集合的基本关系及运算(基础)

集合的基本关系及运算 A

一、目标与策略

明确学习目标及主要的学习方法是提高学习效率的首要条件，要做到心中有数！

学习目标：

1.理解集合之间包含与相等的含义，能识别一些给定集合的子集．在具体情境中，了解空集和全集的含义．

2.理解两个集合的交集和并集的含义，会求两个简单集合的交集与并集．理解在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集．

学习策略：

数形结合思想，如常借助于数轴、维恩图解决问题；分类讨论的思想，如一元二次方程根的讨论．

二、学习与应用

“凡事预则立，不预则废”．科学地预习才能使我们上课听讲更有目的性和针对

知识回顾——复习

学习新知识之前，看看你的知识贮备过关了吗？

1．集合元素的特征

性、性、性.

2．元素与集合的关系：

(1)如果a是集合A的元素，就说a A，记作a

(2)如果a不是集合A的元素，就说a A，记作a

3．集合的分类

(1)空集：元素的集合称为空集(empty set)，记作：.

(2)有限集：元素的集合叫做有限集.

(3)

无限集： 元素的集合叫做无限集.

4．常用数集及其表示

非负整数集(或自然数集)，记作

正整数集，记作 *或 +

整数集，记作

有理数集，记作

实数集，记作

要点一：集合之间的关系

1.集合与集合之间的“包含”关系

集合A 是集合B 的部分元素构成的集合，我们说集合B 集合A ；

子集：如果集合A 的任何一个元素都是集合B 的元素，我们说这两个集合有包含关系，

称集合A 是集合B 的子集(subset).记作： ，当集合A 不包含于集合B 时，记作 ， 用Venn 图表示两个集合间的“包含”关系：A B(B A)⊆⊇或

要点诠释：

（1）“A 是B 的子集”的含义是：A 的任何一个元素都是B 的元素，

即由任意的x A ∈，能推出x B ∈．

（2）当A 不是B 的子集时，我们记作“A ⊆B (或B ⊇A )”，

读作：“A 不包含于B ”（或“B 不包含A ”）．

真子集：若集合A B ，存在元素x B 且x A ，则称集合A 是集合B

的真子集(proper subset).记作： (或 )

规定：空集是任何集合的 集，是任何非空集合的 集.

2.集合与集合之间的“相等”关系

A B B A ⊆⊆且，则A 与B 中的元素是一样的，因此A B

要点梳理——预习和课堂学习

认真阅读、理解教材，尝试把下列知识要点内容补充完整，带着自己预习的疑惑认真听

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要点诠释：任何一个集合是它本身的 集.

要点二：集合的运算

1.并集

一般地，由所有属于集合A 集合B 的元素所组成的集合，称为集合A 与B 的

并集，记作：A B 读作：“A 并B”，即：A ∪B={x| }

Venn 图表示：

要点诠释：

（1）“x ∈A ，或x ∈B ”包含三种情况：“,x A x B ∈∉但”；“,x B x A ∈∉但”；

“,x A x B ∈∈且”．

（2）两个集合求并集，结果还是一个集合，是由集合A 与B 的所有元素组成的

集合(重复元素只看成一个元素).

2.交集

一般地，由属于集合A 属于集合B 的元素所组成的集合，叫做集合A 与B 的交集；

记作：A B ，读作：“A 交B”，即A∩B={x| }；交集的Venn 图表示：

要点诠释：

（1）并不是任何两个集合都有公共元素，当集合A 与B 没有公共元素时，不能说A 与B

没有交集，而是A B =∅I ．

（2）概念中的“所有”两字的含义是，不仅“A ∩B 中的任意元素都是A 与B 的公共元素”，

同时“A 与B 的公共元素都属于A ∩B ”．

（3）两个集合求交集，结果还是一个集合，是由集合A 与B 的公共元素组成的集合.

3.补集

全集：一般地，如果一个集合含有我们所研究问题中所涉及的所有元素，那么就称这个

集合为全集，通常记作U.

补集：对于全集U 的一个子集A ，由全集U 中所有 集合A 的所有元素组成的

集合称为集合A 相对于全集U 的补集(complementary set)，简称为集合A 的补集，

记作：

U U

A A={x|}

；即；

_________

痧补集的Venn图表示：

要点诠释：

（1）理解补集概念时，应注意补集

U

A

ð是对给定的集合A和()

U A U

⊆相对而言的

一个概念，一个确定的集合A，对于不同的集合U，补集不同．

（2）全集是相对于研究的问题而言的，如我们只在整数范围内研究问题，则Z为全集；而当问题扩展到实数集时，则R为全集，这时Z就不是全集．

（3）

U

A

ð表示U为全集时A的补集，如果全集换成其他集合（如R）时，则记号中“U”

也必须换成相应的集合（即

R

A

ð）．

4.集合基本运算的一些结论

A B A A B B A A=A A=A B=B A

⋂⊆⋂⊆⋂⋂∅∅⋂⋂

，，，，

A A

B B A B A A=A A=A A B=B A

⊆⋃⊆⋃⋃⋃∅⋃⋃

，，，，

U U

(A)A=U(A)A=

⋃⋂∅

，

痧

若A∩B=A，则A B

⊆，反之也成立

若A∪B=B，则A B

⊆，反之也成立

若x∈(A∩B)，则x∈A且x∈B

若x∈(A∪B)，则x∈A，或x∈B

求集合的并、交、补是集合间的基本运算，运算结果仍然还是集合，区分交集与

并集的关键是“且”与“或”，在处理有关交集与并集的问题时，常常从这两个字眼出发去

揭示、挖掘题设条件，结合Venn图或数轴进而用集合语言表达，增强数形结合的思想

方法.

类型一：集合间的关系

例1．请判断①0{0} ；②{}

∈

R R；③{}

∅∈∅；④∅{}∅；⑤{}0

∅=；

典型例题——自主学习

认真分析、解答下列例题，尝试总结提升各类型题目的规律和技巧，然后完

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