有限、无限与极限
极限与无穷大
极限与无穷大在数学中，极限和无穷大是两个重要的概念。
极限是用来描述函数或数列的趋势和性质的工具，而无穷大则指代趋近于无限的数值。
本文将探讨极限与无穷大的定义、性质以及应用。
一、极限的定义与性质1.1 极限的定义对于一个函数$f(x)$，当$x$无限接近某个数$a$时，如果$f(x)$的取值也无限接近于一个确定的数$L$，那么称$L$是$f(x)$在$x$趋近于$a$时的极限，记作$\lim_{x \to a} f(x) = L$。
1.2 极限的性质- 唯一性如果一个函数$f(x)$在$x$趋近于$a$时的极限存在，则该极限必定唯一。
- 有界性如果函数$f(x)$在$x$趋近于$a$时的极限存在且为有限数，则$f(x)$在足够接近$a$的一个邻域内是有界的。
- 保号性如果一个函数$f(x)$在$x$趋近于$a$时的极限存在且大于（小于）零，则对于足够接近$a$的$x$值，$f(x)$将大于（小于）零。
二、无穷大的定义与性质2.1 无穷大的定义当一个数$x$趋近于无穷大时，如果对应的函数$f(x)$的取值无限增大或无限减小，那么就称$f(x)$在$x$趋近于无穷大时的极限为无穷大，记作$\lim_{x \to \infty} f(x) = \infty$或$\lim_{x \to -\infty} f(x) = \infty$。
2.2 无穷大的性质- 无界性当函数$f(x)$在$x$趋近于无穷大时的极限为无穷大时，该函数在一定区间内是无界的。
- 正负性当函数$f(x)$在$x$趋近于无穷大时的极限为正无穷时，函数取值大于任何有界正数；当函数$f(x)$在$x$趋近于无穷大时的极限为负无穷时，函数取值小于任何有界负数。
三、极限与无穷大的应用3.1 极限的应用极限在微积分中具有重要的应用，例如：- 确定函数的连续性- 求解函数的极值点- 计算曲线的斜率3.2 无穷大的应用无穷大在数学和物理学中有着广泛的应用，例如：- 描述粒子在无限远处的行为- 讨论函数的渐近线- 研究随机变量的极限分布总结：极限和无穷大是数学中重要的概念。
极限思想
极限思想极限的思想极限的思想是近代数学的一种重要思想，数学分析就是以极限概念为基础、极限理论(包括级数)为主要工具来研究函数的一门学科。
所谓极限的思想，是指用极限概念分析问题和解决问题的一种数学思想。
用极限思想解决问题的一般步骤可概括为：对于被考察的未知量，先设法构思一个与它有关的变量，确认这变量通过无限过程的结果就是所求的未知量；最后用极限计算来得到这结果。
极限思想是微积分的基本思想，数学分析中的一系列重要概念，如函数的连续性、导数以及定积分等等都是借助于极限来定义的。
如果要问：“数学分析是一门什么学科?”那么可以概括地说：“数学分析就是用极限思想来研究函数的一门学科”。
1.极限思想的产生与发展（1）极限思想的由来.与一切科学的思想方法一样，极限思想也是社会实践的产物。
极限的思想可以追溯到古代，刘徽的割圆术就是建立在直观基础上的一种原始的极限思想的应用；古希腊人的穷竭法也蕴含了极限思想，但由于希腊人“对无限的恐惧”，他们避免明显地“取极限”，而是借助于间接证法——归谬法来完成了有关的证明。
到了16世纪，荷兰数学家斯泰文在考察三角形重心的过程中改进了古希腊人的穷竭法，他借助几何直观，大胆地运用极限思想思考问题，放弃了归缪法的证明。
如此，他就在无意中“指出了把极限方法发展成为一个实用概念的方向”。
?（2）极限思想的发展极限思想的进一步发展是与微积分的建立紧密相联系的。
16世纪的欧洲处于资本主义萌芽时期，生产力得到极大的发展，生产和技术中大量的问题，只用初等数学的方法已无法解决，要求数学突破只研究常量的传统范围，而提供能够用以描述和研究运动、变化过程的新工具，这是促进极限发展、建立微积分的社会背景。
?起初牛顿和莱布尼茨以无穷小概念为基础建立微积分，后来因遇到了逻辑困难，所以在他们的晚期都不同程度地接受了极限思想。
牛顿用路程的改变量ΔS与时间的改变量Δt之比ΔS／Δt表示运动物体的平均速度，让Δt无限趋近于零，得到物体的瞬时速度，并由此引出导数概念和微分学理论。
数列与级数的极限与收敛
数列与级数的极限与收敛数列与级数是数学中重要的概念，它们在各个学科中都有广泛的应用。
了解数列与级数的极限与收敛性质对于深入理解这些概念及其应用至关重要。
本文将介绍数列与级数的极限与收敛，并探讨它们的性质和应用。
一、数列的极限数列可以看作是有序的实数集合。
如果数列的项随着索引的增大而趋近于某个确定的数，我们称这个数为数列的极限。
数列的极限可以分为有限极限和无限极限两种情况。
1. 有限极限如果数列的项随着索引的增大而逐渐趋近于一个有限数，我们称这个有限数为数列的有限极限。
记作lim(a_n) = A，其中a_n为数列的第n项，A为有限极限。
例如，数列1/n的极限为0，可以表示为lim(1/n) = 0。
2. 无限极限如果数列的项随着索引的增大而逐渐趋近于正无穷或负无穷，我们称这个无穷数为数列的无限极限。
记作lim(a_n) = ±∞。
例如，数列n 的极限为正无穷，可以表示为lim(n) = ∞。
二、数列的收敛性数列的收敛性描述了数列的极限是否存在。
收敛的数列具有趋近性，而发散的数列没有明确的趋近性。
1. 收敛数列如果数列存在有限极限，我们称这个数列为收敛数列。
收敛数列的项随着索引的增大越来越接近极限值。
例如，数列1/n是一个收敛数列，其极限为0。
2. 发散数列如果数列不存在有限极限，我们称这个数列为发散数列。
发散数列的项随着索引的增大没有明确的趋近性。
例如，数列n是一个发散数列。
三、级数的极限级数是数列部分和的无穷累加。
如果级数的部分和随着项数的增加而趋近于一个确定的数，我们称这个数为级数的极限。
级数的极限可以分为收敛和发散两种情况。
1. 收敛级数如果级数的部分和存在有限极限，我们称这个级数为收敛级数。
记作Σ(a_n) = S，其中a_n为级数的第n项，S为收敛级数的和。
例如，调和级数Σ(1/n)是一个收敛级数。
2. 发散级数如果级数的部分和不存在有限极限，我们称这个级数为发散级数。
发散级数的部分和没有明确的趋近性。
极限与无穷小的关系定理证明
极限与无穷小的关系定理证明
极限与无穷小的关系定理是：函数在某点的极限等于该点的函数值加一个无穷小量。
这个定理可以通过以下步骤证明：
第一步，假设函数在某点的极限为A，该点的函数值为f(x)。
第二步，根据极限的定义，我们知道当x趋近于这个点时，f(x)无限接近A，即f(x)=A+a(x)，其中a(x)是一个无穷小量。
第三步，由于a(x)是无穷小量，那么在x趋近于这个点的过程中，a(x)的值
可以忽略不计。
因此，我们可以得出结论：函数在某点的极限等于该点的函数值加一个无穷小量。
此外，还可以通过无穷小的性质来证明这个定理。
无穷小的性质包括：有限个无穷小的代数和仍然是无穷小；有界函数与无穷小的乘积仍然是无穷小；常数与无穷小的乘积仍然是无穷小等等。
利用这些性质，我们可以证明函数在某点的极限等于该点的函数值加一个无穷小量。
总之，极限与无穷小的关系定理是一个重要的数学定理，它表明函数在某点的极限与该点的函数值之间存在一定的关系。
这个定理可以通过极限的定义和无穷小的性质来证明。
极限思想的辩证思考与理解
摘要：极限理论贯穿整个微积分学，是微积分的重要内容和难点。
认识极限思想是把握和理解极限理论的前提。
通过极限思想与辨证哲学的紧密联系，加强极限思想的辨证理解，有助于数学思维的培养和数学素养的提高。
关键词：极限思想；辨证哲学；对立统一0 引言。
微积分是研究客观世界运动现象的一门学科，我们引入极限概念对客观世界运动过程加以描述，用极限方法建立其数量关系并研究其运动结果[1]。
极限理论是微积分学的基础理论，贯穿整个微积分学。
要学好微积分，必须认识和理解极限理论，而把握极限理论的前提，首先要认识极限思想。
极限思想蕴涵着丰富的辩证思想，是变与不变、过程与结果、有限与无限、近似与精确、量变与质变以及否定与肯定的对立统一。
1 极限思想与辩证哲学的联系。
1.1 极限思想是变与不变的对立统一。
“变”与“不变”反映了客观事物运动变化与相对静止两种不同状态，不变是相对的，变是绝对的，但它们在一定条件下又可相互转化。
例如，平面内一条曲线C上某一点P 的切线斜率为kp。
除P 点外曲线上点的斜率k 是变量，kp是不变量，曲线上不同的点对应不同的斜率K，斜率k 不可能等于kp，k 与kp是变与不变的对立关系；同时，它们之间也体现了一种相互联系相互依赖的关系。
当曲线上的点无限接近P 点过程中，斜率k无限接近kp，变化的量向不变的量逐渐接近。
当无限接近的结果产生质的飞跃时，变量转化为不变量，即“变”而“不变”，这体现了变与不变的统一关系。
1.2 极限思想是过程与结果的对立统一。
过程和结果在哲学上是辩证统一的关系，在极限思想中也充分体现了结果与过程的对立统一。
在上例中，当曲线上的点无限接近点P 的变化过程中，k 是变化过程，kp是变化结果。
一方面，无论曲线上点多么接近点P，都不能与点P 重合，同样曲线上变化点的斜率k 也不等于kp，这体现了过程与结果的对立性；另一方面，随着无限接近过程的进行，斜率k 越来越接近kp，二者之间有紧密的联系，无限接近的变化结果使得斜率k 转化为kp，这体现了过程与结果的统一性。
[笔记]论述有限与无限的区别与联系
![[笔记]论述有限与无限的区别与联系](https://img.taocdn.com/s3/m/9bda8bc229ea81c758f5f61fb7360b4c2e3f2a24.png)
论述有限与无限的区别与联系有限与无限：物质世界固有的矛盾之一。
反映物质运动在时间和空间上辩证性质的一对哲学范畴。
物质是不灭的、无限的，并且处在永恒的绝对运动之中，物质及其运动的永恒性、无限性，也就是物质的存在形式即时间持续和空间广延的无限性。
物质的时空无限由具体的物质客体的有限时空所构成，并通过具体物质客体在有限时空上的运动和变化表现出来。
有限和无限的范畴，反映了物质世界中客观存在的矛盾和辩证联系。
有限集和无限集的辨证关系数学中的有限和无限是对现实世界的有限和无限的反映。
整个物质世界的发展变化就是有限和无限的统一无限性首先就是指物质世界的无限性，宇宙的无限性。
运动是物质的固有属性，时间和空间是物质的存在方式，物质世界的无限性就表现为时间的无限持续和空间的无限广延。
数学中的无限性就是这种物质世界无限性的反映。
有限则是说一切事物都存在具体的时间和空间之中，因此总是一段时间，有规模的、有界限的。
即一切事物都是具体的事物。
数学中的有限就反映了这种有限性。
有限和无限是对立的统一，它们既是对立的，有区别的，又是相互联系的。
并在一定条件下相互转化的。
数学中的无限和有限也反映了有限与无限相互转化这一点。
例如，整数集是一个无限集合，人们无法得到一个完成了的整数集。
但每个整数又都是有限的。
我们可以得到任意的整数。
任意给出一个数学的对象，我们立即就能判定它是否属于整数集，这样看问题，整数集又是一个完成了的集合，是一个有限的概念。
因此整数集本身就是一个无限和有限的对立统一体。
有限和无限是对立的、有区别的，有限集合和无限集合的性质有质的不同。
例如一个有限集和它的任何一个真子集都无法建立一一对立关系，而无限集则可以与它的一个真子集建立一一对应关系。
比如，自然数集和它的一个真子集偶自然数集就可以建立一一对应关系。
再如，一个有限的良序数集，自然数集的一个有限数集必然有最大数和最小数。
但是无限的良序数集则没有这种性质，实数集就没有最大数也没有最小数。
(修改2014)第六讲：有限与无限
一、创设情境：有无限个房间的旅馆客满了 还要再安排新来的客人住下
1 号 房 间 的 客 人 搬 到 2 号 房 间，2 号 房 间的客人
“有无限个房间”的旅馆
1. “客满”后又来1位客人
1 2 3 4 ┅ k ┅ ┅ ↓ ↓ ↓ ↓ ┅ ↓ 2 3 4
空出了1号房间
14
5 ┅ k+1 ┅
2. 客满后又来了一个旅游团，旅游团 中有无穷个客人
注意“有限个”的条件）
无穷多个无穷小量的乘积未必是无穷小量
（甚至可以是无穷大量）。
54
2. 联系
在“有限”与“无限”间建立联系的手段，往
往很重要。
1）数学归纳法 通过有限的步骤，证明了命
题对无限个自然数均成立。
2）极限 通过有限的方法，描写无限的过程。
如：
lim an 自然数 ； N ，都
4. [思考题] 该旅馆客满后又来了无
穷个旅游团，每个团中都有无穷个客
人，还能否安排？
19
思考题解答
20
答 ：能。 法I. 将所有旅游团的客人统一编号排成下表，按箭头进 入1，2，3，4，5，…各号房间顺序入住，则所有人都有
房间住。
一团： 1.1 → 1.2 ↙ 二团： 2.1 ↙ ↙ 2.2 ↙ 1.3 ↙ 2.3 2.4 …… 1.4 ……
50
在“无限”的情况下，加法结合律不
再成立。如
1 (1) 1 (1) 1 (1) [1 (1)] [1 (1)] [1 (1)] 1 [(1) 1] [(1) 1] [( 1) 1]
0 1
51
有限半群若满足消去律则一定是群。
[ 该两集合：有一一对应，于是推出两集合的 元素个数相等；但由“部分小于全体”，又推 出两集合的元素个数不相等。这就形成悖论。
连续函数极限
连续函数极限极限是一种经典问题，是数学中非常重要的概念，它把不同的概念联系起来，使得我们可以建立更为普遍的概念和数学模型，例如对函数求极限和对应的定义。
极限描述的是一个函数当其变量趋近某一数值时，函数值的取值情况。
极限函数的一般定义为：在某一点的极限值，只要在一定的接近区域内，函数值都非常接近该极限值，那么就称该极限值为该点的极限。
二、极限的分类极限有很多分类，我们重点讨论连续函数的极限。
极限可以分为有限极限和无限极限，有限极限是指在某一点的极限值是有限的，而无限极限则是指该点的极限值是无限大或无限小。
例如：函数f(x)=2x+2，其中在点x=2的极限为有限的6，而对于函数g(x)=1/x，其中在点x=0的极限值为无限小。
三、连续函数极限在前文中，我们简单介绍了极限的分类，在数学中，极限可以分为连续函数极限和间断函数极限。
连续函数是指在某一区间内，任何区间内的两个不同的点，其函数值之间的连续性性质，即函数值的变化是比较连续的，而间断函数则是指在某一区间内，任何区间内的两个不同的点，其函数值之间的连续性是不能保证的。
关于连续函数极限，需要注意以下几点：1.于连续函数，某一点的极限可以称为函数定义域中该点的值。
2.于连续函数，极限只能通过对其定义域中某一点的值来确定，而不能通过其函数值。
3.于连续函数，极限可以用其偏导数来表示，偏导数的计算可以用公式的形式表示，并且可以用来求极限的值。
4.于不满足连续性性质的函数，连续函数极限的计算仍然可以采用偏导数的方法，但是该函数的连续性性质会给求取极限的过程带来困难。
四、总结连续函数极限是数学中一个重要的概念，它把函数的分段性和连续性联系起来，让我们可以计算函数极限的值，而这些值具有重要的意义，对于分析函数特性有着重要意义。
高中数学解题思想方法-有限与无限思想
从感性到理性、从具体到抽象————谈谈有限与无限思想导语：有限与无限思想揭示了变量与常量,有限与无限的对立统一的关系。
借助有限与无限思想,人们可以从有限认识无限,从不变认识变,从量变认识质变,从近似认识精确。
在初等微积分的学习中应抓住基本概念,突出内在的联系,贯穿基本思想方法。
具体说来,以数列极限为基础,突出微分、积分及其内在联系。
极限、微分、积分概念、极限方法、运动辩证思想和数学观念的培养,贯穿了微积分的全部内容。
从进入高二阶段学习的学生的认知水平上来看,已开始摆脱具体事物的形式,进入抽象、概括、分析、综合、演绎、归纳等一般化理论思维阶段,开始向更高级的思维——辩证思维形式发展。
其本质问题是对无限的认识,让学生从感性材料中去感受和体验。
提炼和概括,逐步上升到理性认识,感受抽象思维的过程和辩证思维的体现。
《新课标》倡导数学课程“强调本质,注意适度形式化”。
高中数学课程的讲授应注意数学概念、法则、结论的发展过程和本质,由于极限概念本身牵涉到“无穷大”、“任意小”、“无限逼近”等数学术语,这些词语都比较抽象。
因此在极限的概念教学过程中,我们应该注意从实际问题引入将抽象具体化从而使学生更好地理解极限。
内容：微积分的很多方法在中学数学的很多问题上能够以简驭繁,尤其在证明不等式、恒等式及恒等变形；求极值；研究函数的变化上,可以使解法简化,并能使问题的研究更为深入全面。
以下重点阐述不等式的证明中有限与无限思想：在研究变化过程变量之间相互制约关系时,更多的是对不等式的研究,从某种意义上来说,不等式的证明方法多种多样,没有较为统一的方法,初等数学中经常通过恒等变形、数学归纳法、二次型等方法解决,或运用已有的基本不等式来证明,往往需要恒等变形,而运用微积分的知识和方法,如函数单调性、极值判定法,可以简化不等式的证明过程,降低技巧性。
例题已知函数1()ln 1x f x x+=-． （Ⅰ）求曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程；（Ⅱ）求证：当(0,1)x ∈时,3()2()3x f x x >+； （Ⅲ）设实数k 使得3()()3x f x k x >+对(0,1)x ∈恒成立,求k 的最大值． 分析：本题主要考查对数函数的性质和导数公式,复合函数的求导法则,考查导数的几何意义,导数的正负和函数单调性的关系。
数学中有限与无限转换的哲学意义及极限在该转换中作用
集
宁
师
专
学
报
Ｖ ｌ ３ Ｎｏ ４ ｏ－ ， ３ ． Ｄｅ ． ０ ｃ２ １ ｌ
Ｊ Ｈ ｎ ｌ ｆ ｉ ｉｇ ｅ ｃ ｅ ｓＣｏ ｌｇ ｏ ｌ ａ Ｊｎ ｎ Ｔ ａ ｈ ｒ ｌ ｅ ＇ ｏ ｅ
数 学 中有 限与无 限转换 的哲学意义 及 极 限在 该 转 换 中作 用
２数 学 中有限 与无 限转换 的哲 学意 义 ．
数学是探讨数与形运动规律的学科 。数学教学法是研究数学教学规律的。马克思主义
哲 学是研 究数 学 、 自然科 学 、社会 科 学和 思维科 学 的科 学 。
哲 学作 为方法 论 ，为数 学提供 有用 的认 识 工具和 探索 工具 ，在 现实 世 界中 的有 限与无
收 稿 日 期 ：２ １— — ０ ０ １８ １
作 者简 介：司桂荣 （９ ４ ） １６ 一 ，女，汉族，兴安盟广播 电视大学 ，副教授 。
第 ４期
司桂荣，李斯亚：数学中有限与无限转换的哲学意义及极限在该转换 中作 用
８ １
数 学 中，首先 建立 一个 数学 式 的模 型 ，在 这 个模 型中 首先剥 离 出任何 内容 的存 在 ，就好 像 是康 德 所说 的一种 先验 的直 观形 式相 似 的结 构 。 马克 思和 恩格 斯不 仅创 立 了马克 思主义 哲 学 ，对 数 学研 究和 发展起 到 了 巨大 的 指导 和推 动 作用 ，而 且他 们也直 接研 究过 数 学 。恩格 斯在 《 自然辩证 法 》 中指 出： “ 质 是按质 量 物 的相对 大 小分成 一系 列较 大 的，容 易分清 的组 。使 每 一组 的各 个组成 部分 相互 间 在物质 方 面 都 具有确 定 的、有 限 的 比值 ，但 对邻 近 的各个 组成 部 分则具 有在 数学 意义 下 的无 限大 或
极限的定义是什么概念
极限的定义是什么概念极限的定义是什么概念极限的思想是近代数学的一种重要思想，数学分析就是以极限概念为基础、极限理论(包括级数)为主要工具来研究函数的一门学科。
下面是店铺给大家整理的极限的定义是什么概念，希望能帮到大家!极限的定义是什么概念篇1“极限”是数学中的分支——微积分的基础概念，广义的“极限”是指“无限靠近而永远不能到达”的意思。
数学中的“极限”指：某一个函数中的某一个变量，此变量在变大(或者变小)的永远变化的过程中，逐渐向某一个确定的数值A不断地逼近而“永远不能够重合到A”(“永远不能够等于A，但是取等于A‘已经足够取得高精度计算结果)的过程中，此变量的变化，被人为规定为“永远靠近而不停止”、其有一个“不断地极为靠近A点的趋势”。
极限是一种“变化状态”的描述。
此变量永远趋近的值A叫做“极限值”(当然也可以用其他符号表示)。
以上是属于“极限”内涵通俗的描述，“极限”的严格概念最终由柯西和魏尔斯特拉斯等人严格阐述。
极限的定义是什么概念篇2定义可定义某一个数列{xn}的收敛：设{xn}为一个无穷实数数列的集合。
如果存在实数a，对于任意正数ε (不论其多么小)，总存在正整数N，使得当n>N时，均有不等式成立，那么就称常数a是数列{xn} 的极限，或称数列{xn} 收敛于a。
记作或。
如果上述条件不成立，即存在某个正数ε，无论正整数N为多少，都存在某个n>N，使得，就说数列{xn}不收敛于a。
如果{xn}不收敛于任何常数，就称{xn}发散。
对定义的理解：1、ε的任意性定义中ε的作用在于衡量数列通项与常数a的接近程度。
ε越小，表示接近得越近;而正数ε可以任意地变小，说明xn 与常数a可以接近到任何不断地靠近的程度。
但是，尽管ε有其任意性，但一经给出，就被暂时地确定下来，以便靠它用函数规律来求出N;又因为ε是任意小的正数，所以ε/2 、3ε 、ε2 等也都在任意小的正数范围，因此可用它们的数值近似代替ε。
数学文化 数学中的有限与无限
矩形面积之和 ~ 曲边梯形面积； 越小，就越精确；再取极 限 0，就得到曲 边梯形的面积。
15
8
在“无限”的情况下，加法结合律不 再成立。如
1 (1) 1 (1) 1 (1) [1 (1)] [1 (1)] [1 (1)] 0 1 [(1) 1] [(1) 1] [(1) 1] 1
9
（2）有限级数一定有“和”。 √
3
3. 客满后又来了无数个旅游团，每个团
中都有一万个客人
12
34┅
↓↓↓ ↓┅
10001 20002 30003 40004 ┅
k
┅
↓┅
10001×k ┅
给出了一万个、又一万个的空房间
4
二、无限与有限的区别和联系
1. 区别
1） 在无限集中，“部分可以等于全体” （这是无限的本质），而在有限的情况下， 部分总是小于全体。
6
伽利略（Galileo Galilei，1564-1642）， 意大利物理学家、天 文学家和哲学家，近 代实验科学的先驱者。
7
2.） “有限”时成立的许多命题，对“无 限”不再成立 （1）实数加法的结合律 在“有限”的情况下，加法结合律 成立:
(a+b)+c = a+(b+c) ， a，b， c
2）锉刀锉一个光滑零件： 每一锉锉下去都是直的
（许多刀合在一起的效果又是光滑的）
13
3） 不规则图形的面积：正方形的面积，长方形的
面积三角形的面积，多边形的面积，圆面积。 规则图形的面积→不规则图形的面积？
法Ⅰ.用方格套（想像成透明的）。方格越小，所得面 积越准
数列与数列极限的概念与性质
数列与数列极限的概念与性质数列是数学中常见的一种数学对象，它由依次排列的数字组成。
数列极限是数列的一个重要概念，它描述了数列中的数字随着序号的增加逐渐趋近于某个值的特性。
本文将介绍数列与数列极限的概念与性质。
一、数列的概念数列是由一系列数字按照一定规律排列而成的序列。
数列可以用数学公式表示，通常用{an}或{a1, a2, a3, ...}表示，其中an表示数列的第n个元素。
例如，数列{1, 2, 3, 4, ...}表示自然数数列，数列{2, 4, 6, 8, ...}表示偶数数列。
二、数列的性质1. 有界性：数列可能是有界的，也可能是无界的。
如果数列的所有元素都小于或等于某个实数M，则称该数列是有上界的；如果数列的所有元素都大于或等于某个实数N，则称该数列是有下界的。
如果数列既有上界又有下界，则称其为有界数列；否则，称其为无界数列。
2. 单调性：数列可能是递增的，也可能是递减的，还可能是保持常数的。
如果数列的每个元素都大于其前一个元素，则称该数列是递增数列；如果数列的每个元素都小于其前一个元素，则称该数列是递减数列；如果数列的每个元素都等于其前一个元素，则称该数列是常数数列。
3. 有限和无限：数列可能是有限的，也可能是无限的。
如果数列只有有限个元素，则称其为有限数列；如果数列有无穷个元素，则称其为无限数列。
三、数列极限的概念数列极限是数列中的数字随着序号的增加逐渐趋近于某个值的特性。
一个数列{an}收敛到一个实数a，表示为lim(an) = a，如果对于任意给定的正数ε（ε > 0），存在正整数N，使得当n > N时，|an - a| < ε。
换句话说，就是无论怎样选择正数ε，总能找到一个正整数N，使得数列中的所有元素与实数a的差的绝对值都小于ε。
四、数列极限的性质1. 极限的唯一性：如果数列{an}收敛到一个实数a，那么a是唯一确定的，即数列只有一个极限值。
2. 有界性与收敛性的关系：如果数列{an}收敛到实数a，则数列必定是有界的，即数列的所有元素都小于或等于某个实数M。
数学中的“有限与无限”的思想
数学中的“有限与无限”的思想一、知识概述1、有限与无限的思想就是将无限的问题化为有限来求解，将有限的问题化为无限来解决，利用已经掌握的无限问题的结论来解决新的无限问题.2、把对无限的研究转化为对有限的研究，是解决无限问题的必经之路.3、积累的解决无限问题的经验，将有限问题转化为无限问题来解决是解决有限问题的一个方向，同时有利于解决新的无限的问题.4、立体几何中求球的表面积与体积的推导，实际上是先进行有限次分割，然后再求和、求极限；数学归纳法就是通过对有限的研究来解决无限的问题等等，这些都是典型的有限与无限思想的应用.取极限和数学归纳法就是由有限与无限的思想得到的具体的方法.5、有限与无限的思想在近几年的高考中已经有很多具体的体现，随着高中课程改革，对新增内容的深入考查，必将加大对这一思想的考查,所以我们考前应该予以重视.二、典例分析1.在数列{}n a 在中，542n a n =-，212n a a a an bn ++=+L ，*n N ∈,其中,a b 为常数，则lim n n n nn a b a b →∞-+的值是 . 【解析】本题根据通项与前n 项和可以求出常数,a b 的值，再对所给的有限项求极限.这里我们要利用已经掌握的无限的结论(即lim 0(||1)nn q q →∞=∈)来解决新的极限问题.【答案】由542n a n =-知，{}n a 是公差为4的等差数列，故123(1)422n n n a a a n -++=+⋅L 2an bn =+，解得2a =，12b =-，从而11()1()4lim lim lim 111()1()4n n n nn n n n n n nb a b a b a b a →∞→∞→∞---===+++. 2. 已知数列{}n a 满足1a a =,111n na a +=+我们知道当a 取不同的值时，得到不同的数列，如当1a =时，得到无穷数列：;.,35,23,2,1K 当21-=a 时,得到有穷数列：0,1,21--. （Ⅰ）求当a 为何值时40a =； （Ⅱ）设数列{}n b 满足11b =-, 11()1n n n N b b ++=∈-，求证：a 取数列{}n b 中的任一个数，都可以得到一个有穷数列{}n a ；（Ⅲ）若)4(223≥<<n a n ，求a 的取值范围. 【解析】 这是一道蕴含有限与无限的思想的典型试题. 对于题设的递推关系，随着所给出的初始条件不同，得到的数列既可能是无限数列也可能是有限的数列，第（Ⅱ）问则可以通过有有限次的试验，得出对无限个n b 都可以得到一个有穷数列{a n }的猜想，再用数学归纳法进行证明.或者通过对有限问题的推理直接得到无限问题的解答.第（Ⅲ）问是把对无限个n 都成立的结果，通过有限次分析获得解决.【答案】（Ⅰ）11211111,1,11,n n a a a a a a a a a++==+∴=+=+=Q34231211321,1.121a a a a a a a a ++=+==+=++ 420.3a a =-=故当时 (Ⅱ) 解法一：11-=b Θ,11,1111+=-=++n n n n b b b b , 当1b a =时,01112=+=b a , 当2b a =时,111112-==+=b b a ,03=∴a , 当3b a =时,23211b b a =+=,111111223-==+=+=∴b b a a 04=∴a . 一般地, 当n b a =时,,01=+n a 可得一个含有1+n 项的有穷数列121,.,+n a a a Λ. 下面用数学归纳法证明.当1=n 时, 1b a =,显然01112=+=b a ,可得一个含有2项的有穷数列.,21a a 假设当k n =时,k b a =,得到一个含有1+k 项的有穷数列121,.,+k a a a Λ,其中01=+k a ,则1+=k n 时,1+=k b a ,k k b b a =+=∴+1211,由假设可知, 得到一个含有1+k 项的有穷数列232,,,+k a a a Λ,其中02=+k a .所以,当1+=k n 时, 可以得到一个含有2+k 项的有穷数列1a ,232,,,+k a a a Λ,其中02=+k a 由(1),(2)知,对一切+∈N n ,命题都成立. 解法二：11111,, 1.1n n n n b b b b b b ++=-=∴=+-Q 21132211112{}.11,11,1111,...1111 1.0.n n n n nn n n n n a b a b a b a b a b a b a b a b a a b ---+-==∴=+=+=∴=+=+=∴=+=+==-∴=Q 取数列中的任一个数不妨设故a 取数列{}n b 中的任一个数，都可以得到一个有穷数列{}n a .（Ⅲ）)4(223≥<<n a n 即211231<+<-n a ,211<<∴-n a 所以要使)4(223≥<<n a n ,当且仅当它的前一项1-n a 满足211<<-n a .由于()2,12,23⊆⎪⎭⎫ ⎝⎛,所以只须当⎪⎭⎫ ⎝⎛∈2,23k a 时,都有⎪⎭⎫⎝⎛∈2,23n a ()5≥n由12234++=a a a ,得2122323<++<a a , 解得0>a .3．在数列||n a ，||n b 中，a 1=2，b 1=4，且1n n n a b a +，，成等差数列，11n n n b a b ++，，成等比数列（n ∈*N ）.（Ⅰ）求a 2，a 3，a 4及b 2，b 3，b 4，由此猜测||n a ，||n b 的通项公式，并证明你的结论； （Ⅱ）证明：1122111512n n a b a b a b +++<+++…． 【解析】第（Ⅰ）问由题设可得两个数列的递推关系式，进而得到两个数列的前几项（有限项） ，可以猜出两者的通项公式（无限的问题），再用数学归纳法证明这个无限的问题.第（Ⅱ）问可以通过研究通项公式（无限的问题）直接解决无限的问题.【答案】（Ⅰ）由条件得21112n n n n n n b a a a b b +++=+=，，由此可得2233446912162025a b a b a b ======，，，，，．猜测2(1)(1)n n a n n b n =+=+，．下面用数学归纳法证明：①当n=1时，由上可得结论成立．②假设当n=k 时，结论成立，即2(1)(1)k k a k k b k =+=+，，那么当n=k+1时，22221122(1)(1)(1)(2)(2)kk k k k ka ab a k k k k k b k b +++=-=+-+=++==+，,所以当n=k+1时，结论也成立．由①②，可知2(1)(1)n n a n n b n =++，对一切正整数都成立．（Ⅱ）11115612a b =<+．n ≥2时，由（Ⅰ）知(1)(21)2(1)n n a b n n n n +=++>+．故112211111111622334(1)n n a b a b a b n n ⎛⎫+++<++++ ⎪+++⨯⨯+⎝⎭...... 111111116223341n n ⎛⎫=+-+-++- ⎪+⎝⎭ (111111562216412)n ⎛⎫=+-<+= ⎪+⎝⎭. 综上，原不等式成立． 三、名校试题1.数列{}n a 中，11a =，2112n n n a a a c +=-+ (1c >为常数，1,2,3,...n =) ，且321.8a a -=（1）求c 的值；（2）① 证明：1n na a +<；② 猜测数列{}n a 是否有极限？如果有，写出极限的值（不必证明）； （3）比较11nk ka =∑与14039n a +的大小，并加以证明. 【解析】第（1）问由通项公式（揭示无限问题）求出有限项23a a 、后可得c 的值；第（2）问通过对有限项的处理证明出结论，从而可猜出{}n a 的极限；第（3）问对得到的递推关系式进行变形，再用作差法求解，需要用到数学归纳法证得2n a <.然后通过前几项（有限项）的比较与第（2）问已证的单调性得到结果.【答案】（Ⅰ）依题意，222211322111111.222222a a a c c a a a c c ⎛⎫=-+=-=-+=-+ ⎪⎝⎭， 由3218a a -=，得21111122228c c ⎛⎫⎛⎫-+--= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，解得2c =，或1c =（舍去）.（Ⅱ）① 证明：因为2211122(2)022n n n n n a a a a a +-=-+=-≥，当且仅当2n a =时，1n n a a +=.因为11a =，所以10n n a a +->，即1n n a a +< (1,2,3,...n =).② 数列{}n a 有极限,且 lim 2n n a →∞=.（Ⅲ）由21122n n n a a a +=-+，可得11()(2)(2)n n n n n a a a a a ++-=--，从而111122n n n a a a +=---. 因为11a =，所以 111111111111 1.22222nnk k k k k n n a a a a a a ==+++⎛⎫=-=-=- ⎪-----⎝⎭∑∑所以21111111111404139(53)(813)1401401.3923939(2)39(2)nn n n n n n k k n n n a a a a a a a a a a ++++++=+++--+--=--==-⋅-⋅-∑因为11a =，由（Ⅱ）① 得 1n a ≥ (*n ∈N ). （*）下面用数学归纳法证明：对于任意*n ∈N ，有2n a <成立.当1n =时，由11a =，显然结论成立. 假设结论对 (1)n k k =≥时成立，即 2.k a < 因为2211132(1)222n n n n a a a a +=-+=-+，且函数213(1)22y x =-+在1x ≥时单调递增， 所以2113(21)222k a +<-+=.即当1n k =+时，结论也成立. 于是，当*n ∈N 时，有2n a <成立. （**） 根据（*）及（**）得 12n a ≤<.由11a = 及21122n n n a a a +=-+， 经计算可得23313.28a a ==，所以，当1n =时，2114039a a <；当2n =时，312114039a a a +=； 当3n ≥时，由11328n a +<<，得11111(53)(813)1400 , 3939(2)nn n n k kn a a a a a +++=++--=>⋅-∑ 所以1114039nn k ka a+=>∑. 2．数列{}n a 的首项1a =1，前n 项和为n S 满足12(1)n n k S a +=-（常数0k >，*N n ∈）．（1）求证：数列{}n a 是等比数列.（2）设数列{}n a 的公比为()f k ，作数列{}n b ，使13b =，11()n n b f b -=（n =2，3，4，…） 求数列{}n b 的通项公式；（3）设2n n c b =-，若存在*N m ∈，且m n <；使lim n →∞（112m m m m c c c c +++++…1n n c c ++）1<2007，试求m 的最小值．【解析】第（1）问通过对递推关系式的变形得到相邻两项的比，正是利用这两个有限项的比是非零常数来证明该数列是等比数列的.第（2）问也是通过对递推关系式（无限的问题）的变形来求通项公式的（无限的问题）.第（3）问通过抓住通项来求有限项的极限，再根据这个极限求出m 的最小值.【答案】 解：（1）12(1)n n k S a +=- ①当2n ≥时， 12(1)n n k S a -=-②①—②得，12()n n n a k a a +=-即121n n ka k a +=+（2）由①, 1112a k =+，∴1211122n na k k k a ++==+，又21112a a k =+符合上式，∴{}n a 是以1为首项，112k+为公比的等比数列． （2）由（1）知()f k =112k+，∴1111()12n n n b f b b --==+（2n ≥）， ∴112(2)2n n b b --=-.又13b =，即121b -=，1122n n b b -=-， ∴数列{}2n b -是为1首项，12为公比的等比数列． ∴112()2n n b --=，∴112()2n n b -=+．（3）由（2）知112()2n n n c b -=-=，则2111()2n n n c c -+⋅=.∴112lim(m m m m n c c c c +++→∞++…1n n c c ++）=111111lim ...222m m n -+-→∞⎡⎤+++⎢⎥⎣⎦222n （）（）（） =1111141122lim 132200714m m n --→∞-=<-22n+2（）（）（）， ∴3112669m -<2（），∴9669m ->22. ∵5126691024<<，∴2310m -≥， 6.5m ≥. 又∵*N m ∈，∴m 的最小值为7.四、考点预测(一)考点预测根据近几年各地高考试题和模拟试题来看，有限与无限的思想逐年增加考查广度，我们认为2009年的高考一定会有更多的体现.在题型上来看，热点问题仍然是以数列为载体考查极限的知识和用数学归纳法证题.(二)考点预测题1．设等差数列{}n a 的公差d 是2，前n 项的和为n S ，则22lim n n na n S →∞-= ．【解析】本题设出首项，表示出通项和前n 和（有限项），然后代入求极限.而在求极限的时候，利用到已经掌握的极限知识lim 0n a n →∞=和2lim 0n an→∞=，其中a 为常数.【答案】设首项为1a ，则112(1)21n n n a a a =+-=+-，1(1)22n n n n S a -=+⨯ 21(1)n n a =+-，2222111112222(21)34(1)(1)lim lim lim (1)(1)nn n n n n n n n a n S n n n n a a a a a →∞→∞→∞+--+-+--∴==+-+- 111224(1)(1)3lim3(1)1n n n na a a →∞--++=-+.2.将数列{}n a 中的所有项按每一行比上一行多一项的规则排成如下数表：1a2a 3a 4a 5a 6a 7a 8a 9a 10a．．．．．．记表中的第一列数1247,...a a a a ，，，构成的数列为{}n b ，111b a ==．n S 为数列{}n b 的前n 项和，且满足221(2)nn n nb n b S S =-≥． （Ⅰ）证明数列1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭成等差数列，并求数列{}n b 的通项公式； （Ⅱ）上表中，若从第三行起，每一行中的数按从左到右的顺序均构成等比数列，且公比为同一个正数．当81491a =-时，求上表中第(3)k k ≥行所有项的和． 【解析】第（Ⅰ）问从无穷数列{}n a 中抽出它的一个无穷的子数列，由n S 与n b 的递推关系式消去n b ，从而证明1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是无穷的等差数列. 第（Ⅱ）问就是求从第三行起的每一行所有的这些无穷多项的和. 【答案】（Ⅰ）证明：由已知，当2n ≥时，221nn n nb b S S =-， 又12n n S b b b =+++L ，所以1212()1()n n n n n nS S S S S S ---=--， 即112()1n n n n S S S S ---=-，所以11112n n S S --=， 又1111S b a ===．所以数列1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是首项为1，公差为12的等差数列．由上可知1111(1)22n n n S +=+-=，即21n S n =+． 所以当2n ≥时，12221(1)n n n b S S n n n n -=-=-=-++． 因此1122(1)n n b n n n =⎧⎪=⎨-⎪+⎩， ，，．≥ （Ⅱ）解：设上表中从第三行起，每行的公比都为q ，且0q >．因为12131212782⨯+++==L ，所以表中第1行至第12行共含有数列{}n a 的前78项， 故81a 在表中第13行第三列，因此28113491a b q ==-g ．又1321314b =-⨯，所以2q =．记表中第(3)k k≥行所有项的和为S，则(1)2(12)2(12)(3)1(1)12(1)k kk kb qS kq k k k k--==-=--+-+g≥。
函数的极限存在条件
函数的极限存在条件
极限是数学中一个重要的概念，在实际的应用中，极限也有着广泛的应用。
极限的定义是当函数中的变量不断改变时，其数值也不断变化，若存在一个数，使函数的值不断接近这个值，则称这个值为变量的极限。
极限的存在是有条件的，它不能满足所有条件。
例如，当函数中变量的值在一定范围内时，极限存在；当函数中变量的值发生不同步移动时，极限也不存在。
还有一种情况，当函数中变量的值不断增加时，极限也不存在。
因此，极限的存在是有条件的，只有当函数中变量的值在一定的范围内，且变量的变化同步时，极限才存在。
极限也可以分为有限极限和无穷极限。
极限的有限性和无限性与函数中变量的变化范围有关，当变量的值在定义域内时，极限就是有限的；如果它可以无限继续增大，或者沿着定义域无限减小，则叫做无限极限。
从上面可以看出，极限的存在有一定的条件，它既可以有限也可以无限。
只有当函数中变量的值在一定的范围内，且变量的变化同步时，极限才存在。
掌握极限的概念，在日常的学习、工作中也有着很大的帮助，是我们了解许多数学知识的重要依据之一。
从有限到无限,逐步感知极限思想——以五年级下册“圆的面积”教学为例
［摘要］极限思想是小学常见的数学思想之一，蕴含于许多知识之中，但极限思想却是学生最难以理解的思想之一。
在教学“圆的面积”过程中，教师应层层深入，化抽象为直观，从有限到无限，让学生逐步感知极限的存在，并充分借助可以直观化的教学工具展示教学过程，提升学生对极限思想的认识。
［关键词］极限思想；圆的面积；几何画板［中图分类号］G623.5［文献标识码］A［文章编号］1007-9068（2021）02-0062-02在一次借班上课前，知道了要上“圆的面积”这一课，一位学生便问道：“要带圆规吗？”我答：“不需要。
”学生听到后十分诧异，可见，他们已经根深蒂固地将圆列为一个“特殊对象”了，根本不可能把“圆”与“方”扯到一起。
如何打破这种想法？何不从圆与方之间的关系入手，让学生感受到“圆”与他们认识的“方”之间的关系？一、感知圆与方的联系，在想象中感受无限的存在要求圆的面积，就必须将圆转化成长方形、平行四边形等基本图形。
如何设计教学才能让学生自然而然地感受到圆与方之间存在联系呢？我从圆与边长为圆的半径的正方形的面积出发。
师：这里有一个圆，如果以它的圆心为一个顶点，以它的半径为边长画一个正方形。
你知道正方形的面积吗？（半径为r ）生1：半径乘半径。
生2：可以直接说成r 2。
师：接着画3个这样的图形，得到一个大的正方形，它的面积是多少？生3：4×r 2。
师：在圆内也可以画一个最大的正方形，你知道它的面积吗？生4：大正方形的面积是4r 2，把它平均分成8份，这个小正方形刚好占了4分，是它的一半。
生5：我发现只要将下面的两个小三角形移上去，就变成了两个小正方形，所以它的面积也是2r 2。
师：在这方与圆、圆到方之间，能否估计圆的面积的范围呢？生6：圆比大正方形小，比圆内的正方形大，所以它的面积大于2r 2小于4r 2。
师：我们通过观察和推测，知道了圆的面积和圆的半径好像有一定的关系，但它们之间是否有关系呢？具体的关系是怎样的？还需要我们继续研究。
对极限思想的辩证理解
相似文献(10条)
1.期刊论文 陈刚.米平治 关于高等数学中极限思想的研究 -工科数学2001,17(3)
本文针对在工科高等数学的教学中,学生对极限这一重要概念难以把握和理解的现象,提出了分三个层次并从哲学的角度来理解这一思想,为学生最终 解决这一难点提供了一种有效的方法.
认识无极限，如何进一步认识、提炼极限思想中的辩证因素，笔者将继 续努力！
参考文献：
［１］吴振英．论极限的思想方法，广州大学学报（自然科学版）， ２００３，１０．
［２］孙庆华，王刚．中国先秦时期与古希腊时期极限思想的比较研究．曲 阜师范大学学报，２０００，４．
［铷王忠．微积分学教学中的极限思想．内蒙古科技与经济，２００１，２． ［４］傅海伦，卞宪贞．中西早期微积分思想及其比较．曲阜师范大学学
本文链接：/Periodical_zgxwjy200802033.aspx
下载时间：2010年4月2日
报，２∞１，４。 ［５］钱佩玲，邵光华．数学思想方法与中学数学．北京师范大学出版社。
２００３．８．
（作者单位：广西南宁职业技术学院）
４０ ０２／２００８
万方数据
对极限思想的辩证理解
作者： 作者单位： 刊名：
英文刊名： 年，卷(期)： 引用次数：
白淑珍 广西南宁职业技术学院
中国校外教育（理论） CHINA AFTER SCHOOL EDUCATION 2008，(2) 1次
参考文献(5条)
1.吴振英.陈湛本 论极限的思想方法[期刊论文]-广州大学学报（自然科学版） 2003(5) 2.孙庆华.王刚 中国先秦时期与古希腊时期极限思想的比较研究[期刊论文]-曲阜师范大学学报（自然科学版）
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
辩 证 的 ， 对 立 统 一 的 ． 体 体 现 在 ， 限 由 有 限 构 成 ， 限 是 具 无 无 不 能脱 离有 限 而 独 立 存 在 ； 限 包 含 无 限 ， 限 体 现 无 限 ； 有 有
有 限 和 无 限 的辩 证 统 一 ， 现 在 任 何 事 物 之 中 ， 这 一 原 理 表 从 ｌ 发 ， 们 通 过有 限 去 认 识 无 限 ， 过 有 限 去 把 握 无 限 ， ｑ ｌ 人 通 通 过 有 限 的 、 对 的 各 种 事 物 和 现 象 逐 步 把 握 事 物 在 无 限 发 相
几 何 问题 而 产 生 的 ． 于运 动 与 无 限 相 伴 共 生 ， 而 极 限 与 由 因
的改 住 三 号 ， 号 的 改 住 四 号 ， 此 依 次 往 后 推 ， 让 新 客 三 如 他
住 进 了 刚 腾 空 的 一号 房 间． 是 这 家 酒 店 ， 在 义 来 了 无 限 还 现 多 位 旅 客． 主 说 ： 没有 问题 ， 稍候 ． 他 请 一 号房 间 的 客 店 “ 请 ” 人 改 住 二 号 ， 号 的改 住 四 号 ， 号 的 改 住 六 号 ， 号 的 改 二 三 四 住 八 号 ， 此 类 推 ， 样 便 腾 空 了所 有 的 奇 数 号 房 间． 有 依 这 所 的 新 客 人 又都 住 了下 来 ． 个 故 事 清 楚 地 说 明 ， 限 所 具 有 这 有 的 特性 ， 不 可 以 照 搬 到 无 限 上 面 去 ． 有 限 到 无 限 ， 往 绝 从 往 会 由量 变 引 起 质 变 ．
延伸和实无限的穷竭 而构造 ｍ越来 越大 的序数 和基数． 集 合 论 成 为 “ 学 精 神 最 令 人 惊 羡 的 花 朵 ， 类 理 智 活 动 的一 数 人
个至高成就” ． 无 限 历来 是 数 学 基 础 、 学 哲 学 争 论 探 究 的 重 要 课 题 ， 数 有 着 丰 富 的辩 证 法 内涵 ．
专 题 研 究
… …
２撒
Ｔ Ｉ
《 Ｊ 蟹静 １ 璎
。
．
有隰 、 隰与极阳
◎ 仲 生 仁 （ 肃 武 威 职 业 学 院 工程 技 术 系 ７ ３ ０ ） 甘 ３０ ０
【 摘要 】 数学 中的量有有 限与无 限两种 ， 限和 无 限是 有
有本 质 差 别 的 ， 限就 是 有 限 与无 限 的 统 一 ， 文 讨 论 的 以 极 本 上 问题 对 于 微 积 分 的 学 习有 重要 意义 ．
能 脱 离 有 限 而 存 在 ， 有 有 限也 就 没 有 无 限 ． 量 地 描 述 无 没 定 限 过 程 ， 须 借 助 于一 系列 无 限 多个 有 限 过 程 来 实 现． 样 必 怎
把 人 们 认 识 到 的 无 限 用 有 限 来 描 述 和应 用 呢 ？ 能 否 从 我 们 熟 知 的 事 物 的 有 限性 来 理 解 和 掌 握 事 物 的 无 限 性 ？ 若 想 做 到 这 些 ， 们 认 为 应 该 搞 清 楚 事 物 发 展 变 化 的 有 限 性 和 无 我 限 性 的 辩证 关 系 是 十 分 重 要 的． 哲 学 上 讲 ， 限 和 无 限 是 从 有
展 过 程 中所 体 现 的本 质和 规 律 ．
微 积 分 中极 限概 念 就 是 一 个 最 好 的 例 子 ． 限 与 无 限 极 有 着 密 不 可 分 的 亲 缘 关 系 ． 界 处 于 永 恒 的运 动 之 中 ， 积 世 微 分 就 是 由研 究 变 化 和 运 动 的 力 学 、 文 等 以 及 与 之 有 关 的 天
人 类 早 期 的某 些 原 始 部 落 只 满 足 １２等 这 种 有 限 数 量 ，
分类 ， 罗马 人最 大 的计数 单位 不 过是 千 ， 实用 角度 出 古 从
发 ， 限 不 值 一 提 ． 学 家 则 不 一 样 ， 氏学 派 认 为 整 数 可 无 数 毕
以穷 尽 天 下万 物 ， 们 明 确 提 出 有 限 和 无 限 的 概 念 ， 把 它 他 并
“ 不起 ， 经 客满 了． 但 是 ， 象 有 一 个 酒 店 ， 对 已 ” 想 内设 无 限个
房 间 ， 在 也 已 客 满 ． 时 又 有 一 旅 客 投 宿． 主 说 ： 没 有 现 这 店 “ 问 题 ， 稍 候 ． 然 后 ， 请 一 号 房 间 的 客 人 改 住 二 号 ， 号 请 ” 他 二
【 关键词】 限； 有 无限； 极限； 微积分
有 限 与 无 限
一
、
数 学 对 无 限 的研 究 永 无 止 境 ， 学 因 此 而 获 得 源 源 不 哲
有 限与 无 限 是 反 映 物质 运动 在 时 间 和 空 间 上辩 证 性 质
Hale Waihona Puke 断 的素 材 和 养 分 ， 学 因此 而 获得 不 断创 新 的思 想 和 方 法． 科
们 列 入一 与多 、 与偶 等组 成 的 第 一 个 哲 学 范 畴 中 ． 格 斯 奇 恩 说过 ：数 学 的 无 限 是从 现 实 中借 来 的 ” 因 此 无 限既 是 抽 象 “ ，
思 维 的产 物 ， 又具 有 现实 的 客观 性 ． 有 限 和无 限 是 有 本 质 差 别 的 ． 学 家 希 尔 伯 特 曾 用 故 数 事 巧 妙 地 说 明 了 这 个 问 题 ． 一 家 酒 店 内 设 有 限个 房 间 ， 有 现 已客 满 ． 时 又 来 了一 位旅 客 ， 主 只 好 无 可 奈 何 地 回 答 ： 这 店
二 、 限 、 限与 极 限 有 无
的一 对 哲 学 范 畴 ． 限体 现 了具 体 事 物 的 暂 时 性 、 部 性 和 有 局 相 对 性 ， 限表 现 了 物 质 总 体 的 永 恒 性 、 遍 性 和 绝 对 性 ． 无 普
数 学 中的 量 有 有 限 与无 限两 种 ．
人 类 的实 践 是 有 限 的 ， 而认 识 又 是 无 限 的． 因此 无 限 不