小学数学竞赛：鸡兔同笼问题(一).教师版解题技巧 培优 易错 难

1. 熟悉鸡兔同笼的“砍足法”和“假设法”.

2. 利用鸡兔同笼的方法解决一些实际问题，需要把多个对象进行恰当组合以转化成两个对象．

一、鸡兔同笼 这个问题，是我国古代著名趣题之一．大约在1500年前，《孙子算经》中就记载了这个有趣的问题．书中是这样叙述的：“今有鸡兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问鸡兔各几何？这四句话的意思是：有若干只鸡兔同在一个笼子里，从上面数，有35个头；从下面数，有94只脚．求笼中各有几只鸡和兔？

你会解答这个问题吗？你想知道《孙子算经》中是如何解答这个问题的吗？

二、解鸡兔同笼的基本步骤

解答思路是这样的：假如砍去每只鸡、每只兔一半的脚，则每只鸡就变成了“独脚鸡”，每只兔就变成了“双脚兔”．这样，鸡和兔的脚的总数就由94只变成了47只；如果笼子里有一只兔子，则脚的总数就比头的总数多1．因此，脚的总只数47与总头数35的差，就是兔子的只数，即473512-=（只）．显然，鸡的只数就是351223-=（只）了．

这一思路新颖而奇特，其“砍足法”也令古今中外数学家赞叹不已．除此之外，“鸡兔同笼”问题的经典思路“假设法”．

假设法顺口溜：鸡兔同笼很奥妙，用假设法能做到，假设里面全是鸡，算出共有几只脚，和脚总数做比较，做差除二兔找到．

解鸡兔同笼问题的基本关系式是：

如果假设全是兔，那么则有：

鸡数=（每只兔子脚数×鸡兔总数-实际脚数）÷（每只兔子脚数-每只鸡的脚数）

兔数=鸡兔总数-鸡数

如果假设全是鸡，那么就有：

兔数=（实际脚数-每只鸡脚数×鸡兔总数）÷（每只兔子脚数-每只鸡的脚数）

鸡数=鸡兔总数-兔数

当头数一样时，脚的关系：兔子是鸡的2倍

当脚数一样时，头的关系：鸡是兔子的2倍

在学习的过程中，注重假设法的运用，渗透假设法的重要性，在以后的专题中，如工程，行程，方程等专题中也都会接触到假设法

模块一、两个量的“鸡兔同笼”问题——鸡兔同笼问题

【例 1】 鸡兔同笼，头共46，足共128，鸡兔各几只？

【考点】鸡兔同笼问题 【难度】1星 【题型】解答

【关键词】假设思想方法

【解析】 假设46只都是兔，一共应有446184⨯=只脚，这和已知的128只脚相比多了18412856-=只脚，这

是因为我们把鸡当成了兔子，如果把1只鸡当成1只兔，就要比实际多422-=（只）脚，那么56只

脚是我们把56228÷=只鸡当成了兔子，所以鸡的只数就是28，兔的只数是462818-=（只）．当

然，这里我们也可以假设46只全是鸡！鼓励学生从两个方面假设解题，更深一步理解假设法．

【答案】鸡28只，兔18只

例题精讲 知识精讲

教学目标

6-1-9.鸡兔同笼问题（一）

【巩固】点点家养了一些鸡和兔子，同时养在一个笼子里，点点数了数，它们共有35个头，94只脚．问：点点家养的鸡和兔各有多少只？

【考点】鸡兔同笼问题【难度】1星【题型】解答

【关键词】假设思想方法

【解析】方法一：我们假设，每只鸡都是“金鸡独立”，一只脚站着；而每只兔子都是两条后腿，像人一样用两只脚站着．现在，地面上出现的脚是总数的一半，也就是94247

÷=(只)．在47这个数中，鸡的头数算了一次，兔子的头数相当于算了两次，因此从47减去总头数35，剩下的就是兔子头数，

-=(只)鸡．

473512

-=(只)，所以有12只兔子，有351223

方法二：假设35只都是兔子，那么就有354140

-=(只)．每只

⨯=(只)脚，比94只脚多了1409446鸡比兔子少422

÷=(只)

-=(只)脚，那么共有鸡46223

方法三：还可以假设35只都是鸡，那么共有脚23570

⨯=(只)，比94只脚少了947024

-=(只)脚，每只鸡比兔子少422

÷=(只)．

-=(只)脚，那么共有兔子24212

方法一可以归结为：总脚数2

÷-总头数=兔子数．能够这样算，主要是利用了兔和鸡的脚数分别为4和2，而且4是2的2倍．

方法二说明假设的35只兔子中有23只不是兔子，而是鸡．由此可以列出公式：

鸡数=(兔脚数⨯总头数-总脚数)÷(兔脚数-鸡脚数)

方法三说明假设的35只鸡中有12只是兔．由此可以列出公式：

兔数=(总脚数-鸡脚数⨯总头数)÷(兔脚数-鸡脚数)

【答案】鸡23只，兔12只

【巩固】鸡兔共有45只，关在同一个笼子中．每只鸡有两条腿，每只兔子有四条腿，笼中共有100条腿．试计算，笼中有鸡多少只？兔子多少只？

【考点】鸡兔同笼问题【难度】1星【题型】解答

【关键词】假设思想方法

【解析】⑴假设法：若假设所有的45只动物都是兔子，那么一共应该有445180

⨯=(条)腿，比实际多算

÷=(只)鸡被当作了-=(条)腿．而每将一只鸡算做一只兔子会多算两条腿，所以有80240 18010080

兔子，所以共有40只鸡，有45405

-=(只)兔子．

注意：假设为兔子时，按照“多算的腿数”计算出的是鸡的数目；假设为鸡时，按照“少算的腿数”

计算出的是兔子的数目．同学们可以自己来做一下当假设为鸡时的算法．

⑵“金鸡独立”法（砍足法）：

假设所有的动物都只用一半的腿站立，这样就出现了鸡都变成了“金鸡独立”，而兔子们都只用两

条腿站立的“奇观”．这样就有一个好处：鸡的腿数和头数一样多了；而每只兔子的腿数则会比头数

多1．因此，在腿的数目都变成原来的一半的时候，腿数比头数多多少，就有多少只兔子．原来有

÷=(条)腿，比头数多100只腿，让兔子都抬起两只腿，鸡抬起一只腿，则此时笼中有100250

-=，所以有5只兔子，另外40只是鸡．

50455

【答案】鸡40只，兔5只

【巩固】老虎和鸡共l0只，脚共26只．鸡（）只．

【考点】鸡兔同笼问题【难度】1星【题型】填空

【关键词】走美杯，3年级，初赛

【解析】这属于鸡兔同笼问题，每只老虎有4只腿，每只鸡有2只腿。假设10只都是鸡，那么老虎的只数是：（26－2×10）÷（4-2）=3只，鸡有10-3=7（只）。

【答案】鸡7只

【例 2】动物园里有一群鸵鸟和大象,它们共有36只眼睛和52只脚，问：鸵鸟和大象各有多少？

【考点】鸡兔同笼问题【难度】1星【题型】解答

【关键词】假设思想方法

【解析】由于每只动物有两只眼睛，由题意知：动物园里鸵鸟和大象的总数为：36218

÷=，假设鸵鸟和大象一样也有4只脚，则应该有(418)72

-=只脚，由假设引起的差值：422

⨯=只脚，多了(7252)20

-=，则鸵鸟数为20210

-=（头）．

÷=（只），大象数为18108

【答案】鸵鸟10只，大象8头

【例 3】一队猎手一队狗，两队并着一起走。数头一共一百六，数脚一共三百九，则有名猎手，只狗。