平面向量的概念及运算
平面向量的运算法则
平面向量的运算法则平面向量是解决平面几何问题的重要工具，通过向量的运算可以简化平面几何问题的处理过程。
本文将介绍平面向量的基本概念和运算法则，以及其在几何问题中的应用。
一、平面向量的表示平面向量用有序数对表示，常用形式为A(x₁, y₁)和B(x₂, y₂)，其中A和B分别表示向量的起点和终点，(x₁, y₁)和(x₂, y₂)表示向量的坐标。
二、平面向量的加法平面向量的加法指的是将两个向量按照特定的法则相加，得到一个新的向量。
设有向量A(x₁, y₁)和B(x₂, y₂)，则向量A与向量B的和C可以表示为C(x₁ + x₂, y₁ + y₂)。
三、平面向量的减法平面向量的减法指的是计算出一个新的向量，使得用该向量加上被减向量等于另一个向量。
设有向量A(x₁, y₁)和B(x₂, y₂)，则向量A 与向量B的差D可以表示为D(x₁ - x₂, y₁ - y₂)。
四、平面向量的数量乘法平面向量的数量乘法指的是将一个向量乘以一个实数，得到一个新的向量。
设有向量A(x, y)和实数k，kA可以表示为kA(kx, ky)。
五、平面向量的点乘平面向量的点乘指的是两个向量的对应坐标相乘后相加的运算。
设有向量A(x₁, y₁)和向量B(x₂, y₂)，则向量A与向量B的点乘可以表示为A·B = x₁x₂ + y₁y₂。
六、平面向量的叉乘平面向量的叉乘指的是两个向量按照一定的法则相乘，得到一个新的向量。
设有向量A(x₁, y₁)和向量B(x₂, y₂)，则向量A与向量B的叉乘可以表示为A×B = x₁y₂ - x₂y₁。
七、平面向量的模长平面向量的模长指的是一个向量的长度，可以通过勾股定理求得。
设有向量A(x, y)，则向量A的模长可以表示为|A| = √(x² + y²)。
八、平面向量的单位向量平面向量的单位向量指的是模长为1的向量，可以通过将向量除以其模长得到。
设有向量A(x, y)，则向量A的单位向量可以表示为Â = (x/|A|, y/|A|)。
平面向量的运算
平面向量的运算在数学中，平面向量是由大小和方向确定的量，常用于表示物体在平面上的位移或力的作用方向。
平面向量的运算是指对平面向量进行加法、减法、数乘和点乘等操作。
本文将介绍平面向量的基本概念和运算规则。
一、平面向量的表示方法平面向量通常用有向线段表示，由两个点确定，例如AB表示从点A到点B的平面向量。
可以用字母加箭头（如→）表示平面向量，如：AB →其中A为向量的起点，B为终点。
二、平面向量的加法对于两个平面向量AB → 和CD →，它们的和可以通过平行四边形法则得到。
具体步骤如下：1. 将向量CD → 的起点与向量AB → 的终点相重合，得到新的向量AC →；2. 连接向量AB → 的起点和向量CD → 的终点，得到新的向量AD →；3. 新的向量AD → 就是原始向量AB → 和CD → 的和，即AD → = AB → + CD →。
三、平面向量的减法向量的减法可以通过向量加法的逆运算得到。
对于向量AB → 和CD →，它们的差可以表示为AB → - CD →，具体步骤如下：1. 取向量CD → 的终点B为新向量的起点，向量AB → 的起点A为新向量的终点，得到新的向量BA →；2. 新的向量BA → 就是原始向量AB → 和CD → 的差，即BA → = AB → - CD →。
四、平面向量的数乘平面向量的数乘是指将向量的长度乘以一个实数，从而改变向量的大小。
设有向量AB → 和实数k，它们的数乘表示为kAB →，其具体步骤如下：1. 将向量AB → 的长度乘以实数k，得到新向量AC →；2. 新的向量AC → 的方向与原来向量AB → 相同，而长度为原来的k倍，即AC → = kAB →。
五、平面向量的点乘平面向量的点乘（内积）运算可以得到两个向量的乘积，结果为一个实数。
设有向量AB → 和CD →，它们的点乘表示为AB → · CD →，具体计算方法如下：1. 将向量AB → 和CD → 的长度相乘，得到实数AC；2. 计算向量AB → 与向量CD → 之间夹角的余弦值，得到实数cosθ；3. 点乘的结果为AB → · CD → = ACcosθ。
平面向量的概念与运算
平面向量的概念与运算平面向量是线性代数中的重要概念，广泛应用于数学、物理、工程等领域。
本文将从平面向量的定义开始，介绍平面向量的概念以及基本运算，包括向量的加法、减法、数乘等，以便读者对平面向量有更深入的理解。
一、平面向量的定义平面向量是具有大小和方向的量，常用有向线段表示。
在平面直角坐标系中，平移一个向量的有向线段，可以得到一个与原始向量大小和方向相同的向量。
平面向量通常用小写粗体字母表示，如a、b。
二、平面向量的表示平面向量可以用其在平面直角坐标系下的坐标表示。
设向量a的终点坐标为(x₁, y₁)，起点坐标为(0, 0)，则向量a可以表示为a = x₁i +y₁j，其中i和j分别表示x轴和y轴的单位向量。
三、平面向量的加法平面向量的加法遵循平行四边形法则。
设有向线段AB表示向量a，有向线段BC表示向量b，连接向量a的起点与向量b的终点，该有向线段表示向量a + b。
其数学表示为a + b = (x₁ + x₂)i + (y₁ + y₂)j，其中(x₁, y₁)为向量a的坐标，(x₂, y₂)为向量b的坐标。
四、平面向量的减法平面向量的减法可以通过将被减向量取反并进行加法运算得到。
设有向线段AB表示向量a，有向线段BC表示向量b的负向量，连接向量a的起点与向量b的终点，该有向线段表示向量a - b。
其数学表示为a - b = (x₁ - x₂)i + (y₁ - y₂)j，其中(x₁, y₁)为向量a的坐标，(x₂,y₂)为向量b的坐标。
五、平面向量的数乘平面向量的数乘是指将向量的长度进行缩放。
设k为一个实数，向量a乘以k后得到的向量记为ka，则ka = k(x₁i + y₁j) = (kx₁)i +(ky₁)j，其中(x₁, y₁)为向量a的坐标。
六、平面向量的数量积平面向量的数量积又称为内积或点积，用符号·表示。
设有向线段AB表示向量a，有向线段BC表示向量b，则a·b = |a||b|cosθ，其中|a|和|b|分别表示向量a和向量b的长度，θ是向量a和向量b之间的夹角。
平面向量的基本概念与运算法则
平面向量的基本概念与运算法则平面向量是在平面中具有大小和方向的量，由有序数对表示。
在数学中，平面向量是研究平面几何和代数的基础。
本文将介绍平面向量的基本概念和运算法则，以帮助读者更好地理解和应用平面向量。
一、平面向量的基本概念平面向量通常用有向线段表示，其中起点和终点之间的位置表示向量的方向。
一个平面向量可由其终点的坐标减去起点的坐标得到。
例如，向量AB可以表示为向量a = (x2-x1, y2-y1)，其中A(x1, y1)和B(x2, y2)是向量的起点和终点。
平面向量的大小通常用向量的长度来表示，也称为向量的模。
向量a = (x, y)的长度表示为|a|或||a||，可以通过勾股定理计算得到：|a| =√(x^2+y^2)。
向量的长度是一个非负数。
二、平面向量的运算法则1. 加法运算平面向量的加法运算定义为将两个向量的对应分量相加。
例如，对于向量a = (x1, y1)和向量b = (x2, y2)，它们的和可以表示为向量c = (x1+x2, y1+y2)。
2. 减法运算平面向量的减法运算定义为将两个向量的对应分量相减。
例如，对于向量a = (x1, y1)和向量b = (x2, y2)，它们的差可以表示为向量c =(x1-x2, y1-y2)。
3. 数乘运算平面向量的数乘运算定义为将向量的每个分量与一个标量相乘。
例如，对于向量a = (x, y)和标量k，它们的数乘可以表示为向量b = (kx, ky)。
4. 乘法运算平面向量的乘法运算有两种形式：数量积和向量积。
4.1 数量积数量积（又称点积或内积）定义为两个向量的对应分量相乘后再相加。
数量积的结果是一个标量。
对于向量a = (x1, y1)和向量b = (x2,y2)，它们的数量积表示为a · b = x1x2 + y1y2。
4.2 向量积向量积（又称叉积或外积）定义为两个向量的乘积是一个新的向量，它垂直于原来两个向量组成的平面，并且方向遵循右手法则。
平面向量的概念+加减法运算
b a，
连结OC，则 O C O A O B a b .
A
a
C
O ab
b
B
平行四边形法则
尝试练习二：
(3)已知向量a、b ，用向量加法的三角形法则和平行四边形
法则作出 a b
①
b
②
b
a
a
思考2:数的加法满足交换律和结合律，即对任意a,bR，
有
abba,
( a b ) c a ( b c ) .
（5）若A、B、C、D是不共线的四点，则AB=DC是
四边形ABCD是平形四边形的充要条件。
其中真命题的个数是( )
A．0 B. 1
D
C
C. 2
变：若 a ∥ b， b ∥ c, 则a ∥c
D. 3
C
D
当b ≠ 0时成立。
A
B
B
A
小结:
向量
定义
几何表示法：有向线段 表示
符号表示法： a ，b AB
长度（模）
(1 )
（2）当 a
A B A D D B ，b 共线时，怎样作
a( b2 ) baB 呢A ？ B C C A
( a3 ) OB AC B bA OABC
(4 )O D O A A D
OA
B
(5 a )O bA B O A B B A B O A
一般地 a b
三、几何意义
O A
b
ab
B
2．两个特殊向量：
零向量---长度(模)为0的向量叫做零向量，记作 0。 单位向量---长度（模）等于1个单位长度的向量叫作单位向量。 问：在平面上把所有单位向量的起点平移到同一点P，那么它们 的终点的集合组成什么图形？
平面向量的概念与运算
平面向量的概念与运算一、概念平面向量是指在平面上具有大小和方向的量，常用箭头表示。
平面向量可以表示物体在平面上的位移或运动，是数学中重要的研究对象。
二、向量的表示方法1. 线段表示法：将向量表示为连接两点的线段，线段的方向和长度表示向量的方向和大小。
2. 坐标表示法：以坐标系为基础，用有序数对表示向量在坐标系中的位置。
三、向量的运算1. 向量的加法向量的加法满足平行四边形法则，即将两个向量首尾相连形成一个闭合的四边形，对角线所代表的向量即为两个向量的和。
2. 向量的数量乘法向量的数量乘法是指向量乘以一个实数，结果是一个新的向量，它的方向与原向量相同或相反，大小为原向量的绝对值与实数的乘积。
3. 向量的减法向量的减法可以通过向量的加法和数量乘法来进行计算，即将减数取负后与被减数相加。
4. 向量的数量积向量的数量积又称为点积或内积，表示为A·B，是两个向量的长度之积与它们夹角的余弦值的乘积。
数量积的结果是一个实数。
5. 向量的向量积向量的向量积又称为叉积或外积，表示为A×B，是两个向量的长度之积与它们夹角的正弦值的乘积。
向量积的结果是一个向量。
四、向量的性质1. 交换律向量的加法满足交换律，即A+B=B+A。
2. 结合律向量的加法满足结合律，即(A+B)+C=A+(B+C)。
3. 数量乘法的分配律向量的数量乘法对加法满足分配律，即k(A+B)=kA+kB，(k+m)A=kA+mA。
4. 内积的性质a) A·B=B·A，内积满足交换律。
b) A·(kB)=(kA)·B=k(A·B)，内积满足数量乘法的结合律。
c) A·A=|A|^2，即向量的内积等于向量的模长的平方。
5. 外积的性质a) A×B=-B×A，外积满足反交换律。
b) (kA)×B=A×(kB)=k(A×B)，外积满足数量乘法的结合律。
什么是平面向量
什么是平面向量平面向量是代数学中的一个重要概念，广泛应用于几何学、物理学和工程学等领域。
平面向量可以用来表示平面上的位移、速度、力等物理量，具有方向和大小两个特征。
一、平面向量的定义平面向量是由两个有序实数组成的有序对，记作AB→，其中A、B 表示平面上的两个点，→表示有向线段。
实数称为平面向量的坐标或分量，可以用来表示向量在坐标轴上的投影。
二、平面向量的表示平面向量可以用坐标轴上的点表示，也可以用向量的坐标表示。
以直角坐标系为例，设A点的坐标为(x1, y1)，B点的坐标为(x2, y2)，那么平面向量AB→的向量坐标为{(x2-x1), (y2-y1)}。
三、平面向量的运算1. 加法：设有平面向量AB→和CD→，则它们的和为AB→ +CD→ = AD→。
即向量的加法满足“三角形法则”。
2. 数乘：设有平面向量AB→，实数k，则kAB→ = BA→。
即向量的数乘改变了向量的方向或长度。
3. 减法：设有平面向量AB→和CD→，则它们的差为AB→ - CD→ = AD→。
即向量的减法可以看作是加法和数乘的结合。
四、平面向量的性质1. 零向量：零向量是长度为0的向量，任何向量与零向量的和等于该向量本身。
2. 平行向量：若两个向量的方向相同或相反，则它们是平行向量。
3. 共线向量：若两个向量在同一直线上，则它们是共线向量。
4. 相等向量：若两个向量的方向和长度相等，则它们是相等向量。
5. 单位向量：长度为1的向量称为单位向量，可以通过将一个非零向量除以它的模长得到。
五、平面向量的应用平面向量在几何学中被广泛应用，例如求向量的模长、向量的夹角、向量的投影等。
在物理学中，平面向量可用于描述力的大小和方向，在工程学中，平面向量可用于描述力的分解和合成等问题。
总结：平面向量是由两个有序实数组成的有序对，具有方向和大小两个特征。
它可以用坐标轴上的点或向量的坐标来表示。
平面向量的运算包括加法、数乘和减法，满足相应的运算规律。
平面向量的概念和运算
平面向量的概念和运算平面向量是向量的一种特殊形式，它在平面上表示了方向和大小。
在数学和物理学中，平面向量是非常重要的概念，它们在几何、力学、电磁学等领域都有广泛应用。
本文将详细介绍平面向量的概念和运算，并探讨其在实际应用中的重要性。
一、平面向量的概念平面向量可以定义为有大小和方向的量。
通常用箭头表示，箭头的长度表示向量的大小，箭头的方向表示向量的方向。
假设有两个点A和点B，在空间中，从点A指向点B的箭头就是一个平面向量。
平面向量常用小写字母加上一个有方向的箭头来表示，如a→、b→等。
二、平面向量的表示在平面几何中，平面向量可以通过坐标来表示。
平面上的一个点可以用有序数对(x, y)表示，其中x表示点在x轴上的坐标，y表示点在y轴上的坐标。
如果有两个点A(x1, y1)和B(x2, y2)，则从点A到点B的平面向量可以表示为：AB→ = (x2 - x1, y2 - y1)三、平面向量的运算1. 加法平面向量的加法是将两个向量的对应分量相加得到一个新的向量。
假设有两个向量a→ = (a1, a2)和b→ = (b1, b2)，它们的和可以表示为：a→ + b→ = (a1 + b1, a2 + b2)加法运算满足交换律和结合律，即对于任意的两个向量a→和b→，有a→ + b→ = b→ + a→和(a→ + b→) + c→ = a→ + (b→ + c→)。
2. 数量乘法平面向量的数量乘法是将一个向量的每个分量与一个实数相乘。
假设有一个向量a→ = (a1, a2)和一个实数k，它们的数量乘积可以表示为：ka→ = (ka1, ka2)数量乘法满足结合律和分配律，即对于任意的向量a→和b→，以及任意的实数k和l，有k(la→) = (kl)a→和(k + l)a→ = ka→ + la→。
3. 减法平面向量的减法是将两个向量的对应分量相减得到一个新的向量。
假设有两个向量a→ = (a1, a2)和b→ = (b1, b2)，它们的差可以表示为：a→ - b→ = (a1 - b1, a2 - b2)减法可以转化为加法的形式，即a→ - b→ = a→ + (-b→)，其中-b→表示b→的相反向量。
平面向量的基本概念与运算
平面向量的基本概念与运算平面向量是在平面上具有大小和方向的物理量，它可以用有向线段来表示。
平面向量的基本概念和运算是研究平面向量性质的基础，对于解决平面力学问题和几何问题具有重要的应用价值。
一、平面向量的基本概念1. 平面向量的定义：平面向量是具有大小和方向的有向线段，通常用大写字母表示，如 A、B、C。
2. 零向量：长度为零的向量称为零向量，记作 O。
3. 平行向量：方向相同或相反的向量称为平行向量。
4. 直角向量：互相垂直的向量称为直角向量。
二、平面向量的表示方法1. 端点表示法：使用有向线段的起点和终点来表示向量，如 AB 表示从点 A 到点 B 的向量。
2. 坐标表示法：使用坐标表示向量的起点和终点，在平面直角坐标系中，向量 A 的坐标表示为 (x, y)。
三、平面向量的运算1. 加法运算：向量的加法是指将两个向量的对应分量相加，得到一个新的向量。
设有向量 A 的坐标表示为 (x1, y1)，向量 B 的坐标表示为 (x2, y2)，则向量 A + B 的坐标表示为 (x1 + x2, y1 + y2)。
2. 减法运算：向量的减法是指将两个向量的对应分量相减得到一个新的向量。
设有向量 A 的坐标表示为 (x1, y1)，向量 B 的坐标表示为 (x2, y2)，则向量 A - B 的坐标表示为 (x1 - x2, y1 - y2)。
3. 数乘运算：向量与一个实数的乘积称为数乘运算。
设有向量 A 的坐标表示为 (x, y)，实数 k，则 kA 的坐标表示为(kx, ky)。
4. 内积运算：两个向量的内积（数量积）是它们对应分量的乘积之和。
设有向量 A 的坐标表示为 (x1, y1)，向量 B 的坐标表示为 (x2, y2)，则向量 A · B 的坐标表示为 x1 * x2 + y1 * y2。
四、平面向量的性质1. 加法交换律：A + B = B + A2. 加法结合律：(A + B) + C = A + (B + C)3. 数乘分配律：k(A + B) = kA + kB4. 数乘结合律：(kl)A = k(lA)，其中 k、l 为实数五、平面向量的应用1. 向量共线性判定：若两个向量的模与它们的夹角满足 a = kb (k 为常数)，则称这两个向量共线。
平面向量的概念与运算
平面向量的概念与运算平面向量是解决几何问题中常用的数学工具之一。
本文将介绍平面向量的概念以及常见的运算方法。
一、平面向量的概念平面向量是指具有大小和方向的量。
通常用有向线段来表示，标志有向线段的箭头表示向量的方向，线段的长度表示向量的大小。
平面向量常用大写字母表示，例如A、B。
二、平面向量的表示平面向量可以分为简易表示法和坐标表示法两种方式。
1. 简易表示法在平面上，我们可以通过箭头的起点和终点来表示向量的方向和大小。
例如，向量AB表示从点A指向点B的向量，大小为AB的长度。
2. 坐标表示法使用坐标系来表示平面向量。
在二维坐标系中，平面上的向量可以表示为 <x, y> 的形式，其中x表示向量在x轴上的分量，y表示向量在y轴上的分量。
三、平面向量的运算平面向量的运算包括加法、减法和数乘三种运算。
1. 加法运算设有向量A和向量B，它们的和向量记作A + B。
假设A = <a1,a2>，B = <b1, b2>，则A + B = <a1 + b1, a2 + b2>。
2. 减法运算设有向量A和向量B，它们的差向量记作A - B。
假设A = <a1, a2>，B = <b1, b2>，则A - B = <a1 - b1, a2 - b2>。
3. 数乘运算设有向量A和实数k，它们的数乘记作kA。
假设A = <a1, a2>，则kA = <ka1, ka2>。
数乘可以改变向量的大小和方向，当k大于0时，向量的方向与原向量一致，当k小于0时，向量的方向与原向量相反。
四、平面向量的性质平面向量具有以下性质：1. 相等性两个向量相等表示它们的大小和方向都相同。
2. 平移性向量的平移不会改变其大小和方向。
3. 共线性若两个向量的方向相同或者相反，则它们共线。
4. 三角形法则若将两个向量的起点连结，形成的三角形的第三条边是这两个向量的和向量。
平面向量运算
平面向量运算
平面向量运算可以说是代数学中最基础的概念，也是最为重要的内容之一。
它涉及到不同的概念，可以用来解决实际的问题。
本文将详细介绍平面向量的定义及其基本运算，以及一些常见的应用实例。
平面向量是指在二维平面上的一个向量，由两个数字组成，表示在横轴和纵轴的方向和长度，常写作 a = (a1 , a2)。
其中，a1横轴方向的长度，a2纵轴方向的长度。
平面向量可以用箭头表示，从原点（0，0）指向向量终点（a1，a2），其大小是指向量的长度，方向是指向量的方向（朝向终点），它的量的大小和方向是确定的。
平面向量的基本运算有加法、减法、数乘和叉乘四类运算。
其中，加法是指两个向量叠加，即将两个向量的大小和方向进行相加，可以简写为a+b=c；减法是指将两个向量的大小和方向进行相减，可以简写为a-b=c；数乘是指将一个常数和一个向量相乘，即常数与向量的大小和方向相乘，可简写为k*a=c；叉乘是指两个向量叉乘，即两个向量的大小和方向相乘，可简写为a*b=c。
平面向量的常见应用是解决几何问题。
例如，用平面向量可以解决一般的物体的位置和投影长度问题，包括点到点、点到直线、线段到点、直线到直线、圆到直线等。
平面向量运算也可以用来解决图形问题，如求出四边形的面积，求出多边形的周长，求出平行四边形的平行边的距离等。
此外，平面向量的运算还可以应用于力学、地理学等，以解决多种实际问题。
总之，平面向量是数学中最基础的概念，也是最为重要的内容之
一。
它的基本运算可以用于解决多种实际问题。
希望通过本文，读者可以对平面向量运算有更深入的理解。
平面向量的概念与线性运算知识点
平面向量的概念与线性运算知识点平面向量是二维空间中的量，可以看作是带有方向和长度的箭头。
它通常用有序数对表示，即(x,y)。
其中，x称为向量的横坐标，y称为向量的纵坐标。
平面向量可以进行很多运算，其中包括线性运算，即向量的加法和数乘。
1.向量的加法：向量的加法定义为：对于两个向量A=(a₁,a₂)和B=(b₁,b₂)，它们的和定义为C=(a₁+b₁,a₂+b₂)。
加法满足以下性质：-交换律：A+B=B+A-结合律：(A+B)+C=A+(B+C)-零向量：对于任意向量A，存在一个零向量0，使得A+0=0+A=A2.向量的数乘：向量的数乘定义为：对于一个向量A=(a₁,a₂)和一个实数k，它们的数乘定义为B=(ka₁, ka₂)。
数乘满足以下性质：- 结合律：k*(l*A) = (kl)*A-1的作用：1*A=A-0的作用：0*A=0除了加法和数乘外，还可以进行向量的减法和向量的数量积。
3.向量的减法：向量的减法定义为：对于两个向量A=(a₁,a₂)和B=(b₁,b₂)，它们的差定义为C=(a₁-b₁,a₂-b₂)。
减法满足以下性质：-A-A=04.向量的数量积：向量的数量积（也称为内积、点积）定义为：对于两个向量A=(a₁,a₂)和B=(b₁,b₂)，它们的数量积定义为a₁b₁+a₂b₂。
用符号表示为A·B。
数量积的性质：-交换律：A·B=B·A-结合律：(kA)·B=A·(kB)=k(A·B)-分配律：A·(B+C)=A·B+A·C向量的数量积还可以通过向量的坐标和向量的夹角来求得：A·B = ，A，，B，cosθ其中，A，和，B，分别表示向量A和向量B的长度，θ表示向量A和向量B之间的夹角。
除了上述基本概念和运算外，还有一些与平面向量相关的重要知识点，如向量的模、单位向量、向量的垂直和平行关系、共线与共点等等。
平面向量的概念及运算知识总结
平面向量的概念及运算1．向量的概念①向量既有大小又有方向的量。
向量一般用c b a ,,……来表示，或用有向线段的起点与终点的大写字母表示，如：AB 几何表示法AB ，a ；坐标表示法),(y x j y i x a =+= 。
向量的大小即向量的模（长度），记作|AB |即向量的大小，记作｜a |。
向量不能比较大小，但向量的模可以比较大小②零向量长度为0的向量，记为0 ，其方向是任意的，0 与任意向量平行零向量a ＝0 ⇔｜a ｜＝0。
由于0 的方向是任意的，且规定0 平行于任何向量，故在有关向量平行（共线）的问题中务必看清楚是否有“非零向量”这个条件。
（注意与0的区别）③单位向量模为1个单位长度的向量，向量0a 为单位向量⇔｜0a｜＝1。
④平行向量（共线向量）方向相同或相反的非零向量。
任意一组平行向量都可以移到同一直线上，方向相同或相反的向量，称为平行向量，记作a ∥b 。
由于向量可以进行任意的平移(即自由向量)，平行向量总可以平移到同一直线上，故平行向量也称为共线向量。
数学中研究的向量是自由向量，只有大小、方向两个要素，起点可以任意选取，现在必须区分清楚共线向量中的“共线”与几何中的“共线”、的含义，要理解好平行向量中的“平行”与几何中的“平行”是不一样的⑤相等向量长度相等且方向相同的向量相等向量经过平移后总可以重合，记为b a =。
大小相等，方向相同 ),(),(2211y x y x =⎩⎨⎧==⇔2121y y x x 。
2．向量的运算（1）向量加法求两个向量和的运算叫做向量的加法设,AB a BC b == ，则a +b =AB BC + =AC 。
规定：（1）a a a =+=+00；（2）向量加法满足交换律与结合律；向量加法的“三角形法则”与“平行四边形法则”（1）用平行四边形法则时，两个已知向量是要共始点的，和向量是始点与已知向量的始点重合的那条对角线，而差向量是另一条对角线，方向是从减向量指向被减向量。
平面向量的概念和运算法则
平面向量的概念和运算法则平面向量是二维空间中的一个有向线段，具有大小和方向。
在数学和物理学中，平面向量被广泛应用于解决各种几何和力学问题。
本文将介绍平面向量的概念以及其相关的运算法则。
概念平面向量通常用字母加上一个箭头来表示，如 $\vec{a}$，其中箭头表示向量的方向。
平面向量可以用两个定点来确定，即起点和终点。
起点和终点之间的线段表示向量的大小和方向。
平面向量可以写成分量的形式，如 $\vec{a} = a_{x}\vec{i} +a_{y}\vec{j}$，其中 $a_{x}$ 和 $a_{y}$ 是向量在 $x$ 和 $y$ 轴上的分量，$\vec{i}$ 和 $\vec{j}$ 是单位向量，分别指向 $x$ 和 $y$ 轴正方向。
平面向量的表示还可以用坐标形式，如 $\vec{a} = (a_{x},a_{y})$，其中 $a_{x}$ 和 $a_{y}$ 分别表示向量在 $x$ 和 $y$ 轴上的坐标。
运算法则1. 向量的加法平面向量的加法满足三角形法则，即将两个向量的起点相连，以第一个向量的终点为起点，第二个向量的终点为终点，所得的向量即为两个向量之和。
2. 向量的数乘向量的数乘是指将向量的大小进行相乘或相除的操作。
若向量$\vec{a}$ 的大小为 $k$，则数乘后的向量为 $k\vec{a}$。
当 $k$ 为正数时，数乘后的向量与原向量的方向相同；当 $k$ 为负数时，数乘后的向量与原向量的方向相反。
3. 平移法则若有向量 $\vec{a}$ 和向量 $\vec{b}$，则向量 $\vec{a}$ 加上向量$\vec{b}$ 的终点得到的向量为向量 $\vec{a} + \vec{b}$。
换句话说，将向量 $\vec{b}$ 平移至向量 $\vec{a}$ 的终点所在位置，所得的向量为向量 $\vec{a}$ 的平移向量。
4. 多个向量的运算对于给定的多个向量 $\vec{a}_{1}, \vec{a}_{2}, \ldots, \vec{a}_{n}$，可以进行向量的加法和数乘运算。
平面向量的基本概念与运算知识点总结
平面向量的基本概念与运算知识点总结平面向量是研究平面运动的重要工具，具有方向和大小两个基本特征。
本文将对平面向量的基本概念和运算进行总结，帮助读者理解和掌握相关知识。
1. 平面向量的定义平面向量由有向线段表示，起点和终点分别称为向量的始点和终点。
向量通常用小写字母加箭头表示，如向量a表示为→a。
平面向量有两个基本属性：方向和大小。
方向由向量的方向夹角确定，大小由向量的长度表示。
2. 平面向量的表示方法平面向量可以用坐标表示，也可以用位置矢量表示。
在直角坐标系中，向量a的坐标表示为(a₁, a₂)，其中a₁表示向量在x轴上的投影，a₂表示向量在y轴上的投影。
位置矢量表示中，向量a的始点为原点O，终点为点A，表示为向量OA。
3. 平面向量的相等与相反两个向量相等，当且仅当它们的大小相等且方向相同。
两个向量的相反向量，大小相等但方向相反，用符号-→a表示。
4. 平面向量的加减运算平面向量的加法满足平行四边形法则，即将一个向量的起点和另一个向量的终点相连，得到一个新向量，表示两个向量的和。
向量的减法可以通过向量加上其相反向量得到。
5. 平面向量的数量积平面向量的数量积，也称为内积或点积，表示为a·b，是两个向量的长度之积与它们夹角的余弦值的乘积。
计算公式为a·b = |a| |b| cosθ。
其中，|a|和|b|分别表示向量a和向量b的长度，θ表示两个向量的夹角。
6. 平面向量的数量积的性质平面向量的数量积具有以下性质：- 交换律：a·b = b·a- 结合律：(ka)·b = k(a·b)- 分配律：(a+b)·c = a·c + b·c7. 平面向量的夹角与垂直条件两个向量夹角的余弦值可以通过数量积的公式计算。
若两个向量的数量积为0，则它们互相垂直。
8. 平面向量的向量积平面向量的向量积，也称为叉积或外积，表示为a×b，是两个向量长度之积与它们夹角的正弦值的乘积，另外加上垂直于这两个向量所在平面的单位向量n。
平面向量的概念和运算
平面向量的概念和运算平面向量是高中数学中一个重要的概念，它在解决几何问题和物理问题中有着广泛的应用。
本文将介绍平面向量的定义、表示、基本运算以及一些常见的性质和应用。
一、平面向量的定义和表示平面向量是有大小和方向的量。
在平面直角坐标系中，以有向线段表示平面向量。
设点A和点B为平面上的两个点，线段AB的起点为A，终点为B，则线段AB代表的向量记作AB。
平面向量表示为：AB = (x,y)，其中x和y分别代表向量在x轴和y 轴上的投影长度。
例如，向量AB = (3,2)表示该向量在x轴上的投影长度为3，在y轴上的投影长度为2。
二、平面向量的基本运算1. 平面向量的加法设有两个向量AB = (x1, y1)和CD = (x2, y2)，则它们的和记作AB + CD = (x1+x2, y1+y2)。
例如，向量AB = (3, 2)和CD = (-1, 4)，它们的和为AB + CD = (3+(-1), 2+4) = (2, 6)。
2. 平面向量的数乘设有一个向量AB = (x, y)和一个实数k，则k乘以向量AB记作kAB = (kx, ky)。
例如，向量AB = (3, 2)的2倍为2AB = (2*3, 2*2) = (6, 4)。
3. 平面向量的减法设有两个向量AB = (x1, y1)和CD = (x2, y2)，则它们的差记作AB - CD = AB + (-CD)，其中-CD = (-x2, -y2)。
例如，向量AB = (3, 2)和CD = (-1, 4)，它们的差为AB - CD = AB + (-CD) = (3,2) + (-1,-4) = (2,-2)。
三、平面向量的性质和应用1. 平面向量的共线性与共面性如果两个向量的夹角为0°或180°，则它们共线；如果三个向量在同一个平面内，则它们共面。
2. 平面向量的数量积设有两个向量AB = (x1, y1)和CD = (x2, y2)，它们的数量积记作AB·CD = x1x2 + y1y2。
平面向量的运算
平面向量的运算平面向量是指在特定的二维空间中，包含一个方向和大小的矢量。
它们可以用来描述物体在空间中的位置，也可以用来表示一个方向。
平面向量还可以用来表示力，热量和速度等物理量。
平面向量可以用不同的方式表示。
一种常见的表示方式是用“箭头法”，即在任意两点之间画出一条箭头，由起点指向终点，来表示方向和大小。
也可以用一个由两个向量表示的矢量来表示一个平面向量，这一种表示方式称为“极坐标系表示法”。
二、平面向量的四则运算平面向量可以进行四则运算，即加法、减法、乘法和除法。
（1）平面向量的加法运算平面向量的加法运算是指将两个平面向量的终点相加得到的向量。
如果平面向量的表示方式是极坐标系表示法，只需要将两个向量的模和方向加起来即可。
（2）平面向量的减法减法的运算方式跟加法一样，只需要将被减数的终点减去减数的终点，即可得到减法结果。
（3）平面向量的乘法乘法是指将平面向量与一个标量相乘得到新的平面向量，新的平面向量方向和原向量一致，但是大小不同。
（4）平面向量的除法除法是指将平面向量与一个标量相除得到的新的平面向量，新的平面向量的方向与原向量相反，但是大小不同。
三、平面向量的应用1、研究角度平面向量可以用来研究各种物理现象，如抛物运动及其分析，曲率等。
2、工程中的应用平面向量在工程中有着重要的应用，如在航空、船舶、汽车等工程中，都可以应用平面向量来研究物体的运动轨迹。
3、社会经济中的应用平面向量可以应用于社会经济学中，如解决资源分配问题、多人博弈中的最优策略等。
总结本文主要讨论了平面向量的概念、四则运算以及其应用。
平面向量可以用箭头法或极坐标系表示法来表示，它们可以进行加减乘除四则运算，在物理、工程和社会经济中都有重要的应用。
平面向量及运算法则
平面向量及运算法则1、向量：（1）概念：既有 又有 的量叫做向量（2）表示：可以用有向线段来表示，包含三个要素： 、 和 ；记为AB 或 a （3）模：AB 的长度叫向量的模，记为||AB 或 ||a（4）零向量：零向量的方向是任意的单位向量是____________的向量.（5）相等向量： 的向量叫相等向量；（6）共线向量： 的向量叫平行向量，也叫共线向量 2、向量运算的两个法则： 加法法则：（1）平行四边形法则，要点是：统一起点； （2）三角形法则，要点是：首尾相接；减法法则：向量减法运算满足三角形法则，要点是统一起点，从 指向 。
3、实数λ与向量a 的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘,记作a λ ，其长度与方向规定如下：（1）||a λ = ||||a λ；（2）λ> 0 时，a λ与a 同向；λ< 0 时，a λ与a 反向；（3）λ= 0 时，a λ=04、向量的线性运算满足： （1）()a λμ=（2）(λμ+)a = （3）()a b λ+=5、//a b (0)b a a λ⇔=≠其中R λ∈且唯一随堂练习1.给出下列命题：①向量AB 与CD 是共线向量，则A 、B 、C 、D 四点必在一直线上； ②两个单位向量是相等向量； ③若a =b, b=c,则a=c ；④若一个向量的模为0，则该向量的方向不确定； ⑤若|a |=|b |,则a =b 。
错误!未找到引用源。
若a 与b 共线, b 与c 共线,则a 与c 共线 其中正确命题的个数是（ ）DBAA ．1个B ．2个C ．3个D ．4个2、如图所示，D 、E 、F 分别是△ABC 的边AB 、BC 、CA 的中点,则DB AF -＝( )A. B.C.FED.BE3、在平行四边形ABCD 中，下列各式中成立的是（ ） A ．+=AB BC CA B ．+=AB AC BC C ．+=AC BA AD D ．+=AC AD DC4．下面给出的四个式子中，其中值不一定为0的是（ ） A.AB BC CA ++ B.OA OC BO CO +++ C.AB AC BD CD -+- D.NQ QP MN MP ++-5．在平行四边形ABCD 中，若AB AD AB AD +=-则必有 ( ) A. 0AD = B. 00AB AD ==或 C. ABCD 是矩形 D. ABCD 是正方形6、如图所示，OADB 是以向量=，=为边的平行四边形，又BM=31BC ，CN=31CD ．试用，表示OM ，ON ，．7、设两个非零向量1e 、2e 不是平行向量（1）如果AB =1e +2e ，BC =21e +82e ，CD =3(21e e -)，求证A 、B 、D 三点共线； （2）试确定实数k 的值，使k 1e +2e 和1e +k 2e 是两个平行向量．OADBCMN变式: 已知OA 、OB 不共线，OP =a OA +b OB ． 求证：A 、P 、B 三点共线的充要条件是a +b =1．1．平面向量的基本定理：如果1e ，2e 是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a ，有且只有一对实数λ1，λ2使a = （2）平面向量的坐标运算： 两个向量和与差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和与差；一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点坐标减去始点的坐标。
2024年新高考版数学专题1_6.1 平面向量的概念及线性运算、平面向量基本定理及坐标表示
零向量和共线向量不能作基底.
2.平面向量的坐标运算
已知a=(x1,y1),b=(x2,y2).
则a+b=(x1+x2,y1+y2),a-b=(x1-x2,y1-y2),λa=(λx1,λy1),a∥b⇔x1y2-x2y1=0.
3.向量的坐标表示
若A(x1,y1),B(x2,y2),则
AB
=(x2-x1,y2-y1).
1 2
( BD
- BA )= BA +
1 4
BC
-
1 2
BA =
1 2
BA +
1 4
BC
,∴D
错误.故选AC.
答案 AC
考法二 向量共线问题的求解方法
1.两非零向量共线是指存在实数λ,使两向量可以相互表示,在应用时注意
待定系数法和方程思想的应用.
2.证明三点共线问题,可用向量共线来解决,但应注意向量共线和三点共
λ(μa)=(λμ)a; (λ+μ)a=λa+μa; λ(a+b)=λa+λb
2.共线向量定理 向量a(a≠0)与b共线的充要条件是存在唯一一个实数λ,使b=λa.
考点二 平面向量基本定理及坐标运算
1.平面向量基本定理
如果e1,e2是同一平面内的两个不共线向量,那么对于这一平面内的任意向 量a,有且只有一对实数λ1,λ2,使a=λ1e1+λ2e2.我们把{e1、e2}叫做表示这个平 面内所有向量的一个基底.
答案 6
高考 数学
专题六 平面向量
6.1 平面向量的概念及线性运算、平面向量基本定理及坐标表示
基础篇
考点一 平面向量的概念及线性运算 1.向量的线性运算
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例 3 已知△ABC 的三个顶点 A、B、C 及平面
内一点
P
满足
uuur PA
uuur PB
uuur PC
uuur AB
，则点
P
与△ABC
的关系为( D )
A．P 在△ABC 内部
B．P 在△ABC 外部
C．P 在 AB 边所在直线上
D．P 是 AC 边的一个三等分点
【解析】∵
uuur PA
uuur PB
也平分∠BAC.由 OP OA AP 知 P 的轨迹为∠
BAC 的平分线，一定通过△ABC 的内心，故正确．
故填①④⑤⑥.
uuur AB
uuur
【点评】(1)
uuur AB
表示与
AB
同方向的单位向量．(2)
向量的基本概念、几何意义常在客观题中出现， 要求学生概念清晰，并能灵活运用．
二、线性运算 例 2 在△ABC 中，点 D 在 AB 上，且 AD∶DB＝2∶
①已知 λ，μ∈R，则(λ＋μ)a 与 a 共线；
②向量 uauu与r 向u量uurb 平行，则 a 与 b 的方向相同或相反； ③向量 AB 与 CD 是共线向量，则 A、B、C、D 必在同一
直线上；
uuur uuur
④四边形 ABCD 是平行四边形的充要条件是 AB ＝ DC ；
uuu⑤r 已uu知ur Au、uurB、C 是不共线的三点，O 是△ABC 内的一点， 若 OA OB OC 0 ，则 O 是△ABC 的重心；
uuur AE
＝23
uuur AC
.
由三角形法则，可知
uuur DE
＝
uuur AE
－
uuur AD
＝23
uuur AC
－23
uuur AB
＝23(b－a)，
由平行四边形法则
uuuur AM
＝12(
uuur AB
＋
uuur AC
)＝12(a＋b)，
则
uuur AN
＝23
uuuur AM
＝23·12(a＋b)＝13(a＋b)，
5．在平行四边形 ABCD 中，E 和 F 分别是边 CD 和 BC 的
4
uuur uuur uuur
中点．若 AC AE AF ，其中，λ，μ∈R，则 λ＋μ＝ 3 .
【知识要点】
1．向量的有关概念．
(1)向量：既有大小又有方向的量叫向量，一般用 a，
b，c，…，来表示，或用有向线段的起点与终点的大写字母来 表示，如：A→B.向量的大小，即向量的长度(或称模)，记作|A→B|.
因此 C 不对．
若
C，D
同时在线段
AB
的延长线上，则
uuur AC
＝λ
uuur AB
时，
λ>1，
uuur AD
＝μ
uuur AB
时，
μ>1，此时1λ＋μ1<2，与已知1λ＋μ1＝2
矛盾，故 C，D 不可能同时在线段 AB 的延长线上．
【命题立意】本小题考查了对向量共线的理解及应 用、利用所学知识分析解决问题的能力以及推理论 证能力，求解时应明确，若点 C 在线段 AB 上，则
第27讲 平面向量的概念及运算
【学习目标】
理解向量的概念及其几何表示，理解向量相等与共线 的含义及几何意义．
掌握向量的加法、减法、数乘运算及其几何意义、并 能灵活应用．
【基础检测】
1．如图，e1，e2 为互相垂直的单位向量，
则向量 a－b 可表示为( C )
A．3e2－e1 B．－2e1－4e2 C．e1－3e2 D．3e1－e2
的中点，则有
uuur AC
＝1 2
uuur AB
，此时
λ＝12.又1λ＋μ1＝2，所以1μ＝
0，不可能成立．因此 A 不对，同理 B 不对．
当
C，D
同时在线段
AB
上时，由
uuur AC
＝λ
uuur AB
，uAuDur
＝μ
uuur AB
知 0<λ<1,0<μ<1，此时1λ＋1μ>2，与已知条件1λ＋1μ＝2 矛盾，
BA
∴
BA
＝3 CB
，∴
uuur CB
＝3.故选
D.
D．3
【点评】解此题的关键在于凑成共起点的 减法，以便化简．
1．向量线性运算技巧 (1)用已知向量表示与其相关的另外一些向量时，在运 用向量的加法、减法、数乘运算的同时，应充分利用平面 几何的一些基本定理． (2)在求向量时尽可能转化到某平行四边形或三角形 内、以便运用平行四边形法则和三角形法则，涉及到线段 比时，一方面考虑平行线定理，另一方面充分运用数乘运 算的几何意义． 2．向量共线问题 (1)向量共线的充要条件中要注意当两向量共线时，通 常只有非零向量才能表示与之共线的其他向量，要注意待 定系数法和方程思想的运用． (2)证明三点共线问题，可用向量共线来解决，但应注 意向量共线与三点共线的区别与联系，当两向量共线且有 公共点时，才能得出三点共线．
uuur在平uuur行四u边 uur 形uuBurOCD 中，设 BC 与 OD 相交于 E， 则 BE EC ， OE ED .
所以 AE 是△ABC 的边 BC 的中线，且|OuuAur |＝2|OuuEur |.
所以 O 是△ABC 的重心，故正确．
uuur uuur
⑥
AB uuur AB
(2011 山东)设 A1，A2，A3，A4 是平面直角坐标系中两两不
uuuur uuuur
同的四点，若 A1A3 ＝λ A1A2
uuuur uuuur
(λ∈R)， A1A4 ＝μ A1A2
(μ∈R)，且1λ＋
μ1＝2，则称 A3，A4 调和分割 A1，A2.已知平面上的点 C，D 调和
分割点 A，B，则下面的说法正确的是( D )
与
AC uuur AC
分别表示A→B与A→C方向的单位向
量，设它们分别为
uuur AB
'
与
uuur AC
边的平行四边形是一个菱形
uuur
uuur uuur
分∠BAC，AP ' ＝uλu(urAB ' ＋uuurAC
' ，设以它们为两条邻
AB′uuPur′C′，
uuur AP
'
平
'u)u与ur AP ' 的方向相同，
uuur PC
uuur AB
∴
uuur PA
＋
uuur PC
＝
uuur AB
－
uuur PB
＝
uuur AB
＋
uuur BP
＝
uuur AP
∴
uuur PC
＝
uuur AP
－
uuur PA
＝2
uuur AP
故 A、P、C 三点共线且 P 是 AC 边的一个三等分点．故
选 D.
【点评】本题要充分利用减法的运算法则及向量共线 的充要条件．解此类问题时尽量造成共起点的两向量 相减或首尾相接的向量之和，以方便化简．
2．若 O、E、F 是不共线的任意三点，则
以下各式uuur中成uu立ur 的uu是ur ( B )
A.
EF
uuur
OF
uuur
OE
uuur
B. uEuuFr OuuFur uOuurE
C. EuuFur OuuFur uOuuEr
D. EF OF OE
3．在△ABC
中，
uuur AB
＝a，
向量的减法符合
三角形法则
．如图所示的向量
uuur BA
＝a－b(以减向量的终点为起点，被减向量的终点为终点的
向量)．
3．向量的数乘运算． (1)数乘向量的定义 实数 λ 与向量 a 的积是一个向量，记作 λa， 它的长度与方向规定如下：|λa|＝|λ||a|； 当 λ>0 时，λa 与 a 的方向 相同 ； 当 λ<0 时，λa 与 a 的方向相反； 当 λ＝0 时，λa＝0； 当 a＝0 时，λa＝ 0 . (2)数乘向量的几何意义 数乘向量的几何意义就是把向量 a 沿 a 的 方向或 a 的反方向放大或缩短．
uuuur DM
＝
uuuur AM
－
uuur AD
＝12(
uuur AB
＋
uuur AC
)－23
uuur AB
＝－16
uuur AB
＋12
uuur AC
＝－16a＋12b.
【点评】问题涉及与平面图形相关的向量运 算的求解，其策略是恰当运用三角形法则和平行 四边形法则，同时注意向量的数乘运算几何意义 的应用．
⑥O 是平面内一定点，A、B、C 是平面内不共线的三个点，
动点
P
uuur uuur
满足 OP OA (
uuur uAuBur AB
uuur uAuCur AC
) ，λ∈[0，＋∞)，则点
P
的
轨迹一定通过△ABC 的内心．
其中正确命题是 ①④⑤⑥ (填命题的序号)．
【解析】①由实数与向量的积，可知其正确．
uuur uuur
当 AC ＝λ AB 时，0<λ<1，而当点 C 在线段 AB 的延
uuur uuur uuur
⑤因为 OA OB OC 0 ，
所以
uuur OA
uuur (OB
uuur OC )
，即
uuur OB
OuuCur是与
uuur OA
方向相
反且长度相等的向量．