第7讲 几何三大变换问题及答案
初中数学学--几何三大变换含答案
平面直⻆坐标系中，原点 关O 于直线y = − 4 x + 对4 称点O1的坐标是 3
答案
， 96
(
72
)
25
25
解析
图 如 ，
线 对称点 ∵ 原点O关于直
4
y= − x+4
, O1
3
∴ OO1⊥AB
设 线 为 轴于 OO1 与直
的 交 点 4
x
4/9
(1)
答案
标为 ① k = −8； ② 存在，点P 的坐
或 或 或 ； (−4, 2) (−2, 4) (4, −2) (2, −4)
解析
过点 轴于点 ，过点 轴于点 图 ①
作 A AE⊥x
E
作 B BF ⊥x
F，如 1所示．
轴 轴 , , ∵BF ⊥x
AE⊥x
， ∘
∴∠BF O = ∠OEA = 90
2
2
4 【2016年江苏南京玄武区八年级下学期期末考试数学试卷】
如图，在平面直⻆坐标系中，点B是反比例函数y = k 的图象上任意一点，将点B绕原点 顺O 时针方向旋转
到点 ． ∘
90
A
x
(1) 若点A的坐标为(4, ，2) ①求k的值；②在反比例函数y=的图象上是否存在一点P，使得△AOP是等 腰三⻆形且∠AOP是顶⻆，若存在，写出点P的坐标；若不存在，请说明理由； (2) 当k = −1，点B在反比例函数y = k 的图象上运动时，判断点A在怎样的图象上运动？并写出表达式．
AC = √(2 + √3)
+
2
1
=
√6
初中几何三大变换平移、旋转、轴对称
初中几何三大变换平移、旋转、轴对称
姓名：__________
指导：__________
日期：__________
【答案解析】先将ABC 绕着B C 的中点旋转180，再将所得的三角形绕着B C的中点旋转180，即可得到△ A B C；先将ABC 沿着B C 的垂直平分线翻折，再将所得的三角形沿着B C的垂直平分线翻折，即可得到△ A B C；故选：D.
典型易错题5（易错指数）
【答案解析】A ．等腰三角形底边上的高所在的直线是它的对称轴，正确；B ．线段和角都是轴对称图形，正确；C ．连接轴对称图形的对应点的线段必被对称轴垂直平分，正确；D ．ABC DEF ，则ABC 与DEF 不一定关于某条直线对称，错误；故选：D ．
典型易错题6（易错指数）
图中序号（1）（2）（3）（4）对应的四个三角形，都是这个图形进行了一次变换之后得到的，其中是通过轴对称得到的是
A．（1）B．（2）C．（3）D．（4）【答案解析】轴对称是沿着某条直线翻转得到新图形，通过轴对称得到的是（1）．故选：A
典型易错题7（易错指数）
【答案解析】
典型易错题8（易错指数）
【答案解析】。
几何三大变换(习题及答案)
△DEC，使点 B 的对应点 E 恰好落在边 AC 上，点 A 的对应点为 D，延长 DE 交 AB
于点 F，则下列结论一定正确的是（ ）
A．AC=DE
B．BC=EF
C．∠AEF=∠D D．AB⊥DF
A
FE
BC
D
13. 如图，在△OAB 中，顶点 O(0，0)，A(-3，4)，B(3，4)，将△OAB 与正方形 ABCD
A
E
D
G
D1
D2
BHF
C
7. （2019 潍坊）如图，在矩形 ABCD 中，AD=2．将∠A 向内翻折，点 A 落在 BC 上，记为 A′，折痕为 DE．若将∠B 沿 EA′向内翻折，点 B 恰好落在 DE 上，记为 B′，则 AB=__________．
A
D
B′ E
B
A′
C
8. （2020 宿迁）如图，在矩形 ABCD 中，AB=1，AD= 3 ，P 为 AD 上一个动点，连 接 BP，线段 BA 与线段 BQ 关于 BP 所在的直线对称，连接 PQ，当点 P 从点 A 运 动到点 D 时，线段 PQ 在平面内扫过的面积为_________．
B
A
4. （2020 上海）如图，在△ABC 中，AB=4，BC=7，∠B=60°，点 D 在边 BC 上， CD=3，连接 AD．如果将△ACD 沿直线 AD 翻折后，点 C 的对应点为点 E，那么点 E 到直线 BD 的距离为__________． A
B
D
C
1
5. （2020 青岛）如图，将矩形 ABCD 折叠，使点 C 和点 A 重合，折痕为 EF，EF 与 AC 交于点 O．若 AE=5，BF=3，则 AO 的长为（ ）
几何变换课堂练习题(含答案)
几何变换课堂练习题1. 试写出二维图形几何变换矩阵，并从变换功能上将其分块。
答：二维图形几何变换矩阵可用下式表示：T2D=从变换功能上可把T分为四个子矩阵，其中是对图形进行缩放、旋转、对称、错切等变换；[c f ]是对图形进行平移变换；对图形作投影变换；[ i ]是对整体图形作伸缩变换。
2.试写出三维图形几何变换矩阵，并从变换功能上将其分块。
答：三维图形的几何变换矩阵可用T3D表示，其表示式如下：从变换功能上T3D可分为4个子矩阵，其中：产生比例、旋转、错切等几何变换；产生平移变换；产生投影变换；[a44] 产生整体比例变换。
1. 已知三角形ABC 各顶点的坐标A(1,2)、B(5,2)、C(3,5)，相对直线Y=4做对称变换后到达A ’、B ’、C ’。
试计算A ’、B ’、C ’的坐标值。
（要求用齐次坐标进行变换，列出变换矩阵）解：（1）将坐标系平移至P 1 (0，4)点 ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=140010001A T（2） 以Y 轴对称 ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=100010001B T（3）将坐标系平移回原处 ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=140010001C T（4） 变换矩阵：T=T A*T B*T C= ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-180010001（5） 求变换后的三角形ABC 各顶点的坐标A ’、B ’、C ’A ’: [][][][]1611800100011211211''=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-⨯=⨯=T Y X A A X A '=1， Y A '=6 B ’: [][][][]1651800100011251251'=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-⨯=⨯=T Y X B B X B '=5， Y B '=6C ’: [][][][]1331800100011531531''=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-⨯=⨯=T Y X C C X A '=3， Y A '=32．将x和y放大为原来的三倍，且图形点（0.5，0.2，－0.2）保持不动；S =T2 =2 S T1 =------------------------------------------------------------------------------------------------------- 填空题1.比例变换[x y 1]=[x y 1]=[sx·x sy·y 1]⑴当_____________时，为恒等比例变换，即图形不变；⑵当_____________时，图形沿两个坐标轴方向等比例放大；⑶当_____________时，图形沿两个坐标轴方向等比例缩小；⑷当_____________时，图形沿两个坐标轴方向作非均匀的比例变换。
几何三大变换(作图)(北师版)(含答案)
学生做题前请先回答以下问题问题1：平移的思考层次分别是什么？问题2：旋转的思考层次分别是什么？问题3：轴对称的思考层次分别是什么？几何三大变换（作图）（北师版）一、单选题(共5道，每道20分)1.如图，已知，将△AOB绕点O旋转150°后，得到，则此时点A的对应点的坐标为( )A. B.C. D.答案：C解题思路：试题难度：三颗星知识点：旋转三要素2.如图，Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=α，将△ABC绕点C逆时针旋转得到，当点落在直线AB上时，旋转角为（其中），那么之间的数量关系为( )A. B.C. D.答案：D解题思路：试题难度：三颗星知识点：旋转三要素3.在梯形纸片ABCD中，AD∥BC，.将纸片沿过点D的直线折叠，使点C落在AD 边上的点处，折痕DE交BC于点E，连接，则四边形的形状准确地说应为( )A.矩形B.菱形C.梯形D.平行四边形答案：B解题思路：试题难度：三颗星知识点：旋转三要素4.当身边没有量角器时，怎样得到一些特定度数的角呢？动手操作有时可以解“燃眉之急”．如图，已知矩形纸片ABCD（矩形纸片要足够长），我们按如下步骤操作可以得到一个特定的角：（1）以点A所在直线为折痕，折叠纸片，使点B落在AD上，折痕与BC交于E；（2）将纸片展平后，再一次折叠纸片，以E所在直线为折痕，使点A落在BC上，折痕EF 交AD于F．则∠AFE=( )A.60°B.67.5°C.72°D.75°答案：B解题思路：试题难度：三颗星知识点：折叠的性质5.在直角三角形纸片ABC中，∠ACB=90°，，如图，将纸片沿某条直线折叠，使点A落在直角边BC上，记落点为D，设折痕与AB，AC边分别交于点E，点F．若折叠后的△CDF与△BDE均为等腰三角形，则纸片中∠B的度数为( )A.45°B.30°或45°C.30°或22.5°D.30°，22.5°或45°答案：B解题思路：试题难度：三颗星知识点：折叠的性质。
几何三大变换（讲义及答案）
几何三大变换（讲义及答案）几何三大变换课前预习平移、旋转、轴对称统称为几何三大变换，它们都是变换，只改变图形的，不改变图形的和．请回忆几何三大变换的相关性质，并解决下列问题：1.在坐标系中，我们可以利用平移的性质来求解点的坐标．横坐标加减管左右平移，纵坐标加减管上下平移．如：将点A(2，3) 先向左平移3 个单位，再向上平移2 个单位，则平移后点坐标为A' (-1，5)．如图，在四边形ABCD 中，AB 与CD 平行且相等，若A(-1，-1)，B(3，-1)，C(2，1)，则点D 的坐标为．2.当题目中出现等线段共端点时，我们往往考虑利用旋转思想解决问题．如图，P 是等边三角形ABC 内一点，AP=3，BP=4，CP=5，求∠APB 的度数．（提示：等边三角形有等线段共端点，考虑旋转．将△APC 绕点A 顺时针旋转60°．）1知识点睛1、、统称为几何三大变换．几何三大变换都是，只改变图形的，不改变图形的．2三大变换思考层次平移的思考层次：①全等变换：对应边、对应角．②对应点：．③新关系：平移会产生．④应用：常应用在、等．旋转的思考层次（旋转结构）：①全等变换：对应边、对应角．②对应点：；；．③新关系：旋转会产生．④应用：当题目中出现的时候考虑旋转结构．轴对称的思考层次（折叠结构）：①全等变换：对应边、对应角．②对应点：；．③新关系：折叠会产生．④应用：常应用在、等．精讲精练1.如图，将周长为8 的△ABC 沿BC 方向平移1 个单位得到△DEF，则四边形ABFD 的周长为（）A．6 B．8C．10 D．1222.如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知点A，B 的坐标分别为(1，0)，(0，2)，将线段AB 平移至A1B1，若点A1，B1 的坐标分别为(2，a)，(b，3)，则a +b = ?．第2 题图第3 题图3.如图，AB=CD，AB 与CD 相交于点O，且∠AOC=60°，则AC+BD与AB 的大小关系是（）A．AC +BD >AB B．AC+BD=ABC．AC +BD ≥AB D．无法确定4.如图，在4 ? 4 的正方形网格中，△MNP 绕某点旋转一定的角度得到△M1N1P1，则其旋转中心可能是（）A．点A B．点B C．点C D．点D第4 题图第5 题图5.如图，菱形OABC 的顶点O 在坐标原点，顶点A 在x 轴正半轴上，且∠B=120°，OA=2．将菱形OABC 绕原点O 顺时针旋转105°至菱形OA′B′C′的位置，则点B′的坐标为．339 346.如图，两块完全相同的含30°角的直角三角板 ABC 和A ′B ′C ′ 重合在一起，将三角板A ′B ′C ′绕其直角顶点C ′按逆时针方向旋转角α（0 < α≤ 90? ），则下列结论：①当α= 30? 时，A ′C 与 AB 的交点恰好为 AB 的中点；②当α= 60? 时，A ′B ′恰好经过点 B ；③在旋转过程中，始终存在AA ′⊥BB ′．其中正确的是．（填写序号）第 6 题图第 7 题图7.如图，O 是等边三角形ABC 内一点，且OA =3，OB =4，OC =5．将线段 OB 绕点 B 逆时针旋转60°得到线段O′B ，则下列结论：①△AO′B 可以由△COB 绕点 B 逆时针旋转60°得到；②∠AOB =150°；③ S 四边形AOBO' = 6 + 3 ；④ S △ AOB + S △AOC = 6 +．其中正确的是．（填写序号）8.如图，将长为 4cm ，宽为 2cm 的矩形纸片 ABCD 折叠，使点 B 落在 CD 边的中点 E 处，压平后得到折痕 MN ，则线段 AM 的长为459.如图，在一张矩形纸片ABCD 中，AB=4，BC=8，点E，F 分别在AD，BC 边上，将纸片ABCD 沿直线EF 折叠，点C 落在AD 边上的一点H 处，点D 落在点G 处，则下列结论：①四边形CFHE 是菱形；②CE 平分∠DCH；③当点H 与点A 重合时，EF= 2 ．其中正确的是．（填写序号）第9 题图第10 题图10.如图，在菱形纸片ABCD 中，∠A=60°，将纸片折叠，点A，D 分别落在点A′，D′处，且A′D′经过点B，EF 为折痕．当D′F⊥CD 时，CF的值为（）DF3 -12B．36C．2 3 -16D．3 +18 11. 如图，在Rt△ABC 中，∠ACB=90°，∠B=30°，BC=3．D 是BC 边上一动点（不与点B，C 重合），过点D 作DE⊥BC，交AB 于点E，将∠B 沿直线DE 翻折，点B 落在射线BC 上的点F 处．当△AEF 为直角三角形时，BD 的长为．52 【参考答案】 ? 课前预习全等位置形状大小 1．(-2，1) 2．150°知识点睛1. 平移、旋转、轴对称全等变换，位置，形状和大小2. 平移的思考层次：①平行（或在同一直线上）且相等，相等②对应点所连线段平行（或在同一直线上）且相等③平行四边形④天桥问题、存在性问题旋转的思考层次（旋转结构）：①相等，相等②对应点到旋转中心的距离相等对应点与旋转中心的连线所成的角等于旋转角对应点连线的垂直平分线都经过旋转中心③等腰三角形④等线段共点轴对称的思考层次（折叠结构）：①相等，相等②对应点所连线段被对称轴垂直平分对称轴上的点到对应点的距离相等③垂直平分、等腰三角形④折叠问题、最值问题精讲精练1．C 2．2 3．C 4．B5．( ， ) 6．①②③ 7．①②④628．13cm 89．①③10．A11．1 或27。
中考几何三大变换(含答案17页)
中考几何变换专题复习（针对几何大题的讲解）几何图形问题的解决，主要借助于基本图形的性质（定义、定理等）和图形之间的关系(平行、全等、相似等）.基本图形的许多性质都源于这个图形本身的“变换特征”，最为重要和最为常用的图形关系“全等三角形”极多的情况也同样具有“变换”形式的联系.本来两个三角形全等是指它们的形状和大小都一样，和相互间的位置没有直接关系，但是，在同一个问题中涉及到的两个全等三角形，大多数都有一定的位置关系（或成轴对称关系，或成平移的关系，或成旋转的关系（包括中心对称）.这样，在解决具体的几何图形问题时，如果我们有意识地从图形的性质或关系中所显示或暗示的“变换特征”出发，来识别、构造基本图形或图形关系，那么将对问题的解决有着极为重要的启发和引导的作用.下面我们从变换视角以三角形的全等关系为主进行研究.解决图形问题的能力，核心要素是善于从综合与复杂的图形中识别和构造出基本图形及基本的图形关系，而“变换视角”正好能提高我们这种识别和构造的能力.1．已知正方形ABCD中，E为对角线BD上一点，过E点作EF⊥BD交BC于F，连接DF，G为DF中点，连接EG，CG．（1）求证：EG=CG；（2）将图①中△BEF绕B点逆时针旋转45°，如图②所示，取DF中点G，连接EG，CG．问（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由；（3）将图①中△BEF绕B点旋转任意角度，如图③所示，再连接相应的线段，问（1）中的结论是否仍然成立？通过观察你还能得出什么结论（均不要求证明）．考点：旋转的性质；全等三角形的判定与性质；直角三角形斜边上的中线；正方形的性质。
专题：压轴题。
分析：（1）利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，可证出CG=EG．（2）结论仍然成立，连接AG，过G点作MN⊥AD于M，与EF的延长线交于N点；再证明△DAG≌△DCG，得出AG=CG；再证出△DMG≌△FNG，得到MG=NG；再证明△AMG≌△ENG，得出AG=EG；最后证出CG=EG．（3）结论依然成立．还知道EG⊥CG．解答：（1）证明：在Rt△FCD中，∵G为DF的中点，∴CG=FD，同理，在Rt△DEF中，EG=FD，∴CG=EG．（2）解：（1）中结论仍然成立，即EG=CG．证法一：连接AG，过G点作MN⊥AD于M，与EF的延长线交于N点．在△DAG与△DCG中，∵AD=CD，∠ADG=∠CDG，DG=DG，∴△DAG≌△DCG，∴AG=CG；在△DMG与△FNG中，∵∠DGM=∠FGN，FG=DG，∠MDG=∠NFG，∴△DMG≌△FNG，∴MG=NG；在矩形AENM中，AM=EN，在△AMG与△ENG中，∵AM=EN，∠AMG=∠ENG，MG=NG，∴△AMG≌△ENG，∴AG=EG，∴EG=CG．证法二：延长CG至M，使MG=CG，连接MF，ME，EC，在△DCG与△FMG中，∵FG=DG，∠MGF=∠CGD，MG=CG，∴△DCG≌△FMG．∴MF=CD，∠FMG=∠DCG，∴MF∥CD∥AB，∴EF⊥MF．在Rt△MFE与Rt△CBE中，∵MF=CB，EF=BE，∴△MFE≌△CBE∴∠MEF=∠CEB．∴∠MEC=∠MEF+∠FEC=∠CEB+∠CEF=90°，∴△MEC为直角三角形．∵MG=CG，∴EG=MC，∴EG=CG．（3）解：（1）中的结论仍然成立．即EG=CG．其他的结论还有：EG⊥CG．点评：本题利用了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质、全等三角形的判定和性质．2．（1）如图1，已知矩形ABCD中，点E是BC上的一动点，过点E作EF⊥BD于点F，EG⊥AC于点G，CH⊥BD于点H，试证明CH=EF+EG；（2）若点E在BC的延长线上，如图2，过点E作EF⊥BD于点F，EG⊥AC的延长线于点G，CH⊥BD于点H，则EF、EG、CH三者之间具有怎样的数量关系，直接写出你的猜想；（3）如图3，BD是正方形ABCD的对角线，L在BD上，且BL=BC，连接CL，点E 是CL上任一点，EF⊥BD于点F，EG⊥BC于点G，猜想EF、EG、BD之间具有怎样的数量关系，直接写出你的猜想；（4）观察图1、图2、图3的特性，请你根据这一特性构造一个图形，使它仍然具有EF、EG、CH这样的线段，并满足（1）或（2）的结论，写出相关题设的条件和结论．考点：矩形的性质；全等三角形的判定与性质；等腰三角形的性质；正方形的性质。
八年级数学几何三大变换(平移、旋转)(含答案)
学生做题前请先回答以下问题问题1：平移、旋转、轴对称统称为几何三大变换.几何三大变换都是_________，只改变图形的_________，不改变图形的_____________.问题2：平移的思考层次分别是什么？问题3：旋转的思考层次分别是什么？几何三大变换（平移、旋转）一、单选题(共9道，每道8分)1.如图，将边长为3cm的等边三角形ABC沿BC方向向右平移2cm得到△DEF，则四边形ABFD 的周长为( )cm．A.10B.11C.12D.13答案：D解题思路：试题难度：三颗星知识点：平移的性质2.如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AD=6cm，BC=10cm，高为7cm，若将梯形ABCD向右平移4cm得到梯形A′B′C′D′，则平移前后两梯形重叠部分的面积为( )cm2．A.28B.35C.42D.56答案：A解题思路：试题难度：三颗星知识点：平移的性质3.如图，把Rt△ABC放在平面直角坐标系内，其中∠CAB=90°，，点A，B的坐标分别为（2，0）（8，0），将△ABC沿x轴向右平移，当点C落在直线y=3x-3上时，线段BC扫过的面积为( )A. B.C. D.答案：C解题思路：试题难度：三颗星知识点：平移的性质4.如图，△COD是△AOB绕点O顺时针旋转40°后得到的图形，若点C恰好落在AB上，且∠AOD的度数是90°，则∠B的度数是( )A.70°B.60°C.50°D.40°答案：B解题思路：试题难度：三颗星知识点：旋转的性质5.如图，E是正方形ABCD内一点，将△CDE绕点D按顺时针方向旋转90°后得到△ADF．若DE=3，则EF的长是( )A. B.C.3D.6答案：A解题思路：试题难度：三颗星知识点：旋转的性质6.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，∠BAC=30°，将△ABC绕点C按逆时针方向旋转α角，得到△DEC，CD与AB交于点F，连接AD．当旋转角α的度数为( )时，△ADF是等腰三角形．A.30°或60°B.20°或40°C.25°或50°D.20°或40°或60°答案：B解题思路：试题难度：三颗星知识点：旋转的性质7.如图，已知△ABC中，∠C=90°，AC=BC=，将△ABC绕点A顺时针方向旋转60°到△AB′C′的位置，连接C′B，则C′B的长为( )A. B.C. D.1答案：C解题思路：试题难度：三颗星知识点：旋转的性质8.如图所示直角三角板ABC，斜边AB=6，∠A=30°，现将其绕点C沿顺时针方向旋转90°至△A′B′C的位置，再沿CB向左平移使点B′落在原三角板ABC的斜边AB上．则三角板向左平移的距离为( )A.1B.C. D.答案：C解题思路：试题难度：三颗星知识点：旋转的性质9.如图，已知，将△AOB绕点O旋转150°后，得到，则此时点A的对应点的坐标为( )A. B.C. D.答案：C解题思路：试题难度：三颗星知识点：作图二、填空题(共3道，每道9分)10.如图，将边长为2cm的正方形ABCD沿其对角线AC剪开，再把△ABC沿着BC平移得到△A′B′C′，若重叠部分的面积为1cm2，则平移的距离AA′=____cm．答案：1解题思路：试题难度：知识点：平移的性质11.如图，在四边形ABCD中，∠BAD=∠BCD=90°，AB=AD，如果cm，则四边形ABCD的面积为____cm2.答案：6解题思路：试题难度：知识点：作图—旋转变换12.如图，在等边三角形ABC中，点O是AC边上，且OA=3,OC=6,点P是AB上一动点，连接OP，将线段OP绕O逆时针旋转60°得到线段OD，要使点D恰好落在BC上，则AP的长是____.答案：6解题思路：试题难度：知识点：作图。
中考数学几何三大变换之轴对称真题与分析
中考数学几何三大变换之轴对称真题与分析轴对称、平移、旋转是平面几何的三大变换。
由一个平面图形变为另一个平面图形，并使这两个图形关于某一条直线成轴对称，这样的图形改变叫做图形的轴对称变换。
轴对称具有这样的重要性质：（1）成轴对称的两个图形全等；（2）如果两个图形成轴对称，那么对称轴是对称点连线的垂直平分线。
在初中数学以及日常生活中有着大量的轴对称和轴对称变换的知识，是中考数学的必考内容。
结合2012年全国各地中考的实例，我们从下面九方面探讨轴对称和轴对称变换：（1）轴对称和轴对称图形的识别和构造；（2）线段、角的轴对称性；（3）等腰（边）三角形的轴对称性；（4）矩形、菱形、正方形的轴对称性；（5）等腰梯形的轴对称性；（6）圆的轴对称性；（7）折叠的轴对称性；（8）利用轴对称性求最值；（9）平面解析几何中图形的轴对称性。
一、轴对称和轴对称图形的识别和构造：典型例题：例1.下列图形中，是轴对称图形的是【】A．B．C．D．【答案】B。
【考点】轴对称图形。
【分析】根据轴对称图形的概念，轴对称图形两部分沿对称轴折叠后可重合。
因此，A、不是轴对称图形，故本选项错误；B、是轴对称图形，故本选项正确；C、不是轴对称图形，故本选项错误；D、不是轴对称图形，故本选项错误。
故选B。
例2.在以下绿色食品、回收、节能、节水四个标志中，是轴对称图形的是【】A．B．C．D．【答案】A。
【考点】轴对称图形。
【分析】根据轴对称图形的概念，轴对称图形两部分沿对称轴折叠后可重合，因此A、是轴对称图形，符合题意；B、不是轴对称图形，不符合题意；C、不是轴对称图形，不符合题意；D、不是轴对称图形，不符合题意。
故选A。
例3.下列几何图形中，对称性与其它图形不同的是【】【答案】A。
【考点】轴对称图形，中心对称图形。
【分析】根据轴对称及中心对称的定义，分别判断各选项，然后即可得出答案：A、是轴对称图形，不是中心对称图形；B、既是轴对称图形也是中心对称图形；C、既是轴对称图形也是中心对称图形；D、既是轴对称图形也是中心对称图形。
东湖中学中考攻略专题：几何三大变换之旋转探讨(含答案)
【中考攻略】专题：几何三大变换之旋转探讨轴对称、平移、旋转是平面几何的三大变换。
旋转变换是指在同一平面内，将一个图形（含点、线、面）整体绕一固定点旋转一个定角，这样的图形变换叫做图形的旋转变换，简称旋转。
旋转由旋转中心、旋转的方向和角度决定。
经过旋转，旋转前后图形的形状、大小不变，只是位置发生改变；旋转前、后图形的对应点到旋转中心的距离相等，即旋转中心在对应点所连线段的垂直平分线上； 旋转前、后的图形对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角。
把一个图形绕着某一定点旋转一个角度360°/n (n 为大于1的正整数)后，与初始的图形重合，这种图形就叫做旋转对称图形，这个定点就叫做旋转对称中心，旋转的角度叫做旋转角。
特别地，中心对称也是旋转对称的一种的特别形式。
把一个图形绕着某一点旋转180°，如果它能与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称，这个点叫做对称中心，这两个图形的对应点叫做关于中心的对称点。
如果把一个图形绕某一点旋转180度后能与自身重合，这个图形是中心对称图形。
在初中数学以及日常生活中有着大量的旋转变换的知识，是中考数学的必考内容。
结合2011和2012年全国各地中考的实例，我们从下面九方面探讨旋转变换：（1）中心对称和中心对称图形；（2）构造旋转图形；（3）有关点的旋转；（4）有关直线（线段）的旋转；（5）有关等腰（边）三角形的旋转；（6）有关直角三角形的旋转；（7）有关平行四边形、矩形、菱形的旋转；（8）有关正方形的旋转；（9）有关其它图形的旋转。
一、中心对称和中心对称图形：典型例题：例1. （2012天津市3分）下列标志中，可以看作是中心对称图形的是【】【答案】B 。
【考点】中心对称图形。
【分析】根据中心对称图形的概念：把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能（D ） （C ） （B ） （A ）够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，由此结合各图形的特点求解：A、C、D都不符合中心对称的定义。
【中考数学热点难题】几何三大变换(含答案)[1]
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【中考数学热点难题】几何三大变换几何三大变换一、单选题(共4道，每道25分)1.如图，线段AB=CD，AB与CD相交于O，且∠AOC=60°，CE是由AB平移所得，则AC+BD与AB的大小关系是（）A.AC+BD＞ABB.AC+BD＜ABC.AC+BD=ABD.无法确定答案：A解题思路：注意到AB、BD和AB条件比较分散，所以考虑通过平移把题目中的条件进行集中；比如把AB平移到CE的位置，也就是分别过点C、B作AB、AC的平行线相交于点E，连接DE，则可以得到平行四边形ABEC，又由∠AOC=60°，则△CDE为等边三角形；则AB=CE=DE，再根据三角形的三边关系知BE+BD=AC+BD＞DE=AB，故选A试题难度：四颗星知识点：图形的轴对称性2.如图矩形纸片ABCD，AB＝5cm，BC＝10cm，CD上有一点E，ED＝2cm，AD上有一点P，PD＝3cm，过P作PF⊥AD交BC于F，将纸片折叠，使P点与E点重合，折痕与PF交于Q点，则PQ的长是（）cmA.B.C.D.4答案：B解题思路：对于折叠问题，折叠问题关注对称轴，关注已知角和已知边，并要去发现已知的角和边如何跟要求的量建立联系；比如在这道题中，要求PQ的长，注意到PQ经过折叠之后到哪里了，自然就会连接EQ，转化为求EQ的长，接下来要求EQ，已知的是PD和ED，要利用这两条线段长，就需要过点Q向CD作垂线QG，则QG=PD=3,并且注意到PQ=QE=GD，可设EQ=x，则GE=x-2，在直角三角形QGE中利用勾股定理即可求出x的值，进而得到正确选项为B．试题难度：三颗星知识点：图形的轴对称性3.如图，等腰直角三角形ABC中，AB=AC，∠A=90°，M，N为斜边BC上两点且∠MAN=45°，则BM、CN、MN之间的数量关系是（）A.BM2+CN2=MN2B.BM+CN=MNC.2BM+CN=MND.无法确定答案：A解题思路：要找BM、CN、MN三者之间的数量关系，考虑到根据题目条件中出现了“大角夹半角”模型，所以考虑用旋转．旋转需要考虑相等的边，在这里可以利用等腰三角形两边相等，那么不妨把△ABM旋转出去，如图所示，接下来注意到旋转之后△ABM≌△ACD，那么可以得到AD=AM，BM=DC，∠CAD=∠BAM，∠ABM=∠ACD=45°，可得∠NCD=90°，并且∠DAN=∠CAD+∠CAN=∠BAM+∠CAN=45°=∠MAN，那么可以得到△MAN≌△DAN，进而MN=DN；那么在直角三角形DCN中，ND2=NC2+DC2，所以BM2+CN2=MN2．试题难度：三颗星知识点：旋转的性质4.如图，在三角形纸片ABC中，∠ACB=90°，BC=3，AB=6．在AC上取一点E，以BE为折痕，使AB的一部分与BC重合，A与BC延长线上的点D重合，则CE的长度为（）A.3B.6C.D.答案：C解题思路：折叠问题关注对称轴，关注已知角和已知边；在本题中对称轴就是BE，那么AB=DB=6，根据BC=3，可以得到CD=3；同时根据BC=3，AB=6，可以得到∠A=30°，则∠D=30°，接下来在Rt△DCE中，利用30°角的直角三角形三边比是，可以得到CE的长为．试题难度：三颗星知识点：翻折变换（折叠问题）。
2013中考压轴题选讲专题7：几何三大变换问题(排版+答案)
2012年中考数学压轴题分类解析专题7：几何三大变换相关问题授课老师：黄立宗典型例题选讲：例题1：（2012福建龙岩13分）矩形ABCD中，AD=5，AB=3，将矩形ABCD沿某直线折叠，使点A的对应点A′落在线段BC上，再打开得到折痕EF．（1）当A′与B重合时（如图1），EF= ；当折痕EF过点D时（如图2），求线段EF的长；（2）观察图3和图4，设BA′=x，①当x的取值范围是时，四边形AEA′F是菱形；②在①的条件下，利用图4证明四边形AEA′F是菱形．例题2：（2012辽宁丹东）已知：点C、A、D在同一条直线上，∠ABC=∠ADE=α，线段 BD、CE交于点M．（1）如图1，若AB=AC，AD=AE①问线段BD与CE有怎样的数量关系？并说明理由；②求∠BMC的大小（用α表示）；（2）如图2，若AB= BC=kAC，AD =ED=kAE则线段BD与CE的数量关系为，∠BMC= （用α表示）；（3）在（2）的条件下，把△ABC绕点A逆时针旋转180°，在备用图中作出旋转后的图形（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹），连接 EC并延长交BD于点M.则∠BMC= （用α表示）．例题3：（2012福建福州）如图①，已知抛物线y＝ax2＋bx(a≠0)经过A(3，0)、B(4，4)两点．(1) 求抛物线的解析式；(2) 将直线OB向下平移m个单位长度后，得到的直线与抛物线只有一个公共点D，求m的值及点D 的坐标；(3) 如图②，若点N在抛物线上，且∠NBO＝∠ABO，则在(2)的条件下，求出所有满足△POD∽△NOB 的点P的坐标(点P、O、D分别与点N、O、B对应)．例题4：（2012广西贵港12分）如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2＋bx＋3的顶点为M（2，－1），交x轴于A、B两点，交y轴于点C，其中点B的坐标为（3，0）。
（1）求该抛物线的解析式；（2）设经过点C的直线与该抛物线的另一个交点为D，且直线CD和直线CA关于直线BC对称，求直线CD的解析式；（3）在该抛物线的对称轴上存在点P，满足PM2＋PB2＋PC2＝35，求点P的坐标；并直接写出此时直线OP与该抛物线交点的个数。
综合复习——几何三大变换(轴对称)(人教版)(含答案)
学生做题前请先回答以下问题问题1：折叠是__________，变换前后______、______都相等，从而实现条件的转移．折叠前后的图形关于_________________对称．综合复习——几何三大变换（轴对称）（人教版）一、单选题(共8道，每道12分)1.如图，长方形OABC的边OA，OC分别在x轴、y轴上，点B的坐标为（3，2）．点D，E 分别在AB，BC边上，BD=BE=1．沿直线将△BDE翻折，点B落在点B′处．则点B′的坐标为( )A.（1，2）B.（2，1）C.（2，2）D.（3，1）答案：B解题思路：试题难度：三颗星知识点：折叠问题2.如图，将长方形纸片ABCD折叠，使点C与点B重合，折痕为EF，AE=4cm，CE=8cm，则折痕EF的长是( )A.4cmB.6cmC.8cmD.12cm答案：C解题思路：试题难度：三颗星知识点：折叠问题3.有一条长方形纸带，按如图方式折叠，纸带重叠部分中的∠α的度数为( )A.60°B.70°C.75°D.80°答案：B解题思路：试题难度：三颗星知识点：折叠问题4.如图是一张足够长的长方形纸条ABCD，以点A所在直线为折痕，折叠纸条，使点B落在边AD上，折痕与边BC交于点E；然后将其展平，再以点E所在直线为折痕，使点A落在边BC上，折痕EF交边AD于点F．则∠AFE的大小是( )A.22.5°B.45°C.60°D.67.5°答案：D解题思路：试题难度：三颗星知识点：折叠问题5.如图，先把长方形ABCD对折，折痕为MN，展开后再折叠，使点B落在MN上，此时折痕为AE，点B在MN上的对应点为，则=( )A.15°B.30°C.45°D.60°答案：B解题思路：试题难度：三颗星知识点：折叠问题6.如图，AD是△ABC的中线，∠ADC=60°，把△ADC沿直线AD翻折，点C落在点的位置，连接．如果DC=2，那么=( )A. B.2C. D.4答案：B解题思路：试题难度：三颗星知识点：折叠问题7.如图，在图1所示的长方形ABCD中，点E在AD上，且BE=2AE．分别以BE，CE为折痕，将A，D向BC的方向折过去，折叠后的图形如图2所示．若，则∠BCE的度数为( )A.30°B.32.5°C.35°D.37.5°答案：D解题思路：试题难度：三颗星知识点：折叠问题8.图1为一张三角形纸片ABC，点P在BC上．将A折至P时，出现折痕BD，点D在AC上，如图2所示．若△ABC的面积为80，△DBC的面积为50，则BP与PC的长度比为( )A.3:2B.5:3C.3:5D.13:8答案：A解题思路：试题难度：三颗星知识点：折叠问题。
几何三大变换(含答案)
学生做题前请先回答以下问题问题1：折叠特征是什么？答：折叠是_____________，_______________是对称轴．对称轴两侧___________________，对称轴____________对应点的连线．问题2：旋转特征是什么？答：____________、____________和____________称为旋转三要素．旋转是____________，不改变图形的____________，旋转会出现_______________．问题3：折叠与旋转都是______，变换前后__________、_________都相等，从而实现条件的转移．折叠和旋转都会出现_______．问题4：折叠变换是轴对称变换，总结一下轴对称思考层次有哪些？几何三大变换一、单选题(共7道，每道14分)1.已知一张矩形纸片ABCD，按如图所示方式折叠，使得顶点C落在AB边上的点E处．若AD=6，∠CDF=30°，则折痕DF的长为( )A. B.C. D.答案：C解题思路：试题难度：三颗星知识点：含30°角的直角三角形2.如图1，等边△ABD和等边△BCD的边长均为2，将△ABD沿AC方向向右平移到的位置（如图2），则图2中阴影部分的周长为( )A.2B.4C.5D.6答案：B解题思路：试题难度：三颗星知识点：平移的性质3.已知在△ABC中，AB=AC=8，∠BAC=30°，将△ABC绕点A旋转，使点B落在原△ABC的点C处，此时点C落在点D处，延长线段AD，交原△ABC的边BC的延长线于点E，那么线段DE的长为( )A. B.2C.4D.答案：D解题思路：试题难度：三颗星知识点：旋转变换4.如图，已知，将△AOB绕点O旋转150°后，得到，则旋转后点A的对应点的坐标为( )A. B.(-2，0)C. D.答案：C解题思路：试题难度：三颗星知识点：坐标与图形变化—旋转5.如图，在矩形纸片ABCD中，翻折∠B，∠D，使AD，BC边与对角线AC重叠，若顶点B，D恰好落在同一点O上，折痕分别是CE，AF，则的值为( )A. B.2C. D.答案：B解题思路：试题难度：三颗星知识点：翻折变换（折叠问题）6.（请用相似的方法做题）如图，直线与x轴、y轴分别交于A，B两点，把△AOB沿直线AB翻折后得到△，则点的坐标是( )A. B.C. D.答案：A解题思路：试题难度：三颗星知识点：翻折变换7.如图，在矩形ABCD中，AD=5，AB=7，点E在CD边上，把△ADE沿AE折叠，当点D的对应点落在∠ABC的平分线上时，DE的长为( )A. B.C. D.答案：D解题思路：试题难度：三颗星知识点：翻折变换（折叠问题）第11页共11页。
新高考数学大一轮复习专题二平面向量与三角函数第7讲三角恒等变换与解三角形
第7讲 三角恒等变换与解三角形[考情分析] 1.三角恒等变换的求值、化简是命题的热点,利用三角恒等变换作为工具,将三角函数与解三角形相结合求解最值、范围问题.2.单独考查可出现在选择题、填空题中,综合考查以解答题为主,中等难度． 考点一 三角恒等变换 核心提炼1．三角求值“三大类型”“给角求值”“给值求值”“给值求角”． 2．三角恒等变换“四大策略”(1)常值代换：常用到“1”的代换,1＝sin 2θ＋cos 2θ＝tan45°等．(2)项的拆分与角的配凑：如sin 2α＋2cos 2α＝(sin 2α＋cos 2α)＋cos 2α,α＝(α－β)＋β等．(3)降次与升次：正用二倍角公式升次,逆用二倍角公式降次． (4)弦、切互化．例1 (1)(2020·全国Ⅰ)已知α∈(0,π),且3cos2α－8cos α＝5,则sin α等于( ) A.53 B.23C.13D.59答案 A解析 由3cos2α－8cos α＝5, 得3(2cos 2α－1)－8cos α＝5, 即3cos 2α－4cos α－4＝0,解得cos α＝－23或cos α＝2(舍去)．又因为α∈(0,π),所以sin α>0, 所以sin α＝1－cos 2α＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－232＝53. (2)已知sin α＝55,sin(α－β)＝－1010,α,β均为锐角,则β等于( ) A.5π12B.π3C.π4D.π6答案 C解析 因为α,β均为锐角,所以－π2<α－β<π2.又sin(α－β)＝－1010,所以cos(α－β)＝31010. 又sin α＝55,所以cos α＝255, 所以sin β＝sin[α－(α－β)] ＝sin αcos(α－β)－cos αsin(α－β) ＝55×31010－255×⎝ ⎛⎭⎪⎫－1010＝22. 所以β＝π4.易错提醒 (1)公式的使用过程要注意正确性,要特别注意公式中的符号和函数名的变换,防止出现“张冠李戴”的情况．(2)求角问题要注意角的范围,要根据已知条件将所求角的范围尽量缩小,避免产生增解． 跟踪演练1 (1)已知α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2,β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2,tan α＝cos2β1－sin2β,则( )A ．α＋β＝π2B ．α－β＝π4C ．α＋β＝π4D ．α＋2β＝π2答案 B解析 tan α＝cos2β1－sin2β＝cos 2β－sin 2βcos 2β＋sin 2β－2sin βcos β ＝cos β＋sin βcos β－sin βcos β－sin β2＝cos β＋sin βcos β－sin β＝1＋tan β1－tan β＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋β, 因为α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2,β∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2,所以α＝π4＋β,即α－β＝π4.(2)(tan10°－3)·cos10°sin50°＝________.答案 －2 解析(tan10°－3)·cos10°sin50°＝(tan10°－tan60°)·cos10°sin50°＝⎝ ⎛⎭⎪⎫sin10°cos10°－sin60°cos60°·cos10°sin50°＝sin －50°cos10°cos60°·cos10°sin50°＝－1cos60°＝－2.考点二 正弦定理、余弦定理 核心提炼1．正弦定理：在△ABC 中,a sin A ＝b sin B ＝csin C＝2R (R 为△ABC 的外接圆半径)．变形：a ＝2R sinA ,b ＝2R sinB ,c ＝2R sinC ,sin A ＝a 2R ,sin B ＝b 2R ,sin C ＝c2R,a ∶b ∶c ＝sin A ∶sin B ∶sin C 等．2．余弦定理：在△ABC 中,a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A .变形：b 2＋c 2－a 2＝2bc cos A ,cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc.3．三角形的面积公式：S ＝12ab sin C ＝12ac sin B ＝12bc sin A .考向1 求解三角形中的角、边例2 在△ABC 中,角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,且a sin C1－cos A＝3c .(1)求角A 的大小；(2)若b ＋c ＝10,△ABC 的面积S △ABC ＝43,求a 的值．解 (1)由正弦定理及a sin C1－cos A＝3c ,得sin A sin C1－cos A＝3sin C ,∵sin C ≠0,∴sin A ＝3(1－cos A ),∴sin A ＋3cos A ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫A ＋π3＝3,∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫A ＋π3＝32,又0<A <π,∴π3<A ＋π3<4π3,∴A ＋π3＝2π3,∴A ＝π3.(2)∵S △ABC ＝12bc sin A ＝34bc ＝43,∴bc ＝16.由余弦定理,得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos π3＝(b ＋c )2－2bc －bc ＝(b ＋c )2－3bc ,又b ＋c ＝10,∴a 2＝102－3×16＝52,∴a ＝213.考向2 求解三角形中的最值与范围问题例 3 (2020·新高考测评联盟联考)在：①a ＝3c sin A －a cos C ,②(2a －b )sin A ＋(2b －a )sin B ＝2c sin C 这两个条件中任选一个,补充在下列问题中,并解答．已知△ABC 的角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,c ＝3,而且________． (1)求角C ；(2)求△ABC 周长的最大值．解 (1)选①：因为a ＝3c sin A －a cos C , 所以sin A ＝3sin C sin A －sin A cos C , 因为sin A ≠0,所以3sin C －cos C ＝1,即sin ⎝⎛⎭⎪⎫C －π6＝12,因为0<C <π,所以－π6<C －π6<5π6,所以C －π6＝π6,即C ＝π3.选②：因为(2a －b )sin A ＋(2b －a )sin B ＝2c sin C , 所以(2a －b )a ＋(2b －a )b ＝2c 2, 即a 2＋b 2－c 2＝ab ,所以cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝12,因为0<C <π,所以C ＝π3.(2)由(1)可知,C ＝π3,在△ABC 中,由余弦定理得a 2＋b 2－2ab cos C ＝3,即a 2＋b 2－ab ＝3,所以(a ＋b )2－3＝3ab ≤3a ＋b24,所以a ＋b ≤23,当且仅当a ＝b 时等号成立, 所以a ＋b ＋c ≤33,即△ABC 周长的最大值为3 3.规律方法 (1)利用余弦定理求边,一般是已知三角形的两边及其夹角．利用正弦定理求边,必须知道两角及其中一边,且该边为其中一角的对边,要注意解的多样性与合理性． (2)三角形中的最值与范围问题主要有两种解决方法：一是利用基本不等式求得最大值或最小值；二是将所求式转化为只含有三角形某一个角的三角函数形式,结合角的范围确定所求式的范围．跟踪演练2 (1)在△ABC 中,内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c .若△ABC 的面积为S ,且a ＝1,4S＝b 2＋c 2－1,则△ABC 外接圆的面积为( ) A ．4πB．2πC．πD.π2答案 D解析 由余弦定理得,b 2＋c 2－a 2＝2bc cos A ,a ＝1, 所以b 2＋c 2－1＝2bc cos A , 又S ＝12bc sin A,4S ＝b 2＋c 2－1,所以4×12bc sin A ＝2bc cos A ,即sin A ＝cos A ,所以A ＝π4,由正弦定理得,1sinπ4＝2R ,得R ＝22,所以△ABC 外接圆的面积为π2. (2)在△ABC 中,角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c ,若A ＝3B ,则a b的取值范围是( ) A ．(0,3) B ．(1,3) C ．(0,1] D ．(1,2] 答案 B 解析A ＝3B ⇒sin A sin B ＝sin3B sin B ＝sin 2B ＋Bsin B＝sin2B cos B ＋cos2B sin Bsin B＝2sin B cos 2B ＋cos2B sin B sin B ＝2cos 2B ＋cos2B ＝2cos2B ＋1,即a b ＝sin A sin B＝2cos2B ＋1,又A ＋B ∈(0,π),即4B ∈(0,π)⇒2B ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2⇒cos2B ∈(0,1),∴a b ∈(1,3)．(3)在△ABC 中,内角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c ,若tan C ＝125,a ＝b ＝13,BC 边上的中点为D ,则sin∠BAC ＝________,AD ＝________.答案31313 352解析 因为tan C ＝125,所以sin C ＝1213,cos C ＝513,又a ＝b ＝13,所以c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝13＋13－2×13×13×513＝16,所以c ＝4.由asin∠BAC ＝c sin C ,得13sin∠BAC ＝41213,解得sin∠BAC ＝31313.因为BC 边上的中点为D ,所以CD ＝a2,所以在△ACD 中,AD 2＝b 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫a 22－2×b ×a 2×cos C ＝454,所以AD ＝352.专题强化练一、单项选择题1．(2020·全国Ⅲ)在△ABC 中,cos C ＝23,AC ＝4,BC ＝3,则cos B 等于( )A.19B.13C.12D.23 答案 A解析 由余弦定理得AB 2＝AC 2＋BC 2－2AC ·BC cos C ＝42＋32－2×4×3×23＝9,所以AB ＝3,所以cos B ＝AB 2＋BC 2－AC 22AB ·BC ＝9＋9－162×3×3＝19.2．(2020·全国Ⅲ)已知sin θ＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π3＝1,则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π6等于( )A.12B.33C.23D.22 答案 B解析 因为sin θ＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π3 ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π6－π6＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π6＋π6＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π6cos π6－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π6sin π6＋ sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π6cos π6＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π6sin π6 ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π6cos π6＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π6＝1.所以sin ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π6＝33. 3．在△ABC 中,内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,且b ＝2,sin2C 1－cos2C ＝1,B ＝π6,则a 的值为( ) A.3－1 B ．23＋2 C ．23－2 D.2＋ 6答案 D解析 在△ABC 中,内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,且b ＝2,sin2C1－cos2C ＝1,所以2sin C cos C 2sin 2C ＝1,所以tan C ＝1,C ＝π4. 因为B ＝π6,所以A ＝π－B －C ＝7π12,所以sin A ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋π3＝sin π4cos π3＋cos π4sin π3＝2＋64.由正弦定理可得a2＋64＝2sinπ6,则a ＝2＋ 6.4．在△ABC 中,角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,a cos B ＋b cos A ＝2c cos C ,c ＝7,且△ABC 的面积为332,则△ABC 的周长为( )A ．1＋7B ．2＋7C ．4＋7D ．5＋7答案 D解析 在△ABC 中,a cos B ＋b cos A ＝2c cos C , 则sin A cos B ＋sin B cos A ＝2sin C cos C , 即sin(A ＋B )＝2sin C cos C ,∵sin(A ＋B )＝sin C ≠0,∴cos C ＝12,∴C ＝π3,由余弦定理可得,a 2＋b 2－c 2＝ab , 即(a ＋b )2－3ab ＝c 2＝7,又S ＝12ab sin C ＝34ab ＝332,∴ab ＝6,∴(a ＋b )2＝7＋3ab ＝25,即a ＋b ＝5, ∴△ABC 的周长为a ＋b ＋c ＝5＋7. 5．若α,β都是锐角,且cos α＝55,sin(α＋β)＝35,则cos β等于( ) A.2525B.255C.2525或255D.55或525答案 A解析 因为α,β都是锐角,且cos α＝55<12, 所以π3<α<π2,又sin(α＋β)＝35,而12<35<22,所以3π4<α＋β<5π6,所以cos(α＋β)＝－1－sin2α＋β＝－45,又sin α＝1－cos 2α＝255,所以cos β＝cos(α＋β－α)＝cos(α＋β)cos α＋sin(α＋β)·sin α＝2525.6．在△ABC 中,A ,B ,C 的对边分别是a ,b ,c .若A ＝120°,a ＝1,则2b ＋3c 的最大值为( ) A ．3B.2213C ．32D.352答案 B解析 因为A ＝120°,a ＝1,所以由正弦定理可得bsin B＝csin C ＝a sin A ＝1sin120°＝233, 所以b ＝233sin B ,c ＝233sin C ,故2b ＋3c ＝433sin B ＋23sin C＝433sin ()60°－C ＋23sin C ＝433sin C ＋2cos C ＝2213sin(C ＋φ)． 其中sin φ＝217,cos φ＝277, 所以2b ＋3c 的最大值为2213.二、多项选择题7．(2020·临沂模拟)在△ABC 中,角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,若b ＝23,c ＝3,A ＋3C ＝π,则下列结论正确的是( ) A ．cos C ＝33B ．sin B ＝23C ．a ＝3D ．S △ABC ＝ 2答案 AD解析 因为A ＋3C ＝π,A ＋B ＋C ＝π,所以B ＝2C .由正弦定理b sin B ＝c sin C ,得23sin2C ＝3sin C,即232sin C cos C ＝3sin C ,所以cos C ＝33,故A 正确；因为cos C ＝33,所以sin C ＝63,所以sin B ＝sin2C ＝2sin C cos C ＝2×63×33＝223,故B 错误；因为cos B ＝cos2C ＝2cos 2C －1＝－13,所以sin A ＝sin(B ＋C )＝sin B cos C ＋cos B sin C ＝223×33＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－13×63＝69,则cos A ＝539,所以a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝(23)2＋32－2×23×3×539＝1,所以a ＝1,故C 错误；S △ABC ＝12bc sin A ＝12×23×3×69＝2,故D 正确． 8．已知0<θ<π4,若sin2θ＝m ,cos2θ＝n 且m ≠n ,则下列选项中与tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－θ恒相等的有( ) A.n1＋m B.m 1＋n C.1－n m D.1－mn答案 AD解析 ∵sin2θ＝m ,cos2θ＝n , ∴m 2＋n 2＝1,∴1－m n ＝n 1＋m,∴tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－θ＝1－tan θ1＋tan θ＝cos θ－sin θcos θ＋sin θ＝cos θ－sin θcos θ－sin θcos θ＋sin θcos θ－sin θ＝1－sin2θcos2θ＝1－m n ＝n1＋m.三、填空题9．(2020·保定模拟)已知tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＝12,则sin2α－cos 2α1＋cos2α＝________.答案 －56解析 因为tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＝12,所以tan π4＋tan α1－tan π4tan α＝12,即1＋tan α1－tan α＝12,解得tan α＝－13,所以sin2α－cos 2α1＋cos2α＝2sin αcos α－cos 2α2cos 2α＝tan α－12＝－56. 10．在△ABC 中,a ,b ,c 分别是内角A ,B ,C 的对边,且b ＋a sin C ＝2a sin B －c sin B －sin A,则A ＝________.答案π4解析 由正弦定理a sin A ＝b sin B ＝csin C ,得b ＋ac ＝2a sin B －cb －a, 整理得b 2－a 2＝2ac sin B －c 2, 即b 2＋c 2－a 2＝2ac sin B ＝2bc sin A , 由余弦定理得,b 2＋c 2－a 2＝2bc cos A , ∴2bc cos A ＝2bc sin A ,即cos A ＝sin A , ∴tan A ＝1,∴A ＝π4.11．(2020·全国Ⅰ)如图,在三棱锥P －ABC 的平面展开图中,AC ＝1,AB ＝AD ＝3,AB ⊥AC ,AB ⊥AD ,∠CAE ＝30°,则cos∠FCB ＝________.答案 －14解析 在△ABD 中,∵AB ⊥AD ,AB ＝AD ＝3,∴BD ＝6,∴FB ＝BD ＝ 6. 在△ACE 中,∵AE ＝AD ＝3,AC ＝1,∠CAE ＝30°, ∴EC ＝32＋12－2×3×1×cos30°＝1,∴CF ＝CE ＝1.又∵BC ＝AC 2＋AB 2＝12＋32＝2,∴在△FCB 中,由余弦定理得cos∠FCB ＝CF 2＋BC 2－FB 22×CF ×BC ＝12＋22－622×1×2＝－14. 12．(2020·山东省师范大学附中月考)在△ABC 中,设角A ,B ,C 对应的边分别为a ,b ,c ,记△ABC 的面积为S ,且4a 2＝b 2＋2c 2,则Sa 2的最大值为________．答案 106解析 由题意知,4a 2＝b 2＋2c 2⇒b 2＝4a 2－2c 2＝a 2＋c 2－2ac cos B , 整理,得2ac cos B ＝－3a 2＋3c 2⇒cos B ＝3c 2－a 22ac ,因为⎝ ⎛⎭⎪⎫S a 22＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫12ac sin B a 22＝⎝ ⎛⎭⎪⎫c sin B2a 2＝c 21－cos 2B4a 2,代入cos B ＝3c 2－a 22ac ,整理得⎝ ⎛⎭⎪⎫S a 22＝－116⎝ ⎛⎭⎪⎫9×c 4a 4－22×c2a 2＋9,令t ＝c 2a 2,则⎝ ⎛⎭⎪⎫Sa 22＝－116(9t 2－22t ＋9)＝－116⎝ ⎛⎭⎪⎫3t －1132＋1036,所以⎝ ⎛⎭⎪⎫S a 22≤1036,所以Sa 2≤106,故S a 2的最大值为106.四、解答题13．(2020·全国Ⅱ)△ABC 中,sin 2A －sin 2B －sin 2C ＝sin B sin C .(1)求A ；(2)若BC ＝3,求△ABC 周长的最大值．解 (1)由正弦定理和已知条件得BC 2－AC 2－AB 2＝AC ·AB .①由余弦定理得BC 2＝AC 2＋AB 2－2AC ·AB cos A ．②由①②得cos A ＝－12.因为0<A <π,所以A ＝2π3.(2)由正弦定理及(1)得AC sin B ＝AB sin C ＝BCsin A ＝23,从而AC ＝23sin B ,AB ＝23sin(π－A －B )＝3cos B －3sin B .故BC ＋AC ＋AB ＝3＋3sin B ＋3cos B＝3＋23sin ⎝⎛⎭⎪⎫B ＋π3. 又0<B <π3, 所以当B ＝π6时,△ABC 周长取得最大值3＋2 3. 14．(2020·重庆模拟)在△ABC 中,a ,b ,c 分别为内角A ,B ,C 的对边,2b 2＝(b 2＋c 2－a 2)(1－tan A )．(1)求角C ；(2)若c ＝210,D 为BC 的中点,在下列两个条件中任选一个,求AD 的长度．条件①：△ABC 的面积S ＝4且B >A ；条件②：cos B ＝255. 解 (1)在△ABC 中,由余弦定理知, b 2＋c 2－a 2＝2bc cos A ,所以2b 2＝2bc cos A (1－tan A ),所以b ＝c (cos A －sin A ),又由正弦定理知,b c ＝sin B sin C, 得sin B ＝sin C (cos A －sin A ),所以sin(A ＋C )＝sin C (cos A －sin A ),即sin A cos C ＋cos A sin C ＝sin C cos A －sin C sin A ,所以sin A cos C ＝－sin C sin A ,因为sin A ≠0,所以cos C ＝－sin C ,所以tan C ＝－1,又因为0<C <π,所以C ＝3π4. (2)选择条件②,cos B ＝255, 因为cos B ＝255,且0<B <π,所以sin B ＝55, 因为sin A ＝sin(B ＋C )＝sin B cos C ＋sin C cos B＝55×⎝ ⎛⎭⎪⎫－22＋22×255＝1010,由正弦定理知c sin C ＝asin A ,所以a ＝c sin A sin C ＝210×101022＝22,在△ABD 中,由余弦定理知 AD 2＝AB 2＋BD 2－2AB ·BD ·cos B＝(210)2＋(2)2－2×210×2×255＝26,所以AD ＝26.。
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1.如图（1），将正方形纸片ABCD 折叠，使点B 落在CD 边上一点E （不
与点C ，D 重合），压平后得到折痕MN ．当12CE CD =时，求AM BN
的值．
类比归纳：在图（1）中，若
13CE CD =，则AM BN 的值等于；若14
CE CD =，则AM BN 的值等于；若1CE CD n =（n 为整数），则AM BN
的值等于．（用含n 的式子表示）联系拓展：如图（2），将矩形纸片ABCD 折叠，使点B 落在CD 边上一点E （不与点C D ，重合），压平后得到折痕MN ，设()111AB CE m BC m CD n =>=，，则AM BN
的值等于__．（用含m n ，的式子表示）
2. 2.如图①，在矩形ABCD中，将矩形折叠，使B落在边AD（含端点）上，
落点记为E，这时折痕与边BC或边CD（含端点）交于点F，然后再展开
铺平，则以B、E、F为顶点的△BEF称为矩形ABCD的“折痕三角形”.
图一图二图三（1）由“折痕三角形”的定义可知，矩形ABCD的任意一个“折痕△BEF”
是一个_________三角形；
（2）如图②，在矩形ABCD中，AB=2，BC=4．当它的“折痕△BEF”的顶
点E位于边AD的中点时，画出这个“折痕△BEF”，并求出点F的坐标；
（3）如图③，在矩形ABCD中，AB=2，BC=4，该矩形是否存在面积最
大的“折痕△BEF”？若存在，说明理由，并求出此时点E的坐标；若不存
在，为什么？
3.课题：两个重叠的正多边形，其中的一个绕某一个顶点旋转所形成的
有关问题．
实验与论证
设旋转角∠A1A0B1＝α（α＜∠A1A0A2），θ1，θ2，θ3，θ4，θ5，θ6所表示的角如图所示．
（1）用含α的式子表示：θ3＝_________，θ4＝_________，θ5＝_________；
（2）图1－图4中，连接A0H时，在不添加其他辅助线的情况下，是否存在与直线A0H垂直且被它平分的线段？若存在，请选择其中的一个图给出证明；若不存在，请说明理由；归纳与猜想
设正n边形A0A1A2…A n-1与正n边形A0B1B2…B n-1重合（其中，A1与B1重合），现将正n边形A0B1B2…B n-1绕顶点A0逆时针旋转α
（
n
180
0<
< ）．
（3）设θn与上述“θ3，θ4，…”的意义一样，请直接写出θn的度数；（4）试猜想在n边形且不添加其他辅助线的情形下，是否存在与直线A0H垂直且被它平分的线段？若存在，请将这条线段用相应的顶点字母表示出来（不要求证明）；若不存在，请说明理由．
4.已知正方形ABCD中，E为对角线BD上一点，过E点作EF⊥BD交
BC于F，连接DF，G为DF中点，连接EG，CG．
（1）求证：EG=CG；
（2）将图①中△BEF绕B点逆时针旋转45º，如图②所示，取DF中
点G，连接EG，CG．问（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由；
（3）将图①中△BEF绕B点旋转任意角度，如图③所示，再连接相应
的线段，问（1）中的结论是否仍然成立？通过观察你还能得出什么结论？（均不要求证明）
5.刘卫同学在一次课外活动中，用硬纸片做了两个直角三角形，见图①、
②．图①中，90°
，B ∠=306cm °，；A BC ∠==图②中，90D ∠=°，45E ∠=°，
4cm DE =.图③是刘卫同学所做的一个实验：他将DEF △的直角边DE 与△ABC 的斜边AC 重合在一起，并将DEF △沿AC 方向移动．在移动过程中，D 、E 两点始终在AC 边上（移动开始时点D 与点A 重合）．
（1）在DEF △沿AC 方向移动的过程中，刘卫同学发现：F C 、两点间的距离逐渐_________．（填“不变”、“变大”或“变小”）
（2）刘卫同学经过进一步地研究，编制了如下问题：
问题①：当DEF △移动至什么位置，即AD 的长为多少时，F C 、的连线与AB 平行？
问题②：当DEF △移动至什么位置，即AD 的长为多少时，以线段AD FC BC 、、的长度为三边长的三角形是直角三角形？
问题③：在DEF △的移动过程中，是否存在某个位置，使得
15FCD ∠=°？
如果存在，求出AD 的长度；如果不存在，请说明理由．请你分别完成上述三个问题的解答过程．
1.如图1，若△ABC和△ADE为等边三角形，M，N分别EB，CD的中点，
易证：CD=BE，△AMN是等边三角形．
（1）当把△ADE绕A点旋转到图2的位置时，CD=BE是否仍然成立？
若成立请证明，若不成立请说明理由；
（2）当△ADE绕A点旋转到图3的位置时，△AMN是否还是等边三角形？若是，请给出证明，并求出当AB=2AD时，△ADE与△ABC及△AMN的面积之比；若不是，请说明理由．
图1图2图3。