二次函数应用题分类与解析

二次函数应用题分类解析

二次函数是初中学段的难点，学生学起来觉的比较的吃力，可以把应用问题进行分类： 第一类、利用待定系数法

对于题目明确给出两个变量间是二次函数关系，并且给出几对变量值，要求求出函数关系式，并进行简单的应用。解答的关键是熟练运用待定系数法，准确求出函数关系式。

例1． 某公司生产的A 种产品，它的成本是2元，售价是3元，年销售量为100万件，为了获得更好的效益，公司准备拿出一定的资金做广告。根据经验，每年投入的广告费是x （十万元）时，产品的年销售量将是原销售量的y 倍，且y 是x 的二次函数，它们的关系如下表：

（1）求y 与x 的函数关系式；

（2）如果把利润看作是销售总额减去成本费和广告费，试写出年利润S （十万元）与广告费x （十万元）的函数关系式；

（3）如果投入的年广告费为10—30万元，问广告费在什么范围内，公司获得的年利润随广告费的增大而增大？

析解：（1）因为题中给出了y 是x 的二次函数关系，所以用待定系数法即可求出y 与x 的函数关

系式为

1x 53

x 101y 2++=

（2）由题意得S=10y(3-2)-x 10x 5x 2

++-=

（3）由（2）

465

)25x (10x 5x S 22+

--=++-=及二次函数性质知，当1≤x ≤2.5，即广告费在10—25万元之间时，S 随广告费的增大而增大。

二、分析数量关系型

题设结合实际情景给出了一定数与量的关系，要求在分析的基础上直接写出函数关系式，并进行应用。解答的关键是认真分析题意，正确写出数量关系式。

例2． 某化工材料经销公司购进了一种化工原料共7000千克，购进价格为每千克30元。物价部门规定其销售单价不得高于每千克70元，也不得低于30元。市场调查发现：单价定为70元时，日均销售60千克；单价每降低1元，日均多售出2千克。在销售过程中，每天还要支出其它费用500元（天数不足一天时，按整天计算）。设销售单价为x 元，日均获利为y 元。

（1）求y 关于x 的二次函数关系式，并注明x 的取值范围；

（2）将（1）中所求出的二次函数配方成

a 4

b a

c 4)a 2b x (a y 2

2-+

+=的形式，写出顶点坐标；

在图2所示的坐标系中画出草图；观察图象，指出单价定为多少元时日均获得

最多，是多少？

（3）若将这种化工原料全部售出，比较日均获利最多和销售单价最高这两种销售方式，哪一种获总利较多，多多少？

析解：（1）若销售单价为x 元，则每千克降低（70-x ）元，日均多售出2（70-x ）千克，日均销售量为[60+2(70-x)]千克，每千克获利为(x-30)元。根据题意得

6500x 260x 2500)]x 70(260)[30x (y 2-+-=--+-=（30≤x ≤70）。

（2）

1950)65x (26500)x 130x (2y 22+--=---=。顶点坐标为（65，1950），草图略，当单价定为65元时，日均获利最多，是1950元。

（3）列式计算得，当日均获利最多时，可获总利195000元；当销售单价最高时，可获总利221500元。故当销售单价最高时获总利较多，且多获利221500-195000=26500元。

三、建模型

即要求自主构造二次函数，利用二次函数的图象、性质等解决实际问题。这类问题建模要求高，有一定难度。

例3．如图4，有一块铁皮，拱形边缘呈抛物线状，MN=4dm ，抛物线顶点处到边MN 的距离是4dm ，要在铁皮上截下一矩形ABCD ，使矩形顶点B 、C 落在边MN 上，A 、D 落在抛物线上，问这样截下去的矩形铁皮的

周长能否等于8dm ？

析解：由“抛物线”联想到二次函数。如图4，以MN

所在的直线为x 轴，点M 为原点建立直角坐标系。设抛物线的顶点为P ，则M （0，0），N （4，0），P （2，

4）。用待定系数法求得抛物线的解析式为

x 4x y 2

+-=。 设A 点坐标为（x ，y ），则AD=BC=2x-4，AB=CD=y 。于是2(2)x 4x (2)4x 2(2y 2AD 2AB 2l 2

++-=-+=+=

8x 12x 2)4x 2(2)x 4x (2)4x 2(2y 2AD 222-+-=-++-=-+=+。且x 的取值范围是0

若l=8，则88x 12x 22=-+-，即08x 6x 2

=+-。解得4x 2x 21==，。

而0

例4..某环保器材公司销售一种市场需求较大的新型产品,已知每件产品的进价为40元,经销过程中测出销售量y (万件)与销售单价x (元)存在如图所示的一次函数关系,每年销售该种产品的总开支z (万元)(不含进价)与年销量y (万件)存在函数关系z =10y +42.5. (1)求y 关于x 的函数关系式;

(2)度写出该公司销售该种产品年获利w (万元)关于销售单价x (元)的函数关系式;(年获利=年销售总金额-年销售产品的总进价-年总开支金额)当销售单

价x 为何值时,年获利最大?最大值是多少?

(3)若公司希望该产品一年的销售获利不低于57.5万元,请你利用(2)小题中的函数图象帮助该公司确定这种产品的销售单价的范围

在此条件下要使产品的销售量最大,你认为销售单价应定为多少元? .解:(1)由题意,设y =kx +b ,图象过点(70,5),(90,3), ∴570,390.

k b k b =+⎧⎨

=+⎩解得1,1012.k b ⎧

=-

⎪⎨⎪=⎩

∴y =110

-x +12.…………………………………………3分 (2)由题意,得w =y (x -40)-z =y (x -40)-(10y +42.5)=(110

-x +12)(x -10)-10(110

-x +12)-42.5

=-0.1x 2+17x -642.5=110

-(x -85)2

+80.

当85元时,年获利的最大值为80万元. ……………………………………………………6分 (3)令w =57.5,得-0.1x 2

+17x -642.5=57.2. 整理,得x 2

-170x +7000=0. 解得x 1=70,x 2=100.

由图象可知,要使年获利不低于57.5万元,销售单价应在70元到100元之间.又

因为销售单价越低,销售量越大,所以要使销售量最大,又使年获利不低于57.5万元,销售单价应定为70

元.………………………………10分 四：利润最大(小)值问题 知识要点：

二次函数的一般式c bx ax y ++=2

(0≠a )化成顶点式a

b a

c a b x a y 44)2(2

2-++=，如果自变量的取值范围是全体实数，那么函数在顶点处取得最大值（或最小值）．