[高考真题]2009年高考试题解析版

2009年全国卷Ⅱ理科数学试题解析

一选择题： 1. 解：原式10i(2+i)

24(2-i)(2+i)

i ==-+.故选A.

2. 解：{}{}1|

0|(1)(4)0|144x B x x x x x x x -⎧⎫

=<=--<=<<⎨⎬-⎩

⎭

.(3,4)A B ∴=I .选B. 3.

解：已知ABC ∆中,12cot 5A =-

,(,)2

A π

π∴∈

. 12

cos 13

A ===-

故选D. 4. 解：11122

2121

||[]|1(21)(21)

x x x x x y x x ===--'=

=-=---, 故切线方程为1(1)y x -=--,即20x y +-= 故选B. 5.

解：令1AB =则12AA =,连1A B 1C D Q ∥1A B ∴异面直线BE 与1CD 所成的角即1A B

与BE 所成的角.在1A BE ∆

中由余弦定理易得1cos A BE ∠=.故选C 6.

解：222250||||2||520||a b a a b b b =+=++=++r r r r r r r Q g ||5b ∴=r

.故选C

7.

解：322log 2log 2log 3b c <<∴>Q

2233log 3log 2log 3log a b a b c π<=<∴>∴>> .故选A. 8.

解：6tan tan[(]ta )6446n y x y x x π

ππππωωω⎛⎫⎛

⎫=+−−−−−−→=-=+ ⎝+⎪ ⎪⎝⎭⎭

向右平移个单位

1

64

()6

62k k k Z π

π

ωπωπ

+=

∴=+∈∴

-

, 又min 1

02

ωω>∴=Q .故选D 9.

解：设抛物线2:8C y x =的准线为:2l x =-直线

()()20y k x k =+>恒过定点P ()2,0- .如图过A B 、分 别作AM l ⊥于M ,BN l ⊥于N , 由

||2||FA FB =,则||2||AM BN =,点B 为AP 的中

点.连结OB ,则1||||2

OB AF =, ||||OB BF ∴= 点B 的横坐标为1, 故点

B 的坐标为22022

(1,22)1(2)3

k -∴=

=

--, 故选D 10.

解：用间接法即可.22244430C C C ⋅-=种. 故选C 11.

解：设双曲线22

221x y C a b

-=：的右准线为l ,过

A B 、分 别作AM l ⊥于M ,BN l ⊥于N ,

BD AM D ⊥于,由直线AB 的斜率为3,知直线AB 的倾斜角为

1

6060,||||2

BAD AD AB ︒∴∠=︒=

, 由双曲线的第二定义有

1||||||(||||)AM BN AD AF FB e -==-u u u r u u u r 11||(||||)22

AB AF FB ==+u u u

r u u u r .

又156

43||||25

AF FB FB FB e e =∴⋅=∴=u u u r u u u r Q 故选A

12.

解：展、折问题.易判断选B

第II 卷（非选择题,共90分）

二、13.

解：()4

224()x y y x x y x y -=-,只需求4()x y -展开式中的含xy 项的

系数：246C = 14. 解：{}n a Q 为等差数列,95

53

995S a S a ∴== 15.

解：设球半径为R ,圆C 的半径为r ,2277

.44

4r r ππ==,得由 因为22224R OC R =

=.由2222217()484

R R r R =+=+得22R =.故球O 的表面积等于8π. 16.

解：设圆心O 到AC BD 、的距离分别为12d d 、,则222123d d OM ==+. 四边形ABCD 的面积222212121

||||2(4)8()52

S AB CD d d d d =⋅=-≤-+=)(4- 三、解答题

17.设ABC ∆的内角A 、B 、C 的对边长分别为a 、b 、

c ,3cos()cos 2

A C

B -+=

,2

b a

c =,求B . 分析：由3

cos()cos 2

A C

B -+=,易想到先将()B A

C π=-+代入

3cos()cos 2A C B -+=

得3

cos()cos()2A C A C --+=.

然后利用两角和与差的余弦公式展开得3

sin sin 4

A C =；又由2b ac =,利用正弦定理进行边角互化,

得2sin sin sin B A C =,进而得sin B =.故233

B ππ

=或.大部分考生做到这里忽略了检验,事实上,当23B π=

时,由1

cos cos()2

B A

C =-+=-,进而得3

cos()cos()212

A C A C -=++

=>,矛盾,应舍去. 也可利用若2b ac =则b a b c ≤≤或从而舍去23

B π

=.不过这种方法学生不易想到.

评析：本小题考生得分易,但得满分难. 18

（I ）分析一：连结BE,111ABC A B C -Q 为直三棱柱, 190,B BC ∴∠=︒

E Q 为1B C 的中点,BE EC ∴=.又DE ⊥平面1BCC ,

BD DC ∴=（射影相等的两条斜线段相等）而DA ⊥平面ABC , AB AC ∴=（相等的斜线段的射影相等）.

分析二：取BC 的中点F ,证四边形AFED 为平行四边形,进而证AF

∥DE ,AF BC ⊥,得AB AC =也可.

分析三：利用空间向量的方法.具体解法略.

（II ）分析一：求1B C 与平面BCD 所成的线面角,只需求点1B 到面BDC 的

距离即可.