第六章非线性模型

ln Q ln A ln L ln K
令 Q* ln Q, A* ln A, L* ln L, K * ln K
Q* A* L* K *
1
（二）多项式
y 0 1 x 2 x 2
6.3
y 0 1 x 2 x 2 3 x3
6.4
多项式的种类有很多个，6.3和6.4分别为最常见的二次多项式和三次多项式。二 次多项式有着广泛的应用，如最为著名的库兹涅茨收入不平等倒U型假说，如果一次项 系数为正，二次项系数为负，函数图形正好为倒U型的抛物线，如可以用二次多项式模 型检验收入不平等假说，甚至环境污染与经济发展中是否存在倒U型假说。 二次项的另外一个含义，即可能存在一个最优区间，如农作物产量与施肥量之间 可能呈现出这种关系。当然，如果二次项系数为正，一次项系数为负，则函数呈现U型， 如离婚率与经济水平、生育率与经济水平等现象间很可能呈现出这种关系。 总成本与产量、短期总产量与劳动投入等现象间常常表现出三次多项式的特征。 如果研究此类现象可以采用三次项拟合。
6.10

dy y dx
对6.10微分并整理可得， 单位，被解释变量平均增加
。
100 %
，其含义是，当解释变量增加一个 。
3.对数函数
y ln x
6.11
从本质上看，幂函数、指数函数都是一种对数函数，而6.11给出了另外 一种对数函数，对数-线性函数，是半对数模型的另外表现形式。 该模型的特点在于，解释变量变化范围很大，而被解释变量的变化范围 较小，如城镇化率、工业化程度、学习成绩等等。研究此类现象的影响因素 时可以考虑用对数-线性模型。 对6.11微分并整理可得， d x 被解释变量平均增加 个单位。
（三）幂函数、指数函数、对数函数
1.幂函数
Q AL K e
6.5
6.5是一个典型的以C-D函数为基础构建的反映投入与产出关系的经济计量模型。 该模型具于较强的普适性，所以应用极为广泛。
2 2Q 一是较为合理的反映了投入产出关系。 Q , Q 0; Q , 0 2 2
6.9
随着解释变量的增加，有些变量增长非常快，常常表现为指数形式。在 实际研究中，有些变量增长范围有限，如受教育程度、工龄等等，而被解释 变量则有更大的增长空间，如收入。所以这类现象用指数函数建立模型可能 较好。如果将模型两端取自然对数，便得到线性-对数模型，又称为半对数模 型：
ln y ln x
A L K Q
6.7
那么技术进步贡献率v就可以表示为： A L K v 1 6.8 Q Q Q 可见，只要对上述生产函数进行估计，得到两个参数，便可很方便地计 算出相应时期内的技术进步贡献率。
2.指数函数
y e x
y * 1 y , x * 1 x ，带入原模型可变为6.14：
6.14
y * x *
6.14成为一个线性模型，可用OLS直接估计
（二）间接代换法
在非线性模型中，如果参数和被解释变量之间是非线性的，如幂函数、 指数函数、成长曲线等等，可以通过取对数进行变换。
如对于6.5式，两端取对数后变为
L
L
L
L
，说明
边际产量为正，但又反映了规模报酬递减规律； 二是反映了弹性。对6.5两边取自然对数便得到双对数模型，对模型求偏微分可 得，
Q Q Q Q , L L K K
，由此可知分别为劳动和资本的产出弹性，即劳动、
资本分别增加1%，产出分别增加 %, % 。
三是可以用来测得技术进步。在取对数后，对时间t求全导，可以得到
dQ Q dA A dL L dK K dt dt dt dt
6.6
6.6式中，第一项为产出增长率，右端第2、3项分别为劳动增长率、资 本增长率，由此可以看出，投入增加不能完全解释产出的增长，所以右端第 一项称为索洛余值，常常用来衡量技术进步。将产出增长、技术进步、劳动 , A , L , K ，6.6可以简洁地表示为： 增长、资本增长分别记为 Q
dy x
，其含义是，当解释变量增加1%，
（四）成长曲线模型
成长曲线又称为增长曲线，常用于研究生物有机体的生长发育过程，现 被移植用于研究经济活动过程。主要包括逻辑成长曲线和龚伯兹成长曲线。
1.逻辑（Logistic）成长曲线模型
yt
K 1 0 e 1t
6.12
逻辑成长曲线形如S，又被称为S曲线。其特点为：一是 的最小值为0， 最大值为K： t , y 0 ；t , y K ；二是有一个拐点，在拐点之 y 的增长速度不断减小。在经济 前 y 的增长速度不断加快，在拐点之后， 生活中，一些新产品、新技术推广乃至某些产业的发展往往具有逻辑成长曲 线的特点，所以在这些领域内有着较多的应用。
y
2.龚伯兹（Gompertz）成长曲线模型
该模型最初用作控制人口增长，现在常常用作研究新技术、新产品的发 展过程。
yt Ke
be at
6.13
龚伯兹曲线与逻辑成长曲线非常类似，只是拐点位置不同，也有较多的 应用。
二、非线性模型的线性化
（一）直接代换法 在非线性模型中，如果参数和被解释变量之间是线性的，如双曲线、多 项式模型，可以用直接代换法。 如对于6.2式，令
第六章 非线性模型
第一节 知识准备
一、非线性模型的种类及运用
现实中，变量之间的关系不一定是线性的，常常表现为复杂的非线性关系。 常见的有以下几种： （一）双曲线
y

x

或Байду номын сангаас
1 x y
1 y x
在经济生活中，有些变量或倒数与其他变量或其倒数之间存在一定的关 系，如工资变化与失业率、平均固定成本与产量等等。此类模型有一个显著 的特点，随着解释变量x的无限增大，解释变量都有一个渐进的上限或下限 （ 或 ）。