电磁振荡与电磁波
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I max
t =T/4
I = max, We ⇒ 0, Wm ⇒ max
放电完毕，自感作用 产生与原来方向相同电流 产生与原来方向相同电流， 放电完毕，自感作用,产生与原来方向相同电流，反 向充电, 向充电 I 逐渐 ，Wm ↓ ，q , We
I =0−−
++
t =2T/4
I = 0, We ⇒ max, Wm ⇒ 0
赫兹----德国物理学家 赫兹 德国物理学家 赫兹对人类伟大的贡献是 用实验证实了电磁波的存在 证实了电磁波的存在， 用实验证实了电磁波的存在， 发现了光电效应。 发现了光电效应。 1888年，成了近代科学史上的 年 一座里程碑。开创了无线电电子技术 一座里程碑。开创了无线电电子技术 的新纪元。 的新纪元。 赫兹对人类文明作出了很大贡献，他于 赫兹对人类文明作出了很大贡献，他于1894年 年 因血中毒逝世，年仅36岁 为了纪念他的功绩， 因血中毒逝世，年仅 岁。为了纪念他的功绩，人 们用他的名字来命名各种波动频率的单位，简称 们用他的名字来命名各种波动频率的单位， “赫”。
E H
LL
麦克斯韦由电磁理论预见了电磁波的存在是在 1865 年，二十余 年之后， 年用振荡电偶极子产生了电磁波， 年之后，赫兹于 1888 年用振荡电偶极子产生了电磁波，他的实 验在历史上第一次直接验证了电磁波的存在， 验在历史上第一次直接验证了电磁波的存在，并且还证明了这种 电磁波就是光波， 光波本质上也是电磁波。 电磁波就是光波，即光波本质上也是电磁波。
u
+ +
u
振荡电偶极子辐射球面电磁波 振荡电偶极子辐射球面电磁波 方向 r E 沿经线振荡
r H
r u 沿
r r
r u
r p
θr r
沿纬线振荡
特点： 特点： （1）横波 ）
r E
r H
ϕ
sin θ （2）E、H 振幅 ∝ ） 、 r
θ = 0、π π θ= 2
Em、Hm = 0
Em、Hm 最大
电磁波的接收 振子 谐振器
( 2) + ( 3)
1 1 2 2 2 W总 = L ω q m = LI m 2 2 2 2 W总 = 1 L ω 2 q m = 1 1 q m
1 ω = LC 1 = Lω 2 C
2
磁能极大值（常数） 磁能极大值（常数） 电能极大值（常数） 电能极大值（常数）
2 2C 注意： 随时间周期性变化 总能量守恒。 周期性变化， （1） We 、W m 随时间周期性变化，总能量守恒。 ）
电 磁 振 荡
与
电 磁 波
电磁波的产生和传播 按照麦克斯韦电磁场理论， 按照麦克斯韦电磁场理论，变化的电场在其周围空间要产生 变化磁场，而变化的磁场又要产生新的变化电场。这样， 变化磁场，而变化的磁场又要产生新的变化电场。这样，变化电 场和变化磁场之间相互依赖，相互激发，交替产生， 场和变化磁场之间相互依赖，相互激发，交替产生，并以一定速 度由近及远地在空间传播出去。 度由近及远地在空间传播出去。
− −
回到初始状态
(2)振荡方程： 振荡方程： 振荡方程 LC电路中，任一时刻系统的总能量不变：W=常量 电路中， 电路中 任一时刻系统的总能量不变： 常量 1 q2 那么： dt 那么： dW = 0 而：W= Wm + We = LI 2 +
2 2C
d 2q 1 q=0 2 + dt LC
令:
6
3
10 5
电磁波的波动方程
一、波动方程： 波动方程： 1、球面波 、
E = E
m
r r P = ql
cos ω ( t − cos ω ( t −
m
r u r u ) )
+q r θ l −q
r r
H = H
ω Pm sinθ Em = 2 4πεu r
2
ω Pm sinθ Hm = 4πur
2
1 ω = LC
2 0
+ +
− −
d 2x +ω 2x = 0） （类似于 2 dt q = q m cos( ω 0 t + ϕ ) 其解： 其解： π I = −ω 0 qm sin( ω 0 t + ϕ ) = I m cos(ω 0 t + ϕ + ) 2 电磁振荡中，q、I、We、Wm都在周期性变化， 、、 q⇒ x ⇒ We ⇒ Wp 其变化与弹簧谐振子类似： 其变化与弹簧谐振子类似： i ⇒ v
+q
i
l
−q
将两端的电荷q q = q 0 l cos ω t 将两端的电荷 0看成不变
+ qo
+
而是距离 l = l0 cos ωt 变化
t =0 l
±
.
⊗
⊗
.
⊗
±
.
⊗
− qo
.
± ± ± ±
.
⊗
⊗
⊗
⊗ ⊗ ⊗ ⊗
. .
. .
振荡电偶极子周围的电磁场
+q
−q
电力线与磁力线分布 磁力线 × × . × . . . . . × .. × ×. × . . ×× ×× . . . . × ×. . . × ×. × . . . . .× ×× . × × . . . . × . × . × .× . . .× ×× . .× × × ×× . ×. . × ×. . × × × . . . ×× × . × × . × × .× ×× . . × × × . . . . 电力线
电磁波的应用
用实验证明了电磁波的存在， 从1888年赫兹用实验证明了电磁波的存在， 年赫兹用实验证明了电磁波的存在 1895年俄国科学家波波夫发明了第一个无线电报系统。 年俄国科学家波波夫发明了第一个无线电报系统。 第一个无线电报系统 1914年语音通信成为可能。 年语音通信成为可能。 成为可能 1920年商业无线电广播开始使用。 年商业无线电广播开始使用。 无线电广播开始使用 20世纪 年代发明了雷达。 世纪30年代发明了雷达 世纪 年代发明了雷达。 40年代雷达和通讯得到飞速发展， 年代雷达和通讯得到飞速发展， 年代雷达和通讯得到飞速发展 年代第一颗人造卫星上天， 自50年代第一颗人造卫星上天，卫星通讯事业得到迅猛发展。 年代第一颗人造卫星上天 卫星通讯事业得到迅猛发展。 如今电磁波已在通讯、遥感、空间控测、军事应用、 如今电磁波已在通讯、遥感、空间控测、军事应用、科学研究 等诸多方面得到广泛的应用。 等诸多方面得到广泛的应用。
2、 （球面波在远处可以看成）平面波 、 球面波在远处可以看成） 变化的电场 E 与变化的磁场 H 是互相垂直的 ， 理 方向振动， 论和实践都证明： 论和实践都证明：若 E 在 Y 方向振动，H 在 Z 方向 振动， 方向传播。 振动，则电磁波在 X 方向传播。 波 动 方 程
1 ∂2E x ∂2E = 2 ) 2 2 ⇒ E y = E ym cos ω( t − u ∂t ∂x u
2 0
2
周期： 周期： T =
二、电磁波 1.电磁波产生的条件： 电磁波产生的条件： 电磁波产生的条件 只要波源 ——电磁振荡源
++++
L
−−−−
C
LC振荡电路理论上可以发射电磁波 实际上不能 振荡电路理论上可以发射电磁波 原因： 电场、磁场分别集中在电容器、 原因： 电场、磁场分别集中在电容器、自感线圈中 4 1 太低， < S >∝ ω ω太低，辐射功率很小 ω
2.振荡偶极子发射的电磁波 振荡偶极子发射的电磁波 发射天线上电流在往复振荡，两端出现正、 发射天线上电流在往复振荡，两端出现正、负交替等 量异号电荷 q = q 0 cos ω t 电路存在振荡偶极子： 电路存在振荡偶极子： p = ql = q 0 l cos ω t = p0 cos ω t
1
r r 2. E 和 H 的变化是同步的，位相相同，数量（幅值） 的变化是同步的，位相相同，数量（幅值）
关系为： 关系为：
ε 0µ0
= 3 × 108 m ⋅ S −1 = C
εE =
µH H = B
在真空中： 在真空中： E = CB B << E r r r r r 3. E ⊥ H ⊥ u E × H 的方向就是 的方向 的方向就是u的方向 r r 在各自的平面上振动，是横波。 E H 在各自的平面上振动，是横波。
1/ C ⇒ k
L⇒ m
Wm ⇒ Wk
d 2q + ω 02 q = 0 振荡方程： 振荡方程： dt 2
二、L —C振荡电路的能量 振荡电路的能量
1 q2 1 2 2 2 We = CV = qm cos (ω t + ϕ )LL(1) = 2 2C 2C 1 1 2 2 W m = LI = Lq m ω 2 sin 2 ( ω t + ϕ ) L L ( 2 ) 2 2 1 2 = L ω 2 q m cos 2 ( ω t + ϕ ) L L ( 3 ) ∴We 2
C
A
B
感应圈 发射
D
接收
频率
10 22
电磁波谱
γ 射线
X 射线
波长
10
13
0
10
1T HZ 10 1G HZ 10 1M HZ 10 1K HZ 10
15
紫外线
可见光
1A 9 10 1nm 10 10
6
12
红外线 微 波 雷达 高频电视 调频广播 无线电射频 电力传输
2
1µ m 1cm
9
10 0 1m 10 3 1km
反向放电，电流与原方向相反因自感作用 反向放电，电流与原方向相反因自感作用, I 逐渐 ， q , We , Wm
I max
t =3T/4
I = max, We ⇒ 0, Wm ⇒ max
I=0 + +
放电完毕， 自感作用、 放电完毕，因Wm ↓ 自感作用、产生与原来方向相同 的电流， 的电流，电容器重新充电 t =4T/4
x ∂2H 1 ∂2H ⇒ H Z = H Zm cos ω( t − ) = 2 2 2 u u ∂t ∂x Y
E
O
X Z
应用程序
H
平面电磁波的性质： 平面电磁波的性质：
1 1. 电磁波的速度： u = 电磁波的速度： εµ
u 电磁波在真空中的速度： 电磁波在真空中的速度： 0 =
E y = E ym cosω (t − x ) u H Z = H Zm cosω (t − x ) u
波源? 波源 ——凡做加速运动的电荷都是电磁波的波源 凡做加速运动的电荷都是电磁波的波源 -----这里我们介绍电磁振荡电路 这里我们介绍电磁振荡电路
第17章 电磁振荡与电磁波 章
一、LC 电路的电磁振荡 1.无阻尼自由振荡过程 ——LC振荡 无阻尼自由振荡过程 振荡 电磁振荡：电路中电量和电流的周期性变化 电磁振荡：电路中电量和电流的周期性变化. 振荡电路：产生电磁振荡的回路 振荡电路：产生电磁振荡的回路. L C
ω
=
LC
要能够发射电磁波 提高ω ，
ω
ε0 S
d
=
1 LC
C=
L = µ0n2V
+q
发射天线上电流在往复 振荡，两端出现正、 振荡 ， 两端出现正 、 负 l 交替等量异号电荷， 从 交替等量异号电荷 ， i LC振荡电路到振荡电偶 振荡电路到振荡电偶 振荡电路到 极子 −q
天线
开来自百度文库振荡电路
利用电偶极子发射电磁波。 利用电偶极子发射电磁波。
d 2q dq 2 即： 2 + 2 β + ω 0 q = 0 比较 dt dt
d2 x dx 2 + 2β + ω0 x = 0 dt dt2
讨 论：
q(t ) = q0e − β ⋅t cos(ωr t + ϕ0 ) * 弱阻尼： 弱阻尼：
2π
2 ω0 − β 2
频率： 频率： ω r =
ω −β
µ
E = B = uB
εµ
4.电磁波的频率，等于偶极子的振动频率。 电磁波的频率，等于偶极子的振动频率。 电磁波的频率 5.具有反射、折射、干涉、衍射、偏振等特性 具有反射、折射、干涉、衍射、 具有反射
电磁场的能量密度与能流密度表达式
1. 能量密度
1 2 电场 we = εE 2
无阻尼振荡电路：电路无电阻、无辐射、 无阻尼振荡电路：电路无电阻、无辐射、产生的电 磁振荡是无阻尼自由振荡. 磁振荡是无阻尼自由振荡 (1)振荡过程 振荡过程: 振荡过程
I=0
+ + q
− −
t =0
I = 0 , W e ⇒ max, W m ⇒ 0
, We , Wm
放电，自感作用， 放电，自感作用，I 逐渐 ，q
电荷振幅） （2） W总∝ q2m (电荷振幅） ） 电荷振幅 （3）能量变化频率是振荡频率的 2 倍，且 ）
< We > = < Wm > 1 = W总 2
3. LCR 电路 ——阻尼振荡 阻尼振荡 L di + 1 q = 0 dt C (1)电路 (2)方程： 方程： 电路 方程 R L di + iR + 1 q = 0 dt C L C 1 2 R ω0 = 2β = 令： L LC
t =T/4
I = max, We ⇒ 0, Wm ⇒ max
放电完毕，自感作用 产生与原来方向相同电流 产生与原来方向相同电流， 放电完毕，自感作用,产生与原来方向相同电流，反 向充电, 向充电 I 逐渐 ，Wm ↓ ，q , We
I =0−−
++
t =2T/4
I = 0, We ⇒ max, Wm ⇒ 0
赫兹----德国物理学家 赫兹 德国物理学家 赫兹对人类伟大的贡献是 用实验证实了电磁波的存在 证实了电磁波的存在， 用实验证实了电磁波的存在， 发现了光电效应。 发现了光电效应。 1888年，成了近代科学史上的 年 一座里程碑。开创了无线电电子技术 一座里程碑。开创了无线电电子技术 的新纪元。 的新纪元。 赫兹对人类文明作出了很大贡献，他于 赫兹对人类文明作出了很大贡献，他于1894年 年 因血中毒逝世，年仅36岁 为了纪念他的功绩， 因血中毒逝世，年仅 岁。为了纪念他的功绩，人 们用他的名字来命名各种波动频率的单位，简称 们用他的名字来命名各种波动频率的单位， “赫”。
E H
LL
麦克斯韦由电磁理论预见了电磁波的存在是在 1865 年，二十余 年之后， 年用振荡电偶极子产生了电磁波， 年之后，赫兹于 1888 年用振荡电偶极子产生了电磁波，他的实 验在历史上第一次直接验证了电磁波的存在， 验在历史上第一次直接验证了电磁波的存在，并且还证明了这种 电磁波就是光波， 光波本质上也是电磁波。 电磁波就是光波，即光波本质上也是电磁波。
u
+ +
u
振荡电偶极子辐射球面电磁波 振荡电偶极子辐射球面电磁波 方向 r E 沿经线振荡
r H
r u 沿
r r
r u
r p
θr r
沿纬线振荡
特点： 特点： （1）横波 ）
r E
r H
ϕ
sin θ （2）E、H 振幅 ∝ ） 、 r
θ = 0、π π θ= 2
Em、Hm = 0
Em、Hm 最大
电磁波的接收 振子 谐振器
( 2) + ( 3)
1 1 2 2 2 W总 = L ω q m = LI m 2 2 2 2 W总 = 1 L ω 2 q m = 1 1 q m
1 ω = LC 1 = Lω 2 C
2
磁能极大值（常数） 磁能极大值（常数） 电能极大值（常数） 电能极大值（常数）
2 2C 注意： 随时间周期性变化 总能量守恒。 周期性变化， （1） We 、W m 随时间周期性变化，总能量守恒。 ）
电 磁 振 荡
与
电 磁 波
电磁波的产生和传播 按照麦克斯韦电磁场理论， 按照麦克斯韦电磁场理论，变化的电场在其周围空间要产生 变化磁场，而变化的磁场又要产生新的变化电场。这样， 变化磁场，而变化的磁场又要产生新的变化电场。这样，变化电 场和变化磁场之间相互依赖，相互激发，交替产生， 场和变化磁场之间相互依赖，相互激发，交替产生，并以一定速 度由近及远地在空间传播出去。 度由近及远地在空间传播出去。
− −
回到初始状态
(2)振荡方程： 振荡方程： 振荡方程 LC电路中，任一时刻系统的总能量不变：W=常量 电路中， 电路中 任一时刻系统的总能量不变： 常量 1 q2 那么： dt 那么： dW = 0 而：W= Wm + We = LI 2 +
2 2C
d 2q 1 q=0 2 + dt LC
令:
6
3
10 5
电磁波的波动方程
一、波动方程： 波动方程： 1、球面波 、
E = E
m
r r P = ql
cos ω ( t − cos ω ( t −
m
r u r u ) )
+q r θ l −q
r r
H = H
ω Pm sinθ Em = 2 4πεu r
2
ω Pm sinθ Hm = 4πur
2
1 ω = LC
2 0
+ +
− −
d 2x +ω 2x = 0） （类似于 2 dt q = q m cos( ω 0 t + ϕ ) 其解： 其解： π I = −ω 0 qm sin( ω 0 t + ϕ ) = I m cos(ω 0 t + ϕ + ) 2 电磁振荡中，q、I、We、Wm都在周期性变化， 、、 q⇒ x ⇒ We ⇒ Wp 其变化与弹簧谐振子类似： 其变化与弹簧谐振子类似： i ⇒ v
+q
i
l
−q
将两端的电荷q q = q 0 l cos ω t 将两端的电荷 0看成不变
+ qo
+
而是距离 l = l0 cos ωt 变化
t =0 l
±
.
⊗
⊗
.
⊗
±
.
⊗
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.
± ± ± ±
.
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. .
. .
振荡电偶极子周围的电磁场
+q
−q
电力线与磁力线分布 磁力线 × × . × . . . . . × .. × ×. × . . ×× ×× . . . . × ×. . . × ×. × . . . . .× ×× . × × . . . . × . × . × .× . . .× ×× . .× × × ×× . ×. . × ×. . × × × . . . ×× × . × × . × × .× ×× . . × × × . . . . 电力线
电磁波的应用
用实验证明了电磁波的存在， 从1888年赫兹用实验证明了电磁波的存在， 年赫兹用实验证明了电磁波的存在 1895年俄国科学家波波夫发明了第一个无线电报系统。 年俄国科学家波波夫发明了第一个无线电报系统。 第一个无线电报系统 1914年语音通信成为可能。 年语音通信成为可能。 成为可能 1920年商业无线电广播开始使用。 年商业无线电广播开始使用。 无线电广播开始使用 20世纪 年代发明了雷达。 世纪30年代发明了雷达 世纪 年代发明了雷达。 40年代雷达和通讯得到飞速发展， 年代雷达和通讯得到飞速发展， 年代雷达和通讯得到飞速发展 年代第一颗人造卫星上天， 自50年代第一颗人造卫星上天，卫星通讯事业得到迅猛发展。 年代第一颗人造卫星上天 卫星通讯事业得到迅猛发展。 如今电磁波已在通讯、遥感、空间控测、军事应用、 如今电磁波已在通讯、遥感、空间控测、军事应用、科学研究 等诸多方面得到广泛的应用。 等诸多方面得到广泛的应用。
2、 （球面波在远处可以看成）平面波 、 球面波在远处可以看成） 变化的电场 E 与变化的磁场 H 是互相垂直的 ， 理 方向振动， 论和实践都证明： 论和实践都证明：若 E 在 Y 方向振动，H 在 Z 方向 振动， 方向传播。 振动，则电磁波在 X 方向传播。 波 动 方 程
1 ∂2E x ∂2E = 2 ) 2 2 ⇒ E y = E ym cos ω( t − u ∂t ∂x u
2 0
2
周期： 周期： T =
二、电磁波 1.电磁波产生的条件： 电磁波产生的条件： 电磁波产生的条件 只要波源 ——电磁振荡源
++++
L
−−−−
C
LC振荡电路理论上可以发射电磁波 实际上不能 振荡电路理论上可以发射电磁波 原因： 电场、磁场分别集中在电容器、 原因： 电场、磁场分别集中在电容器、自感线圈中 4 1 太低， < S >∝ ω ω太低，辐射功率很小 ω
2.振荡偶极子发射的电磁波 振荡偶极子发射的电磁波 发射天线上电流在往复振荡，两端出现正、 发射天线上电流在往复振荡，两端出现正、负交替等 量异号电荷 q = q 0 cos ω t 电路存在振荡偶极子： 电路存在振荡偶极子： p = ql = q 0 l cos ω t = p0 cos ω t
1
r r 2. E 和 H 的变化是同步的，位相相同，数量（幅值） 的变化是同步的，位相相同，数量（幅值）
关系为： 关系为：
ε 0µ0
= 3 × 108 m ⋅ S −1 = C
εE =
µH H = B
在真空中： 在真空中： E = CB B << E r r r r r 3. E ⊥ H ⊥ u E × H 的方向就是 的方向 的方向就是u的方向 r r 在各自的平面上振动，是横波。 E H 在各自的平面上振动，是横波。
1/ C ⇒ k
L⇒ m
Wm ⇒ Wk
d 2q + ω 02 q = 0 振荡方程： 振荡方程： dt 2
二、L —C振荡电路的能量 振荡电路的能量
1 q2 1 2 2 2 We = CV = qm cos (ω t + ϕ )LL(1) = 2 2C 2C 1 1 2 2 W m = LI = Lq m ω 2 sin 2 ( ω t + ϕ ) L L ( 2 ) 2 2 1 2 = L ω 2 q m cos 2 ( ω t + ϕ ) L L ( 3 ) ∴We 2
C
A
B
感应圈 发射
D
接收
频率
10 22
电磁波谱
γ 射线
X 射线
波长
10
13
0
10
1T HZ 10 1G HZ 10 1M HZ 10 1K HZ 10
15
紫外线
可见光
1A 9 10 1nm 10 10
6
12
红外线 微 波 雷达 高频电视 调频广播 无线电射频 电力传输
2
1µ m 1cm
9
10 0 1m 10 3 1km
反向放电，电流与原方向相反因自感作用 反向放电，电流与原方向相反因自感作用, I 逐渐 ， q , We , Wm
I max
t =3T/4
I = max, We ⇒ 0, Wm ⇒ max
I=0 + +
放电完毕， 自感作用、 放电完毕，因Wm ↓ 自感作用、产生与原来方向相同 的电流， 的电流，电容器重新充电 t =4T/4
x ∂2H 1 ∂2H ⇒ H Z = H Zm cos ω( t − ) = 2 2 2 u u ∂t ∂x Y
E
O
X Z
应用程序
H
平面电磁波的性质： 平面电磁波的性质：
1 1. 电磁波的速度： u = 电磁波的速度： εµ
u 电磁波在真空中的速度： 电磁波在真空中的速度： 0 =
E y = E ym cosω (t − x ) u H Z = H Zm cosω (t − x ) u
波源? 波源 ——凡做加速运动的电荷都是电磁波的波源 凡做加速运动的电荷都是电磁波的波源 -----这里我们介绍电磁振荡电路 这里我们介绍电磁振荡电路
第17章 电磁振荡与电磁波 章
一、LC 电路的电磁振荡 1.无阻尼自由振荡过程 ——LC振荡 无阻尼自由振荡过程 振荡 电磁振荡：电路中电量和电流的周期性变化 电磁振荡：电路中电量和电流的周期性变化. 振荡电路：产生电磁振荡的回路 振荡电路：产生电磁振荡的回路. L C
ω
=
LC
要能够发射电磁波 提高ω ，
ω
ε0 S
d
=
1 LC
C=
L = µ0n2V
+q
发射天线上电流在往复 振荡，两端出现正、 振荡 ， 两端出现正 、 负 l 交替等量异号电荷， 从 交替等量异号电荷 ， i LC振荡电路到振荡电偶 振荡电路到振荡电偶 振荡电路到 极子 −q
天线
开来自百度文库振荡电路
利用电偶极子发射电磁波。 利用电偶极子发射电磁波。
d 2q dq 2 即： 2 + 2 β + ω 0 q = 0 比较 dt dt
d2 x dx 2 + 2β + ω0 x = 0 dt dt2
讨 论：
q(t ) = q0e − β ⋅t cos(ωr t + ϕ0 ) * 弱阻尼： 弱阻尼：
2π
2 ω0 − β 2
频率： 频率： ω r =
ω −β
µ
E = B = uB
εµ
4.电磁波的频率，等于偶极子的振动频率。 电磁波的频率，等于偶极子的振动频率。 电磁波的频率 5.具有反射、折射、干涉、衍射、偏振等特性 具有反射、折射、干涉、衍射、 具有反射
电磁场的能量密度与能流密度表达式
1. 能量密度
1 2 电场 we = εE 2
无阻尼振荡电路：电路无电阻、无辐射、 无阻尼振荡电路：电路无电阻、无辐射、产生的电 磁振荡是无阻尼自由振荡. 磁振荡是无阻尼自由振荡 (1)振荡过程 振荡过程: 振荡过程
I=0
+ + q
− −
t =0
I = 0 , W e ⇒ max, W m ⇒ 0
, We , Wm
放电，自感作用， 放电，自感作用，I 逐渐 ，q
电荷振幅） （2） W总∝ q2m (电荷振幅） ） 电荷振幅 （3）能量变化频率是振荡频率的 2 倍，且 ）
< We > = < Wm > 1 = W总 2
3. LCR 电路 ——阻尼振荡 阻尼振荡 L di + 1 q = 0 dt C (1)电路 (2)方程： 方程： 电路 方程 R L di + iR + 1 q = 0 dt C L C 1 2 R ω0 = 2β = 令： L LC