导数压轴-超越函数的探讨(有详细解答)

（1） 切线不等式（对于常见的 ex 和 lnx 1）
（2） 换元处理 （3） 分离函数比较(提取公因式，分离超越式)
例题分析
三角函数
例 1. 已知 f x e1x a cos x,a R (1) 若函数 y f x 在0, 存在单调递增区间，求实数 a 的取值范围
(2)
若
f
2
0
，证明：对于
则有 a
2
sin(
x
4
)min
，因为在
0,
上所以
a
1
即可
对于第二问来说由
f
2
0
我
们不
难得到
a=0 ， 进 一 步 则 不 等 号 左 边 即 为
ex2 cosx 1 2e1x sin x cos xcosx 1 0
即
解析几何导数专题
cos
x
1 (ex2
2e1x
sin
x
cos
x)
非是去绝对值后进行求导探求极值点，但是这道题里面难点就在于 a 是参数且
求导后无法得出具体的极值点，结合之前讲的放缩技巧，我们可以先一步使用绝
对值不等式有 a cos2x a 1cos x 1 a cos x a 1cos x 1 ，此时还带着
三 角 函 数 ， 因 此 我 们 继 续 使 用 三 角 函 数 放 缩 即 可 当 a1 有
0
而又因为在
x
1,
1 2
上
cos
x
1
0
恒
成 立 所 以 即 证 (ex2 2e1x sin x cos x) 0 即 可 ， 即 e2x1 2
2
sin(x
4
)
在
x
1,
1 2
恒成立，此时因为是隐函数我们无法直接求导证明，因此多是通过
放缩的办法解决带有的三角和 e 的次幂问题。这个时候我们可以通过几何图像
f
0
8 3
,
f
2
2 2
16 3
进而由零点存在定理存在的
a cos x a 1cos x 1 a 2a 1 3a 2 f 0，所以 A 3a 2
当
a
1
时设
t
cos x
1,1
因此
gt
2at 2
a 1t
1 对 称 轴
t
1 a 4a
，令
1
t
1有
a
1 3
（舍去）或
a
1 5
，
当
0
a
1 5 ，即无极小值，因为
g1
a
g1
2
3a ，即有
g1
g1
所以 A g1 2 3a
x
1,
1 2
，总有
f
x
1
2
f
x cos x
1
0
对话与解答：对于第一问来说，存在单调递增区间即是只需让 f x在0, 上有 大于 0 的解集，因此我们求导后有 f x e1x sin x cos x a而对于 e1x 0 既而只有让 sin x cos x a有小于 0 的解集即 a (sin x cos x)min ，利用合角公式
2A
当 a 1时 f x 1 a 23a 2 2A 证毕
总结回顾
这道题中不难看出最关键的第二问中入手点是绝对值配合三角函数放缩，进而引
出 a 的参数分类进而进行讨论，a cos x a 1cos x 1 a 2a 1 3a 2 这
便是处理导数中的带三角函数一类的问题
例 3. 已知
f
x
cos
x
x
2x
8 3
sin
x
1
g
x
3
x
cos
x
4
1
sin
x
ln
3
2x
（1）
证明存在唯一的 x0
0,
2
，使得
f x0 0
（2）
证明存在唯一的 x1
2
,
，使得对于第一问中的 x0 有 gx1 0 且
x0 x1
对话与解答：面对第一问由零点存在定理即只需证明端值异号和函数单调即可
的导数题中往往并不是隐含零点代换或是普通求导而是要么是对于三角函数放 缩，要么是对于其余部分放缩的特殊方法处理
解析几何导数专题
例 2. （2016 全国三）设函数 f x a cos2x a 1cos x 1 ，其中 a 0 ，记 f x 的最大值为 A （1） 求 f x
（2） 求 A
（3） 证明 f x 2A 对话与解答：对于第一问来说即普通的求导问题 f x 2asin 2x a 1sin x 对于第二问 f x a cos2x a 1cos x 1 ，我们往往一般求最大值的方法无
类进行讨论即可。因为根据前面的经验进行绝对值不等式和三角函数放缩后有
f x 2asin 2x a 1sin x 2asin 2x a 1sin x 2a a 1
解析几何导数专题
当0 a
1 5时
f x
1 a 22 3a 2A
1 当5
a 1时
f x
1
a
2
2
a 8
1 8a
3 4
看
到对于不等号左边，因为切线不等式 ex x 1,(x 1)我们不难证明 e2x1 2x 2，
此
时
我
们
只
需
转
化
为
证
明
2x 2 2
2
sin(x
4
)
即
可
，
构
造
gx 2x 2 2
2
sin(x
4
)
，
gx 2
2
2 2
cos
x
4
在
x 1,0gx 0,
x
0,
1 2
gx
0 因此
当
1 5
a
1，即有极小值点
t1 a Biblioteka a，因为g1a
g1
2
3a
g1 g1
并且因为
g
1 a 4a
g1
1
a 1
8a
7a
0
所以
A
g
1 a 4a
a2 6a 1 8a
2
3a
0
a
1 5
综上有
A
a2
6a 8a
1
1 5
a
1
3a 2a 1
对于第三问，因为第二问中我们所讨论的情况十分完备只需要根据第二问中的分
解析几何导数专题
第八课：超越函数探讨
综述 所谓超越函数的探讨，指的并非是一类简单的 ex 这种类型的函数，广义上指
的是三角函数，对数函数，指数函数三类，而往往我们常见的无非就是 ex 和 ln x 这种类型的居多，处理方法也多是通过隐含零点而非一般求导的做法。类比于此， 其实多数带三角函数，对数函数，指数函数的题目也有特殊的做法，通过放缩， 换元或是分类讨论的技巧也可以解决此类问题，近年这些题目也开始在高考中多 有涉及，希望能对同学们有所启发。 解题方法 对于带三角函数问题 （1） 三角放缩 cos x,sin x 1 （2） 绝对值不等式 （3） 换元处理（利用三角函数性质） 对于指数函数问题
g xmin
g0
0
，即有
gx
0
。而
因 为 e2x1 2x 2 和 g x 0 的 取 等 条 件 不 一 样 ， 所 以 我 们 有
e2 x1 2
2
sin(x
4
)
证毕。
总结回顾
我们不难看出，整道题里面最具有亮点的也就是原题的第二问中证明
e2 x1 2
2
sin(x
4
)
过程中所用到的方缩的技巧，使用切线不等式，带三角函数