平面向量的概念及运算

1，uDuEur∥BC 交uuurAC 于 E，BC 边上的中线uuuArM 交uuurDE u于uuuNr ， 记 AB ＝a，AC ＝b，用 a，b 表示向量 DE 、AN 、DM .
【解析】(如图)由 D 在 AB 中且 AD∶DB＝2∶1，
可得
uuur AD
＝23
uuur AB
，又
DE∥BC，则
(2011 山东)设 A1，A2，A3，A4 是平面直角坐标系中两两不
uuuur uuuur
同的四点，若 A1A3 ＝λ A1A2
uuuur uuuur
(λ∈R)， A1A4 ＝μ A1A2
(μ∈R)，且1λ＋
μ1＝2，则称 A3，A4 调和分割 A1，A2.已知平面上的点 C，D 调和
分割点 A，B，则下面的说法正确的是( D )
三、向量共线的判定与应用 例 4 已知 A、B、C 是平面内互异的三点，O 为平面 上任意一点且O→C＝xO→A＋yO→B，求证：A、B、C 三点共 线的充要条件是 x＋y＝1.
【解析】若 A、B、C 三点共线，则存在 λ ∈R 使得B→C＝λA→B，
∴O→C－O→B＝λ(O→B－O→A)， ∴O→C＝O→B＋λ(O→B－O→A) ＝－λO→A＋(1＋λ)O→B，
上．
2．向量的加、减运算． (1)向量加、减法的定义 求两个向量和的运算叫做向量的加法；
若 b＋x＝a ，则向量 x 叫做 a 与 b 的差．
(2)向量加、减法的几何意义 向量加法的几何意义：
向量的加法符合平行四边形法则和 三角形法则 ． uuur
如图所示的向量 AC ＝a＋b.
向量减法的几何意义：
2．若 O、E、F 是不共线的任意三点，则
以下各式uuur中成uu立ur 的uu是ur ( B )
A.
EF
uuur
OF
uuur
OE
uuur
B. uEuuFr OuuFur uOuurE
C. EuuFur OuuFur uOuuEr
D. EF OF OE
3．在△ABC
中，
uuur AB
＝a，
例 3 已知△ABC 的三个顶点 A、B、C 及平面
内一点
P
满足
uuur PA
uuur PB
uuur PC
uuur AB
，则点
P
与△ABC
的关系为( D )
A．P 在△ABC 内部
B．P 在△ABC 外部
C．P 在 AB 边所在直线上
D．P 是 AC 边的一个三等分点
【解析】∵
uuur PA
uuur PB
uuuur DM
＝
uuuur AM
－
uuur AD
＝12(
uuur AB
＋
uuur AC
)－23
uuur AB
＝－16
uuur AB
＋12
uuur AC
＝－16a＋12b.
【点评】问题涉及与平面图形相关的向量运 算的求解，其策略是恰当运用三角形法则和平行 四边形法则，同时注意向量的数乘运算几何意义 的应用．
(3)数乘向量的运算律 设 λ、μ 为实数，则 (λ＋μ)a＝λa＋μa； λ(μa)＝(λμ)a； λ(a＋b)＝λa＋λb. (4)共线向量(平行向量基本定理)
若 a＝λb，则 a∥b；反之，若 a∥b(b≠0)，
则一定存在一个实数 λ，使 a＝λb.
一、向量及其几何意义
例 1 给出下列命题：
A．C 可能是线段 AB 的中点
B．D 可能是线段 AB 的中点
C．C，D 可能同时在线段 AB 上
D．C，D 不可能同时在线段 AB 的延长线上
【解析】依题意，若 C，D 调和分割点 A，B，则有
uuur AC
＝λ
uuur AB
，
uuur AD
＝μ
uuur AB
，且1λ＋μ1＝2.若
C
是线段
AB
BA
∴
BA
＝3 CB
，∴
uuur CB
＝3.故选
D.
D．3
【点评】解此题的关键在于凑成共起点的 减法，以便化简．
1．向量线性运算技巧 (1)用已知向量表示与其相关的另外一些向量时，在运 用向量的加法、减法、数乘运算的同时，应充分利用平面 几何的一些基本定理． (2)在求向量时尽可能转化到某平行四边形或三角形 内、以便运用平行四边形法则和三角形法则，涉及到线段 比时，一方面考虑平行线定理，另一方面充分运用数乘运 算的几何意义． 2．向量共线问题 (1)向量共线的充要条件中要注意当两向量共线时，通 常只有非零向量才能表示与之共线的其他向量，要注意待 定系数法和方程思想的运用． (2)证明三点共线问题，可用向量共线来解决，但应注 意向量共线与三点共线的区别与联系，当两向量共线且有 公共点时，才能得出三点共线．
(2)零向量： 长度为零 的向量，记作 0，其方向是任意
的，我们规定：零向量和任何向量平行．
(3)单位向量： 长度等于1个 单位长度的向量． (4)相等向量：长度相等且方向相同 的向量．相等向量经
过平移后总可以重合，记为 a＝b.
(5)平行向量：方向相同或相反的非零向量，也叫做共线
向量，因为任何平行向量经过平移后，总可以移到同一条直线
①已知 λ，μ∈R，则(λ＋μ)a 与 a 共线；
②向量 uauu与r 向u量uurb 平行，则 a 与 b 的方向相同或相反； ③向量 AB 与 CD 是共线向量，则 A、B、C、D 必在同一
直线上；
uuur uuur
④四边形 ABCD 是平行四边形的充要条件是 AB ＝ DC ；
uuu⑤r 已uu知ur Au、uurB、C 是不共线的三点，O 是△ABC 内的一点， 若 OA OB OC 0 ，则 O 是△ABC 的重心；
②若其中一个是零向量，则其方向不确定，故不正确．
③
uuur AB
∥
uuur CD
，AB
和
CD
可以共线，也可以平行，故不正
确．
④若四边形
ABCD
是平行四边形，则
AB
P
CD，所以
uuur AB
＝
uuur DC
；若四边形
ABCD
中，
uuur AB
＝
uuur DC
，则
AB
P
CD，所以四边
形 ABCD 是平行四边形，故正确．
uuur uuur uuur
⑤因为 OA OB OC 0 ，
所以
uuur OA
uuur (OB
uuur OC )
，即
uuur OB
OuuCur是与
uuur OA
方向相
反且长度相等的向量．
如图所示，uuu以r OuuBur、OuuCur 为相邻的uu两ur 边作uu平ur 行四边 形 BOCD，则 OD OB OC ，所以 OD OA ，
因此 C 不对．
若
C，D
同时在线段
AB
的延长线上，则
uuur AC
＝λ
uuur AB
时，
λ>1，
uuur AD
＝μ
uuuwk.baidu.com AB
时，
μ>1，此时1λ＋μ1<2，与已知1λ＋μ1＝2
矛盾，故 C，D 不可能同时在线段 AB 的延长线上．
【命题立意】本小题考查了对向量共线的理解及应 用、利用所学知识分析解决问题的能力以及推理论 证能力，求解时应明确，若点 C 在线段 AB 上，则
的中点，则有
uuur AC
＝1 2
uuur AB
，此时
λ＝12.又1λ＋μ1＝2，所以1μ＝
0，不可能成立．因此 A 不对，同理 B 不对．
当
C，D
同时在线段
AB
上时，由
uuur AC
＝λ
uuur AB
，uAuDur
＝μ
uuur AB
知 0<λ<1,0<μ<1，此时1λ＋1μ>2，与已知条件1λ＋1μ＝2 矛盾，
uuur在平uuur行四u边 uur 形uuBurOCD 中，设 BC 与 OD 相交于 E， 则 BE EC ， OE ED .
所以 AE 是△ABC 的边 BC 的中线，且|OuuAur |＝2|OuuEur |.
所以 O 是△ABC 的重心，故正确．
uuur uuur
⑥
AB uuur AB
与
AC uuur AC
分别表示A→B与A→C方向的单位向
量，设它们分别为
uuur AB
'
与
uuur AC
边的平行四边形是一个菱形
uuur
uuur uuur
分∠BAC，AP ' ＝uλu(urAB ' ＋uuurAC
' ，设以它们为两条邻
AB′uuPur′C′，
uuur AP
'
平
'u)u与ur AP ' 的方向相同，
AB uuur BC
＝(
D
)
1 A.3
1 B.2
C．2
uuur uuur uuur
【解析】∵
uuur uuur
OA
－uu4ur
OB
u＋uur3
OC
＝0
∴
OA uuur
－
OuCuur＝4(
OB －
uuur
OuCuur)
uuur
∴ CA ＝4 CB ，∴ CB ＋ BA ＝4CB
uuur
uuur uuur
第27讲 平面向量的概念及运算
【学习目标】
理解向量的概念及其几何表示，理解向量相等与共线 的含义及几何意义．
掌握向量的加法、减法、数乘运算及其几何意义、并 能灵活应用．
【基础检测】
1．如图，e1，e2 为互相垂直的单位向量，
则向量 a－b 可表示为( C )
A．3e2－e1 B．－2e1－4e2 C．e1－3e2 D．3e1－e2
uuur PC
uuur AB
∴
uuur PA
＋
uuur PC
＝
uuur AB
－
uuur PB
＝
uuur AB
＋
uuur BP
＝
uuur AP
∴
uuur PC
＝
uuur AP
－
uuur PA
＝2
uuur AP
故 A、P、C 三点共线且 P 是 AC 边的一个三等分点．故
选 D.
【点评】本题要充分利用减法的运算法则及向量共线 的充要条件．解此类问题时尽量造成共起点的两向量 相减或首尾相接的向量之和，以方便化简．
uuur AC
＝b，D
为
BC 中点，则
uuur AD
1
(a
b)
2
．
4．已知向量 a、b 不共线，c＝ka＋b(k∈R)，
d＝a－b，若 c∥d，则 k＝_－__1_，且 c 与 d 的方 向 相反 ．
【解析】∵c∥d 则 c＝λd 即 ka＋b＝λ(a－b)， 又 a 与 b 不共线，则λk＝＝－λ 1 即 k＝－1.
uuur AE
＝23
uuur AC
.
由三角形法则，可知
uuur DE
＝
uuur AE
－
uuur AD
＝23
uuur AC
－23
uuur AB
＝23(b－a)，
由平行四边形法则
uuuur AM
＝12(
uuur AB
＋
uuur AC
)＝12(a＋b)，
则
uuur AN
＝23
uuuur AM
＝23·12(a＋b)＝13(a＋b)，
⑥O 是平面内一定点，A、B、C 是平面内不共线的三个点，
动点
P
uuur uuur
满足 OP OA (
uuur uAuBur AB
uuur uAuCur AC
) ，λ∈[0，＋∞)，则点
P
的
轨迹一定通过△ABC 的内心．
其中正确命题是 ①④⑤⑥ (填命题的序号)．
【解析】①由实数与向量的积，可知其正确．
也平分∠BAC.由 OP OA AP 知 P 的轨迹为∠
BAC 的平分线，一定通过△ABC 的内心，故正确．
故填①④⑤⑥.
uuur AB
uuur
【点评】(1)
uuur AB
表示与
AB
同方向的单位向量．(2)
向量的基本概念、几何意义常在客观题中出现， 要求学生概念清晰，并能灵活运用．
二、线性运算 例 2 在△ABC 中，点 D 在 AB 上，且 AD∶DB＝2∶
5．在平行四边形 ABCD 中，E 和 F 分别是边 CD 和 BC 的
4
uuur uuur uuur
中点．若 AC AE AF ，其中，λ，μ∈R，则 λ＋μ＝ 3 .
【知识要点】
1．向量的有关概念．
(1)向量：既有大小又有方向的量叫向量，一般用 a，
b，c，…，来表示，或用有向线段的起点与终点的大写字母来 表示，如：A→B.向量的大小，即向量的长度(或称模)，记作|A→B|.
则xy＝ ＝－1＋λλ ，∴x＋y＝1. 若 x＋y＝1，又O→C＝xO→A＋yO→B＝xO→A＋(1 －x)O→B， ∴O→C－O→B＝x(O→A－O→B)，∴B→C＝xB→A. ∴A、B、C 三点共线．
〔备选题〕例 5 已知平面上不共线的四点 O、A、
uuur
uuur uuur uuur
B、C，若 OA －4 OB ＋3 OC ＝0，则
uuur uuur
当 AC ＝λ AB 时，0<λ<1，而当点 C 在线段 AB 的延
向量的减法符合
三角形法则
．如图所示的向量
uuur BA
＝a－b(以减向量的终点为起点，被减向量的终点为终点的
向量)．
3．向量的数乘运算． (1)数乘向量的定义 实数 λ 与向量 a 的积是一个向量，记作 λa， 它的长度与方向规定如下：|λa|＝|λ||a|； 当 λ>0 时，λa 与 a 的方向 相同 ； 当 λ<0 时，λa 与 a 的方向相反； 当 λ＝0 时，λa＝0； 当 a＝0 时，λa＝ 0 . (2)数乘向量的几何意义 数乘向量的几何意义就是把向量 a 沿 a 的 方向或 a 的反方向放大或缩短．