中职数学----第6章数列教案

宿迁外事学校

中专数学（第二册）第6章教案

§6.1 数列

复习引入：

新授：

1. 数列的定义

我们把按一定次序排成的一列数叫做数列．数列中的每一个数都叫做这个数列的项．

数列的一般形式可以写成

a1, a2, a3, …,a n,….

简记作{a n}．其中a1叫做数列的第1项(或首项)，a2叫做数列的第2项, …，a n叫做数列的第n 项(n是正整数)．

项数有限的数列叫做有穷数列，项数无限的数列叫做无穷数列．

2. 数列的表示形式

数列除了表示成上述形式以外，根据实际情况需要，只要不改变有序这个特，也能以其他形式表示．例如体温记录数列(1)，表示成下面的表可能更合适：

当一个有穷数列，随着项号变化，其对应的项的变化没有规律，且数据又要求比较准确时，通常会以列表方式表示．列表表示的一般形式是

在医疗单位，表示病员体温记录的数列(1)，更常用的是如下图象表示形式，：

图1-3

图象表示形式以直观、变化趋势明显为特色．当数列项数不太多而又需要明显地表明其变化趋势时(例如产值变化、利润变化、人口增长率变化等等)，把数列用图象形式表示出来，无疑是上策．

3. 数列的通项

对于习惯于以式作为研究对象的你来讲，最乐意见到的，是数列{a n}的第n项a n与n(n是正整数)之间的关系可以用一个公式a n=f(n),n=1,2,3, …来表示.公式就叫做这个数列的通项公式．

数列的通项公式表示了数列中的任何一项，为了求得第n 项，只要把n 代入到公式中就行了，而且从通项公式还可以进一步探讨数列的性质。

例1 根据数列{a n }, {b n }的通项公式，写出它的前5项：

(1)a n =1+n n ； (2)b n =n n

2

1)(-．

例2 写出一个数列的通项公式，使它的前4项分别是下列各数： (1)11, 21, 31, 41, …； (2)2, -4, 6, -8, …．

课内练习2

1. 怎样表示下面的数列比较合适？ (1)全年按月顺序排列的月降水量；

(2)打靶10次，按打靶顺序排列的中靶环数； (3)按由小到大顺序排列的自然数负倒数数列； (4)一年中12个月的营业额． 2. 已知数列的通项，求其前4项：

(1)a n =10n ；(2)b n =n n 1

1+-)(；(3)c n =31n

；(4)d n =n (n +2)．

3. 已知数列的前4项，试求出其通项公式：

(1)2, -4, 6, -8, 10, …； (2)1, -1, 1, -1, …；

(3)21, 21, 21, 21,…； (4)21, 45, 89, 16

13

,…．

4. 已知数列{a n }的通项公式a n =1

2+n n ，8.1是这个数列中的项吗？如果是，

是第几项？

小结 作业

§6.2 等差数列

复习引入：

新授： 1.

等差数列的概念

一般地，如果一个数列从第二项起，每一项减去它的前一项所得的差都等于同一个常数，那么这个数列叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差．公差通常用字母d 来表示．用符

号语言来叙述，则是：如果数列{a n }满足a n ＋1-a n =d , (n 1，且n ∈N +

,d 是常数)，那么数列{a n }叫做等差数列，常数d 叫做等差数列的公差．

例1 下面的数列中，哪些是等差数列？为什么？如果是等差数列，求出公差d ：

(1)-0.70，-0.71，-0.72，-0.74，-0.76，…；(2)-9，-9，-9，-9，-9，…； (3)-1，0，1，0，-1，0， 1，…； (4)1，4，7，10，13，….

例2 下列数列都是等差数列，试求出其中的未知项： (1)3，a ，5； (2)3，b ，c ，-9．

课内练习1

1. 下面的数列中，哪些是等差数列？为什么？如果是等差数列，求出公差d ： (1)-1,-1,-1,-1,…； (2)1.1,1.11,1.111,1.1111,…；

(3)-3

21,-1,121,4,62

1

,…； (4)1, 0, 1, 0,1,…； (5)1,

21, 31, 4

1

, …. 2. 已知下列数列是等差数列，试在括号内填上适当的数： (1)( ), 5, 10； (2)31, ( ), ( ), 1． 3. 已知一个无穷等差数列{a n }的首项为a 1，公差为d ．

(1)将数列中的前m 项去掉，余下的项按原来顺序组成一个新的数列，这个新数列是等差数列吗？如果是，它的首项与公差分别是多少？

(2)取出数列中的所有奇数项，按原来顺序组成一个新的数列，这个数列是等差数列吗？如果是，它的首项和公差分别是多少？

(3)取出数列中所有项数为7的倍数的各项，按原来顺序组成一个新的数列，这个数列是等差数列吗？如果是，它的首项与公差各是多少？

2. 等差数列的通项公式

设{a n }是等差数列，首项是a 1，公差是d ．根据等差数列的定义，从第2项起，，每一项减去它的前一项所得的差都等于同一个常数，于是有

a 2-a 1=d ，a 2=a 1+d ；a 3=a 2+d =(a 1+d )+d =a 1+2d ；a 4=a 3+d =(a 1+2d )+d =a 1+3d ；… 依次类推，得到

a n =a 1+(n -1)d , n =1,2,3, …．

例3(1)求等差数列8, 5, 2,…的第20项；

(2)在等差数列{a n }中，已知a 5=10, a 12=31，求首项a 1与公差d ．

例4 第一届现代奥运会于1896年在希腊雅典举行，此后每4年举行一次.奥运会如因故不能

举行，届数照算．

(1)试写出由举行奥运会的年份构成的数列的通项公式； (2)2008年北京奥运会是第几届？

(3)2050年举行奥运会吗？

例5 某滑轮组由直径成等差数列的6个滑轮组成．已知最小和最大的滑轮的直径分别为15cm

和25cm ，求中间四个滑轮的直径．

3. 等差中项

如果a ,A ,b 这三个数成等差数列，即A -a =b -A ，则A 必定是a ,b 的算术平均值

A =

2

b

a +. 从数列的角度来看，A 是成等差三个数的中间一项，故把A 叫做a 与

b 的等差中项．反之，

若A 由A =2b

a +确定，则 A -a =

b -A =2

a b -，即a ,A ,b 成等差数列．

在一个等差数列{a n }中，相邻三项总是等差的，因此从第2项起，每一项(有穷等差数列的末项除外)都是它的前一项与后一项的等差中项，即

a n =2

1

1+-+n n a a ,(n ≥2)．

例6 已知两个数a =205, b =315，求它们的的等差中项．

课内练习2

1. 求等差数列3, 7, 11,…的第4项与第10项．

2. 等差数列的通项公式为 a n =-2n +7，试求其首项和公差．

3. 在等差数列{a n }中，已知a 3=10, a 9=28，求a 12．

4. 梯子的最高一级宽33cm ，最低一级宽110cm ，中间还有10级，各级的宽度成等差数列．计算中间各级的宽度.

5. -401是不是等差数列-5, -9, -13, … 的项？如果是，是第几项？如果不是，说明理由．

4. 等差数列的前n 项和

现设{a n }为一等差数列，欲求其前n 项的和S n =a 1+a 2+…+a n ．以 a 2=a 1+d , a 3=a 1+2d , …, a n =a 1+(n -1)d