集合的基本关系及运算(基础)

合集下载

第二讲集合之间的基本关系及其运算

第二讲集合之间的基本关系及其运算一．知识盘点知识点一：集合间的基本关系注意：1.A B A B B AA B A B A B A B =⇔⊆⊆⎧⊆⎨⊂⇔⊆≠⎩且且2.涉及集合间关系时，不要忘记空集和集合本身的可能性。

3.集合间基本关系必须熟记的3个结论（1）空集是任意一个集合的子集；是任意一个非空集合的真子集，即,().A B B Φ⊆Φ⊂≠Φ(2)任何一个集合是它自身的子集，空集只有一个子集即本身（3）含有n 个元素的集合的子集的个数是2n 个，非空子集的个数是21n - ；真子集个数是21n - ，非空真子集个数是22n -。

知识点二：集合的基本运算运算符号语言 Venn 图运算性质交集{}|A B x x A =∈∈且x B()(),AB A A B B ⊆⊆ (),AA A AB B A ==A B A A B =⇔⊆ A Φ=Φ并集{}|A B x x A x B =∈∈或()(),A A B B A B ⊆⊆ (),A A A A B B A ==,A B B A B A A =⇔⊆Φ=补集{}|U C A x x U x A =∈∉且,U U C U C U =ΦΦ=()(),U U U C C A A A C A U ==()U AC A =Φ()()()U U U C A B C A C B = ()()()U U U C A B C A C B =二．例题精讲Ep1.下列说法正确的是A. 高一（1）班个子比较高的同学可以组成一个集合B. 集合{}2|,x N x x ∈= 则用列举法表示是{}01，UAC. 如果{}264,2,m m ∈++2，则实数m 组成的集合是{}-22，D. {}{}(){}222||,|x y xy y x x y y x =====解析：A.与集合的确定性不符；B.对；C.与集合的互异性不符；D 。

{}2|x y x R == ,{}{}2||0y y x y y ==≥ ，(){}2,|x y y x = 是二次函数2y x = 的点集Ep2.已知集合A={}2|1log ,kx N x ∈<< 集合A 中至少有三个元素，则A.K>8B.K ≥ 8C.K>16D.K ≥ 16解析：由题设,集A 至少含有2，3，4三个元素，所以2log 4k> ，所以k>16.Ep3.已知集合M={}{}2|,|,x y x R N x x m m M =∈==∈ ,则集合M 、N 的关系是A.M N ⊂B.N M ⊂C.R M C N ⊆D.R N C M ⊆ 解析：[]1,1M =- ，{}|01N x x =≤≤ ，故选B.Ep4.已知集合M={}0,1 ,则满足M N M = 的集合N 的个数是 A.1 B.2 C.3 D.4 解析：M N M =，故N M ⊆ ,故选D.Ep5已知集合{}{}2|1,|1M x x N x ax ==== ,如果N M ⊆ ,则实数a 的取值集合是{}.1A {}.1,1B - {}.0,1C {}.1,0,1D -解析：{}1,1M =- , N M ⊆,故N 的可能：{}{}{},1,1,1,1Φ-- ，故a 的取值集合{}1,0,1-Ep6.已知集合{}{}2|20180,|lg(3)A x x x B x N y x =-+≥=∈=- ，则集合A B 的子集的个数是解析：{}|02018A x x =≤≤ ，{}{}|3-x>00,1,2B x N =∈= ，故{}0,1,2A B = 故子集个数328=A.4B.7C.8D.16Ep7.已知集合{}{}2|2,|M x x x N x x a =<+=> ，如果M N ⊆ ,则实数a 的取值范围是.(,1]A -∞- .(,2]B -∞ .[2,)C +∞ .[1,)D -+∞解析：{}|12M x x =-<< ，M N ⊆，故1a ≥-Ep8.已知集合{}2|30A x N x x *=∈-< 则满足B A ⊆ 的集合B 的个数是 A.2 B.3 C.4 D.8 解析：{}{}|03=12A x N x *=∈<<，，故选CEp9.已知集合{}{}|12,|13,M x x N x x M N =-<<=≤≤=则.(1,3]A - B.(1,2]- .[1,2)C D.(2,3]解析：选CEp10.如果集合{}{}(1)2|10,|log 0,x A x x B x -=-≤≤=≤则A B={}.|11A x x -≤< {}.|11B x x -<≤ {}.0C {}.|11D x x -≤≤ 解析：{}10||0111x B x x x x ⎧->⎫⎧==≤<⎨⎨⎬-≤⎩⎩⎭，故选D.Ep11.设集合 {}{}2|11,|,,()R A x x B y y x x A A C B =-<<==∈=则{}.|01A x x ≤< {}.|10.B x x -<< {}|01C x x =<< {}.|11D x x -<<解析：{}|01B y y =≤<，则{}|01R C B y y =<≥或y，(){}{}{}|11|01|10R AC B x x y y y x x =-<<<≥=-<<或选B.Ep12.已知集合{}{}2|11,|20,A x x B x x x =-<<=--<则 )R C A B =（.(1,0]A - .[1,2)B - .[1,2)C .(1,2]D解析：{}|12B x x =-<< ，{}|11R C A x x x =≤-≥或 (){}|12R C A B x x =≤< ，选C.三．总结提高1.题型归类（1）2个集合之间的关系判断（2）已知2个集合之间的关系，求参数问题（3）求子集或真子集的个数问题（4）2个有限集之间的运算（5）1个有限集和1个无限集之间的运算（6）2个无限集之间的运算（7）已知集合的运算结果，求参数问题 2.方法总结（1）判断集合间关系的方法a.化简集合，从表达式中寻找两个集合之间的关系b.用列举法表示集合，从元素中寻找关系c.利用数轴，在数轴上表示出两个集合（集合为数集），比较端点之间的大小关系，从而确定两个集合之间的关系。

高中数学集合知识总结

高中数学知识总结高中数学集合知识总结集合语言是现代数学的基本语言,使用集合语言可以简洁、准确地表达数学的一些相关内容.以下是小编搜集整合了高中数学集合知识，希望可以帮助大家更好的学习这些知识。

高中数学知识总结篇1一、集合间的关系1.子集：如果集合A中所有元素都是集合B中的元素，则称集合A为集合B的子集。

2.真子集：如果集合AB，但存在元素a∈B,且a不属于A,则称集合A是集合B的真子集。

3.集合相等：集合A与集合B中元素相同那么就说集合A与集合B相等。

子集：一般地，对于两个集合A与B，如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素，我们就说集合A包含于集合B，或集合B包含集合A，记作：AB(或BA)，读作“A包含于B”(或“B包含A”)，这时我们说集合是集合的子集，更多集合关系的知识点见集合间的基本关系二、集合的运算1.并集并集：以属于A或属于B的元素为元素的集合称为A与B的并(集)，记作A∪B(或B∪A)，读作“A并B”(或“B并A”)，即A∪B={x|x∈A,或x∈B}2.交集交集：以属于A且属于B的元素为元素的集合称为A与B的交(集)，记作A∩B(或B∩A)，读作“A交B”(或“B交A”)，即A∩B={x|x∈A,且x∈B}3.补集三、高中数学集合知识归纳：1.集合的有关概念。

1)集合(集)：某些指定的对象集在一起就成为一个集合(集).其中每一个对象叫元素注意：①集合与集合的元素是两个不同的概念，教科书中是通过描述给出的，这与平面几何中的点与直线的概念类似。

②集合中的元素具有确定性(a?A和a?A，二者必居其一)、互异性(若a?A，b?A，则a≠b)和无序性({a,b}与{b,a}表示同一个集合)。

③集合具有两方面的意义，即：凡是符合条件的对象都是它的元素;只要是它的元素就必须符号条件2)集合的表示方法：常用的有列举法、描述法和图文法3)集合的分类：有限集，无限集，空集。

4)常用数集：N，Z，Q，R，N*2.子集、交集、并集、补集、空集、全集等概念。

集合间的基本关系及运算

1.2集合间的基本关系及运算【知识要点】1、子集：如果集合A的任意一个元素都是集合B的元素，那么集合A称为集合B的子集，记作A⊆B或B⊇A.2、集合相等：如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素，同时集合B的任何一个元素都是集合A的元素，那么集合A等于集合B，记作A=B。

3、真子集：如果A ⊆B，且A ≠B，那么集合A称为集合B的真子集,A⊂≠B .4、设A ⊆S，由S中不属于A的所有元素组成的集合称为S的子集A的补集，记作S C A5、元素与集合、集合与集合之间的关系6、有限集合的子集个数（1）n个元素的集合有n2个子集（2）n个元素的集合有n2-1个真子集（3）n个元素的集合有n2-1个非空子集（4）n个元素的集合有n2-2个非空真子集7、交集：由属于集合A且属于集合B的所有元素组成的集合叫A与B的交集，记作A⋂B。

8、并集：由所有属于集合A或属于B的元素构成的集合称为A与B的并集，记A⋃B。

9、集合的运算性质及运用【知识应用】1.理解方法：看到一个集合A里的所有元素都包含在另一个集合里B，那么A就是B的子集，也就是说集合A中的任何一个元素都是集合B中的元素，即由任意x∈A能推出x∈B。

【J】例1.指出下列各组中集合A与集合B之间的关系（1）A={-1,1}，B=Z （2）A={1,3,5,15}，B={x|x是15的正约数}【L】例2.已知集合A={x|-2≤x≤5},B={x|m+1≤x≤2m-1},若B⊆A，求实数m取值范围。

【C】例3. 已知集合A⊆{0,1,2,3}，至少有一个奇数，这样的集合A的子集有几个，请一一写出。

2.解题方法：证明2个集合相等的方法：（1）若A、B两个集合是元素较少的有限集，可用列举法将元素一一列举出来，比较之或者看集合中的代表元素是否一致且代表元素满足的条件是否一致，若均一致，则两集合相等。

（2）利用集合相等的定义证明A⊆B,且B⊆A，则A=B.【J】例1.下列各组中的两个集合相等的有（）（1）P={x|x=2n,n∈Z}, Q={x|x=2(n-1)，n∈Z}（2）P={x|x=2n-1,n∈N+}, Q={x|x=2n+1,n∈N+}(3) P={x|2x-x=0}, Q={x|x=1(1)2n+-,n∈Z}【L】例2.已知集合A={x|x=12kπ+4π，k∈Z}，B={x|x=14kπ+2π,k∈Z},判断集合A与集合B是否相等。

高中数学-集合的基本运算(并集与交集)

AC B
A∪B
思考
观察集合A,B,C元素间的关系: A={4，5，6，8}， B={3，5，7，8}， C={5，8}
定义
一般地,由既属于集合A又属于集合B 的所有元素组成的集合叫做A与B的交集.
记作 A∩B 读作 A交 B
即 A∩B={x x∈A,且x∈B}
用Venn图表示如下：
AB
A∩B
性质
={x 1＜ x＜2}
。。。。
-1 0 1 2 3
练习
1. 已知A={2,－1,x2－x+1}, B={2y,－4,x+4}, C={－1,7}
且A∩B=C 求x,y的值及A∪B．
练习
2. 已知集合A={x －2≤x≤4}, B={x x＞a}
①若A∩B≠φ,求实数a的取值范围; ②若A∩B≠A,求实数a的取值范围．
则A∩B＝ {等腰直角三角形}
例题
例2 设A={x x是A∩B= Φ
A∪B= {斜三角形}
例题例3 设A={x -1＜ x ＜ 2},B={x 1＜ x＜3},
求A∪B , A∩B．解： A∪B={x -1＜ x ＜ 2}∪{x 1＜ x＜3}
={x -1＜ x＜3} A ∩ B={x -1＜ x ＜ 2} ∩{x 1＜ x＜3}
集合的基本运算
并集与交集
思考
观察集合A,B,C元素间的关系: A={4，5，6，8}， B={3，5，7，8}， C={3，4，5，6，7，8}
定义
一般地,由属于集合A或属于集合B的所有元素组成的集合叫做A与B的并集,
记作 A∪B 读作 A并 B
即A∪B={x x∈A,或x∈B}
用Venn图表示如下：

集合论初步知识和集合运算规律

集合论初步知识和集合运算规律集合论是数学的一个基本分支，它研究了集合以及集合之间的关系和运算。

集合论的主要概念和运算规律如下：1.集合的基本概念：–集合：由明确的、相互区别的对象组成的整体，称为一个集合。

–元素：集合中的每一个对象称为该集合的元素。

–集合的表示方法：用大括号{}括起来，里面列出集合的所有元素，如{1, 2, 3}表示包含元素1、2、3的集合。

2.集合的类型：–普通集合：包含任意类型的元素的集合。

–子集：如果一个集合的所有元素都是另一个集合的元素，那么这个集合称为另一个集合的子集。

–真子集：如果一个集合是另一个集合的子集，并且这两个集合不相等，那么这个集合称为另一个集合的真子集。

–空集：不包含任何元素的集合，用符号∅表示。

–无穷集合：包含无限多个元素的集合。

3.集合运算规律：–并集（∪）：两个集合的并集包含两个集合的所有元素，但不重复计算重复的元素。

–交集（∩）：两个集合的交集包含两个集合共有的元素。

–补集：对于一个给定的集合S和 universal set（全体集合），S的补集是全体集合中不属于S的元素组成的集合。

–相对补集：对于两个不相交的集合S和T，S在T中的补集是T中不属于S的元素组成的集合。

–幂集：集合S的所有子集组成的集合称为S的幂集。

4.集合运算的性质和定律：–交换律：对于集合运算，交换集合的位置不改变运算结果。

–结合律：对于集合运算，多个集合进行同一运算时，运算顺序不影响结果。

–分配律：集合运算中，一个集合与多个集合的并集进行运算，等于与每个集合分别进行运算的结果。

–吸收律：集合运算中，一个集合与它自己的并集等于它自己。

–同一律：集合运算中，一个集合与它自己的交集等于它自己。

以上是集合论初步知识和集合运算规律的概述，希望对你有所帮助。

习题及方法：1.习题：判断下列哪些是集合，哪些不是集合？a){1, 2, 3}b)所有质数c)高三一班的学生d)全体自然数解答：a)、b)、c)、d)都是集合。

集合基础知识

高中数学基础知识集合Ⅰ.集合概念与基本关系：§1-1 . 集合的含义与表示（1）集合概念：把一些确定元素组成的总体叫作集合（set ）；集合元素具有三个特征：确定性、互异性、无序性.（2）集合的表示方法：列举法：基本形式为...}...{21，，，，k x x x ，适用于有限集或元素间存在规律的无限集；描述法：基本形式为)}(|{x P x x ∈，特征元素x 是元素的代表，元素x 的特征属性为()P x 。

（3）Venn （韦恩图）：框图、数轴、坐标系曲线图形、直观图等；（4）集合的字母表示：通常用大写拉丁字母,...,,C B A 等表示集合。

常用数集的表示：自然数集N ，正整数集*N 或N +，整数集Z ，有理数集Q ，实数集R ，复数集C ；（5）元素与集合之间的关系是属于（belong to ）或不属于（not belong to ）的关系；分别用符号∈、∉表示。

集合元素的常见形式：数集、点集、图形集或物集等。

§1-2. 集合与集合的关系：(1)子集：一般地，对于两个集合A 、B ，如果集合A 中的任意一个元素都是集合B 中的元素，则称集合A 是集合B 的子集，记作B A ⊆(或A B ⊇），读作“A 包含于B ”（或“B 包含A ”）。

数学语言表述：若B x A x ∈⇒∈，则B A ⊆(或A B ⊇）(2)集合相等：如果集合A 是集合B 的子集（B A ⊆），且集合B 也是集合A 的子集（A B ⊆），即集合A 与集合B 的元素是一样的，则称集合A 与集合B 相等，记作B A =。

数学语言表述：若B x A x ∈⇔∈，则B A =。

(3)真子集：如果集合B A ⊆，但存在元素A x B x ∉∈且,，则称集合A 是集合B 的真子集，记作A ≠⊂B （或B ≠⊃A ）。

数学语言表述：若A x B x B x A x ∉⇒∈∃∈⇒∈∀,，则A ≠⊂B （或B ≠⊃A ）。

集合的基本关系和运算

集合的基本关系和运算在初中数学中，集合是一个重要的概念，它涉及到很多基本关系和运算。

掌握了集合的基本关系和运算，可以帮助我们更好地理解和解决数学问题。

本文将从不同角度来介绍集合的基本关系和运算，希望能够为中学生和他们的父母提供一些指导和帮助。

一、集合的基本关系1. 相等关系相等关系是集合中最基本的关系之一。

当两个集合的元素完全一样时，我们说这两个集合相等。

例如，集合A={1, 2, 3}，集合B={1, 2, 3}，则A=B。

相等关系是一种非常直观和容易理解的关系。

2. 包含关系包含关系是指一个集合包含另一个集合的所有元素。

例如，集合A={1, 2, 3}，集合B={1, 2}，则B是A的子集，记作B⊆A。

包含关系可以帮助我们理解集合的大小关系。

3. 相交关系相交关系是指两个集合有共同的元素。

例如，集合A={1, 2, 3}，集合B={2, 3, 4}，则A和B相交，记作A∩B≠∅。

相交关系可以帮助我们找到集合中的共同元素。

4. 互斥关系互斥关系是指两个集合没有共同的元素。

例如，集合A={1, 2, 3}，集合B={4, 5, 6}，则A和B互斥，记作A∩B=∅。

互斥关系可以帮助我们判断集合之间的差异。

二、集合的基本运算1. 并集并集是指将两个集合中的所有元素合并到一起。

例如，集合A={1, 2, 3}，集合B={2, 3, 4}，则A∪B={1, 2, 3, 4}。

并集运算可以帮助我们找到两个集合的所有元素。

2. 交集交集是指两个集合中共同的元素。

例如，集合A={1, 2, 3}，集合B={2, 3, 4}，则A∩B={2, 3}。

交集运算可以帮助我们找到两个集合的共同元素。

3. 差集差集是指从一个集合中去除另一个集合中的元素。

例如，集合A={1, 2, 3}，集合B={2, 3, 4}，则A-B={1}。

差集运算可以帮助我们找到一个集合相对于另一个集合的独有元素。

4. 补集补集是指一个集合相对于全集的差集。

第5讲集合(PPT)

方法三：在数轴上，分别标出2n＋1和4k〒1所表示的点，可以看出它们都对应数轴上的奇数，故A＝B，选C. 方法四：按余数分类，被2除余1的整数是奇数2n＋1(n∈Z)，被4除余1或3(即－1)的整数也是全体奇数，∴选C. 方法归纳：同一个集合会有多种表示法，需要我们把握本质属性，相互转换.

描述法：用集合所含元素的共同特征表示集合的方法. 具体方法是：在花括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及数值（或变化）范围，再画一条竖线，在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征. 例如：{x|x>0}就表示所有大于0的数构成的集合；而{(x,y)|x>0,y>0}就表示第一象限所有点的坐标构成的集合.
集合间的基本关系 1.子集的概念如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素，我们说这两个集合有包含关系，称集合A是集合B的子集．记作 :AB或 B A ．读作：A包含于B，或B包含A．即任取xA都有xB AB ． 2.子集的分类: 集合相等： ⑴两个集合中元素都相同． ⑵ AB且 BA A=B ．
⑴确定性：给定一个集合，那么任何一个元素在不在这个集合中就确定了. ⑵互异性：集合中的元素是互不相同的. ⑶无序性：集合中的元素是不需要考虑顺序的.
集合的表示 1.集合一般用大写的字母A，B，C，…，表示集合，用小写的字母a，b，c，…，表示集合中的元素． 2.如果a是集合A的元素，就说a属于集合A，记作aA；如果a不是集合A的元素，就说a不属于集合A，记作aA． 3．具体的集合一般有三种表示方法：列举法：把集合里的元素一一列举出来，并用花括号“{ }”括起来表示集合的方法．例如{中国，美国，英国，法国，俄罗斯}.
【解析】:其实｛x｜x＝2m－3，m∈Z｝就是全体奇数组成

集合中的运算和关系

集合中的运算和关系集合是数学中的一个基本概念，它是由一些确定的、互不相同的对象构成的整体。

集合中的运算和关系是研究集合性质和结构的重要内容。

一、集合的运算集合的运算包括并集、交集、差集和补集等。

1.并集：设A、B是两个集合，它们的并集记为A∪B，表示A和B中所有元素的集合。

2.交集：设A、B是两个集合，它们的交集记为A∩B，表示同时属于A和B的元素的集合。

3.差集：设A、B是两个集合，它们的差集记为A-B，表示属于A但不属于B的元素的集合。

4.补集：设U是一个全集，A是U的一个子集，A的补集记为A’，表示U中不属于A的元素的集合。

二、集合的关系集合之间的关系主要包括包含关系、相等关系和不相交关系等。

1.包含关系：设A、B是两个集合，如果A中的所有元素都属于B，则称A包含于B，记为A⊆B。

如果A包含于B且B包含于A，则称A等于B，记为A=B。

2.相等关系：设A、B是两个集合，如果A包含于B且B包含于A，则称A等于B，记为A=B。

3.不相交关系：设A、B是两个集合，如果A和B没有共同的元素，则称A和B不相交，记为A∩B=∅。

三、集合的性质1.确定性：集合中的元素是确定的，不含有不确定性。

2.互异性：集合中的元素是互不相同的。

3.无序性：集合中的元素没有顺序。

四、集合运算的性质1.结合律：对于集合的并集、交集和差集运算，都满足结合律。

2.交换律：对于集合的并集、交集和差集运算，都满足交换律。

3.分配律：对于集合的并集和交集运算，满足分配律。

五、集合的关系的性质1.自反性：对于任意集合A，A包含于A。

2.对称性：对于任意集合A、B，如果A包含于B，则B包含于A。

3.传递性：对于任意集合A、B、C，如果A包含于B且B包含于C，则A包含于C。

以上是集合中的运算和关系的基本知识点，希望对你有所帮助。

习题及方法：1.习题：设集合A={1, 2, 3}，集合B={2, 3, 4}，求A∪B、A∩B、A-B、A’。

数学集合的概念运算

课前案1．集合与元素(1)集合元素的三个特征：、、．(2)元素与集合的关系是或关系，用符号或表示．(3)集合的表示法：、、．(4)常见数集的记法集合自然数集正整数集整数集有理数集实数集符号2.集合间的基本关系表示关系文字语言符号语言记法基本关系子集集合A的所有元素都是集合B的元素x∈A⇒x∈BA B或B A 真子集集合A是集合B的子集，且集合B中至少有一个元素不属于AA⊆B，且存在x0∈B，x0∉AA B或B A 相等集合A，B的元素完全相同A⊆B，B⊆AA＝B 空集不含任何元素的集合．空集是任何集合A的子集任意x，x∉∅，∅⊆A ∅3.集合的基本运算集合的并集集合的交集集合的补集图形语言符号语言A∪B＝A∩B＝∁U A＝(1)并集的性质：A∪∅＝A；A∪A＝A；A∪B＝B∪A；A∪B＝A⇔B⊆A.(2)交集的性质：A∩∅＝∅；A∩A＝A；A∩B＝B∩A；A∩B＝A⇔A⊆B.(3)补集的性质：A∪(∁U A)＝U；A∩(∁U A)＝∅．(4)∁U(∁U A)＝A；∁U(A∪B)＝(∁U A)∩(∁U B)；∁U(A∩B)＝(∁U A)∪(∁U B)．课中案一、目标导引[疑误辨析]判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1){x |y ＝x 2＋1}＝{y |y ＝x 2＋1}＝{(x ，y )|y ＝x 2＋1}．( ) (2)若{x 2，1}＝{0，1}，则x ＝0，1.( ) (3){x |x ≤1}＝{t |t ≤1}．( )(4)对于任意两个集合A ，B ，(A ∩B )⊆(A ∪B )恒成立． ( ) (5)若A ∩B ＝A ∩C ，则B ＝C .( ) [教材衍化]1．(必修1P12A 组T3改编)若集合P ＝{x ∈N |x ≤ 2 021}，a ＝22，则( ) A ．a ∈P B ．{a }∈P C ．{a }⊆P D ．a ∉P2．(必修1P11例9改编)已知U ＝{α|0°<α<180°}，A ＝{x |x 是锐角}，B ＝{x |x 是钝角}，则∁U (A ∪B )＝________．3．(必修1P44A 组T5改编)已知集合A ＝{(x ，y )|x 2＋y 2＝1}，B ＝{(x ，y )|y ＝x }，则A ∩B 中元素的个数为________．[易错纠偏](1)忽视集合中元素的互异性致误； (2)忽视空集的情况致误； (3)忽视区间端点值致误． 1．已知集合A ＝{1，3，m }，B ＝{1，m }，若B ⊆A ，则m ＝________．2．已知集合A ＝{x |x 2－4x ＋3＜0}，B ＝{x |2＜x ＜4}，则A ∩B ＝________，A ∪B ＝________，(∁R A )∪B ＝________．3．已知集合M ＝{x |x －2＝0}，N ＝{x |ax －1＝0}，若M ∩N ＝N ，则实数a 的值是________．二典型例题集合的含义(1)已知集合A ＝{0，1，2}，则集合B ＝{(x ，y )|x ≥y ，x ∈A ，y ∈A }中元素的个数是( ) A ．1 B ．3 C ．6 D ．9(2)若集合A ＝{x ∈R |ax 2－3x ＋2＝0}中只有一个元素，则a ＝( ) A ．92 B ．98 C ．0 D ．0或98(3)设a ，b ∈R ，集合{1，a ＋b ，a }＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫0，b a ，b ，则b －a ＝________．与集合中的元素有关问题的求解步骤1．(2020·温州八校联考)已知集合M＝{1，m＋2，m2＋4}，且5∈M，则m的值为() A．1或－1 B．1或3 C．－1或3 D．1，－1或32．已知集合A＝{x|x∈Z，且32－x∈Z}，则集合A中的元素个数为________．集合的基本关系(1)已知集合A＝{x|x2－3x＋2＝0，x∈R}，B＝{x|0<x<5，x∈N}，则满足条件A⊆C⊆B的集合C 的个数( ) A．1 B．2 C．3 D．4(2)已知集合A＝{x|－2≤x≤5}，B＝{x|m＋1≤x≤2m－1}，若B⊆A，则实数m的取值范围为________．1．(变条件)在本例(2)中，若A⊆B，如何求解？2．(变条件)若将本例(2)中的集合A改为A＝{x|x<－2或x>5}，如何求解？1．设P＝{y|y＝－x2＋1，x∈R}，Q＝{y|y＝2x，x∈R}，则()A．P⊆Q B．Q⊆P C．∁R P⊆Q D．Q⊆∁R P2．(2020·绍兴调研)设A＝{1，4，2x}，B＝{1，x2}，若B⊆A，则x＝________．3．已知集合A＝{x|x2－3x＋2＝0，x∈R}，B＝{x|0<x<5，x∈N}，则满足条件A⊆C⊆B的集合C的个数为________．集合的基本运算(高频考点)集合的基本运算是历年高考的热点，每年必考，常和不等式的解集、函数的定义域、值域等相结合命题，主要以选择题的形式出现．试题多为低档题．主要命题角度有：(1)求集合间的交、并、补运算；(2)已知集合的运算结果求参数．角度一求集合间的交、并、补运算2019·高考全国卷Ⅰ)已知集合U＝{1，2，3，4，5，6，7}，A＝{2，3，4，5}，B＝{2，3，6，7}，则B∩∁U A=()A．{1，6} B．{1，7} C．{6，7} D．{1，6，7}(2)(2020·浙江高考模拟)设全集U＝R，集合A＝{x|x2－x－2<0}，B＝{x|1<x<3}，则A∪B＝________，∁U(A ∩B)＝________．角度二已知集合的运算结果求参数(1)设集合A＝{x|－1≤x<2}，B＝{x|x<a}，若A∩B≠∅，则a的取值范围是()A．－1<a≤2 B．a>2 C．a≥－1 D．a>－1(2)设集合A＝{1，2，4}，B＝{x|x2－4x＋m＝0}．若A∩B＝{1}，则B＝()A．{1，－3} B．{1，0 }C．{1，3} D．{1，5}(1)集合运算的常用方法①若集合中的元素是离散的，常用Venn图求解．②若集合中的元素是连续的实数，则用数轴表示，此时要注意端点的情况．(2)利用集合的运算求参数的值或取值范围的方法①与不等式有关的集合，一般利用数轴解决，要注意端点值能否取到．②若集合能一一列举，则一般先用观察法得到不同集合中元素之间的关系，再列方程(组)求解．[提醒]在求出参数后，注意结果的验证(满足互异性)．1．已知集合P＝{x∈R|1≤x≤3}，Q＝{x∈R|x2≥4}，则P∪(∁R Q)＝()A．[2，3] B．(－2，3] C．[1，2) D．(－∞，－2]∪[1，＋∞)2．设全集S＝{1，2，3，4}，且A＝{x∈S|x2－5x＋m＝0}，若∁S A＝{2，3}，则m＝________．核心素养系列数学抽象——集合的新定义问题定义集合的商集运算为A B ＝{x |x ＝m n ，m ∈A ，n ∈B }．已知集合A ＝{2，4，6}，B ＝{x |x ＝k2－1，k∈A }，则集合BA ∪B 中的元素个数为( )A ．6B ．7C ．8D ．9解决集合新定义问题的方法(1)紧扣新定义．首先分析新定义的特点，把新定义所叙述的问题的本质弄清楚，并能够应用到具体的解题过程之中，这是破解新定义型集合问题难点的关键所在．(2)用好集合的性质．集合的性质(概念、元素的性质、运算性质等)是破解新定义型集合问题的基础，也是突破口，在解题时要善于从试题中发现可以使用集合性质的一些因素，在关键之处用好集合的性质．设数集M ＝{x |m ≤x ≤m ＋34}，N ＝{x |n －13≤x ≤n }，且M ，N 都是集合U ＝{x |0≤x ≤1}的子集，定义b －a 为集合{x |a ≤x ≤b }的“长度”，则集合M ∩N 的长度的最小值为________．课后案 [A 组]1．已知集合A ＝{1，2，3，4}，B ＝{2，4，6，8}，则A ∩B 中元素的个数为( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．42．(2020·温州十五校联合体联考)已知集合A ＝{}x |e x ≤1，B ＝{}x |ln x ≤0，则A ∪B ＝( ) A ．(－∞，1] B ．(0，1] C ．[1，e] D ．(0，e]3．已知全集U ＝A ∪B ＝{x ∈Z |0≤x ≤6}，A ∩(∁U B )＝{1，3，5}，则B ＝( ) A ．{2，4，6} B ．{1，3，5} C ．{0，2，4，6} D ．{x ∈Z |0≤x ≤6} 4．设集合A ＝{1，2，6}，B ＝{2，4}，C ＝{x ∈R |－1≤x ≤5}，则(A ∪B )∩C ＝( ) A ．{2} B ．{1，2，4} C ．{1，2，4，6} D ．{x ∈R |－1≤x ≤5} 5．已知全集为R ，集合A ＝{x |x 2－5x －6<0}，B ＝{x |2x <1}，则图中阴影部分表示的集合是( )A ．{x |2<x <3}B ．{x |－1<x ≤0}C ．{x |0≤x <6}D ．{x |x <－1}6．已知集合A ＝{x |x 2－3x <0}，B ＝{1，a }，且A ∩B 有4个子集，则实数a 的取值范围是( ) A ．(0，3) B ．(0，1)∪(1，3) C ．(0，1) D ．(－∞，1)∪(3，＋∞) 7．设U ＝{x ∈N *|x ＜9}，A ＝{1，2，3}，B ＝{3，4，5，6}，则(∁U A )∩B ＝( ) A ．{1，2，3} B ．{4，5，6} C ．{6，7，8} D ．{4，5，6，7，8}8．设集合A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫5，b a ，a －b ，B ＝{b ，a ＋b ，－1}，若A ∩B ＝{2，－1}，则A ∪B ＝( )A ．{－1，2，3，5}B ．{－1，2，3}C ．{5，－1，2}D ．{2，3，5}9．已知集合P ＝{n |n ＝2k －1，k ∈N *，k ≤50}，Q ＝{2，3，5}，则集合T ＝{xy |x ∈P ，y ∈Q }中元素的个数为( ) A ．147 B ．140 C ．130 D ．11710．已知全集U ＝R ，集合A ＝{x |x 2－3x ＋2>0}，B ＝{x |x －a ≤0}，若∁U B ⊆A ，则实数a 的取值范围是( )A ．(－∞，1)B ．(－∞，2]C ．[1，＋∞)D ．[2，＋∞)11．集合A ＝{0，2，a }，B ＝{1，a 2}，若A ∪B ＝{0，1，2，4，16}，则a 的值为________． 12．已知全集U ＝R ，集合A ＝{x |－1≤x ≤3}，集合B ＝{x |log 2(x －2)<1}，则A ∪B ＝________；A ∩(∁U B )＝________．13．设集合A ＝{n |n ＝3k －1，k ∈Z }，B ＝{x ||x －1|>3}，则B ＝________，A ∩(∁R B )＝________． 14．设全集为R ，集合M ＝{x ∈R |x 2－4x ＋3>0}，集合N ＝{x ∈R |2x >4}，则M ∩N ＝________；∁R (M ∩N )＝________．15．已知集合M ＝{x |x 2－4x <0}，N ＝{x |m ＜x ＜5}，若M ∩N ＝{x |3<x <n }，则m ＝________，n ＝________． 16．设全集U ＝{x ∈N *|x ≤9}，∁U (A ∪B )＝{1，3}，A ∩(∁U B )＝{2，4}，则B ＝________． 17．已知集合A ＝{x |1≤x <5}，C ＝{x |－a <x ≤a ＋3}，若C ∩A ＝C ，则a 的取值范围是________．[B 组]1．已知全集U 为R ，集合A ＝{x |x 2<16}，B ＝{x |y ＝log 3(x －4)}，则下列关系正确的是( ) A ．A ∪B ＝R B ．A ∪(∁U B )＝R C ．(∁U A )∪B ＝R D ．A ∩(∁U B )＝A .2．集合A ＝{x |y ＝ln(1－x )}，B ＝{x |x 2－2x －3≤0}，全集U ＝A ∪B ，则∁U (A ∩B )＝( )A ．{x |x ＜－1或x ≥1}B ．{x |1≤x ≤3或x ＜－1}C ．{x |x ≤－1或x ＞1}D ．{x |1＜x ≤3或x ≤－1} 3．(2020·浙江新高考联盟联考)已知集合A ＝{1，2，m }，B ＝{1，m }，若B ⊆A ，则m ＝________，∁A B ＝________．4．函数g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ，x ∈P ，－x ，x ∈M ，其中P ，M 为实数集R 的两个非空子集，规定f (P )＝{y |y ＝g (x )，x ∈P }，f (M )＝{y |y ＝g (x )，x ∈M }．给出下列四个命题：①若P ∩M ＝∅，则f (P )∩f (M )＝∅； ②若P ∩M ≠∅，则f (P )∩f (M )≠∅； ③若P ∪M ＝R ，则f (P )∪f (M )＝R ； ④若P ∪M ≠R ，则f (P )∪f (M )≠R . 其中命题不正确的有________．5．设[x ]表示不大于x 的最大整数，集合A ＝{x |x 2－2[x ]＝3}，B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |18<2x <8，求A ∩B .6．已知集合A ＝{x |1<x <3}，集合B ＝{x |2m <x <1－m }． (1)当m ＝－1时，求A ∪B ； (2)若A ⊆B ，求实数m 的取值范围； (3)若A ∩B ＝∅，求实数m 的取值范围．课后案答题纸1 2 3 4 5 6 7 8 9 1011. 12. A ∪B ＝________；A ∩(∁U B )＝________．13、 B ＝________，A ∩(∁R B )＝_14. M ∩N ＝________；∁R (M ∩N )＝________． 15. m ＝________，n ＝________．16. B ＝________． 17.B 组1 23. m ＝________，∁A B ＝________．4.5．设[x ]表示不大于x 的最大整数，集合A ＝{x |x 2－2[x ]＝3}，B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |18<2x <8，求A ∩B .6．已知集合A ＝{x |1<x <3}，集合B ＝{x |2m <x <1－m }． (1)当m ＝－1时，求A ∪B ； (2)若A ⊆B ，求实数m 的取值范围； (3)若A ∩B ＝∅，求实数m 的取值范围．。

集合的基础知识点

集合的基础知识点一、什么是集合集合是数学中的一个基本概念，它是由一些确定的元素所组成的整体。

集合中的元素可以是任何事物，比如数字、字母、人、动物等等。

集合的概念在数学中具有重要的地位，它是其他数学概念的基础。

二、集合的表示方法集合可以用不同的方式表示和描述，常见的表示方法有两种：1.列举法：通过列举集合中的元素来表示集合。

例如，集合A由元素1、2、3组成，可以表示为A={1, 2, 3}。

2.描述法：通过给出满足某种条件的元素来表示集合。

例如，集合B由大于0且小于10的整数组成，可以表示为B={x | 0 < x < 10}。

三、集合的基本操作集合作为一个整体，可以进行一些基本的操作，包括并集、交集、差集和补集等。

1.并集：将两个集合中的所有元素合并成一个新的集合。

记作A∪B，表示为A和B的并集。

2.交集：找出两个集合中共有的元素，组成一个新的集合。

记作A∩B，表示为A和B的交集。

3.差集：从一个集合中减去另一个集合中共有的元素，得到一个新的集合。

记作A-B，表示为A和B的差集。

4.补集：对于给定的全集U，集合A相对于全集U的补集是指在全集U中但不在集合A中的元素所组成的集合。

记作A’，表示为A的补集。

四、集合的基本性质集合具有一些基本的性质，包括空集、子集和幂集等。

1.空集：不包含任何元素的集合称为空集，记作∅或{}。

空集是任何集合的子集。

2.子集：如果一个集合的所有元素都属于另一个集合，那么这个集合被称为另一个集合的子集。

记作A⊆B，表示A是B的子集。

3.幂集：对于给定集合A，它的幂集是指由A的所有子集所组成的集合。

记作P(A)。

五、集合的运算律集合的运算满足一些基本的运算律，包括交换律、结合律、分配律和幂等律等。

1.交换律：对于任意两个集合A和B，A∪B = B∪A，A∩B = B∩A。

2.结合律：对于任意三个集合A、B和C，(A∪B)∪C = A∪(B∪C)，(A∩B)∩C = A∩(B∩C)。

复习课件11集合的概念及其基本运算

变式训练 2 设 A＝{x|x2＋4x＝0}，B＝{x|x2＋2(a＋1)x ＋a2－1＝0}， (1)若 B⊆A，求 a 的值； (2)若 A⊆B，求 a 的值．
解 (1)A＝{0，－4}，
①当 B＝∅时，Δ＝4(a＋1)2－4(a2－1)＝8(a＋1)<0，
解得 a<－1；
②当 B 为单元素集时，a＝－1，此时 B＝{0}符合题意；
Hale Waihona Puke 变式训练 3 (2010·重庆)设 U＝{0,1,2,3}，A＝{x∈U|x2 ＋mx＝0}，若∁UA＝{1,2}，则实数 m＝__－__3____.
解析 ∵∁UA＝{1,2}，∴A＝{0,3}，∴0,3 是方程 x2＋mx ＝0 的两根，∴m＝－3.
易错警示 1．忽略空集致误
试题：(5 分)已知集合 A＝{－1,1}，B＝{x|ax＋1＝0}，若 B⊆A，则实数 a 的所有可能取值的集合为____．学生答案展示
正确答案 {－1,0,1}
批阅笔记本题考查的重点是集合的关系以及集合元素
的特征．在解答本题时，存在两个突出错误．一是极易忽略集合 B 为∅的情况；二是忽视对 B 中的元素－1a的值为 1 或－1 的讨论．在解决类似问题时，一定要注意分类讨论，避免误解．
思想方法感悟提高
方法与技巧 1．集合中的元素的三个性质，特别是无序性和互异性
则实数 a 的取值范围是_a_≤__0__．
题型分类深度剖析
题型一集合的基本概念例 1 定义集合运算：A⊙B＝{z|z＝xy(x＋y)，x∈A，
y∈B}，设集合 A＝{0,1}，B＝{2,3}，则集合 A⊙B 的所有元素之和为________．思维启迪集合 A⊙B 的元素：z＝xy(x＋y)．求出 z 的所有值，再求其和．

集合的基本运算(讲义)

集合的基本运算（讲义）➢知识点睛一、集合的基本运算、无序性．二、并集、交集向集合间基本关系的转化A∪B=B⇔A⊆B；A∩B=B⇔B⊆A．三、集合的运算律1.交换律A∪B＝B∪A，A∩B＝B∩A2.结合律A∪(B∪C)＝(A∪B)∪CA∩(B∩C)＝(A∩B)∩C3.分配律A∪(B∩C)＝(A∪B)∩(A∪C)A∩(B∪C)＝(A∩B)∪(A∩C)4.德-摩根定律C U(A∪B)=_________________C U(A∩B)=_________________四、Venn图的应用1.抽象集合之间的基本关系和基本运算．2.集合交集、并集、补集的混合运算．➢精讲精练1.（1）已知集合M={x|-2<x≤5}，N={x|x<-5或x>5}，则M∪N=（）A．{x|x<-5或x>-2} B．{x|-5<x<5}C．{x|-2<x<5} D．{x|x<-3或x>5}（2）已知集合{|03}=-≤≤，M y yP x xZ≤，{|33}=∈<则P∩M=（）A．{1，2} B．{0，1，2}C．{x|0≤x<3} D．{x|0≤x≤3}（3）已知集合2==-==，，，，那A x y y xB x y y x{()|32}{()|}么集合A∩B=__________________．（4）若集合{|1}{|1}，，则====A x yB y yA∪B=___________，A∩B=___________.2.（1）若全集{|22}A x x=-≤≤的=-≤≤，则集合{|20}U x x补集C U A为_________．（2）已知全集{|15}A=，，，Z≤≤，{125}=∈-U x xN，则B∩(C U A)= ________．=∈-<<{|14}B x x3.设A={0，2，4，6}，C U A={-1，-3，1，3}，C U B={-1，0，2}，则集合B=_______________________．4.（1）设集合S={x|x>5或x<-1}，T={x|a<x<a+8}，若S∪T=R，则实数a的取值范围是__________________．（2）已知集合A={x|2-a≤x≤2+a}，B={x|x≥4或x≤1}，若A∩B=∅，则实数a的取值范围是__________________．（2）已知集合A={x|2≤x≤6}，B={x|2m≤x≤m+3}，若B∩A=B，则m的取值范围是__________________．（3）已知A={1，2，3}，B={x∈R|x2－ax＋1=0}，当A∩B=B时，则a的取值范围是_______________．≤C．{x|-2≤x≤2} D．{x|1<x≤2}D．(M∩P)∪(C U S)9.已知全集合S={ x∈N+ |-2<x<9}，M ={3，4，5}，P={1，3，6}，那么{2，7，8}是（）A．M∪P B．M∩PC．(C S M)∪(C S P) D．(C S M)∩(C S P)10. 设A ，B ，U 均为非空集合，且满足A ⊆B ⊆U ，则下列各式错误的是（）A ．(C U A )∪B =UB ．(C U A )∪(C U B )=UC ．A ∩(C U B )=∅D ．(C U A )∩(C U B )= C U B11. 设全集U =M ∪N ={1，2，3，4，5}，M ∩(C U N )={2，4}，则N =_________．12. 设全集U ={x |0<x <10，x ∈N +}，若A ∩B ={3}，(C U A )∩(C U B )={9}，A ∩(C U B )={1，5，7}，则集合A =___________，B =___________．【参考答案】➢ 知识点睛三、4．()()()()U U U U A B A B ，➢ 精讲精练1. （1）A ；（2）B ；（3）{(2，4)，(1，1)}；（4）{|0}x x ≥，{|1}x x ≥2. （1）{|02}x x ≤；（2）{0，3}3. {4，6，-3，1，3}4. （1）{|31}a a -<<-；（2）{|1}a a <5. （1）0或3；（2）{|1}m m ≥；（3）{|22}a a -<≤6. {2,8}7. D8. C9. D 10. B11. {1，3，5}12. {1，3，5，7}，{2，3，4，6，8}集合的基本运算（随堂测试）1. 已知集合{|20}P x x x =≥≤或，{|12}Q x x =<≤，则(C R P )∩Q =___________．2. 已知集合{}|21A x a x a =+≤≤，{}|23B x x =-≤≤，若A ∪B =B ，则实数a 的取值范围是_________________．3. 设全集U ={x |0<x <10，x ∈N }，A ⊆U ，B ⊆U ，若A ∩B ={2，3}，C U (A ∪B )={4，6，9}，(C U A )∩B ={1，8}，则集合A =________，B =__________．【参考答案】1. {|12}x x <<2. {|1}a a -≥3. {2，3，5，7}，{1，2，3，8}。

集合间的基本关系及基本运算(高中必修一)

知识要点：（1）一般地，对于两个集合A 、B ，如果集合A 中任意一个元素都是集合B 中的元素，则称集合A 是集合B 的子集。

记作B A ⊆.即：,A x ∈∀则B x ∈⇔B A ⊆（2）如果集合B A ⊆，但存在元素B x ∈，且A x ∉，则称集合A 是集合B 的真子集.记作：A B. 即：B A ⊆且,0A x ∈∃但B x ∉0⇔A B .（3）如果集合A 与集合B 的元素相同，则称集合A 与集合B 为等集。

即：B A ⊆且BA ⊇⇔B A =（4）把不含任何元素的集合叫做空集.记作：φ.并规定：空集合是任何集合的子集.(5)如果集合A 中含有n 个元素，则集合A 有2n 个子集.题例方法例1.下列各组集合，表示相等集合的是( )①M ＝{(3,2)}，N ＝{(2,3)}；②M ＝{3,2}，N ＝{2,3}；③M ＝{(1,2)}，N ＝{1,2}．A ．①B ．②C ．③D ．以上都不对例2．设全集U=R ，集合M=｛x|x ＞1｝，P=｛x|x 2＞1｝，则下列关系中正确的是 ( )A.M=P B ．P ⊂M C.M ⊂P D ．（C U M ）⋂P=ø例3．满足条件{1，2}A ⊆{1,2,3,4,5}的集合A 共有个。

例4.集合A={x|-2≤x ≤5},B={x|m+1≤x ≤2m-1},(1)若B ⊆A,求实数m 的取值范围;(2)当x ∈Z 时,求A 的非空真子集个数;(3)当x ∈R 时,没有元素x 使x ∈A 与x ∈B 同时成立,求实数m 的取值范围.巩固练习：1.已知集合A ＝{x|－1<x<2}，B ＝{x|0<x<1}，则( )A ．A>B B ．A BC ．B AD ．A =B2.已知集合A={0，2，3}，B={x|x=ab,a 、b ∈A 且a ≠b}，则B 的子集的个数是 ( )A ．4B ．8C ．16D ．153．若全集U={1，2，3}，则集合A 的真子集共有（）A ．3个B ．5个C ．7个D ．8个知识要点：（1）一般地，由所有属于集合A 或集合B 的元素组成的集合，称为集合A 与B 的并集.记作：A ∪B.即有：A ∪B={x|x ∈A 或x ∈B ｝（2）一般地，由属于集合A 且属于集合B 的所有元素组成的集合，称为A 与B 的交集.记作：A ∩B.即有：A ∩B=｛x|x ∈A 且x ∈B ｝（3）一般地，如果一个集合U 含有所研究问题中涉及的所有元素，称U 为所研究问题的全集.（4）一般地，集合A 是全集U 的一个子集，由全集U 中不属于A 的元素组成的集合，称为对于全集U 集合A 的补集。

集合的基本关系及运算

第一章
集合与常用逻辑用语
(1)(2010·江西省信丰中学高三第三次月考)设集合I＝{a1， a2，a3，a4}，则满足M⊆I，且M∩{a1，a2，a3}＝{a1，a2}的集合M的补集C1M是 ( D．{a3} ＞0}，则A∩B＝________. )
A．{a3，a4}和{a3}
C．{a3，a4} B＝{x|
第一章
集合与常用逻辑用语
【分析】由条件B⊆A时要注意B是否为空集，利用数轴标出集合A. 【解析】 A＝{x|x2－3x－10≤0}＝{x|－2≤x≤5} (1)若B＝∅，则2m－1＜m＋1 ∴m＜2 若B≠∅，且B⊆A，则
第一章
集合与常用逻辑用语
设A＝{x|x2－8x＋15＝0}，B＝{x|ax－1＝0}．若B⊆A，求由实数a的所有可能的值组成的集合，并写出它的所有非空真子集．【解析】 A＝{x|x2－8x＋15＝0}＝{3,5} (1)当a＝0时，B＝∅，∴B⊆A，
符号
N
N*或N＋
Z
Q
R
C
(4)集合的表示法：列举法、描述法、韦恩图法．
第一章
集合与常用逻辑用语
2．集合间的基本关系
文字语言关系 B A⊆B 或 B⊇A
子集
集合A中任意一个元素都是集合B中的元素
真子集
A中任意一个元素均为B中的元素，且B中至少有一个元素不是A中的元素空集是任何集合的子集，是非空集合任何的真子集
第一章
集合与常用逻辑用语
第一章
集合与常用逻辑用语
1．理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个简单集合的并集与交集； 2．理解在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集； 3．能使用韦恩(Venn)图表达集合的关系及运算； 4．集合的运算在解题时要注意Venn图及补集思想的应用； 5．集合中的常用运算性质

集合的基本概念、基本关系、基本运算

第1讲集合的基本概念、基本关系、基本运算考点1集合的含义与表示考法1元素与集合的相关概念（集合的三个特性）①描述性：集合是一个原始的不加定义的概念，它同平面几何中的“点”“线”“面”等概念一样，都是描述性的说明；②整体性：集合是一个整体，暗含“所有”“全部”“全体”的含义，因此，一些对象一旦组成了集合，这个集合就是这些对象的总体；③广泛性：组成集合的对象可以是数、点、图形、多项式、方程，也可以是人或物等.判断一个“全体”是否构成一个集合，关键是看组成这个“全体”的对象是否确定.1.下列对象能够构成集合的有 CA ．著名的艺术家B ．一切很厚的书C ．倒数等于它本身的实数D ．地球上的小河流2.下列对象不能够构成集合的有 CA ．绝对值等于1实数B ．平面直角坐标系内第一象限的点C ．高一数学课本中难题D ．所有直角梯形考法2元素与集合的关系（集合中元素的性质①确定性；②互异性；③无序性）1.用符号“∈”或“∉”填空： ①23 N *； ②23 N ； ③23 Z ； ④23 Q ； ⑤23R ；1 N *1 N 1 Z 1 Q 1 R ；2.设集合{31}A x x m =-<，若1A ∈，2A ∉，则实数m 的取值范围是 CA.25m <<B.25m ≤<C.25m <≤D.25m ≤≤3.已知集合2{210,}A x ax x a R =-+=∈.①若1A ∈，求a 的值；②若A 是单元素集合，求a 的值；③若是双元素集合，求a 的取值范围.4．下列命题正确的是 CA ．2{20}x x +=在实数范围内无意义 B ．{(1,2)}与{(2,1)}表示同一个集合C ．{4,5}与{5,4}表示相同的集合D ．{4,5}与{5,4}表示不同的集合考法3集合的表示（列举法、描述法、Venn 图法）1.用列举法表示下列集合①满足42x -≤≤且x Z ∈；②平方等于本身的实数；③满足4x y +=且x N ∈，y N ∈的有序实数对(,)x y ；④方程2230x x --=的解.2.用适当的方法表示下列集合①所有的偶数组成的集合；②所有被3除余1的正整数组成的集合；③平面直角坐标系中第二象限内的点；④所有菱形组成的集合.3.用描述法表示函数21y x =+图像上的点的是 CA ．{21}x y x =+B ．{21}y y x =+C ．{(,)21}x y y x =+D ．{21}y x =+4.（2012·全国卷）已知集合{1,2,3,4,5}A =，{(,),,}B x y x A y A x y A =∈∈-∈，则B 中所含元素的个数为 DA.3B.6C.8D.10考点2集合的基本关系考法1子集一般地，对于两个集合A ，B ，如果集合A 中的任意一个元素都是集合B 中的元素，我们就说这两个集合由包含关系，称集合A 为集合B 的子集.显然①A A ⊆；②若A B ⊆，B C ⊆，则A C ⊆.1.已知集合{A =，{1,}B m =，若B A ⊆，则m = . 0m =或3m =2.（2011·全国卷·文科）已知集合{0,1,2,3,4}M =，{1,3,5}N =，P M N =，则P 的子集共有 BA.2个B.4个C.6个D.8个4.（2012·湖北卷·文科）已知集合2{320,}A x x x x R =-+=∈，{05,B x x =<< }x N ∈，则满足条件A C B ⊆⊆的集合C 的个数为 A A.4个 B.3个 C.2个 D.1个考法2集合相等一般地，对于两个集合A ，B ，如果集合A 中的任意一个元素都是集合B 中的元素，同时集合B 中的任意一个元素都是集合A 中的元素，我们就说这集合A 与集合B 相等.1.已知集合{,,2}M a a d a d =++，2{,,}N a aq aq =，其中0a ≠，且M N =，则q = . 12q =- 考法3真子集对于两个集合A ，B ，如果A B ⊆，且A B ≠，我们就说集合集合A 是集合B 的真子集. 1.（2002·全国卷）集合1{|,}24k M x x k Z ==+∈，1{|,}42k N x x k Z ==+∈，则 A.N M = B.M N C.N M D.M N =∅ C2.下列两个集合表示相等的是 DA.{}A π=，{3.14}B =B.{2,3}A =，{(2,3)}B =C.{0}A =，B =∅D.2{1}A x x ==，{1,1}B =- 考法4理解与提高1.两个规定：①空集是任何集合的子集；②空集是任何非空集合的真子集.2.下列关于集合的说法中，正确的是 .①空集是任何集合的真子集； ②若A B ⊆，B C ⊆，则A C ⊆； ③任何一个集合必有两个或两个以上的子集； ④若A B =，则A B ⊆.3.给出下面结论，其中正确的是 . ①②①{}∅⊆∅ ②{}∅∈∅ ③{}∅=∅ ④∅{0} 考点3集合的基本运算考法1交集：{}A B x x A x B =∈∈且.1.（2010·四川卷·文科）设集合{3,5,6,8}A =，集合{4,5,7,8}B =，则A B =A.{3,4,5,6,7,8}B.{3,6}C.{4,7}D.{5,8} D2.（2014·北京卷·文科）若集合{}0,1,2,4A =，{}1,2,3B =，则A B = CA.{}0,1,2,3,4B.{}0,4C.{}1,2D.{}33.（2019·全国卷Ⅱ·文科）已知集合{1}A x x =>-,{2}B x x =<，则A B =A ．(1,)-+∞B ．(,2)-∞C ．(1,2)-D ．∅ C4.（2014·全国卷Ⅰ·文科）已知集合{13}M x x =-<<，{21}N x x =-≤≤，则M N = BA.(2,1)-B.(1,1]-C.(1,3)D.(2,3)-5.（2020·北京卷）已知集合{1,0,1,2}A =-，{|03}B x x =<<，则A B = DA.{1,0,1}-B.{0,1}C.{1,1,2}-D.{1,2}6.（2019·江苏卷）已知集合{1,0,1,6}A =-，{0,}B x x x R =>∈，则A B = .7.（2014·全国卷Ⅱ·文科）已知集合{2,0,2}A =-，2{|20}B x x x =--=，则 A B = BA ．∅ B.{2} C.{0} D.{2}-8.（2014·北京卷·理科）已知集合2{20}A x x x =-=，{0,1,2}B =，则A B =A.{0}B.{0,1}C.{0,2}D.{0,1,2} C9.（2014·全国卷Ⅱ·理科）设集合{0,1,2}M =，2{|320}N x x x =-+≤，则 M N = DA.{1}B.{2}C.{0,1}D.{1,2}10.（2020·全国卷Ⅰ·文科）设集合2{340}A x x x =--<，{4,1,3,5}B =-，则A B = DA ．{4,1}-B ．{1,5}C ．{3,5}D ．{1,3}11.交集的性质：①A B B A =；②A A = ；③A ∅= ；④A B A . ⑤若A B A =，则A B ⊆；⑥若A B ⊆，则A B A =.12.已知集合2{320}A x x x =-+=，{10}B x mx =-=，A B B =，则m = .0m =，1，12. 考法2并集：{}A B x x A x B =∈∈或1．（2010·广东卷·文科）若集合{}0,1,2,3A =，{}1,2,4B =，则集合A B =A ．{0,1,2,3,4}B ．{1,2,3,4}C ．{1,2}D ．{0} A2.（2013·广东卷·理科）设集合2{20,}M x x x x R =+=∈，2{20,N x x x =-= }x R ∈，则M N = DA.{0}B.{0,2}C.{2,0}-D.{2,0,2}-3.（2015·四川卷·文科）设集合{|12}A x x =-<<，集合{|13}B x x =<<，则A B = AA.{|13}x x -<<B.{|11}x x -<<C.{|12}x x <<D.{|23}x x <<4.（2019·北京卷·文科）已知集合{12}A x x =-<<，{1}B x x =>，则A B =A.(1,1)-B.(1,2)C.(1,)-+∞D.(1,)+∞ C 5.并集的性质：①A B B A =；②A A = ；③A ∅= ；④A A B . ⑤若A B B =；则A B ⊆；⑥若A B ⊆；则A B B =.6.已知集合2{20}A x x x =--=，2{0}B x x x a =-+=，A B A =，则实数a 的取值范围为 . 2a =-或14a >. 考法3补集：{}U C A x x U x A =∈∉且1.（2011·四川卷·文科）若全集{1,2,3,4,5}M =，{2,4}N =，则M C N = BA.∅B.{1,3,5}C.{2,4}D.{1,2,3,4,5}2.（2010·重庆卷·理科）设{0,1,2,3}U =，2{0}A x U x mx =∈+=，若{1,2}U C A = ，则实数m = . 3m =-3.（2010·全国卷Ⅱ·文科）设全集{6}U x N x *=∈<，{1,3}A =，{3,5}B =，则()U C A B = CA ．{1,4}B ．{1,5}C ．{2,4}D ．{2,5}4.（2011·大纲全国卷·文科）设集合{1,2,3,4}U =,{1,2,3}M =，{2,3,4}N =，则()U C M N = DA.{1,2}B.{2,3}C.{2,4}D.{1,4}6.（2011·江西卷·文科）若全集{1,2,3,4,5,6}U =，{2,3}M =，{1,4}N =,则集合{5,6}等于 DA.M NB.M NC.()()U U C M C ND.()()U U C M C N7.（2012·山东卷·文理）已知全集{0,1,2,3,4}U =，集合{1,2,3}A =，{2,4}B =，则()U C A B = C.A.{1,2,4}B.{2,3,4}C.{0,2,4}D.{0,2,3,4}8.（2012·浙江卷·文科）设全集{}1,2,3,4,5,6U =，设集合{}1,2,3,4P =，{}3,4,5Q =，则()R P C Q = DA.{}1,2,3,4,5,6B.{}1,2,3,4,5C.{}1,2,5D.{}1,2。

集合之间的关系和基本运算

集合之间的关系和基本运算知识点一：1、集合与集合之间的“包含”关系：A={1，2，3}，B={1，2，3，4}集合A 是集合B 的部分元素构成的集合，我们说集合B 包含集合A ；如果集合A 的任何一个元素都是集合B 的元素，我们说这两个集合有包含关系，称集合A 是集合B 的子集记作：)(A B B A ⊇⊆或读作：A 包含于B ，或B 包含A当集合A 不包含于集合B 时，记作 A B用Venn)(A B B A ⊇⊆或2、A B B A ⊆⊆且，则B A =中的元素是一样的，因此B A =即⎩⎨⎧⊆⊆⇔=A B BA B A注：任何一个集合是它本身的子集 3、真子集的概念：若集合B A ⊆，存在元素A x B x ∉∈且，则称集合A 是集合B 的真子集记作：A B （或B A ）读作：A 真包含于B （或B 真包含A ） 4、空集的概念不含有任何元素的集合称为空集（empty set ），记作：∅规定：空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集。

例：1.写出下列各集合的子集及其个数{}{}{},,,,,,a a b a b c ∅2.设集合{|12}M x x =-≤<,{|0}N x x k =-≤,若M ⊆N,求k 的取值范围.⊆ BA3.已知含有３个元素的集合,,1b A a a ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭,{}2,,0B a a b =+,若Ａ＝Ｂ，求20102010a b +的值.4.已知集合{}|03A x x =<<,{}|4B x m x m =<<-,且B A ⊆，求实数m 的取值范围.知识点二：集合的基本运算并集一般地，由所有属于集合A 或属于集合B 的元素所组成的集合，称为集合A 与B 的并集（Union ）记作：A ∪B读作：“A 并B ”即： A ∪B={x|x ∈A ，或x ∈B}Venn说明：两个集合求并集，结果还是一个集合，是由集合A 与B 的所有元素组成的集合（重复元素只看成一个元素）。