北京中考数学§3.3 反比例函数(试题部分)

当m=1时,点A的坐标为(1,0),点B的坐标为(3,0),当x=1时,y= 3x =3,∴直线l1与双曲线的交点坐标 为(1,3);当x=3时,y= 3x =1,∴直线l2与双曲线的交点坐标为(3,1).
∵ (1 0)2 (3 0)2 = (3 0)2 (1 0)2 ,∴当m=1时,两直线与双曲线的交点到原点的距离相等,选 项B中结论正确;当-2<m<0时,0<m+2<2,故两直线与双曲线的交点在y轴两侧,选项C中结论正 确;当两直线与双曲线都有交点时,不可能出现两个交点的纵坐标相同,而两直线的距离为2,故 这两交点的距离一定大于2,选项D中结论错误.故选D.
1.(2018辽宁沈阳,9,2分)点A(-3,2)在反比例函数y= k (k≠0)的图象上,则k的值是 ( )
x
A.-6 B.- 3 C.-1 D.6
2
答案
A
把

x y

3, 2
代入y= k ,得2= k ,∴k=-6.
x
3
2.(2018江西,6,3分)在平面直角坐标系中,分别过点A(m,0),B(m+2,0)作x轴的垂线l1和l2,探究直线
思路分析 (1)由点P(2,m)在双曲线y= 8 上求m的值.
x
(2)通过PA与AB的数量关系画出正确的示意图,同时要关注P,A,B这三个点的相对位置关系,即 要考虑分类讨论. 解题关键 解决本题的关键是要画出正确的示意图,并通过相似三角形的判定与性质求解.
教师专用题组
考点一 反比例函数的图象和性质
x
线AC的中点D,若矩形OABC的面积为8,则k的值为
.
答案 2 解析 设D(xD,yD),xD>0,yD>0,过D分别作DE⊥OA,DF⊥OC,则DF=xD,DE=yD,且DF∥OA,DE∥OC, ∵点D为AC的中点,∴OA=2DF=2xD,OC=2DE=2yD.∵矩形OABC的面积等于8,∴OA·OC=8, 即2xD·2yD=8,∴xDyD=2.
又点D在反比例函数y= k (k≠0,x>0)的图象上,
x
∴k=xDyD=2.
12.(2015甘肃兰州,19,4分)如图,点P、Q是反比例函数y= k 图象上的两点,PA⊥y轴于点A,QN⊥
x
x轴于点N,作PM⊥x轴于点M,QB⊥y轴于点B,连接PB、QM,△ABP的面积记为S1,△QMN的面
积记为S2,则S1
解题关键 正确求出点的坐标及由点的坐标求相关线段的长度是分析四个选项正误的关键.
3.(2018云南昆明,14,4分)如图,点A在双曲线y= k (x>0)上,过点A作AB⊥x轴,垂足为点B,分别以
x
点O和点A为圆心,大于 1 OA的长为半径作弧,两弧相交于D,E两点,作直线DE交x轴于点C,交y
2
答案 B 因为点A(a,b)在反比例函数y= 2 的图象上,所以b= 2 ,即ab=2,因此ab-4=-2,故选B.
x
a
9.(2015甘肃兰州,12,4分)若点P1(x1,y1),P2(x2,y2)在反比例函数y= kx (k>0)的图象上,且x1=-x2,则
()
A.y1<y2 B.y1=y2 C.y1>y2 D.y1=-y2
解析 (1)∵点P(2,2)在反比例函数y= k (x>0)的图象上,
x
∴ k =2,即k=4.
3.(2015北京,23,5分)在平面直角坐标系xOy中,直线y=kx+b(k≠0)与双曲线y= 8 的一个交点为
x
P(2,m),与x轴、y轴分别交于点A,B.
(1)求m的值; (2)若PA=2AB,求k的值.
解析 (1)∵双曲线y= 8 过点P(2,m),
x
∴m=4. (2)由题意可知,k>0. 当直线经过第一、二、三象限时,如图1.
x
解析 因为反比例函数y= k (k≠0)在其图象所在的每个象限内y的值随着x的值增大而增大,所
x
以k<0.只需满足k<0即可,此题答案不唯一.
15.(2018吉林,18,5分)在平面直角坐标系中,反比例函数y= k (k≠0)图象与一次函数y=x+2图象
x
的一个交点为P,且点P的横坐标为1,求该反比例函数的解析式. 解析 ∵点P的横坐标为1,∴x=1. ∵点P在直线y=x+2上,∴y=3. ∴P(1,3). (2分)
解析 当反比例函数的图象经过点B时,由点B的坐标为(2,2),得k的值为4,由反比例函数的图象 可知,要满足题意,只需0<k≤4.
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2.(2017北京,23,5分)如图,在平面直角坐标系xOy中,函数y= k (x>0)的图象与直线y=x-2交于点
x
A(3,m). (1)求k,m的值. (2)已知点P(n,n)(n>0),过点P作平行于x轴的直线,交直线y=x-2于点M,过点P作平行于y轴的直
将P(1,3)代入y= k 中,∴k=3. (4分)
x
∴该反比例函数的解析式为y= 3 . (5分)
x
16.(2018河南,18,9分)如图,反比例函数y= k (x>0)的图象过格点(网格线的交点)P.
x
(1)求反比例函数的解析式; (2)在图中用直尺和2B铅笔画出两个矩形(不写画法),要求每个矩形均需满足下列两个条件: ①四个顶点均在格点上,且其中两个顶点分别是点O,点P; ②矩形的面积等于k的值.
x
A.0<y<1 B.1<y<2 C.2<y<6 D.y>6
答案 C 由反比例函数的性质可得,当1<x<3时,y随x的增大而减小,故2<y<6.故选C.
8.(2015江苏苏州,6,3分)若点A(a,b)在反比例函数y= 2x 的图象上,则代数式ab-4的值为 ( )
A.0 B.-2 C.2 D.-6
图1 过点P作PH⊥x轴于点H,可得△PHA∽△BOA,
∵PA=2AB,∴ PH = PA =2.
BO BA
∵PH=4,∴OB=2.∴点B的坐标为(0,2). 由直线经过点P,B,可得k=1. 当直线经过第一、三、四象限时,如图2.
图2 同理,由PA=2AB,可得点B的坐标为(0,-2). 由直线经过点P,B,可得k=3. 综上所述,k=1或k=3.
线,交函数y= k (x>0)的图象于点N.
x
①当n=1时,判断线段PM与PN的数量关系,并说明理由; ②若PN≥PM,结合函数的图象,直接写出n的取值范围.
解析 (1)∵直线y=x-2经过点A(3,m),∴m=1.
又∵函数y= k (x>0)的图象经过点A(3,1),∴k=3.
x
(2)①PM=PN.理由:当n=1时,点P的坐标为(1,1), ∴点M的坐标为(3,1),点N的坐标为(1,3), ∴PM=PN=2. ②n的取值范围是0<n≤1或n≥3.
∴OG= 2 5 ,∴AO= 4 5 .
5
5
易证△FOC∽△OBA,∴
S S
OBA FOC
=

OA FC
2
,∴S△OBA= 16 .
25
∴k=2S△OBA= 32 ,故选B.
25
思路分析 根据作图方法可以判定DE垂直平分线段OA,则OC=AC=1,在Rt△FOC中求得CF的
长,从而求出OG的长,进而求出AO的长,再判定△FOC∽△OBA,通过相似三角形面积比等于相
答案 C 过点A作菱形ABCO的高AE,在Rt△AEO中,AE=4,EO=3,由勾股定理得AO=5,所以AB
=5,所以B点坐标为(-8,4),又点B在y= k (x<0)的图象上,所以4= k ,得k=-32,故选C.
x
8
7.(2015天津,9,3分)已知反比例函数y= 6 ,当1<x<3时,y的取值范围是 ( )
x
k=m2=-2m,解得m1=-2,m2=0(舍去),∴k=4,∴反比例函数的表达式为y= 4x .
方法指导 本题考查的是反比例函数图象上点的坐标的特点,熟知反比例函数中k=xy为定值 是解答此题的关键.
11.(2016广西南宁,17,3分)如图所示,反比例函数y= k (k≠0,x>0)的图象经过矩形OABC的对角
中考数学 (北京专用)
§3.3 反比例函数
五年中考
2014-2018年北京中考题组
1.(2014北京,11,4分)如图,在平面直角坐标系xOy中,正方形OABC的边长为2.写出一个函数y= k
x
(k≠0),使它的图象与正方形OABC有公共点,这个函数的表达式为
.
答案 y= (答案不唯一,满足0<k≤4即可)
坐标都是整数)的个数为k,则反比例函数y= k (x>0)的图象是 ( )
x
答案 D 对于y=-x2+3,当y=0时,x=± 3 ;当x=±1时,y=2;当x=0时,y=3,所以抛物线y=-x2+3与x轴 围成封闭区域内(边界除外)的整点(点的横、纵坐标都是整数)为(-1,1),(0,1),(0,2),(1,1),共有4
似比的平方求出S△OBA,即可得到k的值.
解后反思 本题考查了基本作图,勾股定理,相似三角形的性质和判定以及反比例函数y= k 中k
x
的几何意义.根据题意求得△OBA的面积即可求得k的值.
4.(2016天津,11,3分)若点A(-5,y1),B(-3,y2),C(2,y3)在反比例函数y= 3x 的图象上,则y1,y2,y3的大小关
轴于点F(0,2),连接AC,若AC=1,则k的值为 ( )
A.2 B. 32 C. 4 3
25
5
D. 2 5 2 5
答案 B 设DE与AO交于点G, 由题意知,DE为线段OA的垂直平分线, ∴DE⊥AO,OG=AG,∴OC=AC=1, 在Rt△FOC中,CF= OC2 OF2 = 5 ,
a 1
若曲线y= 3 (x>0)与正方形ABCD的边有交点,则a的取值范围是 3 -1≤a≤ 3 .
x
14.(2014上海,14,4分)已知反比例函数y= k (k是常数,k≠0),在其图象所在的每个象限内,y的值
x
随着x的值增大而增大,那么这个反比例函数的解析式可以是
(只需写一个).
答案 y=- 1 (答案不唯一)
系是 ( )
A.y1<y3<y2 B.y1<y2<y3
C.y3<y2<y1 D.y2<y1<y3
答案 D y= 3 的图象过第一、三象限,且在每一个象限内,y随x的增大而减小,
x
∵A、B在第三象限, 且-5<-3,∴y2<y1<0. ∵C在第一象限,∴y3>0, ∴y2<y1<y3.故选D.
5.(2017河北,15,2分)如图,若抛物线y=-x2+3与x轴围成封闭区域内(边界除外)整点(点的横、纵
S2.(填“>”或“<”或“=”)
答案 = 解析 由反比例函数的性质得,S矩形APMO=S矩形BONQ.同时减去公共部分后,所得两个矩形的面积仍 相等,即2S△ABP=2S△MNQ,故S1=S2.
13.(2015浙江绍兴,15,5分)在平面直角坐标系的第一象限内,边长为1的正方形ABCD的边均平
个,∴k=4,∴反比例函数y= 4 的图象经过点(4,1),故选D.
x
6.(2015江苏连云港,7,3分)如图,O为坐标原点,菱形OABC的顶点A的坐标为(-3,4),顶点C在x轴
的负半轴上,函数y= k (x<0)的图象经过顶点B,则k的值为 ( )
x
A.-12 B.-27 C.-32 D.-36
答案 D 由题意,得xy=k,因为k是定值,所以当x1=-x2时,y1=-y2,故选D.
10.(2018陕西,13,3分)若一个反比例函数的图象经过点A(m,m)和B(2m,-1),则这个反比例函数的
表达式为
.
答案 y= 4
x
解析 设反比例函数的表达式为y= k (k≠0),∵反比例函数的图象经过点A(m,m)和B(2m,-1),∴
l1,直线l2与双曲线y= 3x 的关系,下列结论中 错误的是 (
)
A.两直线中总有一条与双曲线相交
B.当m=1时,两直线与双曲线的交点到原点的距离相等
C.当-2<m<0时,两直线与双曲线的交点在y轴两侧
D.当两直线与双曲线都有交点时,这两交点的最短距离是2
答案 D 由于m、m+2不同时为零,所以两直线中总有一条与双曲线相交,选项A中结论正确;
行于坐标轴,A点的坐标为(a,a),如图.若曲线y= 3 (x>0)与此正方形的边有交点,则a的取值范围
x
是
.
答案 3 -1≤a≤ 3
解析 由A(a,a)及正方形ABCD的边长为1可得C(a+1,a+1),当点A在曲线上时,a= 3 ⇒a= 3(负
a
值舍去).
当点C在曲线上时,a+1= 3 ⇒a=-1+ 3(负值舍去).