第5讲 同余的概念和性质

第5讲同余的概念和性质解题思路：理解并熟记同余的性质，运用同余性质把数化小、化易。

同余定义：若两个整数a、b被自然数m除有相同的余数，那么称a、b对于模m同余，用式子表示为：a≡b（modm）.性质1：若a≡b（mod m），b≡c（mod m），那么a≡c（mod m），（传递性）。

★性质2：若a≡b（mod m），c≡d（mod m），那么a±c≡b±d（mod m），（可加减性）。

★性质3：若a≡b（mod m），c≡d（mod m），那么ac≡bd（mod m）（可乘性）。

性质4：若a≡b（mod m），那么a n≡b n（mod m），（其中n为自然数）。

性质5：若ac≡bc（mod m），（c，m）=1，那么a≡b（mod m），（记号（c，m）表示c与m的最大公约数）。

例1 判定288和214对于模37是否同余，74与20呢？例2 求乘积418×814×1616除以13所得的余数。

例3 求14389除以7的余数。

例4 四盏灯如图所示组成舞台彩灯，且每30秒钟灯的颜色改变一次，第一次上下两灯互换颜色，第二次左右两灯互换颜色，第三次又上下两灯互换颜色，…，这样一直进行下去.请问开灯1小时四盏灯的颜色如何排列？十位，…上的数码，再设M=0a ＋0a ＋…＋n a ，求证：N ≡M （mod 9）例6 求自然数1002＋1013＋1024的个位数字。

习题1.验证对于任意整数a 、b ，式子a ≡b （mod1）成立，并说出它的含义。

2.已知自然数a 、b 、c ，其中c ≥3，a 除以c 余1，b 除以c 余2，则ab 除以c 余多少？3.1993年的六月一日是星期二，这一年的十月一日是星期几？4.求33335555＋55553333被7除的余数。

5.所有自然数如下图排列.问300位于哪个字母下面？6. 数，被13除余多少？7.求1993100的个位数字.第五讲同余的概念和性质你会解答下面的问题吗？问题1：今天是星期日，再过15天就是“六·一”儿童节了，问“六·一”儿童节是星期几？这个问题并不难答.因为，一个星期有7天，而15÷7=2…1，即15＝7×2+1，所以“六·一”儿童节是星期一。

问题2：1993年的元旦是星期五，1994年的元旦是星期几？这个问题也难不倒我们.因为，1993年有365天，而365=7×52+1，所以1994年的元旦应该是星期六。

问题1、2的实质是求用7去除某一总的天数后所得的余数.在日常生活中，时常要注意两个整数用某一固定的自然数去除，所得的余数问题.这样就产生了“同余”的概念.如问题1、2中的15与365除以7后，余数都是1，那么我们就说15与365对于模7同余。

同余定义：若两个整数a、b被自然数m除有相同的余数，那么称a、b对于模m同余，用式子表示为：a≡b（modm）. （*）上式可读作：a同余于b，模m。

同余式（*）意味着（我们假设a≥b）：a-b=mk，k是整数，即m｜（a-b）.例如：①15≡365（mod7），因为365-15=350=7×50。

②56≡20（mod9），因为56-20=36＝9×4。

③90≡0（mod10），因为90-0＝90=10×9。

由例③我们得到启发，a可被m整除，可用同余式表示为：a≡0（modm）。

例如，表示a是一个偶数，可以写a≡0（mod 2）表示b是一个奇数，可以写b≡1（mod 2）补充定义：若m（a-b），就说a、b对模m不同余，用式子表示是：a b（modm）我们书写同余式的方式，使我们想起等式，而事实上，同余式与等式在其性质上相似.同余式有如下一些性质（其中a、b、c、d是整数，而m是自然数）。

性质1：a≡a（mod m），（反身性）这个性质很显然.因为a-a=0=m·0。

性质2：若a≡b（mod m），那么b≡a（mod m），（对称性）。

性质3：若a≡b（mod m），b≡c（mod m），那么a≡c（mod m），（传递性）。

性质4：若a≡b（mod m），c≡d（mod m），那么a±c≡b±d（mod m），（可加减性）。

性质5：若a≡b（mod m），c≡d（mod m），那么ac≡bd（mod m）（可乘性）。

性质6：若a≡b（mod m），那么a n≡b n（mod m），（其中n为自然数）。

性质7：若ac≡bc（mod m），（c，m）=1，那么a≡b（mod m），（记号（c，m）表示c与m的最大公约数）。

注意同余式性质7的条件（c，m）＝1，否则像普通等式一样，两边约去，就是错的。

例如6≡10（mod 4），而35（mod 4），因为（2，4）≠1。

请你自己举些例子验证上面的性质。

同余是研究自然数的性质的基本概念，是可除性的符号语言。

例1 判定288和214对于模37是否同余，74与20呢？解：∵288-214=74=37×2。

∴288≡214（mod37）。

∵74-20=54，而3754，∴7420（mod37）。

例2 求乘积418×814×1616除以13所得的余数。

分析若先求乘积，再求余数，计算量太大.利用同余的性质可以使“大数化小”，减少计算量。

解：∵418≡2（mod13），814≡8（mod13），1616≡4（mod13），∴根据同余的性质5可得：418×814×1616≡2×8×4≡64≡12（mod13）。

答：乘积418×814×1616除以13余数是12。

例3 求14389除以7的余数。

分析同余的性质能使“大数化小”，凡求大数的余数问题首先考虑用同余的性质化大为小.这道题先把底数在同余意义下变小，然后从低次幂入手，重复平方，找找有什么规律。

解法1：∵143≡3（mod7）∴14389≡389（mod 7）∵89＝64+16+8+1而32≡2（mod 7），34≡4（mod7），38≡16≡2（mod 7），316≡4（mod 7），332≡16≡2（mod 7），364≡4（mod 7）。

∵389≡364·316·38·3≡4×4×2×3≡5（mod 7），∴14389≡5（mod 7）。

答：14389除以7的余数是5。

解法2：证得14389≡389（mod 7）后，36≡32×34≡2×4≡1（mod 7），∴384≡（36）14≡1（mod 7）。

∴389≡384·34·3≡1×4×3≡5（mod 7）。

∴14389≡5（mod 7）。

例4 四盏灯如图所示组成舞台彩灯，且每30秒钟灯的颜色改变一次，第一次上下两灯互换颜色，第二次左右两灯互换颜色，第三次又上下两灯互换颜色，…，这样一直进行下去.请问开灯1小时四盏灯的颜色如何排列？分析与解答经观察试验我们可以发现，每经过4次互换，四盏灯的颜色排列重复一次，而1小时=60分钟=120×30秒，所以这道题实质是求120除以4的余数，因为120≡0（mod 4），所以开灯1小时四盏灯的颜色排列刚好同一开始一样。

十位，…上的数码，再设M=a0＋a1＋…＋an，求证：N≡M（mod 9）。

分析首先把整数N改写成关于10的幂的形式，然后利用10≡1（mod 9）。

又∵ 1≡1（mod 9），10≡1（mod 9），102≡1（mod 9），…10n≡1（mod 9），上面这些同余式两边分别同乘以a0、a1、a2、…、a n，再相加得：a0＋a1×10+a2×102+…+a n×10n≡a0＋a1＋a2＋…＋a n（mod 9），即 N≡M（mod 9）.这道例题证明了十进制数的一个特有的性质：任何一个整数模9同余于它的各数位上数字之和。

以后我们求一个整数被9除的余数，只要先计算这个整数各数位上数字之和，再求这个和被9除的余数即可。

例如，求1827496被9除的余数，只要先求（1+8＋2＋7＋4＋9＋6），再求和被9除的余数。

再观察一下上面求和式.我们可以发现，和不一定要求出.因为和式中1＋8，2+7，9被9除都余0，求余数时可不予考虑.这样只需求4＋6被9除的余数.因此，1827496被9除余数是1。

有人时常利用十进制数的这个特性检验几个数相加、相减、相乘的结果对不对，这种检查方法叫：弃九法。

弃九法最经常地是用于乘法.我们来看一个例子。

用弃九法检验乘式5483×9117≡49888511是否正确？因为 5483≡5＋4＋8＋3≡11≡2（mod 9），9117≡9＋1＋1＋7≡0（mod 9），所以 5483×9117≡2×0≡0（mod 9）。

但是 49888511≡4+9＋8+8+8＋5+1+1≡8（mod9），所以 5483×9117≠49888511，即乘积不正确。

要注意的是弃九法只能知道原题错误或有可能正确，但不能保证一定正确。

例如，9875≡9＋8+7+5≡2（mod 9），4873≡4＋8＋7＋3≡4（mod 9），32475689≡3+2+4+7＋5+6+8+9≡8（mod 9），这时，9875×4873≡2×4≡32475689（mod 9）。

但观察个位数字立刻可以判定9875×4873≠32475689.因为末位数字5和3相乘不可能等于9。

弃九法也可以用来检验除法和乘方的结果。

例6 用弃九法检验下面的计算是否正确：23372458÷7312＝3544。

解：把除式转化为：3544×7312＝23372458。

∵ 3544≡3＋5＋4＋4≡7（mod 9），7312≡7＋3＋1＋2≡4（mod 9），∴ 3544×7312≡7×4≡1（mod 9），但 23372458≡2＋3＋3＋8≡7（mod 9）。

而 17（mod 9）∴ 3544×7312≠23372458，即 23372458÷7312≠3544。

例7 求自然数2100＋3101＋4102的个位数字。

分析求自然数的个位数字即是求这个自然数除以10的余数问题。

解：∵2100≡24×25≡625≡6（mod 10），3101≡34×25·31≡125·31≡3（mod 10），4102≡（22）100·42≡6·6≡6（mod 10），∴ 2100＋3101＋4102≡6＋3＋6≡5（mod 10），即自然数2100＋3101＋4102的个位数字是5.习题五1.验证对于任意整数a、b，式子a≡b（mod1）成立，并说出它的含义。