第六章 拉普拉斯变换及连续系统的s域分析

当 s j 确定时，指数函数 e st 也就确定了， 所以复平面上的点与指数函数相对应。 S的实部 反映指数函数 est e t e jt 的幅度变化速率， 虚部 反映指数函数中因子 作周期变化的频率。 e jt
j —纵轴
2、 拉普拉斯变换的收敛域(The region of
§6.2 拉普拉斯变换
• • • • • • 拉普拉斯变换的定义 物理意义 拉普拉斯变换的收敛域 拉普拉斯变换的零、极点表示 拉普拉斯变换与傅里叶变换的关系 常用信号的拉普拉斯变换
• 信号f(t)不满足绝对可积条件，往往是当 t时，信号发散或收敛太慢，为使信号 e t 去 收敛，用一叫做收敛因子的指数函数 f (t )e t 在 乘f(t)，当适当取值时，总可以使 t时收敛，以满足绝对可积条件。 如： t
三、s 域平移 若
{ f (t )} F ( s )
ROC R
ROC R 0
则
{ f (t )e s0t } F ( s s 0 )
傅立叶变换频移特性： f (t ) F ( j )
f (t )e j0t F[ j( 0 )]
四、尺度变换 若
{ f (t )} F ( s)
f (t )
f (t )e
1
0
t
t0 t 0
0
t
t0 t0
u(t ) f (t ) t e
f (t )e
t
u (t )e t (β α)t e
• 对函数
f (t )e t
进行傅立叶变换：
t

F{ f (t )e } f (t )e t e jt dt
九、初值定理
设函数f(t)及其导数f(t)存在，并有拉普拉斯变换， 则f(t)的初值为：
f (0 ) lim f (t ) lim sF ( s )
t 0 s
十、终值定理 设函数f(t)及其导数f(t)存在，并有拉普拉斯变换，并 且F(s)的极点均在 s 平面的左半平面（包括原点处的单阶极 点），则f(t)的终值为：
其中a1，a2为常量。 二、时移特性 若 则
{ f (t )} F ( s )
ROC R
{ f (t t0 )u(t t0 )} F (s)e st0
f (t ) F ( j )
ROC R
傅立叶变换时移特性：
f (t t0 ) e jt0 F ( j)
0

f (τ ) dτ s
七、s域微分特性 若 f (t ) F (s)
则
dF ( s ) tf (t ) ds
d n F (s) (t ) n f (t ) n ds
八、s域积分特性
ROC R
若
则
f (t ) F (s)
ROC R


s
F ( ) d
f (t ) t
f () lim f (t ) lim sF(s)
t s 0
十一、卷积定理 若 则
{ f 1 (t )} F1 ( s) { f 2 (t )} F2 ( s)
{ f1 (t ) f 2 (t )} F1 (s) F2 ( s)
{ f 1 (t ) f 2 (t )} 1 F1 ( s ) F2 ( s ) 2π j
f1 (t ) f 2 (t ) 1 F1 ( j ) F2 ( j ) 2
§6.4 拉普拉斯反变换 (Inverse Laplace transform)
• 部分分式展开法 (Partial Fraction Expansion) • 围线积分法（留数法） (Residue method)
第六章 拉普拉斯变换及连续系统的s域分析
(Laplace transform)
• • • • 拉普拉斯变换的定义及其收敛域 常用函数的拉普拉斯变换 拉普拉斯反变换 拉普拉斯变换的基本性质
§6.1 引言
• 拉普拉斯变换是研究连续，线性，非时变系统的强 有力工具。 • 拉普拉斯变换分析法可以看作是傅立叶变换（频域） 分析法的推广，因此也称拉普拉斯变换为广义傅立 叶变换。 • 拉普拉斯变换分析法的优点：




F ( j )e d
①
f (t )
2 j j
j j
1
j
F ( s)e st ds
1 F ( j ) d j ( ) jt e e 2
②

②
1 F (s) ds j st e e 2j
每一对正负 分量，组成一个 等幅的正弦振荡：
六、时域积分
傅立叶积分特性
若
则
{
{ f (t )} F ( s )
{

t
f (τ )dτ }
0
F ( s) s
若 则
t
f (t ) F ( )
f ( )d F ( ) F (0) ( ) j

t

F (s) f (τ ) dτ } s

e at sin t
1 ( a j )t ( a j )t [e e ] 2j
at
e sin(t )u (t ) ( s a)2 2
at
e
sa cos(t )u (t ) ( s a)2 2
⑥冲激函数 (t )
(t ) 1
1 sa
t nu(t ) ③
④正弦函数 sin t
sin(t )u (t )
n! t u (t ) n 1 s
sin t 1 (e jt e jt ) 2j
s2 2
s cos(t )u (t ) 2 s 2
⑤衰减正弦函数
eat sin(t )u(t )
(t t0 ) e st
0
(t ) s
§6.3 拉普拉斯变换的基本性质
一、线性 若 { f 1 (t )} F1 ( s) 则
{ f 2 (t )} F2 ( s)
{a1 f 1 (t ) a 2 f 2 (t )} a1 F1 ( s) a 2 F2 ( s) ROC R1 R2
1 j F ( s) e st ds 2πj j
• 双边拉普拉斯变换：
F (s) { f (t )}
f (t )
1



f (t ) e st dt
正变换 反变换
1 {F ( s )} 2π j

σ j
σ j
F ( s ) e st d s
F ( ) d

cos(t ( ))

F ( s) ds

e t cos(t ( ))
几个概念
• S 为复频率，F ( S ) 是信号 f (t ) 的复频谱 • F ( S ) 称为 f (t ) 的像函数，而 f (t ) 称为 F ( S )的原函数。
• 复平面 —横轴；
d n f (t ) { } s n F ( s) s n 1 f (0 ) s n 2 f (0 ) dt n f ( n 1) (0 )
f 当f (t ) 为有始函数时， (0 ), f (0 ),, f
df (t ) { } sF ( s ) dt
1、简化求解步骤，可以给出微分方程的特解和奇次解，而且 初始条件自动地包含在变换式里； 2、可将微积分运算转换成乘除法运算； 3、某些不满足狄里赫利条件的函数，可以进行拉氏变换； 4、可将时域中的卷积运算转换为复频域中的乘积运算。 5、利用系统函数零点、极点分布可以简明、直观地表达系统 性能的许多规律
单边拉普拉斯变换：
F (s) { f (t )}
1

0
f (t ) e
st
dt
正变换
1 f (t ) {F ( s )} 2πj

σ j
σ j
F ( s ) e st ds u (t )
反变换
物理意义
傅立叶变换
①
拉氏变换
jt
1 f (t ) 2
( 来自百度文库1)
(0 ) 均为零。
d n f (t ) { } s n F ( s) dt n
傅立叶变换时域微分特性
若 则
t , f (t ) 0, 且f (t ) F ( j)
df (t ) j F ( j ) dt
d n f (t ) ( j )n F ( j ) n dt
convergence for Laplace transform)
• 拉氏变换的收敛域：
使 f (t )e t 满足绝对可积条件的 值的范围
• 单边拉氏变换的收敛域
若 f (t ) 为因果函数，若满足条件
lim f (t )e t 0
t
0
则收敛条件为 0
• 双边拉氏变换的收敛域
双边拉氏变换可以看成是两个单边拉氏变 换的迭加。
f1 (t ) f (t ) f 2 (t )
st 0

t0
t0
st
F ( s)


f (t )e dt f 2 (t )e dt
st 0 0
0
f1 (t )e st dt
f 2 (t )e dt f1 (t )e st dt

F (s)

f (t ) e( j )t dt



f (t ) e st dt
对函数 F (s)进行傅立叶反变换:
f (t )e
t
1 2




F (s) e jt d
1 f (t ) 2π


F ( s ) e σt e jωt dω
傅立叶变换的卷积定理：
• 时域卷积定理 若 f (t ) F ( j), f (t ) F ( j) 1 1 2 2 则
f1 (t ) f 2 (t ) F ( j) F2 ( j) 1
频域卷积定理
f1 (t ) F ( j), f 2 (t ) F2 ( j) 1

3、拉普拉斯变换的零极点表示
B( s) F (s) A( s )
j

2j
(2) 0 1
(3) 4
2


2j
4、拉普拉斯变换与傅里叶变换的关系
6、 常用函数的拉普拉斯变换
①阶跃函数
u(t )
u (t ) 1 s
②指数函数 eat u(t )
e at u (t )
n
ROC R ROC R a
1 s F( ) 则 { f (at )} a a
傅立叶变换频移特性：
f (t ) F ( j )
f (at )
1 F( j ) a a
五、时域微分 若
{ f (t )} F ( s )
df (t ) 则 { } sF ( s ) f (0 ) dt
每一对正负 分量，构成一个 变幅度的正弦振荡：
1 F ( ) d j ( ( )t ) 1 F ( ) d j ( ( )t ) 1 F (s) ds ( j )t j ( ) 1 F (s) ds ( j )t j ( ) e e e e e e 2 2 2j 2j
一.部分分式展开法
• 设 F (s) 为有理函数，
B(s) bm s m bm1s m1 b1s b0 F ( s) n n 1 A(s) s an1s a1s a0
逆变换的条件是 m n ，即仅适用真分式 。 当 m n ，应分解为多项式与真分式之和。
①两边乘以
( s si ) ，再令 s
si
K i ( s si )
B( s) A( s )
s si
②罗比塔法则
( s si )
1. A(s) 0 的根为实根且无重根
B( s ) B( s ) F ( s) A( s) ( s s1 )( s s2 ) (s sn )
Kk Kn K1 K2 s s1 s s2 s sk s sn


i 1
n
Ki s si