非线性动力学导论讲义(分岔理论)

非线性动力学导论之四：分岔基本理论简介北京理工大学宇航学院力学系岳宝增第三章非线性动力学系统分岔基本理论一.一般系统平衡解的稳定性(1)二.平衡解的稳定流形与不稳定流形于平面摆的例子可以用来很清楚地解释全局稳定（不稳定）流形的概念；平面摆作为二阶动力学系统和谐振子极为相似。

其动力学方程为：l其中M代表质量，表示摆长，g为重力加速度，c为阻尼系数。

对时间进行尺度变换定义（或直接假设）及d可以得到系统的简化方程：d因为是从铅锤位置开始的角度位移，因此该变量具有周期2π;由此可知该系统的相空间为圆柱面。

我们也可以假设，从而从相图上可以观测到系统关于X的周期特性。

为了分析系统的动力学特性，首先确定系统的平衡点并研究其稳定性。

可求出系统的平衡点为：及求出系统的雅可比矩阵为：对应于平衡点有：其特征值为：如果d=0则得到特征值±i；对于较小的d值系统有共轭复根。

对应于平衡点（2kπ+π,0）系统的雅可比矩阵为：其特征值一对符号相反的实数：根据以上讨论可知：平衡点（2kπ+π,0）为鞍点，当d=0时，其对应的特征向量为：及对于较小的的d>0,平衡点（2kπ,0）为吸引子-螺旋旋线）；d=0时该类平衡点所对应的是非双曲点。

由于此时系统不受摩擦（阻尼）影响，单摆将做周期运动。

因此，在平衡点附近，系统的动力学特性为：无阻尼d=0 阻尼d>0d=0时,所对应的一类周期运动是单摆做上下摆动；另一类周期运动是单摆由稳定及不稳定流形通过倒立位置位置的运动。

如果单摆几乎刚好处于倒立位置时（不稳定），它将倒回并再次回摆到几乎刚好倒立的位置。

这意味着稳定流形与不稳定流形将有如下图所示的联接：单摆沿逆时针方向穿越倒立位置。

单摆没有穿越倒立位置。

单摆沿顺时针方向穿越倒立位置。

在有阻尼的情形下，实际上所有的初始条件所确定的运动将趋于下垂平衡位置。

例外情形是稳定流形所对应的运动，由趋于倒立位置的所有点组成。

所有初始条件将终止于平衡点三.分岔的基本概念对于一个非线性方程，由于其中参量取值不同，解的形式可能完全不同，即参量取值在某一临界值两侧，解的性质发生本质变化(例如平衡状态或周期运动的数目和稳定性等发生突然变化)。

人们称解在此临界值处出现分岔。

分岔现象是非线性系统特有的一种非常重要的性质。

1.分岔和结构稳定性以范德玻（Van der Pol）方程为例来讨论分岔现象。

Van der Pol方程是最简单而又具有典型意义的由范德玻在研究电子管振荡和模拟人的心脏搏动的基础上提出的，该方程的解代表一种典型的非正弦形式的振荡。

0)1(22=+-+x x x xωα ⎩⎨⎧-+-==22112221)1(x x x x x x αω☐ 分岔的概念如果参量 在其某一值 邻近微小变化将引起解（运动）的性质（或相空间轨线的拓扑性质）发生突变，此现象即称为分岔（或分叉、分歧、分支），此临界值称为分岔值。

不引起分岔的点称为常点。

☐ 结构稳定性结构稳定性（structural stability ）表示在参量微小变化时，解不会发生拓扑性质变化（解的轨线仍维持在原轨线的领域内且变化趋势也相同）。

),(μx f x=反之，在分岔点附近，参量值的微小变化足以引起解发生本质（拓扑性质）变化，则称这样的解是结构不稳定的。

结构不稳定意味出现分岔。

从本质上分析，失稳是发生分岔的物理前提。

分岔之后，系统不同状态间便发生不连续的过渡，这就是突变。

然后经过不断地分岔，最后达到的终态即混沌理论的研究对象。

分岔是非线性领域的重要理论。

主要研究内容包括分岔点位置，分解方向与数目；分岔解的稳定性；分岔类型和分岔过程与终态的奇异吸引子等等。

分析：当F 较小时，棒虽受压，但仍能维持水平位置而无形变。

继续加大F ，当F 达到某一临界值时，棒将突然弯曲。

设棒只能在竖直面内运动，则它既可能向上弯曲，也可能向下弯曲。

若用棒的中点偏离原水平位置的距离x 标志棒的形变，则棒的形状在F 的临界值处发生了突变，平衡点也由原来的一个变为三个。

例：一水平细棒（竹、木或钢的），右端固定，从左端加一水平方向力F ，考虑棒的形状如何变化。

这是Euler 在1744年研究的一个问题，它是一个最简单的分岔现象。

FFP特别有意思的是，Euler杆向哪一边弯曲是一不确定问题，其中包含有随机因素的作用，甚至取决于初始扰动和涨落。

双星裂变双星裂变理论是由Newton最早在关于地球形状的研究中撰写的工作。

当时很多人对地球的形状究竟是长椭球（东西扁）还是扁椭球（南北扁）意见纷争，各执一词。

其中Cassimi认为是东西扁，而Newton 则坚持认为南北扁。

我们假设地球不转动（自转）时，它应该是一个圆球，其三个半轴均为相等，有a=b=c。

然而正由于地球有自转特性，所以首先肯定地球是扁的，如右图所示。

麦克劳林采用转动的角动量作为控制参数。

他在1742年用非线性理论论证了Newton看法正确，即当很小时，地球是一个南北扁的扁球(a=b>c)，世称——麦克劳林椭球。

1834年雅可比进一步研究，当时µ>0.384436，麦克劳林椭球变得不稳定而分岔出一个——雅可比椭球(a>b>c )，如图所示。

雅可比椭球直到1883年，汤姆逊(Thompson)和泰特(Tait)在研究论证发现，当继续增大时，雅可比椭球再一次不稳定又分岔出中间薄两头厚的梨形球，如图所示。

Thompson-Tait梨形球由此，产生了彭加勒的猜想：从雅可比椭球到Thompson梨形球可能是双星分裂的原因，这个问题至今仍在研究之中。

哈勃望远镜拍下两星系“挽臂”旋转2.分岔的分类✓非线性方程解的拓扑性质在参量取临界值时发生突变（结构不稳定），这样的分岔称为动态分岔。

✓非线性方程的定态数目在参量的临界值处发生突变，这样的分岔称为静态分岔。

静态分岔可以看作动态分岔的一种特殊情形，而静态分岔（定态数目的突变）往往要引起动态分岔（方程的解包括非定态解的拓扑性质发生突变）。

☐分叉点与极限点我们把带有控制参数的动力系统可表示为微分方程：我们已经知道，动力系统在控制参数发生变化时，有可能出现分岔。

从理论上来说，很多物理问题都可以用微分方程来描述。

于是，很容易提出：对非线性方程所控制的动力系统时，系统是否存在定态。

有多少定态，系统的行为是否稳定，系统随控制参数如何变化。

上式中，x 是状态变量的向量， 是控制参数，方程右边不含时间。

这种系统称之为自治动力系统。

所谓定态的，即可认为状态稳定下来后，状态变量不再随时间变化，有(,)dx f x dt α=0dx dt=也即为:(,)0f x α=(△) (△)平衡点的稳定性，由Jacobi 矩阵本征值(Re <0)来确定。

对于上述的一维情况，即Jacobi 矩阵只有唯一元素 f / x ，也就是矩阵本征值且为实数，于是有当时平衡态稳定，而在 时平衡态是不稳定的。

故对于(,)0f x xα∂<∂(,)0f x x α∂>∂(,)0f x x α∂=∂(＊)正为由稳定变为不稳定的临界点。

这个点我们即称之为实分岔点。

再考虑到在分岔点处状态变量和参数的关系不唯一，则根据隐含数存在定理，进一步在实分岔点还有:(,)0f x αα∂=∂归纳起来，实分岔点应同时满足(＊)和(＊＊)两式。

下图中点A 即为分岔点。

在点A 处有两条具有不同切线斜率dx /d的解分支曲线通过。

(＊＊)如果动力系统满足fxfα∂⎧=⎪⎪∂⎨∂⎪≠⎪∂⎩这种平衡点称之为极限点（根据隐含数定理在该点有唯一的关系 （x）成立）。

通过极限点，曲线的dx/d 变号。

如下图中的B点：在极限点会合的两个分支曲线有一共同切线d /dx=0。

此外，若分岔解中一支是极限的，则称之为分岔-极限点，如下图所示中的C点。

显然：在分岔点曲线两侧拓扑结构完全不同，并发生了不稳定的变化；而极限点曲线两侧只是解的个数发生变化。

当系统含有多个参数时，例如两个参数（ ， ）。

此时，我们可以对每一固定的 ，找出的分岔点和极限点；于是，就可在参数平面 - 画出分岔点曲线 （ ）和极限曲线。

下图即表示分岔图。

三种基本分岔原型我们知道Jacobi矩阵的本征值确定系统状态的稳定性。

对于一般动力系统，控制参数α的变化会引起本征值的变化，即λ（α）。

当控制参数达到分岔参数值时，系统稳定性发生质的变化，它可以表现为在复平面的运动。

由此也可以定义三种分岔原型。

叉型分岔霍夫分岔鞍结分岔本征值 为实数， 沿复平面的实轴由负变正穿过虚轴本征值 为复数，沿左半平面的由Re <0变为Re >0穿过虚轴本征值 为实数，沿实轴左右趋于虚轴，即 0十分明显，叉型分岔和鞍-结分岔是实分岔，而霍夫分岔是复分岔，不论哪一种分岔，它们在分岔点均满足：上式表明，本征值在分岔点是运动的。

叉形分岔（pitchfork bifurcation）.下对于平衡点x=0，λ=µ(实数),则当µ<0时λ<0,故此平衡态稳定；而当µ>0时, λ>0,故不稳定。

对于平衡点x=±µ1/2（ µ>0 ），λ=-2µ<0,故此平衡态稳定。

所以，当参数µ由负变正时，Jacobi阵的特征值（实的）沿复平面实轴穿过虚轴。

故知状态x=0将由稳定变成不稳定，且分岔出新的平衡态x=±µ1/2，这正是叉形分岔的情形。

分岔分支与原来的稳定点分别位于分岔点的不同侧。

在分岔图上， 点（µ，x ）=0显然是分岔点，因为此点满足分岔条件：00000,0x x ff x μμμ====∂∂==∂∂如下图所示。

（b）。