内蒙古大学 高等数学1 期末试卷
大一上学期(第一学期)高数期末考试题(有答案)
其通解为
y C1e x C2 e2x
1, r2 2.
2
1
代入初始条件 y(0)
y (0) 1，得
C1
, C2 3
3
y
2 e
x
故所求曲线方程为：
3
五、解答题（本大题 10 分）
1 e2 x 3
y 15. 解：（1）根据题意，先设切点为 ( x0 , ln x0 ) ，切线方程：
ln x0
1
(x x0
x0 )
设 ( x) 1 x ， ( x) 3 33 x，则当 x 1时（ ）
2.
1x
.
（A） ( x)与 (x) 是同阶无穷小，但不是等价无穷小； 是等价无穷小；
（B） ( x)与 (x)
（C） ( x) 是比 ( x) 高阶的无穷小； 无穷小 .
（D） ( x) 是比 (x) 高阶的
x
3.
F (x) 若
1
(1 q) f ( x) d x q f ( x)dx
0
q
1 [0, q ] 2 [ q,1]
q (1 故有：
q) f ( 1)
q (1
f ( 1) f ( 2)
q) f ( 2 )
0
q
1
f ( x) d x q f ( x )dx
0
0
证毕。
17.
x
F ( x) f ( t)dt , 0 x
证：构造辅助函数：
x 0, y 0 ， y (0) 1 10. 解： u x7 7 x6dx du
原式
1 (1 u)
11
du
(
2 )du
7 u(1 u) 7 u u 1
(完整word版)大一第一学期期末高等数学(上)试题及答案
第一学期期末高等数学试卷一、解答下列各题(本大题共16小题，总计80分) 1、(本小题5分)求极限 lim x x x x x x →-+-+-23321216291242、(本小题5分).d )1(22x x x⎰+求3、(本小题5分)求极限lim arctan arcsinx x x →∞⋅14、(本小题5分)⎰-.d 1x x x 求5、(本小题5分)．求dt t dx d x ⎰+2021 6、(本小题5分)⎰⋅.d csc cot 46x x x 求7、(本小题5分)．求⎰ππ2121cos 1dx x x8、(本小题5分)设确定了函数求．x e t y e t y y x dy dx t t==⎧⎨⎪⎩⎪=cos sin (),229、(本小题5分)．求dx x x ⎰+3110、(本小题5分)求函数 的单调区间y x x =+-422 11、(本小题5分)．求⎰π+202sin 8sin dx x x12、(本小题5分)．，求设 dx t t e t x kt )sin 4cos 3()(ωω+=- 13、(本小题5分)设函数由方程所确定求．y y x y y x dy dx =+=()ln ,22614、(本小题5分)求函数的极值y e e x x =+-2 15、(本小题5分)求极限lim()()()()()()x x x x x x x →∞++++++++--12131101101111222216、(本小题5分).d cos sin 12cos x x x x⎰+求二、解答下列各题(本大题共2小题，总计14分) 1、(本小题7分),,512沿一边可用原来的石条围平方米的矩形的晒谷场某农场需建一个面积为.,,才能使材料最省多少时问晒谷场的长和宽各为另三边需砌新石条围沿2、(本小题7分).8232体积轴旋转所得的旋转体的所围成的平面图形绕和求由曲线ox x y x y ==三、解答下列各题 ( 本 大 题6分 )设证明有且仅有三个实根f x x x x x f x ()()()(),().=---'=1230一学期期末高数考试(答案)一、解答下列各题(本大题共16小题，总计77分) 1、(本小题3分)解原式:lim =--+→x x x x 22231261812 =-→limx xx 261218 =2 2、(本小题3分)⎰+xx xd )1(22⎰++=222)1()1d(21x x =-++12112x c .3、(本小题3分)因为arctan x <π2而lim arcsin x x →∞=1故lim arctan arcsin x x x →∞⋅=14、(本小题3分)⎰-x x xd 1xx x d 111⎰----=⎰⎰-+-=x xx 1d d=---+x x c ln .1 5、(本小题3分)原式=+214x x6、(本小题4分)⎰⋅x x x d csc cot 46⎰+-=)d(cot )cot 1(cot 26x x x=--+171979cot cot .x x c7、(本小题4分)原式=-⎰cos ()1112x d x ππ=-sin112xππ=-1 8、(本小题4分)解： dy dx e t t e t t t t t =+-22222(sin cos )(cos sin ) =+-e t t t t t t (sin cos )(cos sin )22229、(本小题4分)令 1+=x u原式=-⎰24122()u u du=-2535312()u u =11615 10、(本小题5分)),(+∞-∞函数定义域 01)1(222='=-=-='y x x x y ，当(][)+∞<'>∞->'<,1011,01函数的单调减区间为，当函数单调增区间为， 当y x y x 11、(本小题5分)原式=--⎰d x x cos cos 9202π=-+-163302lncos cos x x π=162ln 12、(本小题6分)dx x t dt ='()[]dt t k t k e kt ωωωωsin )34(cos )34(+--=- 13、(本小题6分)2265yy y y x '+'='=+y yx y 315214、(本小题6分)定义域，且连续(),-∞+∞'=--y e e x x 2122()驻点：x =1212ln由于''=+>-y e e x x 2022)21ln 21(,,=y 故函数有极小值15、(本小题8分)原式=++++++++--→∞lim()()()()()()x x x x x x x 112131*********2222=⨯⨯⨯⨯=1011216101172 16、(本小题10分)dxxxdx x x x ⎰⎰+=+2sin 2112cos cos sin 12cos :解⎰++=xx d 2sin 211)12sin 21( =++ln sin 1122x c二、解答下列各题(本大题共2小题，总计13分) 1、(本小题5分)设晒谷场宽为则长为米新砌石条围沿的总长为 x xL x x x ,,()51225120=+> '=-=L x x 2512162 唯一驻点 ''=>=L x x 10240163 即为极小值点故晒谷场宽为米长为米时可使新砌石条围沿所用材料最省165121632,,=(完整word 版)大一第一学期期末高等数学(上)试题及答案2、(本小题8分)解 :,,.x x x x x x 232311288204====V x x dx x x dxx =-⎡⎣⎢⎤⎦⎥=-⎰⎰ππ()()()223204460428464=⋅-⋅π()1415164175704x x π=-π=35512)7151(44三、解答下列各题 ( 本 大 题10分 )证明在连续可导从而在连续可导:()(,),,[,];,.f x -∞+∞03 又f f f f ()()()()01230====则分别在上对应用罗尔定理得至少存在[,],[,],[,](),011223f x ξξξξξξ1231230112230∈∈∈'='='=(,),(,),(,)()()()使f f f 即至少有三个实根'=f x (),0,,,0)(它至多有三个实根是三次方程又='x f由上述有且仅有三个实根'f x ()高等数学（上）试题及答案一、 填空题（每小题3分，本题共15分）1、.______)31(lim 2=+→xx x 。
高数大一期末考试试卷
高数大一期末考试试卷一、选择题（每题3分，共30分）1. 函数f(x)=x^2+2x+1的导数是：A. 2x+2B. 2x+1C. x^2+2D. x^2+2x2. 极限lim(x→0) (sin(x)/x)的值是：A. 1B. 0C. -1D. 23. 若函数f(x)在x=a处连续，则下列说法正确的是：A. f(a)存在B. f(a)不存在C. f(a)=0D. f(a)=14. 曲线y=x^3-3x^2+2在x=1处的切线斜率是：A. 0B. 1C. -2D. 25. 函数y=ln(x)的不定积分是：A. x+CC. x^2+CD. e^x+C6. 以下哪个级数是发散的：A. 1+1/2+1/3+...B. 1-1/2+1/3-1/4+...C. 1/2+1/4+1/8+...D. 1/2^2+1/3^2+1/4^2+...7. 以下哪个函数是奇函数：A. f(x)=x^2B. f(x)=x^3C. f(x)=x+1D. f(x)=x-18. 函数f(x)=x^2在区间[-1,1]上的定积分是：A. 0B. 1/3C. 2/3D. 19. 以下哪个选项是洛必达法则的应用：A. lim(x→0) (x/sin(x))B. lim(x→0) (sin(x)/x)C. lim(x→0) (1/x)D. lim(x→0) (x^2/x)10. 以下哪个函数的导数是其本身：A. e^xB. ln(x)D. sin(x)二、填空题（每题2分，共20分）1. 函数f(x)=x^3的二阶导数是________。
2. 函数f(x)=e^x的不定积分是________。
3. 函数f(x)=cos(x)的导数是________。
4. 极限lim(x→∞) (1/x)的值是________。
5. 函数f(x)=ln(x)的定义域是________。
6. 函数f(x)=x^2+3x+2的根是________。
7. 函数f(x)=x^3-6x^2+11x-6的极值点是________。
大一上学期(第一学期)高数期末考试题及答案
大一上学期(第一学期)高数期末考试题及答案高等数学I（大一第一学期期末考试题及答案）1.当 $\alpha x$ 和 $\beta x$ 都是无穷小时，$\alpha(x)+\beta(x)$ 不一定是无穷小。
2.极限 $\lim\limits_{x\to a}\dfrac{\sin x+e^{2ax}-1}{x}$ 的值是 $2a$。
3.如果 $f(x)=\begin{cases}\dfrac{\ln(x+a)-\ln a}{x},& x\neq 0\\ \quad\quad 1,& x=0\end{cases}$ 在 $x=a$ 处连续，则$a=e^{-1}$。
4.如果 $f(x)$ 在 $x=a$ 处可导，则$f'(a)=\dfrac{1}{3}(f(a+2h)-f(a-h))$。
5.极限 $\lim\limits_{x\to a}\dfrac{\ln(x+a)-\ln a}{x}$ 的值是 $1/a$。
6.确定函数 $y(x)$，使得 $y(x)$ 的导函数为$y'(x)=\dfrac{y}{2\sin(2x)}+\dfrac{y e^{xy}}{x}-\dfrac{x}{y\ln x}$，则 $y(x)=\dfrac{1}{\ln x}$。
7.过点 $M(1,2,3)$ 且与平面 $x+2y-z=0$ 和 $2x-3y+5z=6$ 平行的直线 $l$ 的方程为 $\dfrac{x-1}{-1}=\dfrac{y-2}{-1}=\dfrac{z-3}{2}$。
8.函数 $y=2x-\ln(4x)$ 的单调递增区间为 $(-\infty,0)\cup(1,+\infty)$。
9.计算极限 $\lim\limits_{x\to 0}\dfrac{(1+x)^{-e^x}-e}{x}$，结果为 $-1/2$。
10.设 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上连续，则 $F(x)=\int_a^x(x-t)f(t)dt$ 的二阶导数为 $F''(x)=f(x)$。
【DOC】-大一高等数学期末考试试卷及答案详解
【DOC】—大一高等数学期末考试试卷及答案详解大一高等数学期末考试试卷及答案详解大一高等数学期末考试试卷(一)一、选择题(共12分）2ex,x 0，1。
（3分)若f（x）为连续函数，则a的值为（）。
a，x，x 0（A）1 （B）2 （C)3 （D）—12。
(3分）已知f （3) 2,则lim（A）1 (B）3 (C）-1 （D）。
h 012 f（3,h），f(3）2h的值为（）3。
（3分）定积分 2，2的值为( ）.(A）0 (B）-2 （C）1 (D）24. (3分）若f（x）在x x0处不连续,则f(x)在该点处( ）.(A)必不可导 (B)一定可导（C）可能可导（D）必无极限二、填空题（共12分）1（（3分) 平面上过点（0,1）,且在任意一点（x，y）处的切线斜率为3x2的曲线方程为。
2。
(3分）（x，xsinx）dx 。
，11243。
（3分） limxsinx 021x= 。
24. (3分） y 2x，3x的极大值为三、计算题（共42分)1. （6分）求limxln(1，5x）sin3x23x 0。
2. （6分）设y x，1求y 。
3。
（6分）求不定积分 xln(1，x2)dx。
14. （6分)求 30x ,x 1, 其中 f(x，1）dx，f（x） 1,cosx ex，1，x 1。
y5。
(6分)设函数y f（x)由方程 etdt，0 x0costdt 0所确定，求dy。
6。
（6分）设 f（x）dx sinx2，C,求 f（2x,3)dx。
3 7。
（6分）求极限lim 1, .n 2n n四、解答题(共28分）1。
（7分）设f （lnx) 1，x，且f（0) 1，求f（x）。
2。
(7分)求由曲线y cosx ，转体的体积。
2 x 与x轴所围成图形绕着x轴旋转一周所得旋23. （7分)求曲线y x3，3x2,24x，19在拐点处的切线方程.4. （7分)求函数y x,［,5，1]上的最小值和最大值。
大一高数期末考试试题
大一高数期末考试试题大一高数期末考试试题一、选择题（每小题4分，共60分）1. 设函数 $f(x)=\frac{2x^2+3x+1}{x(x-1)}$ ，则其定义域为（）。
A. $x\neq0,x\neq1$B. $x\neq1$C. $x\neq0$D.$x\neq0,x\neq0$2. 函数 $y=f(x)$ 图像在坐标系中所在象限有（）。
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限3. 函数 $y=ax^2+bx+c$ （a、b、c为实数）的图像既经过点 P （1，2），又经过点 Q（2，3），则有（）。
A. 无解B. 无穷多解C. 有唯一解D. 有无穷多解4. 由 $ \frac{d}{dx}[\int_{0}^{x}f(t)dt]=f(x)$ ，则 $f(x)$ 可以是（）。
A. $sinx$B. $cosx$C. $(1+x^2)$D. $(1+6x^2)$5. 函数 $y=e^x+e^{-x}$ 的最小值为（）。
A. 0B. 1C. 2D. -1二、填空题（每空4分，共40分）1. 曲线 $C$ 的参数方程为 $ \begin{cases} x=t^2-t \\ y=t^2+t+2 \end{cases}$ ，则曲线 $C$ 的切线方程为 $y= $ 。
2. 设 $f(x)=\frac{x-1}{x+1}$ ， $g(x)=2x-1$ ，则 $f(g(x))= $ 。
3. 设 $y=f(x)$ 在 $(0，+\infty)$ 上可导，且 $f(1)=1$ ，当 $x\geq 1$ 时， $f'(x) \geq 0$ ，则当 $x \geq 1$ 时， $f(x) \geq $ 。
4. 设 $f(x)=e^x$ ， $g(x)=lnx$ ，则 $g(f(x))= $ 。
5. 由区间 $[0,\frac{\pi}{2}]$ 内的曲线 $y=sinx$ 及两直线$x=0$ ， $x=\frac{\pi}{2}$ 所围成的图形的面积为 $k$ ，则$k= $ 。
大一高等数学期末考试试卷及答案详解
大一高等数学期末考试试卷一、选择题（共12分）1. （3分）若2,0,(),0x e x f x a x x ⎧<=⎨+>⎩为连续函数,则a 的值为( ).(A)1 (B)2 (C)3 (D)-12. （3分）已知(3)2,f '=则0(3)(3)lim 2h f h f h→--的值为（ ）. (A)1 (B)3 (C)-1 (D)123. （3分）定积分22ππ-⎰的值为（ ）. (A)0 (B)-2 (C)1 (D)24. （3分）若()f x 在0x x =处不连续,则()f x 在该点处( ).(A)必不可导 (B)一定可导(C)可能可导 (D)必无极限二、填空题（共12分）1．（3分） 平面上过点(0,1)，且在任意一点(,)x y 处的切线斜率为23x 的曲线方程为 .2. （3分） 1241(sin )x x x dx -+=⎰ . 3. （3分） 201lim sin x x x→= . 4. （3分） 3223y x x =-的极大值为 .三、计算题（共42分）1. （6分）求20ln(15)lim .sin 3x x x x→+2. （6分）设2,1y x =+求.y ' 3. （6分）求不定积分2ln(1).x x dx +⎰4. （6分）求30(1),f x dx -⎰其中,1,()1cos 1, 1.x x x f x x e x ⎧≤⎪=+⎨⎪+>⎩5. （6分）设函数()y f x =由方程00cos 0y xt e dt tdt +=⎰⎰所确定,求.dy6. （6分）设2()sin ,f x dx x C =+⎰求(23).f x dx +⎰7. （6分）求极限3lim 1.2nn n →∞⎛⎫+ ⎪⎝⎭四、解答题（共28分）1. （7分）设(ln )1,f x x '=+且(0)1,f =求().f x2. （7分）求由曲线cos 22y x x ππ⎛⎫=-≤≤ ⎪⎝⎭与x 轴所围成图形绕着x 轴旋转一周所得旋转体的体积.3. （7分）求曲线3232419y x x x =-+-在拐点处的切线方程.4. （7分）求函数y x =+[5,1]-上的最小值和最大值.五、证明题(6分)设()f x ''在区间[,]a b 上连续,证明标准答案一、 1 B; 2 C; 3 D; 4 A.二、 1 31;y x =+ 2 2;33 0;4 0. 三、 1 解 原式205lim3x x x x →⋅= 5分 53= 1分 2 解22ln ln ln(1),12x y x x ==-++ 2分2212[]121x y x x '∴=-++ 4分 3 解 原式221ln(1)(1)2x d x =++⎰ 3分 222212[(1)ln(1)(1)]21x x x x dx x=++-+⋅+⎰ 2分 2221[(1)ln(1)]2x x x C =++-+ 1分 4 解 令1,x t -=则 2分3201()()f x dx f t dt -=⎰⎰ 1分1211(1)1cos t t dt e dt t -=+++⎰⎰ 1分 210[]t e t =++ 1分 21e e =-+ 1分5 两边求导得cos 0,y e y x '⋅+= 2分 cos y x y e '=-1分 cos sin 1x x =- 1分 cos sin 1x dy dx x ∴=- 2分 6 解 1(23)(23)(22)2f x dx f x d x +=++⎰⎰ 2分 21sin(23)2x C =++ 4分7 解 原式=23323lim 12n n n ⋅→∞⎛⎫+ ⎪⎝⎭4分 =32e 2分四、1 解 令ln ,x t =则,()1,t t x e f t e '==+ 3分()(1)t f t e dt =+⎰=.t t e C ++ 2分 (0)1,0,f C =∴= 2分().x f x x e ∴=+ 1分2 解 222cos x V xdx πππ-=⎰ 3分 2202cos xdx ππ=⎰ 2分 2.2π= 2分3 解 23624,66,y x x y x '''=-+=- 1分 令0,y ''=得 1.x = 1分当1x -∞<<时,0;y ''< 当1x <<+∞时,0,y ''> 2分(1,3)∴为拐点, 1分该点处的切线为321(1).y x =+- 2分 4 解1y '=-= 2分 令0,y '=得3.4x = 1分35(5)5 2.55,,(1)1,44y y y ⎛⎫-=-+≈-== ⎪⎝⎭ 2分∴ 最小值为(5)5y -=-+最大值为35.44y ⎛⎫= ⎪⎝⎭ 2分五、证明()()()()()()bba a x a xb f x x a x b df x '''--=--⎰⎰ 1分 [()()()]()[2()b b a a x a x b f x f x x a b dx ''=----+⎰ 1分[2()()b a x a b df x =--+⎰ 1分{}[2()]()2()b b a a x a b f x f x dx =--++⎰ 1分()[()()]2(),b a b a f a f b f x dx =--++⎰ 1分移项即得所证. 1分。
【DOC】-大一高等数学期末考试试卷及答案详解
【DOC】-大一高等数学期末考试试卷及答案详解大一高等数学期末考试试卷及答案详解大一高等数学期末考试试卷(一)一、选择题(共12分)2ex,x 0,1. (3分)若f(x) 为连续函数,则a的值为( ).a,x,x 0(A)1 (B)2 (C)3 (D)-12. (3分)已知f (3) 2,则lim(A)1 (B)3 (C)-1 (D). h 012 f(3,h),f(3)2h的值为( )3. (3分)定积分 2,2的值为( ).(A)0 (B)-2 (C)1 (D)24. (3分)若f(x)在x x0处不连续,则f(x)在该点处( ).(A)必不可导 (B)一定可导(C)可能可导 (D)必无极限二、填空题(共12分)1((3分) 平面上过点(0,1)，且在任意一点(x,y)处的切线斜率为3x2的曲线方程为 .2. (3分) (x,xsinx)dx .,11243. (3分) limxsinx 021x= .24. (3分) y 2x,3x的极大值为三、计算题(共42分)1. (6分)求limxln(1,5x)sin3x23x 0.2. (6分)设y x,1求y .3. (6分)求不定积分 xln(1,x2)dx.14. (6分)求 30x ,x 1, 其中 f(x,1)dx,f(x) 1,cosx ex,1,x 1.y5. (6分)设函数y f(x)由方程 etdt,0 x0costdt 0所确定,求dy.6. (6分)设 f(x)dx sinx2,C,求 f(2x,3)dx.3 7. (6分)求极限lim 1, .n 2n n四、解答题(共28分)1. (7分)设f (lnx) 1,x,且f(0) 1,求f(x).2. (7分)求由曲线y cosx ,转体的体积. 2 x 与x轴所围成图形绕着x轴旋转一周所得旋23. (7分)求曲线y x3,3x2,24x,19在拐点处的切线方程.4. (7分)求函数y x,[,5,1]上的最小值和最大值.五、证明题(6分)设f (x)在区间[a,b]上连续,证明baf(x)dx b,a2[f(a),f(b)],12 ba(x,a)(x,b)f (x)dx.(二)一、填空题(每小题3分，共18分)x,1x,3x,2221(设函数f,x, 2，则x 1是f,x,的第. 2(函数y ln,1,x2x,，则y. 1,x 3( lim x x .4(曲线y 1 1 在点 ,2 处的切线方程为 . x 225(函数y 2x3,3x2在 ,1,4 上的最大值，最小值. 6( arctanx1,x2dx .二、单项选择题(每小题4分，共20分)1(数列 xn 有界是它收敛的( ) .,A, 必要但非充分条件; ,B, 充分但非必要条件 ; ,C, 充分必要条件; ,D, 无关条件.2(下列各式正确的是( ) .,A, e,xdx1 e,x,C; ,B, lnxdx 1; ,C, dx1,2x 1 xlnx1x,C2ln,1,2x,,C; ,D, dx lnlnx,C.3( 设f,x,在 a,b 上，f ,x, 0且f ,x, 0，则曲线y f,x,在 a,b 上. ,A, 沿x轴正向上升且为凹的; ,B, 沿x轴正向下降且为凹的; ,C, 沿x轴正向上升且为凸的; ,D, 沿x轴正向下降且为凸的.4(设f,x, xlnx，则f,x,在x 0处的导数( ). ,A, 等于1; ,B, 等于,1; ,C, 等于0; ,D, 不存在.5(已知limf,x, 2，以下结论正确的是( ).x 1,,A, 函数在x,C, 函数在x三、 1处有定义且f,1, 2; ,B, 函数在x 1处的某去心邻域内有定义; 1处的左侧某邻域内有定义;,D, 函数在x 1处的右侧某邻域内有定义. 计算(每小题6分，共36分)21(求极限:limxsinx 01x.2. 已知y ln,1,x3. 求函数y xsinx2,，求y . 0,的导数. ,x34.1,x2x2dx.5.xcos1xxdx.1yx确定函数y f,x,，求y .26.方程y四、五、六、(10分)已知ex为f,x,的一个原函数，求 x2f,x,dx. (6分)求曲线y xe,x的拐点及凹凸区间. (10分)设 f,x,dx x,ex,1,C，求f,x,.,(三)一、填空题(本题共5小题，每小题4分，共20分).1(1)lim(cosx)x 0x21(2)曲线y xlnx上与直线x,y,1 0平行的切线方程为___y x,1______. (3)已知f (e) xe(4)曲线yx2x,x，且f(1) 0, 则f(x) ______f(x) 2y13x,19__ .(lnx)2_____ .3x,1的斜渐近线方程为 _______2y5x,1(5)微分方程的通解为_________二、选择题 (本题共5小题，每小题4分，共20分). (1)下列积分结果正确的是( D )y , (x,1)2y237(x,1)2,C(x,1).2(A) (C)1,1, 11xdx 01(B)(D)1,11x2dx ,2x4dx ,, 11xdx ,(2)函数f(x)在[a,b]内有定义，其导数f'(x)的图形如图1-1所示，则( D ).(A)x1,x2都是极值点.(B) ,x1,f(x1),,,x2,f(x2),都是拐点. (C) x1是极值点.，,x2,f(x2),是拐点.(D) ,x1,f(x1),是拐点，x2是极值点.(3)函数y C1e,C2ex,2x,xex满足的一个微分方程是( D ).4(A)y ,y ,2y 3xe.(C)y ,y ,2y 3xe.(4)设f(x)在x0处可导，则h 0limxx h (B)y ,y ,2y 3e.(D)y ,y ,2y 3e. 为( A ). xxf,x0,,f,x0,h,,f ,x0,(A) f,x0,. (B) . (C) 0. (D)不存在 .(5)下列等式中正确的结果是 ( A ).(A) ( f(x)dx) f(x). (B) df(x) f(x).(C) d[ f(x)dx] f(x). (D) f (x)dx f(x).三、计算题(本题共4小题，每小题6分，共24分).lim(x,1)1(求极限x 1x,1lnx.lim(x,1)limxlnx,x,1解 x 1x,1lnx=x 1(x,1)lnx 1分 limlnxx 1x,1=x,lnx2分 limxlnx= x 1x,1,xlnx 1分 lim1,lnx= x 11,lnx,1 12 2分x lnsintdyd22.方程 yy cost,tsint确定y为x的函数，求dx与dx2. dy y (t)t,解 dxx (t) tsin(3分)d2y(tsint)dx2 x (t) sinttant,tsint.(6分)3. 4. 计算不定积分.解 2 (1,x),,,,,,,,,,,2分=2 arctanarctan,,,,,,2分 =(arctan2,C,,,,,,,,,2分4.计算定积分 3x01,,xdx.x x(1,,x)301,,xdx 30,xdx , 3解0(1,,x)dx5 3分) (,3,2333(1,x)20 53 (6分) (或令,x t)四、解答题(本题共4小题，共29分).2x1((本题6分)解微分方程y ,5y ,6y xe.解:特征方程r-5r,6 0,,,,,,,,,,1分特征解r1 2,r2 3.,,,,,,,,,,1分次方程的通解Y=C1e令y x(b0x,b1)e代入解得b0 ,所以y x(,**2x2x2,C2e.,,,,,,,1分3x,,,,,,,,,,,1分12b1 ,1.2x12x,1)e,,,,,,,,,,,1分,C2e3x所以所求通解yC1e2x,x(12x,1)e.,,,,1分2x2((本题7分)一个横放着的圆柱形水桶(如图4-1)，桶内盛有半桶水，设桶的底半径为R，水的比重为，计算桶的一端面上所受的压力(解:建立坐标系如图P R02 ,,,,,,,,,4R0 , gR,x),,,,,,1分223222R , g[R,x]0,,,,,,1分32 g3R,,,,,,,,,,,,,,,,1分3b3. (本题8分)设f(x)在[a,b]上有连续的导数，f(a) f(b) 0，且a试求 abaf(x)dx 12， bxf(x)f (x)dx. 解: xf(x)f (x)dxbaxf(x)df(x),,,,,2分122baxdf(x),,,,,2分b2 =[xf(x)]a,=0,12 ,1212 baf(x)dx,,2分2,,,,,,,,,2分4. (本题8分)过坐标原点作曲线y lnx的切线，该切线与曲线y lnx及x轴围成平面图形D.(1) (3) 求D的面积A;(2) (4) 求D绕直线x e旋转一周所得旋转体的体积V.6解:(1) 设切点的横坐标为x0，则曲线y lnx在点(x0,lnx0)处的切线方程是y lnx0,1x0(x,x0).----1分由该切线过原点知 lnx0,1 0，从而x0 e.所以该切线的方程为y1ex.平面图形D的面积A 1e----1分x1(ey,ey)dy12e,1.----2分(2) 切线V1132y与x轴及直线x e所围成的三角形绕直线x e旋转所得的圆锥体积为e.2分曲线y lnx与x轴及直线x e所围成的图形绕直线x e旋转所得的旋转体体积为V21(e,e)dyy2， 1分因此所求旋转体的体积为V V1,V2103五、证明题(本题共1小题，共7分).e,21(e,e)dyy26(5e,12e,3).21分1.证明对于任意的实数x，e 1,x. 解法一:e 1,x,xxxe2x 1,x2解法二:设f(x) e,x,1.则f(0) 0. 1分(x) ex,1.f因为 1分当x 0时，f (x) 0.f(x)单调增加，f(x) f(0) 0. 2分当x 0时，f (x) 0.f(x)单调增加，f(x) f(0) 0. 2分x所以对于任意的实数x，f(x) 0.即e 1,x。
大一(第一学期)高数期末考试题及答案(完整版).doc
大一上学期高数期末考试一、单项选择题 (本大题有4小题, 每小题4分, 共16分) 1. )(0),sin (cos )( 处有则在设=+=x x x x x f .（A ）(0)2f '= （B ）(0)1f '=（C ）(0)0f '= （D ）()f x 不可导.2. ）时（ ，则当，设133)(11)(3→-=+-=x x x x xx βα.（A ）()()x x αβ与是同阶无穷小，但不是等价无穷小； （B ）()()x x αβ与是等价无穷小；（C ）()x α是比()x β高阶的无穷小； （D ）()x β是比()x α高阶的无穷小.3. 若()()()02xF x t x f t dt=-⎰，其中()f x 在区间上(1,1)-二阶可导且'>()0f x ，则（ ）.（A ）函数()F x 必在0x =处取得极大值； （B ）函数()F x 必在0x =处取得极小值；（C ）函数()F x 在0x =处没有极值，但点(0,(0))F 为曲线()y F x =的拐点； （D ）函数()F x 在0x =处没有极值，点(0,(0))F 也不是曲线()y F x =的拐点。
4.)()( , )(2)( )(1=+=⎰x f dt t f x x f x f 则是连续函数，且设（A ）22x （B ）222x+（C ）1x - （D ）2x +.二、填空题（本大题有4小题，每小题4分，共16分） 5. =+→xx x sin 2)31(lim .6. ,)(cos 的一个原函数是已知x f xx=⋅⎰x xxx f d cos )(则.7.lim(cos cos cos )→∞-+++=22221n n nnnn ππππ .8. =-+⎰21212211arcsin －dx xx x .三、解答题（本大题有5小题，每小题8分，共40分）9. 设函数=()y y x 由方程sin()1x ye xy ++=确定，求'()y x 以及'(0)y . 10. .d )1(177x x x x ⎰+-求11. ． 求，， 设⎰--⎪⎩⎪⎨⎧≤<-≤=1 32)(1020)(dx x f x x x x xe x f x12. 设函数)(x f 连续，=⎰10()()g x f xt dt，且→=0()limx f x A x ，A 为常数. 求'()g x 并讨论'()g x 在=0x 处的连续性.13. 求微分方程2ln xy y x x '+=满足=-1(1)9y 的解.四、 解答题（本大题10分）14. 已知上半平面内一曲线)0()(≥=x x y y ，过点(,)01，且曲线上任一点M x y (,)00处切线斜率数值上等于此曲线与x 轴、y 轴、直线x x =0所围成面积的2倍与该点纵坐标之和，求此曲线方程. 五、解答题（本大题10分）15. 过坐标原点作曲线x y ln =的切线，该切线与曲线x y ln =及x 轴围成平面图形D.(1) 求D 的面积A ；(2) 求D 绕直线x = e 旋转一周所得旋转体的体积V .六、证明题（本大题有2小题，每小题4分，共8分）16. 设函数)(x f 在[]0,1上连续且单调递减，证明对任意的[,]∈01q ，1()()≥⎰⎰qf x d x q f x dx.17. 设函数)(x f 在[]π,0上连续，且0)(0=⎰πx d x f ，0cos )(0=⎰πdx x x f .证明：在()π,0内至少存在两个不同的点21,ξξ，使.0)()(21==ξξf f （提示：设⎰=xdxx f x F 0)()(）解答一、单项选择题(本大题有4小题, 每小题4分, 共16分) 1、D 2、A 3、C 4、C二、填空题（本大题有4小题，每小题4分，共16分）5. 6e . 6.c x x +2)cos (21 .7. 2π. 8.3π.三、解答题（本大题有5小题，每小题8分，共40分） 9. 解：方程两边求导(1)cos()()0x y e y xy xy y +''+++= cos()()cos()x y x ye y xy y x e x xy +++'=-+0,0x y ==，(0)1y '=-10. 解：767u x x dx du == 1(1)112()7(1)71u du duu u u u -==-++⎰⎰原式 1(ln ||2ln |1|)7u u c =-++ 7712ln ||ln |1|77x x C =-++11. 解：1033()x f x dx xe dx ---=+⎰⎰⎰03()x xd e --=-+⎰⎰0232cos (1sin )x x xe e d x πθθθ----⎡⎤=--+-=⎣⎦⎰ 令3214e π=--12. 解：由(0)0f =，知(0)0g =。
大一高数期末考试1附答案
高等数学（下）一、 填空题1.(4分) 级数1n n u ∞=∑收敛的必要条件是 .2. (4分) 交换二次积分的次序100(,)ydy f x y dx ⎰⎰= . 3. (4分) 微分方程2442xy y y xe'''-+=的一个特解形式可以设为 .4. (4分) 在极坐标系下的面积元素d σ= .二、 选择题1. (4分) 已知曲面224z x y =--上点P 处的切平面平行于平面2210x y z ++-=,则点P 的坐标是 ( ).A. (1,-1,2);B. (-1,1,2);C. (1,1,2);D. (-1,-1,2). 2. (4分) 级数13121(1)n n n∞-=-∑为（ ）.A.绝对收敛;B. 条件收敛;C.发散;D. 收敛性不确定. 3. (4分) 若∑是锥面222x y z +=被平面0z =与1z =所截下的部分,则曲面积分22()x y dS ∑+=⎰⎰( ).A. 1200d r rdr πθ⋅⎰⎰;B. 21200d r rdr πθ⋅⎰⎰;C.1200d r rdr πθ⋅⎰;D.21200d r rdr πθ⋅⎰.4. (4分)幂级数1(1)n nn n ∞-=-∑( ). A. 2;R = B.1;2R = C.3;R = D.1.3R = 三、 解答题1．(7分) 设sin(),xyz x y e =++求dz .2． (7分) 计算三重积分,I xdxdydz Ω=⎰⎰⎰其中Ω为三个坐标面及平面21x y z ++=所围成的闭区域.3． (7分) 求(1)I y z dS ∑=++⎰⎰,其中∑是平面5y z +=被圆柱面2225x y +=截出的有限部分.4． (7分) 求幂级数1(1)(1)nn n x n ∞=--∑的收敛域.5． (7分) 将21()2f x x x=--展开为麦克劳林级数. 6． (7分) 求曲线积分(sin )(cos 1)xxL I e y y dx e y dy =-+-⎰,其中L 为22x y ax +=上从(,0)A a 到(0,0)O 的上半圆周.7． (7分) 求微分方程24y xy x '+=在初始条件03x y ==下的特解. 8． (7分) 求曲面积分(1)(22)(33)I x dydz y dzdx z dxdy ∑=+++++⎰⎰ ,其中∑为曲面2224x y z ++=的内侧.9．(7分) 计算曲线积分()LI x y ds =+⎰,其中L 是以(0,0)O ,(1,0),(0,1)A B 为顶点的三角形折线.四、(5分) 试确定参数t 的值,使得在不含直线0y =上点的区域上,曲线积分222222()()t t Cx x y x x y I dx dy y y ++=-⎰与路径无关，其中C 是该区域上一条光滑曲线，并求出当C 从(1,1)A 到(0,2)B 时I 的值.参考答案一、 1.lim 0;n n u →∞= 2.110(,);x dx f x y d y ⎰⎰3.*222()xy x Ax Bx C e =++; 4..d rdrd σ=θ 二、 1. C; 2. A; 3.D. 4.D. 三、 1.解 cos()xyx z x y ye =++ cos()xyy z x y xe =++[cos()][cos()]xy xydz x y ye dx x y xe dy =+++++2.解 1112200x x yI dx dy xdz ---=⎰⎰⎰11200(12)x xdx x y dy -=--⎰⎰12301(2)4x x x dx =-+⎰ 148= 3.解 :5z y ∑=-22:25D x y +≤(15DI y y =++-⎰⎰Ddxdy ==4. 解 1R =当2x =时收敛 当0x =时发散 收敛域为(0,2].5.解 21111231212x x x x ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=+---⎛⎫⎢⎥+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦()11316(1)2x x =+-+ 0011(1)362nn n n n x x ∞∞==⎛⎫=+- ⎪⎝⎭∑∑ 10111(1)32n n n n x ∞+=⎛⎫=+- ⎪⎝⎭∑ 1x <6.解sin xP e y y =-, cos 1xQ e y =-1Q Px y∂∂-=∂∂ 由格林公式得DI dxdy =⎰⎰221228a a π⎛⎫==π ⎪⎝⎭7.解()224xdxx y eC xe dx ⎰-=+⎰222[2()]x x eC e d x -=+⎰22x Ce-=+将03x y ==代入上式得 1C = 所求特解为22x y e-=+8.解 利用高斯公式得6I dv Ω=⎰⎰⎰4643=⋅π⋅32=π9.解 ()()()OAOBBAI x y ds x y ds x y ds =+++++⎰⎰⎰11()2OAx y ds xdx +==⎰⎰ 11()2OBx y ds ydy +==⎰⎰10()(1BAx y ds x x +=+-⎰⎰1I ∴=四、 2212222()(2)t P x x y ty x y y y-∂+=⋅--∂22122222()()t Q x x y x y tx x y-∂-+=⋅++∂ 令P Q y x∂∂=∂∂可得22(21)()0t x y ++= 因为0,y ≠所以12t =-因曲线积分与路径无关,故取从点(1,1)A 经点(0,1)D 到点(0,2)B 的折线积分10I =+⎰1=。
大一高等数学期末考试试卷及答案详解
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内蒙古大学《高等数学A1》2018-2019学年第一学期期末试卷A卷
内蒙古大学2018－2019学年第一学期高等数学 A期末考试试卷（A 卷）（闭卷120分钟）姓名学号专业年级 ____重修标记□考场题号一二三四合计得分一、选择题（本题满分 36分，每小题 3 分）1．当0x时，sin tan x x 是x 的______阶无穷小量.(A) 1 (B) 2(C) 3 (D) 42．已知函数2()y f x ，其中f 可导. 如果在1x处给以增量0.1x，相应的函数增量y 的线性主部为0.1，则'(1)f ______.(A) -1 (B) 0.1 (C) 1(D)0.53.在区间[,]a b 上，()0,()0,f x fx fx ，令1()d b aS f x x，2()()S f b ba ，13[()()]()2S f a f b b a ，则有______.(A) 123S S S (B) 213S S S (C) 312S S S (D) 231S S S 4. 函数2()21f x x x 在区间[1,2]上满足Lagrange 中值定理的______.(A) 1/2(B) 1/2(C) 3/4(D) 3/45. 函数()sin f x x x ______.(A) 当x时为无穷大(B) 在(,)内有界得分(C) 当x 时为有限极限(D) 在(,)内无界6. 若()d ()f x xF x c ，则sin (cos )d x f x x______.(A)(sin )F x c(B)(sin )F x c (C)(cos )F x c(D)(cos )F x c7. 积分1211dx x的值是______.(A)2(B) 2(C) 发散(D) 08. 设111()1x xe f x e，则0x 是()f x 的______.(A) 可去间断点(B) 跳跃间断点(C) 第二类间断点(D) 连续点9. 用待定系数法将有理函数221()(1)(1)xR x x x xx 表示成简单分式之和的形式, 则()R x ______.(A)221(1)1A B C D x x x xx (B)22(1)1A B Dx E x x xx (C)221(1)1A B C Dx E xx x xx (D)221(1)1A B C Dxxx x xx 10. sin(2)x 的n 阶Maclaurin 展开式中, 3x 项的系数为______.(A)8/9(B) 8/9(C) 4/3(D) 4/311. 设00()()0f x f x ，0()0f x ，则______.(A) 0()f x 是()f x 的极大值(B) 0()f x 是()f x 的极大值(C)0()f x 是()f x 的极小值(D)00(,())x f x 是曲线()yf x 的拐点12. 设,,n n n a b c 均为非负数列，且lim 0,lim 1,lim nnnn nna b c ，下列陈述正确的是______.(A) ,nn a b nN(B),n n b c nN(C)lim n n na c 不存在(D) lim n n nb c 不存在二、简单计算题（本题满分 40 分，每小题 8分）1. 计算2csc 2lim 1+2tan xx x.2. 计算定积分511d x ex .3. 求参数方程(),()().x f t yt f t f t 所确定函数的一阶导数d d y x和二阶导数22d d y x（设)(''t f 存在且不为零）.得分x a t t y a t一拱的长度.4. 求旋轮线(sin),(1cos)y y x的通解.5. 求微分方程cos三、证明题（本题满分 10分）设函数()f x 在闭区间[0,1]上连续，且()1f x ，证明方程02()d 1x xf t t在开区间(0,1)内有且仅有一个根.四、计算题 (本题满分 14分)设有曲线xye , (1) 在该曲线上求一点，使曲线在该点的切线过坐标原点，并给出该切线L 的方程；(2) 求由该曲线与切线L , 1x及x 轴所围平面图形D 的面积；(3)求上述平面图形D 绕x 轴旋转一周所得旋转体的体积.得分得分。
大一高数期末考试试题及答案word
大一高数期末考试试题及答案word一、选择题（每题5分，共30分）1. 设函数f(x)=2x-3，求f(5)的值。
A. 7B. 5C. 13D. 11答案：C2. 已知数列{an}满足a1=1，an+1=2an+1，求a3的值。
A. 5B. 3C. 7D. 9答案：A3. 计算定积分∫(0到1) x^2 dx。
A. 1/3B. 1/2C. 1D. 2答案：A4. 设函数g(x)=x^3-6x^2+11x-6，求g(2)的值。
A. 1B. 5C. 9D. 13答案：B5. 求极限lim(x→0) (sin x)/x。
A. 0B. 1C. 2D. 3答案：B6. 已知函数y=x^2-4x+c，当x=2时，y=0，求c的值。
A. 4B. 0C. -4D. 8答案：A二、填空题（每题5分，共20分）1. 设函数f(x)=x^2-6x+8，求f(1)的值。
答案：32. 计算定积分∫(0到π) sin x dx。
答案：23. 求极限lim(x→∞) (1+1/x)^x。
答案：e4. 设函数h(x)=x^3+2x^2-9x+1，求h'(x)的值。
答案：3x^2+4x-9三、解答题（每题10分，共50分）1. 求函数y=x^3-3x^2+2x-1的导数。
解：y'=3x^2-6x+22. 求函数f(x)=x^2-4x+3在区间[1,3]上的定积分。
解：∫(1到3) (x^2-4x+3) dx = (1/3x^3-2x^2+3x)|1到3 = 63. 求极限lim(x→0) (1-cos x)/x^2。
解：lim(x→0) (1-cos x)/x^2 = lim(x→0) (sin x/x) * (1/x) = 1 * 0 = 04. 设函数f(x)=x^2-6x+8，求f(x)在x=3处的切线方程。
解：f'(x)=2x-6，f'(3)=0，f(3)=1，切线方程为y=1。
5. 求函数g(x)=x^3-6x^2+11x-6的极值点。
《高等数学1》期末考试试卷及答案
《高等数学1》期末考试试卷及答案一、填空题（每小题3分，共15分） 1、函数ln(1)yx =-+的定义域是 。
2、极限20limxt x e dt x→=⎰。
3、设0xx =是可导函数()y f x =的极大值点，则()0f x '= 。
4、计算定积分43121sin 11x x dx x -+=+⎰ 。
5、微分方程x y xe ''=的通解是 。
二、单项选择题（每小题3分，共15分）A. 可去间断点B. 跳跃间断点C. 无穷间断点D. 振荡间断点 7、当0x→时，下列函数中与sin 2x 是等价无穷小的是（ ）9、下列每对积分均采用分部积分法，其u 均选为幂函数的一对是（ ）。
A. x xe dx ⎰与ln x xdx ⎰B. xxe dx ⎰与sin x xdx ⎰C. ln x xdx ⎰与sin x xdx ⎰D. arcsin x xdx ⎰与sin x xdx ⎰10、)(x f 在区间),(b a 内恒有()()0,0f x f x '''<<时，曲线)(x f y =在),(b a 内是（ ）A. 单增且是凹的；B. 单增且是凸的；C. 单减且是凸的；D. 单减且是凹的三、判断题（正确打√，错误打Ⅹ，每小题2分，共10分）11、在闭区间上的连续函数必有原函数，从而必可积。
（ ） 12、设2sin x y e =，则()()()22sin 2x x y e e x ''''=。
（ ） 13、设点00(,())x f x 为曲线()y f x =的拐点，则必有0()0f x ''=。
（ ）14、常数零是无穷小量，无穷小量就是常数零。
（ ）15、()22212t d x e dt x e e dx =-⎰ ( )四、极限、连续和微分解答题（每小题6分，共30分）16、求数列极限2lim nn ne-→∞17、111lim ln 1x x x →⎛⎫- ⎪-⎝⎭18、20limsin xt x e dtx→⎰19、已知(ln ,x y e =+求dy dx ，22d y dx20、求由方程x y xye -=所确定的隐函数的微分dy五、积分和微分方程解答题（每小题5分，共25分）21、2221tan x x e e x dx -⎡⎤⎛⎫++⎢⎥ ⎪⎝⎭⎣⎦⎰22、dx ⎰23、1e ⎰24、2-145dx x x +∞∞++⎰25、求微分方程2x dyy e dx-+=的通解六、应用题（每小题5分，共5分）26、求平面曲线y=2x ²与y ²=4x 所围成的图形面积A 。
大一上学期第一学期高数期末考试题及
高等数学 I 〔大一第一学期期末考试题及答案〕1.当xx时， x , x都是无量小， 那么当xx时〔D〕不必定是无量小 .(A)xx(B)2x 2 x2(x) (C)ln 1(x)( x)(D)(x)sin x 1lim x asin a2. 极限 xa 的值是〔 C 〕.〔A 〕 1〔 B 〕 e〔 C 〕e cot a〔D 〕e tan asin xe 2ax1x 0f (x)x3.ax在 x处连续，那么 a =〔D〕.〔A 〕 1〔B 〕 0〔C 〕 e〔 D 〕 1f (a h)f (a 2h)4. 设 f ( x) 在点 xlimhA〕.a处可导，那么h〔〔A 〕 3 f ( a)〔 〕 2 f ( a)B(C) f ( a)1f (a)〔D 〕 3二、填空题〔本大题有 4 小题，每题 4 分，共 16 分〕lim ln( x a) ln a (a 0)15. 极限 x0 x的值是a .由 ex ycos2x 确立函数 y( x) ，那么导函数 y2 sin 2 x y ye xy6.y ln xxexyx.ln x7.直线 l 过点M (1,2,3)且与两平面x2 y z 0,2 x3y 5z 6都平行，那么直线 l的x1y 2z 3方程为111.8.求函数 y2x ln( 4x) 2 的单一递加区间为 〔－ ，0〕和〔 1，+ 〕 .三、解答题〔 本大题有 4 小题，每题 8 分，共 32 分〕1(1 x) x elim x.9.计算极限x 011x) 1(1 x)xeln(1ln(1 x) xeelim e x1elimlimxxx 22解： x 0x 0x 010. 设f ( x)在[a ， b] 上连续，且xxF (x)x f (t) dttf (t) dt解：aax cos 3xdx.11. 求sin xxF ( x)( x t) f (t )dt x [ a, b]a，试求出F (x)。
大一高数期末考试1附答案
⼤⼀⾼数期末考试1附答案⾼等数学（下）⼀、填空题1.(4分) 级数1n n u ∞=∑收敛的必要条件是 .2. (4分) 交换⼆次积分的次序100(,)ydy f x y dx ??= . 3. (4分) 微分⽅程2442xy y y xe'''-+=的⼀个特解形式可以设为 .4. (4分) 在极坐标系下的⾯积元素d σ= .⼆、选择题1. (4分) 已知曲⾯224z x y =--上点P 处的切平⾯平⾏于平⾯2210x y z ++-=,则点P 的坐标是 ( ).A. (1,-1,2);B. (-1,1,2);C. (1,1,2);D. (-1,-1,2). 2. (4分) 级数13121(1)n n n∞-=-∑为（）.A.绝对收敛;B. 条件收敛;C.发散;D. 收敛性不确定. 3. (4分) 若∑是锥⾯222x y z +=被平⾯0z =与1z =所截下的部分,则曲⾯积分22()x y dS ∑+=??( ).00d r rdr πθ;C.1200d r rdr πθ??;D.21200d r rdr πθ??.4. (4分)幂级数1(1)n nn n ∞-=-∑( ). A. 2;R = B.1;2R = C.3;R = D.1 .3R =三、解答题1．(7分) 设sin(),xyz x y e =++求dz .2． (7分) 计算三重积分,I xdxdydz Ω=其中Ω为三个坐标⾯及平⾯21x y z ++=所围成的闭区域.3． (7分) 求(1)I y z dS ∑=++??,其中∑是平⾯5y z +=被圆柱⾯2225x y +=截出的有限部分.4． (7分) 求幂级数1(1)(1)nn n x n ∞=--∑的收敛域.5． (7分) 将2--展开为麦克劳林级数. 6． (7分) 求曲线积分(sin )(cos 1)xxL I e y y dx e y dy =-+-?,其中L 为22x y ax +=上从(,0)A a 到(0,0)O 的上半圆周.7． (7分) 求微分⽅程24y xy x '+=在初始条件03x y ==下的特解. 8． (7分) 求曲⾯积分(1)(22)(33)I x dydz y dzdx z dxdy ∑=+++++?? ,其中∑为曲⾯2224x y z ++=的内侧.9．(7分) 计算曲线积分()LI x y ds =+?,其中L 是以(0,0)O ,(1,0),(0,1)A B 为顶点的三⾓形折线.四、(5分) 试确定参数t 的值,使得在不含直线0y =上点的区域上,曲线积分222222()()t t Cx x y x x y I dx dy y y ++=-?与路径⽆关，其中C 是该区域上⼀条光滑曲线，并求出当C 从(1,1)A 到(0,2)B 时I 的值.参考答案⼀、 1.lim 0;n n u →∞= 2.110(,);x dx f x y d y ??3.*222()xy x Ax Bx C e =++; 4..d rdrd σ=θ⼆、 1. C; 2. A; 3.D. 4.D. 三、 1.解 c o s ()xyx z x y ye =++ c o s ()xyy z x y xe =++ [c o s ()][c o s ()x yx y d z x y y ed x x y xe d y=+++++2.解 11122000xx y I dx dy xdz ---=??(12)x xdx x y dy -=--??12301(2)4x x x dx =-+? 148=3.解 :5z y ∑=-22:25D x y +≤(15DI y y =++-??Ddxdy ==4. 解 1R =当2x =时收敛当0x =时发散收敛域为(0,2].5.解 21111231212x x x x ??=+---+()11316(1)2x x =+-+0011(1)362nn n n n x x ∞∞==??=+-∑∑ 10111(1)32n n n n x ∞+=??=+- ∑ 1x <6.解sin xP e y y =-, cos 1xx y-= 由格林公式得DI dxdy =??221228a a π??==π7.解()224xdxx y eC xe dx ?-=+?222[2()]x x e C e d x -=+?22x Ce-=+将03x y ==代⼊上式得 1C =所求特解为22x y e-=+8.解利⽤⾼斯公式得6I dv Ω=4643=?π?32=π9.解 ()()()O AO BB AI x y d s x y d s x y d s =+++++11()2OAx y ds xdx +==?? 1x y ds ydy +==??10()(1BAx y ds x x +=+-??1I ∴=四、 2212222()(2)t P x x y ty x y y y-?+=?--?22122222()()t Q x x y x y tx x y-?-+=?++? 令P Q y x=可得22(21)()0t x y ++= 因为0,y ≠所以12t =-因曲线积分与路径⽆关,故取从点(1,1)A 经点(0,1)D 到点(0,2)B 的折线积分10I =+?1=。