热力学 统计物理：第八章 玻色统计和费米统计

y
y l
e l • ( ) • ( l )
1
[ y
l
l
ln(1 e l
)]
1
l
l
y 1 e l
l
l l
e l 1 y
Y 1 ln p 1 ln
y
V
N ln
U ln
Y 1 ln
y
dN d ( ln )
dU d ( ln )
Ydy 1 ln dy
U ln ln[ (1 e l )l ]
l
[
l
l ln(1 e l )]
l
l
e l • ( l )
1 e l
l
ll
e l 1
广义力Y是 l 的统计平均值：
y
Y
l
l
y
al
l
l l
e l 1 y
Y也可通过配分函数求得：
Y 1 ln 1 ln[ (1 e l )l ]
y
(dU Ydy dN ) d ( ln ) ln dy d ( ln )
y
(dU Ydy dN ) d ( ln ) ln dy d ( ln )
y
d ( ln ) ln • d ln • d ln dy d ( ln ) ln • d ln • d
e l 1
在实际应用中，两种分布的区别在于将和看作已知常量（开系条件
的平均分布），还是将N和U看作已知常量（孤立系统的最概然分布）。
说明： 本节推导玻色系统和费米系统热力学量的 统计表达式时，采用平均分布观点，也就
是将、和y（粒子能量含外参量y）看作 已知参量，而将热力学量表达为、和y的
函数。
回顾：
(dU Ydy dN ) d (ln ln ln )
是dU Ydy dN的积分因子。
开系热力学微分方程：dU Ydy dN TdS
1 (dU Ydy dN ) dS
T
(dU Ydy dN ) d (ln ln ln )
1 (dU Ydy kTdN ) kd(ln ln ln ) dS
l
l
对上式取对数为：ln l ln(1 e l )
l
则系统的平均总粒子数N可通过ln 获得：
N ln [
l
l ln(1 e l )]
l
l
e l • 1 1 e l
l
e ห้องสมุดไป่ตู้ l
1 e l
l
l
e l 1
U
l
l al
l
ll
e l 1
U也可通过配分函数求得：
玻尔兹曼分布：al le l
玻色分布：al
l
e l
1
费米分布：al
l
e l
1
❖ 一、玻色系统热力学量的表达式； ❖ 二、费米系统热力学量的表达式
❖ 一、玻色系统热力学量的表达式； ❖ 二、费米系统热力学量的表达式
玻色分布：al
l
e l
系统平均总粒子数：N 1
l
al
l
l
e l 1
引入另一个配分函数，称为巨配分函数： l (1 e l )l
本章将推导玻色系统和费米系统热力学量的统计表达式。
说明： 第六章在孤立条件下作为最概然分布导出了玻尔兹曼分布、玻色分布 和费米分布。但是当系统不是孤立系统而是与源（热源和粒子源）接 触的可以交换粒子和能量而达到平衡的开系时，之前的分布结果具有 严重缺陷，这部分推导将在第九章完成，第九章推导得出的分布是近 独立粒子在其能级上的平均分布。
T
1 , ; dS kd(ln ln ln )
kT
kT
dS kd(ln ln ln )
S k(ln ln ln )
k(ln U N ) k( l ln(1 e l ) U N )
l
k( l ln(1 e l ) lal al )
y
d ( ln ) ln • d ln dy d ( ln ) ln • d
y
d ( ln ) d ( ln ) ln • d ln dy ln • d
y
d ln ln d ln d ln dy
y
(dU Ydy dN ) d ln d ( ln ) d ( ln ) d (ln ln ln )
l
l
l
S k( l ln(1 e l ) lal al )
l
l
l
al
l
e l
, 令f 1
1 e l
1，则，al
l f ;
f
al ，e l
l
1 f
1， l
ln( 1 f
1)
1 e l 1 1 1 f 1
1 1
f 1 f 1
f
S k( l ln(1 e l ) al ( l ))
e
V N
(
2nk
h2
T
)3
/
2
1
或n3 N ( h2 )3/2 1 V 2nkT
满足上述条件的气体称为非简并气体。
不管该气体由玻色子还是费米子构成，都可以用玻尔兹
曼分布进行处理。
不满足非简并条件的气体称为简并气体，需要用玻色分布 和费米分布进行处理。在本章我们将看到，微观粒子全同性 原理带来的量子统计关联对简并气体的宏观性质将产生决定 性的影响，使得玻色气体和费米气体的性质迥然不同。
第八章 玻色统计和费米统计
第八章玻色统计和费米统计
❖ §8.1热力学量的统计表达式 ❖ §8.2弱简并理想玻色气体和费米气体 ❖ §8.3玻色-爱因斯坦凝聚 ❖ §8.4光子气体 ❖ §8.5金属中的自由电子气体
§8.1热力学量的统计表达式
第七章根据玻尔兹曼分布讨论了定域系统和满足经典
极限条件（非简并条件）近独立粒子系统的平衡性质。
说明：
平均分布和最概然分布概念上有所不同，但分布的表达式完全相同。
根据热动平衡条件，系统和源达到平衡时，两者具有相同的温度和
化学势（相当于具有相同的和）。也即，在开系推导中，参量
和是由外界条件（源的温度和化学势）确定的已知参量，而由下
式确定系统的平均总粒子数和内能：
N
l
l
e l
；U 1
l
l l
l
l
S k[
l
l
ln(
f
1) 1
l
1 al ln( f 1)]
S k[
l
l
ln(
f
1) 1
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, 令f 1
1 e l
1，则，al
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f;
f
al ，e l
l
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l
ln( 1 f
1)
l