信号与系统知识点总结(非官方版)上篇

信号与系统知识点总结（非官方版）上篇其实，俺也不知道信号与系统的知识点具体都有啥…咦？哪里飞来的板砖……不过即便如此，俺也无节操的写了这篇总结，为的是让(man)大(zu)家(mou)更(mei)有(zi)条(de)理(qiang)的(xing)复(yao)习(qiu)，喂喂喂，那边的，悲伤的表情是要闹哪样啊！好吧，接下来就请和我签订契约，成为爱♂的♂战♂士吧……哎！别都走了啊！我说正题还不行么……第一章信号与系统这一章说的东西都很简单，基本属于干活之前的调情部分，但是对于理解以后的事情很有帮助。

根据胖哥梁老师的意思，第一章要注意的问题不是很多（好像吧），主要问题有三个：1、函数信号的周期问题，如何判断信号是否是周期的，计算信号的周期是多少（典型题型哦……）2、将某个信号拆成一个奇函数和一个偶函数相加的形式3、自变量变换的顺序问题（也很典型，而且后面要用的……）关于周期信号，首先要看的是书上例1.6（英文书P29）离散时间信号的周期只可能是整数，如果算出的周期不是整数，那这货肯定不是周期，需要再乘上一个整数，使它变成整数，这才是周期。

就像题中，第二个信号的周期算出来是8/3，但周期必须是整数，所以还要乘以3才是真正的周期。

所以本题最终答案是3*8=24 这里尤其要注意的是，上一段中的两个“整数”，第一个指的是信号本身的周期，第二个指的是需要乘的数，也就是说，对于连续时间信号，第一个红字处的“整数”可以不满足，但第二个一定要满足，举个栗子，一个周期为3的连续信号和一个周期为3π的连续信号相加，结果的周期不是3π，因为，周期为3的信号，它的周期乘以π才会变成3π，但是π不是整数。

第二个问题，也就是奇部和偶部，这个参照书上P14的公式就行了，没啥说的……第三个…自变量变换，初中的知识嘛，小case，f(x)=c(bx+a)+d，按照abcd的顺序变换就好了……其他的知识点……单位冲激和单位阶跃……这个可以去看例1.7（P37）。

至于，那些什么采样啦，取值啦，我也不是很清楚……总之就记到：单位冲激就是个在0处的凸起，有时候会被拽到别的地方去，这货是人畜无害的，无论跟谁搞上，都不会对那一点的值造成什么影响…当然，那一点之外就都是0了。

单位阶跃就是单位冲激求积分，图像就是小于0的部分都是0，大于等于0的部分都是1。

这个函数通常是用来限定取值范围的，如：x(t)u(t)=x(t) t≥0…啥？求图？懒得画，自己翻书去……接下来就是那些乱七八糟的性质了，什么记忆性、可逆性、因果性、稳定性、时不变性、线性，第一章还不用太纠结这些，把这几个词的英文认到就好了，意思的话，基本上从名字就猜得出了…好吧，我才不是故意要写出来的呢，哼……记忆性：这个和数电的组合逻辑电路很像，输出只和当前时刻的输入有关的称为记忆性可逆性：输入和输出一一对应，不会出现一个输入多个输出，也不会多个输入都得到同一个输出因果性：和记忆性很像，输出和当前的或以前的输入有关，特别的，所谓当前或以前，只是对输入x(t)来讲，系统中的带有t的函数不算在内，详见例1.12（P47）稳定性：有限的输入引起有限的输出，后面几章还会提到的……时不变性：输入在时间轴上移动一定长度，输出也移动相同长度。

注意这里是“长度”，和18cm没有关系，比方说，y(t)=sin[x(t)]当x(t)变成x(t+t0)时，y(t)变成y(t+t0)=sin[x(t+t0)]，实际在t轴上移动的距离都是t0，所以这是时不变的，但是y(t)=sin[3x(t)]，就不是时不变的……因为移动距离变成3t0了。

线性：简单来说，几个输入乘上各自的系数再加起来，这样一个整体的输出，也等于各自的输出乘上各自的系数再加起来，这样就叫线性。

然后，就没有然后了…啥？你想说20-21页的那个看似很恐怖的函数？那个不是重点吧…e的次方上面没t的那个，管初相位，就是实线和纵轴的交点，有t的，实部管衰减，就是图上的虚线，虚部管振动，就是实线的形状，最前面那个C就是个系数。

满意了么然后，第一章就差不多没东西了……第二章线性时不变系统这一章给我们介绍了一种新的姿势……不对，是知识。

叫做“卷积”，它的最大作用是：当我们知道了系统的一些h的事情后，就可以推到推导出输入任意信号时，输出的表达式……我们知道，离散的求和相当于连续的积分，离散的相减相当于连续的求导，所以说，只要明白了离散信号的卷积是怎么回事，连续的就是变换一个形式而已，ok，接下来我们利用所学的数学知识，来推导一下离散信号的卷积和……喂！哥们别冲动，把板砖放下，咱们有话好好说……就像我说过的，卷积求的是信号经过某系统后输出的y[n]或y(t)，要求这个，首先要知道这个系统的h是什么，方法就是让单位冲激（也就是那个凸起）进入系统，此时的输出就是h(t)，叫做单位冲激响应，由于单位冲激人畜无害的属性，使得h(t)可以原原本本的表示系统的特征……还是不懂？好吧，逼我出绝招……如果说x,n-δ,n−n0-=x, n0-δ,n−n0-是将δ,n-拽到n0处，从而把x[n]在n0处的值取出来的话，那么x,n-ℎ,n−n0-=x,n0-ℎ,n−n0-=y,n0-δ,n−n0-就是做了同样的事，而且还把输入变成了输出，当然，这只是一个值而已，我们还要对n0进行累加时，就可以得到输出的全貌。

哦，补充一点，等号右边的δ是用来凑形式的，不用太在意。

于是乎，把n0换成k就得到了书上P78的形式∞y,n-=∑x,k-ℎ,n−k-k=−∞吓米？你说不一样？ok，我懂，主要是等号左边的n和右边的n看起来别扭，是吧？可以这么理解，n是真正的变量，k只是个位移量，每一个位移对应一个结果，通过将位移量从-∞到+∞累加，得到整个输出结果。

这里的典型题型是例2.3、2.4、2.5（P83开始），难度递增，自己看着办。

当然，这一类题有一个共同的做法：拿例2.3来说，x[n]和h[n]都是已知的，先在k轴上画出x[k]和h[n-k]的图像，h[n-k]中的n先当作常数看待，那么用自变量变换的规则，先平移在翻转，就可以得到P84的(b)-(f)图，此时通过改变n的值，h[n-k]就在k轴上水平移动，并且h[n-k]的右边缘就是n，而某一时刻y[n]的值就是当前h[n-k]与x[k]每一个对应位置的值相乘，再将所有乘积相加的结果，如果n从-∞移动到+∞，就可以得到y[n]的所有值，也就是得出最后的结果很明显，当n的取值范围不同时，y[n]的表达式也有差别，所以，y[n]通常写成分段函数的形式，这一点在例2.4中尤为明显。

说完了离散的，连续的就很容易了，卷积的形式就只是把求和换成积分∞y(t)=∫x(τ)ℎ(t−τ)dτ−∞这里也有三道典型题型，例2.6、2.7、2.8（P98开始），也是难度递增，做法还是画图→平移翻转→移动→分区间讨论结果。

卷积的做法大概就是这样了，记一个流程就好了。

下面说几个卷积的隐藏属性，首当其冲的是交换、结合、分配这些乘法的性质，没啥说的需要记住的，一个是时移性质当进行卷积的两个信号发生时间上的移动时，移动的量会叠加到结果里x(t−t1)∗ℎ(t−t2)=y(t−t1−t2)当然，这也说明了任何信号卷积上平移过的δ，就相当于自己平移了x(t)∗δ(t−t0)=x(t−t0)求导性质也是类似的x(m)(t)∗ℎ(n)(t)=y(m+n)(t)注意，上面的式子中的“*”都是卷积的意思，不要理解成相乘了卷积的事情大致就是这样了，但是，这一章的题目是线性时不变系统（LTI系统），所以最后还要说一下LTI系统的一些性质，主要是记忆、可逆、因果、稳定……诶？说过了？那是一般的概念，LTI中还有一些特殊的记忆性：貌似梁总只给了个式子，就是P109的那个2.65，所以我也不好意思说更多的了……（你是不会吧）扯淡！就是h(t)只在0处有值嘛，其它的时移分量都是0……可逆性：如果有个系统的h(t)卷积上另一个系统的h2(t)，结果1正好是δ(t)，那么这俩系统就是可逆的，总结来说就是…好基友，一辈子！……红字你够了……因果性：这里主要介绍一下著名的“初始松♂弛条件”…-_-||…h[t]只在t大于或等于0的时候有值，t小于0时都为0，反映在信号上，就是纵轴左边没有图形，是一个0点有值的右边信号，这在后面的拉普拉斯变换和Z变换中会用到。

稳定性：∞∫|ℎ(t)|dt<∞−∞∞∑|ℎ,n-|<∞n=−∞……别说我上来就摆公式不厚道，这个叫“绝对可积”（离散里叫“绝对可和”），就是对绝对值进行积分，结果是有限大的。

符合这一条，就可以说某个信号或系统是稳定的。

第二章就这么愉快的结束了，其实后面几章的内容基本就是这样一个框架，先介绍一种变换形式，告诉你它的公式，之后再讨论它本身的性质，时移、求导之类的…最后在放到LTI系统中讨论因果性、稳定性等等……总感觉忘了点啥……还有一个叫单位冲激偶的知识点我连名字都记不得了，所以肯定不是重点。

还记得大明湖畔的u(t)函数么？u(t)这个符号，包括带角标的u1(t)、u-1(t)、u0(t)都是有特殊意义的，u(t)不必多说，它的角标表示的是对δ(t)求几阶导数，其中u1(t)=δ’(t)，而u-1(t)=u(t)。

所谓单位冲激偶，就是δ’(t)，它的意义就在于：任何信号卷积上δ’(t)后，就相当于求了一阶导，用卷积的求导性质很容易理解。

蓝字是什么个情况……算了，总之，知识点最碎的两章已经完了，不知道诸君是否还幸存呢？接下来的几章都是些套路性的东西，有了A4纸，大部分的性质甚至不需要背下来，所以后面的题目相对容易一些……第三章周期信号的傅里叶级数表示著名数学家、物理学家傅里叶曾说过：“这一切都是命运石之门的选择。

”……掀桌(╯‵□′)╯︵┻━┻你TM逗我呢？！↑以上皆为娱乐↑傅里叶告诉了我们这样一个规律：一切满足狄里赫利收敛条件的周期信号都可以表示成若干个互为谐波关系的复指数函数的线性组合，就是傅里叶级数，而每个复指数前的系数就叫傅里叶级数系数。

很带感的一句话有木有？好了，不装X了，解释一下：周期信号：………………谐波关系：如果几个周期信号（如sin）的频率都是其中某一个的频率的整数倍，那么这些周期信号就是互为谐波关系的，如sin(t)、sin(2t)、sin(3t)就是互为谐波关系的，几倍的频率就叫几次谐波复指数：e jωt就是复指数函数，通过欧拉公式可以变成cosωt+j sinωt线性组合：几个变量乘上各自的系数再加起来，这个整体就叫这些变量的线性组合另外要注意，傅里叶级数是一个系数乘上e的多少次方那个形式，而傅里叶级数系数只是一个系数而已综合一下就是，几乎所有的周期信号，都可以看做是若干个幅度和频率不同的正弦信号叠加成的，它们的频率都是其中最低的频率的整数倍，那个最低频率，实际上就是用该信号的周期算出来的：2πT⁄，它们的幅度就是傅里叶级数系数，但是每个幅度之间没有必然的联系。