．【考点】A5：复数的运算．【专题】38：对应思想；4O：定义法；5N：数系的扩充和复数．【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简，再由实部为0且虚部不为0求得实数a的值．【解答】解：∵复数（a+i）（1+2i）＝（a﹣2）+（2a+1）i为纯虚数，∴，解得a＝2．故选：B．【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．3．（5分）设双曲线（a＞0，b＞0）的虚轴长为4，一条渐近线为，则双曲线C的方程为（）A．B．C．D．【考点】KB：双曲线的标准方程．【专题】34：方程思想；4O：定义法；5D：圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】由已知可得b及的值，从而求得a，则双曲线方程可求．【解答】解：双曲线（a＞0，b＞0）是焦点在x轴上的双曲线，其渐近线方程为y＝，由其一条渐近线为，可得，∵2b＝4，∴b＝2，则a＝4．∴双曲线C的方程为．故选：A．【点评】本题考查双曲线的标准方程，考查双曲线的简单性质，是基础题．4．（5分）执行如图所示的程序框图，则输出n的值为（）A．63B．47C．23D．7【考点】EF：程序框图．【专题】11：计算题；27：图表型；4B：试验法；5K：算法和程序框图．【分析】模拟执行程序框图依次写出每次循环得到的n，i的值，当i＝4时满足条件i＞3，退出循环，输出n的值为23．【解答】解：模拟执行程序框图，可得n＝7，i＝1不满足条件n是3的倍数，n＝15，i＝2，不满足条件i＞3，执行循环体，满足条件n是3的倍数，n＝11，i＝3，不满足条件i＞3，执行循环体，不满足条件n是3的倍数，n＝23，i＝4，满足条件i＞3，退出循环，输出n的值为23．故选：C．【点评】本题主要考查了循环结构的程序框图，依次写出每次循环得到的n，i的值是解题的关键，属于基础题．5．（5分）设向量，向量与向量方向相反，且，则向量的坐标为（）A．B．（﹣6，8）C．D．（6，﹣8）【考点】9K：平面向量共线（平行）的坐标表示．【专题】11：计算题；35：转化思想；41：向量法；5A：平面向量及应用．【分析】根据与方向相反即可设，其中λ＜0，而根据即可得出﹣5λ＝10，从而求出λ＝﹣2，这样便可得出向量的坐标．【解答】解：∵与的方向相反；∴，λ＜0；又；∴﹣5λ＝10；∴λ＝﹣2；∴．故选：D．【点评】考查相反向量的概念，共线向量基本定理，根据向量坐标求向量长度的方法，向量坐标的数乘运算．6．（5分）设a＝0.23，b＝log20.3，c＝log32，则（）A．a＞b＞c B．a＞c＞b C．b＞a＞c D．c＞a＞b【考点】4M：对数值大小的比较．【专题】11：计算题；33：函数思想；49：综合法；51：函数的性质及应用．【分析】容易得出，从而可得出a，b，c的大小关系．【解答】解：∵0＜0.23＜0.2，log20.3＜log21＝0，；∴c＞a＞b．故选：D．【点评】考查指数函数和对数函数的单调性，以及增函数和减函数的定义．7．（5分）某调查机构对全国互联网行业进行调查统计，得到整个互联网行业从业者年龄分布饼状图、90后从事互联网行业岗位分布条形图，则下列结论中不一定正确的是（）注：90后指1990年及以后出生，80后指1980﹣1989年之间出生，80前指1979年及以前出生．A．互联网行业从业人员中90后占一半以上B．互联网行业中从事技术岗位的人数超过总人数的20%C．互联网行业中从事运营岗位的人数90后比80前多D．互联网行业中从事技术岗位的人数90后比80后多【考点】B8：频率分布直方图．【专题】11：计算题；31：数形结合；44：数形结合法；5I：概率与统计．【分析】利用整个互联网行业从业者年龄分布饼状图、90后从事互联网行业岗位分布条形图得到：互联网行业中从事技术岗位的人数90后不一定比80后多．【解答】解：在A中，由整个互联网行业从业者年龄分布饼状图得到互联网行业从业人员中90后占56%，故A正确；在B中，由整个互联网行业从业者年龄分布饼状图、90后从事互联网行业岗位分布条形图得到：互联网行业中从事技术岗位的人数超过总人数的20%，故B正确；在C中，由整个互联网行业从业者年龄分布饼状图、90后从事互联网行业岗位分布条形图得到：互联网行业中从事运营岗位的人数90后比80前多，故C正确；在D中，由整个互联网行业从业者年龄分布饼状图、90后从事互联网行业岗位分布条形图得到：互联网行业中从事技术岗位的人数90后不一定比80后多，故D错误．故选：D．【点评】本题考查命题真假的判断，考查饼状图、条形图的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．8．（5分）已知，则＝（）A．B．C．D．【考点】GS：二倍角的三角函数．【专题】35：转化思想；49：综合法；56：三角函数的求值．【分析】由题意利用同角三角函数的基本关系，二倍角公式，求得要求式子的值．【解答】解：∵已知，∴平方可得1﹣2sinαcosα＝，∴2sinαcosα＝，则＝sin2α＝2sinαcosα＝，故选：C．【点评】本题主要考查同角三角函数的基本关系，二倍角公式的应用，属于基础题．9．（5分）如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某三棱锥的三视图，则该三棱锥的外接球的表面积为（）A．6πB．24πC．48πD．96π【考点】L!：由三视图求面积、体积．【专题】36：整体思想；44：数形结合法；5Q：立体几何．【分析】由题意知该三棱锥的外接球，是长、宽和高分别为4、2、2的长方体的外接球，求出外接球的直径即可．【解答】解：由题意知该几何体是三棱锥P﹣ABC，把该三棱锥放入长、宽、高分别为4、2、2的长方体中，则该三棱锥的外接球，即为长方体的外接球，如图所示；且外接球的直径为（2R）2＝22+22+42＝24，所以该三棱锥外接球的表面积为S＝4πR2＝24π．故选：B．【点评】本题考查了长方体与三棱锥的三视图以及外接球的表面积计算问题，是基础题．10．（5分）已知函数f（x）＝|x|（e x﹣e﹣x），对于实数a，b，“a+b＞0”是“f（a）+f（b）＞0”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【考点】29：充分条件、必要条件、充要条件．【专题】33：函数思想；4R：转化法；5L：简易逻辑．【分析】根据条件判断函数f（x）是奇函数，同时也是增函数，结合函数奇偶性和单调性的性质，利用充分条件和必要条件的定义进行判断即可．【解答】解：∵f（x）＝|x|（e x﹣e﹣x），∴f（﹣x）＝|﹣x|（e﹣x﹣e x）＝﹣|x|（e x﹣e﹣x）＝﹣f（x），即函数f（x）是奇函数，当x≥0，f（x）为增函数，则由a+b＞0得a＞﹣b，此时f（a）＞f（﹣b）＝﹣f（b），即f（a）+f（b）＞0成立，即充分性成立，若f（a）+f（b）＞0得f（a）＞﹣f（b）＝f（﹣b），则a＞﹣b，即a+b＞0成立，即必要性成立，则“a+b＞0”是“f（a）+f（b）＞0”成立的充要条件，故选：C．【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，结合条件判断函数的奇偶性和单调性是解决本题的关键．11．（5分）已知过抛物线焦点F的直线与抛物线交于点A，B，，抛物线的准线l与x轴交于点C，AM⊥l于点M，则四边形AMCF的面积为（）A．B．12C．D．【考点】K8：抛物线的性质．【专题】35：转化思想；44：数形结合法；5D：圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】设|BF|＝m，|AF|＝3m，则|AB|＝4m，∠BAA1＝60°⇒CF＝p＝m＝2，利用梯形的面积公式，即可求得四边形AMCF的面积，【解答】解：过B作BN⊥l于N，过B作BK⊥AM于K，设|BF|＝m，|AF|＝3m，则|AB|＝4m，AK＝2m，⇒∠BAA1＝60°⇒CF＝p＝m＝2∴m＝．⇒AM＝3m＝4，MC＝AF sin60°＝3m×＝2则四边形AMCF的面积为S＝＝，故选：A．【点评】本题考查了抛物线的性质，注意抛物线定义、平面几何知识的应用，属于中档题．12．（5分）若关于x的方程e x+ax﹣a＝0没有实数根，则实数a的取值范围是（）A．（﹣e2，0]B．[0，e2）C．（﹣e，0]D．[0，e）【考点】53：函数的零点与方程根的关系．【专题】31：数形结合；4R：转化法；51：函数的性质及应用．【分析】将方程没有实数根转化为函数y＝e x与y＝﹣a（x﹣1）没有交点，求出函数函数y＝e x过（1，0）点的切线斜率，利用数形结合进行求解即可．【解答】解：方程e x+ax﹣a＝0没有实数根，得方程e x＝﹣a（x﹣1）没有实数根，等价为函数y＝e x与y＝﹣a（x﹣1）没有交点，当a＞0时，直线y＝﹣a（x﹣1）与y＝e x恒有交点，不满足条件．当a＝0时，直线y＝0与y＝e x没有交点，满足条件．当a＜0时，当过（1，0）点的直线y＝e x相切时，设切点为（m，e m），则f′（x）＝e x，则f′（m）＝e m，则切线方程为y﹣e m＝e m（x﹣m）＝e m x﹣me m．即y＝e m x﹣me m+e m，∵切线过（1，0）点，则e m﹣me m+e m＝0，得m＝2，即切线斜率为e2，要使y＝e x与y＝﹣a（x﹣1）没有交点，则满足0＜﹣a＜e2，即﹣e2＜a＜0，综上e2＜a≤0，即实数a的取值范围是（﹣e2，0]，故选：A．【点评】本题主要考查函数与方程之间的关系，转化为两个函数没有交点，求出函数的切线斜率是解决本题的关键．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.把答案填在答题卡的相应位置.13．（5分）设x，y满足约束条件，则z＝2x﹣y的取值范围为[﹣1，6]．【考点】7C：简单线性规划．【专题】11：计算题；31：数形结合；35：转化思想；49：综合法；5T：不等式．【分析】由约束条件作出可行域，数形结合得到最优解，求出最优解的坐标，代入目标函数得答案【解答】解：x，y满足约束条件，对应的区域如图：当直线y＝2x﹣z经过A时，目标函数最小，当经过B时最大；其中A（3，0），由B（0，1），所以目标函数z＝2x﹣y的最小值为2×0﹣1＝﹣1，最大值为2×3﹣0＝6；故目标函数z ＝2x﹣y的取值范围为[﹣1，6]；故答案为：[﹣1，6]．【点评】本题考查了简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题．14．（5分）部分与整体以某种相似的方式呈现称为分形．谢尔宾斯基三角形是一种分形，由波兰数学家谢尔宾斯基1915年提出．具体操作是取一个实心三角形，沿三角形的三边中点连线，将它分成4个小三角形，去掉中间的那一个小三角形后，对其余3个小三角形重复上述过程逐次得到各个图形，如图．现在上述图（3）中随机选取一个点，则此点取自阴影部分的概率为．【考点】F1：归纳推理．【专题】11：计算题；5M：推理和证明．【分析】由归纳推理得：设图（3）中1个小阴影三角形的面积为S，则图（3）中阴影部分的面积为：9S，又图（3）中大三角形的面积为16S，由几何概型中的面积型得：此点取自阴影部分的概率为＝，得解【解答】解：设图（3）中1个小阴影三角形的面积为S，则图（3）中阴影部分的面积为：9S，又图（3）中大三角形的面积为16S，由几何概型中的面积型可得：此点取自阴影部分的概率为＝，故答案为：．【点评】本题考查了归纳推理及几何概型中的面积型题型，属简单题．15．（5分）设等差数列{a n}满足a2＝5，a6+a8＝30，则数列的前n项的和等于．【考点】8E：数列的求和．【专题】35：转化思想；49：综合法；54：等差数列与等比数列．【分析】首先求出等差数列{a n}的首项和公差，确定，然后由裂项求和得结果．【解答】解：∵a6+a8＝30，∴a7＝15，又∵a2＝5，∴d＝＝2，∴a1＝3，∴a n＝2n+1，∴a n2＝（2n+1）2＝4n2+4n+1，∴＝＝（﹣）∴数列的前n项的和为：[（1﹣）+（﹣）+…+（﹣）]＝[1﹣]＝故答案为：．【点评】本题考查了等差数列的通项公式、裂项求和，考查了推理能力与计算能力，属基础题．16．（5分）设△ABC的内角A，B，C的对边长a，b，c成等比数列，，延长BC至D，若BD＝2，则△ACD面积的最大值为．【考点】GP：两角和与差的三角函数．【专题】11：计算题；56：三角函数的求值．【分析】由两角和、差的余弦和正弦定理可得：三角形ABC为正三角形，由基本不等式得：S△ACD＝＝＝（当且仅当x＝2﹣x即x＝1时取等号），得解．【解答】解：因为，所以cos（A﹣C）+cos（A+C）＝，所以cos A cos C＝，①又因为长a，b，c成等比数列，所以b2＝ac，由正弦定理得：sin2B＝sin A sin C，②①﹣②得：，化简得：4cos2B+4cos B﹣3＝0，解得：cos B＝，又0＜B＜π，所以B＝，①+②：cos（A﹣C）＝1，即A﹣C＝0，即A＝C，即三角形ABC为正三角形，设边长为x，由已知有0＜x＜2，则S△ACD＝＝＝（当且仅当x＝2﹣x即x＝1时取等号），故答案为：【点评】本题主要考查正弦定理、余弦定理的应用，基本不等式，根据三角函数的值求角，属于中档题．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（12分）将函数f（x）＝sin2x的图象向左平移个单位后得到函数g（x）的图象，设函数h（x）＝f（x）﹣g（x）．（Ⅰ）求函数h（x）的单调递增区间；（Ⅱ）若，求h（α）的值．【考点】HJ：函数y＝Asin（ωx+φ）的图象变换．【专题】35：转化思想；4R：转化法；57：三角函数的图象与性质．【分析】（Ⅰ）根据图象平移关系得到g（x）的解析式，然后求出h（x）的解析式，结合三角函数的单调性质进行求解即可．（Ⅱ）根据条件，利用三角换元法结合三角函数的诱导公式进行化简是求解即可．【解答】解：（Ⅰ）由已知可得g（x）＝sin2（x+）＝sin（2x+），则．令，解得．∴函数h（x）的单调递增区间为．（Ⅱ）由得，设2α+＝θ则2α＝﹣+θ，则sinθ＝，则sin（2α﹣）＝sin（﹣+θ﹣）＝sin（﹣π+θ）＝﹣sin（π﹣θ）＝﹣sinθ＝﹣，∴，即．【点评】本题主要考查三角函数的图象和性质，求出函数的解析式以及利用三角函数的诱导公式进行转化和化简是解决本题的关键．18．（12分）已知：如图，在四棱锥P﹣ABCD中，△BCD为等边三角形，，，AB＝AD＝PB＝PD，∠BAD＝120°．（Ⅰ）若点E为PC的中点，求证：BE∥平面P AD；（Ⅱ）求四棱锥P﹣ABCD的体积．【考点】LF：棱柱、棱锥、棱台的体积；LS：直线与平面平行．【专题】31：数形结合；49：综合法；5F：空间位置关系与距离．【分析】（Ⅰ）取CD的中点为M，连结EM，BM．证明BM∥AD．得到BM∥平面P AD．再由E为PC的中点，M为CD的中点，得EM∥PD．进一步得到EM∥平面P AD．利用面面平行的判定可得平面BEM∥平面P AD．从而得到BE∥平面P AD；（Ⅱ）连结AC交BD于O，连结PO．证明PO⊥OA．结合PO⊥BD，得到PO⊥平面ABD，即四棱锥P﹣ABCD的高为PO＝1，代入棱锥体积公式求四棱锥P﹣ABCD的体积．【解答】（Ⅰ）证明：取CD的中点为M，连结EM，BM．∵△BCD为等边三角形，∴BM⊥CD．∵∠BAD＝120°，AD＝AB，∴∠ADB＝30°，∴AD⊥CD，∴BM∥AD．又∵BM⊄平面P AD，AD⊂平面P AD，∴BM∥平面P AD．∵E为PC的中点，M为CD的中点，∴EM∥PD．又∵EM⊄平面P AD，PD⊂平面P AD，∴EM∥平面P AD．∵EM∩BM＝M，∴平面BEM∥平面P AD．又∵BE⊂平面BEM，∴BE∥平面P AD；（Ⅱ）解：连结AC交BD于O，连结PO．∵CB＝CD，AB＝AD，∴AD⊥BD，O为BD的中点．又∵∠BAD＝120°，，△PBD≌△ABD，∴AO＝PO＝1．又∵，∴P A2＝PO2+OA2，则PO⊥OA．又∵PO⊥BD，∴PO⊥平面ABD，即四棱锥P﹣ABCD的高为PO＝1，∴四棱锥P﹣ABCD的体积．【点评】本题考查面面平行的判定与性质，考查空间想象能力与思维能力，训练了多面体体积的求法，是中档题．19．（12分）某学校九年级三个班共有学生140人．为了了解学生的睡眠情况，现通过分层抽样的方法获得这三个班部分学生周一至周五睡眠时间的数据（单位：小时）甲班30 31 32 32.5 34 35 36；乙班30 32 33 35.5 37 39 39.5；丙班30 30 31 33.5 39 40．（Ⅰ）试估算每一个班的学生数；（Ⅱ）设抽取的这20位学生睡眠时间的平均数为．若在丙班抽取的6名学生中，再随机选取3人作进一步地调查，求选取的这3名学生睡眠时间既有多于、又有少于的概率．【考点】CC：列举法计算基本事件数及事件发生的概率．【专题】11：计算题；34：方程思想；4O：定义法；5I：概率与统计．【分析】（Ⅰ）利用分层抽样的性质能求出每一个班的学生数．（Ⅱ）先求出，设事件A＝“3名学生睡眠时间既有多于、又有少于的学生”．丙班睡眠时间少于的有4人，设为A1，A2，A3，A4，多于的有2人，设为B1，B2．从这6名学生中随机选取3人，利用列举法能求出选取的3人睡眠时间既有多于、又有少于学生的概率．【解答】（本小题满分12分）解：（Ⅰ）甲班：（人），乙班（人），丙班（人）．……………（5分）（Ⅱ）＝（30+31+32+32.5+34+35+36+30+32+33+35.5+37+39+39.5+30+30+31+33.5+39+40）＝34．设事件A＝“3名学生睡眠时间既有多于、又有少于的学生”．丙班睡眠时间少于的有4人，设为A1，A2，A3，A4，多于的有2人，设为B1，B2．从这6名学生中随机选取3人的基本事件共有20种，而不满足条件的基本事件（3人睡眠时间都低于）有A1A2A3，A1A2A4，A1A3A4，A2A3A4共4种情况，所以满足条件的基本事件数为16种，，即在丙班被抽取的6名学生中，再随机地选取3人作进一步地调查，选取的3人睡眠时间既有多于、又有少于学生的概率为．……………………（12分）【点评】本题考查学生数、概率的求法，考查古典概型、列举法、分层抽样等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．20．（12分）设椭圆E：（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，过F1的直线交椭圆于A，B两点，若椭圆E的离心率为，△ABF2的周长为．（Ⅰ）求椭圆E的方程；（Ⅱ）设不经过椭圆的中心而平行于弦AB的直线交椭圆E于点C，D，设弦AB，CD的中点分别为M，N，证明：O，M，N三点共线．【考点】K4：椭圆的性质．【专题】11：计算题；4O：定义法；5D：圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】（Ⅰ）由已知椭圆E的离心率为，△ABF2的周长为，解得：a，c，b值，可得椭圆E的方程；（Ⅱ）设A（x1，y1），B（x2，y2），M（x0，y0）．利用点差法，可得，，进而证得结论．【解答】（本小题满分12分）（Ⅰ）由题意知，．又∵，∴，，∴椭圆E的方程为．…………………………（5分）（Ⅱ）易知，当直线AB、CD的斜率不存在时，由椭圆的对称性知，中点M，N在x轴上，O，M，N三点共线；当直线AB，CD的斜率存在时，设其斜率为k，且设A（x1，y1），B（x2，y2），M（x0，y0）．联立方程得相减得，∴，∴，，即，∴．同理可得，∴k OM＝k ON，所以O，M，N三点共线．………………………（12分）【点评】本题考查的知识点是椭圆的性质，椭圆的方程，直线与椭圆的综合应用，难度中档．21．（12分）已知函数f（x）＝e x﹣1﹣a（x﹣1）+lnx（a∈R，e是自然对数的底数）．（Ⅰ）设g（x）＝f'（x）（其中f'（x）是f（x）的导数），求g（x）的极小值；（Ⅱ）若对x∈[1，+∞），都有f（x）≥1成立，求实数a的取值范围．【考点】6E：利用导数研究函数的最值．【专题】33：函数思想；4R：转化法；53：导数的综合应用．【分析】（Ⅰ）求出函数的导数，根据函数的单调性求出函数的极小值即可；（Ⅱ）通过讨论a的范围，求出导函数的单调性，从而判断函数的单调性，确定a的范围即可．【解答】解：（Ⅰ），．令，∴，∴g'（x）在（0，+∞）上为增函数，g'（1）＝0．∵当x∈（0，1）时，g'（x）＜0；当x∈（1，+∞）时，g'（x）＞0，∴g（x）的单调递减区间为（0，1），单调递增区间为（1，+∞），∴g（x）极小＝g（1）＝2﹣a．…………………………（5分）（Ⅱ）由（Ⅰ）知，f'（x）在（1，+∞）上单调递增，在（0，1）上单调递减，∴f'（x）≥f'（1）＝2﹣a．当a≤2时，f'（x）≥0，f（x）在[1，+∞）上单调递增，f（x）≥f（1）＝1，满足条件；当a＞2时，f'（1）＝2﹣a＜0．又∵，∴∃x0∈（1，lna+1），使得f'（x0）＝0，此时，x∈（1，x0），f'（x）＜0；x∈（x0，lna+1），f'（x）＞0，∴f（x）在（1，x0）上单调递减，x∈（1，x0），都有f（x）＜f（1）＝1，不符合题意．综上所述，实数a的取值范围为（﹣∞，2]．………………………（12分）【点评】本题考查了函数的单调性问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，转化思想，是一道综合题．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）在直角坐标系xOy中，曲线C1的方程为（α为参数）．以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ＝2cosθ．（Ⅰ）求C1、C2交点的直角坐标；（Ⅱ）设点A的极坐标为，点B是曲线C2上的点，求△AOB面积的最大值．【考点】Q4：简单曲线的极坐标方程；QH：参数方程化成普通方程．【专题】11：计算题；35：转化思想；4R：转化法；5S：坐标系和参数方程．【分析】（Ⅰ）先求出曲线C1、C2的直角坐标方程，联立方程组，能求出C1、C2交点的直角坐标．（Ⅱ）设B（ρ，θ），则ρ＝2cosθ．则△AOB的面积＝，由此能求出△AOB面积的最大值．【解答】（本小题满分10分）解：（Ⅰ）∵曲线C1的方程为（α为参数）．∴，∵曲线C2的极坐标方程为ρ＝2cosθ．∴ρ2＝2ρcosθ，∴C2：x2+y2＝2x．联立方程组得，解得，，∴所求交点的坐标为，．………………………（5分）（Ⅱ）设B（ρ，θ），则ρ＝2cosθ．∴△AOB的面积＝，∴当时，△AOB面积的最大值．………………………（10分）【点评】本题考查两个曲线的交点的直角坐标的求法，考查三角形面积的最大值的求法，考查直角坐标方程、参数方程、极坐标方程的互化等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．[选修4-5：不等式选讲]23．设函数f（x）＝|x+1|．（Ⅰ）若f（x）+2x＞2，求实数x的取值范围；（Ⅱ）设g（x）＝f（x）+f（ax）（a＞1），若g（x）的最小值为，求a的值．【考点】3H：函数的最值及其几何意义；R5：绝对值不等式的解法．【专题】11：计算题；5T：不等式．【分析】（Ⅰ）分x≥﹣1和x＜﹣1两种情况解不等式，再相并．（Ⅱ）将g（x）变成分段函数后分段求出最小值为1﹣，与已知最小值相等，列式解得a＝2【解答】解：（Ⅰ）f（x）+2x＞2，即|x+1|＞2﹣2x⇔或，∴实数x的取值范围是．………………………（5分）（Ⅱ）∵a＞1，∴，∴，易知函数g（x）在时单调递减，在时单调递增，∴．∴，解得a＝2．………………………（10分）【点评】本题考查了绝对值不等式的解法，属中档题．。

2019年安徽省淮南市高考数学一模试卷(文科)

2019年安徽省淮南市高考数学一模试卷（文科）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一个符合题目要求的．1．（5分）已知P＝{x|﹣1＜x＜1}，，则P∪Q＝（）A．B．（﹣2，1）C．D．（﹣2，﹣1）2．（5分）|1+2i|＝（）A．B．C．D．33．（5分）函数f（x）＝x2（e x﹣e﹣x）的大致图象为（）A．B．C．D．4．（5分）某三棱锥的三视图如图所示，其侧（左）视图为直角三角形，则该三棱锥外接球的表面积为（）A．50πB．50πC．40πD．40π5．（5分）已知锐角△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，23cos2A+cos2A＝0，a ＝7，c＝6，则b＝（）A．10B．9C．8D．56．（5分）在平行四边形ABCD中，已知AB＝4，AD＝3，，，则的值是（）A．4B．6C．8D．107．（5分）如图为我国数学家赵爽（约3世纪初）在为《周髀算经》作注时验证勾股定理的示意图，它是由4个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形，现向大正方形内丢一粒黄豆，当每个直角三角形的两直角边之比都是2：3时，则该黄豆落入小正方形内的概率为（）A．B．C．D．8．（5分）某圆锥的侧面展开图是面积为3π，圆心角为的扇形，则该圆锥的母线与底面所成的角的余弦值为（）A．B．C．D．9．（5分）已知奇函数f（x）满足f（x）＝f（x+4），当x∈（0，1）时，f（x）＝4x，则f（log4184）＝（）A．﹣B．C．D．10．（5分）已知点P是双曲线﹣＝1（a＞0，b＞0）右支上一点，F1、F2分别是双曲线的左、右焦点，M为△PF1F2的内心，若＝+成立，则双曲线的离心率为（）A．4B．C．2D．11．（5分）如图是函数在区间上的图象，将该图象向右平移|m|（m＜0）个单位后，所得图象关于直线对称，则m 的最大值为（）A．B．C．D．12．（5分）在平面直角坐标系中，设点p（x，y），定义[OP]＝|x|+|y|，其中O为坐标原点，对于下列结论：（1）符合[OP]＝2的点p的轨迹围成的图形面积为8；（2）设点p是直线：上任意一点，则[OP]min＝1；（3）设点p是直线：y＝kx+1（k∈R）上任意一点，则使得“[OP]最小的点P有无数个”的必要条件是k＝1；（4）设点p是圆x2+y2＝2上任意一点，则[OP]max＝2．其中正确的结论序号为（）A．（1）（2）（3）B．（1）（3）（4）C．（2）（3）（4）D．（1）（2）（4）二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分13．（5分）若直线x﹣my+m＝0经过抛物线x2＝2py（p＞0）的焦点，则p＝．14．（5分）若x，y满足约束条件，则的最小值为．15．（5分）已知等差数列{a n}，若点在经过点（4，8）的定直线l上，则数列{a n}的前7项和S7＝．16．（5分）已知函数，若关于x的方程[f（x）]2+tf（x）﹣15＝0（t∈R）有m个不同的实数解，则m的所有可能的值构成的集合为．三.解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22、23为选考题，考生根据要求作答．17．（12分）已知等差数列{a n}的前n项和为S n，且S3＝9，a1，a3，a7成等比数列．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）若a n≠a1（当n≥2时），数列{b n}满足，求数列{a n b n}的前n项和T n．18．（12分）某市为增强市民的环境保护意识，面向全市征召义务宣传志愿者．现从符合条件的志愿者中随机抽取100名按年龄分组：第1组[20，25），第2组[25，30），第3组[30，35），第4组[35，40），第5组[40，45]，得到的频率分布直方图如图所示．（Ⅰ）若从第3，4，5组中用分层抽样的方法抽取6名志愿者参广场的宣传活动，应从第3，4，5组各抽取多少名志愿者？（Ⅱ）在（1）的条件下，该市决定在第3，4组的志愿者中随机抽取2名志愿者介绍宣传经验，求第4组至少有一名志愿者被抽中的概率．19．（12分）如图，在四棱锥中O﹣ABCD中，底面ABCD是边长为4的正方形，侧棱OB ⊥底面ABCD，且侧棱OB的长是4，点E，F，G分别是AB，OD，BC的中点．（1）证明：OD⊥平面EFG；（2）求三棱锥O﹣EFG的体积．20．（12分）设椭圆的左、右焦点分别为F1，F2，上顶点为A，过点A与AF2垂直的直线交x轴负半轴于点Q，且．（1）求椭圆C的方程；（2）过椭圆C的右焦点F2作斜率为1的直线l与椭圆C交于M，N两点，试在x轴上求一点P，使得以PM，PN为邻边的平行四边形是菱形．21．（12分）已知函数f（x）＝2lnx+x2﹣mx（m∈R）．（1）若f（x）在其定义域内单调递增，求实数m的取值范围；（2）若有两个极值点x1，x2（x1＜x2），求f（x1）﹣f（x2）的取值范围．[选做题]22．（10分）已知直线l过点P（1，0），且倾斜角为α，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立坐标系，圆C的极坐标方程为ρ＝4cosθ．（1）求圆C的直角坐标系方程及直线l的参数方程；（2）若直线l与圆C交于A，B两点，求的最大值和最小值．23．已知函数f（x）＝|2x﹣1|+|x﹣2|．（1）求不等式f（x）≥3的解集；（2）若对任意x∈R恒成立，求m+n的最小值．2019年安徽省淮南市高考数学一模试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一个符合题目要求的．1．（5分）已知P＝{x|﹣1＜x＜1}，，则P∪Q＝（）A．B．（﹣2，1）C．D．（﹣2，﹣1）【考点】1D：并集及其运算．【专题】11：计算题；37：集合思想；4O：定义法；5J：集合．【分析】利用并集定义直接求解．【解答】解：∵P＝{x|﹣1＜x＜1}，，∴P∪Q＝{x|﹣2＜x＜1}＝（﹣2，1）．故选：B．【点评】本题考查并集的求法，考查并集定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．2．（5分）|1+2i|＝（）A．B．C．D．3【考点】A8：复数的模．【专题】38：对应思想；4R：转化法；5N：数系的扩充和复数．【分析】根据复数模的定义求出复数的模即可．【解答】解：|1+2i|＝＝，故选：C．【点评】本题考查了复数求模问题，考查转化思想，是一道常规题．3．（5分）函数f（x）＝x2（e x﹣e﹣x）的大致图象为（）A．B．C．D．【考点】3A：函数的图象与图象的变换．【专题】11：计算题；33：函数思想；44：数形结合法；51：函数的性质及应用．【分析】判断函数的奇偶性，利用函数的单调性和函数值的变化趋势判断即可．【解答】解：∵f（x）＝x2（e x﹣e﹣x），∴f（﹣x）＝（﹣x）2（e﹣x﹣e x）＝﹣x2（e x﹣e﹣x）＝﹣f（x），∴f（x）为奇函数，其图象关于原点对称，故排除B，D，∵y＝x2，是增函数x∈（0，+∞），f（x）＞0，y＝e x﹣e﹣x是增函数x∈（0，+∞），y＞0，f（x）＝x2（e x﹣e﹣x）在（0，+∞）是增函数，排除C．（或者）当x→+∞时，f（x）→+∞，故排除C，故选：A．【点评】本题考查函数的图象的判断，函数的奇偶性以及函数的单调性的判断与应用，考查计算能力．4．（5分）某三棱锥的三视图如图所示，其侧（左）视图为直角三角形，则该三棱锥外接球的表面积为（）A．50πB．50πC．40πD．40π【考点】L!：由三视图求面积、体积；LF：棱柱、棱锥、棱台的体积．【专题】11：计算题；31：数形结合；5F：空间位置关系与距离；5Q：立体几何．【分析】由已知中的三视图可得：该几何体是一个以俯视图为底面的三棱锥，其外接球相当于以以俯视图为底面的三棱柱的外接球，进而得到答案．【解答】解：由已知中的三视图可得：该几何体是一个以俯视图为底面的三棱锥，其外接球相当于以以俯视图为底面的三棱柱的外接球，由底面三边长为3，4，5，故底面外接圆半径r＝，球心到底面的距离d＝，故球半径R＝，故外接球的表面积S＝4πR2＝50π，故选：A．【点评】本题考查的知识点是球的体积和表面积，空间几何体的三视图，难度中档．5．（5分）已知锐角△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，23cos2A+cos2A＝0，a ＝7，c＝6，则b＝（）A．10B．9C．8D．5【考点】HR：余弦定理．【专题】58：解三角形．【分析】利用二倍角的余弦函数公式化简已知的等式，求出cos A的值，再由a与c的值，利用余弦定理即可求出b的值．【解答】解：∵23cos2A+cos2A＝23cos2A+2cos2A﹣1＝0，即cos2A＝，A为锐角，∴cos A＝，又a＝7，c＝6，根据余弦定理得：a2＝b2+c2﹣2bc•cos A，即49＝b2+36﹣b，解得：b＝5或b＝﹣（舍去），则b＝5．故选：D．【点评】此题考查了余弦定理，二倍角的余弦函数公式，熟练掌握余弦定理是解本题的关键．6．（5分）在平行四边形ABCD中，已知AB＝4，AD＝3，，，则的值是（）A．4B．6C．8D．10【考点】9O：平面向量数量积的性质及其运算．【专题】11：计算题；5A：平面向量及应用．【分析】由已知，结合向量加法的平行四边形法则可知可知•（）＝2，展开后可求．【解答】解：平行四边形ABCD中，已知AB＝4，AD＝3，，又∵，∴•（）＝2，∴++＝2，即9﹣+﹣1×3＝2，∴＝8．故选：C．【点评】本题主要考查了向量的基本运算及向量的数量积的性质的简单应用，属于基础试题．7．（5分）如图为我国数学家赵爽（约3世纪初）在为《周髀算经》作注时验证勾股定理的示意图，它是由4个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形，现向大正方形内丢一粒黄豆，当每个直角三角形的两直角边之比都是2：3时，则该黄豆落入小正方形内的概率为（）A．B．C．D．【考点】CF：几何概型．【专题】11：计算题；5I：概率与统计．【分析】由勾股定理得：设小正方形的边长为a，大正方形的边长为：＝a，由正方形的面积公式及几何概型中的面积型有：P（A）＝＝＝，得解．【解答】解：设小正方形的边长为a，由每个直角三角形的两直角边之比都是2：3，则直角三角形的两边长分别为：2a，3a，则大正方形的边长为：＝a，设事件A为“向大正方形内丢一粒黄豆，黄豆落入小正方形内”，则P（A）＝＝＝，故选：D．【点评】本题考查了正方形的面积公式，勾股定理及几何概型中的面积型，属中档题．8．（5分）某圆锥的侧面展开图是面积为3π，圆心角为的扇形，则该圆锥的母线与底面所成的角的余弦值为（）A．B．C．D．【考点】L5：旋转体（圆柱、圆锥、圆台）．【专题】11：计算题；35：转化思想；5Q：立体几何．【分析】根据已知计算出圆锥的母线长和底面半径，可得答案．【解答】解：∵圆锥的侧面展开图是面积为3π，圆心角为的扇形，则圆锥的母线l满足：故圆锥的母线长为3，又由可得圆锥的底面半径为1，故该圆锥的母线与底面所成的角的余弦值为．故选：B．【点评】本题考查的知识点是旋转体，熟练掌握圆锥的几何特征，是解答的关键．9．（5分）已知奇函数f（x）满足f（x）＝f（x+4），当x∈（0，1）时，f（x）＝4x，则f（log4184）＝（）A．﹣B．C．D．【考点】3K：函数奇偶性的性质与判断；4H：对数的运算性质．【专题】11：计算题；33：函数思想；4O：定义法；51：函数的性质及应用．【分析】推导出f（log4184）＝﹣f（log4184﹣4）＝﹣（），由此能求出结果．【解答】解：∵奇函数f（x）满足f（x）＝f（x+4），当x∈（0，1）时，f（x）＝4x，∴f（log4184）＝﹣f（log4184﹣4）＝﹣（）＝﹣＝﹣．故选：A．【点评】本题考查函数值的求法，考查函数的奇偶性、周期性等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．10．（5分）已知点P是双曲线﹣＝1（a＞0，b＞0）右支上一点，F1、F2分别是双曲线的左、右焦点，M为△PF1F2的内心，若＝+成立，则双曲线的离心率为（）A．4B．C．2D．【考点】KC：双曲线的性质．【专题】15：综合题；35：转化思想；4G：演绎法；5D：圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】设圆M与△PF1F2的三边F1F2、PF1、PF2分别相切于点E、F、G，连接ME、MF、MG，可得△MF1F2，△MPF1，△MPF2可看作三个高相等且均为圆I半径r的三角形．利用三角形面积公式，代入已知式，化简可得|PF1|﹣|PF2|＝|F1F2|，再结合双曲线的定义与离心率的公式，可求出此双曲线的离心率．【解答】解：如图，设圆M与△PF1F2的三边F1F2、PF1、PF2分别相切于点E、F、G，连接ME、MF、MG，则ME⊥F1F2，MF⊥PF1，MG⊥PF2，它们分别是△MF1F2，△MPF1，△MPF2的高，∴＝|PF1|×|MF|＝|PF1|，＝|PF2|×|MG|＝|PF2|＝×|F1F2|×|ME|＝|F1F2|，其中r是△PF1F2的内切圆的半径．∵＝+∴|PF1|＝|PF2|+|F1F2|两边约去得：|PF1|＝|PF2|+|F1F2|∴|PF1|﹣|PF2|＝|F1F2|根据双曲线定义，得|PF1|﹣|PF2|＝2a，|F1F2|＝2c∴2a＝c⇒离心率为e＝＝2故选：C．【点评】本题将三角形的内切圆放入到双曲线当中，用来求双曲线的离心率，着重考查了双曲线的基本性质、三角形内切圆的性质和面积计算公式等知识点，属于中档题．11．（5分）如图是函数在区间上的图象，将该图象向右平移|m|（m＜0）个单位后，所得图象关于直线对称，则m的最大值为（）A．B．C．D．【考点】HK：由y＝Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．【专题】11：计算题；31：数形结合；44：数形结合法；57：三角函数的图象与性质．【分析】由周期求出ω，由五点法作图求出φ的值，可得函数的f（x）的解析式．再根据函数y＝A sin（ωx+φ）的图象的变换规律，可得结论．【解答】解：由函数y＝sin（ωx+φ），（ω＞0，|φ|＜）的图象可得T＝＝﹣（﹣）＝π，可得：ω＝2．再由五点法作图可得2×（﹣）+φ＝0，可得：φ＝．故函数的f（x）的解析式为f（x）＝sin（2x+）＝sin2（x+）．故把f（x）＝sin2（x+）的图象向右平移|m|（m＜0）个单位长度，可得g（x）＝sin2（x﹣|m|+）的图象，由于：所得图象关于直线x＝对称，可得：sin2（﹣|m|+）＝±1，可得：2（﹣|m|+）＝+kπ，解得：|m|＝﹣kπ，k∈Z，由于：m＜0，可得：m＝kπ﹣，k∈Z，可得：当k＝0时，m的最大值为：﹣．故选：B．【点评】本题主要考查由函数y＝A sin（ωx+φ）的部分图象求解析式，函数y＝A sin（ωx+φ）的图象的变换规律，属于中档题．12．（5分）在平面直角坐标系中，设点p（x，y），定义[OP]＝|x|+|y|，其中O为坐标原点，对于下列结论：（1）符合[OP]＝2的点p的轨迹围成的图形面积为8；（2）设点p是直线：上任意一点，则[OP]min＝1；（3）设点p是直线：y＝kx+1（k∈R）上任意一点，则使得“[OP]最小的点P有无数个”的必要条件是k＝1；（4）设点p是圆x2+y2＝2上任意一点，则[OP]max＝2．其中正确的结论序号为（）A．（1）（2）（3）B．（1）（3）（4）C．（2）（3）（4）D．（1）（2）（4）【考点】2K：命题的真假判断与应用．【专题】34：方程思想；48：分析法；5B：直线与圆．【分析】（1）根据新定义由[OP]＝|x|+|y|＝1，讨论x的取值，得到y与x的分段函数关系式，画出分段函数的图象，由图象可知点P的轨迹围成的图形为边长是2的正方形，求出正方形的面积即可；（2）运用绝对值的含义和一次函数的单调性，可得[OP]的最小值；（3）根据|x|+|y|大于等于|x+y|或|x﹣y|，把y＝kx+1代入即可得到当[OP]最小的点P有无数个时，k等于1或﹣1；而k等于1或﹣1推出[OP]最小的点P有无数个，得到k＝±1是“使[OP]最小的点P有无数个”的充要条件；（4）把P的坐标用参数表示，然后利用三角函数的化积求得[OP]＝|x|+|y|的最大值说明命题正确．【解答】解：（1）由[OP]＝2，根据新定义得：|x|+|y|＝2，由方程表示的图形关于x，y轴对称和原点对称，且x+y＝2（0≤x≤2，0≤y≤2），画出图象如图所示：根据图形得到：四边形ABCD为边长是2的正方形，面积等于8，故（1）正确；（2）P（x，y）为直线：上任一点，可得y＝1﹣x，可得|x|+|y|＝|x|+|1﹣x|，当x≤0时，[OP]＝1﹣（1+）x≥1；当0＜x＜时，[OP]＝1+（1﹣）x∈（1，）；当x≥时，可得[OP]＝﹣1+（1+）x≥，综上可得[OP]的最小值为1，故（2）正确；（3）∵|x|+|y|≥|x+y|＝|（k+1）x+1|，当k＝﹣1时，|x|+|y|≥|1|＝1，满足题意；而|x|+|y|≥|x﹣y|＝|（k﹣1）x﹣1|，当k＝1时，|x|+|y|≥|﹣1|＝1，满足题意．∴“使[OP]最小的点P有无数个”的充要条件是“k＝±1”，（3）不正确；（4）∵点P是圆x2+y2＝2上任意一点，则可设x＝cosθ，y＝sinθ，θ∈[0，2π），[OP]＝|x|+|y|＝（cosθ+sinθ）＝2sin（θ+），θ∈[0，]，∴[OP]max＝2，（4）正确．则正确的结论有：（1）、（2）、（4）．故选：D．【点评】此题考查学生理解及运用新定义的能力，考查了数形结合的数学思想，关键是对题意的理解，是中档题．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分13．（5分）若直线x﹣my+m＝0经过抛物线x2＝2py（p＞0）的焦点，则p＝2．【考点】K8：抛物线的性质．【专题】35：转化思想；4O：定义法；5D：圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】由直线方程求出直线过点（0，1），从而得到抛物线的焦点坐标，则p可求；【解答】解：∵直线x﹣my+m＝0过点（0，1），即抛物线x2＝2py（p＞0）的焦点F为（0，1），∴，则p＝2；故答案为：2．【点评】本题考查了抛物线的简单性质，是基础题．14．（5分）若x，y满足约束条件，则的最小值为﹣2．【考点】7C：简单线性规划．【专题】11：计算题；31：数形结合；35：转化思想；49：综合法；5T：不等式．【分析】先根据约束条件画出可行域，再利用几何意义求最值，z＝x+y表示直线在y 轴上的截距，只需求出可行域直线在y轴上的截距最小值即可．【解答】解：先根据x，y满足约束条件画出可行域：当直线z＝x+y过点B（0，﹣2）时，z最小是﹣2，故答案为：﹣2．【点评】本题主要考查了简单的线性规划，以及利用几何意义求最值，属于基础题．15．（5分）已知等差数列{a n}，若点在经过点（4，8）的定直线l上，则数列{a n}的前7项和S7＝56．【考点】85：等差数列的前n项和．【专题】11：计算题；34：方程思想；4O：定义法；54：等差数列与等比数列．【分析】推导出a4＝8，数列{a n}的前7项和S7＝，由此能求出结果．【解答】解：等差数列{a n}中，点在经过点（4，8）的定直线l上，∴a4＝8，∴数列{a n}的前7项和S7＝＝56．故答案为：56．【点评】本题考查等差数列前7项和的求法，考查等差数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．16．（5分）已知函数，若关于x的方程[f（x）]2+tf（x）﹣15＝0（t∈R）有m个不同的实数解，则m的所有可能的值构成的集合为{4}．【考点】53：函数的零点与方程根的关系．【专题】31：数形结合；32：分类讨论；35：转化思想；4J：换元法；4R：转化法；51：函数的性质及应用．【分析】求函数f（x）的导数，判断函数的极值，作出函数f（x）的图象，设n＝f（x），利用根与系数之间的关系得到n2﹣nt﹣15＝0的两根之积n1n2＝﹣15，利用数形结合进行讨论求解即可．【解答】解：函数f（x）的导数为f′（x）＝x2+2x﹣3，由f′（x）＞0，得x＞1或x＜﹣3时，f（x）递增；由f′（x）＜0，得﹣3＜x＜1时，f（x）递减．即有f（x）在x＝1处取得极小值f（1）＝＝﹣；在x＝﹣3处取得极大值f（﹣3）＝+（﹣3）2﹣3×（﹣3）＝9，作出f（x）的图象，如图所示；关于x的方程f2（x）﹣tf（x）﹣15＝0，由判别式△＝t2+60＞0，方程有两个不等实根，令n＝f（x），则n2﹣nt﹣15＝0，n1n2＝﹣15＜0，则原方程有一正一负实根．而﹣×9＝﹣15，即当n1＝9，则n2＝﹣，此时y＝n1，和f（x）有两个交点，y＝n2与f（x）有两个交点，此时共有4个交点，当n1＞9，则﹣＜n2＜0，此时y＝n1，和f（x）有1个交点，y＝n2与f（x）有3个交点，此时共有4个交点，当﹣＜n1＜9，则n2＜﹣或n2＞9，此时y＝n1和f（x）有3个交点，y＝n2与f（x）有1个交点，此时共有4个交点，当n1＝﹣，则n2＝9，此时y＝n1和f（x）有2个交点，y＝n2与f（x）有2个交点，此时共有4个交点，当n1＜﹣，则0＜n2＜9，此时y＝n1和f（x）有1个交点，y＝n2与f（x）有3个交点，此时共有4个交点，综上方程[f（x）]2+tf（x）﹣15＝0（t∈R）恒有4个不同的实数解，即m＝4，即m的所有可能的值构成的集合为{4}，故答案为：{4}．【点评】本题考查方程的根的个数的判断，考查函数方程的转化思想，注意运用二次方程的判别式和韦达定理，考查数形结合和分类讨论的思想方法，综合性较强，难度较大．三.解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22、23为选考题，考生根据要求作答．17．（12分）已知等差数列{a n}的前n项和为S n，且S3＝9，a1，a3，a7成等比数列．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）若a n≠a1（当n≥2时），数列{b n}满足，求数列{a n b n}的前n项和T n．【考点】84：等差数列的通项公式；8E：数列的求和．【专题】35：转化思想；49：综合法；54：等差数列与等比数列．【分析】（1）求得首项和公差即可；（2）由（1）可得a n b n，再由错位相减求和得T n．【解答】解：（1）∵S3＝9，∴a2＝3，∴a1+d＝3①∵a1，a3，a7成等比数列，∴a32＝a1a7，∴（a1+2d）2＝a1（a1+6d）②由①②得：或，当时，a n＝3当时，a n＝n+1；（2）∵a n≠a1（当n≥2时），∴d≠0，∴a n＝n+1，∴b n＝2n+1，∴a n b n＝（n+1）2n+1，∴T n＝2•22+3•23+4•24+…+（n+1）2n+1①2T n＝2•23+3•24+4•25+…+（n+1）2n+2②①﹣②得﹣T n＝4+22+23+24+…+2n+1﹣（n+1）2n+2＝4+﹣（n+1）2n+2＝﹣n•2n+2∴T n＝n•2n+2【点评】本题考查了等差数列的通项公式及等比数列的前n项和公式、错位相减法求和，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．18．（12分）某市为增强市民的环境保护意识，面向全市征召义务宣传志愿者．现从符合条件的志愿者中随机抽取100名按年龄分组：第1组[20，25），第2组[25，30），第3组[30，35），第4组[35，40），第5组[40，45]，得到的频率分布直方图如图所示．（Ⅰ）若从第3，4，5组中用分层抽样的方法抽取6名志愿者参广场的宣传活动，应从第3，4，5组各抽取多少名志愿者？（Ⅱ）在（1）的条件下，该市决定在第3，4组的志愿者中随机抽取2名志愿者介绍宣传经验，求第4组至少有一名志愿者被抽中的概率．【考点】B8：频率分布直方图；C6：等可能事件和等可能事件的概率．【专题】5I：概率与统计．【分析】（Ⅰ）先分别求出这3组的人数，再利用分层抽样的方法即可得出答案；（Ⅱ）从5名志愿者中抽取2名志愿者有10种情况，其中第4组的2名志愿者B1，B2至少有一名志愿者被抽中有7种情况，再利用古典概型的概率计算公式即可得出．【解答】解：（Ⅰ）第3组的人数为0.3×100＝30，第4组的人数为0.2×100＝20，第5组的人数为0.1×100＝10．因为第3，4，5组共有60名志愿者，所以利用分层抽样的方法在60名志愿者中抽取6名志愿者，每组抽取的人数分别为：第3组：×6＝3；第4组：×6＝2；第5组：×6＝1．所以应从第3，4，5组中分别抽取3人，2人，1人；（Ⅱ）记第3组的3名志愿者为A1，A2，A3，第4组的2名志愿者为B1，B2，．则从5名志愿者中抽取2名志愿者有：（A1，A2），（A1，A3），（A1，B1），（A1，B2），（A2，A3），（A2，B1），（A2，B2），（A3，B1），（A3，B2），（B1，B2）共有10种．其中第4组的2名志愿者B1，B2至少有一名志愿者被抽中的有：（A1，B1），（A1，B2），（A2，B1），（A2，B2），（A3，B1），（A3，B2），（B1，B2），共有7种所以第4组至少有一名志愿者被抽中的概率为．【点评】熟练掌握频率分布直方图、分层抽样的定义、古典概型的概率计算公式、互斥事件及相互独立事件的概率计算公式是解题的关键．19．（12分）如图，在四棱锥中O﹣ABCD中，底面ABCD是边长为4的正方形，侧棱OB ⊥底面ABCD，且侧棱OB的长是4，点E，F，G分别是AB，OD，BC的中点．（1）证明：OD⊥平面EFG；（2）求三棱锥O﹣EFG的体积．【考点】LF：棱柱、棱锥、棱台的体积；LW：直线与平面垂直．【专题】31：数形结合；49：综合法；5F：空间位置关系与距离．【分析】（1）由已知证明OB⊥AB，EF⊥OD．FG⊥OD，由此能证明OD⊥平面EFG；（2）由OD⊥平面EFG，得以OF是三棱锥中O到平面EFG的距离，由此能求出三棱锥O﹣EFG的体积．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是边长为4的正方形，E是AB的中点，∴DE＝，又侧棱OB⊥底面ABCD，AB⊂面ABCD，OB⊥AB，又OB＝4，EB＝2，OE＝，DE＝OE＝，∴△ODE是等腰三角形，∵F是OD的中点，∴EF⊥OD．同理DG＝DO＝，△ODG是等腰三角形，∵F是OD的中点，∴FG⊥OD，∵EF∩FG＝F，EF，FG⊂面EFG，∴OD⊥平面EFG；（2）解：∵侧棱OB⊥底面ABCD，BD⊂面ABCD，∴OB⊥BD，OB＝4，BD＝4，OD＝4，由（1）知：OD⊥平面EFG，OF是三棱锥中，O到平面EFG的距离，∵F是OD的中点，OF＝，DE＝OE＝，EF⊥OD，EF＝，DG＝DO＝，FH⊥OD，FG＝，四边形ABCD是边长为4的正方形，E、G分别是AB、BC的中点，EG＝，△EFG是等边三角形，S△EFG＝，∴三棱锥O﹣EFG的体积V O﹣EFG＝×S△EFG×OF＝××＝4．【点评】本题考查线面垂直的证明，考查三棱锥的体积的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．20．（12分）设椭圆的左、右焦点分别为F1，F2，上顶点为A，过点A与AF2垂直的直线交x轴负半轴于点Q，且．（1）求椭圆C的方程；（2）过椭圆C的右焦点F2作斜率为1的直线l与椭圆C交于M，N两点，试在x轴上求一点P，使得以PM，PN为邻边的平行四边形是菱形．【考点】KL：直线与椭圆的综合．【专题】11：计算题；21：阅读型；35：转化思想；4P：设而不求法；5D：圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】（1）设点Q的坐标为（x0，0），且x0＜0，利用AF2⊥AQ得出点Q的坐标，再利用已知条件得出b与c之间的等量关系，利用a、b、c之间的关系得出b的值，从而得出椭圆C的方程；（2）设点M（x1，y1）、N（x2，y2），写出直线l的方程，并将直线l的方程与椭圆C的方程联立，列出韦达定理，求出线段MN的中点E的坐标，利用条件PM，PN为邻边的平行四边形是菱形，得出PE⊥MN，由这两条直线的斜率之积为﹣1得出点P的坐标，从而解答该问题．【解答】解：（1）设椭圆C的焦距为2c（c＞0），则点F1的坐标为（﹣c，0），点F2的坐标为（c，0），设点Q的坐标为（x0，0），且x0＜0，，，∵，则x0+c+2c＝0，所以，x0＝﹣3c，则点Q的坐标为（﹣3c，0），∵直线AF2与直线AQ垂直，且点A（b，0），所以，，，由，得b2＝3c2，∵4＝b2+c2＝4c2，所以，，c＝1．因此，椭圆C的方程为；（2）设点M（x1，y1）、N（x2，y2），直线l的方程为y＝x﹣1，将直线l的方程与椭圆C的方程联立，消去y并整理得7x2﹣8x﹣8＝0，由韦达定理得，，所以，．因此，线段MN的中点为．设点P的坐标为（t，0），由于PM，PN为邻边的平行四边形是菱形，则PE⊥MN．直线PE的斜率为，解得t＝，因此，当点P的坐标为（，0）时，以PM，PN为邻边的平行四边形是菱形．【点评】本题考查直线与椭圆的综合，考查椭圆的方程以及韦达定理设而不求法在椭圆综合中的应用，考查向量的坐标运算，属于中等题．21．（12分）已知函数f（x）＝2lnx+x2﹣mx（m∈R）．（1）若f（x）在其定义域内单调递增，求实数m的取值范围；（2）若有两个极值点x1，x2（x1＜x2），求f（x1）﹣f（x2）的取值范围．【考点】6B：利用导数研究函数的单调性；6D：利用导数研究函数的极值．【专题】16：压轴题；33：函数思想；4R：转化法；53：导数的综合应用．【分析】（1）先求导，再根据导数和函数的单调性的关系即可求出m的范围，（2）根据f（x）有两个极值点，得到x1+x2＝＞0，x1x2＝1，求出＜x1＜，再f（x1）﹣f（x2）＝﹣x12+4lnx1，构造函数，求导，判断函数的单调性，求出范围即可．【解答】解：（1）∵f（x）＝2lnx+x2﹣mx的定义域为（0，+∞），且f（x）在其定义域内单调递增，∴f′（x）＝+2x﹣m≥0，即m≤2（+x）在区间（0，+∞）恒成立，∵2（+x）≥4＝4，当且仅当x＝1时取等号，∴m≤4，即实数m的范围（﹣∞，4]；（2）由（1）知f′（x）＝+2x﹣m＝，令2x2﹣mx+2＝0，∵5＜m＜时，f（x）有两个极值点，此时x1+x2＝＞0，x1x2＝1，∴0＜x1＜1＜x2，∵m＝2（+x1）∈（5，），解得＜x1＜，由于x2＝，于是f（x1）﹣f（x2）＝（x12﹣mx1+2lnx1）﹣（x22﹣mx2+2lnx2）＝（x12﹣x22）﹣m（x1﹣x2）+2（lnx1﹣lnx2）＝﹣x12+4lnx1，令h（x）＝﹣x2+4lnx，则h′（x）＝＜0，∴h（x）在区间（，）内单调递减，∵h（）＝16﹣﹣8ln2＝﹣8ln2，h（）＝4﹣﹣4ln2＝﹣4ln2，即﹣4ln2＜f（x1）﹣f（x2）＜﹣8ln2，故f（x1）﹣f（x2）的取值范围为（﹣4ln2，﹣8ln2）．【点评】本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用，考查转化思想，属于难题．[选做题]22．（10分）已知直线l过点P（1，0），且倾斜角为α，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立坐标系，圆C的极坐标方程为ρ＝4cosθ．（1）求圆C的直角坐标系方程及直线l的参数方程；（2）若直线l与圆C交于A，B两点，求的最大值和最小值．【考点】Q4：简单曲线的极坐标方程；QJ：直线的参数方程．【专题】11：计算题；35：转化思想；4R：转化法；5S：坐标系和参数方程．【分析】（1）由ρ＝4cosθ，得ρ2＝4ρcosθ，由此能求出圆C的直角坐标方程；由直线l 过点P（1，0），且倾斜角为α，能求出直线l的参数方程．（2）将代入（x﹣2）2+y2＝4，得t2﹣2t cosα﹣3＝0，由此能求出的最大值和最小值．【解答】解：（1）由ρ＝4cosθ，得ρ2＝4ρcosθ，即x2+y2＝4x，所以圆C的直角坐标方程为（x﹣2）2+y2＝4，直线l过点P（1，0），且倾斜角为α，所以直线l的参数方程为（t为参数）．（2）将代入（x﹣2）2+y2＝4，得t2﹣2t cosα﹣3＝0，△＝（2cosα）2+12＞0，设A，B两点对应的参数分别为t1，t2，则，因为cosα∈[﹣1，1]，所以的最大值为，最小值为．【点评】本题考查圆的直角坐标方程和直线的参数方程的求法，考查两条线段长的倒数和的最大值和最小值的求法，考查参数方程、极坐标方程、直角坐标方程的互化等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．23．已知函数f（x）＝|2x﹣1|+|x﹣2|．（1）求不等式f（x）≥3的解集；（2）若对任意x∈R恒成立，求m+n的最小值．【考点】R4：绝对值三角不等式；R5：绝对值不等式的解法．【专题】33：函数思想；4R：转化法；59：不等式的解法及应用．【分析】（1）通过讨论x的范围，求出不等式的解集即可；（2）求出函数的最小值，根据基本不等式的性质求出m+n的最小值即可．【解答】解：（1），∵f（x）≥3，∴或或解得{x|x≤0或x≥2}，故f（x）≥3的解集为{x|x≤0或x≥2}．（2）由函数的解析式得：，∴，∴，即，当且仅当m＝n时等号成立，∵m，n＞0，解得，当且仅当m＝n时等号成立，故m+n的最小值为．【点评】本题考查了解绝对值不等式问题，考查基本不等式的性质，是一道中档题．。

2019年安徽省淮南市高考数学一模试卷和答案(理科)

2019年安徽省淮南市高考数学一模试卷（理科）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一个符合题目要求的．1．（5分）已知P＝{x|﹣1＜x＜1}，，则P∪Q＝（）A．B．（﹣2，1）C．D．（﹣2，﹣1）2．（5分）＝（）A．B．C．﹣i D．i3．（5分）函数f（x）＝x2（e x﹣e﹣x）的大致图象为（）A．B．C．D．4．（5分）的展开式中，x4的系数是（）A．40B．60C．80D．1005．（5分）已知锐角△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，23cos2A+cos2A＝0，a ＝7，c＝6，则b＝（）A．10B．9C．8D．56．（5分）在平行四边形ABCD中，已知AB＝4，AD＝3，，，则的值是（）A．4B．6C．8D．107．（5分）如图为我国数学家赵爽（约3世纪初）在为《周髀算经》作注时验证勾股定理的示意图，现在提供5种颜色给其中5个小区域涂色，规定每个区域只涂一种颜色，相邻区域颜色不同，则A、C区域涂色不相同的概率为（）A．B．C．D．8．（5分）已知函数f（x）＝xlnx，若直线l过点（0，﹣e），且与曲线y＝f（x）相切，则直线l的斜率为（）A．﹣2B．2C．﹣e D．e9．（5分）已知奇函数f（x）满足f（x）＝f（x+4），当x∈（0，1）时，f（x）＝4x，则f（log4184）＝（）A．﹣B．C．D．10．（5分）已知点P是双曲线右支上一点，F1、F2分别是双曲线的左、右焦点，I为△PF1F2的内心，若成立，则双曲线的渐近线方程为（）A．B．8x±y＝0C．D．3x±y＝0 11．（5分）如图是函数在区间上的图象，将该图象向右平移|m|（m＜0）个单位后，所得图象关于直线对称，则m 的最大值为（）A．B．C．D．12．（5分）在平面直角坐标系中，设点p（x，y），定义[OP]＝|x|+|y|，其中O为坐标原点，对于下列结论：（1）符合[OP]＝2的点p的轨迹围成的图形面积为8；（2）设点p是直线：上任意一点，则[OP]min＝1；（3）设点p是直线：y＝kx+1（k∈R）上任意一点，则使得“[OP]最小的点有无数个”的必要条件是k＝1；（4）设点p是椭圆上任意一点，则．其中正确的结论序号为（）A．（1）（2）（3）B．（1）（3）（4）C．（2）（3）（4）D．（1）（2）（4）二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分13．（5分）若直线x﹣my+m＝0经过抛物线x2＝2py（p＞0）的焦点，则p＝．14．（5分）若x，y满足约束条件则（x+4）2+（y+1）2的最小值为．15．（5分）已知等差数列{a n}，若点在经过点（4，8）的定直线l上，则数列{a n}的前7项和S7＝．16．（5分）已知函数，若关于x的方程有m 个不同的实数解，则m的所有可能的值构成的集合为．三.解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22、23为选考题，考生根据要求作答．17．（12分）已知等差数列{a n}的前n项和为S n，且S3＝9，a1，a3，a7成等比数列．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）若a n≠a1（当n≥2时），数列{b n}满足，求数列{a n b n}的前n项和T n．18．（12分）2016年某市政府出台了“2020年创建全国文明城市（简称创文）”的具体规划，今日，作为“创文”项目之一的“市区公交站点的重新布局及建设”基本完成，市有关部门准备对项目进行调查，并根据调查结果决定是否验收，调查人员分别在市区的各公交站点随机抽取若干市民对该项目进行评分，并将结果绘制成如图所示的频率分布直方图，相关规则为：①调查对象为本市市民，被调查者各自独立评分；②采用百分制评分，[60，80）内认定为满意，80分及以上认定为非常满意；③市民对公交站点布局的满意率不低于60%即可进行验收；④用样本的频率代替概率．（1）求被调查者满意或非常满意该项目的频率；（2）若从该市的全体市民中随机抽取3人，试估计恰有2人非常满意该项目的概率；（3）已知在评分低于60分的被调查者中，老年人占，现从评分低于60分的被调查者中按年龄分层抽取9人以便了解不满意的原因，并从中选取2人担任群众督察员，记ξ为群众督查员中老年人的人数，求随机变量ξ的分布列及其数学期望Eξ．19．（12分）如图，在锐角△ABC中，D为边BC的中点，且，，O为△ABC外接圆的圆心，且．（1）求sin∠BAC的值；（2）求△ABC的面积．20．（12分）设椭圆的左、右焦点分别为F1，F2，上顶点为A，过点A与AF2垂直的直线交x轴负半轴于点Q，且，过A，Q，F2三点的圆恰好与直线相切．（1）求椭圆C的方程；（2）过右焦点F2作斜率为k的直线l与椭圆C交于M，N两点，问在x轴上是否存在点P（m，0），使得以PM，PN为邻边的平行四边形是菱形？如果存在，求出m的取值范围；如果不存在，说明理由．21．（12分）已知函数f（x）＝x2﹣ax+2lnx（其中a是实数）．（1）求f（x）的单调区间；（2）若设2（e+）＜a＜，且f（x）有两个极值点x1，x2（x1＜x2），求f（x1）﹣f（x2）取值范围．（其中e为自然对数的底数）．[选做题]22．（10分）已知直线l过点P（1，0），且倾斜角为α，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立坐标系，圆C的极坐标方程为ρ＝4cosθ．（1）求圆C的直角坐标系方程及直线l的参数方程；（2）若直线l与圆C交于A，B两点，求的最大值和最小值．[选做题]23．已知函数f（x）＝|2x﹣1|+|x﹣2|．（1）求不等式f（x）≥3的解集；（2）若对任意x∈R恒成立，求m+n的最小值．2019年安徽省淮南市高考数学一模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一个符合题目要求的．1．【解答】解：∵P＝{x|﹣1＜x＜1}，，∴P∪Q＝{x|﹣2＜x＜1}＝（﹣2，1）．故选：B．2．【解答】解：＝．故选：C．3．【解答】解：∵f（x）＝x2（e x﹣e﹣x），∴f（﹣x）＝（﹣x）2（e﹣x﹣e x）＝﹣x2（e x﹣e﹣x）＝﹣f（x），∴f（x）为奇函数，其图象关于原点对称，故排除B，D，∵y＝x2，是增函数x∈（0，+∞），f（x）＞0，y＝e x﹣e﹣x是增函数x∈（0，+∞），y＞0，f（x）＝x2（e x﹣e﹣x）在（0，+∞）是增函数，排除C．（或者）当x→+∞时，f（x）→+∞，故排除C，故选：A．4．【解答】解：二项展开式的通项为＝．令，得k＝2．因此，二项展开式中x4的系数为．故选：C．5．【解答】解：∵23cos2A+cos2A＝23cos2A+2cos2A﹣1＝0，即cos2A＝，A为锐角，∴cos A＝，又a＝7，c＝6，根据余弦定理得：a2＝b2+c2﹣2bc•cos A，即49＝b2+36﹣b，解得：b＝5或b＝﹣（舍去），则b＝5．6．【解答】解：平行四边形ABCD中，已知AB＝4，AD＝3，，又∵，∴•（）＝2，∴++＝2，即9﹣+﹣1×3＝2，∴＝8．故选：C．7．【解答】解：提供5种颜色给其中5个小区域涂色，规定每个区域只涂一种颜色，相邻区域颜色不同，根据题意，如图，设5个区域依次为A、B、C、D、E，分4步进行分析：①，对于区域A，有5种颜色可选；②，对于区域B，与A区域相邻，有4种颜色可选；③，对于区域E，与A、B区域相邻，有3种颜色可选；④，对于区域D、C，若D与B颜色相同，C区域有3种颜色可选，若D与B颜色不相同，D区域有2种颜色可选，C区域有2种颜色可选，则区域D、C有3+2×2＝7种选择，则不同的涂色方案有5×4×3×7＝420种，其中，A、C区域涂色不相同的情况有：①，对于区域A，有5种颜色可选；②，对于区域B，与A区域相邻，有4种颜色可选；③，对于区域E，与A、B、C区域相邻，有2种颜色可选；④，对于区域D、C，若D与B颜色相同，C区域有2种颜色可选，若D与B颜色不相同，D区域有1种颜色可选，C区域有1种颜色可选，则区域D、C有2+1×1＝3种选择，不同的涂色方案有5×4×2×3＝120种，∴A、C区域涂色不相同的概率为p＝＝．8．【解答】解：函数f（x）＝xlnx的导数为f′（x）＝lnx+1，设切点为（m，n），可得切线的斜率为k＝1+lnm，则1+lnm＝＝，解得m＝e，k＝1+lne＝2，故选：B．9．【解答】解：∵奇函数f（x）满足f（x）＝f（x+4），当x∈（0，1）时，f（x）＝4x，∴f（log4184）＝﹣f（log4184﹣4）＝﹣（）＝﹣＝﹣．故选：A．10．【解答】解：如图，设圆I与△PF1F2的三边F1F2、PF1、PF2分别相切于点E、F、G，连接IE、IF、IG，则IE⊥F1F2，IF⊥PF1，IG⊥PF2，它们分别是：△IF1F2，△IPF1，△IPF2的高，∴S＝|PF 1|•|IF|＝|PF1|，S＝|PF 2|•|IG|＝|PF2|，S＝|F 1F2|•|IE|＝|F1F2|，其中r是△PF1F2的内切圆的半径．∵，∴|PF1|＝|PF2|+|F1F2|，两边约去得：|PF1|＝|PF2|+|F1F2|，∴|PF1|﹣|PF2|＝|F1F2|，根据双曲线定义，得|PF1|﹣|PF2|＝2a，|F1F2|＝2c，∴3a＝c，b＝＝2a，可得双曲线的渐近线方程为y＝±2x．故选：A．11．【解答】解：由函数y＝sin（ωx+φ），（ω＞0，|φ|＜）的图象可得T＝＝﹣（﹣）＝π，可得：ω＝2．再由五点法作图可得2×（﹣）+φ＝0，可得：φ＝．故函数的f（x）的解析式为f（x）＝sin（2x+）＝sin2（x+）．故把f（x）＝sin2（x+）的图象向右平移|m|（m＜0）个单位长度，可得g（x）＝sin2（x﹣|m|+）的图象，由于：所得图象关于直线x＝对称，可得：sin2（﹣|m|+）＝±1，可得：2（﹣|m|+）＝+kπ，解得：|m|＝﹣kπ，k∈Z，由于：m＜0，可得：m＝kπ﹣，k∈Z，可得：当k＝0时，m的最大值为：﹣．故选：B．12．【解答】解：（1）由[OP]＝2，根据新定义得：|x|+|y|＝2，由方程表示的图形关于x，y轴对称和原点对称，且x+y＝2（0≤x≤2，0≤y≤2），画出图象如图所示：根据图形得到：四边形ABCD为边长是2的正方形，面积等于8，故（1）正确；（2）P（x，y）为直线：上任一点，可得y＝1﹣x，可得|x|+|y|＝|x|+|1﹣x|，当x≤0时，[OP]＝1﹣（1+）x≥1；当0＜x＜时，[OP]＝1+（1﹣）x∈（1，）；当x≥时，可得[OP]＝﹣1+（1+）x≥，综上可得[OP]的最小值为1，故（2）正确；（3）∵|x|+|y|≥|x+y|＝|（k+1）x+1|，当k＝﹣1时，|x|+|y|≥|1|＝1，满足题意；而|x|+|y|≥|x﹣y|＝|（k﹣1）x﹣1|，当k＝1时，|x|+|y|≥|﹣1|＝1，满足题意．∴“使[OP]最小的点P有无数个”的充要条件是“k＝±1”，（3）不正确；（4）∵点P是椭圆上任意一点，则可设x＝3cosθ，y＝sinθ，θ∈[0，2π），[OP]＝|x|+|y|＝3cosθ+sinθ＝sin（θ+φ），θ∈[0，]，∴[OP]max＝，（4）正确．则正确的结论有：（1）、（2）、（4）．故选：D．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分13．【解答】解：∵直线x﹣my+m＝0过点（0，1），即抛物线x2＝2py（p＞0）的焦点F为（0，1），∴，则p＝2；故答案为：2．14．【解答】解：作出不等式组对应的平面区域，z的几何意义为区域内的点到定点D（﹣4，﹣1）的距离的平方，则由图象可知，DA距离最小，此时（x+4）2+（y+1）2的最小值为5，故答案为：5．15．【解答】解：等差数列{a n}中，点在经过点（4，8）的定直线l上，∴a4＝8，∴数列{a n}的前7项和S7＝＝56．故答案为：56．16．【解答】解：函数f（x）的导数为f′（x）＝＝＝＝，由f′（x）＞0，得﹣1＜x＜3，f（x）递增；由f′（x）＜0，得x＞3或x＜﹣1，f（x）递减．即有f（x）在x＝﹣1处取得极小值f（﹣1）＝﹣2e；在x＝3处取得极大值f（3）＝，作出f（x）的图象，如图所示；关于x的方程，令n＝f（x），则n2﹣nt﹣＝0，由判别式△＝t2+＞0，方程有两个不等实根，n1n2＝﹣＜0，则原方程有一正一负实根．而﹣2e×═﹣，即当n1＝，则n2＝﹣2e，此时y＝n1，和f（x）有两个交点，y＝n2与f（x）有1个交点，此时共有3个交点，当n1＞，则﹣2e＜n2＜0，此时y＝n1，和f（x）有1个交点，y＝n2与f（x）有2个交点，此时共有3个交点，当0＜n1＜则n2＜﹣2e，此时y＝n1和f（x）有3个交点，y＝n2与f（x）有0交点，此时共有3个交点，当﹣2e＜n1＜0，则或n2＞，此时y＝n1和f（x）有2个交点，y＝n2与f（x）有1个交点，此时共有3个交点，当n1＝﹣2e，则n2＝，此时y＝n1和f（x）有1个交点，y＝n2与f（x）有2个交点，此时共有3个交点，当n1＜﹣2e，则0＜n2＜，此时y＝n1和f（x）有0个交点，y＝n2与f（x）有3个交点，此时共有3个交点，综上方程[f（x）]2+tf（x）﹣＝0（t∈R）恒有3个不同的实数解，即m＝3，即m的所有可能的值构成的集合为{3}，故答案为：{3}．三.解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22、23为选考题，考生根据要求作答．17．【解答】解：（1）∵S3＝9，∴a2＝3，∴a1+d＝3①∵a1，a3，a7成等比数列，∴a32＝a1a7，∴（a1+2d）2＝a1（a1+6d）②由①②得：或，当时，a n＝3当时，a n＝n+1；（2）∵a n≠a1（当n≥2时），∴d≠0，∴a n＝n+1，∴b n＝2n+1，∴a n b n＝（n+1）2n+1，∴T n＝2•22+3•23+4•24+…+（n+1）2n+1①2T n＝2•23+3•24+4•25+…+（n+1）2n+2②①﹣②得﹣T n＝4+22+23+24+…+2n+1﹣（n+1）2n+2＝4+﹣（n+1）2n+2＝﹣n•2n+2∴T n＝n•2n+218．【解答】（本小题满分12分）解：（1）根据题意：6（0分）或以上被认定为满意或非常满意，在频率分布直方图中，评分在[60，100]的频率为：（0.028+0.03+0.016+0.004）×10＝0.78；（2）根据频率分布直方图，被调查者非常满意的频率是，用样本的频率代替概率，从该市的全体市民中随机抽取1人，该人非常满意该项目的概率为，现从中抽取3人恰有2人非常满意该项目的概率为：；（3）∵评分低于6（0分）的被调查者中，老年人占，又从被调查者中按年龄分层抽取9人，∴这9人中，老年人有3人，非老年人6人，随机变量ξ的所有可能取值为0，1，2，，，．ξ的分布列为：ξ的数学期望Eξ＝．19．【解答】解：（1）如图所示，∠BOC＝2∠BAC，∴cos∠BOC＝cos2∠BAC＝1﹣2sin2∠BAC＝﹣，∴sin2∠BAC＝，sin∠BAC＝；（2）延长AD至E，使AE＝2AD，连接BE，CE，则四边形ABEC为平行四边形，∴CE ＝AB；在△ACE中，AE＝2AD＝3，AC＝，∠ACE＝π﹣∠BAC，cos∠ACE＝﹣cos∠BAC＝﹣＝﹣；由余弦定理得，AE2＝AC2+CE2﹣2AC•CE•cos∠ACE，即（3）2＝（）2+CE2﹣2×•CE×（﹣），解得CE＝3，∴AB＝CE＝3，∴S△ABC＝AB•AC•sin∠BAC＝×3××＝．20．【解答】解：（1）设椭圆C的焦距为2c（c＞0），则点F1的坐标为（﹣c，0），点F2的坐标为（c，0），设点Q的坐标为（x0，0），且x0＜0，如下图所示，，，∵，则x0+c+2c＝0，所以，x0＝﹣3c，则点Q的坐标为（﹣3c，0），∵直线AF2与直线AQ垂直，且点A（b，0），所以，，，由，得b2＝3c2，则，．△AQF2为直角三角形，且F2Q为斜边，线段F2Q的中点为F1（﹣c，0），△AQF2的外接圆半径为2c．由题意可知，点F1到直线的距离为，所以，c＝1，a＝2c ＝2，，因此，椭圆C的方程为；（2）由题意知，直线l的斜率k≠0，并设，则直线l的方程为x＝ty+1，设点M（x1，y1）、N（x2，y2）．将直线l的方程与椭圆C的方程联立，消去x得（3t2+4）y2+6ty﹣9＝0，由韦达定理得，．∴，．所以，线段MN的中点为点．由于以PM，PN为邻边的平行四边形是菱形，则PE⊥MN，则k PE•k MN＝﹣1，所以，k PE ＝﹣t．由两点连线的斜率公式可得，得．由于k≠0，则，所以，t2＞0，所以，．因此，在x轴上存在点P（m，0），使得以PM，PN为邻边的平行四边形是菱形，且实数m的取值范围是．21．【解答】解：（1）∵f（x）＝x2﹣ax+2lnx（其中a是实数），∴f（x）的定义域为（0，+∞），＝，…．（1分）令g（x）＝2x2﹣ax+2，△＝a2﹣16，对称轴x＝，g（0）＝2，当△＝a2﹣16≤0，即﹣4≤a≤4时，f′（x）≥0，∴函数f（x）的单调递增区间为（0，+∞），无单调递减区间．…（2分）当△＝a2﹣16＞0，即a＜﹣4或a＞4时，①若a＜﹣4，则f′（x）＞0恒成立，∴f（x）的单调递增区间为（0，+∞），无减区间．…（3分）②若a＞4，令f′（x）＝0，得，，当x∈（0，x1）∪（x2，+∞）时，f′（x）＞0，当x∈（x1，x2）时，f′（x）＜0．∴f（x）的单调递增区间为（0，x1），（x2，+∞），单调递减区间为（x1，x2）．…（4分）综上所述：当a≤4时，f（x）的单调递增区间为（0，+∞），无单调递减区间．当a＞4时，f（x）的单调递增区间为（0，x1）和（x2，+∞），单调递减区间为（x1，x2）．…（5分）（2）由（1）知，若f（x）有两个极值点，则a＞4，且x1+x2＝＞0，x1x2＝1，∴0＜x1＜1＜x2，又∵，a＝2（），，e+＜＜3+，又0＜x1＜1，解得．…（7分）∴f（x1）﹣f（x2）＝（）﹣（）＝（）﹣a（x1﹣x2）+2（lnx1﹣lnx2）＝（x1﹣x2）﹣a（x1﹣x2）+2ln＝﹣（）•（x1+）+4lnx1＝，…（9分）令h（x）＝，（），则＜0恒成立，∴h（x）在（）单调递减，∴h（）＜h（x）＜h（），即﹣4＜f（x1）﹣f（x2）＜﹣4ln3，故f（x1）﹣f（x2）的取值范围为（，）．…（12分）[选做题]22．【解答】解：（1）由ρ＝4cosθ，得ρ2＝4ρcosθ，即x2+y2＝4x，所以圆C的直角坐标方程为（x﹣2）2+y2＝4，直线l过点P（1，0），且倾斜角为α，所以直线l的参数方程为（t为参数）．（2）将代入（x﹣2）2+y2＝4，得t2﹣2t cosα﹣3＝0，△＝（2cosα）2+12＞0，设A，B两点对应的参数分别为t1，t2，则，因为cosα∈[﹣1，1]，所以的最大值为，最小值为．[选做题]23．【解答】解：（1），∵f（x）≥3，∴或或解得{x|x≤0或x≥2}，故f（x）≥3的解集为{x|x≤0或x≥2}．（2）由函数的解析式得：，∴，∴，即，当且仅当m＝n时等号成立，∵m，n＞0，解得，当且仅当m＝n时等号成立，故m+n的最小值为．。

安徽省2019届高考数学模拟试卷一(文科)

安徽省2019届高考数学模拟试卷一（文科）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．若集合P={x∈R|x＞0}，Q={x∈Z|（x+1）（x﹣4）＜0}，则P∩Q=（）A．（0，4）B．（4，+∞）C．{1，2，3}D．{1，2，3，4} 2．设i为虚数单位，复数的虚部是（）A．B．C．1D．﹣13．执行如图所示的程序框图，则输出的n的值为（）A．3B．4C．5D．64．若将函数y=sin2x的图象向左平移个单位，则平移后的图象（）A．关于点对称B．关于直线对称C．关于点对称D．关于直线对称5．若实数x，y满足约束条件，则x﹣2y的最大值为（）A．﹣9B．﹣3C．﹣1D．36．已知双曲线的两条渐近线分别与抛物线y2=2px（p＞0）的准线交于A，B两点，O为坐标原点，若△OAB的面积为1，则p的值为（）A．1B．C．D．47．祖暅原理：“幂势既同，则积不容异”．它是中国古代一个涉及几何体体积的问题，意思是两个同高的几何体，如在等高处的截面积恒相等，则体积相等．设A、B为两个同高的几何体，p：A、B的体积不相等，q：A、B在等高处的截面积不恒相等，根据祖暅原理可知，p是q的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件8．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，b cos A+a cos B=2，则△ABC的外接圆的面积为（）A．4πB．8πC．9πD．36π9．设圆x2+y2﹣2x﹣2y﹣2=0的圆心为C，直线l过（0，3）与圆C交于A，B两点，若，则直线l的方程为（）A．3x+4y﹣12=0或4x﹣3y+9=0B．3x+4y﹣12=0或x=0C．4x﹣3y+9=0或x=0D．3x﹣4y+12=0或4x+3y+9=010．一个几何体的三视图如图所示（其中正视图的弧线为四分之一圆周），则该几何体的表面积为（）A．72+6πB．72+4πC．48+6πD．48+4π11．从区间[﹣2，2]中随机选取一个实数a，则函数f（x）=4x﹣a•2x+1+1有零点的概率是（）A．B．C．D．12．设函数f（x）=，（e是自然对数的底数），若f（2）是函数f（x）的最小值，则a的取值范围是（）A．[﹣1，6]B．[1，4]C．[2，4]D．[2，6]二、填空题：本题共4小题，每小题5分．13．某同学一个学期内各次数学测验成绩的茎叶图如图所示，则该组数据的中位数是．14．若非零向量，b满足||=1，||=2，且（+）⊥（3﹣），则与的夹角余弦值为．15．已知sin2a=2﹣2cos2a，则tan a=．16．函数f（x）=﹣x3+3x2﹣ax﹣2a，若存在唯一的正整数x0，使得f（x0）＞0，则a的取值范围是．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．已知等差数列{a n}的前n项和为S n，且满足S4=24，S7=63．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）若b n=2n a+a n，求数列{b n}的前n项和T n．18．一企业从某条生产线上随机抽取100件产品，测量这些产品的某项技术指标值x，得到如下的频率分布表：x[11，13）[13，15）[15，17）[17，19）[19，21）[21，23）频数2123438104（Ⅰ）作出样本的频率分布直方图，并估计该技术指标值x的平均数和众数；（Ⅱ）若x＜13或x≥21，则该产品不合格．现从不合格的产品中随机抽取2件，求抽取的2件产品中技术指标值小于13的产品恰有一件的概率．19．已知四棱锥P﹣ABCD的底面ABCD为菱形，且P A⊥底面ABCD，∠ABC=60°，点E、F分别为BC、PD的中点，P A=AB=2．（Ⅰ）证明：AE⊥平面P AD；（Ⅱ）求多面体P AECF的体积．20．已知椭圆经过点，离心率为．（Ⅰ）求椭圆E的标准方程；（Ⅱ）若A1，A2是椭圆E的左右顶点，过点A2作直线l与x轴垂直，点P是椭圆E上的任意一点（不同于椭圆E的四个顶点），联结P A；交直线l与点B，点Q为线段A1B的中点，求证：直线PQ与椭圆E只有一个公共点．21．已知函数．（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）若∀x∈[1，+∞]，不等式f（x）＞﹣1恒成立，求实数a的取值范围．请考生在22、23中任选一题作答．注意：只能做所选定的题目，如果多做，则按所做第一个题目记分.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．已知直线l的参数方程为（t为参数）以坐标原点O为极点，以x轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C的方程为．（Ⅰ）求曲线C的直角坐标方程；（Ⅱ）写出直线l与曲线C交点的一个极坐标．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）=|x﹣m|﹣|x+3m|（m＞0）．（Ⅰ）当m=1时，求不等式f（x）≥1的解集；（Ⅱ）对于任意实数x，t，不等式f（x）＜|2+t|+|t﹣1|恒成立，求m的取值范围．参考答案一、选择题1．C 2．B 3．C 4．D 5．C 6．B 7．A 8．C 9．B 10．A 11．A 12．D二、填空题13．83 14．15．0或16．三、解答题17．解：（Ⅰ）∵{a n}为等差数列，∴．（Ⅱ）∵=2×4n+（2n+1），∴+（3+5+…+2n+1）==．18．解：（Ⅰ）由频率分布表作出频率分布直方图为：估计平均值：+16×0.34+18×0.38+20×0.10+22×0.04=17.08．估计众数：18．（Ⅱ）∵x＜13或x≥21，则该产品不合格．∴不合格产品共有2+4=6件，其中技术指标值小于13的产品有2件，现从不合格的产品中随机抽取2件，基本事件总数n==15，抽取的2件产品中技术指标值小于13的产品恰有一件包含的基本事件个数m=C C=8，∴抽取的2件产品中技术指标值小于13的产品恰有一件的概率．19．（Ⅰ）证明：由P A⊥底面ABCD，得P A⊥AE．底面ABCD为菱形，∠ABC=60°，得△ABC为等边三角形，又∵E为BC的中点，得AE⊥BC，∴AE⊥AD．∵P A∩AD=A，∴AE⊥平面P AD；（Ⅱ）解：令多面体P AECF的体积为V，则V=V P﹣AEC+V C﹣P AF．∵底面ABCD为菱形，且P A⊥底面ABCD，∠ABC=60°，点E、F分别为BC、PD的中点，P A=AB=2，∴=；××．∴多面体P AECF的体积为．20．解：（Ⅰ）由题意可得：，解得：a=，b=，c=1，∴椭圆E的标准方程为．（Ⅱ）证明：设P（x0，y0）（x0≠0且，直线P A1的方程为：，令得，则线段A2B的中点，则直线PQ的斜率，①∵P是椭圆E上的点，∴，代入①式，得，∴直线PQ方程为，联立，又∵，整理得，∵△=0∴直线PQ与椭圆E相切，即直线PQ与椭圆E只有一个公共点．21．解（Ⅰ），当时，x2﹣2x﹣2a≥0，故f'（x）≥0，∴函数f（x）在（﹣∞，+∞）上单调递增，∴当时，函数f（x）的递增区间为（﹣∞，+∞），无减区间．当时，令x2﹣2x﹣2a=0，，列表：xf'（x）+﹣+f（x）递增递减递增由表可知，当时，函数f（x）的递增区间为和，递减区间为．（Ⅱ）∵⇔2a＞x2﹣e x，∴由条件，2a＞x2﹣e x对∀x≥1成立．令g（x）=x2﹣e x，h（x）=g'（x）=2x﹣e x，∴h'（x）=2﹣e x当x∈[1，+∞）时，h'（x）=2﹣e x≤2﹣e＜0，∴h（x）=g'（x）=2x﹣e x在[1，+∞）上单调递减，∴h（x）=2x﹣e x≤2﹣e＜0，即g'（x）＜0∴g（x）=x2﹣e x在[1，+∞）上单调递减，∴g（x）=x2﹣e x≤g（1）=1﹣e，故f（x）＞﹣1在[1，+∞）上恒成立，只需2a＞g（x）max=1﹣e，∴，即实数a的取值范围是．22．解：（Ⅰ）∵，∴，即；（Ⅱ）将，代入得，，即t=0，从而，交点坐标为，所以，交点的一个极坐标为．23．解：（Ⅰ），当m=1时，由或x≤﹣3，得到，∴不等式f（x）≥1的解集为；（Ⅱ）不等式f（x）＜|2+t|+|t﹣1|对任意的实数t，x恒成立，等价于对任意的实数xf（x）＜[|2+t|+|t﹣1|]min恒成立，即[f（x）]max＜[|2+t|+|t﹣1|]min，∵f（x）=|x﹣m|﹣|x+3m|≤|（x﹣m）﹣（x+3m）|=4m，|2+t|+|t﹣1|≥|（2+t）﹣（t﹣1）|=3，∴4m＜3又m＞0，所以．。

2019年高考数学(理科)模拟试卷(一)

2019年高考数学(理科)模拟试卷(一) 2019年高考数学(理科)模拟试卷(一)第Ⅰ卷(选择题满分60分)一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知集合A={x|y=lg(3-2x)}，B={x|x²≤4}，则A∪B=（）A。

{x|-2≤x<2}B。

{x|x<2}C。

{x|-2<x<2}D。

{x|x≤2}2.若复数(1-i)(a+i)在复平面内对应的点在第二象限，则实数a的取值范围是（）A。

(-∞,1)B。

(-∞,-1)C。

(1,+∞)D。

(-1,+∞)3.我国古代数学著作《九章算术》有如下问题：“今有金箠，长五尺，斩本一尺，重四斤，斩末一尺，重二斤，问次一尺各重几何？”根据已知条件，若金箠由粗到细是均匀变化的，问第二尺与第四尺的重量之和为（）A。

6斤B。

9斤C。

9.5斤D。

12斤4.某三棱锥的三视图如图M1-1，则该三棱锥的体积为（）A。

60B。

30C。

20D。

105.设x∈R，[x]表示不超过x的最大整数。

若存在实数t，使得[t]=1，[t²]=2，…，[tn]=n同时成立，则正整数n的最大值是（）A。

3B。

4C。

5D。

66.执行两次如图M1-2所示的程序框图，若第一次输入的x值为7，第二次输入的x值为9，则第一次、第二次输出的a 值分别为（）A。

0,0B。

1,1C。

0,1D。

1,07.某市重点中学奥数培训班共有14人，分为两个小组，在一次阶段考试中两个小组成绩的茎叶图如图M1-3，其中甲组学生成绩的平均数是88，乙组学生成绩的中位数是89，则m+n的值是（）A。

10B。

11C。

12D。

138.若x，y满足约束条件x+y-3≥0，x-2y≤0，则x≥（）A。

[0,6]B。

[0,4]C。

[6,+∞)D。

[4,+∞)13.首先求出向量a和b的夹角，由向量点乘公式可得cosθ = (a·b)/(|a||b|) = 9/√20，其中θ为夹角。

2019年高考数学模拟考试题含答案解析

FDCBA 2019年高考数学模拟试题（理科）注意事项：1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。

答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

写在本试卷上无效。

3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。

写在本试卷上无效。

4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并收回。

一．选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的1．已知集合}032{2>--=x x x A ，}4,3,2{=B ，则B A C R ⋂)(=A ．}3,2{B ．}4,3,2{C ．}2{D ．φ2．已知i 是虚数单位，iz +=31，则z z ⋅= A ．5B ．10C ．101D ．51 3．执行如图所示的程序框图，若输入的点为(1,1)P ，则输出的n 值为A ．3B ．4C ．5D ．6（第3题）（第4题）4．如图，ABCD 是边长为8的正方形，若13DE EC =，且F 为BC 的中点，则EA EF ⋅=A ．10B ．12C ．16D ．205．若实数y x ,满足⎪⎩⎪⎨⎧≥≤-≤+012y x y y x ，则yx z 82⋅=的最大值是A ．4B ．8C ．16D ．326.一个棱锥的三视图如右图，则该棱锥的表面积为 A ．3228516++ B ．32532+C ．32216+D ．32216516++7. 5张卡片上分别写有0，1，2，3，4，若从这5张卡片中随机取出2张，则取出的2张卡片上的数字之和大于5的概率是 A ．101 B ．51 C ．103 D ．548．设n S 是数列}{n a 的前n 项和，且11-=a ，11++⋅=n n n S S a ，则5a = A ．301 B ．031- C ．021 D ．201- 9. 函数()1ln1xf x x-=+的大致图像为10. 底面为矩形的四棱锥ABCD P -的体积为8，若⊥PA 平面ABCD ,且3=PA ，则四棱锥ABCD P -的外接球体积最小值是A ．π625 B ．π125 C ．π6251 D ．π25 11. 已知抛物线()220y px p =>,过焦点且倾斜角为30°的直线交抛物线于A,B 两点，以AB为直径的圆与抛物线的准线相切，切点的纵坐标是3，则抛物线的准线方程为A ．1x =-B ．2x =-C ．3x =- D ．x =12. 已知函数x x x f ln )(2-=（22≥x ），函数21)(-=x x g ，直线t y =分别与两函数交于B A ,两点，则AB 的最小值为A ．21B ．1C ．23D ．2二．填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13. 设样本数据1x ，2x ，...，2018x 的方差是5，若13+=i i x y （2018,...,2,1=i ），则1y ，2y ，...，2018y 的方差是________14. 已知函数x x x f ωωcos 3sin )(-=（0>ω），若3=ω，则方程1)(-=x f 在),0(π的实数根个数是_____15. 我国的《洛书》中记载着世界上最古老的一个幻方：将1，2，...，9填入33⨯ 的方格内，使三行、三列、两对角线的三个数之和都等于15 (如图）.一般地，将连续的正整数1，2，3，…， 2n 填入n n ⨯的方格内，使得每行、每列、每条对角线上的数的和相等，这个正方形就叫做n 阶幻方.记n 阶幻方的一条对角线上数的和为n N (如：在3阶幻方中，315N =)，则5N =_______16.已知ABC ∆中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且1c =，π3C =．若sin sin()sin 2C A B B +-=，则ABC ∆的面积为三、解答题：本大题共6小题，其中17-21小题为必考题，每小题12分，第22—23题为选考题，考生根据要求做答，每题10分． 17.(本小题满分12分)设数列}{n a 是公差为d 的等差数列. (Ⅰ) 推导数列}{n a 的通项公式；(Ⅱ) 设0≠d ，证明数列}1{+n a 不是等比数列.18．(本小题满分12分)某中学为了解全校学生的上网情况，在全校随机抽取了40名学生(其中男、女生各占一半)进行问卷调查，并进行了统计，按男、女分为两组，再将每组学生的月上网次数分为5组：[0，5)，[5，10)，[10，15)，[15，20)，[20，25]，得到如图所示的频率分布直方图．(Ⅰ)写出女生组频率分布直方图中a 的值；(Ⅱ)在抽取的40名学生中从月上网次数不少于20的学生中随机抽取2人，并用X 表示随机抽取的2人中男生的人数，求X 的分布列和数学期望．19.(本小题满分12分)在直三棱柱111C B A ABC -中，21===AA AC AB ，CA BA ⊥。

安徽省淮南市2019届高三理数第一次模拟考试试卷

安徽省淮南市2019届高三理数第一次模拟考试试卷一、单选题 (共12题；共24分)1．（2分）已知P={x|−1<x<1}，Q={x|−2<x<1}，则P∪Q=()2A．(−1,1)B．(−2,1)C．(12,1)D．(−2,−1)2)2．（2分）1+2i−2+i=(A．−1+4i B．−45+i C．−i D．i53．（2分）函数f(x)=x2(e x−e−x)的大致图象为()A．B．C．D．4．（2分）(2x+√x)5的展开式中，x4的系数是()A．40B．60C．80D．1005．（2分）已知锐角△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,23cos2A+cos 2A=0,a=7,c=6,则b等于()A．10B．9C．8D．56．（2分）在平行四边形ABCD中，已知AB=4，AD=3，CP→=3PD→，AP→·BP→=2，则AB→⋅AD→的值是（）A．4B．6C．8D．107．（2分）如图为我国数学家赵爽(约3世纪初)在为《周髀算经》作注时验证勾股定理的示意图，现在提供5种颜色给其中5个小区域涂色，规定每个区域只涂一种颜色，相邻区域颜色不同，则A,C区域涂色不相同的概率为()A．17B．27C．37D．478．（2分）已知函数f(x)=xlnx，若直线l过点(0，−e)，且与曲线y=f(x)相切，则直线l的斜率为()A．−2B．2C．−e D．e9．（2分）已知奇函数f(x)满足f(x)=f(x+4)，当x∈(0,1)时，f(x)=4x，则f(log4184)=()A．−3223B．2332C．34D．−3810．（2分）已知点P是双曲线x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)右支上一点，F1、F2分别是双曲线的左、右焦点，l为△PF1F2的内心，若S△IPF1=S△IPF2+13S△IF1F2成立，则双曲线的渐近线方程为()A．2√2x±y=0B．8x±y=0C．√2x±y=0D．3x±y=011．（2分）如图是函数y=sin(ωx+φ)(ω>0，0<φ<π2)在区间[−π6，5π6]上的图象，将该图象向右平移|m|(m<0)个单位后，所得图象关于直线x=π4对称，则m的最大值为()A．−π12B．−π6C．−π4D．−π312．（2分）在平面直角坐标系中，设点P(x,y)，定义[OP]=|x|+|y|，其中O为坐标原点，对于下列结论：(1)符合[OP]=2的点P的轨迹围成的图形面积为8；(2)设点P是直线：√3x+2y−2=0上任意一点，则[OP]min=1；(3)设点P是直线：y=kx+1(k∈R)上任意一点，则使得“ [OP]最小的点有无数个”的充要条件是k=1；(4)设点P是椭圆x 29+y2=1上任意一点，则[OP]max=√10．其中正确的结论序号为 ( ) A ．(1)(2)(3)B ．(1)(3)(4)C ．(2)(3)(4)D ．(1)(2)(4)二、填空题 (共4题；共4分)13．（1分）若直线 x −my +m =0 经过抛物线 x 2=2py(p >0) 的焦点，则 p = ．14．（1分）若 x,y 满足约束条件 {x −y +2≥0y +2≥0x +y +2≥0，则 (x +4)2+(y +1)2 的最小值为．15．（1分）已知等差数列 {a n } ，若点 (n,a n )(n ∈N ∗) 在经过点 (4,8) 的定直线 l 上，则数列{a n } 的前7项和 S 7= ．16．（1分）已知函数 f(x)=x 2−3e x，若关于 x的方程 [f(x)]2+tf(x)−12e 2=0(t ∈R) 有 m 个不同的实数解，则 m 的所有可能的值构成的集合为．三、解答题 (共7题；共75分)17．（10分）已知等差数列 {a n } 的前 n 项和为 S n ，且 S 3=9 ， a 1 ， a 3 ， a 7 成等比数列．（1）（5分）求数列 {a n } 的通项公式；（2）（5分）若 a n ≠a 1( 当 n ≥2 时 ) ，数列 {b n } 满足 b n =2a n ，求数列 {a n b n } 的前 n 项和 T n ．18．（15分） 2016年某市政府出台了“2020年创建全国文明城市 ( 简称创文 ) ”的具体规划，今日，作为“创文”项目之一的“市区公交站点的重新布局及建设”基本完成，市有关部门准备对项目进行调查，并根据调查结果决定是否验收，调查人员分别在市区的各公交站点随机抽取若干市民对该项目进行评分，并将结果绘制成如图所示的频率分布直方图，相关规则为： ① 调查对象为本市市民，被调查者各自独立评分； ② 采用百分制评分， [60,80) 内认定为满意，80分及以上认定为非常满意； ③ 市民对公交站点布局的满意率不低于 60% 即可进行验收； ④ 用样本的频率代替概率．（1）（5分）求被调查者满意或非常满意该项目的频率；（2）（5分）若从该市的全体市民中随机抽取3人，试估计恰有2人非常满意该项目的概率；（3）（5分）已知在评分低于60分的被调查者中，老年人占 13 ，现从评分低于60分的被调查者中按年龄分层抽取9人以便了解不满意的原因，并从中选取2人担任群众督察员，记 ξ 为群众督查员中老年人的人数，求随机变量 ξ 的分布列及其数学期望 Eξ ．19．（10分）如图，在锐角 △ABC 中， D 为边 BC 的中点，且 AC =√3 ， AD =3√22， O 为△ABC 外接圆的圆心，且 cos∠BOC =−13．（1）（5分）求 sin∠BAC 的值；（2）（5分）求 △ABC 的面积．20．（10分）设椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0) 的左、右焦点分别为 F 1 ， F 2 ，上顶点为 A ，过点 A 与 AF 2 垂直的直线交 x 轴负半轴于点 Q ，且 F 1Q ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +F 1F 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0⃗ ，过 A,Q ， F 2 三点的圆恰好与直线 l ：x −√3y −3=0 相切．（1）（5分）求椭圆 C 的方程；（2）（5分）过右焦点 F 2 作斜率为 k 的直线 l 与椭圆 C 交于 M,N 两点，问在 x 轴上是否存在点 P(m,0) ，使得以 PM,PN 为邻边的平行四边形是菱形？如果存在，求出 m 的取值范围；如果不存在，说明理由．21．（10分）已知函数 f(x)=x 2−ax +2lnx (其中 a 是实数)（1）（5分）求 f(x) 的单调区间；（2）（5分）若设 2(e +1e )<a <203,且 f(x) 有两个极值点 x 1 , x 2(x 1<x 2) ,求 f(x 1)−f(x 2) 取值范围.(其中 e 为自然对数的底数)22．（10分）已知直线 l 过点 P(1,0) ，且倾斜角为 α ，以坐标原点为极点， x 轴的正半轴为极轴建立坐标系，圆 C 的极坐标方程为 ρ=4cosθ ．（1）（5分）求圆 C 的直角坐标系方程及直线 l 的参数方程；（2）（5分）若直线 l 与圆 C 交于 A,B 两点，求 1|PA|+1|PB| 的最大值和最小值． 23．（10分）已知函数 f(x)=|2x −1|+|x −2| .（1）（5分）求不等式 f(x)≥3 的解集；1 n (m,n>0)对任意x∈R恒成立，求m+n的最小值.（2）（5分）若f(x)≥1m+答案解析部分1．【答案】B【解析】【解答】∵P={x|−1<x<1}，Q={x|−2<x<12 }，∴P∪Q={x|−2<x<1}=(−2,1)，故答案为：B．【分析】根据题目所给的集合易得两集合的并集. 2．【答案】C【解析】【解答】1+2i−2+i=(1+2i)(−2−i)(−2+i)(−2−i)=−5i5=−i，故答案为：C．【分析】利用复数的乘除运算可得所求结果.3．【答案】A【解析】【解答】∵f(x)=x2(e x−e−x)，∴f(−x)=(−x)2(e−x−e x)=−x2(e x−e−x)=−f(x)，∴f(x)为奇函数，其图象关于原点对称，故排除B,D，∵y=x2在(0,+∞)上是增函数且y>0，y=e x−e−x在(0,+∞)上是增函数且y>0，所以f(x)=x2(e x−e−x)在(0,+∞)是增函数，排除C，故答案为：A．【分析】由函数的解析式可判断函数的奇偶性，结合特殊点的函数值即可得到增正确选项. 4．【答案】C【解析】【解答】(2x+√x)5二项展开式的通项为Tk+1=C5k⋅(2x)5−k⋅(√x)k=C5k⋅25−k⋅x5−k2．令5−k2=4，得k=2．因此，二项展开式中x4的系数为C52⋅23=80，故答案为：C．【分析】利用二项展开式的通项公式可得展开式中x4的系数. 5．【答案】D【解析】【解答】由题意知,23cos2A+2cos2A-1=0,即cos 2A=125, 又因△ABC 为锐角三角形,所以cosA= 15.△ABC 中由余弦定理知72=b 2+62-2b×6× 15,即b 2-125b-13=0, 即b=5或b=- 125(舍去), 故答案为：D.【分析】由题意，△ABC 中由余弦定理可求得b 的值.6．【答案】C【解析】【解答】平行四边形 ABCD 中，已知 AB =4 ， AD =3 ， CP ⃗⃗⃗⃗⃗ =3PD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ， AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ， AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =CD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 所以 CP ⃗⃗⃗⃗⃗ =3PD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =−34⋅AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ， DP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =14AB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，又 ∵AP ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BP ⃗⃗⃗⃗⃗ =2 ，∴(AD ⃗⃗⃗⃗⃗ +DP ⃗⃗⃗⃗⃗ )⋅(BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +CP⃗⃗⃗⃗⃗ )=2 ， ∴AD ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AD ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅CP ⃗⃗⃗⃗⃗ +DP ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +DP ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅CP⃗⃗⃗⃗⃗ =2 ，即 9−34AD ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +14AD ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AB ⃗⃗⃗⃗⃗ −1×3=2 ，∴AD ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =8 , 故答案为：C ．【分析】利用平面向量基本道理及向量的数量积可得所求.7．【答案】B【解析】【解答】提供5种颜色给其中5个小区域涂色，规定每个区域只涂一种颜色，相邻区域颜色不同，根据题意，如图，设5个区域依次为 A,B,C,D,E ,分4步进行分析：① ，对于区域 A ，有5种颜色可选；② ，对于区域 B 与 A 区域相邻，有4种颜色可选； ③ ，对于区域 E ，与 A,B 区域相邻，有3种颜色可选；④，对于区域D,C，若D与B颜色相同，C区域有3种颜色可选，若D与B颜色不相同，D区域有2种颜色可选，C区域有2种颜色可选，则区域D,C有3+2×2=7种选择，则不同的涂色方案有5×4×3×7=420种，其中，A,C区域涂色不相同的情况有：①，对于区域A，有5种颜色可选；②，对于区域B与A区域相邻，有4种颜色可选；③，对于区域E与A,B,C区域相邻，有2种颜色可选；④，对于区域D,C，若D与B颜色相同，C区域有2种颜色可选，若D与B颜色不相同，D区域有1种颜色可选，C区域有1种颜色可选，则区域D,C有2+1×1=3种选择，不同的涂色方案有5×4×2×3=120种，∴A,C区域涂色不相同的概率为p=120420=27,故答案为：B．【分析】根据题意，设5个区域依次为A,B,C,D,E,分4步进行分析，可得不同的涂色方案，进而可求A,C区域涂色不同的涂色方案，可得A,C区域涂色不相同的概率.8．【答案】B【解析】【解答】函数f(x)=xlnx的导数为f′(x)=lnx+1，设切点为(m，n)，则n=mlnm，可得切线的斜率为k=1+lnm，所以1+lnm=n+em =mlnm+em，解得m=e，k=1+lne=2，故答案为：B．【分析】对函数f(x)=xlnx求导数，可得切线的斜率. 9．【答案】A【解析】【解答】∵奇函数f(x)满足f(x)=f(x+4)，∴f(log4184)=f(log4184−4)=f(log423 32)因为−1<log42332<0，所以0<−log42332=log43223<1所以f(log42332)=f(−log43223)=−f(log43223)又因为当x∈(0,1)时，f(x)=4x，所以−f(log43223)=−4log43223=−32 23,故答案为：A．【分析】由题意奇函数f(x)满足f(x)=f(x+4)，结合当x∈(0,1)时，f(x)=4x，即可求得所求的值10．【答案】A【解析】【解答】如图，设圆I与△PF1F2的三边F1F2、PF1、PF2分别相切于点E,F,G，连接IE,IF,IG，则IE⊥F1F2，IF⊥PF1，IG⊥PF2，它们分别是△IF1F2，△IPF1，△IPF2的高，∴S△IPF1=12|PF1|⋅|IF|=r2|PF1|，S△IPF2=12|PF2|⋅|IG|=r2|PF2|，S△IF1F2=12|F1F2|⋅|IE|=r2|F1F2|，其中r是△PF1F2的内切圆的半径．∵S△IPF1=S△IPF2+13S△IF1F2，∴r2|PF1|=r2|PF2|+r6|F1F2|，两边约去 r 2 得： |PF 1|=|PF 2|+13|F 1F 2| ，∴|PF 1|−|PF 2|=13|F 1F 2| ，根据双曲线定义，得 |PF 1|−|PF 2|=2a ， |F 1F 2|=2c ，∴3a =c ， b =√c 2−a 2=2√2a ， ba=2√2 ，可得双曲线的渐近线方程为 y =±2√2x , 即为 2√2x ±y =0 ，故答案为：A ．【分析】由题意， IE ⊥F 1F 2 ， IF ⊥PF 1 ， IG ⊥PF 2，表示各三角形面积，利用三角形内切圆可得 |PF 1|=|PF 2|+13|F 1F 2| ，根据双曲线定义可得双曲线的渐近线方程.11．【答案】B【解析】【解答】由函数 y =sin(ωx +φ) ， (ω>0，|φ|<π2) 的图象可得 T =2πω=5π6−(−π6)=π ，可得 ω=2 ．再由五点法作图可得 2×(−π6)+φ=0 ，可得 φ=π3 ．故函数的 f(x) 的解析式为 f(x)=sin(2x +π3)=sin2(x +π6). 故把 f(x)=sin2(x +π6) 的图象向右平移 |m|(m <0) 个单位长度，可得 g(x)=sin2(x −|m|+π6) 的图象，由于所得图象关于直线 x =π4 对称，可得 sin2(π4−|m|+π6)=±1 ，可得 2(π4−|m|+π6)=π2+kπ ，解得 |m|=π6−12kπ ， k ∈Z ，由于 m <0 ，可得 m =12kπ−π6<0 或 m =π6−12kπ<0 ， k ∈Z ，可得当 k =0 时， m 的最大值为 −π6 ，故答案为：B ．【分析】由函数图象可得函数的f(x)的解析式，即可得出m的最大值.12．【答案】D【解析】【解答】(1)由[OP]=2，根据新定义得：|x|+|y|=2，由方程表示的图形关于x,y 轴对称和原点对称，且x+y=2(0≤x≤2,0≤y≤2)，画出图象如图所示：四边形ABCD为边长是2√2的正方形，面积等于8，故(1)正确；(2)P(x,y)为直线√3x+2y−2=0上任一点，可得y=1−√32x，可得|x|+|y|=|x|+|1−√32x|，当x≤0时，[OP]=1−(1+√32)x≥1；当0<x<2√3时，[OP]=1+(1−√32)x∈23)；当x≥23时，可得[OP]=−1+(1+√32)x≥23，综上可得[OP]的最小值为1，故(2)正确；(3)∵|x|+|y|≥|x+y|=|(k+1)x+1|，当k=−1时，|x|+|y|≥|1|=1，满足题意；而|x|+|y|≥|x−y|=|(1−k)x−1|，当k=1时，|x|+|y|≥|−1|=1，满足题意，即k=±1都能“使[OP]最小的点P有无数个”，(3)不正确；(4)∵点P是椭圆x 29+y2=1上任意一点，因为求最大值，所以可设x=3cosθ，y=sinθ，θ∈[0,π2]，[OP]=|x|+|y|=3cosθ+sinθ=√10sin(θ+φ)，θ∈[0,π2]，∴[OP]max=√10，(4)正确．则正确的结论有：(1)、(2)、(4)，故答案为：D．【分析】由题意，利用相关的知识点分别判断各命题是否正确，可得结果. 13．【答案】2【解析】【解答】∵直线x−my+m=0可化为x−m（y−1）=0所以直线x−my+m=0过点(0,1)，即抛物线 x 2=2py(p >0) 的焦点 F 为 (0,1) ，∴p2=1 ，则 p =2 ,故答案为2．【分析】直线 x −my +m =0 过点 (0,1) ，即为抛物线 x 2=2py(p >0) 的焦点，可得p 的值.14．【答案】5【解析】【解答】作出约束条件 {x −y +2≥0y +2≥0x +y +2≥0对应的平面区域，如图(x +4)2+(y +1)2 表示区域内的点到定点 D(−4,−1) 的距离的平方，由 {x −y +2=0x +y +2=0 ，可得 A(−2,0) 则由图象可知， DA 距离最小，此时 (x +4)2+(y +1)2 的最小值为 (−2+4)2+(0+1)2=5 ，故答案为5．【分析】作出约束条件对应的平面区域，由(x +4)2+(y +1)2 表示区域内的点到定点 D(−4,−1) 的距离的平方，利用图像可得结果.15．【答案】56【解析】【解答】因为等差数列 {a n } 中，点 (n,a n )(n ∈N ∗) 在经过点 (4,8) 的定直线 l 上，∴a 4=8 ，∴ 数列 {a n } 的前7项和 S 7=72(a 1+a 7)=7a 4=56 ，故答案为56．【分析】由点(n,a n)(n∈N∗)在经过点(4,8)的定直线l上，可得a4=8,即可得出数列{a n}的前7项和.16．【答案】{3}【解析】【解答】函数f(x)的导数为f′(x)=2xe x−(x2−3)e x(e x)2=2x−x2+3e x=−(x2−2x−3)e x=−(x+1)(x−3)e x，由f′(x)>0，得−1<x<3，f(x)递增；由f′(x)<0，得x>3或x<−1，f(x)递减．即有f(x)在x=−1处取得极小值f(−1)=−2e；在x=3处取得极大值f(3)=6e3，作出f(x)的图象，如图所示:关于x的方程[f(x)]2+tf(x)−12e2=0(t∈R)，令n=f(x)，则n2−nt−12e2=0，由判别式△=t2+48e2>0，方程有两个不等实根，n1n2=−12e2<0，则原方程有一正一负实根．而−2e×6e3=−12e2，即当n1=6e3，则n2=−2e，此时y=n1和f(x)的图象有两个交点，y=n2与f(x)的图象有1个交点，此时共有3个交点，当n1>6e3，则−2e<n2<0，此时y=n1和f(x)的图象有1个交点，y=n2与f(x)的图象有2个交点，此时共有3个交点，当0<n1<6e3，则n2<−2e，此时y=n1和f(x)的图象有3个交点，y=n2与f(x)的图象有0交点，此时共有3个交点，当−2e<n1<0，则n2>6e3，此时y=n1和f(x)的图象有2个交点，y=n2与f(x)的图象有1个交点，此时共有3个交点，当n1=−2e，则n2=6e3，此时y=n1和f(x)的图象有1个交点，y=n2与f(x)的图象有2个交点，此时共有3个交点，当n1<−2e，则0<n2<6e3，此时y=n1和f(x)的图象有0个交点，y=n2与f(x)的图象有3个交点，此时共有3个交点，综上,方程[f(x)]2+tf(x)−12e2=0(t∈R)恒有3个不同的实数解，即m=3，即m的所有可能的值构成的集合为{3}，故答案为{3}．【分析】先作出f(x)的图象，令n=f(x)，则n2−nt−12e2=0，可得方程有一正一负实根．再根据图像分类讨论可得m的所有可能的值构成的集合.17．【答案】（1）∵S3=9，∴a2=3，∴a1+d=3①,∵a1，a3，a7成等比数列，∴a32=a1a7，∴(a1+2d)2=a1(a1+6d)②,由①②得：{d=0a1=3或{a1=2d=1，当{d=0a1=3时，a n=3,当{d=1a1=2时，a n=n+1.（2）∵a n≠a1(当n≥2时)，∴d≠0，∴a n=n+1，∴b n=2n+1，∴a n b n=(n+1)2n+1，∴T n=2⋅22+3⋅23+4⋅24+⋯+(n+1)2n+1①，2T n=2⋅23+3⋅24+4⋅25+⋯+(n+1)2n+2②，①−②得−T n=4+22+23+24+⋯+2n+1−(n+1)2n+2=4+4(1−2n)1−2−(n+1)2n+2=−n⋅2n+2,∴T n =n ⋅2n+2 .【解析】【分析】（1）由题意求出首项a1及公差d ，即可求出数列 {a n } 的通项公式；（2）利用错位相减求和法可得数列 {a n b n } 的前 n 项和 T n ．18．【答案】（1）根据题意：60分或以上被认定为满意或非常满意，在频率分布直方图中，评分在 [60,100] 的频率为： (0.028+0.03+0.016+0.004)×10=0.78 ；（2）根据频率分布直方图，被调查者非常满意的频率是(0.016+0.004)×10=0.2=15 ，用样本的频率代替概率，从该市的全体市民中随机抽取1人，该人非常满意该项目的概率为 15，现从中抽取3人恰有2人非常满意该项目的概率为：P =C 32⋅(15)2⋅45=12125；（3）∵评分低于60分的被调查者中，老年人占 13 ，又从被调查者中按年龄分层抽取9人， ∴这9人中，老年人有3人，非老年人6人，随机变量 ξ 的所有可能取值为0，1，2，P(ξ=0)=C 30⋅C 62C 92=1536 P(ξ=1)=C 31⋅C 61C 92=1836=12P(ξ=2)=C 32⋅C 60C 92=336=112 ξ 的分布列为：ξ 的数学期望 Eξ =0×1536+1×12+2×112=23. 【解析】【分析】（1）由频率分布直方图中的数据可得，被调查者满意或非常满意该项目的频率；（2）用样本的频率代替概率，可得从中抽取3人恰有2人非常满意该项目的概率；（3）由题意，随机变量 ξ 的所有可能取值为0，1，2，分别求它们的概率，即可得到随机变量ξ 的分布列及其数学期望 Eξ ．19．【答案】（1）如图所示， ∠BOC =2∠BAC ，∴cos∠BOC =cos2∠BAC =1−2sin 2∠BAC =−13 ， ∴sin 2∠BAC =23 ， sin∠BAC =√63.（2）延长AD 至E ，使 AE =2AD ，连接BE ，CE ，则四边形ABEC 为平行四边形， ∴CE =AB ,在 △ACE 中， AE =2AD =3√2 ， AC =√3 ，∠ACE =π−∠BAC ， cos∠ACE =−cos∠BAC =−√1−(√63)2=−√33 ,由余弦定理得， AE 2=AC 2+CE 2−2AC ⋅CE ⋅cos∠ACE ，即 (3√2)2=(√3)2+CE 2−2×√3⋅CE ×(−√33) ，解得 CE =3 ， ∴AB =CE =3 ，∴S △ABC =12AB ⋅AC ⋅sin∠BAC =12×3×√3×√63=3√22．【解析】【分析】（1）利用二倍角余弦公式可以计算得 sin∠BAC 的值；（2）由余弦定理可解得 CE =3 ，再利用三角形面积公式即可求得 △ABC 的面积．20．【答案】（1）设椭圆C 的焦距为 2c(c >0) ，则点 F 1 的坐标为 (−c,0) ，点 F 2 的坐标为(c,0) ，设点Q 的坐标为 (x 0,0) ，且 x 0<0 ，如下图所示，F 1Q ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(x 0+c,0) ， F 1F 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(2c,0) ，∵F 1Q ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +F 1F 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0⃗ ，则 x 0+c +2c =0 ，所以， x 0=−3c ，则点Q 的坐标为 (−3c,0) ，∵ 直线 AF 2 与直线AQ 垂直，且点 A(0,b) ，所以， AF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(c,−b) ， AQ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−3c,−b) ，由AF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AQ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =b 2−3c 2=0 ，得 b 2=3c 2 ，则 b =√3c ， a =√b 2+c 2=2c ． △AQF 2 为直角三角形，且 F 2Q 为斜边，线段 F 2Q 的中点为 F 1(−c,0) ， △AQF 2 的外接圆半径为2c ．由题意可知，点 F 1 到直线 x −√3y −3=0 的距离为 |c+3|2=c+32=2c ，所以， c =1 ， a =2c =2 ， b =√3c =√3 ，因此，椭圆C 的方程为 x 24+y 23=1 .（2）由题意知，直线 l 的斜率 k ≠0 ，并设 t =1k，则直线l 的方程为 x =ty +1 ，设点M(x 1,y 1) 、 N(x 2,y 2). 将直线 l 的方程与椭圆C 的方程联立 {x =ty +1x 24+y 23=1 ，消去x 得 (3t 2+4)y 2+6ty −9=0 ，由韦达定理得 y 1+y 2=−6t 3t 2+4 ， y 1y 2=−93t 2+4． ∴y 1+y 22=−3t 3t 2+4 ， x 1+x 22=t ⋅y 1+y 22+1=43t 2+4．所以，线段MN 的中点为点 E(−3t 3t 2+4,43t 2+4) ．由于以PM ，PN 为邻边的平行四边形是菱形，则 PE ⊥MN ，则 k PE ⋅k MN =−1 ，所以， k PE =−t ．由两点连线的斜率公式可得 k PE =3t 3t 2+4m−43t 2+4=−t ，得 m =13t 2+4 ．由于 k ≠0 ，则 t =1k ≠0 ，所以， t 2>0 ，所以， m =13t 2+4∈(0,14) ．因此，在x 轴上存在点 P(m,0) ，使得以PM ，PN 为邻边的平行四边形是菱形，且实数m 的取值范围是 (0,14) ．【解析】【分析】（1）由题意得出关于a,b 的关系式，即可解得a,b 的值；（2）将直线 l 的方程与椭圆C 的方程联立，得线段MN 的中点坐标，由两点连线的斜率公式可 m =13t 2+4，由以PM ，PN 为邻边的平行四边形是菱形，可得 m 的取值范围 . 21．【答案】（1）解: f(x) 的定义域为 (0,+∞) , f ′(x)=2x −a +2x =2x 2−ax+2x,令 g(x)=2x 2−ax +2 , Δ=a 2−16 ,对称轴 x =a4 , g(0)=2 ,（i ）当 Δ=a 2−16≤0 ,即 −4≤a ≤4 时, f ′(x)≥0 , 于是,函数 f(x) 的单调递增区间为 (0,+∞) ,无单调递减区间.(ii) 当 Δ=a 2−16>0, ,即 a <−4 或 a >4 时,方程 2x 2−ax +2=0 有两个不等实根， ①若 a <−4 ，, f ′(x)>0 恒成立,,函数 f(x) 的单调递增区间为 (0,+∞) ,无单调递减区间.②若 a >4 ，方程 2x 2−ax +2=0 有两个不等实根， x 1=a−√a 2−164,x 2=a+√a 2−164当 x ∈(0,x 1)∪(x 2,+∞) 时， f ′(x)>0; 当 x ∈(x 1,x 2),f ′(x)<0 ，故函数 f(x) 在 (0,x 1) 和 (x 2,+∞) 上单调递增，在 (x 1,x 2) 上单调递减综上，当 a ≤4 时, ,函数 f(x) 的单调递增区间为 (0,+∞) ,无单调递减区间.当 a >4 时，函数 f(x) 在 (0,x 1) 和 (x 2,+∞) 上单调递增，在 (x 1,x 2) 上单调递减（2）由（1）得函数 f(x) 由两个极值点，则 a >4 ，且 x 1+x 2=a2>0,x 1x 2=1,∴0<x 1<1<x 2 ，又 2x 12−ax 1+2=0,a =2(x 1+1x 1),2(e +1e )<a <203 ，e +1e <x 1+1x 1<3+13 ， ∵0<x 1<1,∴13<x 1<1e ，于是， f(x 1)−f(x 2)=(x 12−ax 1+2lnx 1)−(x 22−ax 2+2lnx 2)=(x 12−x 22)−a(x 1−x 2)+2(lnx 1−lnx 2)=(x 1−x 2)⋅a 2−a(x 1−x 2)+2ln x1x 2=−(x 1−1x 1)⋅(x 1+1x 1)+4lnx 1=1x 12−x 12+4lnx 1令 ℎ(x)=1x 2−x 2+4lnx,(13<x <1e ),ℎ′(x)=−2(x 2−1)2x 3<0 恒成立，故 ℎ(x) 在(13,1e ) 上单调递减， ℎ(13)<ℎ(x)<ℎ(1e ),∴e 2−1e2−4<ℎ(x)<809−4ln3f(x 1)−f(x 2) 的取值范围为 (e 2−1e2−4,809−4ln3) .【解析】【分析】（1）对原函数求导，利用导数可得函数的单调性；（2）由（1）得函数 f(x) 由两个极值点，则 a >4 ，利用两极值点是导函数的两个根，结合函数的单调性可得 f(x 1)−f(x 2) 取值范围.22．【答案】（1）由 ρ=4cosθ ，得 ρ2=4ρcosθ ，即 x 2+y 2=4x ，所以圆 C 的直角坐标方程为 (x −2)2+y 2=4 ，直线 l 的参数方程为 {x =1+tcosα,y =tsinα （ t 为参数）．（2）将 {x =1+tcosα,y =tsinα 代入 (x −2)2+y 2=4 ，得 t 2−2tcosα−3=0 ， Δ=(2tcosα)2+12>0 ，设 A ， B 两点对应的参数分别为 t 1 ， t 2 ，则 1|PA|+1|PB|=|AB||PA|⋅|PB|=|t 1−t 2||t 1t 2| √(t 1+t 2)2−4t 1t 23=2√cos 2α+33，因为 cosα∈[−1,1] ，所以 1|PA|+1|PB| 的最大值为 43 ，最小值为 2√33．【解析】【分析】（1）由极坐标与直角坐标互化得圆 C 的直角坐标方程，即可得到直线 l 的参数方程；（2）将直线 l 的参数方程代入圆的方程，由 A ， B 两点对应的参数的几何意义及韦达定理可得1|PA|+1|PB| 的最大值和最小值．23．【答案】（1）f(x)={−3x +3(x ≤12)x +1(12<x ≤2)3x −3(x >2) ， ∵ f(x)≥3∴{x ≤12−3x +3≥3或 {12<x ≤2x +1≥3 或 {x >23x −3≥3 解得 |x ≤0 或 x ≥2 f(x)≥3 的解集为 {x|x ≤0 或 x ≥2} .（2）由图知 f(x)min =32,∴1m +1n ≤32 . ∴m+n mn ≤32 ，即 m +n ≤32mn ≤32(m+n 2)2，当且仅当 m =n 时等号成立，∵m,n >0 ，解得 m +n ≥83，当且仅当 m =n 时等号成立故 m +n 的最小值为 83.【解析】【分析】（1）去绝对值后，利用不同x 的分段解不等式即可得到不等式 f(x)≥3 的解集；（2）求函数f(x)的最小值将不等式转化为 m+n mn ≤32，由基本不等式可得m +n 的最小值.。

安徽省合肥市2019届高三一模数学(理)试卷(解析版)

合肥市2019年高三第一次教学质量检测数学试题（理科）第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知为虚数单位，，则复数的虚部为( ).A. B. C. 2 D.【答案】D【解析】【分析】本道题结合复数的运算，化简z，计算虚部，即可。

【详解】,故虚部即为i的系数，为-2，故选D。

【点睛】本道题看考查了复数的化简，考查了复数的意义，关键在于化简z，属于较容易的题。

2.集合，，则= ( ).A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】先化简集合A,B，结合并集计算方法，求解，即可。

【详解】解得集合，所以，故选C。

【点睛】本道题考查了集合的运算，考查了一元二次不等式解法，关键化简集合A,B，难度较小。

3.执行如图所示的程序框图，则输出的值为( ).A. 63B. 47C. 23D. 7【答案】C【解析】【分析】本道题不断的代入i,n，直到，退出循环，即可。

【详解】n=15,i=2不满足条件，继续循环，得到n=11,i=3不满足条件,继续循环，n=23,i=4,满足条件，退出循环，输出n，即可。

故选C。

【点睛】本道题考查了程序框图的意义，关键找出当对应的n，输出，即可，难度较容易。

4.已知正项等差数列的前项和为()，，则的值为( ).A. 11B. 12C. 20D. 22【答案】D【解析】【分析】本道题结合等差数列性质，结合，代入，即可。

【详解】结合等差数列的性质，可得，而因为该数列为正项数列，可得，所以结合，可得，故选D。

【点睛】本道题考查了等差数列的性质，关键抓住，即可，难度中等。

5.已知偶函数在单调递增，则对实数是的（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】D【解析】【分析】由函数的单调性以及充分条件和必要条件的定义即可判定出结果.【详解】因为为偶函数，且在单调递增，所以函数在单调递减，且函数关于y轴对称.若时,根据函数单调性可得,即,所以由不能推出；若，根据函数的单调性可得：,也不能推出，综上，是的既不充分也不必要条件.故选D【点睛】本体主要考查充分条件和必要条件的判定，结合函数的单调性即可作答，属于基础题型.6.某调查机构对全国互联网行业进行调查统计，得到整个互联网行业从业者年龄分布饼状图、90后从事互联网行业者岗位分布条形图，则下列结论中不一定正确的是( ). 注：90后指1990年及以后出生，80后指1980-1989年之间出生，80前指1979年及以前出生.A. 互联网行业从业人员中90后占一半以上B. 互联网行业中从事技术岗位的人数超过总人数的20%C. 互联网行业中从事运营岗位的人数90后比80前多D. 互联网行业中从事技术岗位的人数90后比80后多【答案】D【解析】【分析】本道题分别将各个群体的比例代入，即可。