北师大版数学- 4.2.2 复数代数形式的乘除运算习题课 选修1-2
2020-2021学年北师大版数学选修1-2学案：4.2.2 复数的乘法与除法含解析
2．2复数的乘法与除法授课提示：对应学生用书第33页[自主梳理]一、复数的乘法设a ＋b i 与c ＋d i 分别是任意两个复数．1．定义：(a ＋b i)(c ＋d i)＝________.2．运算律交换律：z 1·z 2＝________.结合律：(z 1·z 2)·z 3＝________.分配律：z 1(z 2＋z 3)＝________.3．复数的乘方z m z n ＝________，(z m )n ＝________，(z 1z 2)n ＝________.二、共轭复数1．定义：当两个复数的实部________，虚部互为________时，这样的两个复数叫作互为共轭复数．复数z 的共轭复数用________表示，即若z ＝a ＋b i ，则z －＝________.2．性质：z ·z －＝________＝________.三、复数的除法a ＋b ic ＋d i＝________. [双基自测]1．(1－i)2·i 等于( )A ．2－2iB ．2＋2iC ．－2D ．22．i 是虚数单位，复数3＋i 1－i＝( ) A ．1＋2i B ．2＋4iC ．－1－2iD ．2－i3．已知a 是实数，a －i 1＋i是纯虚数，则a ＝( ) A ．1 B ．－1 C. 2 D ．－ 24．若复数z ＝1＋i 1－i，则w ＝z 2＋z 4＋z 6＋z 8＋z 10的值为() A ．1 B ．－1C ．iD ．－i5．已知复数z 满足z (2－3i)＝6＋4i ，则复数z ＝________.[自主梳理]一、1.(ac －bd )＋(ad ＋bc )i2.z 2·z 1z 1·(z 2·z 3)z 1z 2＋z 1z 33.z m ＋n z mn z n 1z n 2二、1.相等相反数z －a －b i2.|z |2|z －|2三、ac ＋bd c 2＋d 2＋bc －ad c 2＋d 2i [双基自测] 1．D(1－i)2·i ＝－2i·i ＝－2i 2＝2.2．A 3＋i 1－i ＝(3＋i )(1＋i )(1－i )(1＋i )＝2＋4i 2＝1＋2i. 3．A a －i 1＋i ＝(a －i )(1－i )(1＋i )(1－i )＝a －1－(a ＋1)i 2＝a －12－a ＋12i ，因为该复数为纯虚数，所以a ＝1.4．B 因为z ＝1＋i 1－i＝i ，所以w ＝i 2＋i 4＋i 6＋i 8＋i 10＝－1. 5．－2i 因为z ＝6＋4i 2－3i ＝(6＋4i )(2＋3i )(2－3i )(2＋3i )＝26i 13＝2i ， 所以z ＝－2i.授课提示：对应学生用书第34页探究一复数的乘除法运算[例1]计算：(1)(1－i)(1＋i)＋(－1＋i)；(2)(2－i)(－1＋5i)(3－4i)＋2i ；(3)2－i (3－4i )(1＋i )2＋(1－i)2； (4)(1＋i 1－i )6＋2＋3i 3－2i. [解析](1)(1－i)(1＋i)＋(－1＋i)＝1－i 2－1＋i ＝1＋i.(2)(2－i)(－1＋5i)(3－4i)＋2i＝(－2＋10i ＋i －5i 2)(3－4i)＋2i＝(－2＋11i ＋5)(3－4i)＋2i＝(3＋11i)(3－4i)＋2i＝(9－12i ＋33i －44i 2)＋2i＝53＋21i ＋2i＝53＋23i.(3)2－i (3－4i )(1＋i )2＋(1－i)2＝2－i(3－4i )·2i＋(－2i) ＝2－i 8＋6i －2i ＝(2－i )(8－6i )(8＋6i )(8－6i )－2i ＝10－20i 100－2i ＝110－15i －2i ＝110－115i. (4)解法一原式＝[(1＋i )22]6＋(2＋3i )(3＋2i )(3)2＋(2)2 ＝i 6＋6＋2i ＋3i －65＝－1＋i.解法二(技巧解法)原式＝[(1＋i )22]6＋(2＋3i )i (3－2i )i ＝i 6＋(2＋3i )i 2＋3i＝－1＋i.复数乘除运算的注意点：三个或三个以上的复数相乘可按从左到右的顺序运算或利用结合律运算，混合运算与实数的运算顺序一样，对于能够使用乘法公式计算的两个复数的乘法，用乘法公式更简捷，如平方差公式、立方差公式、完全平方公式等．对于复数的除法法则不要机械记忆，在解题时，只须牢记“分母实数化”即可，此外，还要利用某些特殊复数的运算结果．如(1±i)2＝±2i ，(－12±32i)3＝1.1i ＝－i ，1＋i 1－i ＝i ，以i 的幂的周期性，对于简化复数的运算大有好处．1．计算：(1)(－12＋32i)(32＋12i)(1＋i)； (2)(1－2i )23－4i －(2＋i )24－3i. 解析：(1)(－12＋32i)(32＋12i)(1＋i) ＝[(－34－34)＋(34－14)i](1＋i) ＝(－32＋12i)(1＋i) ＝(－32－12)＋(12－32)i ＝－1＋32＋1－32i. (2)(1－2i )23－4i －(2＋i )24－3i＝1－4i ＋(2i )23－4i －4＋4i ＋i 24－3i＝－3－4i 3－4i －3＋4i 4－3i＝－(3＋4i )2(3－4i )(3＋4i )－(3＋4i )(4＋3i )(4－3i )(4＋3i )＝－(9＋24i －16)9＋16－12＋9i ＋16i －1216＋9＝7－24i －25i 25＝725－4925i. 探究二共轭复数的应用[例2]已知z ∈C ，z 为z 的共轭复数，若z ·z －3i z ＝1＋3i ，求z .[解析]设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，则z ＝a －b i(a ，b ∈R )，由题意得(a ＋b i)(a －b i)－3i(a －b i)＝1＋3i ，即a 2＋b 2－3b －3a i ＝1＋3i ，则有⎩⎪⎨⎪⎧ a 2＋b 2－3b ＝1－3a ＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝－1b ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1b ＝3. 所以z ＝－1或z ＝－1＋3i.1．在复平面上，两个共轭复数对应的点关于实轴对称．2．实数的共轭复数是它本身，即z ＝z ⇔z ∈R ，利用这个性质可证明一个复数为实数．3．若z ≠0，且z ＋z ＝0，则z 为纯虚数，利用这个性质，可证明一个复数为纯虚数．2．若复数z ＝1－2i(i 为虚数单位)，则z ·z －＋z ＝________.解析：∵z ·z －＝|z |2＝5，∴z ·z －＋z ＝5＋1－2i ＝6－2i.答案：6－2i复数与其他知识的交汇[典例] (本题满分12分)已知复数z ＝(2x ＋a )＋(2－x ＋a )i ，x ，a ∈R .当x 在(－∞，＋∞)内变化时，试求|z |的最小值g (a )．[解析]|z |2＝(2x ＋a )2＋(2－x ＋a )2＝22x ＋2－2x ＋2a (2x ＋2－x )＋2a 2.4分令t ＝2x ＋2－x ，则t ≥2，且22x ＋2－2x ＝t 2－2.从而|z |2＝t 2＋2at ＋2a 2－2＝(t ＋a )2＋a 2－2，8分当－a ≥2，即a ≤－2时，g (a )＝a 2－2；10分 当－a <2，即a >－2时，g (a )＝(a ＋2)2＋a 2－2＝2|a ＋1|.12分[规范与警示]根据求模公式，正确求出|z |2的表达式是解题的关键．换元后一定要明确引入的新变元的取值范围，否则最多只能得到不超过一半的分数造成失分．因a ∈R ，t ≥2，这是给定区间上的二次函数的最值问题，一定要根据对称轴的位置进行分类讨论，否则易失分.。
北师大版高中数学选修1-2同步教学：第4章 2 第2课时 复数的乘法与除法
数系的扩充与复数的引入 §2 复数的四则运算
第2课时 复数的乘法与除法
1
自主预习学案
2
互动探究学案
3
课时作业学案
自主预习学案
根据复数的几何意义和平面向量在坐标表示下的加 (减)法运算，我们很容易规定了复数的加(减)法规则，因 为实数是复数的一部分，且实数有其乘法运算，因此我 们有理由且应当规定复数集内的乘法运算，使实数的乘 法作为复数乘法的一种特殊情况，考虑到复数的代数标 准形式及 i2＝－1，并联系多项式的乘法法则，就可建立复数的代数乘法规则。
• 〔跟踪练习1〕
• (1)(2018·全国Ⅱ卷文,2)i(2＋3Di)＝( )
• A．3－2i
B．3＋2i
• C．－3－2i D．－3＋2i • (2)(2018·全国Ⅲ卷理,2)(1＋i)(2－Di)＝( )
• A．－3－i B．－3＋i
• C．3－i D．3＋i
• [解析] (1)i(2＋3i)＝2i＋3i2＝－3＋2i. • 故选D． • (2)(1＋i)(2－i)＝2＋2i－i－i2＝3＋i. • 故选D．
• [解析] (1)(2＋i)(1＋2i)(2－i)－5i • ＝(2＋i)(2－i)(1＋2i)－5i • ＝(4－i2)(1＋2i)－5i • ＝5(1＋2i)－5i • ＝5＋10i－5i＝5＋5i. • (2)(1－i)2(1＋i)2＋4＝[(1－i)(1＋i)]2＋4 • ＝(1－i2)2＋4＝22＋4＝8.
解法二：∵ z＝2＋i，∴ z·z ＝|z|2＝5.故选 D．
• 4．已知复数z＝(2－i)2(i为虚数单位),则复数z的－虚4 部为 _________.
• [解析] z＝(2－i)2＝4－4i＋i2＝4－4i－1＝3－4i.
2018年数学同步优化指导北师大版选修1-2课件：4-2-2
1＋ 3 1－ 3 ＝－ 2 ＋ 2 i.
－2＋3i －2＋3i1－2i (3)( － 2 ＋ 3i)÷ (1 ＋ 2i) ＝ ＝ ＝ 1＋2i 1＋2i1－2i －2＋6＋3＋4i 4 7 ＝5＋5i. 12＋22 3＋2i 3－2i (4) － 2－3i 2＋3i 3＋2i2＋3i－3－2i2－3i ＝ 2－3i2＋3i 6＋13i－6－6＋13i＋6 26i ＝ ＝ 13 ＝2i. 4＋9
－ 1．已知复数 z 满足：z· z ＋2iz＝8＋6i，求复数 z 的实部与 虚部的和．
－ 解：设 z＝a＋bi(a，b∈R)，则 z· z ＝a2＋b2. ∴a2＋b2＋2i(a＋bi)＝8＋6i， 即 a2＋b2－2b＋2ai＝8＋6i.
2 2 a ＋b －2b＝8，∴ 2a＝6，
－ － a－bi z __________ 来表示，也就是当 z＝a＋bi 时， z ＝__________.
－ | z| 2 于是 z· z ＝a2＋b2＝__________.
－ 2．已知复数 z＝2－i，则 z· z 的值为( A．5 C．3 B． 5 D． 3
)
答案：A
3．复数的除法法则 设 z1＝a＋bi，z2＝c＋di(c＋di≠0)， z1 a＋bi ac＋bd bc－ad 则z ＝ ＝ ＋ i(c＋di≠0)． c＋di c2＋d2 c2＋d2 2
即 a2＋b2－3b－3ai＝1＋3i.
2 2 a ＋ b －3b＝1， 则有 －3a＝3，
a＝－1， 解得 b＝0，
a＝－1， 或 b＝3.
所以 z＝－1 或 z＝－1＋3i. － 【点评】 已知关于 z 和 z 的方程，求 z 的问题，解题的
－ 常规思路为设 z＝a＋bi(a， b∈R)， 则 z ＝a－bi， 代入所给等式， 利用复数相等的充要条件，转化为方程组求解．
数学北师大版高中选修1-2复数的乘法与除法
2.2 复数的乘法与除法一、基础过关1． 复数－i ＋1i等于 ( ) A ．－2i B.12i C ．0D ．2i 2． i 为虚数单位，1i ＋1i 3＋1i 5＋1i 7等于 ( ) A ．0 B ．2i C ．－2i D ．4i3． 若a ，b ∈R ，i 为虚数单位，且(a ＋i)i ＝b ＋i ，则( ) A ．a ＝1，b ＝1B ．a ＝－1，b ＝1C ．a ＝－1，b ＝－1D ．a ＝1，b ＝－1 4． 在复平面内，复数i 1＋i＋(1＋3i)2对应的点位于 ( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 5． 设复数z 的共轭复数是z ，若复数z 1＝3＋4i ，z 2＝t ＋i ，且z 1·z 2是实数，则实数t 等于( ) A.34 B.43 C ．－43D ．－34 6． 若z ＝1＋2i i，则复数z 等于 ( ) A ．－2－iB ．－2＋iC ．2－iD ．2＋i二、能力提升 7．设复数i 满足i(z ＋1)＝－3＋2i(i 为虚数单位)，则z 的实部是________．8．复数2i －1＋3i的虚部是________． 9．已知z 是纯虚数，z ＋21－i是实数，那么z ＝________. 10．计算：(1)2＋2i (1－i )2＋(21＋i)2 010； (2)(4－i 5)(6＋2i 7)＋(7＋i 11)(4－3i)．11．已知复数z 1满足(z 1－2)(1＋i)＝1－i(i 为虚数单位)，复数z 2的虚部为2，且z 1·z 2是实数，求z 2.12．已知复数z 的共轭复数为z ，且z ·z －3i z ＝101－3i，求z . 三、探究与拓展13．已知复数z ，满足z 2＝5－12i ，求1z.答案1．A 2．A 3．D 4．B 5．A 6．D7．18．－129．－2i10．解 (1)2＋2i(1－i )2＋(21＋i )2 010＝2＋2i －2i＋(22i ) 1 005＝i(1＋i)＋(1i )1 005 ＝－1＋i ＋(－i)1 005＝－1＋i －i ＝－1.(2)原式＝(4－i)(6－2i)＋(7－i)(4－3i)＝22－14i ＋25－25i ＝47－39i.11．解 (z 1－2)(1＋i)＝1－i ⇒z 1＝2－i.设z 2＝a ＋2i ，a ∈R ，则z 1z 2＝(2－i)·(a ＋2i)＝(2a ＋2)＋(4－a )i ， ∵z 1z 2∈R ，∴a ＝4，∴z 2＝4＋2i.12．解 设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，则z ＝a －b i.又z ·z －3i z ＝101－3i， ∴a 2＋b 2－3i(a ＋b i)＝10(1＋3i )10， ∴a 2＋b 2＋3b －3a i ＝1＋3i ，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋b 2＋3b ＝1，－3a ＝3. ∴⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝－1，b ＝0，或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝－3. ∴z ＝－1，或z ＝－1－3i.13．解 设z ＝x ＋y i(x ，y ∈R )，则z 2＝x 2－y 2＋2xy i.又z 2＝5－12i ，所以x 2－y 2＋2xy i ＝5－12i.所以⎩⎪⎨⎪⎧x 2－y 2＝5，2xy ＝－12. 解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝3，y ＝－2.或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－3，y ＝2.所以z ＝3－2i 或z ＝－3＋2i.所以1z ＝13－2i ＝313＋213i 或1z ＝1－3＋2i ＝－313－213i.。
北师大版数学- 4.2.2 复数代数形式的乘除运算练习题 选修1-2
青海师范大学附属第二中学高中数学 4.2.2 复数代数形式的乘除运算练习题 选修1-2一、基础过关 1． 复数－i ＋1i等于( )A ．－2iB.12I C ．0 D ．2i 2． i 为虚数单位，1i ＋1i 3＋1i 5＋1i 7等于( ) A ．0B ．2iC ．－2iD ．4i3． 若a ，b ∈R ，i 为虚数单位，且(a ＋i)i ＝b ＋i ，则( )A ．a ＝1，b ＝1B ．a ＝－1，b ＝1C ．a ＝－1，b ＝－1D ．a ＝1，b ＝－14． 在复平面内，复数i 1＋i＋(1＋3i)2对应的点位于( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限5．设复数z 的共轭复数是z ，若复数z 1＝3＋4i ，z 2＝t ＋i ，且z 1·z 2是实数，则实数t 等于( )A.34B.43 C ．－43D ．－346． 若z ＝1＋2ii ，则复数z 等于( )A ．－2－iB ．－2＋IC ．2－iD ．2＋i二、能力提升7．设复数i 满足i(z ＋1)＝－3＋2i(i 为虚数单位)，则z 的实部是________． 8．复数2i－1＋3i的虚部是________．9．已知z 是纯虚数，z ＋21－i是实数，那么z=________．10．计算：(1)2＋2i 1－i 2＋(21＋i)2 010； (2)(4－i 5)(6＋2i 7)＋(7＋i 11)(4－3i)．11．已知复数z1满足(z1－2)(1＋i)＝1－i(i为虚数单位)，复数z2的虚部为2，且z1·z2是实数，求z2.12．已知复数z的共轭复数为z，且z·z－3i z＝101－3i，求z.。
高中数学第四章数系的扩充与复数的引入2.2复数的乘法与除法课件北师大版选修1-2
反思与感悟 (1)虚数单位i的周期性. ①i4n＋1＝i,i4n＋2＝－1,i4n＋3＝－i,i4n＝1(n∈N). n也可以推广到整数集. ②in＋in＋1＋in＋2＋in＋3＝0(n∈N).
跟踪训练 2 计算：
－1＋2 23＋3ii＋1＋2i2
4－8i2－－4＋8i2
004＋
.
11－ 7i
解
c2＋d2
＋
c2＋d2
i(c2＋d2≠0).
题型一 复数乘除法的运算
例1 计算：(1)(2＋i)(2－i)； 解 (2＋i)(2－i)＝4－i2＝4－(－1)＝5. (2)(1＋2i)2. 解 (1＋2i)2＝1＋4i＋(2i)2＝1＋4i＋4i2＝－3＋4i.
反思与感悟 (1)复数的乘法可以按照多项式的乘法法则 进行,注意选用恰当的乘法公式进行简便运算,例如平方 差公式、完全平方公式等. (2)像3＋4i和3－4i这样的两个复数叫作互为共轭复数,其 形态特征为a＋bi和a－bi,其数值特征为(a＋bi)(a－bi)＝ a2＋b2.
12 345
4.设复数 z 的共轭复数是 z ,若复数 z1＝3＋4i,z2＝t＋i,且 z1·z 2
是实数,则实数 t 等于( )
A.34
B.43
C.－34
D.－34
解析 ∵z2＝t＋i,∴ z 2＝t－i. z1·z 2＝(3＋4i)(t－i)＝3t＋4＋(4t－3)i, 又∵z1·z 2∈R,∴4t－3＝0,∴t＝34. 答案 A
i1＋2 原式＝
1＋2
33ii＋1＋2i21
4－8i＋4－8i 002＋(4－8i＋8i－4)
11－ 7i
＝i＋(－i)1 002＋0＝－1＋i.
题型三 共扼复数及其应用
北京市2016-2017学年高中数学北师大版选修1-2学案：4.2 复数的四则运算 Word版含解析
§2 复数的四则运算 2．1 复数的加法与减法 2．2 复数的乘法与除法1．理解共轭复数的概念．(重点)2．掌握复数的四则运算法则与运算律．(重点、难点)[基础·初探]教材整理1 复数的加法与减法阅读教材P 77“例1”以上部分，完成下列问题． 1．复数的加法设a ＋b i(a ，b ∈R )和c ＋d i(c ，d ∈R )是任意两个复数，定义复数的加法如下：(a ＋b i)＋(c ＋d i)＝(a ＋c )＋(b ＋d )i.2．复数的减法设a ＋b i(a ，b ∈R )和c ＋d i(c ，d ∈R )是任意两个复数，定义复数的减法如下：(a ＋b i)－(c ＋d i)＝(a －c )＋(b －d )i.复数z 1＝2－12i ，z 2＝12－2i ，则z 1＋z 2等于( ) A ．0 B ．32＋52i C.52－52i D ．52－32i【解析】 z 1＋z 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－12－2i ＝52－52i.【答案】 C教材整理2 复数的乘法与除法阅读教材P 78“练习”以下～P 80，完成下列问题．1．复数的乘法法则设z 1＝a ＋b i ，z 2＝c ＋d i(a ，b ，c ，d ∈R )，则z 1·z 2＝(a ＋b i)(c ＋d i)＝(ac －bd )＋(ad ＋bc )i.2．复数乘法的运算律 对任意复数z 1，z 2，z 3∈C ，有3.如果两个复数的实部相等，虚部互为相反数，那么这样的两个复数叫作互为共轭复数．复数z 的共轭复数用z 来表示，即z ＝a ＋b i ，则z ＝a －b i.4．复数的除法法则设z 1＝a ＋b i ，z 2＝c ＋d i(c ＋d i ≠0)，则z 1z 2＝a ＋b i c ＋d i ＝ac ＋bd c 2＋d 2＋bc －ad c 2＋d 2i.(1＋i)2－2－i2＋i＝________. 【解析】 ∵(1＋i)2－2－i2＋i＝2i －(2－i )25＝－35＋145i.【答案】 －35＋145i[质疑·手记]预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流： 疑问1：________________________________________________________ 解惑：__________________________________________________________ 疑问2：________________________________________________________ 解惑：__________________________________________________________ 疑问3：________________________________________________________ 解惑：__________________________________________________________[小组合作型]复数的加法与减法运算(1)⎝ ⎛⎭⎪⎫13＋12i ＋(2－i)－⎝ ⎛⎭⎪⎫43－32i ＝________；(2)已知复数z 满足z ＋1－3i ＝5－2i ，求z ； (3)已知复数z 满足|z |＋z ＝1＋3i ，求z .【精彩点拨】 (1)根据复数的加法与减法法则计算．(2)设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，根据复数相等计算或把等式看作z 的方程，通过移项求解．(3)设z ＝x ＋y i(x ，y ∈R )，则|z |＝x 2＋y 2，再根据复数相等求解．【自主解答】 (1)⎝ ⎛⎭⎪⎫13＋12i ＋(2－i)－⎝ ⎛⎭⎪⎫43－32i ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13＋2－43＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12－1＋32i＝1＋i. 【答案】 1＋i(2)法一：设z ＝x ＋y i(x ，y ∈R )，因为z ＋1－3i ＝5－2i ，所以x ＋y i ＋(1－3i)＝5－2i ，即x ＋1＝5且y －3＝－2，解得x ＝4，y ＝1，所以z ＝4＋i.法二：因为z ＋1－3i ＝5－2i ，所以z ＝(5－2i)－(1－3i)＝4＋i. (3)设z ＝x ＋y i(x ，y ∈R )，则|z |＝x 2＋y 2，又|z |＋z ＝1＋3i ，所以x 2＋y 2＋x ＋y i ＝1＋3i ，由复数相等得⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2＋x ＝1，y ＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－4，y ＝3，所以z ＝－4＋3i.1．复数加法与减法运算法则的记忆(1)复数的实部与实部相加减，虚部与虚部相加减．(2)把i 看作一个字母，类比多项式加、减法中的合并同类项．2．当一个等式中同时含有|z |与z 时，一般要用待定系数法，设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )．[再练一题]1．(1)复数(1－i)－(2＋i)＋3i 等于( ) A ．－1＋i B ．1－i C ．iD ．－i【解析】 (1－i)－(2＋i)＋3i ＝(1－2)＋(－i －i ＋3i)＝－1＋i.故选A. 【答案】 A(2)已知|z |＝3，且z ＋3i 是纯虚数，则z ＝________. 【解析】 设z ＝x ＋y i(x ，y ∈R )，∴x 2＋y 2＝3①，且z ＋3i ＝x ＋y i ＋3i ＝x＋(y ＋3)i 是纯虚数，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＋3≠0，由①可得y ＝3. ∴z ＝3i. 【答案】 3i复数的乘法与除法运算已知复数z 1＝1＋i ，z 2＝3－2i.试计算： 【导学号：67720025】 (1)z 1·z 2和z 41； (2)z 1÷z 2和z 22÷z 1. 【精彩点拨】 按照复数的乘法和除法法则进行． 【自主解答】 (1)z 1·z 2＝3－2i ＋3i －2i 2＝5＋i.z 41＝[(1＋i)2]2＝(2i)2＝4i 2＝－4.(2)z 1÷z 2＝1＋i 3－2i ＝(1＋i )(3＋2i )(3－2i )(3＋2i )＝1＋5i 13＝113＋513i.z 22÷z 1＝(3－2i )21＋i ＝5－12i 1＋i ＝(5－12i )(1－i )(1＋i )(1－i )＝－7－17i 2＝－72－172i.1．实数中的乘法公式在复数范围内仍然成立．2．复数的四则运算次序同实数的四则运算一样，都是先算乘除，再算加减． 3．常用公式(1)1i ＝－i ；(2)1＋i 1－i ＝i ；(3)1－i 1＋i＝－i.[再练一题]2．(1)满足z ＋iz ＝i(i 为虚数单位)的复数z ＝( ) A.12＋12i B ．12－12i C ．－12＋12iD ．－12－12i(2)若复数z 满足z (1＋i)＝2i(i 为虚数单位)，则|z |＝( ) A ．1 B ．2 C. 2D ． 3【解析】 (1)∵z ＋iz ＝i ，∴z ＋i ＝z i ，∴i ＝z (i －1)． ∴z ＝ii －1＝i (－1－i )(－1＋i )(－1－i )＝1－i 2＝12－12i.(2)∵z (1＋i)＝2i ，∴z ＝2i1＋i ＝2i (1－i )2＝1＋i ，∴|z |＝12＋12＝ 2.【答案】 (1)B (2)C[探究共研型]共轭复数的应用探究1 两个共轭复数的和一定是实数吗？两个共轭复数的差一定是纯虚数吗？【提示】 若z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，则z ＝a －b i ，则z ＋z ＝2a ∈R .因此，和一定是实数；而z －z ＝2b i.当b ＝0时，两共轭复数的差是实数，而当b ≠0时，两共轭复数的差是纯虚数．探究2 若z 1与z 2是共轭复数，则|z 1|与|z 2|之间有什么关系？ 【提示】 |z 1|＝|z 2|.已知z ∈C ，z 为z 的共轭复数，若z ·z －3i z ＝1＋3i ，求z . 【精彩点拨】 设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，则z ＝a －b i.代入所给等式，利用复数的运算及复数相等的充要条件转化为方程组求解．【自主解答】 设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，则z ＝a －b i ，(a ，b ∈R )， 由题意得(a ＋b i)(a －b i)－3i(a －b i)＝1＋3i ， 即a 2＋b 2－3b －3a i ＝1＋3i ，则有⎩⎪⎨⎪⎧ a 2＋b 2－3b ＝1，－3a ＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝－1，b ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝3.所以z ＝－1或z ＝－1＋3i. [再练一题]3．已知复数z 1＝(－1＋i)(1＋b i)，z 2＝a ＋2i1－i，其中a ，b ∈R .若z 1与z 2互为共轭复数，求a ，b 的值．【解】 z 1＝(－1＋i)(1＋b i)＝－1－b i ＋i －b ＝(－b －1)＋(1－b )i ， z 2＝a ＋2i 1－i ＝(a ＋2i )(1＋i )(1－i )(1＋i )＝a ＋a i ＋2i －22＝a －22＋a ＋22i ，由于z 1和z 2互为共轭复数，所以有⎩⎨⎧a －22＝－b －1，a ＋22＝－(1－b )，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－2，b ＝1.[构建·体系]1．设z 1＝2＋i ，z 2＝1－5i ，则|z 1＋z 2|为( ) A.5＋26 B ．5 C ．25D ．37【解析】 |z 1＋z 2|＝|(2＋i)＋(1－5i)| ＝|3－4i|＝32＋(－4)2＝5.【答案】 B2．已知i 是虚数单位，则(－1＋i)(2－i)＝( ) A ．－3＋i B ．－1＋3i C ．－3＋3iD ．－1＋i【解析】 (－1＋i)(2－i)＝－1＋3i. 【答案】 B3．设复数z 1＝1＋i ，z 2＝x ＋2i(x ∈R )，若z 1z 2∈R ，则x ＝________. 【解析】 ∵z 1＝1＋i ，z 2＝x ＋2i(x ∈R )， ∴z 1z 2＝(1＋i)(x ＋2i)＝(x －2)＋(x ＋2)i. ∵z 1z 2∈R ，∴x ＋2＝0，即x ＝－2. 【答案】 －2 4．若21－i＝a ＋b i(i 为虚数单位，a ，b ∈R )，则a ＋b ＝________.【解析】因为21－i＝2(1＋i)(1－i)(1＋i)＝1＋i，所以1＋i＝a＋b i，所以a＝1，b＝1，所以a＋b＝2.【答案】 25．已知复数z满足|z|＝5，且(1－2i)z是实数，求z.【解】设z＝a＋b i(a，b∈R)，则(1－2i)z＝(1－2i)·(a＋b i)＝(a＋2b)＋(b－2a)i，又因为(1－2i)z是实数，所以b－2a＝0，即b＝2a，又|z|＝5，所以a2＋b2＝5，解得a＝±1，b＝±2，∴z＝1＋2i或－1－2i，∴z＝1－2i或－1＋2i，∴z＝±(1－2i)．我还有这些不足：(1)______________________________________________________________(2)______________________________________________________________我的课下提升方案：(1)______________________________________________________________(2)______________________________________________________________学业分层测评(十三)(建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1．实数x，y满足z1＝y＋x i，z2＝y i－x，且z1－z2＝2，则xy的值是() A．1B．2C．－2 D．－1【解析】 z 1－z 2＝y ＋x i －(y i －x )＝x ＋y ＋(x －y )i ＝2， ∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝2，x －y ＝0，∴x ＝y ＝1. ∴xy ＝1. 【答案】 A2．已知复数z ＋3i －3＝3－3i ，则z ＝( ) A ．0 B ．6i C ．6D ．6－6i【解析】 ∵z ＋3i －3＝3－3i ， ∴z ＝(3－3i)－(3i －3) ＝6－6i. 【答案】 D3．复数z ＝32－a i ，a ∈R ，且z 2＝12－32i ，则a 的值为( ) A ．1 B ．2 C.12D ．14 【解析】 由z ＝32－a i ，a ∈R ，得z 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫322－2×32×a i ＋(a i)2＝34－a 2－3a i ，因为z 2＝12－32i ，所以⎩⎪⎨⎪⎧34－a 2＝12，－3a ＝－32，解得a ＝12.【答案】 C4．A ，B 分别是复数z 1，z 2在复平面内对应的点，O 是原点，若|z 1＋z 2|＝|z 1－z 2|，则三角形AOB 一定是( )A ．等腰三角形B ．直角三角形C ．等边三角形D ．等腰直角三角形【解析】 复数z 1对应向量OA →，复数z 2对应向量OB →.则|z 1＋z 2|＝|OA →＋OB →|，|z 1－z 2|＝|OA →－OB →|，依题意有|OA→＋OB →|＝|OA →－OB →|.∴以OA→，OB →为邻边所作的平行四边形是矩形． ∴△AOB 是直角三角形． 【答案】 B 5．已知复数z ＝3＋i(1－3i )2，z 是z 的共轭复数，则z ·z 等于( )A.14B.12 C ．1D ．2【解析】 ∵z ＝3＋i(1－3i )2＝－3i 2＋i (1－3i )2＝i (1－3i )(1－3i )2＝i 1－3i ＝i (1＋3i )4＝－34＋i4，∴z ＝－34－i4， ∴z ·z ＝14. 【答案】 A 二、填空题6．复数(1＋2i )23－4i 的值是________ .【解析】(1＋2i )23－4i＝－3＋4i 3－4i＝－1.【答案】 －1 7．已知a ＋2ii ＝b ＋i(a ，b ∈R )，其中i 为虚数单位，则a ＋b ＝__________.【解析】 ∵a ＋2ii ＝b ＋i ，∴a ＋2i ＝(b ＋i)i ＝－1＋b i ，∴a ＝－1，b ＝2，∴a ＋b ＝1.【答案】 18．已知复数z 满足z ＋|z |＝2＋8i ，则复数z ＝________.【解】 法一：设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )．则|z |＝a 2＋b 2，代入方程得a ＋b i ＋a 2＋b 2＝2＋8i. ∴⎩⎪⎨⎪⎧ a ＋a 2＋b 2＝2，b ＝8，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－15，b ＝8， ∴z ＝－15＋8i.法二：原式可化为z ＝2－|z |＋8i ，∵|z |∈R ，∴2－|z |是z 的实部，于是|z |＝(2－|z |)2＋82，即|z |2＝68－4|z |＋|z |2，∴|z |＝17.代入z ＝2－|z |＋8i ，得z ＝－15＋8i.【答案】 －15＋8i三、解答题9．在复平面内A ，B ，C 三点对应的复数分别为1,2＋i ，－1＋2i.(1)求AB→，BC →，AC →对应的复数； (2)判断△ABC 的形状；(3)求△ABC 的面积．【解】 (1)AB→对应的复数为2＋i －1＝1＋i ，BC →对应的复数为－1＋2i －(2＋i)＝－3＋i ，AC→对应的复数为－1＋2i －1＝－2＋2i.(2)∵|AB →|＝2，|BC →|＝10，|AC →|＝8＝22，∴|AB→|2＋|AC →|2＝|BC →|2，∴△ABC 为直角三角形． (3)S △ABC ＝12×2×22＝2. 10．已知复数z 满足z ＝(－1＋3i)(1－i)－4.(1)求复数z 的共轭复数； 【导学号：67720026】(2)若w ＝z ＋a i ，且复数w 对应向量的模不大于复数z 所对应向量的模，求实数a 的取值范围．【解】 (1)z ＝－1＋i ＋3i ＋3－4＝－2＋4i ，所以复数z 的共轭复数为－2－4i.(2)w ＝－2＋(4＋a )i ，复数w 对应向量为(－2,4＋a )，其模为4＋(4＋a )2＝20＋8a ＋a 2.又复数z 所对应向量为(－2,4)，其模为2 5.由复数w 对应向量的模不大于复数z 所对应向量的模，得20＋8a ＋a 2≤20，a 2＋8a ≤0，a (a ＋8)≤0，所以实数a 的取值范围是－8≤a ≤0.[能力提升]1．(2016·宁夏高二检测)设z 1，z 2是复数，则下列命题中的假命题是( )A ．若|z 1－z 2|＝0，则z 1＝z 2B ．若z 1＝z 2，则z 1＝z 2C ．若|z 1|＝|z 2|，则z 1·z 1＝z 2·z 2D ．若|z 1|＝|z 2|，则z 21＝z 22 【解析】 A ，|z 1－z 2|＝0⇒z 1－z 2＝0⇒z 1＝z 2⇒z 1＝z 2，真命题； B ，z 1＝z 2⇒z 1＝z 2＝z 2，真命题；C ，|z 1|＝|z 2|⇒|z 1|2＝|z 2|2⇒z 1·z 1＝z 2·z 2，真命题；D ，当|z 1|＝|z 2|时，可取z 1＝1，z 2＝i ，显然z 21＝1，z 22＝－1，即z 21≠z 22，假命题．【答案】 D2．复数z＝x＋y i(x，y∈R)满足条件|z－4i|＝|z＋2|，则2x＋4y的最小值为() A．2 B．4C．42D．16【解析】由|z－4i|＝|z＋2|，得|x＋(y－4)i|＝|x＋2＋y i|，∴x2＋(y－4)2＝(x＋2)2＋y2，即x＋2y＝3，∴2x＋4y＝2x＋22y≥22x＋2y＝223＝42，当且仅当x＝2y＝32时，2x＋4y取得最小值4 2.【答案】 C3．若复数z＝7＋a i2－i的实部为3，则z的虚部为__________．【解析】z＝7＋a i2－i＝(7＋a i)(2＋i)(2－i)(2＋i)＝(14－a)＋(7＋2a)i5＝14－a5＋7＋2a5i.由题意知14－a5＝3，∴a＝－1，∴z＝3＋i.∴z的虚部为1.【答案】 14．已知z为复数，z－1i为实数，z1－i为纯虚数，求复数z.【解】设z＝a＋b i(a，b∈R)，则z－1i＝a－1＋b ii＝(a－1＋b i)·(－i)＝b－(a－1)i.因为z－1i为实数，所以a－1＝0，即a＝1.又因为z1－i ＝(a＋b i)(1＋i)(1－i)(1＋i)＝(a－b)＋(a＋b)i2为纯虚数，所以a－b＝0，且a＋b≠0，所以b＝1. 故复数z＝1＋i.。
北京市2016-2017学年高中数学北师大版选修1-2学案：4.2 复数的四则运算 Word版含解析
§2 复数的四则运算2．1 复数的加法与减法2．2 复数的乘法与除法1．理解共轭复数的概念．(重点)2．掌握复数的四则运算法则与运算律．(重点、难点)[基础·初探]教材整理1 复数的加法与减法阅读教材P 77“例1”以上部分，完成下列问题．1．复数的加法设a ＋b i(a ，b ∈R )和c ＋d i(c ，d ∈R )是任意两个复数，定义复数的加法如下：(a ＋b i)＋(c ＋d i)＝(a ＋c )＋(b ＋d )i.2．复数的减法设a ＋b i(a ，b ∈R )和c ＋d i(c ，d ∈R )是任意两个复数，定义复数的减法如下：(a ＋b i)－(c ＋d i)＝(a －c )＋(b －d)i.复数z 1＝2－i ，z 2＝－2i ，则z 1＋z 2等于( )1212A ．0 B ．＋i3252C.－iD ．－i52525232【解析】 z 1＋z 2＝＋i ＝－i.(2＋12)(－12－2)5252【答案】 C教材整理2 复数的乘法与除法阅读教材P 78“练习”以下～P 80，完成下列问题．1．复数的乘法法则设z 1＝a ＋b i ，z 2＝c ＋d i(a ，b ，c ，d ∈R )，则z 1·z 2＝(a ＋b i)(c ＋d i)＝(ac －bd )＋(ad ＋bc )i.2．复数乘法的运算律对任意复数z 1，z 2，z 3∈C ，有交换律z 1·z 2＝z 2·z 1结合律(z 1·z 2)·z 3＝z 1·(z 2·z 3)乘法对加法的分配律z 1(z 2＋z 3)＝z 1z 2＋z 1z 33.共轭复数如果两个复数的实部相等，虚部互为相反数，那么这样的两个复数叫作互为共轭复数．复数z 的共轭复数用来表示，即z ＝a ＋b i ，则＝a －b i.z z 4．复数的除法法则设z 1＝a ＋b i ，z 2＝c ＋d i(c ＋d i ≠0)，则＝＝＋i.z 1z 2a ＋b ic ＋d i ac ＋bd c 2＋d 2bc －adc 2＋d 2(1＋i)2－＝________.2－i2＋i 【解析】 ∵(1＋i)2－＝2i －＝－＋i.2－i2＋i (2－i )2535145【答案】 －＋i35145[质疑·手记]预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：疑问1：________________________________________________________解惑：__________________________________________________________疑问2：________________________________________________________解惑：__________________________________________________________疑问3：________________________________________________________解惑：__________________________________________________________[小组合作型]复数的加法与减法运算 (1)＋(2－i)－＝________；(13＋12i )(43－32i)(2)已知复数z 满足z ＋1－3i ＝5－2i ，求z ；(3)已知复数z 满足|z |＋z ＝1＋3i ，求z .【精彩点拨】 (1)根据复数的加法与减法法则计算．(2)设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，根据复数相等计算或把等式看作z 的方程，通过移项求解．(3)设z ＝x ＋y i(x ，y ∈R )，则|z |＝，再根据复数相等求解．x 2＋y 2【自主解答】 (1)＋(2－i)－＝＋i (13＋12i )(43－32i )(13＋2－43)(12－1＋32)＝1＋i.【答案】 1＋i(2)法一：设z ＝x ＋y i(x ，y ∈R )，因为z ＋1－3i ＝5－2i ，所以x ＋y i ＋(1－3i)＝5－2i ，即x ＋1＝5且y －3＝－2，解得x ＝4，y ＝1，所以z ＝4＋i.法二：因为z ＋1－3i ＝5－2i ，所以z ＝(5－2i)－(1－3i)＝4＋i.(3)设z ＝x ＋y i(x ，y ∈R )，则|z |＝，又|z |＋z ＝1＋3i ，所以x 2＋y 2＋x ＋y i＝1＋3i ，由复数相等得Error!解得Error!所以z ＝－4＋3i.x 2＋y 21．复数加法与减法运算法则的记忆(1)复数的实部与实部相加减，虚部与虚部相加减．(2)把i 看作一个字母，类比多项式加、减法中的合并同类项．2．当一个等式中同时含有|z |与z 时，一般要用待定系数法，设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )．[再练一题]1．(1)复数(1－i)－(2＋i)＋3i 等于( )A ．－1＋i B ．1－i C ．i D ．－i【解析】 (1－i)－(2＋i)＋3i ＝(1－2)＋(－i －i ＋3i)＝－1＋i.故选A.【答案】 A(2)已知|z |＝3，且z ＋3i 是纯虚数，则z ＝________.【解析】 设z ＝x ＋y i(x ，y ∈R )，∴＝3①，且x 2＋y 2z ＋3i ＝x ＋y i ＋3i ＝x ＋(y ＋3)i 是纯虚数，则Error!由①可得y ＝3.∴z ＝3i.【答案】 3i复数的乘法与除法运算 已知复数z 1＝1＋i ，z 2＝3－2i.试计算： 【导学号：67720025】(1)z 1·z 2和z ；41(2)z 1÷z 2和z ÷z 1.2【精彩点拨】 按照复数的乘法和除法法则进行．【自主解答】 (1)z 1·z 2＝3－2i ＋3i －2i 2＝5＋i.z ＝[(1＋i)2]2＝(2i)2＝4i 2＝－4.41(2)z 1÷z 2＝＝＝＝＋i.1＋i3－2i (1＋i )(3＋2i )(3－2i )(3＋2i )1＋5i13113513z ÷z 1＝＝＝2(3－2i )21＋i 5－12i1＋i (5－12i )(1－i )(1＋i )(1－i )＝＝－－i.－7－17i 2721721．实数中的乘法公式在复数范围内仍然成立．2．复数的四则运算次序同实数的四则运算一样，都是先算乘除，再算加减．3．常用公式(1)＝－i ；(2)＝i ；(3)＝－i.1i 1＋i1－i 1－i1＋i [再练一题]2．(1)满足＝i(i 为虚数单位)的复数z ＝( )z ＋iz A.＋i B ．－i 12121212C ．－＋iD ．－－i12121212(2)若复数z 满足z (1＋i)＝2i(i 为虚数单位)，则|z |＝( )A ．1 B ．2C.D ．23【解析】 (1)∵＝i ，∴z ＋i ＝z i ，∴i ＝z (i －1)．z ＋iz ∴z ＝＝＝＝－i.ii －1i (－1－i )(－1＋i )(－1－i )1－i21212(2)∵z (1＋i)＝2i ，∴z ＝＝＝1＋i ，2i1＋i 2i (1－i )2∴|z |＝＝.12＋122【答案】 (1)B (2)C[探究共研型]共轭复数的应用探究1 两个共轭复数的和一定是实数吗？两个共轭复数的差一定是纯虚数吗？【提示】 若z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，则＝a －b i ，则z ＋＝2a ∈R .因此，和z z一定是实数；而z －＝2b i.当b ＝0时，两共轭复数的差是实数，而当b ≠0时，z 两共轭复数的差是纯虚数．探究2 若z 1与z 2是共轭复数，则|z 1|与|z 2|之间有什么关系？【提示】 |z 1|＝|z 2|. 已知z ∈C ，为z 的共轭复数，若z ·－3i ＝1＋3i ，求z .z z z 【精彩点拨】 设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，则＝a －b i.代入所给等式，利用复z 数的运算及复数相等的充要条件转化为方程组求解．【自主解答】 设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，则＝a －b i ，(a ，b ∈R )，z 由题意得(a ＋b i)(a －b i)－3i(a －b i)＝1＋3i ，即a 2＋b 2－3b －3a i ＝1＋3i ，则有Error!解得Error!或Error!所以z ＝－1或z ＝－1＋3i.[再练一题]3．已知复数z 1＝(－1＋i)(1＋b i)，z 2＝，其中a ，b ∈R .若z 1与z 2互为a ＋2i1－i 共轭复数，求a ，b 的值．【解】 z 1＝(－1＋i)(1＋b i)＝－1－b i ＋i －b ＝(－b －1)＋(1－b )i ，z 2＝＝＝＝＋i ，a ＋2i1－i (a ＋2i )(1＋i )(1－i )(1＋i )a ＋a i ＋2i －22a －22a ＋22由于z 1和z 2互为共轭复数，所以有Error!解得Error![构建·体系]1．设z 1＝2＋i ，z 2＝1－5i ，则|z 1＋z 2|为( )A.＋ B ．5526C ．25D ．37【解析】 |z 1＋z 2|＝|(2＋i)＋(1－5i)|＝|3－4i|＝＝5.32＋(－4)2【答案】 B2．已知i 是虚数单位，则(－1＋i)(2－i)＝( )A ．－3＋i B ．－1＋3i C ．－3＋3iD ．－1＋i【解析】 (－1＋i)(2－i)＝－1＋3i.【答案】 B3．设复数z 1＝1＋i ，z 2＝x ＋2i(x ∈R )，若z 1z 2∈R ，则x ＝________.【解析】 ∵z 1＝1＋i ，z 2＝x ＋2i(x ∈R )，∴z 1z 2＝(1＋i)(x ＋2i)＝(x －2)＋(x ＋2)i.∵z 1z 2∈R ，∴x ＋2＝0，即x ＝－2.【答案】 －24．若＝a ＋b i(i 为虚数单位，a ，b ∈R )，则a ＋b ＝________.21－i 【解析】 因为＝＝1＋i ，所以1＋i ＝a ＋b i ，所以21－i 2(1＋i )(1－i )(1＋i )a ＝1，b ＝1，所以a ＋b ＝2.【答案】 25．已知复数z 满足|z |＝，且(1－2i)z 是实数，求.5z 【解】 设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，则(1－2i)z ＝(1－2i)·(a ＋b i)＝(a ＋2b )＋(b －2a )i ，又因为(1－2i)z 是实数，所以b －2a ＝0，即b ＝2a ，又|z |＝，所5以a2＋b2＝5，解得a＝±1，b＝±2，∴z＝1＋2i或－1－2i，∴＝1－2i或－1＋2i，z∴＝±(1－2i)．z我还有这些不足：(1)______________________________________________________________(2)______________________________________________________________我的课下提升方案：(1)______________________________________________________________(2)______________________________________________________________学业分层测评(十三)(建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1．实数x，y满足z1＝y＋x i，z2＝y i－x，且z1－z2＝2，则xy的值是( ) A．1 B．2C．－2D．－1【解析】 z1－z2＝y＋x i－(y i－x)＝x＋y＋(x－y)i＝2，∴Error!∴x＝y＝1.∴xy＝1.【答案】 A2．已知复数z＋3i－3＝3－3i，则z＝( )A．0B．6iC．6D．6－6i【解析】 ∵z＋3i－3＝3－3i，∴z ＝(3－3i)－(3i －3)＝6－6i.【答案】 D3．复数z ＝－a i ，a ∈R ，且z 2＝－i ，则a 的值为( )321232A ．1B ．2C.D ．1214【解析】 由z ＝－a i ，a ∈R ，得z 2＝2－2××a i ＋(a i)2＝－a 2－32(32)3234a i ，因为z 2＝－i ，所以Error!解得a ＝.3123212【答案】 C4．A ，B 分别是复数z 1，z 2在复平面内对应的点，O 是原点，若|z 1＋z 2|＝|z 1－z 2|，则三角形AOB 一定是( )A ．等腰三角形B ．直角三角形C ．等边三角形D ．等腰直角三角形【解析】 复数z 1对应向量，复数z 2对应向量.OA→ OB→ 则|z 1＋z 2|＝|＋|，|z 1－z 2|＝|－|，OA → OB → OA→ OB→ 依题意有|＋|＝|－|.OA → OB → OA → OB→ ∴以，为邻边所作的平行四边形是矩形．OA → OB→ ∴△AOB 是直角三角形．【答案】 B5．已知复数z ＝，是z 的共轭复数，则z ·等于( )3＋i(1－3i )2z z A.B.1412C ．1D ．2【解析】 ∵z ＝＝＝3＋i(1－3i )2－3i2＋i(1－3i )2i (1－3i )(1－3i )2＝＝＝－＋，i 1－3i i (1＋3i )434i4∴＝－－，z 34i 4∴z ·＝.z 14【答案】 A 二、填空题6．复数的值是________ .(1＋2i )23－4i 【解析】 ＝＝－1.(1＋2i )23－4i －3＋4i3－4i 【答案】 －17．已知＝b ＋i(a ，b ∈R )，其中i 为虚数单位，则a ＋b ＝__________.a ＋2ii【解析】 ∵＝b ＋i ，a ＋2ii∴a ＋2i ＝(b ＋i)i ＝－1＋b i ，∴a ＝－1，b ＝2，∴a ＋b ＝1.【答案】 18．已知复数z 满足z ＋|z |＝2＋8i ，则复数z ＝________.【解】 法一：设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )．则|z |＝，a 2＋b 2代入方程得a ＋b i ＋＝2＋8i.a 2＋b 2∴Error!解得Error!∴z ＝－15＋8i.法二：原式可化为z ＝2－|z |＋8i ，∵|z |∈R ，∴2－|z |是z 的实部，于是|z |＝，(2－|z |)2＋82即|z |2＝68－4|z |＋|z |2，∴|z |＝17.代入z ＝2－|z |＋8i ，得z ＝－15＋8i.【答案】 －15＋8i三、解答题9．在复平面内A ，B ，C 三点对应的复数分别为1,2＋i ，－1＋2i.(1)求，，对应的复数；AB → BC → AC → (2)判断△ABC 的形状；(3)求△ABC 的面积．【解】 (1)对应的复数为2＋i －1＝1＋i ，对应的复数为AB → BC → －1＋2i －(2＋i)＝－3＋i ，对应的复数为－1＋2i －1＝－2＋2i.AC → (2)∵||＝，||＝，||＝＝2，AB → 2BC → 10AC → 82∴||2＋||2＝||2，∴△ABC 为直角三角形．AB → AC → BC → (3)S △ABC ＝××2＝2.122210．已知复数z 满足z ＝(－1＋3i)(1－i)－4.(1)求复数z 的共轭复数； 【导学号：67720026】(2)若w ＝z ＋a i ，且复数w 对应向量的模不大于复数z 所对应向量的模，求实数a 的取值范围．【解】 (1)z ＝－1＋i ＋3i ＋3－4＝－2＋4i ，所以复数z的共轭复数为－2－4i.4＋(4＋a)2(2)w＝－2＋(4＋a)i，复数w对应向量为(－2,4＋a)，其模为＝20＋8a＋a2.又复数z所对应向量为(－2,4)，其模为2.由复数w对应向量的模不大于5复数z所对应向量的模，得20＋8a＋a2≤20，a2＋8a≤0，a(a＋8)≤0，所以实数a的取值范围是－8≤a≤0.[能力提升]1．(2016·宁夏高二检测)设z1，z2是复数，则下列命题中的假命题是( )z zA．若|z1－z2|＝0，则1＝2z zB．若z1＝2，则1＝z2z zC．若|z1|＝|z2|，则z1·1＝z2·2212D．若|z1|＝|z2|，则z＝zz z【解析】 A，|z1－z2|＝0⇒z1－z2＝0⇒z1＝z2⇒1＝2，真命题；z z zB，z1＝2⇒1＝2＝z2，真命题；z zC，|z1|＝|z2|⇒|z1|2＝|z2|2⇒z1·1＝z2·2，真命题；212212 D，当|z1|＝|z2|时，可取z1＝1，z2＝i，显然z＝1，z＝－1，即z≠z，假命题．【答案】 D2．复数z＝x＋y i(x，y∈R)满足条件|z－4i|＝|z＋2|，则2x＋4y的最小值为( ) A．2B．4 2C．4 D．16【解析】 由|z－4i|＝|z＋2|，得|x＋(y－4)i|＝|x＋2＋y i|，∴x2＋(y－4)2＝(x＋2)2＋y2，即x＋2y＝3，∴2x ＋4y ＝2x ＋22y ≥2＝2＝4，2x ＋2y 232当且仅当x ＝2y ＝时，2x ＋4y 取得最小值4.322【答案】 C3．若复数z ＝的实部为3，则z 的虚部为__________．7＋a i2－i 【解析】 z ＝＝7＋a i 2－i (7＋a i )(2＋i )(2－i )(2＋i )＝＝＋i.由题意知(14－a )＋(7＋2a )i514－a 57＋2a 5＝3，∴a ＝－1，∴z ＝3＋i.14－a5∴z 的虚部为1.【答案】 14．已知z 为复数，为实数，为纯虚数，求复数z .z －1i z1－i 【解】 设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，则＝＝(a －1＋b i)·(－i)＝b －(a －1)i.z －1i a －1＋b i i 因为为实数，所以a －1＝0，即a ＝1.z －1i 又因为＝＝为纯虚数，z 1－i (a ＋b i )(1＋i )(1－i )(1＋i )(a －b )＋(a ＋b )i2所以a －b ＝0，且a ＋b ≠0，所以b ＝1.故复数z ＝1＋i.。
北师大版选修1-2--第四章-2-2.2-复数的乘法与除法----课件(23张)
≥ 0,
< 0,
(2)将方程化为 2
或 2
求解.
-5 + 6 = 0
+ 5 + 6 = 0
典例透析
题型一
题型二
题型三
题型四
正解:设 x=a+bi(a,b∈R),原方程可化为 a2-b2-5 2 + 2 + 6 +
2
3
4
5
1
1.设复数z1=1+i,z2=x+2i(x∈R),若z1·z2为实数,则x等于(
A.-2
B.-1
C.1
D.2
解析:z1·z2=(1+i)(x+2i)=(x-2)+(2+x)i,
∵z1·z2∈R,∴2+x=0,∴x=-2.
答案:A
2
4
3
)
5
1
2
3
2
4
5
2.若复数 z=1+i(i 为虚数单位), 是的共轭复数, 则2 + 的虚部为
(
)
A.0
B.-1
C.1
D.-2
解析:因为 z=1+i,所以 = 1 − i.
2
而 z2=(1+i)2=2i, = (1 − i)2 = −2i,
2
所以 z2+ = 0, 故选A.
答案:A
1
3.设(1+2i)(a+i)的实部与虚部相等,其中a为实数,则a=(
A.-3
B.-2
C.2
D.3
解析:由已知,得(1+2i)(a+i)=a-2+(2a+1)i.
2020-2021学年北师大版数学选修1-2课件：4.2.1 复数的加法与减法
必备知识·自主学习
1.复数加法和减法的运算法则 设z1=a+bi,z2=c+di(a,b,c,d∈R), 则z1±z2=(a ±c)+(b ±d)i.
【思考】 两个实数的和仍然是一个实数,两个虚数的和仍然还是一个虚数吗? 提示:不一定是.如(4+3i)+(4-5i)=8-2i,(2+3i)+(4-3i)=6,可见两个虚数的和 可能是一个虚数,也可能是一个实数.
所以|z|i+z= x2＋i+y2x+yi=
=1+3xi,＝所1，以x＝x21，y2＋y＝3
解得
y＝
所4 , 以z=1+
3
i.4
3
答案:1+ 4i
3
2.原式=4i+(1-3i)=1+i.
x＋( x2＋y2＋y)i
【解题策略】 复数加减运算的方法技巧 (1)复数运算类比实数运算,若有括号,括号优先,若无括号,可从左到右依次进 行. (2)当利用交换律,结合律抵消掉某些项的实部与虚部时,准确提取虚、实部, 正确进行符号运算有利于提高解题的准确率.
【思考】 复数与复平面内的向量一一对应,如何从向量加减法的几何意义出发讨论复数 加(减)法的运算? 提示:复数的加减法可以按照向量的加减法来进行.按照平行四边形法则或三角 形法则作出与z1±z2对应的向量,再转化为相应的复数的加减法即可.
【基础小测】
1.辨析记忆(对的打“√”,错的打“×”)
(1)复数与复数相加减后结果只能是实数.
【跟踪训练】 (1)若复数z满足z+i-3=3-i,则z=________. (2)(a+bi)-(2a-3bi)-3i=________(a,b∈R). 【解析】(1)因为z+i-3=3-i, 所以z=6-2i. (2)(a+bi)-(2a-3bi)-3i =(a-2a)+(b+3b-3)i=-a+(4b-3)i. 答案:(1)6-2i (2)-a+(4b-3)i
北师大版数学高二选修1-2 4.2.2复数的乘法与除法
10，求|z1＋z2|的值．
解 如图所示，设z1，z2对应点分别为A，B， 以O→A，O→B为邻边作▱OACB，则O→C对应的复数
本 为z1＋z2.这里|O→A|＝3，|O→B|＝5，|B→A|＝ 10.
课 时 栏 目
∴cos ∠AOB＝|O→A|2＋2|O→|O→AB||O|→2－B| |B→A|2
解 设方程的实数根为b(b≠0)，代入方程x2＋(3＋2i)x＋3ai
本 课
＝0，化为b2＋3b＋(2b＋3a)i＝0.
时
栏 目 开
所以b22b＋＋33ba＝＝00，.
关
已知b≠0，解得b＝－3，a＝2.
故实数a的值及方程的实数根分别为2和－3.
研一研·题型解法、解题更高效
1．复数的四则运算按照运算法则和运算律进行运算，其中
a＝ 解得
23，
b＝12.
所以z＝ 23＋2i .
研一研·题型解法、解题更高效
小结 两个复数相等是解决复数问题的重要工具．“复数
本 课
相等”可以得到两个实数等式，为应用方程思想提供了条
时 栏
件，常用于确定系数，解复数方程等问题．
目
开
关
研一研·题型解法、解题更高效
跟踪训练3 关于x的方程x2＋(3＋2i)x＋3ai＝0有非零实 根，求实数a的值及方程的实数根．
解 点集D的图像为以点C(－1，－ 3 )为圆心，1为半径
本 课
的圆，圆上任一点P对应的复数为z，则|O→P|＝|z|.
时 栏
由图知，当OP过圆心C(－1，－ 3)时，
目 开
与圆交于点A、B，则|z|的最小值是|OA|
关 ＝|OC|－1＝ －12＋－ 32－1＝2－1
2020北师大版高中数学选修1-2：第四章 复数的乘法与除法
2.2复数的乘法与除法课时过关·能力提升1.已知a,b∈R,i是虚数单位.若a-i与2+b i互为共轭复数,则(a+b i)2=()A.5-4iB.5+4iC.3-4iD.3+4i解析:由题意,知a-i=2-b i,∴a=2,b=1,∴(a+b i)2=(2+i)2=3+4i.答案:D2.已知(x+i)(1-i)=y,则实数x,y分别为()A.x=-1,y=1B.x=-1,y=2C.x=1,y=1D.x=1,y=2解析:由x,y为实数,且(x+i)(1-i)=y,得x+1+(1-x)i=y,所以-答案:D3.已知i是虚数单位,复数z 满足则A解析:·i=(1-i)·(3+2i)=5-i,∴z=-1-5i,∴z+3=2-5i,∴|z+3|-故选A.14.复数z -在复平面内对应的点在A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限解析:把z化为a+b i(a,b∈R)的形式再判断.z----则复数z对应的点为(-1,1),此点在第二象限,故选B.答案:B5.若z的共轭复数为且则等于A.1B.-iC.±1D.±i解析:设z=a+b i(a,b∈R),则∴z又∵答案:D6.(1+i)20-(1-i)20的值是()A.-1 024B.1 024C.0D.512解析:(1+i)20-(1-i)20=[(1+i)2]10-[(1-i)2]10=(2i)10-(-2i)10=(2i)10-(2i)10=0.27.若复数z-则解析:∵z-∴答案:8.已知z1是复数,z2=z1-其中表示的共轭复数若的实部是则的虚部为解析:设z1=x+y i,z2=-1+b i,其中x,y,b均为实数,则-1+b i=x+y i-i(x-y i)=(x-y)+(y-x)i,由复数相等,得---所以b=1.答案:19.★已知z-则解析:∵z-∴|z|∴-答案:10.已知x,y∈R,且求的值3分析:复数通分太麻烦,可将每个分母的复数化为实数,再进行计算.解:可写成则5x(1-i)+2y(1-2i)=5-15i,(5x+2y)-(5x+4y)i=5-15i,11.已知z是复数,z+2i-均为实数且复数在复平面内对应的点在第一象限求实数的取值范围解:设z=x+y i(x,y∈R),则z+2i=x+(y+2)i,由题意,得y=-2,由题意,得x=4,∴z=4-2i.∵(z+a i)2=(12+4a-a2)+8(a-2)i,根据条件可知--解得2<a<6.∴实数a的取值范围是(2,6).12.★设复数z满足4z+∈R),求复数z及|z-ω|的取值范围.4解:设z=a+b i(a,b∈R),则代入4z+得4(a+b i)+2(a-b i)=即6a+2b i=解得∴z|z-ω|--∵-1≤si-≤1,∴0≤2-2si-≤4.解得0≤|z-ω|≤2.5。
北师大版数学高二-选修1-2素材 知识导航 4.2复数的四则运算
§2 复数的四则运算2.1 复数的加法与减法2.2 复数的乘法与除法自主整理1.复数的加法、减法运算:(a+bi)±(c+di)=______________.2.复数的乘法运算:(a+bi)(c+di)=______________.3.两个复数的实部相等,虚部互为相反数时,这两个复数叫作互为__________,用__________表示.4.设z=a+bi,则z =____________,z z =____________.5.满足(c+di)(x+yi)=a+bi 的复数x+yi 叫作____________,记作_____________或____________. 高手笔记1.复数的加、减、乘、除运算后,所得的结果仍为复数.2.复数的加、减、乘法运算与多项式的运算类似.3.复数的乘法满足交换律、结合律以及乘法对加法的分配律,即对任何z 1、z 2、z 3∈C 有z 1·z 2=z 2·z 1,(z 1·z 2)·z 3=z 1·(z 2·z 3),z 1(z 2+z 3)=z 1z 2+z 1z 3.在复数范围内,实数范围内正整数指数幂的运算律仍然成立,即对任意复数z 、z 1、z 2和正整数m 、n 有z m ·z n =z m+n ,(z m )n =z mn ,(z 1z 2)n =z 1n ·z 2n .4.若z=z,则z 为实数;若z+z=0(z≠0),则z 为纯虚数.5.根据复数所满足的运算律,可知i 4n=1,i 4n+1=i,i 4n+2=-1,i 4n+3=-i,(1+i)2=2i,(1-i)2=-2i,ii -+11=i, i i +-11=-i.若设ω=21-+23i,则1+ω+ω2=0,2ω=ω,ω2=ω,3ω=1. 名师解惑理解复数的除法运算的转化.剖析:复数的除法是复数乘法的逆运算,但每次都按乘法的逆运算将十分麻烦.我们可以用简便方法操作:先把两个复数相除写成分式形式,然后把分子与分母都同乘分母的共轭复数,使分母“实数化”,最后再化简.复数的除法与分母“有理化”的方法相类似.学习时,注意培养这种转化的思想和类比思想.讲练互动【例1】计算(6+6i)+(3-i)-(5-3i).分析:利用复数加、减法法则进行计算.解:(6+6i)+(3-i)-(5-3i)=(6+3-5)+(6-1+3)i=4+8i.绿色通道复数的加、减法运算,就是把实部与实部、虚部与虚部分别相加减,实部与实部相加减作实部、虚部与虚部相加减作虚部.变式训练1.已知z 1=2+i,z 2=1+2i,则复数z=z 2-z 1对应的点位于( )A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限 答案:B【例2】已知x 、y ∈R ,且i x +1+ii y 31521+=+,求x 、y 的值. 分析:复数通分太麻烦,可将每个分母的复数化为实数,再进行计算.解:i x +1+ii y 31521+=+可写成 2)1(i x -+5)21(i y -=10)31(5i -, 5x(1-i)+2y(1-2i)=5-15i,(5x+2y)-(5x+4y)i=5-15i,∴⎩⎨⎧=+=+.1545,525y x y x ∴⎩⎨⎧=-=.5,1y x 绿色通道本题为复数的除法运算,将每个分式的分母同乘分母的共轭复数,再由复数相等的定义,转化为实数方程组.变式训练2.求i i 3434+-+ii 3434-+的值. 解:原式=25)34()34(22i i ++-=2514. 【例3】计算i 2 006+(2+i 2)8-(i-12)50. 分析:利用i 的幂的周期性,(1±i)2=±2i 便可简便地求出结果.解:原式=i 501×4+2+(4i)4-(i22-)25 =-1+256-i=255-i.绿色通道注意复数计算中常用的整体.变式训练3.计算63)1()31(i i ++-. 解:原式=323])1[()]2321(2[i i ++-=388i =i. 【例4】设|z|=1且z≠±i,证明21z z +是实数.分析:(1)z 为复数可设出z=x+yi(x 、y ∈R ),再进行运算、判断;(2)由|z|=1转为z z =1,即z1=z ,进一步化简.证法一:设z=x+yi(x 、y ∈R ). 则xyi y x yi x yi x yi x z z 21)(112222+-++=+++=+=22222224)1()21)((yx y x xyi y x yi x +-+--++ =222222222224)1()1(22)1(y x y x i y x y yi x xy y x x +-+-++-+-+ =2222232234)1()()(yx y x i y y x y xy x x +-+--+++. ∵|z|=1,∴x 2+y 2=1.∴y-x 2y-y 3=y(1-x 2-y 2)=0. ∴222224)1(21y x y x x z z +-+=+∈R . 证法二:∵|z|=1,∴z z =1.∴z 1=z . ∴21z z +=zz z z+=+111. 设z=a+bi,则z+z =2a ∈R . ∴21zz +为实数. 变式训练4.已知x 、y 为共轭复数,且(x+y)2-3xyi=4-6i,求x 、y 及|x|+|y|.解:设x=a+bi,则y=a-bi,∴x+y=2a,xy=a 2+b 2.∵(x+y)2-3xyi=4-6i,∴4a 2-3(a 2+b 2)i=4-6i.∴⎪⎩⎪⎨⎧-=+-=.6)(3,44222b a a ∴⎪⎩⎪⎨⎧==.1,122b a ∴⎩⎨⎧==1,1b a 或⎩⎨⎧-==1,1b a 或⎩⎨⎧=-=1,1b a 或⎩⎨⎧-=-=.1,1b a ∴⎩⎨⎧-=+=i y i x 1,1或⎩⎨⎧+=-=i y i x 1,1或⎩⎨⎧--=+-=i y i x 1,1或⎩⎨⎧+-=+-=.1,1i y i x|x|=2,|y|=2,∴|x|+|y|=22.。
数学北师大版选修1-2 第4章 2.2 复数的乘法与除法
2.2 复数的乘法与除法学习目标 1.熟练掌握复数代数形式的加减乘除运算.2.理解复数乘法的交换律、结合律和乘法对加法的分配律.3.理解共轭复数的概念．知识点一复数的乘法及其运算律思考怎样进行复数的乘法运算？答案两个复数相乘，类似于两个多项式相乘，只要把已得结果中的i2换成－1，并且把实部与虚部分别合并即可．梳理(1)复数的乘法法则设z1＝a＋bi，z2＝c＋di是任意两个复数，那么它们的积(a＋bi)(c＋di)＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i.(2)复数乘法的运算律对于任意z1，z2，z3∈C，有交换律z1z2＝z2z1结合律(z1z2)z3＝z1(z2z3)乘法对加法的分配律z1(z2＋z3)＝z1z2＋z1z3知识点二共轭复数当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫作互为共轭复数，z的共轭复数用z表示．即当z＝a＋bi时，z＝a－bi.知识点三复数的除法法则设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R，z2≠0)，则z1z2＝a＋bic＋di＝ac＋bdc2＋d2＋bc－adc2＋d2i(c＋di≠0)．1．复数加减乘除的混合运算法则是先乘除，再加减．( √) 2．两个共轭复数的和与积是实数．( √)3．若z1，z2∈C，且z21＋z22＝0，则z1＝z2＝0.( ×)类型一 复数代数形式的乘法运算例1 (1)设(1＋2i)(a ＋i)的实部与虚部相等，其中a 为实数，则a ＝________.(2)已知复数z 1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12－32i (1＋i)，复数z 2的虚部为2，且z 1·z 2是实数，则z 2＝________. 答案 (1)－3 (2)4＋2i解析 (1)由(1＋2i)(a ＋i)＝a －2＋(2a ＋1)i 的实部与虚部相等，可得a －2＝2a ＋1，解得a ＝－3.(2)z 1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12－32i (1＋i)＝2－i. 设z 2＝a ＋2i ，z 1·z 2＝(2－i)(a ＋2i)＝(2a ＋2)＋(4－a)i. ∵z 1·z 2是实数，∴4－a ＝0，即a ＝4， ∴z 2＝4＋2i. 引申探究1．若本例(1)中复数(1＋2i)(a ＋i)表示的点在第二象限，则a 的取值范围是____________．答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，2 解析 (1＋2i)(a ＋i)＝a －2＋(2a ＋1)i ，由题意知⎩⎪⎨⎪⎧a －2<0，2a ＋1>0，解得－12<a<2.2．将本例(2)中“z 1·z 2是实数”改为“z 1·z 2是纯虚数”， 求z 2.解 由例1(2)知，z 1·z 2＝(2a ＋2)＋(4－a)i ，∵z 1·z 2是纯虚数，∴⎩⎪⎨⎪⎧2a ＋2＝0，4－a ≠0，解得a ＝－1，∴z 2＝－1＋2i.反思与感悟 (1)两个复数代数形式乘法的一般方法首先按多项式的乘法展开；再将i 2换成－1；然后再进行复数的加、减运算，化简为复数的代数形式． (2)常用公式①(a ＋bi)2＝a 2＋2abi －b 2(a ，b ∈R)； ②(a ＋bi)(a －bi)＝a 2＋b 2(a ，b ∈R)； ③(1±i)2＝±2i.跟踪训练1 (1)已知a ，b ∈R ，i 是虚数单位，若(1＋i)(1－bi)＝a ，则ab 的值为________．答案 2解析 因为(1＋i)(1－bi)＝1＋b ＋(1－b)i ＝a ， 又a ，b ∈R ，所以1＋b ＝a 且1－b ＝0，得a ＝2，b ＝1，所以ab＝2.(2)已知复数z 满足z (z ＋2)＝4＋3i ，求z. 解 设z ＝x ＋yi(x ，y ∈R)，则z ＝x －yi. 由题意知，(x －yi)(x ＋yi ＋2)＝4＋3i ，得⎩⎪⎨⎪⎧x (2＋x )＋y 2＝4，xy －y (x ＋2)＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1－112，y ＝－32或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1＋112，y ＝－32，所以z ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－1－112－32i 或z ＝⎝⎛⎭⎪⎫－1＋112－32i. 类型二 复数代数形式的除法运算例2 (1)已知i 为虚数单位，图中复平面内的点A 表示复数z ，则表示复数z1＋i的点是( )A ．MB ．NC ．PD ．Q 答案 D解析 由题图可知z ＝3＋i. ∴复数z 1＋i ＝3＋i 1＋i ＝(3＋i )(1－i )(1＋i )(1－i )＝4－2i 2＝2－i 表示的点是Q(2，－1)．故选D. (2)计算：①3＋2i 2－3i －3－2i2＋3i ；②(1＋i )71－i ＋(1－i )71＋i －(3－4i )(2＋2i )34＋3i . 解 ①方法一 3＋2i 2－3i －3－2i2＋3i＝(3＋2i )(2＋3i )－(3－2i )(2－3i )(2－3i )(2＋3i )＝6＋13i －6－6＋13i ＋64＋9＝26i13＝2i.方法二 3＋2i 2－3i －3－2i2＋3i＝i (2－3i )2－3i －－i (2＋3i )2＋3i＝i ＋i ＝2i.②原式＝[(1＋i)2]3·1＋i 1－i ＋[(1－i)2]3·1－i 1＋i －8(3－4i )(1＋i )2(1＋i )(3－4i )i＝(2i)3·i＋(－2i)3·(－i)－8·2i (1＋i )i＝8＋8－16－16i ＝－16i.反思与感悟 (1)两个复数代数形式的除法运算步骤 ①首先将除式写为分式；②再将分子、分母同乘以分母的共轭复数；③然后将分子、分母分别进行乘法运算，并将其化为复数的代数形式． (2)常用公式①1i ＝－i ；②1＋i 1－i ＝i ；③1－i 1＋i＝－i. 跟踪训练2 (1)i 是虚数单位，若2＋i 1＋i ＝a ＋bi(a ，b ∈R)，则log 2(a －b)的值是( )A ．1B.32C ．2D ．3(2)已知复数z 满足(1＋3i)z ＝1＋i ，则|z|＝________. 答案 (1)A (2)22解析 (1)2＋i 1＋i ＝(2＋i )(1－i )(1＋i )(1－i )＝32－12i ＝a ＋bi ， ∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝32，b ＝－12，log 2(a －b)＝log 22＝1. (2)(1＋3i)z ＝1＋i ，z ＝1＋i 1＋3i ＝(1＋i )(1－3i )(1＋3i )(1－3i )＝1＋3＋(1－3)i 4，∴|z|＝14(1＋3)2＋(1－3)2＝224＝22.类型三 共轭复数例3 (1)复数z 的共轭复数记作z .已知(1＋2i)(z －3)＝4＋3i ，则z ＝________. 答案 5＋i解析 ∵(1＋2i)(z －3)＝4＋3i ， ∴z －3＝4＋3i1＋2i，z ＝3＋4＋3i 1＋2i ＝3＋(4＋3i )(1－2i )(1＋2i )(1－2i )＝3＋10－5i5＝5－i ，则z ＝5＋i.(2)已知复数z 的共轭复数为z ，且z·(z －3i)＝101－3i，求z. 解 设z ＝a ＋bi(a ，b ∈R)，则z ＝a －bi ， 由z·(z －3i)＝101－3i ，得z z －3zi ＝1＋3i ，即a 2＋b 2＋3b －3ai ＝1＋3i ，由复数相等的条件，得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋b 2＋3b ＝1，－3a ＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝－3，所以z ＝－1或z ＝－1－3i.反思与感悟 当已知条件出现复数等式时，常设出复数的代数形式，利用相等复数的充要条件转化为实数问题求解．跟踪训练3 (1)已知i 是虚数单位，m ，n ∈R ，且m ＋2i ＝2－ni ，则m ＋nim －ni 的共轭复数为________．答案 i解析 由m ，n ∈R ，且m ＋2i ＝2－ni ， 可得m ＝2，n ＝－2，所以m ＋ni m －ni ＝2－2i 2＋2i ＝1－i 1＋i ＝(1－i )(1－i )2＝－i.所以它的共轭复数为i.(2)已知复数z 满足：z·z ＋2zi ＝8＋6i ，求复数z 的实部与虚部的和． 解 设z ＝a ＋bi(a ，b ∈R)，则z·z ＝a 2＋b 2，∴a 2＋b 2＋2i(a ＋bi)＝8＋6i ， 即a 2＋b 2－2b ＋2ai ＝8＋6i ，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋b 2－2b ＝8，2a ＝6，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝3，b ＝1，∴a ＋b ＝4，∴复数z 的实部与虚部的和是4.1．若复数z ＝21－i ，其中i 为虚数单位，则z 等于( )A ．1＋iB ．1－iC ．－1＋iD ．－1－i 答案 B解析 ∵z ＝21－i ＝2(1＋i )(1－i )(1＋i )＝2(1＋i )2＝1＋i ，∴z ＝1－i ，故选B.2．设复数z 1＝1＋i ，z 2＝m －i ，若z 1·z 2为纯虚数，则实数m 可以是( ) A ．iB ．i 2C ．i 3D ．i 4答案 B解析 z 1·z 2＝(1＋i)(m －i)＝m ＋1＋(m －1)i. ∵z 1·z 2为纯虚数，∴⎩⎪⎨⎪⎧m ＋1＝0，m －1≠0， 即⎩⎪⎨⎪⎧m ＝－1，m ≠1，得m ＝－1.∵i 2＝－1， ∴实数m 可以是i 2，故选B.3．设复数z ＝－1－i(i 为虚数单位)，z 的共轭复数为z ，则2－zz ＝________.答案 －1＋2i解析 ∵z ＝－1－i ，∴z ＝－1＋i ， 2－z z＝2－(－1＋i )－1－i ＝3－i－1－i＝－1＋2i.4．计算：(1)⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋32i (4i －6)；(2)(1－i )(1＋2i )1＋i.解 (1)⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋32i (4i －6) ＝12·4i＋12·(－6)＋32i·4i＋32i·(－6) ＝2i －3－6－9i ＝－9－7i. (2)(1－i )(1＋2i )1＋i＝(1－i )(1＋2i )(1－i )(1＋i )(1－i )＝(－2i )(1＋2i )2＝－i(1＋2i)＝2－i.5．已知复数z 满足|z|＝1，且(3＋4i)z 是纯虚数，求z 的共轭复数z . 解 设z ＝a ＋bi(a ，b ∈R)，则z ＝a －bi 且|z|＝a 2＋b 2＝1，即a 2＋b 2＝1.① 因为(3＋4i)z ＝(3＋4i)(a ＋bi)＝(3a －4b)＋(3b ＋4a)i ，而(3＋4i)z 是纯虚数， 所以3a －4b ＝0，且3b ＋4a ≠0.② 由①②联立，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝45，b ＝35或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－45，b ＝－35.所以z ＝45－35i 或z ＝－45＋35i.1．复数代数形式的乘除运算(1)复数代数形式的乘法类似于多项式乘以多项式，复数的乘法满足交换律、结合律以及乘法对加法的分配律．(2)在进行复数代数形式的除法运算时，通常先将除法写成分式的形式，再把分子、分母都乘以分母的共轭复数，化简后可得，类似于以前学习的分母有理化． 2．共轭复数的性质可以用来解决一些复数问题． 3．复数问题实数化思想复数问题实数化是解决复数问题的基本思想方法，其桥梁是设复数z ＝a ＋bi(a ，b ∈R)，利用复数相等的充要条件转化．一、选择题1．复数－i ＋1i 等于( )A ．－2iB.12iC ．0D ．2i答案 A解析 －i ＋1i ＝－i ＋ii 2＝－2i ，故选A.2．设复数z ＝1＋2i ，则z 2－2z 等于( ) A ．－3B ．3C ．－3iD ．3i 答案 A解析 z 2－2z ＝(1＋2i)2－2(1＋2i)＝1＋(2i)2＋22i －2－22i ＝－3. 3．已知复数z 1＝3－bi ，z 2＝1－2i ，若z 1z 2是实数，则实数b 等于( )A ．6B ．－6C ．0D.16答案 A解析 ∵z 1z 2＝3－bi 1－2i ＝(3－bi )(1＋2i )(1－2i )(1＋2i )＝3＋2b ＋(6－b )i5是实数，∴6－b ＝0，∴b ＝6，故选A.4．设i 是虚数单位，z 表示复数z 的共轭复数．若z ＝1＋i ，则zi ＋i·z 等于( )A ．－2B ．－2iC ．2D ．2i 答案 C解析 ∵z ＝1＋i ，∴z ＝1－i ，z i ＝1＋i i ＝－i 2＋ii ＝1－i ，∴zi＋i·z ＝1－i ＋i(1－i)＝(1－i)(1＋i)＝2.故选C. 5．已知复数z 满足2z ＋mz －3＝i ，且z 的实部与虚部之和为0，则实数m 等于( )A ．－3B ．－1C ．1D ．3 答案 B解析 由2z ＋mz －3＝i ，得z ＝m ＋3i －2＋i ＝(m ＋3i )(－2－i )(－2＋i )(－2－i )＝－2m ＋3－(6＋m )i 5＝－2m ＋35－6＋m5i.又z 的实部与虚部之和为0， 则－2m ＋35－6＋m 5＝0，解得m ＝－1. 6．设复数z ＝1－i(i 是虚数单位)，则2z ＋z 等于( )A ．2B ．－2C ．2iD ．－2i 答案 A解析 2z ＋z ＝21－i ＋1－i ＝2(1＋i )(1－i )(1＋i )＋1－i ＝1＋i ＋1－i ＝2.故选A.7．已知复数z ＝4＋bi1－i (b ∈R)的实部为－1，则复数z －b 在复平面上对应的点位于( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限答案 C解析 z ＝4＋bi 1－i ＝(4＋bi )(1＋i )(1－i )(1＋i )＝(4－b )＋(4＋b )i 2＝4－b 2＋4＋b2i ，又复数z ＝4＋bi1－i (b ∈R)的实部为－1，则4－b2＝－1，即b ＝6. ∴z ＝－1＋5i ， 则z ＝－1－5i.复数z －b ＝－1－5i －6＝－7－5i ，在复平面上对应的点的坐标为(－7，－5)，位于第三象限．故选C. 8．若复数z 满足2z ＋z ＝3－2i ，其中i 为虚数单位，则z 等于( ) A ．1＋2i B ．1－2i C ．－1＋2i D ．－1－2i答案 B解析 设z ＝a ＋bi(a ，b ∈R)，则z ＝a －bi ，∴2z ＋z ＝2(a ＋bi)＋(a －bi)＝3－2i ， 整理得3a ＋bi ＝3－2i ，∴⎩⎪⎨⎪⎧3a ＝3，b ＝－2，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝－2，∴z ＝1－2i ，故选B.二、填空题9．复数a －2i1＋2i (i 是虚数单位)是纯虚数，则实数a 的值为________．答案 4 解析 a －2i 1＋2i ＝(a －2i )(1－2i )(1＋2i )(1－2i )＝a －4－2(a ＋1)i5＝a －45－2(a ＋1)5i. ∵复数a －2i 1＋2i 是纯虚数，∴⎩⎪⎨⎪⎧a －45＝0，－2(a ＋1)5≠0，解得a ＝4.10．已知a ＋2i i ＝b ＋i(a ，b ∈R)，其中i 为虚数单位，则a ＋b ＝________.答案 1 解析a ＋2ii＝2－ai ＝b ＋i ， 即⎩⎪⎨⎪⎧b ＝2，－a ＝1，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝2，∴a ＋b ＝1.11．若复数z 满足(3－4i)z ＝4＋3i ，|z|＝________. 答案 1解析 因为(3－4i)z ＝4＋3i ，所以z ＝4＋3i 3－4i ＝(4＋3i )(3＋4i )(3－4i )(3＋4i )＝25i25＝i.则|z|＝1. 三、解答题12．已知复数z ＝(1－i )2＋3(1＋i )2－i .(1)求z 的共轭复数z ；(2)若az ＋b ＝1－i ，求实数a 与b 的值．解 (1)∵z ＝－2i ＋3＋3i 2－i ＝3＋i 2－i＝1＋i ， ∴z ＝1－i.(2)a(1＋i)＋b ＝1－i ，即a ＋b ＋ai ＝1－i ，∴⎩⎪⎨⎪⎧ a ＋b ＝1，a ＝－1， 解得a ＝－1，b ＝2.13．已知i 是虚数单位，且复数z 满足(z －3)(2－i)＝5.(1)求z 及|z －2＋3i|；(2)若z·(a＋i)是纯虚数，求实数a 的值．解 (1)∵(z －3)(2－i)＝5，∴z ＝52－i ＋3＝5(2＋i )(2－i )(2＋i )＋3 ＝(2＋i)＋3＝5＋i.∴|z －2＋3i|＝|3＋4i|＝32＋42＝5.(2)由(1)可知，z ＝5＋i ，∴z·(a＋i)＝(5＋i)(a ＋i)＝(5a －1)＋(a ＋5)i.又z·(a＋i)是纯虚数，∴5a －1＝0且a ＋5≠0，解得a ＝15. 四、探究与拓展14．如图，在复平面内，复数z 1，z 2对应的向量分别是OA →，OB →，则复数z 1z 2对应的点位于第________象限．答案 二解析 由复数的几何意义知，z 1＝－2－i ，z 2＝i ，所以z 1z 2＝－2－i i＝－1＋2i ，对应的点在第二象限． 15．已知z 是复数，z ＋2i 与z 1－i均为实数(i 为虚数单位)，且复数(z ＋ai)2在复平面内对应的点在第一象限，求实数a 的取值范围．解 因为z 是复数，z ＋2i 与z 1－i均为实数， 所以可设z ＝x －2i.由x －2i 1－i ＝(x －2i )(1＋i )2＝2＋x ＋(x －2)i 2， 可得x ＝2.因为复数(z ＋ai)2＝(2－2i ＋ai)2＝－a 2＋4a ＋4(a －2)i ，又复数(z ＋ai)2在复平面内对应的点在第一象限，所以⎩⎪⎨⎪⎧ －a 2＋4a>0，4(a －2)>0， 所以⎩⎪⎨⎪⎧ 0<a<4，a>2，即2<a<4.所以实数a 的取值范围为(2,4)．。
【精品课件】高中数学42第2课时复数的乘法与除法课件北师大版选修1-2
[解析] 由题意可得yx＝＋－2＝13x ，∴yx＝＝－1 1 .
复数的除法
思维导航 2．由共轭复数的定义和复数乘法的运算知，一个虚数与其共轭复数的乘积是一
个实数．
在实数运算中，当分母是无理式时，我们进行过分母有理化的运算，那么在复数 除法运算中，可不可以定义除法是乘法的逆运算，然后进行分母实数化(即乘以 分母的共轭复数)呢？
[解析] ∵z1＝2＋i，z1与z2关于虚轴对称，∴z2＝－2＋i， ∴z1z2＝－1－4＝－5，故选A.
2设a∈R，且(a＋i)2i为正实数，则a＝( )
A．2
B．1
C．0
D．－1
[答案] D
[分析] 利用复数乘法法则得到代数形式，进而由复数的分类解决．
[解析] 因为(a＋i)2i＝(a2＋2ai＋i2)i＝a2i＋2ai2＋i3＝－2a
成才之路 ·数学
北师大版 ·选修1-2
路漫漫其修远兮 吾将上下而求索
数系的扩充与复数的引入 第四章
§2 复数的四则运算 第2课时 复数的乘法与除法
第四章
1 自主预习学案 2 典例探究学案 3 巩固形式的乘法和除法运算． 理解复数乘法的交换律、结合律和乘法对加法的分配律． 理解共轭复数的概念．
新知导学 8．复数的除法 复数的除法是将分子、分母同乘以分母的共轭复数，将分 母实数化，再化简． 即(a＋bi)÷(c＋di)＝ac＋＋dbii＝ac＋＋dbiicc－－ddii＝ __ac_c2_＋＋__bd_d2 _＋__bc_c2_－＋__ad_d2 _i __，复数除法运算的实质是_分__母__实__数__化__． 9．两个复数的平方和为零是这两个复数同时为零的 _必__要__不__充__分_____条件．
(教师用书)高中数学 4.2.2 复数的乘法与除法课件 北师大版选修1-2
(1)(2013· 浙江高考)已知i是虚数单位，则(2＋i)(3＋i)＝ ( A．5－5i C．5＋5i B．7－5i D．7＋5i )
(2)设a∈R，若(a－i)2i(i为虚数单位)为正实数，则a等于 ( A．2 B．1 C ．0 D．－1 )
【解析】 (1)(2＋i)(3＋i)＝6＋5i＋i2＝5＋5i. (2)∵(a－i)2i＝[(a2－1)－2ai]i＝2a＋(a2－1)i.
1．在进行复数除法运算时，有以下两种方法： (1)利用除法法则进行运算； a＋bi (2)把(a＋bi)÷ (c＋di)写成 的形式，再把分子与分母 c＋di 同乘以分母的共轭复数，并进行化简整理． 2．对于有些复数的除法，可类比分式的化简，约去公 因式，再进行除法运算，比如例2第(2)题的方法二．
cx－dy＝a， dy)＋(cy＋dx)i＝a＋bi.根据复数相等的定义， cy＋dx＝b，
ac＋bd bc－ad 解得x＝ 2 2 ，y＝ 2 2， c ＋d c ＋d a＋bi ac＋bd bc－ad ∴ ＝ ＋ i. c＋di c2＋d2 c2＋d2
1．复数的乘法 (1)定义：(a＋bi)(c＋di)＝ (ac－bd)＋(ad＋bc)i . (2)运算律 ①对任意 z1，z2，z3∈C，有 z1 交换律 z1 · z2＝ z2· (z2 · z3 ) 结合律 (z1· z2)· z3＝ z1· 乘法对加法 z1(z2＋z3)＝ z1z2＋z1z3 的分配律 ②复数的乘方 对任意复数 z，z1，z2 和正整数 m，n，有 n n m＋n mn m n m n n z z z z · z＝ ，(z ) ＝ ，(z1z2) ＝ 1z2 .
2a＞0， ∴ 2 a －1＝0，
解得a＝1.
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青海师范大学附属第二中学高中数学 4.2.2 复数代数形式
的乘除运算习题课 选修1-2
一、基础过关
1． 复数1－2＋i ＋1
1－2i
的虚部是
( )
A.1
5
i
B.15 C ．－1
5
i D ．－1
5
2． 复数2＋i
1－2i
的共轭复数是
( )
A ．－3
5
i
B.3
5
I C ．－i D ．i 3． 若(m 2
－5m ＋4)＋(m 2
－2m )i>0，则实数m 的值为
( )
A ．1
B ．0或2
C ．2
D ．0 4． 设a ，b ∈R 且b ≠0，若复数(a ＋b i)3
是实数，则
( ) A ．b 2
＝3a 2
B ．a 2＝3b 2
C ．b 2
＝9a 2
D ．a 2
＝9b 2
5． 设i 是虚数单位，复数1＋a i
2－i
为纯虚数，则实数a 为
( ) A ．2 B ．－2 C ．－12
D.12
6． 复平面内点A 、B 、C 对应的复数分别为i 、1、4＋2i ，由A →B →C →D 按逆时针顺序作
平行四边形ABCD ，则|BD →
|等于 ( )
A ．5 B.13 C.15
D.17
二、能力提升
7．已知复数z ＝2－i
1－i ，其中i 是虚数单位，则|z |＝________.
8．已知(a －i)2
＝2i ，那么实数a ＝________.
9．设复数z 满足条件|z |＝1，那么|z ＋22＋i|的最大值是________．
10．已知a ∈R ，则z ＝(a 2
－2a ＋4)－(a 2
－2a ＋2)i 所对应的点在第几象限？复数z 对应的
点的轨迹是什么？
11．设复数z ＝1＋i
2
＋31－i 2＋i
，若z 2
＋a ·z ＋b ＝1＋i ，求实数a ，b 的值．
12．在复平面内，O 是原点，向量OA →
对应的复数是2＋i.
(1)如果点A 关于实轴的对称点为B ，求向量OB →
对应的复数； (2)如果(1)中点B 关于虚轴的对称点为C ，求点C 对应的复数．。