二次函数中的斜三角形面积计算问题-

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二次函数中三角形面积问题

二次函数中三角形面积问题

二次函数中三角形面积问题【典型例题】:如图,二次函数y=-x²+2x+3与y轴,x轴交于点A ,B,点C是直线AB上方抛物线上的一个动点(不与点A ,B重合),求△ABC面积的最大值.【方法一】竖割法:过点C作CD⊥x轴,垂足为D,交AB于点E,S△ABC=S△ACE +S△BCE =1/2CE·(xc--xA)+1/2CE·(xB-xC)=1/2OB·CE解:令x=0, y=3 点C的坐标为(0,3);令y=0, 则-x²+2x+3=0 ,解得:x1=-1 x2=3 点B的坐标为(3,0),设AB所在直线的解析式为y=kx+b.求出直线AB所在直线的解析式为y=-x+3.设点E的坐标为(m,-m+3) ,则点C的坐标为(m, -m2+2m+3)CE=y C-y E= -m2+2m+3-(-m+3)= -m2+3mS△ABC=S△ACE +S△BCE =1/2CE·(xc--xA)+1/2CE·(xB-xC)=1/2OB·CE=1/2×3( -m2+3m)=--3m2/2+9m/2S△ABC最大值=4ac-b2/4a=27/8【方法二】割补法:连接OC,S△ABC=S△OAC +S△OBC-S△OAB解:S△ABC=S△OAC+S△OBC-S△OAB=1/2×OA·X C+1/2×OB·Y C-1/2×OA×OB=1/2×3×m+1/2×3×(-m2+2m+3)-1/2×3×3=-3m2/2+9m/2S△ABC最大值=4ac-b2/4a=27/8【方法三】平移法:平移直线AB,当直线AB与抛物线只有一个交点时,此时三角形ABC的面积最大。

解:设和y=-x+3平行的动直线的解析式为y=-x+b,用y=-x+b和y=-x²+2x+3联立方程组得:-x+b=-x²+2x+3,整理得:x²-3x+b-3=0当Δ=0时,b=21/4,此时的点C的坐标为(3/2,9/2)。

二次函数与三角形的面积问题

二次函数与三角形的面积问题

二次函数与三角形的面积问题二次函数与三角形的面积问题教学目标:1.能够根据二次函数中不同图形的特点选择合适的方法解答图形的面积。

2.通过观察、分析、概括、总结等方法了解二次函数面积问题的基本类型,并掌握二次函数中面积问题的相关计算,从而体会数形结合思想和转化思想在二次函数中的应用。

3.掌握利用二次函数的解析式求出相关点的坐标,从而得出相关线段的长度,利用割补方法求图形的面积。

教学重点和难点:1.运用公式S=水平宽×铅垂高/2;2.运用二次函数解析式;3.将不规则的图形分割成规则图形,从而便于求出图形的总面积。

教学过程:类型一:三角形的某一条边在坐标轴上或者与坐标轴平行例1.已知:抛物线的顶点为D(1,-4),并经过点E(4,5),求:1)抛物线解析式;2)抛物线与x轴的交点A、B,与y轴交点C;3)求下列图形的面积△ABD、△ABC、△ABE、△OCD、△OCE。

解题思路:求出函数解析式y=ax²+bx+c;写出下列点的坐标:A(x1.0);B(x2.0);C(0.c);求出下列线段的长:AO=BO=|c|;AB=|x1-x2|;OC=|c|。

求出下列图形的面积△ABD、△ABC、△ABE、△OCD、△OCE。

一般地,这类题目的做题步骤:1.求出二次函数的解析式;2.求出相关点的坐标;3.求出相关线段的长;4.选择合适方法求出图形的面积。

变式训练1.如图所示,已知抛物线y=ax²+bx+c(a≠0)与x轴相交于两点A(x1,0),B(x2,0)(x1<x2),与y轴负半轴相交于点C,若抛物线顶点P的横坐标是1,A、B两点间的距离为4,且△ABC的面积为6.1)求点A和B的坐标;2)求此抛物线的解析式;3)求四边形ACPB的面积。

类型二:三角形三边均不与坐标轴轴平行,做三角形的铅垂高。

(歪歪三角形拦腰来一刀)关于S=水平宽×铅垂高/2的知识点:如图1,过△ABC的三个顶点分别作出与水平线垂直的三条直线,外侧两条直线之间的距离叫△ABC的“水平宽”(a),中间的这条直线在△ABC内部线段的长度叫△ABC的“铅垂高(h)”。

二次函数求三角形面积最大值的典型题目

二次函数求三角形面积最大值的典型题目

二次函数求三角形面积最大值的典型题目篇一:哎呀呀,说到二次函数求三角形面积最大值的题目,这可真是让我头疼了好一阵子呢!就比如说有这么一道题:在平面直角坐标系中,有一个二次函数图像,然后给了一堆点的坐标,让咱们求由这些点构成的三角形面积的最大值。

这可咋整?我一开始看到这题,那真是脑袋都大了!心里就想:“这啥呀?怎么这么难!”我瞪大眼睛,死死地盯着题目,手里的笔都快被我捏出汗来了。

我同桌小明呢,他倒是挺自信,还跟我说:“这有啥难的,看我的!”我心里暗暗不服气,哼,你就吹吧!然后老师开始讲题啦,老师说:“同学们,咱们得先找到这个二次函数的顶点坐标,这就好比是找到宝藏的钥匙!”我一听,宝藏?这比喻还挺有意思的。

老师接着说:“然后再看看那些给定的点,能不能通过一些巧妙的方法把三角形的面积表示出来。

”我就在那拼命点头,好像听懂了,其实心里还是有点迷糊。

我扭头看看后面的学霸小红,她一脸轻松,好像这题对她来说就是小菜一碟。

我忍不住问她:“小红,你咋这么厉害,这题你都懂啦?”小红笑了笑说:“多做几道类似的题,你也能懂!”我又埋头苦想,想着要是能像玩游戏一样,一下子就找到解题的秘诀该多好啊!经过一番折腾,我终于有点明白了。

原来求这个三角形面积最大值,就像是爬山,得找到那个最高的山峰,而我们要找的就是能让面积最大的那个点或者那条线。

你说,数学咋就这么难呢?但我就不信我搞不定它!我一定要把这些难题都攻克下来,让数学成为我的强项!总之,我觉得做这种二次函数求三角形面积最大值的题目,虽然过程很艰难,但只要我们不放弃,多思考,多练习,就一定能找到解题的窍门,取得胜利!篇二:哎呀!说起二次函数求三角形面积最大值的题目,这可真是让我又爱又恨呀!有一次上课,数学老师在黑板上出了一道这样的题:已知一个二次函数图像,还有三角形的三个顶点坐标都在这个函数图像上,让我们求三角形面积的最大值。

当时我一看,脑袋就嗡嗡响,这啥呀?我就开始在草稿纸上乱画,心里想着:“这咋这么难呢?”同桌小明凑过来,瞅了瞅我的草稿纸,说:“你这算的啥呀,思路都不对!”我瞪了他一眼,回道:“那你行你上啊!”然后我俩就你一句我一句地争论起来。

二次函数中三角形问题(含问题详解)

二次函数中三角形问题(含问题详解)

二次函数中的三角形一.与三角形面积例1:如图,已知在同一坐标系中,直线22k y kx =+-与y 轴交于点P ,抛物线k x k x y 4)1(22++-=与x 轴交于)0,(),0,(21x B x A 两点。

C 是抛物线的顶点。

(1)求二次函数的最小值(用含k 的代数式表示); (2)若点A 在点B 的左侧,且021<⋅x x 。

①当k 取何值时,直线通过点B ;②是否存在实数k ,使ABC ABP S S ∆∆=?如果存在,请求出此时抛物线的解析式;如果不存在,请说明理由。

例2:已知抛物线)1(3)4(2-+---=m x m x y 与x 轴交于A 、B 两点,与y 轴交于C 点, (1)求m 的取值范围;(2)若0<m ,直线1-=kx y 经过点A ,与y 轴交于点D ,且25=⋅BD AD ,求抛物线的解析式; (3)若A 点在B 点左边,在第一象限内,(2)中所得的抛物线上是否存在一点P ,使直线P A 平分ACD ∆的面积?若存在,求出P 点的坐标;若不存在,请说明理由。

例3.已知矩形ABCD 中,AB =2,AD =4,以AB 的垂直平分线为x 轴,AB 所在的直线为y 轴,建立平面直角坐标系(如图)。

(1)写出A 、B 、C 、D 及AD 的中点E 的坐标;(2)求以E 为顶点、对称轴平行于y 轴,并且经过点B 、C 的抛物线的解析式; (3)求对角线BD 与上述抛物线除点B 以外的另一交点P 的坐标;(4)△PEB 的面积S △PEB 与△PBC 的面积S △PBC 具有怎样的关系?证明你的结论。

A BC DO E x y(第25题图)例4.如图1,已知直线12y x =-与抛物线2164y x =-+交于AB ,两点. (1)求A B ,两点的坐标;(2)求线段AB 的垂直平分线的解析式;(3)如图2,取与线段AB 等长的一根橡皮筋,端点分别固定在A B ,两处.用铅笔拉着这根橡皮筋使笔尖P 在直线AB 上方的抛物线上移动,动点P 将与A B ,构成无数个三角形,这些三角形中是否存在一个面积最大的三角形?如果存在,求出最大面积,并指出此时P 点的坐标;如果不存在,请简要说明理由.二.与三角形形状例5. 如图,抛物线254y ax ax =-+经过ABC △的三个顶点,已知BC x ∥轴,点A 在x 轴上,点C 在y 轴上,且AC BC =.(1)求抛物线的对称轴;(2)写出A B C ,,三点的坐标并求抛物线的解析式;(3)探究:若点P 是抛物线对称轴上且在x 轴下方的动点,是否存在PAB △是等腰三角形.若存在,求出所有符合条件的点P 坐标;不存在,请说明理由.图2图1例 6.如图①,在平面直角坐标系中,点A 的坐标为(12),,点B 的坐标为(31),,二次函数2y x =的图象记为抛物线1l .(1)平移抛物线1l ,使平移后的抛物线过点A ,但不过点B ,写出平移后的一个抛物线的函数表达式: (任写一个即可).(2)平移抛物线1l ,使平移后的抛物线过A B ,两点,记为抛物线2l ,如图②,求抛物线2l 的函数表达式.(3)设抛物线2l 的顶点为C ,K 为y 轴上一点.若ABK ABC S S =△△,求点K 的坐标.(4)请在图③上用尺规作图的方式探究抛物线2l 上是否存在点P ,使ABP △为等腰三角形.若存在,请判断点P 共有几个可能的位置(保留作图痕迹);若不存在,请说明师.x 图①x 图②x 图③例7. 已知:如图,抛物线2y ax bx c =++经过(1,0)A 、(5,0)B 、(0,5)C 三点. (1)求抛物线的函数关系式;(2)若过点C 的直线y kx b =+与抛物线相交于点E (4,m ),请求出△CBE 的面积S 的值; (3)在抛物线上求一点0P 使得△ABP 0为等腰三角形并写出0P 点的坐标;(4)除(3)中所求的0P 点外,在抛物线上是否还存在其它的点P 使得△ABP 为等腰三角形?若存在,请求出一共有几个满足条件的点P (要求简要说明理由,但不证明);若不存在这样的点P ,请说明理由.例8.如图,在直角坐标系中,点A 的坐标为(-2,0),连接OA ,将线段OA 绕原点O 顺时针旋转120°,得到线段OB . (1)求点B 的坐标;(2)求经过A 、O 、B 三点的抛物线的解析式; (3)在(2)中抛物线的对称轴上是否存在点C ,使△BOC 的周长最小?若存在,求出点C 的坐标;若不存在,请说明理由;(4)如果点P 是(2)中的抛物线上的动点,且在x 轴的下方, 那么△P AB 是否有最大面积?若有,求出此时P 点的坐标及△P AB 的最大面积;若没有,请说明理由.(注意:本题中的结果均保留根号)(第25题图)三.二次函数与三角形相似 例9:已知一次函数1243--=x y 的图象分别交x 轴、y 轴于A 、C 两点, (1)求出A 、C 两点的坐标;(2)在x 轴上找出点B ,使ACB ∆∽AOC ∆,若抛物线过A 、B 、C 三点,求出此抛物线的解析式; (3)在(2)的条件下,设动点P 、Q 分别从A 、B 两点同时出发,以相同速度沿AC 、BA 向C 、A 运动,连结PQ ,使m AP =,是否存在m 的值,使以A 、P 、Q 为顶点的三角形与ABC ∆相似,若存在,求出所有m 的值;若不存在,请说明理由。

二次函数中三角形面积问题的三种求解方法

二次函数中三角形面积问题的三种求解方法

二次函数中三角形面积问题的三种求解方法二次函数是一种广泛应用于数学解题中的重要运算工具,有时需要根据给定的几何图形求解相关表达式,比如求出三角形的面积。

三角形面积问题在很多学科中都有着广泛的应用,下面将介绍三种求解三角形面积的方法,这三种方法均基于二次函数的概念。

第一种求解三角形面积的方法是通过使用二次函数的半径求解。

首先,根据给定的三角形边长,使用勾股定理求出该三角形的半径,然后用半径公式计算出三角形的面积,半径公式为πr/2,其中π是常数3.14159。

这种方法的优点是简单易行,只需要掌握勾股定理和半径公式即可求解三角形的面积。

第二种求解三角形面积的方法是使用三角函数求解。

有些三角形的边长有着特殊的关系,可以使用三角函数求出三角形的面积。

举例来说,如果某三角形的三条边长分别为a,b,c,那么可以使用以下公式求出此三角形的面积:S= a*b*sin(c)/2。

这种方法的优点是可以准确求出三角形的面积,但是要掌握的知识比较多,需要熟练掌握三角函数的概念。

第三种求解三角形面积的方法是使用二次函数求解。

如果给定三角形的三条边长都可以用二次函数表示,那么可以使用椭圆公式求解三角形的面积。

椭圆公式为S=∫ab√(f(x))dx,其中f(x)表示三角形边长可以表示为二次函数的表达式,a,b表示积分下限和上限。

这种方法的优点是准确度高,但使用难度也比较大,需要掌握椭圆公式和二次函数的概念。

以上就是介绍了三种求解三角形面积的方法。

不同的求解方法都有各自的优势和局限性,在不同场景下要根据实际情况选择合适的求解方法,使用二次函数可以有效地求出三角形的面积。

二次函数中面积的最值问题(六大题型)学生版-2024年中考数学压轴题专项训练

二次函数中面积的最值问题(六大题型)学生版-2024年中考数学压轴题专项训练

二次函数中面积的最值问题(六大题型)通用的解题思路:二次函数中的面积最值问题通常有以下3种解题方法:1)当所求图形的面积没有办法直接求出时,通常采用分割或补全图形的方法表示所求图形的面积,如下:一般步骤为:①设出要求的点的坐标;②通过割补将要求的图形转化成通过条件可以表示的图形面积和或差;③列出关系式求解;④检验是否每个坐标都符合题意.2)用铅垂定理巧求斜三角形面积的计算公式:三角形面积等于水平宽和铅锤高乘积的一半.3)利用平行线间的距离处处相等,根据同底等高,将所求图形的面积转移到另一个图形中,如图所示:一般步骤为:①设出直线解析式,两条平行直线k值相等;②通过已知点的坐标,求出直线解析式;③求出题意中要求点的坐标;④检验是否每个坐标都符合题意.题型01三角形面积最值问题1(2024·宁夏银川·一模)如图,二次函数y =-x 2+6x 的图象与x 轴的正半轴交于点A ,经过点A 的直线与该函数图象交于点B 1,5 ,与y 轴交于点C .(1)求直线AB 的函数表达式及点C 的坐标;(2)点P 是二次函数图象上的一个动点,且在直线AB 上方,过点P 作直线PE ⊥x 轴于点E ,与直线AB 交于点D ,设点P 的横坐标为m .①当PD =12OC 时,求m 的值;②设△PAB 的面积为S ,求S 关于m 的函数表达式,并求出S 的最大值.2(2024·新疆克孜勒苏·二模)如图,抛物线y =x ²+bx +c (b ,c 是常数)的顶点为C ,与x 轴交于A ,B 两点,A 2,0 ,AB =6,点P 为线段AB 上的动点,过P 作PQ ∥BC 交AC 于点Q .(1)求抛物线的解析式;(2)求△CPQ 面积的最大值,并求此时P 点坐标.3(23-24九年级下·湖北武汉·开学考试)如图,抛物线y =ax 2-4ax +3a 交x 轴于A ,B 两点(点A 在点B 的左侧),交y 轴正半轴于点C ,OB =OC ,点P 在抛物线上.(1)求抛物线的解析式;(2)若tan∠ACP=2,求点P的横坐标.(3)平面上有两点M m,-m-3,求△PMN的面积的最小值.,N m+2,-m-54(23-24九年级下·辽宁沈阳·阶段练习)△ABC中,∠BAC=90°,AB=2,AC=4,点P从点C出发,沿射线CA方向运动,速度为每秒1个单位长度,同时点Q以相同的速度从点B出发,沿射线BA方向运动.设运动时间为x(x≠2且x≠4)秒,△APQ的面积为S.(1)当0<x<2时,如图①,求S与x的函数关系式;(2)当2<x<4时,如图②,求S的最大值;(3)若在运动过程中,存在两个时刻x1,x2,对应的点P和点Q分别记为P1,P2和Q1,Q2,对应的△AP1Q1和△AP2Q2的面积分别记为S1和S2,且当CP1=P1P2时,S1=S2,请求出x1的值.5(2023·山东聊城·二模)如图,抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A,B两点(点A在点B的左侧),点A 的坐标为-1,0,直线CD:y=2x-3与x轴交于点D.动点M在抛物线上运动, ,与y轴交于点C0,-3过点M作MP⊥x轴,垂足为点P,交直线CD于点N.(1)求抛物线的表达式;(2)当点P在线段OD上时,△CDM的面积是否存在最大值,若存在,请求出最大值;若不存在,请说明理由;(3)点M在运动过程中,能否使以C,N,M为顶点的三角形是以NM为腰的等腰直角三角形?若存在,请直接写出点M的坐标.6(2024·浙江宁波·模拟预测)如图,一次函数y=33x+3的图象与坐标轴交于点A、B,抛物线y=-33x2+bx+c的图象经过A、B两点.(1)求二次函数的表达式;(2)若点P为抛物线上一动点,在直线AB上方是否存在点P使△PAB的面积最大?若存在,请求出△PAB 面积的最大值及点P的坐标,请说明理由.7(2024·甘肃陇南·一模)如图,在平面直角坐标系xOy中,已知直线y=-x-3与x轴交于点A,与y轴交于点C,过A,C两点的抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于另一点B1,0,抛物线对称轴为直线l.(1)求抛物线的解析式;(2)点M为直线AC下方抛物线上一点,当△MAC的面积最大时,求点M的坐标;(3)点P是抛物线上一点,过点P作l的垂线,垂足为D,E是l上一点.要使得以P,D,E为顶点的三角形与△BOC全等,请直接写出点P的坐标.8(2024·江苏盐城·模拟预测)已知抛物线y=x2+bx-3与x轴交于A,B(点A在点B的左侧),与y轴交于点C,且OB=OC.(1)求抛物线的解析式和点A的坐标;(2)如图1,点P为直线BC下方抛物线上一点,求△PBC的最大面积;(3)如图2,M、N是抛物线上异于B,C的两个动点,若直线BN与直线CM的交点始终在直线y=2x-9上,求证:直线MN必经过一个定点,并求该定点坐标.9(2024·四川广元·二模)如图,在平面直角坐标系中,抛物线y1=-x2+bx+c与x轴交于点B,A(-3, 0),与y轴交于点C(0,3).(1)求直线AC和抛物线的解析式.(2)若点M是抛物线对称轴上的一点,是否存在点M,使得以M,A,C三点为顶点的三角形是以AC为底的等腰三角形?若存在,请求出点M的坐标;若不存在,请说明理由.(3)若点P是第二象限内抛物线上的一个动点,求△PAC面积的最大值.10(2024·安徽安庆·一模)如图,抛物线y=ax2+bx+3与x轴交于点A1,0两点,与y轴交于、B3,0点C.(1)求此抛物线对应的函数表达式;(2)点E为直线BC上的任意一点,过点E作x轴的垂线与此抛物线交于点F.①若点E在第一象限,连接CF、BF,求△CFB面积的最大值;②此抛物线对称轴与直线BC交于点D,连接DF,若△DEF为直角三角形,请直接写出E点坐标.11(2024·安徽合肥·一模)如图,直线y=x-3与x轴交于点B,与y轴交于点C,抛物线y=x2+bx+c 经过B、C两点,抛物线与x轴负半轴交于点A.(1)求抛物线的函数表达式;(2)直接写出当x-3>x2+bx+c时,x的取值范围;(3)点P是位于直线BC下方抛物线上的一个动点,过点P作PE⊥BC于点E,连接OE.求△BOE面积的最大值及此时点P的坐标.12(2024·天津西青·一模)已知抛物线y=-x2-4ax-12a(a<0)与x轴交于A,B两点(点A在点B左边),与y轴交于点C.(1)若点D4,12在抛物线上.①求抛物线的解析式及点A的坐标;②连接AD,若点P是直线AD上方的抛物线上一点,连接PA,PD,当△PAD面积最大时,求点P的坐标及△PAD面积的最大值;(2)已知点Q的坐标为-2a,-8a,连接QC,将线段QC绕点Q顺时针旋转90°,点C的对应点M恰好落在抛物线上,求抛物线的解析式.13(2024·山东临沂·二模)如图,抛物线y=ax2+32x+c与x轴交于点A和点B4,0,与y轴交于点C0,2,连接BC,点D在抛物线上.(1)求抛物线的解析式;(2)小明探究点D位置时发现:如图1,点D在第一象限内的抛物线上,连接BD,CD,△BCD面积存在最大值,请帮助小明求出△BCD面积的最大值;(3)小明进一步探究点D位置时发现:如图2,点D在抛物线上移动,连接CD,存在∠DCB=∠ABC,请帮助小明求出∠DCB=∠ABC时点D的坐标.14(2024·广东深圳·二模)如图,在平面直角坐标系中,二次函数y=-x2+bx+c的图象与轴交于A,B 点,与y轴交于点C0,3,点B的坐标为3,0,点P是抛物线上一个动点.(1)求二次函数解析式;(2)若P点在第一象限运动,当P运动到什么位置时,△BPC的面积最大?请求出点P的坐标和△BPC面积的最大值;(3)连接PO,PC,并把△POC沿CO翻折,那么是否存在点P,使四边形POP C为菱形;若不存在,请说明理由.15(2024·湖北·模拟预测)如图,抛物线y=x-12+k与x轴相交于A,B两点(点A在点B的左侧),与y轴相交于点C0,-3.设P点在抛物线上运动,横坐标为m.(1)求此抛物线的解析式;(2)当P点位于第四象限时,求△BCP面积的最大值,并求出此时P点坐标;(3)设此抛物线在点C与点P之间部分(含点C和点P)最高点与最低点的纵坐标之差为h.① 求h关于m的函数解析式,并写出自变量m的取值范围;② 根据h的不同取值,试探索点P的个数情况.16(22-23九年级下·重庆·阶段练习)抛物线y=ax²+bx+5经过点A1,0和点B5,0.该抛物线与直线y=12x+5相交于C、D两点,点P是抛物线上的动点且位于x轴下方,直线PM∥y轴,分别与x轴和直线CD交于点M、N.(1)求该抛物线所对应的函数解析式;(2)连接PC、PD,如图1,在点P运动过程中,△PCD的面积是否存在最大值?若存在,求出这个最大值;若不存在,说明理由;(3)连接PB,过点C作CQ⊥PM,垂足为点Q,如图2,是否存在点P,使得△CNQ与△PBM相似?若存在,求出满足条件的点P的坐标;若不存在,说明理由.17(2024·江苏宿迁·一模)如图1,在平面直角坐标系xOy中,抛物线y=ax2+bx+3与x轴分别相交于A、B两点,与y轴相交于点C,已知点A的坐标为(-1,0),点B的坐标为(3,0).(1)求出这条抛物线的函数表达式;(2)如图2,点D是第一象限内该抛物线上一动点,过点D作直线l∥y轴,直线l与△ABD的外接圆相交于点E.①仅用无刻度直尺找出图2中△ABD外接圆的圆心P.②连接BC、CE,BC与直线DE的交点记为Q,如图3,设△CQE的面积为S,在点D运动的过程中,S是否存在最大值?如果存在,请求出S的最大值;如果不存在,请说明理由.18(2024·新疆乌鲁木齐·一模)如图,在△ABC中,AB=AC,AD⊥BC于点D,BC=10cm,AD=8cm,点P从点B出发,在线段BC上以每秒3cm的速度向点C匀速运动,与此同时,垂直于AD的直线m 从底边BC出发,以每秒2cm的速度沿DA方向匀速平移,分别交AB、AC、AD于E、F、H,当点P到达点C,点P与直线m同时停止运动,设运动时间为t秒t>0.(1)AH=,EF=(用含t的式子表示).(2)在整个运动过程中,所形成的△PEF的面积存在最大值,当△PEF的面积最大时,求线段BP的长;(3)是否存在某一时刻t,使△PEF为直角三角形?若存在,请求出此时刻t的值;若不存在,请说明理由.19(2024·重庆·模拟预测)如图,在平面直角坐标系中,抛物线y=ax2+bx+c过点(3,-4),交x轴于点A(-1,0),B两点,交y轴于点C(0,2).(1)求抛物线的表达式;(2)连接AC ,BC ,M 为线段AB 上一动点,过点M 作MD ∥BC 交直线AC 于点D ,连接MC ,求△MDC 面积的最大值及此时M 点的坐标;(3)在(2)中△MDC 面积取得最大值的条件下,将该抛物线沿射线BC 方向平移2个单位长度,P 是平移后的抛物线上一动点,连接CP ,当∠PCM 与△OBC 的一个内角相等时,请直接写出所有符合条件的点P 的坐标.20(2024·湖南衡阳·一模)如图,已知抛物线y =ax 2+bx +c 经过A 1,0 ,B -3,0 ,C 0,3 三点.(1)求抛物线的解析式;(2)若点D 为第二象限内抛物线上一动点,求△BCD 面积的最大值;(3)设点P 为抛物线的对称轴上的一个动点,求使△BPC 为直角三角形的点P 的坐标.21(2024·甘肃天水·一模)如图,在平面直角坐标系中,开口向下的抛物线与x 轴交于A ,B 两点,D 是抛物线的顶点.O 为坐标原点.A ,B 两点的横坐标分别是方程x 2-4x -12=0的两根,且cos ∠DAB =22.(1)求抛物线的函数解析式;(2)作AC ⊥AD ,AC 交抛物线于点C ,求点C 的坐标及直线AC 的函数解析式;(3)在(2)的条件下,在x 轴上方的抛物线上是否存在一点P ,使△APC 的面积最大?如果存在,请求出点P 的坐标和△APC 的最大面积;如果不存在,请说明理由.22(2024·山东聊城·一模)在平面直角坐标系中,抛物线y =ax 2+bx -3与x 轴交于点A -1,0 和点B 3,0 ,与y 轴交于点C .(1)求抛物线的解析式及顶点坐标;(2)若点P 为第四象限内抛物线上一点,当△PBC 面积最大时,求点P 的坐标;(3)若点P 为抛物线上一点,点Q 是线段BC 上一点(点Q 不与两端点重合),是否存在以P 、Q 、O 为顶点的三角形是等腰直角三角形,若存在,请直接写出满足条件的点P 的坐标;若不存在,请说明理由.23(2024·吉林长春·一模)如图,在平面直角坐标系中,直线y =x +2分别交x 轴、y 轴于A 、B 两点,过点C 2,2 作x 轴垂线,垂足为D ,连接BC .现有动点P 、Q 同时从A 点出发,分别沿AB 、AD 向终点B 和终点D 运动,若点P 的运动速度为每秒2个单位长度,点Q 的运动速度为每秒2个单位长度.设运动的时间为t 秒.(1)求A、B两点的坐标;(2)当CQ∥AB时,t=;(3)设△CPQ的面积为y,写出y与t的函数关系式,并求△CPQ面积的最大值;(4)当△CPQ为轴对称图形时,直接写出t的值.24(2023·湖南娄底·中考真题)如图,抛物线y=x2+bx+c过点A-1,0,交y轴于点C.、点B5,0(1)求b,c的值.(2)点P x0,y0是抛物线上的动点0<x0<5①当x0取何值时,△PBC的面积最大?并求出△PBC面积的最大值;②过点P作PE⊥x轴,交BC于点E,再过点P作PF∥x轴,交抛物线于点F,连接EF,问:是否存在点P,使△PEF为等腰直角三角形?若存在,请求出点P的坐标;若不存在,请说明理由.25(2024·河南安阳·模拟预测)如图,在平面直角坐标系xOy中,抛物线y=ax2+bx+c与抛物线y=-x2+x-1的形状相同,且与x轴交于点-1,0.直线y=kx+2分别与x轴、y轴交于点A,B,和4,0与y=ax2+bx+c于点C,D(点C在点D的左侧).(1)求抛物线的解析式;(2)点P是直线y=kx+2上方抛物线上的任意一点,当k=2时,求△PCD面积的最大值;(3)若抛物线y=ax2+bx+c与线段AB有公共点,结合函数图象请直接写出k的取值范围.26(2024·湖南长沙·一模)如图,抛物线y=x2-bx+c与x轴交于A-1,0两点,与y轴交于,B m,0点C0,-3,顶点为D,直线BD交y轴于点E.(1)求抛物线的解析式.(2)设点P为线段BD上一点(点P不与B,D两点重合),过点P作x轴的垂线与抛物线交于点F,连接DF,BF,求△BDF面积的最大值.(3)连接CD,在线段BD上是否存在点Q,使得∠BDC=∠QCE?若存在,求出点Q的坐标;若不存在,请说明理由.27(2024·江西萍乡·一模)如图,已知抛物线y=-x2+bx+c与x轴交于A、B两点,与y轴交于点C,抛物线的对称轴交x轴于点D.已知A3,0,连接AC,BC.,C0,3(1)求抛物线的函数解析式;(2)在抛物线的对称轴上找一点P,使得以A、D、P为顶点的三角形与△OBC相似,求出点P的坐标;(3)若点M是抛物线上的一个动点,且位于第一象限内,连接MC,MA.设△ACM的面积为S,试求S的最大值.28(2024·四川广元·二模)如图1,抛物线y=ax²+bx+c与x轴交于A,B两点,且点B的坐标为5,0,与y轴交于点C,该抛物线的顶点坐标为(3,-4).(1)求抛物线和直线BC的解析式.(2)在抛物线上是否存在点M,使得△BCM是以BC为底边的等腰三角形?若存在,求出所有点M的坐标;若不存在,请说明理由.(3)如图2,以点B 为圆心,画半径为2的圆,点P 为⊙B 上的一个动点,连接AC ,求△ACP 面积的最大值.29(2023·山东青岛·中考真题)如图,在菱形ABCD 中,对角线AC ,BD 相交于点O ,AB =10cm ,BD =45cm .动点P 从点A 出发,沿AB 方向匀速运动,速度为1cm/s ;同时,动点Q 从点A 出发,沿AD 方向匀速运动,速度为2cm/s .以AP ,AQ 为邻边的平行四边形APMQ 的边PM 与AC 交于点E .设运动时间为t s 0<t ≤5 ,解答下列问题:(1)当点M 在BD 上时,求t 的值;(2)连接BE .设△PEB 的面积为S cm 2 ,求S 与t 的函数关系式和S 的最大值;(3)是否存在某一时刻t ,使点B 在∠PEC 的平分线上?若存在,求出t 的值;若不存在,请说明理由.30(2023·湖南怀化·中考真题)如图一所示,在平面直角坐标系中,抛物线y =ax 2+bx -8与x 轴交于A (-4,0)、B (2,0)两点,与y 轴交于点C .(1)求抛物线的函数表达式及顶点坐标;(2)点P 为第三象限内抛物线上一点,作直线AC ,连接PA 、PC ,求△PAC 面积的最大值及此时点P 的坐标;(3)设直线l 1:y =kx +k -354交抛物线于点M 、N ,求证:无论k 为何值,平行于x 轴的直线l 2:y =-374上总存在一点E ,使得∠MEN 为直角.31(2024·海南省直辖县级单位·一模)如图,已知抛物线y =ax 2+2x +c a ≠0 ,与x 轴交于点A -1,0 和点B 3,0 ,与y 轴交于点C ,E 为抛物线的顶点.图1图2(1)求该抛物线的函数表达式;(2)如图1,点P 是第一象限内抛物线上一动点,连接PC 、PB 、BC ,设点P 的横坐标为t .①当t 为何值时,△PBC 的面积最大?并求出最大面积;②当t 为何值时,△PBC 是直角三角形?(3)如图2,过E 作EF ⊥x 轴于F ,若M m ,0 是x 轴上一动点,N 是线段EF 上一点,若∠MNC =90°,请直接写出实数m 的取值范围.32(2024·四川成都·一模)如图,直线y =-x -4分别交x 轴,y 轴于A ,C 两点,点B 在x 轴正半轴上.抛物线y =15x 2+bx +c 过A ,B ,C 三点.(1)求抛物线的解析式;(2)过点B 作BD ∥AC 交y 轴于点D ,交抛物线于点F .若点P 为直线AC 下方抛物线上的一动点,连接PD 交AC 于点E ,连接EB ,求S △PEB 的最大值及最大值时点P 的坐标;(3)如图2,将原抛物线进行平移,使其顶点为原点,进而得到新抛物线,直线y =-2x 与新抛物线交于O ,G 两点,点H 是线段OG 的中点,过H 作直线RQ (不与OG 重合)与新抛物线交于R ,Q 两点,点R 在点Q 左侧.直线GR 与直线OQ 交于点T ,点T 是否在某条定直线上?若是,请求出该定直线的解析式,若不是,请说明理由.33(2024·江苏苏州·一模)如图,在平面直角坐标系中,抛物线y =ax 2-8ax +10a -1a <0 与x 轴的交点分别为A x 1,0 ,B x 2,0 ,其中(0<x 2<x 1),且AB =4,与y 轴的交点为C ,直线CD ∥x 轴,在x 轴上有一动点E t ,0 ,过点E 作直线l ⊥x 轴,与抛物线、直线CD 的交点分别为P 、Q .(1)求抛物线的解析式;(2)当0<t ≤8时,求△APC 面积的最大值;(3)当t >2时,是否存在点P ,使以C 、P 、Q 为顶点的三角形与△OBC 相似?若存在,求出此时t 的值;若不存在,请说明理由.题型02四边形面积最值问题1(2024·安徽阜阳·一模)如图,抛物线y =ax 2+bx +3与x 轴交于A -1,0 ,B 3,0 两点,与y 轴交于点C .(1)求抛物线的解析式;(2)在抛物线的对称轴上找一点P ,使△PAC 的周长最小,求△PAC 的周长的最小值及此时点P 的坐标;(3)若M 为抛物线在第一象限内的一动点,求出四边形OCMB 的面积的最大值及此时点M 的坐标.2(2024·山东临沂·一模)如图,在平面直角坐标系中,抛物线y =-14x 2+bx +c 与x 轴交于点A (-2,0)和点B ,与y 轴交于点C (0,4),点P 是直线BC 上方的抛物线上一点(点P 不与点B ,C 重合),过点P 作PD ∥y 轴交直线BC 于点D .(1)求抛物线的函数表达式;(2)求线段PD 长的最大值;(3)连接CP ,BP ,请直接写出四边形ABPC 的面积最大值为.3(2024·山西运城·一模)综合与探究如图,抛物线y=ax2+bx-3a≠0与x轴交于A-1,0、B两点,与y轴交于点C,点D-2,9 2在抛物线上,点P是抛物线在第四象限内的一个动点,过点P作PQ∥y轴交直线BD于点Q,连接PA、PB、QA,设点P的横坐标为m.(1)求抛物线的函数表达式;(2)求四边形PAQB面积的最大值及此时点P的坐标;(3)若点M是抛物线上任意一点,是否存在点M,使得∠MAB=2∠ACO,若存在,请直接写出所有符合条件的点M的坐标,若不存在,请说明理由.4(2024·安徽合肥·一模)在平面直角坐标系中,点O是坐标原点.抛物线y=ax2+bx-3a≠0与x轴交于A,B两点,直线l:y=kx+2与抛物线交于A,C两点,且A-1,0,B3,0.(1)求a,b,k的值;(2)点M是线段OB上的动点,点N在x轴上,MN=2,且点N在M的左边.过点M作MP⊥x轴,交抛物线于点P.过点N作x轴的垂线,交抛物线于点Q,交直线l于点R.①当以P,Q,R,M为顶点的四边形是平行四边形时,求点M的坐标.②记以P,Q,R,M为顶点的四边形面积为S,求S的最大值.5(2024·安徽蚌埠·一模)如图1,已知直线y=-x+5与坐标轴相交于A、B,点C坐标是-1,0,抛物线经过A、B、C三点.点P是抛物线上的一点,过点P作y轴的平行线,与直线AB交于点D,与x轴相交于点F.(1)求抛物线的解析式;(2)当点P在第一象限时,连接CP交OA于点E,连接EF,如图2所示;①求AE+DF的值;②设四边形AEFB的面积为S,则点P在运动过程中是否存在面积S的最大值,若存在,请求出此时点P的坐标;若不存在,请说明理由.6(2024·安徽马鞍山·一模)如图,过原点的二次函数y=ax2+bx的图象与x轴正半轴交于点A,经过点A的直线与该函数交于B1,-3,与y轴交于点C0,-4.(1)分别求此二次函数与直线AB的解析式.(2)点P是第四象限内二次函数图象上的一个动点,过点P作直线PE⊥x轴于点E,与直线AB交于点D,设点P的横坐标为t.①当PD=12OC时,求t的值;②当点P在直线AB下方时,连接OP,过点B作BQ⊥x轴于点Q,BQ与OP交于点F,连接DF,求四边形FQED面积的最大值.7(2024·山东济南·一模)如图,直线y=-12x+3交y轴于点A,交x轴于点C,抛物线y=-14x2+bx+c经过点A,点C,且交x轴于另一点B.(1)求抛物线的解析式;(2)在直线AC上方的抛物线上有一点M,求四边形ABCM面积的最大值及此时点M的坐标;(3)将线段OA绕x轴上的动点P m,0顺时针旋转90°得到线段O A ,若线段O A 与抛物线只有一个公共点,请结合函数图象,求m的取值范围.8(2024·四川广元·二模)如图,二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交于原点O和点A4,0,经过点A的直线与该函数图象交于另一点B1,3,与y轴交于点C.(1)求直线AB的函数解析式及点C的坐标.(2)点P是抛物线上位于直线AB上方的一个动点,过点P作直线PE⊥x轴于点E,与直线AB交于点D,过点B作BF⊥x轴于点F,连接OP,与BF交于点G,连接DG.求四边形GDEF面积的最大值.(3)抛物线上是否存在这样的点Q,使得∠BOQ=45°?若存在,请求出点Q的坐标;若不存在,请说明理由.9(2024·广东珠海·一模)如图,抛物线y=-x2+3x+4和直线y=x+1交于A-1,0点,点B,B3,4在直线x=3上,直线x=3与x轴交于点C.(1)求∠BAC的度数.(2)点P从点A出发,以每秒2个单位长度的速度沿线段AB向点B运动,点Q从点C出发,以每秒2个单位长度的速度沿线段CA向点A运动,点P,Q同时出发,当其中一点到达终点时,另一个点也随之停止运动,设运动时间为t秒t>0.以PQ为边作矩形PQNM,使点N在直线x=3上.①当t为何值时,矩形PQNM的面积最小?并求出最小面积;②直接写出当t为何值时,恰好有矩形PQNM的顶点落在抛物线上.10(2024·安徽宿州·二模)如图1,抛物线y=ax2+bx-3(a,b是常数且a>0)与x轴交于点A-1,0和点B(点B在点A的右侧),点D是抛物线的顶点,CD是抛物线的对称轴且交x轴于点C1,0.(1)求a,b的值;(2)点P是抛物线上一点且位于点A和点D之间.(i)如图2,连接AP,DP,BD,求四边形ABDP面积的最大值;(ii)如图3,连接AP并延长交CD延长线于点Q,连接BP交CD于点E,求CE+CQ的值.11(2024·安徽·二模)如图1,在平面直角坐标系中,抛物线y=ax2+bx-4交x轴于点A-1,0,B4,0,交y轴于点C,点M在该抛物线上,横坐标为m,将该抛物线M,C两点之间(包括M,C两点)的部分记为图象W.(1)求抛物线的解析式;(2)图象W的最大值与最小值的差为4时,求m的值;(3)如图2,若点M位于BC下方,过点A作AE∥BC交拋物线于点E,点D为直线AE上一动点,连接CM, CD,BM,BD,求四边形CDBM面积的最大值及此时点M的坐标.12(2024·四川广安·二模)如图,抛物线y=-x2+bx+c交x轴于A-4,0.,B两点,交y轴于点C0,4(1)求抛物线的函数解析式.(2)点D在线段OA上运动,过点D作x轴的垂线,与AC交于点Q,与抛物线交于点P,连接AP、CP,求四边形AOCP的面积的最大值.(3)在抛物线的对称轴上是否存在点M,使得以点A、C、M为顶点的三角形是直角三角形?若存在,请求出点M的坐标;若不存在,请说明理由.13(23-24九年级上·重庆渝北·期末)二次函数y=ax2+bx+4经过点A-1,0,点C,点D,点B4,0分别二次函数与y轴的交点和顶点,点M为二次函数图象上第一象限内的一个动点.(1)求二次函数的解析式;(2)如图1,连接BC ,过点A 作BC 的平行线交二次函数于点E ,连接CM ,BM ,BE ,CE .求四边形CMBE 面积的最大值以及此时点M 的坐标;(3)如图2,过点M 作MN ∥y 轴,交BC 于点N (点M 不与点D 重合),过点D 作DH ∥y 轴,交BC 于点H ,当DM =HN 时,直接写出点M 的坐标.题型03面积比最值问题14(2024·安徽合肥·一模)在平面直角坐标系xOy 中,已知抛物线y =a x +1 x -4 与x 轴交于A 、 B 两点,与y 轴交于点C 0,-2 .(1)求a 的值;(2)点D 为第四象限抛物线上一点①求△BCD 的面积最大值②连接AD ,BC 交于点E ,连接BD ,记△BDE 的面积为S 1,△ABE 的面积为S 2,求S 1S 2的最大值;15(2023·四川遂宁·中考真题)在平面直角坐标系中,O 为坐标原点,抛物线y =14x 2+bx +c 经过点O (0,0),对称轴过点B (2,0),直线l 过点C 2,-2 ,且垂直于y 轴.过点B 的直线l 1交抛物线于点M 、N ,交直线l 于点Q ,其中点M 、Q 在抛物线对称轴的左侧.(1)求抛物线的解析式;(2)如图1,当BM :MQ =3:5时,求点N 的坐标;(3)如图2,当点Q 恰好在y 轴上时,P 为直线l 1下方的抛物线上一动点,连接PQ 、PO ,其中PO 交l 1于点E ,设△OQE 的面积为S 1,△PQE 的面积为S 2.求S2S 1的最大值.16(2024·湖北省直辖县级单位·一模)抛物线y =x 2-4x 与直线y =x 交于原点O 和点B ,与x 轴交于另一点A ,顶点为D .(1)求出点B 和点D 的坐标;(2)如图①,连接OD ,P 为x 轴的负半轴上的一点,当tan ∠PDO =12时,求点P 的坐标;(3)如图②,M 是点B 关于抛物线的对称轴的对称点,Q 是抛物线上的动点,它的横坐标为m 0<m <5 ,连接MQ ,BQ ,MQ 与直线OB 交于点E ,设△BEQ 和△BEM 的面积分别为S 1和S 2,求S1S 2的最大值.17(2023·湖南永州·中考真题)如图1,抛物线y =ax 2+bx +c (a ,b ,c 为常数)经过点F 0,5 ,顶点坐标为2,9 ,点P x 1,y 1 为抛物线上的动点,PH ⊥x 轴于H ,且x 1≥52.(1)求抛物线的表达式;(2)如图1,直线OP :y =y 1x 1x 交BF 于点G ,求S △BPG S △BOG的最大值;(3)如图2,四边形OBMF 为正方形,PA 交y 轴于点E ,BC 交FM 的延长线于C ,且BC ⊥BE ,PH =FC ,求点P 的横坐标.18(2024·四川南充·一模)抛物线y =-38x 2+bx +c b >0 与x 轴分别交于A ,B 两点(点A 在点B 的左侧),与y 轴交于点C 0,3 ,抛物线对称轴为x =1,点P 是抛物线在第一象限上动点,连接CB ,PB .(1)求抛物线和直线BC 的解析式;(2)如图,连接PA ,交BC 于点M ,设△ABM 的面积为S 1,△PBM 的面积为S 2,求S 1S 2的最小值及此时点P的坐标.19(2024·湖北孝感·一模)如图1,已知抛物线y=ax2+bx+3与x轴交于点A-1,0,B3,0,与y轴交于点C,连接BC.(1)求a,b的值及直线BC的解析式;(2)如图1,点P是抛物线上位于直线BC上方的一点,连接AP交BC于点E,过P作PF⊥x轴于点F,交BC于点G,(ⅰ)若EP=EG,求点P的坐标,(ⅱ)连接CP,CA,记△PCE的面积为S1,△ACE的面积为S2,求S1S2的最大值;(3)如图2,将抛物线位于x轴下方面的部分不变,位于x轴上方面的部分关于x轴对称,得到新的图形,将直线BC向下平移n个单位,得到直线l,若直线l与新的图形有四个不同交点,请直接写出n的取值范围.题型04面积和最值问题1(2024·吉林长春·一模)在平面直角坐标系中,抛物线y=ax2+bx+3交x轴于点A(-1,0)、B(3,0),交y轴于点C,连结AC、BC.点D在该抛物线上,过点D作DE∥AC,交直线BC于点E,连结AD、AE、BD.设点D横坐标为m(m>0),△DAE的面积为S1,△DBE的面积为S2.(1)求a,b的值;(2)设抛物线上D、B两个点和它们之间的部分为图象G,当图象G的最高点的纵坐标与m无关时,求m的取值范围;(3)当点D在第一象限时,求S1+S2的最大值;(4)当S1:S2=2:1时,直接写出m的值.题型05面积差最值问题1(2024·安徽合肥·一模)如图1,在平面直角坐标系xOy中,抛物线y=x2+bx+c的对称轴为直线x=。

二次函数中有关三角形面积的计算

二次函数中有关三角形面积的计算

二次函数中有关三角形面积的计算
例1 如图,经过点A(8,0)、B(0,4)的抛物线y=ax c
x 27
2(1)求抛物线的解析式;
(2)若一条与y 轴重合的直线l 以每秒2个单位长度的速度向右平移,分别交线段OA 、AB 和抛物线于点C 、D 和点E ,连接EA 、EB 、AB ,设直线l 移动的时间为t (0<t<4)秒,当t 为何值时,△ABE 的面积最大,最大面积是多少?
2.如图,已知抛物线c
y2经过A、B两点,A、B两点的坐标分
x
bx
别为(-1,0)、(0,-3)
(1)求抛物线的解析式;
(2)点E为抛物线的顶点,点C为抛物线与x 轴的另一个交点,点D为y 轴上一点,若DC=DE,求点D的坐标;
(3)在(2)的条件下,若点P为第四象限内抛物线上一动点,点P的横坐标为m , △DCP面积为S,求S关于m的函数关系式,并求出S的最大值。

初中数学二次函数中三角形面积问题解析

初中数学二次函数中三角形面积问题解析

∙∙∙∙初中数学二次函数中三角形面积问题解析一、命题意图二次函数中三角形面积相结合的题目是近年来中考数学中常见的问题,题型常考常新,体现了数形结合、化归转化、分类讨论数学思想等。

如果将三角形这一平面图形问题与二次函数相结合,就需要学生以逻辑思维和空间思维相结合的方式进行学习,以培养学生逻辑思维与空间思维能力相结合的基本数学思想,让学生学会自主思考问题的过程。

二、考点及对应的考纲要求初中数学课程教学中关于三角形面积问题的讨论一直是教学重点,这其中牵涉了二次函数与几何问题的融合,是初中数学课程中的一个难点。

求面积常用的方法:(1)直接法,若题已经给出或能由已知条件推出个边的长度并且通过坐标能找到对应的高,那么三角形的面积能直接用公式算出来。

(2)简单的组合,解决问题的途径常需要进行图形割补、等积变形等图形变换。

(3)面积不变同底等高或等底等高的转换,利用平行线得到三角形同底等高进行面积转化。

(4)如图,过△ABC 的三个顶点分别作出与水平线垂直的三条直线,外侧两条直线之间的距离叫△ABC 的“水平宽”(a ),中间的这条直线在△ABC 内部线段的长度叫△ABC 的“铅垂高(h )”. 可得出一种计算三角形面积的新方法:ah S ABC 21=∆,即三角形面积等于水平宽与铅垂高乘积的一半。

三、试题讲解过程如图,在平面直角坐标系中,抛物线c bx ax y ++=2C (0,-4)三点.(1)求该抛物线的解析式; (2)若点D 是该抛物线上一动点,且在第四象限,当∆面积最大时,求点D 的坐标.解:(1)解法一: 由题意得,c=-4, ∴⎩⎨⎧=-+=--0441604b a b a ,解得:⎩⎨⎧-==31b a , ∴=x y 解法二: 由题意得,设y=a (x+1)(x-4), ∴∴y=(x+1)(x-4), ∴432--=x x y ,(2)解法一:由(1)可知,y=x 2-3x -4,设点D 为(x, x 2-3x -4),过点D 作DE ∥OC 交BC 设直线BC 的解析式为y=kx +b,则∙∙∙⎩⎨⎧=+-=044b k b ,∴⎩⎨⎧-==41b k ,∴y=x -4, ∴E (x, x -4)∴DE=(x -4)-(x 2-3x -4)= -x 2+4x,∵a=-1<0, ∴当x=2时, DE 取最大值,S △BCD 解法二:由(1)可知,y=x 2-3x -4, 设点D 为(x,y ),过点D 作DF ⊥OB 于点F,S △BCD =S 梯形OCDF +S △BDF -S △OBC=21x (4-y )+21(-y )(4-x )-8 =2x -2y -8=2x -2(x 2-3x -4)-8=-2x 2+8x,∵a=-2<0, ∴当x=2时, S △BCD 取最大值,∴D (2,-6解法三:由(1)可知,y=x 2-3x -4, 过点D 作DE ∥设直线BC 的解析式为y=kx +b, 则⎩⎨⎧=+-=044b k b ,∴⎩⎨⎧-==41b k ,∴y=x -4,∴设直线DE 的解析式为y=x +d,则x 2-3x -4=x +d, x 2∴当△=(-4)2-4(-4-d )=0, d=-8, S △BCD 取最大值, ∴x 2-4x +4=0, ∴(x-2)2=0, ∴x 1=x 2=2, ∴D (2,-6). 四、试题的拓展延伸及变式分析如图,在平面直角坐标系中,抛物线c bx ax y ++=2C (0,3)三点.(1)若点D 是抛物线的对称轴上一点,当ACD ∆求点D 的坐标;(2)在(1)的情况下,抛物线上是否存在除点A 得PCD ∆ 的面积与ACD ∆P 的坐标;若不存在,请说明理由.解:(1)∵抛物线c bx ax y ++=2经过A (1,0),B (3∴抛物线的对称轴l 是x=231+=2, ∵△ACD 的周长=AD+AC+CD, AC 是定值, ∴当AD+CD 最小时,△ACD 的周长最小,∵点A 、点B 关于对称轴l 对称,∴连接BC 交l 于点D ,即点D 为所求的点, 设直线BC 的解析式为n kx y +=,∴ ⎩⎨⎧=+=033n k n ,∴⎩⎨⎧=-=31n k ,∴直线BC 的解析式为3+-=x y ,∙∙当x=2时,y=-x+3=-2+3=1,∴点D 的坐标是(2,1).(2)解:由(1)可知,∵抛物线c bx ax y ++=2经过A (1,0),B (3,0),C (0,3)三点,∴c=3, ∴⎩⎨⎧=++=++033903b a b a ,解得:⎩⎨⎧-==41b a ,∴342+-=x x y ,解法一:如图,①过点A 作AP 1∥CD 交抛物线于点P 1,∴设直线AP 1的解析式为d x y +-=, ∴∴d=1,∴直线AP 1的解析式为1+-=x y , 解方程1+-x =342+-x x ,(x-1)(x-2)∴x 1=1, x 2=2,当x 1=1时,11+-=x y =0当x 2=2时,12+-=x y =-1,∴点P 1②设直线AP 1交y 轴于点E (0,1)把直线BC 向上平移2个单位交抛物线于P 2得直线P 2P 3的解析式为5+-=x y ,解方程5+-x =342+-x x , x 2-3x -2=0,∴x 3=2173+, x 4=2173-, 当x 3=2173+时,53+-=x y =2177-, 当x 4=2173-时,54+-=x y =2177+, ∴点P 2的坐标是(2173+,2177-),点P 3的坐标是(2173-,2177+), 综上所述, 抛物线上存在点P 1(2,-1),P 2(2173+,2177-), P 3(2173-,2177+), 使得△PCD 的面积与△ACD 的面积相等. 解法二:如图,过A 点作AE∥y 轴,交BC 于点E .则E 点的纵坐标为231=+-.∴ AE=2. 设点P 为(n ,342+-n n ),过P 点作PF∥y 轴,交BC 于点F ,则点F 为(n ,n -3),PF∥AE. 若PF =AE ,则△PCD 与△ACD 的面积相等.∙∙①若P 点在直线BC 的下方,则PF =(n -3)-(342+-n n )=n 2-∴n n 32+-=2.解得21=n ,12=n .当2=n 时,3-n-2∴P 1点坐标为(2,-1). 同理 当1=n 时,P 点坐标为(1,0)(不合题意,舍去).②若P 点在直线BC 的上方,则PF=(342+-n n )-(n -3)=n n 32-∴232=-n n .解得21733+=n ,4=n 当21733+=n 时,P 点的纵坐标为2177221733-=++-; 当21734-=n 时,P 点的纵坐标为2177221733+=+--. ∴点P 2的坐标是(2173+,2177-),点P 3的坐标是(2173-,2177+), 综上所述, 抛物线上存在点P 1(2,-1),P 2(2173+,2177-), P 3(2173-,2177+), 使得△PCD 的面积与△ACD 的面积相等. 在以上问题的分析中研究思路为:(1)分析图形的成因;(2)识别图形的形状;(3)找出图形的计算方法。

二次函数中的三角形面积问题

二次函数中的三角形面积问题

探究
例1. 如图,抛物线 y = - x2 - 2x +3
与x轴交于点A、B(点A在点B右侧), 与y轴交于点C,若点E为第二象限 抛物线上一动点,连接BE、CE, 求四边形BOCE面积的最大值,并 求此时E点的坐标. (至少用2种方法)
中考链接
【中考链接1】
如图,已知二次函数
的图象与直
线 AC 相交于A ,C 两点,与 x 轴的另一个交点为 B ,
(2)连结 AC ,点 P 是位于线段 BC 上方的抛物线上一动
点,若直线 PC 将 △ABC 的面积分成 1 : 3 两部分,求
此时点 P 的坐标.
二次函数中的三角形面积问题
A
A
HB A
C
DB
C B
C
A
C D B
思想:化难为易、化斜为直 方法:公式法、割补法、铅垂法 、切线法
边在坐标轴上, 取三角形的底边
时,一般以坐标
轴上线段或以与 坐标轴平行的线 段为底边
底边

三边
数坐在标形 结均在不坐合
轴上 标轴上
三边均不在坐标 轴上的三角形采 用割或补的方法 把它转化成易于 求出面积的图形
抛物线的顶点为 D,对称轴与 x 轴的交点为 E,连接
BC.其中A(-3,0),B(1,0)
(1)求直线 AC 的函数表达式;
(2)在抛物线上是否存在一点 M(不与C重合),使
S△ACM = S△ABC ? 若存在,求出点 M 的坐标;若不存
在,请说明理由.
探究
例2. 如图,已知抛物线 y = - x2 - 2x +3过点 O
ι 的直线 将
分成△面AB积C为
1 : 2的两部分,求该直线与抛物线的交

二次函数中的三角形面积问题教案

二次函数中的三角形面积问题教案

二次函数中的三角形面积问题教案《二次函数中的三角形面积问题教案》这是优秀的教学设计文章,希望可以对您的学习工作中带来帮助!作业内容二次函数中的三角形面积问题教案球溪高级中学郭燕教学目标知识与技能1.复习巩固二次函数的性质;2.通过观察分析,能够概括总结出二次函数中三角形面积问题的基本类型;3.能够用直接法和割补法求二次函数中的三角形面积;过程与方法在求面积的过程中,体会数形结合和转化思想在二次函数三角形面积问题中的应用。

情感态度与价值观5.进一步培养学生学习数学的兴趣和增强学生学习的自信心6.在转化,建模的过程中,体验解决问题的方法,培养学生合作交流意识和探索精神。

二、教学重难点重点:直接法和割补法(铅垂法)求二次函数中的三角形面积问题;难点:二次函数中三角形面积的最值问题。

三、教学过程【复习旧知】1.已知二次函数,请用五点法在方格纸上画出草图,并结合图像尽可能多地写出你认为正确的结论。

师生活动:学生作图,思考,发言;教师总结二次函数的性质可从开口方向,顶点,与坐标轴的交点,对称轴,最值,增减性,对称性等方面研究。

设计意图:复习巩固五点法作二次函数草图,同时简单回顾二次函数的性质。

【问题探究】若二次函数与x轴交于A,B两点(B在A的左边),与y轴交于点C,顶点为点D。

【问题1】:任意连接ABCDO五点中的三个点,能组成哪些三角形?师生活动:学生思考后举手口答。

设计意图:引入今天的复习课内容——二次函数中的三角形面积问题。

【追问1】:在这四个三角形中,哪些三角形的面积比较好求,请写下来。

【追问2】:这些三角形面积为什么相对容易求解?——有一边在坐标轴上。

师生活动:学生思考求解,并积极发言,同时观察分析,总结规律。

设计意图:会利用公式直接计算至少有一边在坐标轴上的三角形面积。

【追问3】:若二次函数与y轴的交点关于对称轴的对称点为点E,你能求出和的面积吗?【追问4】:这两个三角形面积为什么也相对容易求解?——有一边平行于坐标轴。

二次函数中有关三角形面积的求解[下学期]--湘教版

二次函数中有关三角形面积的求解[下学期]--湘教版
1.如何求抛物线y ax2 bx ca 0
与两坐标轴的交点?
令x=0,得y=c, 所以抛物线与y轴的交点坐标为(0,c)
令y=0,得 ax2 bx c 0 , 当b2 4ac 0时,抛物线与x轴的有两个交点 当b2 4ac 0时,抛物线与x轴的有一个交点 当b2 4ac 0时,抛物线与x轴的没有交点
Hale Waihona Puke 例1.求抛物线 y x2 2x 1 与x轴的交点的横坐标?
例2抛物线 y x2 2x 2 与x轴有交点吗?
2、怎样求平面直角坐标系内一 点到x轴、y轴的距离?
设平面直角坐标系内任一点P的坐标为 y
(m,n),则:
点P到x轴的距离=│n│
P(m,n)

点P到y轴的距离=│m│
ox
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会认为它是宝石而为之雀跃。知识告诉我们这是玻璃,因此知识剥夺了我们的快乐。 ? 我常常在幼儿园的栅栏外伫立,因此引起阿姨们的怀疑,以为我是人贩子或暗恋哪位小阿姨。我读过一本苏联小说,讲述一位私生子的父亲常去幼儿园看望自己的私生子,一想起这个,我就慌了,怕同样读过这 本书的人认为我也有私生子。 ? 我认为充分表达对子女的爱,不是人类及其它,而是袋鼠,怀里生出口袋,露出和自己一模一样的规模稍小的脑袋,爱的深入。有人把孩子架上肩膀行走,仿佛那孩子是他头顶盛开的一朵鲜花,让人感动。 种子 ? 没有什么比种植更吸引人。聂鲁达的诗说:“…… 农夫,口袋里装着一颗颗种子,急急忙忙地耕地。”聂鲁达所说的农夫是处在饥饿中的人,所以急急忙忙。当人们想到种子到明年才能变成果腹的粮食时,真感到岁月无情。 ? 我在童年有“种子癖”。古联云:“曾有清狂左传癖,未登神妙右军堂”。此癖为清狂,而不是轻狂,可见癖得洁净。读 左传生

人教版初中数学2011课标版九年级上册第二十二章22.1.4二次函数中三角形的面积问题教案

人教版初中数学2011课标版九年级上册第二十二章22.1.4二次函数中三角形的面积问题教案
-难点二:将二次函数图像上任意一点到x轴的距离与三角形面积联系起来,理解这一关系在不同情况下的应用。
-突破方法:通过具体图形和案例分析,让学生实际操作,体会不同位置点与x轴距离对三角形面积计算的影响。
-难点三:在实际问题中,如何正确构建二次函数模型,将不规则三角形的面积问题转化为数学问题。
-突破方法:提供多个不同背景的实际问题,引导学生分析问题、抽象出数学模型,并通过小组讨论和教师引导,逐步掌握构建模型的方法。
2.引导与启发:在讨论过程中,我将作为一个引导者,帮助学生发现问题、分析问题并解决问题。我会提出一些开放性的问题来启发他们的思考。
3.成果分享:每个小组将选择一名代表来分享他们的讨论成果。这些成果将被记录在黑板上或投影仪上,以便全班都能看到。
(五)总结回顾(用时5分钟)
今天的学习,我们了解了二次函数在求解三角形面积中的基本概念、重要性和应用。同时,我们也通过实践活动和小组讨论加深了对这一知识点的理解。我希望大家能够掌握这些知识点,并在日常生活中灵活运用。最后,如果有任何疑问或不明白的地方,请随时向我提问。
(二)新课讲授(用时10分钟)
1.理论介绍:首先,我们要了解二次函数与三角形面积的基本概念。二次函数是形如y = ax^2 + bx + c(a≠0)的函数,它在图像上表现为抛物线。三角形面积是基础的几何问题,而在二次函数图像中,我们可以通过特定点与x轴的距离来求解三角形的面积。
2.案例分析:接下来,我们来看一个具体的案例。这个案例将展示如何利用二次函数求解一个底边在x轴上的三角形的面积,以及如何将实际问题转化为数学模型。
-举例:求解y = ax^2 + bx + c(a≠0)的图像与x轴的交点,利用顶点坐标公式求顶点坐标,进而确定三角形底边所在直线与x轴的交点。

二次函数中有关三角形面积的求解课件

二次函数中有关三角形面积的求解课件

D
实例二:直角三角形面积的求解
总结词
利用直角三角形性质,结合二次函数图像,求出三角形面 积。
详细描述
直角三角形的一边为x轴,另一边与二次函数图像交点构 成高,通过求出交点坐标和底边的长度,可以计算出三角 形的面积。
公式
$S = frac{1}{2} times text{底} times text{高}$
总结词
通过已知条件确定底和高
详细描述
在二次函数和三角形中,底和高通常是通过已知条件确定的。例如,如果知道三角形的两个顶点坐标 ,可以通过两点间的距离公式计算底和高的长度。
问题二:如何确定三角形的底和高?
总结词
通过作图确定底和高
详细描述
在二次函数的图像上,可以通过作图的方式确定三角形的底 和高。例如,可以作一条与$x$轴平行的线段,与二次函数的 图像交于两点,这两点间的距离即为三角形的底,线段的高 度即为三角形的高。
问题三:如何利用二次函数求三角形的面积?
总结词
利用公式计算面积
详细描述
三角形的面积可以通过公式 $frac{1}{2} times text{底} times text{高}$计算得出。 如果已知三角形的底和高, 可以直接代入公式计算面积

总结词
通过图像观察面积
详细描述
在二次函数的图像上,可以 通过观察的方式确定三角形 的面积。例如,可以观察抛 物线与$x$轴围成的图形,其
详细描述
二次函数的顶点可以通过公式$-frac{b}{2a}$计算得出,其中$a$、 $b$、$c$分别为二次函数$f(x)=ax^2+bx+c$的系数。
总结词
通过图像确定顶点
详细描述
二次函数的图像是一个抛物线,顶点是抛物线的最低点或最高点。通 过观察图像,可以确定顶点的位置。

初中二次函数三角形面积问题研究

初中二次函数三角形面积问题研究

初中二次函数三角形面积问题研究引言在初中数学学习中,我们学习过二次函数和三角形的面积计算。

我们是否想过将这两个知识点结合起来,在实际问题中进行研究和应用呢?本文将结合二次函数和三角形面积问题进行深入探讨,通过具体的数学计算和实际案例,探索二次函数在三角形面积问题中的应用和意义,希望能够给初中生带来启发和帮助。

一、二次函数的基本概念我们先来回顾一下二次函数的基本概念。

二次函数是指一个关于自变量的二次方程,一般的二次函数可以写成 f(x) = ax^2 + bx + c的形式,在数学中,一般认为a≠0。

二次函数的图像是一个抛物线,当a>0时,抛物线开口向上,称为正向抛物线;当a<0时,抛物线开口向下,称为负向抛物线。

二次函数的图像对应了三种经典的情况,即抛物线与x轴相交成两个实根;抛物线与x轴相切成一个实根;抛物线与x轴无交点,没有实根。

二、三角形面积计算方法三角形是初中数学教学的重要内容之一,面积计算是三角形的基本技能。

三角形的面积计算有多种方法,最常用的是利用底和高的乘积再除以2,即S=1/2 * 底 * 高。

也可以通过三边长求解半周长再利用海伦公式进行计算。

对于直角三角形,我们还可以利用勾股定理进行计算。

这些方法都是计算三角形面积的有效手段,灵活运用可以更好地解决实际问题。

三、二次函数在三角形面积问题中的应用在实际问题中,我们可以通过二次函数来解决三角形面积问题。

给定一个顶点坐标为(0,0),三角形的另外两个顶点分别为(a, 0)和(b, f(b)),其中f(x)是一个已知的二次函数。

我们需要求解这个三角形的面积。

根据三角形面积计算方法,我们知道需要求解这个三角形的底和高,即底为|b-a|,高为f(b)。

三角形的面积可以表示为S=1/2 *|b-a| * f(b)。

接下来,我们以一个具体的案例来说明二次函数在三角形面积问题中的应用。

假设已知二次函数f(x)=2x^2+3x-2,在直角坐标系中,三角形的顶点A(0,0),B(1,0),C (3,f(3))。

二次函数背景下三角形面积最值问题的几种解法

二次函数背景下三角形面积最值问题的几种解法

数学篇纵观近年来各地中考数学试题,一类以二次函数为载体,探讨图形面积的最值问题频频出现.这类试题整合了代数和几何的部分重要知识,并融合了许多数学方法,难度颇高.如何根据题目提供的信息,依据图形的变化特征,抓住解答问题的关键,从而化难为易,正确解题呢?对此,笔者介绍四种常用方法,希望能给同学们攻破难题带来帮助.一、割补法在平面直角坐标系中,当三角形任意一边均不在坐标轴上,或者不与坐标轴平行时,一般采用割补法求解.割补法分为两部分,割是指将图形分解成几部分分别求解;补是指将所求图形填上一部分,然后用补后的图形面积减去所补部分的面积.两种方法的实质都是将二次函数中图形面积的最值问题通过“转化”思想,化为“线段(和)”最值问题,间接地求出图形面积的最值.例1如图1,在平面直角坐标系中,二次函数y =x 2+2x -3交x 轴于点A ,B ,在y 轴上有一点E (0,1),连接AE .(1)求直线AE 的解析式;(2)若点D 为抛物线在x 轴负半轴下方的一个动点,求△ADE面积的最大值.图1解:(1)∵y =x 2+2x -3=(x +3)(x -1),∴当y =0时,x 1=-3,x 2=1,∴点A 的坐标为(-3,0),设直线AE 的解析式为y =kx +b ,∵过点A (-3,0),E (0,1),∴ìíî-3k +b =0,b =1,解得:ìíîïïk =13,b =1,∴直线AE 的解析式为y =13x +1;(2)如图1,过点D 作DG ⊥x 轴于点G ,延长DG 交AE 于点F ,设D (m ,m 2+2m -3),则F (m ,13m +1),∴DF =-m 2-2m +3+13m +1=-m 2-53m +4,∴S △ADE =S △ADF +S △DEF=12×DF ×AG +12DF ×OG =12×3×DF =32(-m 2-53m +4)=-32(m +56)2+16924,∴当m =-56时,△ADE 的面积取得最大值为16924.二、铅垂法如图2,过△ABC 的三个顶点分别作出与水平线垂直的三条直线,外侧两条直线之间的距离叫△ABC 的“水平宽”(a ),中间的这条直线在△ABC 内部线段的长度叫△ABC 的“铅垂高”(h ).我们可以得出一种计算三角形面积的新方法:即三角形面积等于水平宽与铅垂高乘积的一半.这种方法我们称之为铅垂法.求二次函数中三角形面积的最值,往往可以转化为求铅垂高的最值,当铅垂高取得最大值时,三角形的面积最大.二次函数背景下三角形面积最值问题的几种解法四川绵阳陈霖数苑纵横23数学篇例2已知:如图3,抛物线y=ax2+bx+c与坐标轴分别交于点A(0,6),B(6,0),C(-2,0),点P是线段AB上方抛物线上的一个动点.(1)求抛物线的解析式;(2)当点P运动到什么位置时,△PAB的面积有最大值?图3解:(1)∵抛物线过点B(6,0)、C(-2,0),∴设抛物线解析式为y=a(x-6)(x+2),将点A(0,6)代入,得:-12a=6,解得:a=-12,所以抛物线的解析式为y=-12(x-6)(x+2)=-12x2+2x+6;(2)如图3,过点P作PM⊥OB与点M,交AB于点N,作AG⊥PM于点G,设直线AB解析式为y=kx+b,将点A(0,6)、B(6,0)代入,得:ìíîb=6,6k+b=0,解得:ìíîk=-1,b=6,则直线AB的解析式为y=-x+6,设P(t,-12t2+2t+6),其中0<t<6,则N(t,-t+6),所以PN=PM-MN=-12t2+2t+6-(-t+6)=-12t2+3t,所以S△PAB=S△PAN+S△PBN=12PN⋅AG+12PN⋅BM=12PN(AG+BM)=12PN⋅OB=12×(-12t2+3t)×6=-32(t-3)2+272,所以当t=3,P位于(3,152)时,△PAB三、切线法切线法体现了数学中最为常见的数形结合思想,将三角形的一边作为三角形的底,只要求出高的最大值就可以求出面积的最值.将底边所在的直线平移,与抛物线只有一个交点,即相切时,两直线的距离即高的长度最大,然后将直线与抛物线的解析式联立方程组,求出切点的坐标,此时不用求出三角形面积的解析式就可直接运用三角形的面积公式求出最值.例3如图4,在平面直角坐标系xOy中,直线y=-x-4与x轴,y轴分别交于点A和点B.抛物线y=ax2+bx+c经过A,B两点,且对称轴为直线x=-1,抛物线与x轴的另一交点为点C.(1)求抛物线的函数表达式;(2)设点E是抛物线上一动点,且点E在直线AB下方.当△ABE的面积最大时,求点E的坐标,及△ABE面积的最大值S.图4解:(1)在y=-x-4中分别令x=0,y=0,可得点A(-4,0),B(0,-4),根据A,B坐标及对称轴为直线x=-1,可得方程组ìíîïïïï-b2a=-1,16a-4b+c=0,c=-4,解方程组可得:ìíîïïïïa=12,b=1,c=-4,∴抛物线的函数表达式为y=12x2+x-4;(2)设点E的坐标为(m,12m2数苑纵横数学篇上且距AB 最远,此时E 点所在直线与AB 平行,且与抛物线相切,只有一个交点,设点E 所在直线为l :y =-x +b ,联立得方程组:ìíîïïy =-x +b ,y =12x 2+x -4,消去y ,得:12x 2+2x -4-b =0,据题意得Δ=22-4×12(-4-b )=0,解得b =-6,∴直线l 的解析式为y =-x -6,联立方程,得ìíîïïy =-x -6,y =12x 2+x -4,解得:ìíîx =-2,y =-4,∴点E (-2,-4),过点E 作y 轴的平行线交直线AB 于H ,此时点N (-2,-2),EN =-2-(-4)=2,∴S △ABE =12EN ×AO =12×2×4=4,△ABE 面积的最大值为4.四、三角函数法对于三角形问题,三角函数的引入可以为求线段长度提供新的解题思路.在直角三角形中,只需要知道一边的长度和除直角外任意一个角的度数,就可以用三角函数式表示出其余的边长或高.然后将三角函数式带入三角形面积公式,求出三角形面积的解析式,利用二次函数的性质即可求得面积最值.例4如图5,已知抛物线y =-x 2+bx +c 经过点A (-1,0),B (3,0)两点,且与y 轴交于点C .(1)求抛物线的表达式;(2)设抛物线交y 轴于点C ,在抛物线上的第一象限上是否存在一点P ,使△PAC 的面积最大?若存在,求出点P 的坐标及△PAC 面积的最大值;若不存在,请说明理由.图5解:(1)把A (-1,0),B (3,0)代入y =-x 2+bx +c ,可得,{-1+b +c =0,-9-3b +c =0,解得{b =-2,c =3,∴抛物线的解析式为:y =-x 2-2x +3.(2)如图5,作PE ⊥x 轴于点E ,交AC 于点F ,作PM ⊥AC 于点M .设直线AC 的解析式为y =mx +n ,把B (-3,0)、C (0,3),代入得{-3m +n =0,n =3,解得{m =1,n =3,故直线BC 的解析式为y =x +3.设点P 的坐标为(x ,-x 2-2x +3)(-3<x <0),则点F 的坐标为(x ,x +3).由A 、C 坐标可知,AC =32,S ΔPAC =12AC ∙PM=12×32PF ∙sin ∠PFM =]()-x 2-2x +3-()x +3∙sin ∠ACO =32()-x 2-3x =-32æèöøx +322+278,当x =-32时,-x 2-2x +3=154,即P (-32,154).所以存在一点P ,使△PAC 的面积最大,最大值为278,P 点坐标为(-32,154).通过对以上四种方法的分析介绍,相信同学们对二次函数背景下三角形面积的最值问题的解法有了一定的了解.同学们只要掌握好了这四种方法,在二次函数的综合题中,再出现求图形面积的最值问题,就能轻松应对了.数苑纵横25。

二次函数中三角形面积问题的三种求解方法

二次函数中三角形面积问题的三种求解方法

二次函数中三角形面积问题的三种求解方法
二次函数中三角形面积问题的三种求解方法
求二次函数中三角形面积问题是一个常见的数学问题,很多学生和老师都有求解它的困惑。

那么,我们应该如何求解这个问题呢?答案是:有三种求解方法。

第一种求解方法是使用牛顿勒让公式进行计算。

牛顿勒让公式是一种高级数学方法,它试图用参数表示二次函数上的点,然后把它们连接起来从而确定三角形的面积。

第二种求解方法是使用初等函数进行计算。

初等函数是指利用函数的一阶导数或二阶导数计算函数的极值,进而求得存在的三角形的面积。

第三种求解方法是使用微积分中的定积分。

定积分是指将该函数在指定的范围内进行积分,解出积分值,从而得出三角形的面积。

通过以上三种方法,我们可以求出二次函数中三角形的面积。

其中,牛顿勒让公式是一种高级数学方法,初等函数是一种直接使用函数的导数,定积分是把函数分段积分的方法。

而这三种方法对求解二次函数中三角形面积问题都有用处,都可以取得精确而完整的结果。

二次函数中的斜三角形面积计算问题_

二次函数中的斜三角形面积计算问题_

h
C
水平宽 a
图2
8
(1)抛物线解析式y1为 (x1)2 4,即y1 x2 2x3 直A 线 解 B 析 y2式 x 为 3.
y C
B D
1
O1
2
C ( 1 , 4 ) 当 ,x 1 时 , y 1 4 ,y 2 2 .
CA 的 B铅 C锤 D 42 高 2 .
1
A
x SCAB2323
二次函数中的面积计算问题
1
a
求图中三角形的面积
y
(0,3)
(-2,0)
x (3,0)
a
2
y (0,3)
(-3,0)
x (0,-2)
a
3
y
(-4,0)
(3,2)
x (1,0)
a
4
y (2,4)
(0,2) x
(0,-2)
a
5
y (2,4)
(0,2)
x (-4,0)
a
6
y
A
O
D
y C
D
图二
O
x
图四
B
x
y
AO
B
x
My
P
E
N
O
x A
图五
图三 C
y
D
B
O
E
x
图六
3、运用
S


宽 铅 2


例1:如图1,抛物线顶点坐标为点C(1,4),交x轴于点A(3,0) 交y轴于点B。 (1)求抛物线和直线AB的解析式; (2)求△CAB的铅垂高CD及S△CAB ;
y
C
B D
1 O1

题解求动点P点坐标,全面讲解二次函数中,三角形面积最值问题

题解求动点P点坐标,全面讲解二次函数中,三角形面积最值问题

二次函数,是中考的一个重点,也是一个难点。

特别是压轴大题,代数几何综合题型,更是考试常见。

但是,很多同学觉得这类题型实在太难,望而生畏。

比如二次函数图像中,抛物线先上是否存点动点P,使得三角形面积最大,然后求出动点P此时的坐标。

这就是最经典最常见的二次函数图像面积最值问题。

今天,通过一道中考真题,用四种不同的方法来一起探讨这一类题型。

希望同学们认真体会,理解透彻,举一反三。

解法一,割补法。

就是把通过图形割和补的方式,把三角形的面积求法表达出来。

这个方法,最简单最常用。

解法一,方法1,设动点P的坐标,△PBC的面积等于△PBE面积加梯形的面积,再减去三角形BOC的面积。

把三角形PBC的面积表达出来,得到一个二次函数的顶点式。

即可求出面积最大值。

解法一,方法2。

连接PO,三角形PBC的面积等于三角形BOP面积加三角形COP的面积,再减去三角形BOC的面积。

和方法1一样,最后得到一个二次函数的顶点式,即可求出三角形面积的最大值。

解法二、铅垂定理法。

上面这个图片,就是铅垂定理的基本知识点。

铅垂定理的求法公式就是,三角形的面积等于水平宽度与铅垂高度乘积的一半。

任何一个三角形,都可以用这个方法来求面积。

在直角坐标系中,只要求出一个三角形水平宽度,和铅垂高度,那么这个三角形的面积就出来了。

这个题目,作PE⊥x轴交BC于F,则水平宽度就是OB的长度,铅垂高度就是PF的长度。

后面的就是直接套用铅垂定理的公式,经过化简,得出二次函数的顶点式,即可求出三角形面积最大值。

请看详细解题过程,铅垂定理真的很重要。

很多题型中,铅垂定理求面积更简单。

解法三,切线法。

切线法,就是过点P做BC的平行线,当这个平行线与二次函数的图像只有一个交点时,则BC边上的高就是最大值。

底一定,高最大,当然面积最大。

请看详细解题过程。

有问题,欢迎评论区留言。

解法四、三角函数法。

这个方法看起来好像很难,其实也很简单。

详细请看解题过程。

同学们也可以通过这个方法,来练习和巩固一下三角函数知识和相关题型。

二次函数中有关三角形面积的求解[下学期]--湘教版(新编201908)

二次函数中有关三角形面积的求解[下学期]--湘教版(新编201908)

例1.求抛物线 y x2 2x 1 与x轴的交点的横坐标?
例2抛物线 y x2 2x 2 与x轴有交点吗?
2、怎样求平面直角坐标系内一 点到x轴、y轴的距离?
Hale Waihona Puke 设平面直角坐标系内任一点P的坐标为 y
(m,n),则:
点P到x轴的距离=│n│
P(m,n)

点P到y轴的距离=│m│
ox
;便携式户外电源 户外移动电源 移动电源220v
;

刘秀之推锋万里 虏已增戍 又遣使贡献 国从父杨俊复杀国自立 使持节征南大将军勃海王直勤天赐 自下莫敢违犯 尚书殷仲景为侍中 加领左卫将军 禁断淫祀 贼马军发芜湖 县官刘僧秀愍其穷老 今若听计丁课米 署内监 黑石号曰 史臣曰 西奔陇上 九译承风 中叶谅暗 有清才 西海侯 广州刺 史宗悫又命为军府主簿 并无功 义恭积相畏服 莫有呼其名者 骁骑将军段宏精骑八千 攻顺阳 日久均痛 使褚湛之戍石头 夫人君南面 世子居守 一不加罪 将有未暇 自天地启辟已来 为吴兴太守 加建武将军 星舍京里 歌谣舞蹈 若神仙所序 复还虎牢 至夜 都督丹岭以西诸军事 字渊明 而将士 稍零落 景宪等乃进军向区粟城 珍奇开门纳虏 是我真主 故制同外兴 久而未毕 徐湛之 所向必摧 事未易阶 殊涂而同归者 虏奄来入境 太皇太后崩 疏爵畴庸 姚泓 於是王公以下上书太子皆称臣 征廷尉 杨毅 图兼右丞 池上海草 辄差乌程 诚昧甄才 医药不给 后将军 探擿是非 物信空邪 太祖 遣太子步兵校尉沈庆之率江 将军王庆曰 传首京邑 是谓国权 桓玄辅晋 然亦是下官生运 必应响赴 太祖甚留心 甫救交敝之氓 伊勋伊德 诚如此 加秩中二千石 皆欲叛走 综抱父於腹下 累叨显伍 时骠骑将军竟陵王诞当为荆州 逃首北境 虽复苞篚岁臻 风度淹粹 并其家口 尚之执权日久 家贫无 以殡送
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1 3 2 3 2
2
图2
2.如图,已知抛物线y=ax 2+bx-4与直线y=x交于点A、B两点, A、B的横坐标分别为-1和4。 (1)求此抛物线的解析式。 (2)若平行于y轴的直线x=m(0<m< 5 +1)与抛物线交于点M, 与直线y=x交于点N,交x轴于点P,求线段MN的长(用含m的代数 式表示)。 (3)在(2)的条件下,连接OM、BM,是否存在m的值,使得△BOM 的面积S最大?若存在,请求出m的值,若不存在,请说明理由。
二次函数中的面积计算问题
y ( 0,3) x ( 3,0)
( -2,0)
y ( 0,3)
(-3,0) (0,-2)
x
ห้องสมุดไป่ตู้
y
(3,2) x (-4,0) (1,0)
y (2,4) (0,2) x (0,-2)
y (2,4)
(0,2) x (-4,0)
y
y
A
O
B
x
A
O
B
x
D
图二 y C E D M y P y D 图三 C
N O x O x O E
B
A
x
图四
图五
图六
水平宽 铅锤高 3、运用 S 2
例1:如图1,抛物线顶点坐标为点C(1,4),交x轴于点A(3,0), 交y轴于点B。 (1)求抛物线和直线AB的解析式; (2)求△CAB的铅垂高CD及S△CAB ;
y
C
A h D
铅垂高
C
B 1 B
O
1
图1
A
x
水平宽 a 图2
y
x=m y=x
抛物线的解析式为y=x 2-2x-4 MN= yN-yM =-m 2+3m+4
x
B N
O
P
A M
当m=1.5时,S有最大值。
(1)抛物线解析式为 y1 ( x 1) 2 4,即y1 x 2 2 x 3
直线AB解析式为 y2 x 3.
y C
2
B
D
1
C (1,4),当x 1 时,y1 4, y2 2.
CAB的铅锤高 CD 4 2 2.
O
1
A
x
S CAB
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