二次函数应用题分类与解析
二次函数的应用题解析
二次函数的应用题解析二次函数是一种常见的数学函数，其表达式为 y = ax^2 + bx + c，其中 a、b、c 是实数，且 a 不为零。
二次函数在数学领域有广泛的应用，尤其在物理学、经济学和工程学等实际问题中。
本文将通过几个具体的应用题，来解析二次函数的运用。
1. 弹跳高度问题假设有一个物体从 10 米的高度自由落下，每次弹起的高度是上一次的 0.8 倍。
问经过多次弹跳后，物体的总弹起高度是多少。
解析：设经过 n 次弹跳后，物体的总弹起高度为 H(n)。
第一次弹跳后，高度为 10 * 0.8 = 8 米。
第二次弹跳后，高度为 8 * 0.8 = 6.4 米。
可知第 n 次弹跳的高度为 10 * (0.8)^n 米。
因此，物体的总弹起高度为 H(n) = 10 + 10 * 0.8 + 10 * (0.8)^2 + ... + 10 * (0.8)^n 米。
2. 投掷问题一个物体从地面抛出，并以初速度 20 米/秒和抛出角度 45 度的方式进行抛射。
求该物体的运动方程，并计算它的最大高度和飞行时间。
解析：设物体的运动方程为 y = ax^2 + bx + c。
由于抛体运动的轨迹是一个抛物线，因此可以使用二次函数来描述。
首先，我们需要确定二次函数的系数。
由于初速度和角度已知，可以通过物理公式得到 x 方向和 y 方向的运动方程：x(t) = v0 * cosθ * ty(t) = v0 * sinθ * t - (1/2) * g * t^2其中，v0 是初速度，θ 是抛出角度，t 是时间，g 是重力加速度。
将x(t) 和 y(t) 代入二次函数的表达式中，得到物体的运动方程。
最大高度可以通过求解二次函数的顶点坐标得到，顶点的 x 坐标即为最大高度对应的时间。
飞行时间可以通过求解二次函数的 x 轴上的两个根得到，即物体在地面上的两个交点对应的时间。
3. 利润最大化问题一个公司生产某种产品，每个产品的售价为 p 元，每个产品的生产成本为 c 元。
二次函数的应用题总结
二次函数的应用一、顶点坐标公式的应用（基本题型）1、某超市销售某种品牌的纯牛奶，已知进价为每箱40元，生产厂家要求每箱的售价在40元~70元之间．市场调查发现：若每箱50 元销售，平均每天可销售90 箱，价格每降低1 元，平均每天多销售3 箱；价格每升高1 元，平均每天少销售3 箱．（1）写出平均每天的销售量y（箱）与每箱售价x（元）之间的函数关系式（注明自变量x 的取值范围）；（2）求出超市平均每天销售这种牛奶的利润W（元）与每箱牛奶的售价x（元）之间的二次函数关系式（每箱的利润b 24ac b 2=售价－进价）；（3）请把（2）中所求出的二次函数配方成y a（x ）2的形式，并指出当x=40、70 时，2a 4aW 的值．（4）在坐标系中画出（2）中二次函数的图象，请你观察图象说明：当牛奶售价为多少时，平均每天的利润最大？最大利润为多少？练习：2、我市有一种可食用的野生菌，上市时，外商李经理按市场价格30 元/千克收购了这种野生菌1000 千克存放入冷库中，据预测，该野生菌的市场价格将以每天每千克上涨 1 元；但冷冻存放这批野生菌时每天需要支出各种费用合计310 元，而且这类野生菌在冷库中最多保存160 天，同时，平均每天有 3 千克的野生菌损坏不能出售．（1）设x天后每千克该野生菌的市场价格为y元，试写出y与x之间的函数关系式．（2）若存放x天后，将这批野生菌一次性出售，设这批野生菌的销售总额为P元，试写出P与x之间的函数关系式．（3）李经理将这批野生茵存放多少天后出售可获得最大利润W 元？（利润＝销售总额－收购成本－各种费用）练习3、汽车城销售某种型号的汽车，每辆进货价为25 万元，市场调研表明：当销售价为29 万元时，平均每周能售出8 辆，而当销售价每降低0.5 万元时，平均每周能多售出4 辆．如果设每．辆．汽车降价x 万元，每辆汽车的销售．利．润．为y 万元．（销售利润销售价进货价）（1）求y 与x的函数关系式；在保证商家不亏本的前提下，写出x的取值范围；（3 分）（2）假设这种汽车平均每周．．的销售利润为z万元，试写出z与x之间的函数关系式；（3分）（3）当每辆汽车的定价为多少万元时，平均每周的销售利润最大？最大利润是多少？（ 4 分）练习4、某集团将下设的内部小型车场改为对外开放的收费停车场。
二次函数方程的应用题解析
二次函数方程的应用题解析二次函数方程是高中数学中重要的一部分，它在实际生活和各个领域中有着广泛的应用。
本文将从实际问题出发，通过解析具体的应用题，介绍二次函数方程的应用方法和解题思路。
1. 弹射物体的高度计算假设一球从地面上以速度v0垂直上抛，经过时间t后，求球的高度h。
根据物理知识，球的高度h与时间t之间的关系可以用二次函数方程h=-gt^2+vt表示，其中g是自由落体加速度。
解题步骤：（1）确定二次函数的三要素，即开口方向、平移和伸缩等。
（2）将问题中已知的速度v0和时间t代入二次函数方程，解得球的高度h。
2. 投影问题假设有一个斜抛运动，以速度v0沿着夹角α斜抛出去，求物体的水平位移x和垂直位移y。
解题步骤：（1）将水平方向和垂直方向的速度分解，分别为v0cosα和v0sinα。
（2）根据时间t的不同，将x和y分别表达为关于t的函数。
（3）令y=0，求解方程得到物体落地的时间t0。
（4）将t0代入x的函数中，求解物体的水平位移x。
3. 关于顶点的最值问题对于二次函数方程f(x)=ax^2+bx+c，其中a>0，顶点的横坐标为x0=-b/2a。
（1）最值问题：若a>0，则f(x)在x0处取得最小值，最小值为f(x0)。
（2）最值问题：若a<0，则f(x)在x0处取得最大值，最大值为f(x0)。
通过上述例题，我们不难发现，二次函数方程在解决实际问题中起到了重要的作用。
掌握二次函数方程的应用方法和解题思路，将有助于我们更好地理解和应用数学知识。
总结：二次函数方程在实际应用中具有广泛的应用价值。
本文从弹射物体的高度计算、投影问题以及关于顶点的最值问题等方面，解析了二次函数方程的应用方法和解题思路。
通过深入理解和练习实际问题的解析，我们可以更好地掌握二次函数方程的应用技巧，提高数学解题能力。
二次函数的应用题及解答
二次函数的应用题及解答在数学中，二次函数是一类常见的函数类型，由形如y=ax²+bx+c的方程所定义，其中a、b和c是实数且a不等于零。
二次函数在现实生活中有着广泛的应用，例如在物理学、经济学和工程学等领域。
本文将探讨二次函数的应用题及解答，帮助读者更好地理解和应用这一概念。
1. 弹射问题假设有一个小球从地面上以初速度v0竖直上抛，忽略空气阻力的影响。
则小球的高度可用二次函数模型y=-gt²+v0t+h来描述，其中g是重力加速度，t为时间，h为抛射的起始高度。
问题：一个小球从地面上以10 m/s的速度竖直上抛，起始高度为1.5m。
求小球的高度和时间的关系，并计算小球落地时的时间。
解答：根据模型y=-gt²+v0t+h，将已知数据代入，得到二次函数模型为y=-5t²+10t+1.5。
我们需要求解该函数的根，即令y=0，解得t=0和t=2。
因此，小球的高度和时间的关系可用二次函数y=-5t²+10t+1.5表示。
落地时的时间为t=2秒。
2. 投射问题假设有一枚炮弹以一定角度a和初速度v0被抛射出去，并忽略空气阻力的影响。
则炮弹的水平位移可用二次函数模型x=v0cos(a)t来表示，垂直位移可用二次函数模型y=-gt²+v0sin(a)t来表示。
问题：一枚炮弹以60°的角度和100 m/s的速度被抛射，求炮弹的轨迹和最远射程。
解答：根据模型x=v0cos(a)t和y=-gt²+v0sin(a)t，将已知数据代入，得到二次函数模型x=50t和y=-5t²+86.6t。
炮弹的轨迹由这两个函数表示。
为了求解最远射程，我们需要找到函数y=-5t²+86.6t的顶点坐标。
通过求导可得到顶点坐标为(8.66, 346.4)。
因此，最远射程为346.4米，对应的水平位移为8.66米。
3. 经济问题假设某个公司的固定成本为C0，每单位产品的生产成本为C，每单位产品的售价为P。
二次函数应用题分类解析
二次函数应用题分类解析二次函数是初中学段的难点，学生学起来觉的比较的吃力，可以把应用问题进行分类： 第一类、利用待定系数法对于题目明确给出两个变量间是二次函数关系，并且给出几对变量值，要求求出函数关系式，并进行简单的应用。
解答的关键是熟练运用待定系数法，准确求出函数关系式。
例1． 某公司生产的A 种产品，它的成本是2元，售价是3元，年销售量为100万件，为了获得更好的效益，公司准备拿出一定的资金做广告。
根据经验，每年投入的广告费是x （十万元）时，产品的年销售量将是原销售量的y 倍，且y 是x 的二次函数，它们的关系如下表：（1）求y 与x 的函数关系式；（2）如果把利润看作是销售总额减去成本费和广告费，试写出年利润S （十万元）与广告费x （十万元）的函数关系式；（3）如果投入的年广告费为10—30万元，问广告费在什么范围内，公司获得的年利润随广告费的增大而增大？析解：（1）因为题中给出了y 是x 的二次函数关系，所以用待定系数法即可求出y与x 的函数关系式为1x 53x 101y 2++=（2）由题意得S=10y(3-2)-x 10x 5x 2++-=（3）由（2）465)25x (10x 5x S 22+--=++-=及二次函数性质知，当1≤x ≤2.5，即广告费在10—25万元之间时，S 随广告费的增大而增大。
二、分析数量关系型题设结合实际情景给出了一定数与量的关系，要求在分析的基础上直接写出函数关系式，并进行应用。
解答的关键是认真分析题意，正确写出数量关系式。
例2． 某化工材料经销公司购进了一种化工原料共7000千克，购进价格为每千克30元。
物价部门规定其销售单价不得高于每千克70元，也不得低于30元。
市场调查发现：单价定为70元时，日均销售60千克；单价每降低1元，日均多售出2千克。
在销售过程中，每天还要支出其它费用500元（天数不足一天时，按整天计算）。
设销售单价为x 元，日均获利为y 元。
二次函数的微分与应用题解析
二次函数的微分与应用题解析一、二次函数的微分二次函数是一类常见的函数形式，具有以下一般形式：f(x) = ax^2 + bx + c，其中a、b和c为常数，a≠0。
微分是微积分中的一个重要概念，用来描述函数在某一点处的瞬时变化率。
对于二次函数来说，我们可以通过微分来求解它的变化情况。
微分的计算过程是将x处的函数值f(x)拆分成两个部分：直线部分和曲线部分。
直线部分是函数在x处的斜率，可以用一次函数的导数表示；曲线部分是函数在x处的曲率，可以用二次函数的导数表示。
对于二次函数f(x) = ax^2 + bx + c，我们可以按照以下步骤进行微分计算：1. 计算直线部分的斜率：直线部分的斜率就是一次函数的导数，即f'(x) = 2ax + b。
2. 计算曲线部分的曲率：曲线部分的曲率就是二次函数的导数，即f''(x) = 2a。
综上所述，对于二次函数f(x) = ax^2 + bx + c，它的导数f'(x) = 2ax+ b，二阶导数f''(x) = 2a。
二、二次函数的应用题解析除了微分计算，二次函数还可以应用于各种实际问题的建模与解析。
以下是几个常见的二次函数应用题解析：1. 抛物线轨迹问题：假设一个物体从地面上以初速度v0竖直向上抛掷，忽略空气阻力，求物体的运动轨迹方程。
解析：首先我们可以建立如下坐标系：以抛物线最低点为原点O，抛物线对称轴为x轴，正方向向上。
设物体的运动方程为y = ax^2 + bx + c，由于物体在抛出瞬间速度为v0，可以得到初始条件：y(0) = 0，y'(0) = v0。
将初始条件代入运动方程，可以得到c = 0。
又因为抛物线对称轴为x轴，所以b = 0。
由此，物体的运动方程简化为y = ax^2。
将初始条件y'(0) = v0代入运动方程，可以得到a = -1/2v0。
综上所述，物体的运动轨迹方程为y = -1/2v0x^2。
二次函数的应用题及解析
二次函数的应用题及解析二次函数是数学中重要的函数之一，广泛应用于各个领域。
本文将探讨几个常见的二次函数应用题，并进行详细解析。
问题一：某天气预报显示，一天内温度的变化服从二次函数关系。
已知该地点上午8时的温度为15摄氏度，下午2时的温度为25摄氏度，晚上8时的温度为18摄氏度。
问该地点第二天早上6时的温度是多少摄氏度？解析：根据已知条件构建二次函数的关系式。
假设时间为x，温度为y，则可以得出二次函数表达式为：y = ax^2 + bx + c。
根据题目所给的条件，可以列出如下方程组：方程1：64a + 8b + c = 15方程2：256a + 16b + c = 25方程3：576a + 48b + c = 18解上述方程组，得到 a = -0.005, b = 0.16, c = 15.16。
带入x = 22（第二天早上6时的时间），计算二次函数的值，即可得到第二天早上6时的温度为20.62摄氏度。
问题二：某公司销售某款产品，预测未来几个月的销售情况。
已知该产品销售量符合二次函数模型。
已知该产品2月份的销售量为2000件，5月份的销售量为3000件，8月份的销售量为4000件。
预测11月份的销售量是多少件？解析：同样地，假设时间为x，销售量为y，构建二次函数关系式：y = ax^2 + bx + c。
根据已知条件，列出方程组：方程1：4a + 2b + c = 2000方程2：25a + 5b + c = 3000方程3：64a + 8b + c = 4000解方程组得到a = 100, b = -500, c = 2400。
带入x = 14（11月份的时间），计算二次函数的值，可得到预测11月份的销售量为3400件。
通过以上两个实例，我们可以看到二次函数在温度预测和销售预测中的应用。
根据给定的条件，构建二次函数关系式，并解方程组可以得到问题所求的结果。
通过这种方法，我们可以更加准确地评估和预测未来的发展趋势。
中考经典二次函数应用题(含答案)
x
2 、解：（ 1） y (2400 2000 x) 8 4
，即 y
50
2 x2 24x 3200 ． 25
（ 2）由题意，得
2 x2 24 x 3200 4800 ．整理，得 x2 300 x 20000 0 ． 25
得 x1 100，x2 200 ．要使百姓得到实惠，取 x 200 ．所以，每台冰箱应降价 200 元．
6 、 解：（ 1） y
20 2( x 1) 2 x 18(1 x 6)( x为整数 )......(2 分 )
30
(6 x 11)(x为整数 )......(4 分 )
（2 ）设利润为 w
y
z
20
2( x
1)
1 (x
8)2
12
1 x2 14(1
x
6)( x为整数 )....（.. 6分）
w
8
8
y z 30
（ 3）对于 y
2 x2 24x 3200 ，当 x 25
24
2
2
25
150 时，
y最大值
(2400 2000 150) 8 4 150 50
250 20 5000 ．
所以，每台冰箱的售价降价 3、
150 元时，商场的利润最大，最大利润是
5000 元．
4 、解：（ 1）设 p 与 x 的函数关系为 p kx b( k 0) ，根据题意，得
令 m% t ，原方程可化为 7.5t 2 14t 5.3 0 ．
14 t
( 14)2 4 7.5 5.3 2 7.5
14 37
．
15
t1 ≈ 0.528， t2 ≈ 1.339 （舍去）
答： m 的值约为 52.8 ．
二次函数应用题含答案
二次函数应用题1、某体育用品商店购进一批滑板,每件进价为100元,售价为130元,每星期可卖出80件.商家决定降价促销,根据市场调查,每降价5元,每星期可多卖出20件.1求商家降价前每星期的销售利润为多少元2降价后,商家要使每星期的销售利润最大,应将售价定为多少元最大销售利润是多少2、某商场将进价为2000元的冰箱以2400元售出,平均每天能售出8台,为了配合国家“家电下乡”政策的实施,商场决定采取适当的降价措施.调查表明：这种冰箱的售价每降低50元,平均每天就能多售出4台．1假设每台冰箱降价x 元,商场每天销售这种冰箱的利润是y 元,请写出y 与x 之间的函数表达式；不要求写自变量的取值范围2商场要想在这种冰箱销售中每天盈利4800元,同时又要使百姓得到实惠,每台冰箱应降价多少元3每台冰箱降价多少元时,商场每天销售这种冰箱的利润最高最高利润是多少3、张大爷要围成一个矩形花圃．花圃的一边利用足够长的墙另三边用总长为32米的篱笆恰好围成．围成的花圃是如图所示的矩形ABCD ．设AB 边的长为x 米．矩形ABCD 的面积为S 平方米．1求S 与x 之间的函数关系式不要求写出自变量x 的取值范围．2当x 为何值时,S 有最大值并求出最大值．参考公式：二次函数2y ax bx c =++0a ≠,当2b x a =-时,244ac b y a -=最大(小)值 4、某电视机生产厂家去年销往农村的某品牌电视机每台的售价y 元与月份x 之间满足函数关系502600y x =-+,去年的月销售量p 万台与月份x 之间成一次函数关系,其中两个月的销售情况如下表：月份 1月 5月销售量 万台 万台1求该品牌电视机在去年哪个月销往农村的销售金额最大最大是多少2由于受国际金融危机的影响,今年1、2月份该品牌电视机销往农村的售价都比去年12月份下降了%m ,且每月的销售量都比去年12月份下降了1.5m%．国家实施“家电下乡”政策,即对农村家庭购买新的家电产品,国家按该产品售价的13%给予财政补贴．受此政策的影响,今年3至5月份,该厂家销往农村的这种电视机在保持今年2月份的售价不变的情况下,平均每月的销售量比今年2月份增加了万台．若今年3至5月份国家对这种电视机的销售共给予了财政补贴936万元,求m 的值保留一位小数． 34 5.83135 5.91637 6.08338 6.1645、某商场试销一种成本为每件60元的服装,规定试销期间销售单价不低于成本单价,且获利不得高于45%,经试销发现,销售量y 件与销售单价x 元符合一次函数y kx b =+,且65x =时,55y =；75x =时,45y =．1求一次函数y kx b =+的表达式；2若该商场获得利润为W 元,试写出利润W 与销售单价x 之间的关系式；销售单价定为多少元时,商场可获得最大利润,最大利润是多少元3若该商场获得利润不低于500元,试确定销售单价x 的范围．6、某商场在销售旺季临近时 ,某品牌的童装销售价格呈上升趋势,假如这种童装开始时的售价为每件20元,并且每周7天涨价2元,从第6周开始,保持每件30元的稳定价格销售,直到11周结束,该童装不再销售;1请建立销售价格y 元与周次x 之间的函数关系；2若该品牌童装于进货当周售完,且这种童装每件进价z 元与周次x 之间的关系为12)8(812+--=x z , 1≤ x ≤11,且x 为整数,那么该品牌童装在第几周售出后,每件获得利润最大并求最大利润为多少71设该车间每月生产甲、乙两种塑料各x 吨,利润分别为1y 元和2y 元,分别求1y 和2y 与x 的函数关系式注：利润=总收入-总支出；2已知该车间每月生产甲、乙两种塑料均不超过400吨,若某月要生产甲、乙两种塑料共700吨,求该月生产甲、乙塑料各多少吨,获得的总利润最大最大利润是多少8、某水产品养殖企业为指导该企业某种水产品的养殖和销售,对历年市场行情和水产品养殖情况进行了调查．调查发现这种水产品的每千克售价1y 元与销售月份x 月满足关系式3368y x =-+,而其每千克成本2y 元与销售月份x 月满足的函数关系如图所示． 1试确定b c 、的值；2求出这种水产品每千克的利润y 元与销售月份x 月之间的函数关系式；3“五·一”之前,几月份出售这种水产品每千克的利润最大最大利润是多少二次函数应用题答案1、解：1 130-100×80=2400元2设应将售价定为x 元,则销售利润 130(100)(8020)5x y x -=-+⨯ 24100060000x x =-+-24(125)2500x =--+.y 2元月当125x =时,y 有最大值2500. ∴应将售价定为125元,最大销售利润是2500元.2、解：1(24002000)8450x y x ⎛⎫=--+⨯⎪⎝⎭,即2224320025y x x =-++． 2由题意,得22243200480025x x -++=．整理,得2300200000x x -+=． 得12100200x x ==，．要使百姓得到实惠,取200x =．所以,每台冰箱应降价200元． 3对于2224320025y x x =-++,当241502225x =-=⎛⎫⨯- ⎪⎝⎭时, 150(24002000150)8425020500050y ⎛⎫=--+⨯=⨯= ⎪⎝⎭最大值． 所以,每台冰箱的售价降价150元时,商场的利润最大,最大利润是5000元．3、4、解：1设p 与x 的函数关系为(0)p kx b k =+≠,根据题意,得3.954.3.k b k b +=⎧⎨+=⎩，解得0.13.8.k b =⎧⎨=⎩，所以,0.1 3.8p x =+． 设月销售金额为w 万元,则(0.1 3.8)(502600)w py x x ==+-+．化简,得25709800w x x =-++,所以,25(7)10125w x =--+． 当7x =时,w 取得最大值,最大值为10125．答：该品牌电视机在去年7月份销往农村的销售金额最大,最大是10125万元．2去年12月份每台的售价为501226002000-⨯+=元,去年12月份的销售量为0.112 3.85⨯+=万台,根据题意,得2000(1%)[5(1 1.5%) 1.5]13%3936m m -⨯-+⨯⨯=．令%m t =,原方程可化为27.514 5.30t t -+=．t ∴==．10.528t ∴≈,2 1.339t ≈舍去 答：m 的值约为．5、解：1根据题意得65557545.k b k b +=⎧⎨+=⎩，解得1120k b =-=，． 所求一次函数的表达式为120y x =-+．2(60)(120)W x x =--+ 21807200x x =-+- 2(90)900x =--+, 抛物线的开口向下,∴当90x <时,W 随x 的增大而增大,而6087x ≤≤,∴当87x =时,2(8790)900891W =--+=．∴当销售单价定为87元时,商场可获得最大利润,最大利润是891元．3由500W =,得25001807200x x =-+-,整理得,218077000x x -+=,解得,1270110x x ==，． 由图象可知,要使该商场获得利润不低于500元,销售单价应在70元到110元之间,而6087x ≤≤,所以,销售单价x 的范围是7087x ≤≤．6、 解：1202(1)218(16)()......(2)30 (611)()......(4)x x x x y x x +-=+≤<⎧=⎨≤≤⎩为整数分为整数分 2设利润为w综上知：在第11周进货并售出后,所获利润最大且为每件1198元…10分 7．解： 1依题意得：1(2100800200)1100y x x =--=,2(24001100100)20000120020000y x x =---=-,2设该月生产甲种塑料x 吨,则乙种塑料(700)x -吨,总利润为W 元,依题意得：11001200(700)20000100820000W x x x =+--=-+． ∵400700400x x ⎧⎨-⎩≤，≤，解得：300400x ≤≤． ∵1000-<,∴W 随着x 的增大而减小,∴当300x =时,W 最大=790000元此时,700400x -=吨．因此,生产甲、乙塑料分别为300吨和400吨时总利润最大,最大利润为790000元．8、解：1由题意：22125338124448b c b c ⎧=⨯++⎪⎪⎨⎪=⨯++⎪⎩解得7181292b c ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩212y y y =-23115136298882x x x ⎛⎫=-+--+ ⎪⎝⎭21316822x x =-++； 321316822y x x =-++2111(1236)46822x x =--+++21(6)118x =--+ ∵108a =-<,∴抛物线开口向下．在对称轴6x =左侧y 随x 的增大而增大．由题意5x <,所以在4月份出售这种水产品每千克的利润最大． 最大利润211(46)111082=--+=元．。
初三数学二次函数分类题型及解析[整理版]-12页文档资料
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初三数学二次函数分类题型及解析一．解答题（共10小题）1．如图，已知抛物线y=﹣x2+mx+3与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，点B的坐标为（3，0）（1）求m的值及抛物线的顶点坐标．（2）点P是抛物线对称轴l上的一个动点，当PA+PC的值最小时，求点P的坐标．2．在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax2+bx+2过B（﹣2，6），C（2，2）两点．（1）试求抛物线的解析式；（2）记抛物线顶点为D，求△BCD的面积；（3）若直线y=﹣x向上平移b个单位所得的直线与抛物线段BDC（包括端点B、C）部分有两个交点，求b的取值范围．3．如图，抛物线y=ax2+2ax+1与x轴仅有一个公共点A，经过点A的直线交该抛物线于点B，交y轴于点C，且点C是线段AB的中点．（1）求这条抛物线对应的函数解析式；（2）求直线AB对应的函数解析式．4．如图，抛物线y=x2﹣3x+与x轴相交于A、B两点，与y轴相交于点C，点D是直线BC下方抛物线上一点，过点D作y轴的平行线，与直线BC相交于点E（1）求直线BC的解析式；（2）当线段DE的长度最大时，求点D的坐标．5．已知二次函数y=x2+bx+c的图象与y轴交于点C（0，﹣6），与x轴的一个交点坐标是A（﹣2，0）．（1）求二次函数的解析式，并写出顶点D的坐标；（2）将二次函数的图象沿x轴向左平移个单位长度，当 y＜0时，求x的取值范围．6．某网店销售某款童装，每件售价60元，每星期可卖300件，为了促销，该网店决定降价销售．市场调查反映：每降价1元，每星期可多卖30件．已知该款童装每件成本价40元，设该款童装每件售价x元，每星期的销售量为y件．（1）求y与x之间的函数关系式；（2）当每件售价定为多少元时，每星期的销售利润最大，最大利润多少元？（3）若该网店每星期想要获得不低于6480元的利润，每星期至少要销售该款童装多少件？7．某果园有100颗橙子树，平均每颗树结600个橙子，现准备多种一些橙子树以提高果园产量，但是如果多种树，那么树之间的距离和每一棵树所接受的阳光就会减少．根据经验估计，每多种一棵树，平均每棵树就会少结5个橙子，假设果园多种了x棵橙子树．（1）直接写出平均每棵树结的橙子个数y（个）与x之间的关系；（2）果园多种多少棵橙子树时，可使橙子的总产量最大？最大为多少个？8．2016年3月国际风筝节在铜仁市万山区举办，王大伯决定销售一批风筝，经市场调研：蝙蝠型风筝进价每个为10元，当售价每个为12元时，销售量为180个，若售价每提高1元，销售量就会减少10个，请回答以下问题：（1）用表达式表示蝙蝠型风筝销售量y（个）与售价x（元）之间的函数关系（12≤x ≤30）；（2）王大伯为了让利给顾客，并同时获得840元利润，售价应定为多少？（3）当售价定为多少时，王大伯获得利润最大，最大利润是多少？9．草莓是云南多地盛产的一种水果，今年某水果销售店在草莓销售旺季，试销售成本为每千克20元的草莓，规定试销期间销售单价不低于成本单价，也不高于每千克40元，经试销发现，销售量y（千克）与销售单价x（元）符合一次函数关系，如图是y 与x的函数关系图象．（1）求y与x的函数解析式（也称关系式）；（2）设该水果销售店试销草莓获得的利润为W元，求W的最大值．10．襄阳市某企业积极响应政府“创新发展”的号召，研发了一种新产品．已知研发、生产这种产品的成本为30元/件，且年销售量y（万件）关于售价x（元/件）的函数解析式为：y=．（1）若企业销售该产品获得的年利润为W（万元），请直接写出年利润W（万元）关于售价x（元/件）的函数解析式；（2）当该产品的售价x（元/件）为多少时，企业销售该产品获得的年利润最大？最大年利润是多少？（3）若企业销售该产品的年利润不少于750万元，试确定该产品的售价x（元/件）的取值范围．2016年12月09日天津优胜教育二次函数组卷参考答案与试题解析一．解答题（共10小题）1．（2016•宁波）如图，已知抛物线y=﹣x2+mx+3与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，点B的坐标为（3，0）（1）求m的值及抛物线的顶点坐标．（2）点P是抛物线对称轴l上的一个动点，当PA+PC的值最小时，求点P的坐标．【解答】解：（1）把点B的坐标为（3，0）代入抛物线y=﹣x2+mx+3得：0=﹣32+3m+3，解得：m=2，∴y=﹣x 2+2x+3=﹣（x ﹣1）2+4，∴顶点坐标为：（1，4）．（2）连接BC 交抛物线对称轴l 于点P ，则此时PA+PC 的值最小，设直线BC 的解析式为：y=kx+b ，∵点C （0，3），点B （3，0）， 解得：， ∴直线BC 的解析式为：y=﹣x+3，当x=1时，y=﹣1+3=2，∴当PA+PC 的值最小时，点P 的坐标为：（1，2）．2．（2016•菏泽）在平面直角坐标系xOy 中，抛物线y=ax 2+bx+2过B （﹣2，6），C （2，2）两点．（1）试求抛物线的解析式；（2）记抛物线顶点为D ，求△BCD 的面积；（3）若直线y=﹣x 向上平移b 个单位所得的直线与抛物线段BDC （包括端点B 、C ）部分有两个交点，求b 的取值范围．【解答】解：（1）由题意解得，∴抛物线解析式为y=x 2﹣x+2．（2）∵y=x 2﹣x+2=（x ﹣1）2+．∴顶点坐标（1，），∵直线BC 为y=﹣x+4，∴对称轴与BC 的交点H （1，3），∴S △BDC =S △BDH +S △DHC =•3+•1=3．（3）由消去y得到x2﹣x+4﹣2b=0，当△=0时，直线与抛物线相切，1﹣4（4﹣2b）=0，∴b=，当直线y=﹣x+b经过点C时，b=3，当直线y=﹣x+b经过点B时，b=5，∵直线y=﹣x向上平移b个单位所得的直线与抛物线段BDC（包括端点B、C）部分有两个交点，∴＜b≤3．3．（2016•淄博）如图，抛物线y=ax2+2ax+1与x轴仅有一个公共点A，经过点A的直线交该抛物线于点B，交y轴于点C，且点C是线段AB的中点．（1）求这条抛物线对应的函数解析式；（2）求直线AB对应的函数解析式．【解答】解：（1）∵抛物线y=ax2+2ax+1与x轴仅有一个公共点A，∴△=4a2﹣4a=0，解得a1=0（舍去），a2=1，∴抛物线解析式为y=x2+2x+1；（2）∵y=（x+1）2，∴顶点A的坐标为（﹣1，0），∵点C是线段AB的中点，即点A与点B关于C点对称，∴B点的横坐标为1，当x=1时，y=x2+2x+1=1+2+1=4，则B（1，4），设直线AB的解析式为y=kx+b，把A（﹣1，0），B（1，4）代入得，解得，∴直线AB的解析式为y=2x+2．4．（2016•大连）如图，抛物线y=x2﹣3x+与x轴相交于A、B两点，与y轴相交于点C，点D是直线BC下方抛物线上一点，过点D作y轴的平行线，与直线BC相交于点E （1）求直线BC的解析式；（2）当线段DE的长度最大时，求点D的坐标．【解答】解：（1）∵抛物线y=x2﹣3x+与x轴相交于A、B两点，与y轴相交于点C，∴令y=0，可得x=或x=，∴A（，0），B（，0）；令x=0，则y=，∴C点坐标为（0，），设直线BC的解析式为：y=kx+b，则有，解得：，∴直线BC的解析式为：y=x；（2）设点D的横坐标为m，则坐标为（m，），∴E点的坐标为（m，m），设DE的长度为d，∵点D是直线BC下方抛物线上一点，则d=m+﹣（m2﹣3m+），整理得，d=﹣m2+m，∵a=﹣1＜0，∴当m==时，d 最大===，∴D 点的坐标为（，）． 5．（2016•黔南州）已知二次函数y=x 2+bx+c 的图象与y 轴交于点C （0，﹣6），与x 轴的一个交点坐标是A （﹣2，0）．（1）求二次函数的解析式，并写出顶点D 的坐标；（2）将二次函数的图象沿x 轴向左平移个单位长度，当 y ＜0时，求x 的取值范围．【解答】解：（1）∵把C （0，﹣6）代入抛物线的解析式得：C=﹣6，把A （﹣2，0）代入y=x 2+bx ﹣6得：b=﹣1，∴抛物线的解析式为y=x 2﹣x ﹣6．∴y=（x ﹣）2﹣．∴抛物线的顶点坐标D （，﹣）．（2）二次函数的图形沿x 轴向左平移个单位长度得：y=（x+2）2﹣． 令y=0得：（x+2）2﹣=0，解得：x 1=，x 2=﹣．∵a ＞0，∴当y ＜0时，x 的取值范围是﹣＜x ＜． 6．（2016•咸宁）某网店销售某款童装，每件售价60元，每星期可卖300件，为了促销，该网店决定降价销售．市场调查反映：每降价1元，每星期可多卖30件．已知该款童装每件成本价40元，设该款童装每件售价x 元，每星期的销售量为y 件．（1）求y 与x 之间的函数关系式；（2）当每件售价定为多少元时，每星期的销售利润最大，最大利润多少元？（3）若该网店每星期想要获得不低于6480元的利润，每星期至少要销售该款童装多少件？【解答】解：（1）y=300+30（60﹣x）=﹣30x+2100．（2）设每星期利润为W元，W=（x﹣40）（﹣30x+2100）=﹣30（x﹣55）2+6750．∴x=55时，W最大值=6750．∴每件售价定为55元时，每星期的销售利润最大，最大利润6750元．（3）由题意（x﹣40）（﹣30x+2100）≥6480，解得52≤x≤58，当x=52时，销售300+30×8=540，当x=58时，销售300+30×2=360，∴该网店每星期想要获得不低于6480元的利润，每星期至少要销售该款童装360件．7．（2016•成都）某果园有100颗橙子树，平均每颗树结600个橙子，现准备多种一些橙子树以提高果园产量，但是如果多种树，那么树之间的距离和每一棵树所接受的阳光就会减少．根据经验估计，每多种一棵树，平均每棵树就会少结5个橙子，假设果园多种了x棵橙子树．（1）直接写出平均每棵树结的橙子个数y（个）与x之间的关系；（2）果园多种多少棵橙子树时，可使橙子的总产量最大？最大为多少个？【解答】解：（1）平均每棵树结的橙子个数y（个）与x之间的关系为：y=600﹣5x（0≤x＜120）；（2）设果园多种x棵橙子树时，可使橙子的总产量为w，则w=（600﹣5x）（100+x）=﹣5x2+100x+60000=﹣5（x﹣10）2+60500，则果园多种10棵橙子树时，可使橙子的总产量最大，最大为60500个．8．（2016•铜仁市）2016年3月国际风筝节在铜仁市万山区举办，王大伯决定销售一批风筝，经市场调研：蝙蝠型风筝进价每个为10元，当售价每个为12元时，销售量为180个，若售价每提高1元，销售量就会减少10个，请回答以下问题：（1）用表达式表示蝙蝠型风筝销售量y （个）与售价x （元）之间的函数关系（12≤x ≤30）；（2）王大伯为了让利给顾客，并同时获得840元利润，售价应定为多少？（3）当售价定为多少时，王大伯获得利润最大，最大利润是多少？【解答】解：（1）设蝙蝠型风筝售价为x 元时，销售量为y 个，根据题意可知：y=180﹣10（x ﹣12）=﹣10x+300（12≤x ≤30）．（2）设王大伯获得的利润为W ，则W=（x ﹣10）y=﹣10x 2+400x ﹣3000，令W=840，则﹣10x 2+400x ﹣3000=840，解得：x 1=16，x 2=24，答：王大伯为了让利给顾客，并同时获得840元利润，售价应定为16元．（3）∵W=﹣10x 2+400x ﹣3000=﹣10（x ﹣20）2+1000，∵a=﹣10＜0，∴当x=20时，W 取最大值，最大值为1000．答：当售价定为20元时，王大伯获得利润最大，最大利润是1000元．9．（2016•云南）草莓是云南多地盛产的一种水果，今年某水果销售店在草莓销售旺季，试销售成本为每千克20元的草莓，规定试销期间销售单价不低于成本单价，也不高于每千克40元，经试销发现，销售量y （千克）与销售单价x （元）符合一次函数关系，如图是y 与x 的函数关系图象．（1）求y 与x 的函数解析式（也称关系式）；（2）设该水果销售店试销草莓获得的利润为W 元，求W 的最大值．【解答】解：（1）设y与x的函数关系式为y=kx+b，根据题意，得：，解得：，∴y与x的函数解析式为y=﹣2x+340，（20≤x≤40）．（2）由已知得：W=（x﹣20）（﹣2x+340）=﹣2x2+380x﹣6800=﹣2（x﹣95）2+11250，∵﹣2＜0，∴当x≤95时，W随x的增大而增大，∵20≤x≤40，∴当x=40时，W最大，最大值为﹣2（40﹣95）2+11250=5200元．10．（2016•湖北襄阳）襄阳市某企业积极响应政府“创新发展”的号召，研发了一种新产品．已知研发、生产这种产品的成本为30元/件，且年销售量y（万件）关于售价x（元/件）的函数解析式为：y=．（1）若企业销售该产品获得的年利润为W（万元），请直接写出年利润W（万元）关于售价x（元/件）的函数解析式；（2）当该产品的售价x（元/件）为多少时，企业销售该产品获得的年利润最大？最大年利润是多少？（3）若企业销售该产品的年利润不少于750万元，试确定该产品的售价x（元/件）的取值范围．【解答】解：（1）当40≤x＜60时，W=（x﹣30）（﹣2x+140）=﹣2x2+200x﹣4200，当60≤x≤70时，W=（x﹣30）（﹣x+80）=﹣x2+110x﹣2400；（2）当40≤x＜60时，W=﹣2x2+200x﹣4200=﹣2（x﹣50）2+800，∴当x=50时，W取得最大值，最大值为800万元；当60≤x≤70时，W=﹣x2+110x﹣2400=﹣（x﹣55）2+625，∴当x＞55时，W随x的增大而减小，∴当x=60时，W取得最大值，最大值为：﹣（60﹣55）2+625=600，∵800＞600，∴当x=50时，W取得最大值800，答：该产品的售价x为50元/件时，企业销售该产品获得的年利润最大，最大年利润是800万元；（3）当40≤x＜60时，由W≥750得：﹣2（x﹣50）2+800≥750，解得：45≤x≤55，当60≤x≤70时，W的最大值为600＜750，∴要使企业销售该产品的年利润不少于750万元，该产品的售价x（元/件）的取值范围为45≤x≤55．希望以上资料对你有所帮助，附励志名言3条：1、常自认为是福薄的人，任何不好的事情发生都合情合理，有这样平常心态，将会战胜很多困难。
二次函数应用题分类解析(教师版)
二次函数应用题分类解析二次函数是初中学段的难点，学生学起来觉的比较的吃力，可以把应用问题进行分类： 第一类：利用待定系数法对于题目明确给出两个变量间是二次函数关系，并且给出几对变量值，要求求出函数关系式，并进行简单的应用。
解答的关键是熟练运用待定系数法，准确求出函数关系式。
例1． 某公司生产的A 种产品，它的成本是2元，售价是3元，年销售量为100万件，为了获得更好的效益，公司准备拿出一定的资金做广告。
根据经验，每年投入的广告费是x （十万元）时，产品的年销售量将是原销售量的y 倍，且y 是x 的二次函数，它们的关系如下表：（1）求y 与x 的函数关系式；（2）如果把利润看作是销售总额减去成本费和广告费，试写出年利润S （十万元）与广告费x （十万元）的函数关系式；（3）如果投入的年广告费为10—30万元，问广告费在什么范围内，公司获得的年利润随广告费的增大而增大？析解：（1）因为题中给出了y 是x 的二次函数关系，所以用待定系数法即可求出y与x 的函数关系式为（2）由题意得S=10y(3-2)-x（3）由（2）及二次函数性质知，当1≤x ≤2.5，即广告费在10—25万元之间时，S 随广告费的增大而增大。
二：分析数量关系型题设结合实际情景给出了一定数与量的关系，要求在分析的基础上直接写出函数关系式，并进行应用。
解答的关键是认真分析题意，正确写出数量关系式。
1x 53x 101y 2++=10x 5x 2++-=465)25x (10x 5x S 22+--=++-=例2． 某化工材料经销公司购进了一种化工原料共7000千克，购进价格为每千克30元。
物价部门规定其销售单价不得高于每千克70元，也不得低于30元。
市场调查发现：单价定为70元时，日均销售60千克；单价每降低1元，日均多售出2千克。
在销售过程中，每天还要支出其它费用500元（天数不足一天时，按整天计算）。
设销售单价为x 元，日均获利为y 元。
中考二次函数应用题含答案解析
中考二次函数应用题含答案解析二次函数应用题1．某书店以每本30元的价格购进一批图书进行销售，物价局根据市场行情规定这种图书的销售单价不低于42元且不高于62元．在销售中发现，该种图书每天的销售数量y （本）与销售单价x（元）之间存在某种函数关系，对应如表：销售单价x（元）43454749…销售数量y（本）54504642…(1)用你所学过的函数知识，求出y与x之间的函数关系式；(2)请问该种图书每天的销售利润w（元）的最大值是多少？(3)如果该种图书每天的销售利润必须不少于600元，试确定该种图书销售单价x的范围．2．冰墩墩是2022年北京冬季奥运会的吉祥物．冰墩墩以熊猫为原型设计，寓意创造非凡、探索未来．某超市用2400元购进一批冰墩墩玩偶出售．若进价降低20%，则可以多买50个．市场调查发现：当每个冰墩墩玩偶的售价是20元时，每周可以销售200个；每涨价1元，每周少销售10个．(1)求每个冰墩墩玩偶的进价；(2)设每个冰墩墩玩偶的售价是x元（x是大于20的正整数），每周总利润是w元．①直接写出w关于x的函数解析式，并求每周总利润的最大值；②当每周总利润大于1870元时，直接写出每个冰墩墩玩偶的售价．3．为响应江阴市“创建全国文明城市”号召，某单位不断美化环境，拟在一块矩形空地上修建绿色植物园，其中一边靠墙，可利用的墙长不超过18m，另外三边由36m长的栅栏围成．设矩形ABCD空地中，垂直于墙的边AB＝x cm，面积为y m2如图所示）．(1)求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；(2)若该单位用8600元购买了甲、乙、丙三种绿色植物共400棵（每种植物的单价和每棵栽种的合理用地面积如表）．问丙种植物最多可以购买多少棵？此时，这批植物可以全部栽种到这块空地上吗？请说明理由．甲乙丙单价（元/棵）141628合理用地（m2/0.410.4棵）4．跳台滑雪是北京冬奥会的项目之一．某跳台滑雪训练场的横截面示意图如图并建立平面直角坐标系．抛物线2117:1126C y x x =-++近似表示滑雪场地上的一座小山坡，某运动员从点O 正上方4米处的A 点滑出（即A 点坐标为（0，4）），滑出后沿一段抛物线221:8C y x bx c =-++运动．(1)当运动员运动到距A 处的水平距离为4米时，距图中水平线的高度为8米（即经过点（4，8）），求抛物线C 2的函数解析式（不要求写出自变量的取值范围）；(2)在（1）的条件下，当运动员运动的水平距离为多少米时，运动员与小山坡的竖直距离为1米？5．国家推行“节能减排，低碳经济”政策后，低排量的汽车比较畅销，某汽车经销商购进A ，B 两种型号的低排量汽车，其中A 型汽车的进货单价比B 型汽车的进货单价多2万元；花50万元购进A 型汽车的数量与花40万元购进B 型汽车的数量相同．(1)求A ，B 两种型号汽车的进货单价；(2)销售过程中发现：A 型汽车的每周销售量yA （台）与售价xA （万元台）满足函数关系yA ＝﹣xA +18；B 型汽车的每周销售量yB （台）与售价xB （万元/台）满足函数关系yB ＝﹣xB +14．若A 型汽车的售价比B 型汽车的售价高1万元/台，设每周销售这两种车的总利润为w 万元．①当A 型汽车的利润不低于B 型汽车的利润，求B 型汽车的最低售价？②求当B 型号的汽车售价为多少时，每周销售这两种汽车的总利润最大？最大利润是多少万元？6．某商场出售A 商品，该商品按进价提高50%后出售，售出10件可获利100元．(1)求A 商品每件的进价和售价分别是多少元？(2)已知A 商品每星期卖出200件，为提高A 商品的利润，商场市场部进行了调查，获得以下反馈信息：信息一：每涨价1元，每星期会少卖出10件． 信息二：每降价1元，每星期可多卖出25件．①结合上述两条信息，A 商品售价为多少元时，利润最大？②某顾客带320元到商场购买A 、B 两种商品至少各1件（A 商品为第①小题中利润最大时的售价），B 商品售价为25元/个，现要求A 商品的数量不少于B 商品的数量．在不超额的前提下，如何购买这两种商品，使在总数量最多的情况下，总费用最少．7．为了助农增收，推动乡村振兴，某网店出售“碱水”面条．面条进价为每袋40元，当售价为每袋60元时，每月可销售300袋．为了吸引更多顾客，该网店采取降价措施．据市场调研反映，销售单价每降1元，则每月可多销售30袋．该网店店主热心公益事业，决定每月从利润中捐出200元资助贫困学生．设当每袋面条的售价降了x 元时，每月的销售量为y 袋．(1)求出y 与x 的函数关系式；(2)设该网店捐款后每月利润为w 元，则当每袋面条降价多少元时，每月获得的利润最大，最大利润是多少？8．用总长为24m 的篱笆围成如图的花圃（四边形ABEF 和四边形CDFE 均为矩形），现一面利用墙（墙的最大可用长度为10m ），设花圃的宽AB 为x m ，面积为S m 2．(1)求S 与x 的函数关系式及x 的取值范围；(2)要围成面积为45m 2的花圃，AB 的长是多少米？(3)AB 的长为多少米时，围成的花圃面积最大，请直接写出AB 的长度．9．某商店购进一批成本为每件30元的商品，销售单价为40元时，每天销售量为80件，经调查发现，销售单价每上涨1元，每天销售量减少2件．设该商品每天的销售量y （件）与销售单价x （元）．(1)求该商品每天的销售量y 与销售单价x 之间的函数关系式；(2)求当销售单价定为多少元时，才能使销售该商品每天获得的利润最大？最大利润是多少元？(3)若商店按单价不低于成本价且不高于50元销售，则销售单价定为多少，才能使销售该商品每天获得的利润最大？最大利润是多少？(4)若商店要使销售该商品每天获得的利润不低于800元，试利用函数图象确定销售单价最多为多少元？10．我国铅球运动员巩立姣在2021年8月1日东京奥运会铅球比赛中以20.53米的成绩力压群雄夺得冠军．如图是在她的一次赛前训练中，铅球行进高度y （米）与水平距离x （米）之间存在的函数关系式是2119512123y x x =-++．求：(1)这次训练中，巩立姣推铅球的成绩是多少米；(2)这次训练中，铅球距离地面的最大高度为多少米．【参考答案】二次函数应用题1．(1)2140y x =-+(2)800元(3)4260x ≤≤【解析】【分析】（1）由表格可知y 与x 之间存在一次函数的关系，再用待定系数法求解即可；（2）先根据利润=（销售单价-进价）×销售数量得出w 和x 之间的关系式，再利用二次函数求最值得方法求解即可；（3）先根据（2）中函数关系式，求得当w =600时的x 值，再根据二次函数和一次函数的性质求解即可．(1)解：由表格可知：当销售单价每提高2元，则销售数量减少4件，故y 与x 之间存在一次函数的关系，设其解析式为：y kx b =+ ，将x =43，y =54；x =45，y =50代入解析式得：43544550k b k b +=⎧⎨+=⎩ ， 解得：2140k b =-⎧⎨=⎩， 2140y x ∴=-+ ，由题意得：4260x ≤≤，2140y x ∴=-+（4260x ≤≤）；(2)根据题意得∶(30)(2140)w x x =--+ ，整理得：22220042002(50)800w x x x =-+-=--+ ，20a ＜ ，∴当x =50时，w 有最大值为800元，∴该种图书每天的销售利润的最大值是800元；(3)当w =600时，可得：26002(50)+800x ， 解得：1260,40x x （舍） ，由二次函数的图象可得：当4260x ≤≤ 时，该种图书每天的销售利润不少于600元．【点睛】本题考查了待定系数法求一次函数解析式，一次函数与二次函数在实际问题中的应用，熟练掌握一次函数和二次函数的相关性质和应用是解题的关键．2．(1)每个冰墩墩玩偶的进价为12元(2)①w 关于x 的函数解析式为y ＝﹣10x 2+520x ﹣4800，每周总利润的最大值为1960元；②售价为24元或25元或26元或27元或28元【解析】【分析】(1)设每个冰墩墩玩偶的进价为x 元，根据题意列分式方程解答即可；(2)①根据w=销售量×每件的利润列出关系式，再通过配方得到最大值；②根据二次函数的性质解答即可．(1)解：设每个冰墩墩玩偶的进价为x 元， 由题意得，2400x+50()2400120%x =-， 解得x ＝12，经检验，x ＝12是原方程的解，答：每个冰墩墩玩偶的进价为12元；(2)解：①w ＝（x ﹣12）[200﹣10（x ﹣20）]＝﹣10x 2+520x ﹣4800＝﹣10（x ﹣26）2+1960， 答：w 关于x 的函数解析式为y ＝﹣10x 2+520x ﹣4800，每周总利润的最大值为1960元； ②由题意得，﹣10x 2+520x ﹣4800＝1870，解得x ＝23或29，∵抛物线开口向下，∴当23＜x ＜29时，每周总利润大于1870元，∴售价为24元或25元或26元或27元或28元．【点睛】本题考查了分式方程的应用，二次函数在实际生活中的应用以及一元二次方程的应用，最大销售利润的问题常利函数的增减性来解答，解题的关键是吃透题意，确定变量，建立函数模型，然后结合实际选择最优方案．3．(1)y ＝﹣2x 2+36x （9≤x ＜18）(2)丙种植物最多可以购买214棵，此时这批植物可以全部栽种到这块空地上．理由见解析【解析】【分析】（1）根据矩形的面积公式计算即可；（2）利用二次函数的性质求出y 的最大值，设购买了乙种绿色植物a 棵，购买了丙种绿色植物b 棵，由题意得1440016288600a b a b --++=（），可得71500a b +=，推出b 的最大值为214，此时2a =，再求出实际植物面积即可判断．(1)解：∵AB ＝x ，∴BC ＝36﹣2x ，∴y ＝x （36﹣2x ）＝﹣2x 2+36x ，∵0＜36﹣2x ≤18，∴9≤x ＜18．∴y 与x 之间的函数关系式为y ＝﹣2x 2+36x （9≤x ＜18）；(2)解：∵y ＝﹣2x 2+36x ＝﹣2（x ﹣9）2+162，∴x ＝9时，y 有最大值162（m 2），设购买了乙种绿色植物a 棵，购买了丙种绿色植物b 棵，由题意：14（400﹣a ﹣b ）+16a +28b ＝8600，∴a +7b ＝1500，∴b 的最大值为214，此时a ＝2．需要种植的面积＝0.4×（400﹣214﹣2）+1×2+0.4×214＝161.2（m 2）＜162m 2，∴丙种植物最多可以购买214棵，此时这批植物可以全部栽种到这块空地上．【点睛】本题考查二次函数的应用，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．4．(1)213482y x x =-++ (2)运动员运动的水平距离为12米时，运动员与小山坡的竖直距离为1米．【解析】【分析】（1）根据题意将点（0，4）和（4，8）代入C 2：y =-18x 2+bx +c 求出b 、c 的值即可写出C 2的函数解析式；（2）设运动员运动的水平距离为m 米时，运动员与小山坡的竖直距离为1米，依题意得：﹣18m 2+32m +4﹣（﹣112m 2+76m +1）＝1，解出m 即可． (1)由题意可知抛物线C 2：y ＝﹣18x 2+bx +c 过点（0，4）和（4，8），将其代入得：2414488c b c =⎧⎪⎨-⨯++=⎪⎩， 解得：324b c ⎧=⎪⎨⎪=⎩， ∴抛物线C 2的函数解析式为：213482y x x =-++； (2)设运动员运动的水平距离为m 米时，运动员与小山坡的竖直距离为1米，依题意得： ﹣18m 2+32m +4﹣（﹣112m 2+76m +1）＝1， 整理得：（m ﹣12）（m +4）＝0，解得：m 1＝12，m 2＝﹣4（舍去），故运动员运动的水平距离为12米时，运动员与小山坡的竖直距离为1米．【点睛】本题考查了二次函数的基本性质及其应用，熟练掌握二次函数的基本性质，并能将实际问题与二次函数模型相结合是解决本题的关键．5．(1)A 种型号汽车的进货单价为10万元、B 两种型号汽车的进货单价为8万元(2)①B 型汽车的最低售价为414万元/台，②A 、B 两种型号的汽车售价各为13万元、12万元时，每周销售这两种汽车的总利润最大，最大利润是23万元【解析】【分析】（1）设未知数，用未知数分别表示A 型汽车、B 型汽车的进价，然后根据花50万元购进A 型汽车的数量与花40万元购进B 型汽车的数量相同列分式方程求解即可．（2）①用利润公式：利润=（售价-进价）×数量，分别表示出A 、B 型汽车利润，然后列不等式求解即可；②B 型号的汽车售价为t 万元/台，然后将两车的总利润相加得出一个二次函数，求二次函数的最值即可．(1)解：设B 型汽车的进货单价为x 万元，根据题意，得：502x +＝40x， 解得x ＝8，经检验x ＝8是原分式方程的根，8+2＝10（万元），答：A 种型号汽车的进货单价为10万元、B 两种型号汽车的进货单价为8万元；(2)设B 型号的汽车售价为t 万元/台，则A 型汽车的售价为（t +1）万元/台，①根据题意，得：（t +1﹣10）[﹣（t +1）+18]≥（t ﹣8）（﹣t +14），解得：t ≥414， ∴t 的最小值为414，即B 型汽车的最低售价为414万元/台， 答：B 型汽车的最低售价为414万元/台； ②根据题意，得： w ＝（t +1﹣10）[﹣（t +1）+18]+（t ﹣8）（﹣t +14）＝﹣2t 2+48t ﹣265＝﹣2（t ﹣12）2+23，∵﹣2＜0，当t ＝12时，w 有最大值为23．答：A 、B 两种型号的汽车售价各为13万元、12万元时，每周销售这两种汽车的总利润最大，最大利润是23万元．【点睛】本题考查了分式方程的应用，不等式的应用，二次函数的应用，理清数量关系，明确等量关系是解题关键．6．(1)A 商品每件的进价和售价分别是20，30元；(2)①A 商品售价为35元时，利润最大；②在总数量最多的情况下，购买A 、B 商品的数量都为5个时，总费用最少．【解析】【分析】（1）设进价为x 元，则售价为(150%)x +元，根据题意列方程求解即可；（2）①分商品涨价和降价两种情况，分别列出函数关系式，利用二次函数的性质求解即可；②设购买A 商品数量为m 个，B 商品数量为n 个，根据题意列出不等式组，求解即可．(1)解：设A 的进价为x 元，则售价为(150%)x +元，由题意可得：[(150%)]10100x x +-⨯=，解得20x(150%)30x +=， 答：A 商品每件的进价和售价分别是20，30元；(2)①设售价为x 元，获得利润为w 元当商品涨价时，则30x ≥，此时销售量为20010(30)50010x x -⨯-=-件，22(20)(50010)107001000010(35)2250w x x x x x =--=-+-=--+则当x =35时，w 最大，为2250，当商品降价时，则30x <，此时销售量为20025(30)95025x x +⨯-=-件22(20)(95025)2514501900025(29)2025w x x x x x =--=-+-=--+∴当x =29时，w 最大，为2025，∵2025<2250∴当x =35时，w 最大，为2250，答：A 商品售价为35元时，利润最大；②设购买A 商品数量为m 个，B 商品数量为n 个，由题意可得：003525320m n m n m n ≥⎧⎪>⎪⎨>⎪⎪+≤⎩且m ，n 为正整数， 当1m =，n =1时，352560m n +=，符合题意；当m =2，n =2时，3525120m n +=，符合题意；当m =3，n =3时，3525180m n +=，符合题意；当m =4，n =4时，3525240m n +=，符合题意；当m =5，n =5时，3525300m n +=，符合题意；当m =6，n =5时，3525335320m n +=>，不符合题意；综上，在总数量最多的情况下，购买A 、B 商品的数量都为5个时，总费用最少．【点睛】此题考查了一元一次方程的应用，二次函数的应用以及二元一次不等式组的应用，解题的关键是理解题意，找到题中的等量关系或不等式关系，正确列出方程、函数以及不等式． 7．(1)30030y x =+(2)当降价5元时，每月获得的利润最大，最大利润是6550元【解析】【分析】（1）由销售单价每降1元，则每月可多销售30袋，可知降了x 元时，销量增加30x 袋，由此可解；（2）根据每月利润＝每袋利润×月销量－捐款，得到w 关于x 的函数表达式，改成顶点式求出函数的最大值即可．(1)解：由题意得，y 与x 之间的函数关系式为y =300+30x ；(2)解：由题意得，22(6040)(30030)200303005800=305)6550w x x x x x =--+-=-++--+（，∵300-<，∴当x =5时，w 有最大值，最大值为6550．答：当降价5元时，每月获得的利润最大，最大利润是6550元．【点睛】本题考查二次函数的实际应用，根据题意列出w 关于x 的函数表达式是解题的关键． 8．(1)S 与x 的函数关系式为S ＝﹣3x 2+24x ，x 值的取值范围是143≤x ＜8； (2)AB 的长为5m ；(3)当AB 的长是143m 时，围成的花圃的面积最大，最大面积是2140m 3【解析】【分析】（1）根据矩形的面积即可写出函数关系式；（2）根据（1）中所得函数关系式当S为45时，列出一元二次方程即可求出AB的长；（3）根据（1）中所得函数关系式化为顶点式，再根据自变量的取值范围即可求出最大面积．(1)解：根据题意，得：S＝x（24﹣3x）＝﹣3x2+24x，∵0＜24﹣3x≤10，∴143≤x＜8．答：S与x的函数关系式为S＝﹣3x2+24x，x值的取值范围是143≤x＜8；(2)解：根据题意，得：当S＝45时，﹣3x2+24x＝45，整理，得x2﹣8x+15＝0，解得x1＝3，x2＝5，当x＝3时，BC＝24﹣9＝15＞10不成立，当x＝5时，BC＝24﹣15＝9＜10成立．答：AB的长为5m；(3)解：S＝﹣3x2+24x＝﹣3（x﹣4）2+48，∵143≤x＜8，且抛物线的对称轴x＝4，开口向下，∴当x＝143时，S最大，最大值＝﹣3（143﹣4）2+481403．答：当AB的长是143m时，围成的花圃的面积最大，最大面积是2140m3【点睛】本题考查了二次函数的应用、一元二次方程的应用，解决本题的关键是综合掌握二次函数的性质和一元二次方程的解法．9．(1)y＝－2x＋160(2)定价为55元时，每天的销售利润有最大值为1250(3)销售单价定为50元时，该超市每天的利润最大，最大利润1200元(4)70元【解析】【分析】（1）根据题意可得y与x的关系式；（2）由题意得w=（x-30）（-2x+160）=-2（x-55）2+1250，即可求解；（3）根据二次函数的关系式和单价的取值范围可得最大利润；（4）由题意可得：（x -30）（-2x +160）=800，再根据函数的图象可得答案．(1)依题意得，y ＝80－2（x －40）＝－2x ＋160；(2)由题意得：2(30)(2160)2(55)1250w x x x =--+=--+，20-<，∴当55x =时，w 有最大值，此时，1250w =，(3)20-<，故当55x <时，w 随x 的增大而增大，而3050x ≤≤，∴当50x =时，w 有最大值，此时，1200w =，故销售单价定为50元时，该超市每天的利润最大，最大利润1200元；(4)由题意得：(30)(2160)800x x --+≥，解得：4070x ≤≤，∴销售单价最多为70元．【点睛】此题主要考查了二次函数的应用，正确利用销量×每件的利润=w 得出函数关系式是解题关键．10．(1)20米 (2)14716米 【解析】【分析】（1）令y =0，得到关于x 的方程，解方程即可；（2）将二次函数关系式化为顶点式，再求铅球距离地面的最大高度．(1)解：令y =0，则21195012123x x =-++， 解得x 1=20，x 2=-1（舍去），∴巩立姣推铅球的成绩是20米；(2)2211951191471212312216y x x x ⎛⎫=-++=--+ ⎪⎝⎭， ∴当192x =时，y 有最大值，为14716， ∴铅球距离地面的最大高度为14716米． 【点睛】本题考查了二次函数的应用中函数式中变量与函数表达的实际意义，需要结合题意，取函数或自变量的特殊值列方程求解是解题关键．。
二次函数常考三种应用题
二次函数常考三种应用题二次函数是高中数学中的重要内容，它具有广泛的应用场景。
在解答二次函数应用题时，通常需要从实际问题中抽象出数学模型，利用二次函数的性质来解决问题。
在考试中，常见的二次函数应用题主要包括最值问题、图像分析问题和实际问题三类。
下面将分别对这三类题目进行详细的解析，并提供一些例题。
第一类是最值问题。
最值问题是二次函数应用题中比较常见的一类，它主要涉及到二次函数图像的顶点问题以及函数值的最大值和最小值问题。
在解决这类问题时，可以通过变换二次函数的标准形式，找到顶点的坐标，并利用顶点的坐标来求解最值问题。
例题：已知函数y=2x^2-5x+3，求此函数的最大值和最小值。
解析：将函数转化为标准形式，即y=2(x^2-5/2x+3/2)=2(x-5/4)^2-17/8，可以看出函数的图像开口向上，因此函数的最小值即为顶点的纵坐标，最大值为正无穷。
而顶点的横坐标为x=5/4，将其代入函数中得到最小值y=-17/8、因此，函数的最大值为正无穷，最小值为-17/8第二类是图像分析问题。
图像分析问题是通过对二次函数的图像进行详细分析，来求解相关问题。
其中，常见的问题包括判定图像的开口方向、确定顶点坐标、寻找对称轴、研究函数值的正负及函数值的变化趋势等。
例题：已知函数y=-3x^2+6x+9，请判断函数的图像开口方向、确定顶点坐标以及找出对称轴。
解析：通过观察二次函数的各项系数，可以得知此函数的二次项系数为负数，因此函数的图像开口向下。
进一步分析二次项系数为-3，可知此函数的图像较为扁平。
通过求解顶点坐标可得，x=-b/2a=-6/(2*(-3))=1，将其代入函数中，得到y=-3(1)^2+6(1)+9=12、因此，函数的图像开口向下，顶点坐标为(1,12)。
第三类是实际问题。
实际问题是将具体的实际问题转化为数学模型，再通过解析数学模型来求解实际问题。
这类问题较为复杂，常常需要运用一些辅助变量和条件，将问题转化为二次函数的形式。
中考二次函数应用题(附答案解析)
中考二次函数应用题(附答案解析)二次函数应用题1．某农场拟建两间矩形种牛饲养室，饲养室的一面靠现有墙（墙长>50m），中间用一道墙隔开（如图）．已知计划中的建筑材料可建围墙的总长为50m，设两间饲养室合计长x （m），总占地面积为y（m2）．(1)求y关于x的函数表达式和自变量的取值范围；(2)在所给出的坐标系中画出函数的图象；(3)利用图象判断：若要使两间饲养室占地总面积达到200m2，则各道墙的长度为多少? 2．为响应江阴市“创建全国文明城市”号召，某单位不断美化环境，拟在一块矩形空地上修建绿色植物园，其中一边靠墙，可利用的墙长不超过18m，另外三边由36m长的栅栏围成．设矩形ABCD空地中，垂直于墙的边AB＝x cm，面积为y m2如图所示）．(1)求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；(2)若该单位用8600元购买了甲、乙、丙三种绿色植物共400棵（每种植物的单价和每棵栽种的合理用地面积如表）．问丙种植物最多可以购买多少棵？此时，这批植物可以全部栽种到这块空地上吗？请说明理由．甲 乙 丙 单价（元/棵）14 16 28 合理用地（m 2/棵） 0.4 1 0.43．某网点销售一种儿童玩具，每件进价30元，规定单件销售利润不低于10元，且不高于31元，试销售期间发现，当销售单价定为40元时，每天可售出500件，销售单价每上涨1元，每天销售量减少10件，该网点决定提价销售，设销售单价为x 元，每天销售量为y 件．(1)请直接写出y 与x 之间的函数关系式及自变量x 的取值范围；(2)当销售单价是多少元时，网店每天获利8960元？(3)网店决定每销售1件玩具，就捐赠a 元（2＜a ≤7）给希望工程，每天扣除捐赠后可获得最大利润为8120元，求a 的值．4．为进一步落实“双减增效”政策，某校增设活动拓展课程——开心农场．如图，准备利用现成的一堵“L ”字形的墙面（粗线ABC 表示墙面，已知AB BC ⊥，3AB =米，1BC =米）和总长为14米的篱笆围建一个“日”字形的小型农场DBEF （细线表示篱笆，小型农场中间GH 也是用篱笆隔开），点D 可能在线段AB 上（如图1），也可能在线段BA 的延长线上（如图2），点E 在线段BC 的延长线上．(1)当点D 在线段AB 上时，①设DF 的长为x 米，请用含x 的代数式表示EF 的长；②若要求所围成的小型农场DBEF 的面积为12平方米，求DF 的长；(2)DF 的长为多少米时，小型农场DBEF 的面积最大?最大面积为多少平方米?5．在“乡村振兴”行动中，某村办企业开发了一种有机产品，该产品的成本为每盒30元．市场调查发现：该产品每盒的售价是60元时，每天可以销售500盒，每涨价1元，每天少销售10盒．(1)设每盒产品的售价是x元（x是整数），每天的利润是w元，求w关于x的函数解析式；(2)当每盒售价订为多少元时，可使当天获得最大销售利润，销售利润是多少？a>给村级经济合作社，物价部门要(3)现在该企业打算回报社会，每销售1盒捐赠a元()5求该产品销售定价不得超过每盒75元，该企业在严格执行物价部门的定价前提下欲使每天捐赠后的日销售利润随产品售价的增大而增大，求a的取值范围．6．某水果超市经销一种高档水果，进价每千克40元．(1)若按售价为每千克50元，每天可售出500千克，经市场调查发现，在进货价不变的情况下，超市决定采取适当的涨价措施，但超市规定每千克涨价不能超过8元，若每千克涨价1元，日销售量将减少20千克．现该超市希望每天盈利6000元，那么每千克应涨价多少元？(2)在（1）的基础上，利用函数关系式求出每千克水果涨价多少元时，超市每天可获得最大利润？最大利润是多少？7．2021年10月16日神舟13号载人飞船再次发射成功，昭示着中国人奔赴星辰大海的步伐从未停止．航空航天产业有望成为万亿规模的市场．某铝业公司生产销售航空铝型材，已知该型材的成本为8000元/吨，销售单价在1万元/吨到2万元/吨（含1万元/吨，2万元/吨）浮动．根据市场销售情况可知：当销售单价为1万元/吨时，日均销量为10吨；销售单价每上升1000元，则日均销量降低0.5吨．(1)求该型材销量y（吨）与销售单价x（万元/吨）之间的函数关系式；(2)当该型材销售单价定为多少万元时，该铝业公司获得的日销售利润W（万元）最大？最大利润为多少万元？8．如图，用长30米的竹篱笆围成一个矩形菜园，其中一面靠墙，墙长10米，墙的对面有一个2米宽的门，设垂直于墙的一边长为x米，菜园的面积为S平方米．(1)直接写出S与x的函数关系式；(2)若菜园的面积为96平方米，求x的值；(3)若在墙的对面再开一个宽为a（0＜a＜3）米的门，且面积S的最大值为124平方米，直接写出a的值．9．某水果商场经销一种高档水果，原价每千克50元，连续两次降价后每千克32元，若每次下降的百分率相同．(1)求每次下降的百分率．(2)若每千克盈利10元，每天可售出500千克，经市场调查发现，在进货价不变的情况下商场决定采取适当的涨价措施，若每千克涨价1元，日销售量将减少20千克，现该商场要保证每天盈利6000元，且要尽快减少库存，那么每千克应涨价多少元？(3)在（2）的条件下，若使商场每天的盈利达到最大值，则应涨价多少元？此时每天的最大盈利是多少？10．某商场销售一款服装，经市场调查发现，每月的销售量y （件）与销售单价x （元/件）之间的函数关系如表格所示．同时，商场每出售1件服装，还要扣除各种费用150元．(1)求y 与x 之间的函数关系式；(2)当销售单价为多少元时，商场每月能够获得最大利润？最大利润是多少？(3)4月底，商场还有本款服装库存580件．若按（2）中获得最大月利润的方式进行销售，到12月底商场能否销售完这批服装？请说明理由．【参考答案】二次函数应用题1．(1)215033y x x =-+ 其中0<x <50 (2)画函数图象见解析(3)各道墙的长度分别为20m ，10m 或者30m ，20m 3时，总面积达到200m 2 【解析】【分析】（1）根据题意用含x 的代数式表示出饲养室的宽，由矩形的面积=长×宽计算即可； （2）确定特殊点位置，继而可得函数图象； （3）构建方程即可解决问题．(1)解：∵围墙的总长为50 m ，2间饲养室合计长x m ，∴饲养室的宽=503x - m ， ∴总占地面积为y =x •503x -=-13x 2+503x （0＜x ＜50）； (2)解：y =-13x 2+503x =()216252533x --+， 顶点坐标为（25，6253）， 当y =200时，()216252520033x --+=，解得x =20或30，图象经过点（20，200）和（30，200），当y =0时，()2162525033x --+=， 解得x =0或50，图象经过点（0，0）和（50，0），描点，连线，函数图象如图所示．(3)解：当两间饲养室占地总面积达到200 m 2时，则-13x 2+503x =200， 解得：x =20或30；答：各道墙长分别为20 m 、10 m 或30 m 、203m 时，总面积达到200 m 2． 【点睛】此题主要考查了二次函数的应用，同时也利用了矩形的性质，解题时首先正确了解题意，然后根据题意列出方程即可解决问题．2．(1)y ＝﹣2x 2+36x （9≤x ＜18）(2)丙种植物最多可以购买214棵，此时这批植物可以全部栽种到这块空地上．理由见解析【解析】【分析】（1）根据矩形的面积公式计算即可；（2）利用二次函数的性质求出y 的最大值，设购买了乙种绿色植物a 棵，购买了丙种绿色植物b 棵，由题意得1440016288600a b a b --++=（），可得71500a b +=，推出b 的最大值为214，此时2a =，再求出实际植物面积即可判断．(1)解：∵AB＝x，∴BC＝36﹣2x，∴y＝x（36﹣2x）＝﹣2x2+36x，∵0＜36﹣2x≤18，∴9≤x＜18．∴y与x之间的函数关系式为y＝﹣2x2+36x（9≤x＜18）；(2)解：∵y＝﹣2x2+36x＝﹣2（x﹣9）2+162，∴x＝9时，y有最大值162（m2），设购买了乙种绿色植物a棵，购买了丙种绿色植物b棵，由题意：14（400﹣a﹣b）+16a+28b＝8600，∴a+7b＝1500，∴b的最大值为214，此时a＝2．需要种植的面积＝0.4×（400﹣214﹣2）+1×2+0.4×214＝161.2（m2）＜162m2，∴丙种植物最多可以购买214棵，此时这批植物可以全部栽种到这块空地上．【点睛】本题考查二次函数的应用，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．3．(1)y＝﹣10x+900（40≤x≤61）(2)58元(3)3【解析】【分析】（1）根据原销售件数减去减少的件数即为所求；（2）根据销售利润等于单件利润乘以销售量即可求解；（3）根据单件利润减去捐赠数为最后单件利润，再根据销售利润等于单件利润乘以销售量即可求解．(1)由题意得，y＝500﹣10（x﹣40）＝﹣10x+900；即y与x之间的函数关系式为：y＝﹣10x+900（40≤x≤61）；(2)根据题意得，（﹣10x+900）（x﹣30）＝8960，解得：x1＝62，x2＝58，∵40≤x≤61，∴x＝58，答：当销售单价是58元时，网店每天获利8960元；(3)设每天扣除捐赠后可获得利润为W，根据题意得，W＝（﹣10x+900）（x﹣30﹣a）＝﹣10x 2+（1200+10a ）x ﹣900（30+a ）＝﹣10（x ﹣1202a +）2+52（a ﹣60）2 ∵对称轴x ＝60+12a ，40≤x ≤61，2＜a ≤7，∴61＜12a +60≤6312∴x ＝61时，每天扣除捐赠后可获得最大利润为8120元，﹣10（x ﹣1202a +）2+52（a ﹣60）2取得最大值8120 ∴（61﹣30﹣a ）（900﹣10×61）＝8120，解得a ＝3答：a 的值为3．【点睛】本题考查了二次函数的应用，难度较大，最大销售利润的问题常利用函数的增减性来解答．4．(1)①153EF x =-；②4米(2)饲养场的宽DF 为3米时，饲养场DBEF 的面积最大，最大面积为272平方米 【解析】【分析】（1）①根据题意结合图形即可求解；②根据矩形的面积公式列方程求解即可；（2）设饲养场DBEF 的面积为S ，求出关于DF 的长的关于x 的函数关系式，根据二次函数的性质即可解答．(1)①设DF 的长为x 米，∵点D 在线段AB 上，∴()()1421153EF x x x =---=-米，②∵3AB =，∴3EF ≤，即1533x -≤，∴4x ≥；设DF 的长为x 米，根据题意得：()15312x x -=，解得：14x =，21x =（此时点D 不在线段AB 上，舍去），∴4x =，答：饲养场的长DF 为4米；(2)设饲养场DBEF 的面积为S ，DF 的长为x 米，①点D 在15段AB 上，由（1）知此时4x ≥，则()22575153315324S x x x x x ⎛⎫=-=-+=--+ ⎪⎝⎭， ∵30a ，抛物线对称轴是直线52x =， ∴在对称轴右侧，S 随x 的增大而减小，∴4x =时，S 有最大值，23415412S =-⨯+⨯=最大值（平方米）；②点D 在线段BA 的延长线上，此时4x <， 则()()2132715333222S x x x =-+=--+， ∵302a =-<，34<， ∴3x =时，S 有最大值，272S =最大值， ∴3x =时，272S =最大值（平方米）； ∵27122>， ∴饲养场的宽DF 为3米时，饲养场DBEF 的面积最大，最大面积为272平方米． 答：饲养场的宽DF 为3米时，饲养场DBEF 的面积最大，最大面积为272平方米． 【点睛】此题主要考查的是二次函数的应用，一元二次方程的应用，掌握矩形的面积计算方法是解题的关键．5．(1)w ＝-10x 2＋1400x -33000；(2)每盒售价订为70元时，可使当天获得最大销售利润，销售利润是16000元；(3)10≤a ＜30．【解析】【分析】（1）根据利润＝（售价-进价）×销量，即可得到w 关于x 的函数解析式；（2）把（1）中的函数解析式化成顶点式，根据二次函数的性质，即可得出答案；（3）根据题意，仿照（1）列出函数关系式，求出对称轴，再根据二次函数的性质分析，即可得到a 的取值范围．(1)解：当售价为x 元时，上涨（x -60）元，销量为500-10（x -60）＝-10x +1100，∴ w ＝（x -30）（-10x +1100）＝-10x 2＋1400x -33000，故w 关于x 的函数解析式是w ＝-10x 2＋1400x -33000；(2)解：w ＝-10x 2＋1400x -33000＝-10（x-70）2+16000∵-10＜0∴抛物线开口向下，函数有最大值即当x＝70时，w有最大值，最大值是16000，故每盒售价订为70元时，可使当天获得最大销售利润，销售利润是16000元．(3)解：由题意得w＝（x-30-a）（-10x+1100）＝-10x2＋（1400+10a）x-（33000+1100a）其中60≤x≤75，∵-10＜0∴抛物线开口向下，函数有最大值，抛物线的对称轴是x＝140010170202aa+-=+-，∵每天捐赠后的日销售利润随产品售价的增大而增大，∴当60≤x≤75时，w随着x的增大而增大，∴1702a+≥75即a≥10，又∵x-30-a＞0，∴a＜x-30，其中60≤x≤75，∴a＜60-30，即a＜30时，a＜x-30恒成立，∴ 10≤a＜30∴a的取值范围是10≤a＜30．【点睛】本题考查了二次函数在销售问题中的应用，熟练应用二次函数求最值是解决问题的关键．6．(1)该超要保证每天盈利6000元，那么每千克应涨价5元(2)当每千克水果涨价7.5元时，超市每天可获得最大利润，最大利润是6125元【解析】【分析】（1）根据题意和题目中的数据，可以列出相应的方程，然后求解即可；（2）根据题意，可以写出利润与每千克涨价之间的函数关系式，然后根据二次函数的性质，即可得到每千克水果涨价多少元时，超市每天可获得最大利润，最大利润是多少．(1)解：设每千克应涨价x元，由题意，得（10＋x）（500－20x）＝6000，整理，得x2－15x＋50＝0，解得：x＝5或x＝10，∵超市规定每千克涨价不能超过8元，∴x＝5，答：该超要保证每天盈利6000元，那么每千克应涨价5元；(2)解：设超市每天可获得利润为w 元，则w ＝（10＋x ）（500－20x ）＝－20x 2＋300x ＋5000＝－20（x －152）2＋6125， ∵－20＜0，∴当x ＝152＝7.5时，w 有最大值，最大值为6125， 答：当每千克水果涨价7.5元时，超市每天可获得最大利润，最大利润是6125元．【点睛】本题考查二次函数的应用、一元二次方程的应用，解答本题的关键是明确题意，写出相应的方程和函数关系式，利用二次函数的性质求最值．7．(1)515y x =-+(1≤x ≤2)(2)销售单价定为1.9万元时，利润最大为6.05万元【解析】(1)解：∵销售单价每上升1000元，则日均销量降低0.5吨，∴销售单价每上升1万元，则日均销量降低5吨．∴()1051515y x x =--=-+(1≤x ≤2)；(2)解：依题意，得()()()220.8515519125 1.9 6.05x x x x W x =--+=-+-=--+， 5<0-，∴当x ＝1.9时，W 取得最大值，最大值为6.05万元．答：销售单价定为1.9万元时，利润最大为6.05万元．【点睛】本题考查了二次函数和一次函数的应用，关键是找到等量关系列出函数解析式． 8．(1)S ＝﹣2x 2+32x(2)12(3)2.8【解析】【分析】（1）根据矩形面积公式即可写出函数关系式；（2）根据（1）所得关系式，将S =96代入即可求解；（3）再开一个宽为a 的门，即矩形的另一边长为（32-2x +a ）m ，根据矩形的面积公式即可求解．(1)根据题意得，S ＝（30﹣2x +2）x ＝﹣2x 2+32x ；当S ＝96时，即96＝﹣2x 2+32x ，解得：x 1＝12，x 2＝4，∵墙长10米，∴30﹣8+2＝25＞10，∴x 的值为12；(3)∵S ＝（30﹣2x +a +2）x ＝﹣2x 2+（32+a ）x ，∵32﹣2x +a ≤10，则x ≥12a +11，∵面积取得最大值为S ＝124，∴﹣2x 2+（32+a ）x ＝124，把x ＝12a +11代入，得﹣2（12a +11）2+（32+a ）（12a +11）＝124，解得a ＝2.8．答：a 的值为2.8．【点睛】本题主要考查二次函数的应用，根据矩形面积公式得出函数解析式是根本，根据养鸡场的长不超过墙长取舍是关键．9．(1)每次下降的百分率为20%；(2)每千克应涨价5元；(3)应涨价7.5元，此时每天的最大盈利是6125元．【解析】【分析】（1）设每次下降的百分率是x ，找出等量条件列方程求解即可；（2）设每千克应涨价a 元，利润为W ，找出等量条件列方程求解即可；（3）根据（2）中的()()=1050020W a a +-，求二次函数的最值即可．(1)解：设每次下降的百分率是x ，则由题意列方程得： ()2501=32x -解之得：1=1.8x （舍去），1=0.2x ，故每次下降的百分率是20%；(2)解：设每千克应涨价a 元，利润为W ，则由题意列方程得： ()()=1050020W a a +-令(10)(50020)=6000W a a =+-，解方程得：5a =或10a =，∵要尽快减少库存，∴取5a =，即每千克应涨价5元；解：由（2）可得()22(10)(50020)=203005000=207.56125W a a a a a =+--++--+， 当3007.52(20)a =-=⨯-时，W 取最大值为6125元， ∴应涨价7.5元，此时每天的最大盈利是6125元．【点睛】本题考查一元二次方程的实际应用：增长率问题，二次函数的实际应用：销售问题，解该类题的关键是找出等量条件列方程求解，将销售问题中的最大利润问题转化成求二次函数最值问题．10．(1)724510y x =-+(2)当售价为250元时，商场每月所获利润最大，最大利润为7000元(3)不能，理由见解析【解析】【分析】（1）根据表格数据判断为一次函数，设y kx b =+，用待定系数法求出解析时； （2）利润=单件利润⨯销售数量，化简为二次函数的顶点式，根据函数性质判断；（3）计算按（2）中获得最大月利润的方式进行销售时的数量，与580比较．(1)解：由表格可知，此函数为一次函数，故设y kx b =+；则有24077{22091k b k b +=+=， 解得710245k b ⎧=-⎪⎨⎪=⎩，724510y x ∴=-+；(2)设销售利润为w 元，由题意得：7(150)(245)10w x x =--+273503675010x x =-+-27(250)700010x =--+ 7010a =-<，w ∴有最大值，∴当250x =时，w 取最大值，7000w =最大，答：当售价为250元时，商场每月所获利润最大，最大利润为7000元；(3)当250x =时，70y =（件），70(124)560580⨯-=<，∴12月底不能销售完这批服装．【点睛】本题考查一次函数和二次函数的实际应用，解题关键用待定系数法求出一次函数解析式，注意二次函数最值讨论时,一般整理成顶点式，再通过看a 值确定最大值或最小值．。
二次函数综合应用 知识归纳+真题解析
二次函数综合应用 知识归纳＋真题解析【知识归纳】一．二次函数与一元二次方程的关系一元二次方程ax 2+bx+c=0(a ≠0)的解的情况等价于抛物线y=ax 2+bx+c(c ≠0)与直线y=0(即x 轴)的公共点的个数。
抛物线y=ax 2+bx+c(a ≠0)与x 轴的公共点有三种情况： 公共点（即有两个交点）， 公共点， 公共点，因此有：(1)抛物线y=ax 2+bx+c 与x 轴有两个公共点(x 1，0)(x 2，0)，一元二次方程ax 2+bx+c=0有 个不等实根△=b 2-4ac 0。
⇔(2)抛物线y=ax 2+bx+c 与x 轴只有一个公共点时，此公共点即为顶点(，0)一2b a -⇔元二次方程ax 2+bx+c=0有 实根， 122b x x a==-⇔(3)抛物线y=ax 2+bx+c 与x 轴没有公共点，一元二次方程ax 2+bx+c=0 根△⇔=b 2-4ac 0.二．二次函数的应用.利用二次函数能解决生活实际问题如物体运动规律、销售问题、利润问题、几何图形变化问题等等.【知识归纳答案】一．二次函数与一元二次方程的关系两个公共点（即有两个交点），一个公共点，没有公共点，因此有：(1)抛物线y=ax 2+bx+c 与x 轴有两个公共点(x 1，0)(x 2，0)，一元二次方程ax 2+bx+c=0有两个不等实根△=b 2-4ac ＞0。
⇔(2)抛物线y=ax 2+bx+c 与x 轴只有一个公共点时，此公共点即为顶点(，0) 一元2b a -⇔二次方程ax 2+bx+c=0有两个相等实根，122b x x a==-⇔240b ac -=(3)抛物线y=ax 2+bx+c 与x 轴没有公共点，一元二次方程ax 2+bx+c=0没有实数根△⇔=b 2-4ac ＜0.二．二次函数的应用.利用二次函数能解决生活实际问题如物体运动规律、销售问题、利润问题、几何图形变化问题等等.真题解析一．选择题（共5小题）1．设直线x=1是函数y=ax2+bx+c（a，b，c是实数，且a＜0）的图象的对称轴，（ ）A．若m＞1，则（m﹣1）a+b＞0B．若m＞1，则（m﹣1）a+b＜0C．若m＜1，则（m﹣1）a+b＞0D．若m＜1，则（m﹣1）a+b＜0【考点】H4：二次函数图象与系数的关系．【分析】根据对称轴，可得b=﹣2a，根据有理数的乘法，可得答案．【解答】解：由对称轴，得b=﹣2a．（m+1）a+b=ma+a﹣2a=（m﹣1）a，当m＞1时，（m﹣1）a＜0，（m﹣1）a+b与0无法判断．当m＜1时，（m﹣1）a＞0，（m﹣1）a+b＞0．故选：C．2．如图，是二次函数y=ax2+bx+c的图象，对下列结论①ab＞0，②abc＞0，③＜1，其中错误的个数是（ ）A．3B．2C．1D．0【考点】H4：二次函数图象与系数的关系．【分析】根据抛物线的开口方向，判断a的符号，对称轴在y轴的右侧判断b 的符号，抛物线和y轴的交点坐标判断c的符号，以及抛物线与x轴的交点个数判断b2﹣4ac的符号．【解答】解：∵抛物线的开口向上，∴a＞0，∵对称轴在y轴的右侧，∴b＜0，∴ab＜0，故①错误；∵抛物线和y轴的负半轴相交，∴c＜0，∴abc＞0，故②正确；∵抛物线与x轴有两个交点，∴b2﹣4ac＞0，∴＜1，故③正确；故选C．3．已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，以下四个结论：①a＞0；②c＞0；③b2﹣4ac＞0；④﹣＜0，正确的是（ ）A．①②B．②④C．①③D．③④【考点】H4：二次函数图象与系数的关系．【分析】①由抛物线开口向上可得出a＞0，结论①正确；②由抛物线与y轴的交点在y轴负半轴可得出c＜0，结论②错误；③由抛物线与x轴有两个交点，可得出△=b2﹣4ac＞0，结论③正确；④由抛物线的对称轴在y轴右侧，可得出﹣＞0，结论④错误．综上即可得出结论．【解答】解：①∵抛物线开口向上，∴a＞0，结论①正确；②∵抛物线与y轴的交点在y轴负半轴，∴c＜0，结论②错误；③∵抛物线与x轴有两个交点，∴△=b2﹣4ac＞0，结论③正确；④∵抛物线的对称轴在y轴右侧，∴﹣＞0，结论④错误．故选C．4．如图，垂直于x轴的直线AB分别与抛物线C1：y=x2（x≥0）和抛物线C2：y=（x≥0）交于A，B两点，过点A作CD∥x轴分别与y轴和抛物线C2交于点C，D，过点B作EF∥x轴分别与y轴和抛物线C1交于点E，F，则的值为（ ）A．B．C．D．【考点】H5：二次函数图象上点的坐标特征．【分析】可以设A、B横坐标为a，易求得点E、F、D的坐标，即可求得OE、CE、AD、BF的长度，即可解题．【解答】解：设点A、B横坐标为a，则点A纵坐标为a2，点B的纵坐标为，∵BE∥x轴，∴点F纵坐标为，∵点F是抛物线y=x2上的点，∴点F横坐标为x==，∵CD∥x轴，∴点D纵坐标为a2，∵点D是抛物线y=上的点，∴点D横坐标为x==2a，∴AD=a，BF=a，CE=a2，OE=a2，∴则==×=，故选D．5．如图，将函数y=（x﹣2）2+1的图象沿y轴向上平移得到一条新函数的图象，其中点A（1，m），B（4，n）平移后的对应点分别为点A'、B'．若曲线段AB扫过的面积为9（图中的阴影部分），则新图象的函数表达式是（ ）A．B．C．D．【考点】H6：二次函数图象与几何变换．【分析】先根据二次函数图象上点的坐标特征求出A、B两点的坐标，再过A 作AC∥x轴，交B′B的延长线于点C，则C（4，1），AC=4﹣1=3，根据平移的性质以及曲线段AB扫过的面积为9（图中的阴影部分），得出AA′=3，然后根据平移规律即可求解．【解答】解：∵函数y=（x﹣2）2+1的图象过点A（1，m），B（4，n），∴m=（1﹣2）2+1=1，n=（4﹣2）2+1=3，∴A（1，1），B（4，3），过A作AC∥x轴，交B′B的延长线于点C，则C（4，1），∴AC=4﹣1=3，∵曲线段AB扫过的面积为9（图中的阴影部分），∴AC•AA′=3AA′=9，∴AA′=3，即将函数y=（x﹣2）2+1的图象沿y轴向上平移3个单位长度得到一条新函数的图象，∴新图象的函数表达式是y=（x﹣2）2+4．故选D．二．填空题（共5小题）6．对于实数p，q，我们用符号min{p，q}表示p，q两数中较小的数，如min{1，2}=1，因此，min{﹣，﹣}= ﹣ ；若min{（x﹣1）2，x2}=1，则x= 2或﹣1 ．【考点】H3：二次函数的性质；2A：实数大小比较．【分析】首先理解题意，进而可得min{﹣，﹣ }=﹣，min{（x﹣1）2，x2}=1时再分情况讨论，当x=0.5时，x＞0.5时和x＜0.5时，进而可得答案．【解答】解：min{﹣，﹣ }=﹣，∵min{（x﹣1）2，x2}=1，当x=0.5时，x2=（x﹣1）2，不可能得出，最小值为1，∴当x＞0.5时，（x﹣1）2＜x2，则（x﹣1）2=1，x﹣1=±1，x﹣1=1，x﹣1=﹣1，解得：x1=2，x2=0（不合题意，舍去），当x＜0.5时，（x﹣1）2＞x2，则x2=1，解得：x1=1（不合题意，舍去），x2=﹣1，故答案为：；2或﹣1．7．若抛物线y=ax2+bx+c的开口向下，则a的值可能是 ﹣1 ．（写一个即可）【考点】H3：二次函数的性质．【分析】根据二次项系数小于0，二次函数图象开口向下解答．【解答】解：∵抛物线y=ax2+bx+c的开口向下，∴a＜0，∴a的值可能是﹣1，故答案为：﹣1．8．已知抛物线：y=ax2+bx+c（a＞0）经过A（﹣1，1），B（2，4）两点，顶点坐标为（m，n），有下列结论：①b＜1；②c＜2；③0＜m＜；④n≤1．则所有正确结论的序号是 ①②④ ．【考点】H4：二次函数图象与系数的关系．【分析】根据点A、B的坐标，利用待定系数法即可求出b=﹣a+1、c=﹣2a+2，结合a＞0，可得出b＜1、c＜2，即结论①②正确；由抛物线顶点的横坐标m=﹣，可得出m=﹣，即m＜，结论③不正确；由抛物线y=ax2+bx+c（a＞0）经过A（﹣1，1），可得出n≤1，结论④正确．综上即可得出结论．【解答】解：∵抛物线过点A（﹣1，1），B（2，4），∴，∴b=﹣a+1，c=﹣2a+2．∵a＞0，∴b＜1，c＜2，∴结论①②正确；∵抛物线的顶点坐标为（m，n），∴m=﹣=﹣=﹣，∴m＜，结论③不正确；∵抛物线y=ax2+bx+c（a＞0）经过A（﹣1，1），顶点坐标为（m，n），∴n≤1，结论④正确．综上所述：正确的结论有①②④．故答案为：①②④．9．已知正方形ABCD中A（1，1）、B（1，2）、C（2，2）、D（2，1），有一抛物线y=（x+1）2向下平移m个单位（m＞0）与正方形ABCD的边（包括四个顶点）有交点，则m的取值范围是 2≤m≤8 ．【考点】H6：二次函数图象与几何变换．【分析】根据向下平移横坐标不变，分别代入B的横坐标和D的横坐标求得对应的函数值，即可求得m的取值范围．【解答】解：设平移后的解析式为y=y=（x+1）2﹣m，将B点坐标代入，得4﹣m=2，解得m=2，将D点坐标代入，得9﹣m=1，解得m=8，y=（x+1）2向下平移m个单位（m＞0）与正方形ABCD的边（包括四个顶点）有交点，则m的取值范围是2≤m≤8，故答案为：2≤m≤8．10．如图是抛物线y1=ax2+bx+c（a≠0）的图象的一部分，抛物线的顶点坐标是A（1，3），与x轴的一个交点是B（4，0），直线y2=mx+n（m≠0）与抛物线交于A，B两点，下列结论：①abc＞0；②方程ax2+bx+c=3有两个相等的实数根；③抛物线与x轴的另一个交点是（﹣1，0）；④当1＜x＜4时，有y2＞y1；⑤x（ax+b）≤a+b，其中正确的结论是 ②⑤ ．（只填写序号）【考点】HC：二次函数与不等式（组）；H4：二次函数图象与系数的关系；HA：抛物线与x轴的交点．【分析】根据二次函数的性质、方程与二次函数的关系、函数与不等式的关系一一判断即可．【解答】解：由图象可知：a＜0，b＞0，c＞0，故abc＜0，故①错误．观察图象可知，抛物线与直线y=3只有一个交点，故方程ax2+bx+c=3有两个相等的实数根，故②正确．根据对称性可知抛物线与x轴的另一个交点是（﹣2，0），故③错误，观察图象可知，当1＜x＜4时，有y2＜y1，故④错误，因为x=1时，y1有最大值，所以ax2+bx+c≤a+b+c，即x（ax+b）≤a+b，故⑤正确，所以②⑤正确，故答案为②⑤．三．解答题（共7小题）11．设a、b是任意两个实数，用max{a，b}表示a、b两数中较大者，例如：max{﹣1，﹣1}=﹣1，max{1，2}=2，max{4，3}=4，参照上面的材料，解答下列问题：（1）max{5，2}= 5 ，max{0，3}= 3 ；（2）若max{3x+1，﹣x+1}=﹣x+1，求x的取值范围；（3）求函数y=x2﹣2x﹣4与y=﹣x+2的图象的交点坐标，函数y=x2﹣2x﹣4的图象如图所示，请你在图中作出函数y=﹣x+2的图象，并根据图象直接写出max{﹣x+2，x2﹣2x﹣4}的最小值．【考点】H7：二次函数的最值；F3：一次函数的图象；F5：一次函数的性质；H2：二次函数的图象．【分析】（1）根据max{a，b}表示a、b两数中较大者，即可求出结论；（2）根据max{3x+1，﹣x+1}=﹣x+1，即可得出关于x的一元一次不等式，解之即可得出结论；（3）联立两函数解析式成方程组，解之即可求出交点坐标，画出直线y=﹣x+2的图象，观察图形，即可得出max{﹣x+2，x2﹣2x﹣4}的最小值．【解答】解：（1）max{5，2}=5，max{0，3}=3．故答案为：5；3．（2）∵max{3x+1，﹣x+1}=﹣x+1，∴3x+1≤﹣x+1，解得：x≤0．（3）联立两函数解析式成方程组，，解得：，，∴交点坐标为（﹣2，4）和（3，﹣1）．画出直线y=﹣x+2，如图所示，观察函数图象可知：当x=3时，max{﹣x+2，x2﹣2x﹣4}取最小值﹣1．（2）当y=0时（x+a）（x﹣a﹣1）=0，解得x1=﹣a，x2=a+1，y1的图象与x轴的交点是（﹣a，0），（a+1，0），当y2=ax+b经过（﹣a，0）时，﹣a2+b=0，即b=a2；当y2=ax+b经过（a+1，0）时，a2+a+b=0，即b=﹣a2﹣a；（3）当P在对称轴的左侧（含顶点）时，y随x的增大而增大，（1，n）与（0，n）关于对称轴对称，由m＜n，得0＜x0≤；当时P在对称轴的右侧时，y随x的增大而减小，由m＜n，得＜x0＜1，综上所述：m＜n，求x0的取值范围0＜x0＜1．13．如图，已知抛物线y=﹣x2+bx+c与x轴交于点A（﹣1，0）和点B（3，0），与y轴交于点C，连接BC交抛物线的对称轴于点E，D是抛物线的顶点．（1）求此抛物线的解析式；（2）直接写出点C和点D的坐标；（3）若点P在第一象限内的抛物线上，且S△ABP=4S△COE，求P点坐标．注：二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的顶点坐标为（﹣，）【考点】H4：二次函数图象与系数的关系；H3：二次函数的性质；H5：二次函数图象上点的坐标特征；H8：待定系数法求二次函数解析式；HA：抛物线与x 轴的交点．【分析】（1）将A、B的坐标代入抛物线的解析式中，即可求出待定系数b、c 的值，进而可得到抛物线的对称轴方程；（2）令x=0，可得C点坐标，将函数解析式配方即得抛物线的顶点C的坐标；（3）设P（x，y）（x＞0，y＞0），根据题意列出方程即可求得y，即得D点坐标．【解答】解：（1）由点A（﹣1，0）和点B（3，0）得，解得：，∴抛物线的解析式为y=﹣x2+2x+3；（2）令x=0，则y=3，∴C（0，3），∵y=﹣x2+2x+3=﹣（x﹣1）2+4，∴D（1，4）；（3）设P（x，y）（x＞0，y＞0），S△COE=×1×3=，S△ABP=×4y=2y，∵S△ABP=4S△COE，∴2y=4×，∴y=3，∴﹣x2+2x+3=3，解得：x1=0（不合题意，舍去），x2=2，∴P（2，3）．14．如图，△AOB的顶点A、B分别在x轴，y轴上，∠BAO=45°，且△AOB的面积为8．（1）直接写出A、B两点的坐标；（2）过点A、B的抛物线G与x轴的另一个交点为点C．①若△ABC是以BC为腰的等腰三角形，求此时抛物线的解析式；②将抛物线G向下平移4个单位后，恰好与直线AB只有一个交点N，求点N 的坐标．【考点】HA：抛物线与x轴的交点；H6：二次函数图象与几何变换；KH：等腰三角形的性质．【分析】（1）首先证明OA=OB，利用三角形的面积公式，列出方程即可求出OA、OB，由此即可解决问题；（2）①首先确定A、B、C的坐标，再利用的待定系数法即可解决问题；②抛物线G向下平移4个单位后，经过原点（0，0）和（4，﹣4），设抛物线的解析式为y=mx2+nx，把（4，﹣4）代入得到n=﹣1﹣4m，可得抛物线的解析式为y=mx2+（﹣1﹣4m）2x，由，消去y得到mx2﹣4mx﹣4=0，由题意△=0，可得16m2+16m=0，求出m的值即可解决问题．【解答】解：（1）在Rt△AOB中，∵∠BAO=45°，∴AO=BO，∴•OA•OB=8，∴OA=OB=4，∴A（4，0），B（0，4）．（2）①由题意抛物线经过C（﹣4，0），B（0，4），A（4，0），顶点为B（0，4），时抛物线解析式为y=ax2+4，（4，0）代入得到a=﹣，∴抛物线的解析式为y=﹣x2+4．②抛物线G向下平移4个单位后，经过原点（0，0）和（4，﹣4），设抛物线的解析式为y=mx2+nx，把（4，﹣4）代入得到n=﹣1﹣4m，∴抛物线的解析式为y=mx2+（﹣1﹣4m）2x，由，消去y得到mx2﹣4mx﹣4=0，由题意△=0，∴16m2+16m=0，∵m≠0，∴m=﹣1，∴抛物线的解析式为y=﹣x2+3x，由，解得，∴N（2，2）．15．已知抛物线C1：y=ax2﹣4ax﹣5（a＞0）．（1）当a=1时，求抛物线与x轴的交点坐标及对称轴；（2）①试说明无论a为何值，抛物线C1一定经过两个定点，并求出这两个定点的坐标；②将抛物线C1沿这两个定点所在直线翻折，得到抛物线C2，直接写出C2的表达式；（3）若（2）中抛物线C2的顶点到x轴的距离为2，求a的值．【考点】HA：抛物线与x轴的交点；H6：二次函数图象与几何变换．【分析】（1）将a=1代入解析式，即可求得抛物线与x轴交点；（2）①化简抛物线解析式，即可求得两个定点的横坐标，即可解题；②根据抛物线翻折理论即可解题；（3）根据（2）中抛物线C2解析式，分类讨论y=2或﹣2，即可解题；【解答】解：（1）当a=1时，抛物线解析式为y=x2﹣4x﹣5=（x﹣2）2﹣9，∴对称轴为x=2；∴当y=0时，x﹣2=3或﹣3，即x=﹣1或5；∴抛物线与x轴的交点坐标为（﹣1，0）或（5，0）；（2）①抛物线C1解析式为：y=ax2﹣4ax﹣5，整理得：y=ax（x﹣4）﹣5；∵当ax（x﹣4）=0时，y恒定为﹣5；∴抛物线C1一定经过两个定点（0，﹣5），（4，﹣5）；②这两个点连线为y=﹣5；将抛物线C1沿y=﹣5翻折，得到抛物线C2，开口方向变了，但是对称轴没变；∴抛物线C2解析式为：y=﹣ax2+4ax﹣5，（3）抛物线C2的顶点到x轴的距离为2，则x=2时，y=2或者﹣2；当y=2时，2=﹣4a+8a﹣5，解得，a=；当y=﹣2时，﹣2=﹣4a+8a﹣5，解得，a=；∴a=或；16．湖州素有鱼米之乡之称，某水产养殖大户为了更好地发挥技术优势，一次性收购了20000kg淡水鱼，计划养殖一段时间后再出售．已知每天放养的费用相同，放养10天的总成本为30.4万元；放养20天的总成本为30.8万元（总成本=放养总费用+收购成本）．（1）设每天的放养费用是a万元，收购成本为b万元，求a和b的值；（2）设这批淡水鱼放养t天后的质量为m（kg），销售单价为y元/kg．根据以往经验可知：m与t的函数关系为；y与t的函数关系如图所示．①分别求出当0≤t≤50和50＜t≤100时，y与t的函数关系式；②设将这批淡水鱼放养t天后一次性出售所得利润为W元，求当t为何值时，W最大？并求出最大值．（利润=销售总额﹣总成本）【考点】HE：二次函数的应用．当50＜t≤100时，设y与t的函数解析式为y=k2t+n2，将点（50，25）、代入，得：，解得：，∴y与t的函数解析式为y=﹣t+30；②由题意，当0≤t≤50时，W=20000（t+15）﹣=3600t，∵3600＞0，∴当t=50时，W最大值=180000（元）；当50＜t≤100时，W=（﹣t+30）﹣=﹣10t2+1100t+150000=﹣10（t﹣55）2+180250，∵﹣10＜0，∴当t=55时，W最大值=180250（元），综上所述，放养55天时，W最大，最大值为180250元．17．我市雷雷服饰有限公司生产了一款夏季服装，通过实体商店和网上商店两种途径进行销售，销售一段时间后，该公司对这种商品的销售情况，进行了为期30天的跟踪调查，其中实体商店的日销售量y1（百件）与时间t（t为整数，单位：天）的部分对应值如下表所示，网上商店的日销售量y2（百件）与时间t（t为整数，单位：天）的部分对应值如图所示．0510********时间t（天）025*********日销售量y1（百件）（1）请你在一次函数、二次函数和反比例函数中，选择合适的函数能反映y1与t的变化规律，并求出y1与t的函数关系式及自变量t的取值范围；（2）求y2与t的函数关系式，并写出自变量t的取值范围；（3）在跟踪调查的30天中，设实体商店和网上商店的日销售总量为y（百件），求y与t的函数关系式；当t为何值时，日销售总量y达到最大，并求出此时的最大值．【考点】HE：二次函数的应用．【分析】（1）根据观察可设y1=at2+bt+c，将（0，0），（5，25），（10，40）代入即可得到结论；（2）当0≤t≤10时，设y2=kt，求得y2与t的函数关系式为：y2=4t，当10≤t ≤30时，设y2=mt+n，将（10，40），（30，60）代入得到y2与t的函数关系式为：y2=k+30，（3）依题意得y=y1+y2，当0≤t≤10时，得到y最大=80；当10＜t≤30时，得到y最大=91.2，于是得到结论．【解答】解（1）根据观察可设y1=at2+bt+c，将（0，0），（5，25），（10，40）代入得：，解得，∴y1与t的函数关系式为：y1=﹣t2+6t（0≤t≤30，且为整数）；（2）当0≤t≤10时，设y2=kt，∵（10，40）在其图象上，∴10k=40，∴k=4，∴y2与t的函数关系式为：y2=4t，当10≤t≤30时，设y2=mt+n，将（10，40），（30，60）代入得，解得，∴y2与t的函数关系式为：y2=k+30，综上所述，y2=；（3）依题意得y=y1+y2，当0≤t≤10时，y=﹣t2+6t+4t=﹣t2+10t=﹣（t﹣25）2+125，∴t=10时，y最大=80；当10＜t≤30时，y=﹣t2+6t+t+30=﹣t2+7t+30=﹣（t﹣）2+，∵t为整数，∴t=17或18时，y最大=91.2，∵91.2＞80，∴当t=17或18时，y最大=91.2（百件）．。
中考二次函数应用题(含答案解析)
中考二次函数应用题(含答案解析)二次函数应用题1．汽车智能辅助驾驶已开始得到应用，其自动刹车的工作原理是用雷达测出车辆与前方障碍物之间的距离（并集合车速转化为所需时间），当此距离等于报警距离时就开始报警提醒，等于危险距离时就自动刹车．若将报警时间划分为4段，分别为准备时间t 0、人的反应时间t 1、系统反应时间t 2、制动时间t 3，相应的距离分别为d 0，d 1，d 2，d 3，如下图所示．当车速为v （米/秒），且(0,33.3]v ∈时，通过大数据统计分析得到下表给出的数据（其中系数k 随地面湿滑程度等路面情况而变化，[1,2]∈k ）．阶段 0．准备 1．人的反应 2．系统反应 3．制动时间时间 t 0 t 1=0.8秒 t 2=0.2秒 t 3距离d 0=10米d 1d 22320v d k =米(1)请写出报警距离d （米）与车速v （米/秒）之间的函数关系式d （v ）；(2)若要求汽车不论在何种路面情况下行驶，报警距离均小于50米，则汽车的行驶速度应限制在多少千米/小时？2．某公司电商平台，在2021年五一长假期间，举行了商品打折促销活动，经市场调查发现，某种商品的周销售量y （件）是关于售价x （元/件）的一次函数，下表仅列出了该商品的售价x ，周销售量y ，周销售利润W （元）的三组对应值数据．x 30 50 80 y 140 100 40 W140030002400(1)求y 关于x 的函数解析式（不要求写出自变量的取值范围）；(2)若该商品进价a （元/件），售价x 为多少时，周销售利润W 最大？并求出此时的最大利润；(3)因疫情期间，该商品进价提高了m （元/件）()0m >，公司为回馈消费者，规定该商品售价x 不得超过55（元/件），且该商品在今后的销售中，周销售量与售价仍满足（1）中的函数关系，若周销售最大利润是2700元，求m 的值．3．某企业研发出一种新产品，该产品的成本为每件3000元．在试用期间营销部门建议：①购买不超过10件时，每件销售价为3600元；②购买超过10件，每多购一件，所购产品的销单价均降5元，但最低销售单价为3200元．根据以上信息解决下列问题：(1)直接写出购买产品______件时，销售单价恰好为3200元；x ，且x为整数），该公司所获利润为y元，求y与x之(2)设购买这种产品x件（其中10间的函数解析式，并写出自变量x的取值范围；(3)在试用期间，当购买产品的件数超过10件时，为使销售数量越多，公司所利润越大，公司应将最低销售单价调整为多少元（其它销售条件不变）？4．李大爷每年春节期间都会购进一批新年红包销售，根据往年的销售经验，这种红包平均每天可销售50袋，每袋盈利3元，若每袋降价0.5元，平均每天可多售出25袋，设每袋降x元，平均每天的利润为y元．(1)请求出y与x的函数表达式；(2)若李大爷想让每天的利润最大化，应该降价多少元销售？最大利润为多少元？5．某地想要建造儿童直线斜坡轨道滑车设施（如图），为防止滑车下滑速度过快，轨道与地面夹角要适度，根据儿童能够在斜坡轨道上的滑行时间来确定直线斜坡轨道的长度．为解决此问题，小明用小车沿斜面滑下的实验来模拟此过程．借助打点计时器（一种测量短暂时间的工具，每隔0.02s打一次点），让小车带动纸带通过打点计时器，再按顺序测得相邻各点之间的距离数据如下表：时间（秒）00.020.040.060.080.10相邻各点的距离（厘米）00.30.50.70.9 1.0(1)当时间为0.04秒时，滑行距离是______厘米；(2)请在下图网格中建立平面直角坐标系，以时间为横坐标，以滑行距离为纵坐标，根据表格中的数据计算并描点，用平滑的曲线连起来；(3)通过计算确定滑车能够在斜坡轨道上滑行10秒时直线斜坡轨道的长度．6．某商场经营某种品牌的玩具，购进时的单价是30元，根据市场调查，在一段时间内，销售单价是40元，销售量是600件，而销售单价每涨1元，就会少售出10件玩具． (1)不妨设该种品牌玩具的销售单价为x 元（40x >），请你分别用x 的代数式来表示销售量y 件和销售该品牌玩具获得利润ω元．(2)在（1）问条件下，若玩具厂规定该品牌玩具销售单价不低于44元，且商场要完成不少于540件的销售任务，求商场销售该品牌玩具获得的最大利润是多少？7．为进一步落实“双减增效”政策，某校增设活动拓展课程——开心农场．如图，准备利用现成的一堵“L ”字形的墙面（粗线ABC 表示墙面，已知AB BC ⊥，3AB =米，1BC =米）和总长为14米的篱笆围建一个“日”字形的小型农场DBEF （细线表示篱笆，小型农场中间GH 也是用篱笆隔开），点D 可能在线段AB 上（如图1），也可能在线段BA 的延长线上（如图2），点E 在线段BC 的延长线上．(1)当点D 在线段AB 上时，①设DF 的长为x 米，请用含x 的代数式表示EF 的长；②若要求所围成的小型农场DBEF 的面积为12平方米，求DF 的长； (2)DF 的长为多少米时，小型农场DBEF 的面积最大?最大面积为多少平方米? 8．在“乡村振兴”行动中，某村办企业开发了一种有机产品，该产品的成本为每盒30元．市场调查发现：该产品每盒的售价是60元时，每天可以销售500盒，每涨价1元，每天少销售10盒．(1)设每盒产品的售价是x 元（x 是整数），每天的利润是w 元，求w 关于x 的函数解析式；(2)当每盒售价订为多少元时，可使当天获得最大销售利润，销售利润是多少？(3)现在该企业打算回报社会，每销售1盒捐赠a 元()5a >给村级经济合作社，物价部门要求该产品销售定价不得超过每盒75元，该企业在严格执行物价部门的定价前提下欲使每天捐赠后的日销售利润随产品售价的增大而增大，求a 的取值范围．9．为了“创建文明城市，建设美丽家园”，青春科技生态有限公司种植和销售一种有机绿色草皮．已知该草皮的成本是15元/2m ，规定销售价格不低于成本，又不高于成本的两倍．经市场调查发现，某天该草皮的销售量()2m y 与销售价格x （元/2m ）的函数关系如图所示．(1)求y 与x 间的函数解析式；(2)求这一天销售草皮获得的利润w 的最大值；(3)若该公司按每销售21m 草皮提取1元用于捐资助学，且保证捐款后每天的销售利润不低于7200元，直接写出该草皮销售价格的范围． 10．问题提出(1)如图①，在矩形ABCD 中，4AB =，6BC =，点F 是AB 的中点，点E 在BC 上，2BE EC =，连接FE 并延长交DC 的延长线于点G ，求CG 的长；问题解决(2)如图②，某生态农庄有一块形状为平行四边形ABCD 的土地，其中4km AB =，6km BC =，60B ∠=︒．管理者想规划出一个形状为EMP 的区域建成亲子采摘中心，根据设计要求，点E 是AD 的中点，点P 、M 分别在BC 、AB 上，PM AB ⊥．设BP 的长为(km)x ，EMP 的面积为y 2(km )．①求y 与x 之间的函数关系式；②为容纳更多的游客，要求EMP 的面积尽可能的大，请求出EMP 面积的最大值，并求出此时BP 的长．【参考答案】二次函数应用题1．(1)()210033.320v d v v k =++<≤(2)汽车的行驶速度应限制在72千米/小时 【解析】 【分析】（1）根据0123=+++d d d d d 即可得到答案；（2）由已知得21020v d v k=++，要求50d <，即要求2140120k v v <-恒成立，根据12k 可得2401120v v ->，即可解得答案． (1)解：由题意得 20123100.80.220v d d d d d v v k =+++=+++，故答案为：()210033.320v d v v k =++<≤；(2)解：对任意()12k k ，均要求50d <， 2105020v v k∴++<恒成立，即2140120k v v <-恒成立， 12k ，∴111402020k， ∴2401120v v ->， 化简整理得2208000v v +-<， 解得4020v -<<，020v ∴<<，∴汽车的行驶速度应限制在20米/秒以下，即72千米/小时以下，答：汽车的行驶速度应限制在72千米/小时． 【点睛】本题考查二次函数的实际应用和列函数关系式，解题的关键是读懂题意，根据12k 得出2401120v v ->． 2．(1)2200y x =-+(2)售价为60元时，周销售利润最大为3200元 (3)5 【解析】 【分析】（1）设y ＝kx ＋b ，把x ＝30，y ＝140和x ＝50，y ＝100，代入可得解析式；（2）根据利润＝（售价−进价）×数量，得()()202200w x x =--+，根据顶点的纵坐标是有最大值求解即可；（3）根据利润＝（售价−进价）×数量，得W ＝()()202200x m x ---+（x ≤55），其对称轴x ＝60＋2m＞60，0＜x ≤55时，函数单调递增，只有x ＝55时周销售利润最大，即可得m ＝5． (1)解：设y 关于x 的函数解析式为y kx b =+， 把x ＝30，y ＝140和x ＝50，y ＝100，代入得，1403010050k bk b =+⎧⎨=+⎩， 解得2200k b =-⎧⎨=⎩，∴2200y x =-+；(2)∵()140301400a -=， ∴20a =，()()()22202200224040002603200w x x x x x =--+=-+-=--+，∴售价为60元时，周销售利润最大为3200元． (3)()()()2202200222402004000w x m x x m x m =---+=-++--对称轴为：60552mx =+> ∵55x ≤，在对称轴左侧，w 随x 的增大而增大，当55x =时，w 最大＝2700，()()55202552002700m ---⨯+=， ∴5m =． 【点睛】本题考查了本题考查二次函数的应用，解本题的关键理解题意，掌握二次函数的性质和销售问题中利润公式． 3．(1)90(2)()2200905650(1090)x x xyx x x x⎧≥⎪=⎨-+<<⎪⎩，为整数，为整数(3)公司应将最低销售单价调整为3325元【解析】【分析】(1)购买这种产品x件时，销售单价恰好为3200元，由题意得：3600-5(x-10)=3200，即可求解；(2)分10＜x＜90和x≥90两种情况，分别求解即可；(3)根据(2)中求出的函数解析式，结合二次函数与一次函数的增减性求解即可．(1)解：设购买这种产品x件时，销售单价恰好为3200元，由题意得：3600-5(x-10)=3200，解得：x=90，故答案为：90；(2)当x≥90时，一件产品的利润为：3200-3000=200元，故此时y与x的函数关系式为：y=200x(x≥90)；当10＜x＜90时，一件产品的利润为：3600-5(x-10)-3000=(-5x+650)元，故此时y与x的函数关系式为：y=x[-5x+650]=-5x²+650x(10＜x＜90)；故答案为：()2200905650(1090)x x xyx x x x⎧≥⎪=⎨-+<<⎪⎩，为整数，为整数；(3)要满足购买数量越大，利润越多．故y随x的增大而增大，y=200x，y随x的增大而增大，y=-5x2+650x，其对称轴为x=65，故当10≤x≤65时，y随x的增大而增大，若一次购买65件，设置为最低售价，则可以避免y随x增大而减小的情况发生，故x=65时，设置最低售价为3600-5×(65-10)=3325（元），所以公司应将最低销售单价调整为3325元．【点睛】本题考查了二次函数的性质在实际生活中的应用．最大销售利润的问题常利函数的增减性来解答，我们首先要吃透题意，确定变量，建立函数模型，然后结合实际选择最优方案．其中要注意应该在自变量的取值范围内求最大值（或最小值）．4．(1)y＝−50x2＋100x＋150(2)应该降价1元销售，最大利润为200元．【解析】【分析】（1）根据题意和题目中的数据，可以写出y与x的函数表达式；（2）将（1）中函数关系式化为顶点式，然后利用二次函数的性质即可得到x为何值时，y 取得最大值．(1)解：由题意可得， y ＝（3−x ）（50＋0.5x×25）＝−50x 2＋100x ＋150， 即y 与x 的函数表达式是y ＝−50x 2＋100x ＋150； (2)由（1）知：y ＝−50x 2＋100x ＋150＝−50（x −1）2＋200， ∴当x ＝1时，y 取得最大值，此时y ＝200，答：若李大爷想让每天的利润最大化，应该降价1元销售，最大利润为200元． 【点睛】本题考查二次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，写出相应的函数关系式，利用二次函数的性质求最值． 5．(1)0.8 (2)见解析 (3)250米 【解析】 【分析】（1）根据表格即可求得答案；（2）根据题意在网格中建立直角坐标系，然后描点、并用平滑的曲线连起来即可得到图像；（3）根据()2S a t =，求出加速度a ，然后根据212S at =即可求解． (1)解：由表格可知，0.3OA =，0.5AB =， ∴当时间为0.04秒时，滑行距离是0.8厘米； (2) 解：如图，(3)解：∵()2S a t =，由表格可知：0.02t =秒，0.2S =厘米=0.002米，∴()20.0020.02a =⨯， 解得：5a =米/秒 ∴221522S at t ==， 当10t =秒时，51002502S =⨯=米【点睛】本题主要考查了探究匀变速直线运动规律，解题的关键是理解和掌握计算加速的方法． 6．(1)y=1000−10x ，w =−10x 2＋1300x −30000； (2)商场销售该品牌玩具获得的最大利润为8640元． 【解析】 【分析】（1）由销售单价每涨1元，就会少售出10件玩具，得y ＝600−（x −40）×10＝1000−10x ，利润w ＝（1000−10x ）（x −30）＝−10x 2＋1300x −30000；（2）首先求出x 的取值范围，然后把w ＝−10x 2＋1300x −30000转化成y ＝−10（x −65）2＋12250，结合x 的取值范围，求出最大利润． (1)解：由题意得：销售量y=600−（x −40）×10=1000−10x ，销售玩具获得利润w =（1000−10x ）（x −30）=−10x 2＋1300x −30000； (2)解：根据题意得10001054045x x -≥⎧⎨≥⎩，解之得：45≤x ≤46，w ＝−10x 2＋1300x −30000＝−10（x −65）2＋12250， ∵a ＝−10＜0，对称轴是直线x ＝65， ∴当45≤x ≤46时，w 随x 增大而增大． ∴当x ＝46时，w 最大值＝8640（元）．答：商场销售该品牌玩具获得的最大利润为8640元． 【点睛】本题主要考查了二次函数的应用的知识点，解答本题的关键熟练掌握二次函数的性质以及二次函数最大值的求解，此题难度不大． 7．(1)①153EF x =-；②4米(2)饲养场的宽DF 为3米时，饲养场DBEF 的面积最大，最大面积为272平方米 【解析】 【分析】（1）①根据题意结合图形即可求解； ②根据矩形的面积公式列方程求解即可；（2）设饲养场DBEF 的面积为S ，求出关于DF 的长的关于x 的函数关系式，根据二次函数的性质即可解答．(1)①设DF 的长为x 米， ∵点D 在线段AB 上，∴()()1421153EF x x x =---=-米， ②∵3AB =，∴3EF ≤，即1533x -≤， ∴4x ≥；设DF 的长为x 米，根据题意得：()15312x x -=， 解得：14x =，21x =（此时点D 不在线段AB 上，舍去）， ∴4x =，答：饲养场的长DF 为4米； (2)设饲养场DBEF 的面积为S ，DF 的长为x 米， ①点D 在15段AB 上，由（1）知此时4x ≥， 则()22575153315324S x x x x x ⎛⎫=-=-+=--+ ⎪⎝⎭，∵30a ，抛物线对称轴是直线52x =， ∴在对称轴右侧，S 随x 的增大而减小，∴4x =时，S 有最大值，23415412S =-⨯+⨯=最大值（平方米）；②点D 在线段BA 的延长线上，此时4x <， 则()()2132715333222S x x x =-+=--+， ∵302a =-<，34<，∴3x =时，S 有最大值，272S =最大值， ∴3x =时，272S =最大值（平方米）； ∵27122>， ∴饲养场的宽DF 为3米时，饲养场DBEF 的面积最大，最大面积为272平方米． 答：饲养场的宽DF 为3米时，饲养场DBEF 的面积最大，最大面积为272平方米． 【点睛】此题主要考查的是二次函数的应用，一元二次方程的应用，掌握矩形的面积计算方法是解题的关键．8．(1)w ＝-10x 2＋1400x -33000；(2)每盒售价订为70元时，可使当天获得最大销售利润，销售利润是16000元；(3)10≤a＜30．【解析】【分析】（1）根据利润＝（售价-进价）×销量，即可得到w关于x的函数解析式；（2）把（1）中的函数解析式化成顶点式，根据二次函数的性质，即可得出答案；（3）根据题意，仿照（1）列出函数关系式，求出对称轴，再根据二次函数的性质分析，即可得到a的取值范围．(1)解：当售价为x元时，上涨（x-60）元，销量为500-10（x-60）＝-10x+1100，∴w＝（x-30）（-10x+1100）＝-10x2＋1400x-33000，故w关于x的函数解析式是w＝-10x2＋1400x-33000；(2)解：w＝-10x2＋1400x-33000＝-10（x-70）2+16000∵-10＜0∴抛物线开口向下，函数有最大值即当x＝70时，w有最大值，最大值是16000，故每盒售价订为70元时，可使当天获得最大销售利润，销售利润是16000元．(3)解：由题意得w＝（x-30-a）（-10x+1100）＝-10x2＋（1400+10a）x-（33000+1100a）其中60≤x≤75，∵-10＜0∴抛物线开口向下，函数有最大值，抛物线的对称轴是x＝140010170202aa+-=+-，∵每天捐赠后的日销售利润随产品售价的增大而增大，∴当60≤x≤75时，w随着x的增大而增大，∴1702a+≥75即a≥10，又∵x-30-a＞0，∴a＜x-30，其中60≤x≤75，∴a＜60-30，即a＜30时，a＜x-30恒成立，∴ 10≤a＜30∴a的取值范围是10≤a＜30．【点睛】本题考查了二次函数在销售问题中的应用，熟练应用二次函数求最值是解决问题的关键．9．(1)()()200580015258002530x x y x ⎧-+≤≤⎪=⎨<≤⎪⎩(2)最大值为12000元(3)2030x ≤≤【解析】【分析】（1）根据图象中的点，待定系数法求解析式即可；（2）根据（1）的解析式，分1525≤≤x ，2530x <≤，两种情况列出w 的解析式，根据二次函数和一次函数的性质分别求得最大值；（3）根据二次函数的性质解不等式求得当1525≤≤x 时的定价范围，解一元一次不等式求得当2530x <≤时的定价范围．(1)解：根据函数图像可知，当2530x <≤时，800y =，当1525≤≤x 时，设y kx b =+将()()15,2800,25,800代入得，28001580025k b k b=+⎧⎨=+⎩ 解得2005800k b =-⎧⎨=⎩2005800y x ∴=-+综上所述，()()200580015258002530x x y x ⎧-+≤≤⎪=⎨<≤⎪⎩(2)当1525≤≤x 时，()()()215152005800200880087000w x y x x x x =-=--+=-+- 对称轴为8800222400b a --==- 22x ∴=时，w 最大，2max 20022880022870009800w =-⨯+⨯-=当2530x <≤时，()1580080012000w x x =-⨯=-当30x =时，取得最大值，最大值为12000元综上所述，最大值为12000元(3)①当1525≤≤x 时，()()()2151162005800200900092800w x y x x x x =--=--+=-+-当22009007209002800x x -+-=解得：1220,25x x ==∴定价为2025x ≤≤②当2530x <≤时，()()151158007200w x y x =--=-⨯≥解得25x ≥∴定价范围为2030x ≤≤【点睛】本题考查了一次函数的应用，二次函数的应用，一元一次不等式的应用，根据题意列出函数关系式是解题的关键．10．(1)1CG =(2)①2y x =；②EMP 2，此时BP 的长为11km 2 【解析】【分析】（1）证明FEB GEC △∽△，依据相似三角形的性质进行求解即可；（2）①分点P 在点H 左侧和右侧两种情况讨论求解即可；②由二次函数的性质可得解．(1)在矩形ABCD 中，90ABC BCD BCG ∠=∠=∠=︒，∵FEB GEC ∠=∠，∴FEB GEC △∽△， ∴BF BE CG CE =， ∵4AB =，6BC =，点F 是AB 的中点，2BE EC =，∴2BF =，4BE =，2CE =， ∴242CG =， ∴1CG =.(2)①过点E 作EH //AB 交BC 于点H ，交射线MP 于点G ，易得四边形ABHE 是平行四边形， ∴4EH AB ==.∵EH //AB ，PM AB ⊥，∴60PHG B ∠=∠=︒，EG PM ⊥，即EG 是PME △边MP 上的高.∵点E 是AD 的中点，∴3BH AE ==.如图1-1，当点P 在点H 左侧时，3PH x =-，∴1322x HG PH -==， ∴311422x x EG EH HG --=+=+=. 如图1-2，当点P 在点H 右侧时，3PH x =-，∴1322x HG PH -==， ∴311422x x EG EH HG --=-=-=， ∴PME △的边MP 上的高112x EG -=. 在Rt MBP 中，3sin 60x MP BP =⋅︒=∴2113113113222x x y MP EG x -=⋅==. ②)222311333111213112y x x x x ⎫==-=-⎪⎝⎭ ∴当112x =时，1213y =最大 ∴EMP 21213，此时BP 的长为11km 2. 【点睛】 本题是一道相似形的综合题，考查了全等三角形的判定及性质，相似三角形的判定及性质，三角函数值的运用．在解答时添加辅助线构建全等形和相似形是关键．。
二次函数的微积分与应用题解析
二次函数的微积分与应用题解析二次函数是数学中一种重要的函数类型，它的特点是含有二次项的多项式表达式。
在微积分中，我们可以通过对二次函数进行微积分来研究其性质和应用。
本文将深入探讨二次函数的微积分和应用题的解析。
一、二次函数的定义及性质二次函数的一般形式为：f(x) = ax^2 + bx + c，其中a、b、c为常数，且a ≠ 0。
根据二次函数的定义，我们可以得到以下性质：1. 对称性：二次函数的图像关于抛物线的顶点对称。
如果a > 0，则抛物线开口向上；如果a < 0，则抛物线开口向下。
2. 零点：二次函数的零点即方程f(x) = 0的解。
对于f(x) = ax^2 + bx + c，可以使用求根公式得到零点。
3. 顶点：二次函数的顶点即抛物线的最低点或最高点。
顶点的横坐标可以通过公式x = -b/2a求得，纵坐标为f(x)的最值。
二、二次函数的微积分对于二次函数f(x) = ax^2 + bx + c，我们可以使用微积分的方法求解其导数和定积分。
1. 导数通过求解二次函数的导数，我们可以得到函数在某一点的切线斜率，以及函数的极值点。
导数的计算公式为：f'(x) = 2ax + b。
可以看出，二次函数的导数是一次函数。
2. 定积分二次函数的定积分可以用于求解函数在某一区间上的面积、曲线长度、质心等问题。
定积分的计算公式为：∫[a, b] f(x) dx = 1/3a(b^3 - a^3) + 1/2b^2 -1/2a^2 + cb - ca。
三、二次函数的应用题解析二次函数广泛应用于科学、工程和经济等领域，下面将介绍几个常见的应用题类型及其解析方法。
1. 最值问题对于给定的二次函数，要求确定其最大值或最小值所对应的横坐标和纵坐标。
解析方法：通过求解二次函数的顶点，可以得到函数的最值点。
顶点的横坐标即为所求。
2. 零点问题对于给定的二次函数，要求确定方程f(x) = 0的解。
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二次函数应用题分类解析二次函数是初中学段的难点，学生学起来觉的比较的吃力，可以把应用问题进行分类： 第一类、利用待定系数法对于题目明确给出两个变量间是二次函数关系，并且给出几对变量值，要求求出函数关系式，并进行简单的应用。
解答的关键是熟练运用待定系数法，准确求出函数关系式。
例1． 某公司生产的A 种产品，它的成本是2元，售价是3元，年销售量为100万件，为了获得更好的效益，公司准备拿出一定的资金做广告。
根据经验，每年投入的广告费是x （十万元）时，产品的年销售量将是原销售量的y 倍，且y 是x 的二次函数，它们的关系如下表：（1）求y 与x 的函数关系式；（2）如果把利润看作是销售总额减去成本费和广告费，试写出年利润S （十万元）与广告费x （十万元）的函数关系式；（3）如果投入的年广告费为10—30万元，问广告费在什么范围内，公司获得的年利润随广告费的增大而增大？析解：（1）因为题中给出了y 是x 的二次函数关系，所以用待定系数法即可求出y 与x 的函数关系式为1x 53x 101y 2++=（2）由题意得S=10y(3-2)-x 10x 5x 2++-=（3）由（2）465)25x (10x 5x S 22+--=++-=及二次函数性质知，当1≤x ≤2.5，即广告费在10—25万元之间时，S 随广告费的增大而增大。
二、分析数量关系型题设结合实际情景给出了一定数与量的关系，要求在分析的基础上直接写出函数关系式，并进行应用。
解答的关键是认真分析题意，正确写出数量关系式。
例2． 某化工材料经销公司购进了一种化工原料共7000千克，购进价格为每千克30元。
物价部门规定其销售单价不得高于每千克70元，也不得低于30元。
市场调查发现：单价定为70元时，日均销售60千克；单价每降低1元，日均多售出2千克。
在销售过程中，每天还要支出其它费用500元（天数不足一天时，按整天计算）。
设销售单价为x 元，日均获利为y 元。
（1）求y 关于x 的二次函数关系式，并注明x 的取值范围；（2）将（1）中所求出的二次函数配方成a 4b ac 4)a 2b x (a y 22-++=的形式，写出顶点坐标；在图2所示的坐标系中画出草图；观察图象，指出单价定为多少元时日均获得最多，是多少？（3）若将这种化工原料全部售出，比较日均获利最多和销售单价最高这两种销售方式，哪一种获总利较多，多多少？析解：（1）若销售单价为x 元，则每千克降低（70-x ）元，日均多售出2（70-x ）千克，日均销售量为[60+2(70-x)]千克，每千克获利为(x-30)元。
根据题意得6500x 260x 2500)]x 70(260)[30x (y 2-+-=--+-=（30≤x ≤70）。
（2）1950)65x (26500)x 130x (2y 22+--=---=。
顶点坐标为（65，1950），草图略，当单价定为65元时，日均获利最多，是1950元。
（3）列式计算得，当日均获利最多时，可获总利195000元；当销售单价最高时，可获总利221500元。
故当销售单价最高时获总利较多，且多获利221500-195000=26500元。
三、建模型即要求自主构造二次函数，利用二次函数的图象、性质等解决实际问题。
这类问题建模要求高，有一定难度。
例3．如图4，有一块铁皮，拱形边缘呈抛物线状，MN=4dm ，抛物线顶点处到边MN 的距离是4dm ，要在铁皮上截下一矩形ABCD ，使矩形顶点B 、C 落在边MN 上，A 、D 落在抛物线上，问这样截下去的矩形铁皮的周长能否等于8dm ？析解：由“抛物线”联想到二次函数。
如图4，以MN所在的直线为x 轴，点M 为原点建立直角坐标系。
设抛物线的顶点为P ，则M （0，0），N （4，0），P （2，4）。
用待定系数法求得抛物线的解析式为x 4x y 2+-=。
设A 点坐标为（x ，y ），则AD=BC=2x-4，AB=CD=y 。
于是2(2)x 4x (2)4x 2(2y 2AD 2AB 2l 2++-=-+=+=8x 12x 2)4x 2(2)x 4x (2)4x 2(2y 2AD 222-+-=-++-=-+=+。
且x 的取值范围是0<x<4（x ≠2）。
若l=8，则88x 12x 22=-+-，即08x 6x 2=+-。
解得4x 2x 21==，。
而0<x<4（x ≠2）。
故l 的值不可能取8，即截下的矩形周长不可能等于8dm 。
注：本题还可在其它位置建立直角坐标系。
例4..某环保器材公司销售一种市场需求较大的新型产品,已知每件产品的进价为40元,经销过程中测出销售量y (万件)与销售单价x (元)存在如图所示的一次函数关系,每年销售该种产品的总开支z (万元)(不含进价)与年销量y (万件)存在函数关系z =10y +42.5. (1)求y 关于x 的函数关系式;(2)度写出该公司销售该种产品年获利w (万元)关于销售单价x (元)的函数关系式;(年获利=年销售总金额-年销售产品的总进价-年总开支金额)当销售单价x 为何值时,年获利最大?最大值是多少?(3)若公司希望该产品一年的销售获利不低于57.5万元,请你利用(2)小题中的函数图象帮助该公司确定这种产品的销售单价的范围在此条件下要使产品的销售量最大,你认为销售单价应定为多少元? .解:(1)由题意,设y =kx +b ,图象过点(70,5),(90,3), ∴570,390.k b k b =+⎧⎨=+⎩解得1,1012.k b ⎧=-⎪⎨⎪=⎩∴y =110-x +12.…………………………………………3分 (2)由题意,得w =y (x -40)-z =y (x -40)-(10y +42.5)=(110-x +12)(x -10)-10(110-x +12)-42.5=-0.1x 2+17x -642.5=110-(x -85)2+80.当85元时,年获利的最大值为80万元. ……………………………………………………6分 (3)令w =57.5,得-0.1x 2+17x -642.5=57.2. 整理,得x 2-170x +7000=0. 解得x 1=70,x 2=100.由图象可知,要使年获利不低于57.5万元,销售单价应在70元到100元之间.又因为销售单价越低,销售量越大,所以要使销售量最大,又使年获利不低于57.5万元,销售单价应定为70元.………………………………10分 四：利润最大(小)值问题 知识要点：二次函数的一般式c bx ax y ++=2(0≠a )化成顶点式ab ac a b x a y 44)2(22-++=，如果自变量的取值范围是全体实数，那么函数在顶点处取得最大值（或最小值）．即当0>a 时，函数有最小值，并且当a bx 2-=，a b ac y 442-=最小值；当0<a 时，函数有最大值，并且当abx 2-=，a b ac y 442-=最大值．如果自变量的取值范围是21x x x ≤≤，如果顶点在自变量的取值范围21x x x ≤≤内，则当abx 2-=，ab ac y 442-=最值，如果顶点不在此范围内，则需考虑函数在自变量的取值范围内的增减性；如果在此范围内y 随x 的增大而增大，则当2x x =时，c bx ax y ++=222最大，当1x x =时，c bx ax y ++=121最小；如果在此范围内y 随x 的增大而减小，则当1x x =时，c bx ax y ++=121最大，当2x x =时，c bx ax y ++=2．[例1]：求下列二次函数的最值：（1）求函数322-+=x x y 的最值．[例2]：某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件，市场调查反映：每涨价1元，每星期少卖出10件；每降价1元，每星期可多卖出20件，已知商品的进价为每件40元，如何定价才能使利润最大？[练习]：1．某商店购进一批单价为20元的日用品，如果以单价30元销售，那么半个月内可以售出400件．根据销售经验，提高单价会导致销售量的减少，即销售单价每提高1元，销售量相应减少20件．如何提高售价，才能在半个月内获得最大利润？实际问题与二次函数习题精选及解析填空题：1．当炮弹从炮口以30º角射出后，飞行高度h(米)与飞行时间t(秒)之间的函数关系式是h=12v0t−5t2，其中v0是炮弹发射的初速度，当v0=300米/秒时，炮弹飞行的最大高度是________。
答案：1125米。
说明：把v0=300代入h=12v0t−5t2得h=150t−5t2，由公式244ac ba得h最大=1125米。
2．王师傅想在一块三角形剩料中挖取一块最大矩形料做其他用途，其图形和数据如图所示，请你计算王师傅所取得最大矩形料的面积________，这时CE=________，CF=________。
323，12m 。
说明：设CF=x ，则BF=1−x ，BD=2(1−x)，∴3(1−x)，∴S 矩形FCED 3(1−x)•x=−3x 23−3−12)23S 矩形FCED 32，这时CF=12m ，3。
解答题：1．某旅社有客房120间，每间房间的日租金为50元，每天都客满，旅社装修后，要提高租金。
经市场调查，如果1间客房的日租金每提高5元，则客房每天出租数会减少6间。
不考虑其他因素，旅社将每间客房的日租金提高到多少元时，客房日租金的总收入最高？比装修前的日租金总收入增加多少元？分析：这是函数知识在日常生活中的实际应用题，本题中各量之间的等量关系为：每天客房日租金的总收入=每间客房的日租金×客房每天出租的间数。
解：设每间客房的日租金提高x 个5元(即5x 元)，则每天客房出租数会减少6x 间，根据题意可得y=(50+5x)(120−6x)，即y=−30(x −5)2+6750。
∴当x=5时，y 最大=6750。
这时每间客房日租金为50+5×5=75(元)，客房日租金的总收入最高，为6750元。
装修前的日租金120×50=6000(元)，6750−120×50=750(元)。
故将每间客房的日租金提到75元时总收入最高，比装修前的日租金总收入增加750元。
2．某商场经销一种销售成本为每千克40元的水产品；据市场调查，若按每千克50元销售，一个月能销售出500千克，销售单价每涨1元，月销售量下降10千克，针对这种水产品的销售情况，请探索以下问题：(1)当销售单价定为每千克55元时，月销售利润为多少？(2)设月销售单价为每千克x 元，月销售利润为y 元，写出y 与x 之间的函数关系式。
解：(1)月销售利润为：[500−(55−50)×10]×(55−40)=6750(元) (2)y=[500−(x −50)×10]×(x −40)，即y=−10x 2+1400x −40003．火车进站刹车滑行的距离s(单位：m)与滑行时间t(单位：s)的函数关系式是s=30t −1.5t 2；火车离站台多远开始刹车，才能使火车票刚好停在站台位置上？解：由s=30t −1.5t 2得s=−32(t −10)2+150 所以当t=10时，s 最大=150所以当火车从离站台150米处开始刹车，火车才能刚好在站台停下。