人大版微积分第五章几种特殊类型函数的积分演示教学

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人大微积分课件5-5广义积分

2021/4/21
22
a
0
1 xp
dx
当
0
p 1 时收敛，当p 1时发散；
再考察a
1 xp
dx
p
0
的敛散性.
当 p 1 时，a 0
a
1dx x
lim
t
ln
t
ln
a
,
当 p 1 时，a 0
1 dx 1 lim t1p a1p
a xp
1 p t
2021/4/21
23
a1 p , p 1 p 1
2.说明
（1）设 Fx f x ，则
a
f xdx
lim Ft Fa F Fa； t
b
f xdx
Fb lim Ft Fb F ； t
2021/4/21
5
f
xdx
lim
t
F
t
lim
t
F
t
F F .
（2）当
f x为奇函数时,
f
x
dx
不能按积
分区间关于原点对称的定积分处理为零。因为
tc a
tc t
2021/4/21
15
这至散时少. 称有广一义个积不分存在ab ，f 则x称dx广收义敛积，分若上ab f述 x两d极x发限
2.说明
（1）在定义2中f x在点a,b,c 的邻域内都无界，这些点均为f x的无界间断点，也称为f x
的瑕点，故无界函数的广义积分也称为瑕积分.
（2）设 Fx f x ，则
解
sin
xdx
0 sin
xdx
0
sin
xdx
cos

高等数学教案第17课分部积分法、几种特殊类型函数的积

17分部积分法、几种特殊类型函数的积分第课课题分部积分法、几种特殊类型函数的积分课时2课时（90 min）教学目标知识技能目标：（1）能熟练地利用分部积分法计算不定积分。

（2）掌握化有理函数为部分分式的方法，并会计算较简单的有理分式函数的积分、三角有理式的积分和无理式的积分。

思政育人目标：通过学习不定积分的分部积分法和几种特殊类型函数的积分，培养学生的逻辑思维、辩证思维和创新思维能力；引导学生养成独立思考和深度思考的良好习惯。

教学重难点教学重点：分部积分法的相关定理教学难点：用分部积分法计算不定积分，化有理函数为部分分式教学方法讲授法、问答法、讨论法、演示法、实践法教学用具电脑、投影仪、多媒体课件、教材教学设计第1节课：考勤（2 min）→知识讲解（23 min）→问题讨论（10 min）→课堂测验（10 min）第2节课：知识讲解（20 min）→问题讨论（10 min）→课堂测验（10 min）→课堂小结（5 min）教学过程主要教学内容及步骤设计意图第一节课考勤（2 min）⏹【教师】清点上课人数，记录好考勤⏹【学生】班干部报请假人员及原因培养学生的组织纪律性，掌握学生的出勤情况知识讲解（23 min）⏹【教师】讲解分部积分法，并通过例题介绍其应用定理1 设函数()u u x=，()v v x=具有连续的导数，则d du v uv v u=-⎰⎰．证明由微分公式d()d duv u v v u=+两边积分得d duv u v v u=+⎰⎰，移项后得d du v uv v u=-⎰⎰．学习分部积分法，及其应用。

边做边讲，及时巩固练习，实现教学做一体化第课分部积分法、几种特殊类型函数的积分172我们把公式d du v uv v u=-⎰⎰或d duv x uv u v x''=-⎰⎰称为分部积分公式．例1求ln d x x⎰．解令lnu x=，v x=，由分部积分公式，可得ln d ln dln ln d lnx x x x x x x x x x x x C=-=-=-+⎰⎰⎰．例2求arctan d x x⎰．解令arctanu x=，v x=，由分部积分公式，可得arctan d arctan darctanx x x x x x=-⎰⎰2arctan d1xx x xx=-+⎰2211arctan d(1)21x x xx=-++⎰21arctan ln(1)2x x x C=-++．例3求cos dx x x⎰．解令u x=，cos d dx x v=，即sinv x=，则cos d dsin sin sin d sin cosx x x x x x x x x x x x C ==-=++⎰⎰⎰例4 求e d xx x⎰．解令u x=，e d dx x v=，e xv=，则e d de e e d e ex x x x x xx x x x x x C==-=-+⎰⎰⎰．例5 求2e d xx x⎰．解222e d e2e d e2dex x x x xx x x x x x x=-=-⎰⎰⎰17分部积分法、几种特殊类型函数的积分第课32e 2(e e )x x x x x C =--+ 2e (22)x x x C =-++．结论当被积函数是幂函数与正（余）弦或指数函数的乘积时，可将幂函数设为u ，正（余）弦或指数函数设为v ．例6 求ln d x x x ⎰．解222111ln d ln d ln d 22x x x x x x x x x x ⎛⎫==-⋅ ⎪⎝⎭⎰⎰⎰2211ln 22x x x C ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭2211ln 24x x x C =-+．例7 求arctan d x x x ⎰．解 2arctan d arctan d 2x x x x x =⎰⎰221arctan darctan 22x x x x =-⎰22211arctan d 221x x x x x =-⋅+⎰2221111arctan d 221x x x x x +-=-+⎰22111arctan 1d 221x x x x ⎛⎫=-- ⎪+⎝⎭⎰ 2111arctan arctan 222x x x x C =+-+．结论当被积函数是幂函数与对数函数或反三角函数的乘积时，可将对数函数或反三角函数设为u ，幂函数设为v ．例8 求e sin d x x x ⎰．第课分部积分法、几种特殊类型函数的积分174解法一e sin d sin de e sin e cos dx x x xx x x x x x==-⎰⎰⎰e sin cos dex xx x=-⎰e sin e cos e sin dx x xx x x x=--⎰，所以1e sin d e(sin cos)2x xx x x x C=-+⎰．解法二e sin d e d(cos)e(cos)cos d(e)x x x xx x x x x=-=-+⎰⎰⎰e cos e cos d e cos e dsinx x x xx x x x x=-+=-+⎰⎰e cos e sin sin dex x xx x x=-+-⎰e cos e sin e sin dx x xx x x x=-+-⎰，所以1e sin d e(sin cos)2x xx x x x C=-+⎰．例9 求e d x x⎰．解令t x=，则2x t=，d2dx t t=．e d2e d2de2e2e dx t t t tx t t t t t===-⎰⎰⎰⎰2e2e2e2et t x xt C x C=-+=-+．⏹【学生】掌握分部积分法的应用问题讨论（10 min）⏹【教师】组织学生讨论以下问题1．可以用分部积分法的类型有哪些？2．对于各种不同类型的积分，如何选择u，v？通过课堂讨论，活跃课堂气氛，加深学生对知识点的理解17分部积分法、几种特殊类型函数的积分第课53．举例说明循环法适用的不定积分的类型．⏹ 【学生】讨论、发言课堂测验（10 min ）⏹ 【教师】出几道测试题目，测试一下大家的学习情况⏹ 【学生】做测试题目⏹ 【教师】公布题目正确答案，并演示解题过程⏹ 【学生】核对自己的答题情况，对比答题思路，巩固答题技巧通过测试，了解学生对知识点的掌握情况，加深学生对本节课知识的印象第二节课知识讲解（20 min ）⏹ 【教师】讲解有理函数的积分，并通过例题介绍其应用形如10111011()()n n n n nm m m m mP x a x a x a x a Q x b x b x b x b ----++++=++++的函数称为有理函数，其中m 和n 都是非负整数；012n a a a a ，，，，及012m b b b b ，，，，都是实数，并且0000a b ≠≠，．当n m <时，称这个有理函数为真分式；当nm 时，称这个有理函数为假分式．假分式总可以化成一个多项式与一个真分式之和的形式．例如，322221(1)11111x x x x x x x x ++++==++++．求真分式的不定积分时，如果分母可因式分解，则先因式分解，然后化成部分分式再积分．例1 求23d 56x x x x +-+⎰．解设23356(2)(3)23x x A Bx x x x x x ++==+-+----，则(3)(2)()323A x B x A B x A B x -+-=+--=+，学习有理函数和三角函数有理式的积分。

特殊类型函数的积分法

特殊类型函数的积分法
特殊类型函数的积分法是数学中计算积分的一种常用方法。

由于它可以求出各种形状的函数的定积分，积分法用于求解各种类型函数的积分有着广泛的应用。

下面我们就来讨论特殊类型函数的积分法。

其中，多项式函数是最常用的特殊类型函数之一，以一元n次多项式函数为例，当n≥0时，函数的积分可以用分好多项式来表示：$\int{{{x}^{n}dx}}={\frac{{{x}^{n+1}}}{{n+1}}}+c$
而另一种特殊类型函数为指数函数，函数的积分可用如下形式表示：$\int{{e}^{kx}dx}={e}^{kx}/k+c$
又如，x的高次幂函数在求积分时，可使用以下形式进行：
$\int{{{x}^{n}dx}}={\frac{{{x}^{n+1}}}{{n+1}}}+c$
另外，对正弦函数和余项函数（cos（x），tg（x））的积分也同
样采用三角函数的基本定理：
$\int{{sinxdx=}-cosx+c}$
$\int{{cosxdx=}sinx+c}$
$\int{{tgxdx=}-ln\left|cosx\right|+c}$
以上就是特殊类型函数的积分，可以看出，对于不同形式的特殊类型函数，采用不同的积分法来求解。

特殊类型函数的积分属于一类规律性的积分，熟练掌握这些方法，可以快速准确地完成特殊类型函数的积分求解。

微积分教学课件第5章定积分

即
102sixnxdx2
8. 积分中值定理
微积分
若 f(x) C [a,b ],则至少存在一点 [a,b],使
a bf(x)dxf()b (a)
证: 设f(x)在[a,b]上的最小值与别最为大 m,M 值 ,
则由性质7 可得
mb 1aabf(x)dxM
根据闭区间上连续函数介值定理, 在[a,b]上至少存在一
解:
A0 sinxdx
y ysinx
cx os[11] 2
o
0
x
例6. 汽车以每小时 36微km积的分速度行驶 ,到某处需要减
速停车, 设汽车以等加速度 a5ms2刹车, 问从开始刹
车到停车走了多少距离?
解: 设开始刹车时刻为 t 0, 则此时刻汽车速度
v0 36(kmh ) 33 616000(0m 0s)10(ms)
i1
i1
4) 取极限. 令 ma{xxi},则曲边梯形面积 1in
n
y
A l im0i1Ai
n
limf 0i1
(i)xi
o a x1 xi1 x i bx i
微积分二、定积分定义
设函 f(x)定数义 [a,b]上在 ,若对 [a,b]的任一种分法
a x 0 x 1 x 2 x n b ,令 xixixi 1,任取
b
m (b a )af(x)d xM (b a )
(ab)
微积分
例3. 试证: 102sxinxdx2.
证:
设
f (x) sin x
x,
则在
(0
,
2
)
上,有
f
(x)xcosxx2sinx
cos

微积分_(中国人民大学出版社)

(x2 y2)y2
,
z y
[2 y
x
2y2 (x2
x y2
xy
]e ( x2 y2 ) . )
三、 dz e x (1 x) . dx 1 x 2e 2x
四、 z x
2 xf1
ye xy
f
2
,
z y
2 yf1
xe xy
f 2.
五、u f (1 y yz), u f ( x xz), u xyf .
z v dx v dy v x y
z du z dv. u v
例 4 已知exy 2z e z 0，求z 和z . x y
解 d(exy 2z ez ) 0,
exyd( xy) 2dz ezdz 0,
(ez 2)dz exy ( xdy ydx)
dz
ye xy (ez 2)
u
z
v
t
w
以上公式中的导数
dz dt
称为全导数.
上定理还可推广到中间变量不是一元函数
而是多元函数的情况：z f [( x, y), ( x, y)].
如果u ( x, y)及v ( x, y) 都在点( x, y)
具有对x 和y 的偏导数，且函数z f (u,v) 在对应
点( u, v ) 具有连续偏导数，则复合函数
u v 时，有dz z dx z dy .
x y
全微分形式不变形的实质：
无论 z是自变量u、v的函数或中间变量u、v
的函数，它的全微分形式是一样的.
dz z dx z dy x y
z u
u x
z v
v x
dx
z u
u y

第五章积分 5-1 定积分的概念与基本性质

性质 4 若 f (x) 是 [a, b] 上的连续函数, 则 | f (x) | 也是 [a, b] 上的连续函数, 从而可积, 且
b
b
|
a
f (x)d
x|
|
a
f (x)|d
x.
证明由于 | f (x) | f (x) | f (x) |, 应用性质 3
b
b
b
a | f (x)|d x | a f (x) d x a | f (x)|d x,
43
4
1
1
1
2
7 1 sin 2
1 sin 2 x 1 sin 2
, 3
3
4
所以
21
3
4
4 7
d
x
3
4
dx 1 sin 2
x
3
4
2 3
d
x
.
18
《高等数学》课件 (第五章第一节)
推论 2 设 f R [a, b], 且在 [a, b] 上 f (x) 0, 则
b
a f ( x) d x 0.
性质 2 (积分对区间的可加性) 设 a c b, f R [a, b], 则 f R [a, c], f R [c, b],
且
b
c
b
f (x) d x f (x) d x f (x) d x.
a
a
c
一般, 当上式中三个积分都存在时, 无论 a, b, c 之间具有怎样的大小关系, 等式都成立.
当 f (x) R [a, b] 时, 可在积分的定义中, 对 [a, b] 作特殊的分
划, 并取特殊的 i [x i 1, x i] , 计算和式. 如等分区间 [a, b], 并取点 i 为 [x i 1, x i] 的右端点 x i 或左端点 x i 1 或中点.

人大微积分课件5-4定积分的分部积分法

常用积分公式 2
• $\int x^n\,dx=\frac{1}{n+1}x^{n+1}+C$ • $\int \frac{1}{x}\,dx=\ln|x|+C$ • $\int \ln(x)\,dx=x(\ln(x)-1)+C$
2
步骤二
进行分部积分计算，得到新的积分公式。
3
步骤三
对新的积分公式进行简化，找出可以直接计算的函数。
求解反函数的方法
对于给定的函数，通过求解其反函数，可以进一步利用分部积分法来求解积分问题。
定积分的线性性质和换元法
线性性质换元法
对于两个函数的定积分，可以先对其中一个进行分部积分，再对另一个进行求导，得到相同的积分结果。
典型的分部积分法例题
例题 1
计算定积分$\int x \cos(x)\,dx$
例题 2
计算定积分$\int e^x \sin(x)\,dx$
例题 3
计算定积分$\int x^2 \ln(x)\,dx$
常用的定积分公式
常用积分公式 1
• $\int e^x\,dx=e^x+C$ • $\int \sin(x)\,dx=-\cos(x)+C$ • $\int \cos(x)\,dx=\sin(x)+C$
通过引入新的变量替换积分变量，可以将复杂的积分问题转化为更加简单的形式。
定积分的周期性质和复合函数积分
周期性质
对于满足一定周期条件的函数，可以通过周期性质将定积分化简为更小的区间。
复合函数积分
通过将复合函数进行分解，可以利用分部积分法求解更加复杂的积分问题。
分部积分法的限制条件和步骤
1 限制条件

高等数学第五章第一节定积分的概念及性质课件.ppt

二、定积分定义
a x0 x1 x2 xn b ,
任一种分法任取
总趋于确定的极限 I ,则称此极限 I 为函数
上的定积分,
记作
b
a
f
( x) dx
即
b a
f
(
x)
dx
lim
0
n
i1
f
(
i
)
xi
o
a x1
此时称 f ( x ) 在 [ a , b ] 上可积 .
在区间
i
x xi1xi b
证: f (i ) xi 0
i1
b
n
a
f
( x) d
x
lim
0 i1
f
(i ) xi
0
推论1. 若在 [a , b] 上
则
推论2.
(a b)
证: f (x) f (x) f (x)
b
b
b
a f (x) dx a f (x) dx a f (x) dx
即
b
b
a f (x) dx a f (x) dx
使
因此定理成立.
说明:
• 积分中值定理对
• 可把
b
a f (x) dx f ( )
ba
因
y f (x) y
oa bx
故它是有限个数的平均值概念的推广.
例4. 计算从 0 秒到 T 秒这段时间内自由落体的平均速度.
解: 已知自由落体速度为
v gt
故所求平均速度
1 1 g T 2 gT
第一节
第五章
定积分的概念及性质
一、定积分问题举例二、定积分的定义三、定积分的性质

微积分上册5-3几类特殊函数的积分方法

思考: 如何求
提示: 变形方法同例4.
说明: 将有理函数分解为部分分式进行积分虽可行, 但不一定简便 , 因此要注意根据被积函数的结构寻求简便的方法. 例5. 求
解:
2 x 5x 2x 5 I 4 dx 4 dx 2 2 x 5x 4 x 5x 4
3 2
1 d( x 4 5 x 2 4) ( x 2 1) ( x 2 4) dx 4 2 2 2 2 x 5x 4 ( x 1)( x 4)
M1 x N 1 M2 x N2 Mk x Nk 2 2 2 k k 1 ( x px q ) ( x px q ) x px q
其中 M i , N i 都是常数( i 1,2,, k ) .
Mx N ; 特殊地：k 1, 分解后只有 2 x px q
说明将有理函数化为部分分式之和后，只出现三类情况：
(1) 多项式； ( 2)
A ; n ( x a)
Mx N ( 3) ; 2 n ( x px q )
其中p2 4q 0
Mx N 讨论积分 2 dx , n ( x px q )
p p2 2 x px q x q , 2 4 p 令 x t 2
这三类积分均可积出, 且原函数都是初等函数. 结论有理函数的原函数都是初等函数.
例1. 将下列真分式分解为部分分式 :
解: (1) 用拼凑法
1 x ( x 1) 2 x( x 1) x( x 1) 2
1 1 2 ( x 1) x( x 1)
1 x ( x 1) 2 x( x 1) ( x 1) 1 1 1 2 x 1 x ( x 1)

高等数学第五章第三节定积分的换元法和分部积分法课件.ppt

∴
原式 =
3
t
2 1 2
2
t
d
t
1t
1 2
3
1
(t
2
3)
d
t
1(1t3 3t) 3
23
1
例3.
偶倍奇零
(1) 若
则 a a
f
( x) dx
a
20
f
( x) dx
(2) 若
则 a f (x) dx 0 a
证:
a
0
a
f (x)dx f (x)dx f (x)dx
a
a
0
a
a
0 f (t) d t 0 f (x) dx
两端在 [a,b] 上积分
u( x) v( x)
b a
b
a
u(
x)v(
x)
dx
b
a
u(
x)v(
x)
dx
u(x)v(x)
b a
abu(x) v(x) dx
例7. 计算
1 1
解: 原式 = x arcsin x 2 2 00
x dx 1 x2
1
1
2(1
x
2
)
1 2
d
(1
x
2
)
12 2 0
1
(t) (t)
说明:
1) 当 < , 即区间换为[ ,]时，定理 1 仍成立 .
2) 必需注意换元必换限 , 原函数中的变量不必代回 .
3) 换元公式也可反过来使用 , 即
(t) (t)
b
f (x)d x
(令 x (t) )
a
或配元

人大版微积分第五章几种特殊类型函数的积分

3
难点将有理函数化为部分分式之和将有理函数化为部分分式之和.
微积分
有理函数化为部分分式之和的一般规律：有理函数化为部分分式之和的一般规律：
( x − a )k ，则分解后为（1）分母中若有因式）
A1 A2 Ak ⋯+ , k + k −1 + x−a ( x − a) ( x − a) 都是常数. 其中 A1 , A2 ,⋯ , Ak 都是常数
x+3 1 x +1 =− − arctan +C 2 4( x + 2 x + 5) 8 2
微积分
注意
以上介绍的虽是有理函数积分的普遍方法，以上介绍的虽是有理函数积分的普遍方法，但对一个具体问题而言，未必是最简捷的方法，应首先一个具体问题而言，未必是最简捷的方法，考虑用其它的简便方法。考虑用其它的简便方法。
微积分
假定分子与分母之间没有公因式这有理函数是真分式真分式； (1) n < m , 这有理函数是真分式；这有理函数是假分式假分式； ( 2) n ≥ m , 这有理函数是假分式；利用多项式除法, 利用多项式除法假分式可以化成一个多项式和一个真分式之和. 多项式和一个真分式之和
1 x + x+1 . = x+ 2 例 2 x +1 x +1
其中 M i , N i 都是常数( i = 1,2,⋯ , k ) .
Mx + N ; 特殊地：特殊地：k = 1, 分解后为 2 x + px + q
微积分
真分式化为部分分式之和的待定系数法真分式化为部分分式之和的待定系数法
x+3 A B x+3 例1 2 , = + = x − 5x + 6 ( x − 2)( x − 3) x − 2 x − 3

人大微积分课件11-5幂级数

2 收敛区间
定义收敛区间的概念并讲解如何确定幂级数的收敛区间。
3 点收敛性和区间收敛性
探究幂级数的点收敛性和区间收敛性之间的区别和联系。
幂级数的物理意义和应用
幂级数不仅在数学中有广泛的应用，还在物理学等其他领域具有重要的物理意义。
1 物理意义
探索幂级数在物理学中的意义和作用，如物理量的展开和近似计算。
收敛性
探讨幂级数在不同情况下的收敛性。
幂级数的收敛半径
幂级数的收敛半径是判断级数收敛的重要参数。我们将介绍如何计算和示例应用。
1 计算方法
了解如何计算幂级数的收敛半径，掌握计算方法和示例。
2 收敛半径的意义
探究收敛半径在幂级数中的重要作用以及具体例子。
3 收敛域的图形表示
使用图形来展示收敛域，进一步理解收敛半径和收敛域的关系。
1 函数展开
利用幂级数展开函数，简化函数的处理和计算。
2 极限计算
通过幂级数的性质，求解极限问题，包括常见的极限计算方法。
3 微分方程
将微分方程转化为幂级数形式，并利用幂级数求解微分方程。
多项式与幂级数的关系
多项式是幂级数的一种特殊形式，它们之间有着紧密的联系和相互转换。
图像对比
通过图形比较多项式和幂级数的特点和区别。
人大微积分课件11-5幂级数
幂级数是微积分中非常重要的概念之一。本课件将从定义、收敛性、应用等方面，详细介绍幂级数的全貌。
幂级数的定义
幂级数是一种无限级数，其每一项是$x$的幂次方的形式。我们将通过具体的例子来介绍幂级数的定义及其特性。
图解
通过图形来理解幂级数的概念和性质。
公式
推导幂级数的一般形式，并解释其中的符号。

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思考与练习
求下列积分:
解: 1.
原式 1 3
dx3 (a3)2(x3)2
66a1a133llnnxxxx3333aaaa3333 CC
2. 原式 ssin2ixn3xccoo2xssxdx
dx sinxcosx
scion3sxxdx
R(sxi,n cox)sdx
令 t tan2x 万能代换
t 的有理函数的积分
sin x

2t 1 t2
coxs

1 1

t t
2 2
dx

1
2 t
2
dt
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例7. sin1x(1sicnxoxs)dx.
t tan x , 2

1

2t 1 t
1 arctaxn1x
22
2
1 2
1 22
ln
x1x x1x
2 C
2
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例7. 求 sin1x(1sicnxoxs)dx.
解: 令 t tan x , 则 xarcta2tn,
2
sinxsi2ns2i2xn2xccoos22sx2x
3
5
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2）求
解: co4xs(c2ox)s2(1cos2x)2 2
1 4(1 2 c2 o x s c2 o 2 x )s
1 4 (1 2 c2 o x 1 s c 24 o x )s
1 4 (2 3 2 c2 o x s 1 2 c4 o x )s