正态分布练习题

参考数据：若ξ～N （μ，σ2），P （μ-σ＜ξ≤μ+σ）=0.6826，P （μ-2σ＜ξ≤μ+2σ）=0.9544，

P （μ-3σ＜ξ≤μ+3σ）=0.9974．）

1.某省2015年全省高中男生身高统计调查数据显示：全省100000名男生的身高服从正态分布N （170.5，16）．现从某校高三年级男生中随机抽取50名测量身高，测量发现被测学生身高全部介于157.5cm 和187.5cm 之间，将测量结果按如下方式分成6组：第一组[157.5，16

2.5），第二组[162.5，167.5），…，第6组[182.5，187.5），图是按上述分组方法得到的频率分布直方图．

（1）试评估我校高三年级男生在全省高中男生中的平均身高状况； （2）求这50名男生身高在177.5cm 以上（177.5cm ）的人数；

（3）在这50名男生身高在177.5cm 以上（含177.5cm ）的人中任意抽取2人，该2人中身高排名（以高到低）在全省前130名的人数记为ξ，求ξ的数学期望．

2．从某市统考的学生数学考试卷中随机抽查100份数学试卷作为样本，分别统计出这些试卷总分，由总分得到如下的频率分布直方图．

（1）求这100

份数学试卷的样本平均分和样本方差s 2（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）

（2）由直方图可以认为，这批学生的数学总分Z

服从正态分布N （μ，σ2），其中μ

近似为样本平均数，σ2近似为样本方差s 2． ①利用该正态分布，求P （81＜z ＜119）；

②记X 表示2400名学生的数学总分位于区间（81，119）的人数，利用①的结果，求EX

（用样本的分布区估计总体的分布）．附：

≈19

，≈18，

3.在某学校的一次选

拔性考试中，随机抽取了100名考生的成绩（单位：分），并

把所得数据列成了如下表所示的频数分布表：

()1求抽取的样本平均数x 和样本方差2s （同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；

()2已知这次考试共有2000名考生参加，

如果近似地认为这次成绩z 服从正态分布()2,μσN （其中μ近似为样本平均数x ，2

σ近似为样本方差2

s ），且规定82.7分是复试线，那么在这2000名

考生中，能进入复试的有多少人？（附：

16112.7

≈，若

()

2,z

μσN ，则

()

0.6826z

μ

σμσP -<

<+=，()220.9544z μσμσP -<<+=）

()3已知样本中成绩在[]90,100中的6名考生中，有

4名男生，2名女生，现从中选3人进行回访，记选出的男生人数为ξ，求ξ的分布列与期望()ξE ．

4.从某企业生产的某种产品中抽取500件，测量这

些产品的一项质量指标值，由测量结果得如下图频率分布直方图：

（I ）求这500件产品质量指标值的样本平均值和样本方差（同一组的数据用该组区间的中点值作代表）；

（II ）由直方图可以认为，这种产品的质量指标服从正态分布

，其中

近似为样

本平均数，

近似为样本方差

.

（i ）利用该正态分布，求

；

（ii ）某用户从该企业购买了100件这种产品，记

表示这100件产品中质量指标值位于区间的产品件数.利用（i

）的结果，求

.附：

5.在一次全国高中生五省大联考中，有90万名学生参加，考后对所有学生成绩统计发现，应用

成绩服从正态分布()2

,N

μδ，右表用茎叶图列举了20名学

生的英语成绩，巧合的是这20个数据的平均数和方差恰好比所有90万个数据的平均数和方差都多0.9，且这20个数据的方差为49.9.

（1）求,;μδ （2）给出正态分布的数据：

（ⅰ）若从这90万名学生中随机抽取1名，求该生英语成绩在()82.1,103.1内的概率； （ⅱ）如从这90万名学生中随机抽取1万名，记X 为这1万名学生中英语成绩在()82.1,103.1内的人数，求X 的数学期望.

18.从某企业的某种产品中抽取500件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量结果得如下频率

分布直方图：

（I ）求这500件产品质量指标值的样本平均数x 和样本方差2

s （同一组数据用该区间的中点值作代表）；

（Ⅱ）由频率分布直方图可以认为，这种产品的质量指标值Z 服从正态分布2

(,)N μδ，其中μ近似为样本平均数x ，2

δ近似为样本方差2s . （i ）利用该正态分布，求(187.8212.2)P Z <<； （ii ）某用户从该企业购买了100件这种产品，学科网记X 表示这100件产品中质量指标值为于区间（187.8,212.2）的产品件数，利用（i ）的结果，求EX .附：150≈12.2.

6.在某大学举行的自主招生考试中，随机抽取了100名考生的成绩（单位：分），并把所得数据列成了如下所示的频数分布表： 组别 [40，50) [50，60) [60，70) [70，80) [80，90) [90，100) 频数

5

18

28

26

17

6

（Ⅰ）求抽取样本的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值代表）； （Ⅱ）已知这次考试共有2000名考生参加，如果近似地认为这次成绩Z 服从正态分布

N （μ，σ2

）（其中μ近似为样本平均数，σ2

近似为样本方差s 2

=161），且规定82.7分是复试线，那么在这2000名考生中，能进入复试的有多少人？（附：

≈12.7，

（3）已知样本中成绩在[90，100]中的6名考生中，有4名男生，2名女生，现从中选3人进行回访，记选出的男生人数为ξ，求ξ的分布列与期望E （ξ）

7.从某工厂生产的某产品中抽取500件，测量这些产品的一项质量指标，由测量结果得到下列频

数分布表：

（1）作出这些数据的频率分布直方图，并估计该产品质量指标值的平均数x

及方差s 2（同一组中的数据用该组的中点值作代表）；

（2）可以认为这种产品的质量指标值Z 服从正态分布N （μ，σ2），其中μ近似为样本平均数 x ，σ2．近似为样本方差s 2； 一件产品的质量指标不小于110时该产品为优质品；利用该正态分布，计算这种产品的优质品率p （结果保留小数点后4位）．

8.从某企业生产的某种产品中抽取100件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量表得到如下频数分布表．

质量指标值分组

[75，85） [85，95） [95，105）

[105，115）

[115，125]

频数

6

26

x

22

8

指标值分组

[75，85）

[85，95） [95，105）

[105，115）

[115，125]

频数

30

120

210

100

40

（1）作出这些数据的频率分布直方图（用阴影表示）；

（2）统计方法中，同一组数据常用该组区间的中点值作为代表，据此估计这种产品质量指标值的平均数x 及方差s2；

（3）当质量指标值位于（79.6，120.4）时，认为该产品为合格品．由直方图可以认为，这种产

品的质量指标值Z 服从正态分布N （μ，σ2），

其中μ近似为样本平均数 x .σ2近似为样本方差s2（每组数取中间值）．

①利用该正态分布，求从该厂生产的产品中任取一件，该产品为合格品的概率； ②该企业每年生产这种产品10万件，生产一件合格品利润10元，生产一件不合格品亏损20元，则该企业的年利润是多少？