非线性动力学导论讲义(分岔理论)

非线性动力学导论
之四：分岔基本理论简介
北京理工大学宇航学院力学系
岳宝增
第三章非线性动力学系统分岔基本理论一.一般系统平衡解的稳定性
(1)
二.平衡解的稳定流形与不稳定流形
于
平面摆的例子可以用来很清楚地解释全局稳定（不稳定）流形的概念；平面摆作为二阶动力学系统和谐振子极为相似。

其动力学方程为：
l
其中M代表质量，表示摆长，g
为重力加速度，c为阻尼系数。

对时间进行尺度变换
定义（或直接假设）及
d可以得到系统的简化方程：
d
因为是从铅锤位置开始的角度位移，因此该变量具有周期2π;由此可知该系统的相空间为圆柱面。

我们也可以假设，从而从相图上可以观测到系统关于X的周期特性。

为了分析系统的动力学特性，首先确定系统的平衡点并研究其稳定性。

可求出系统的平衡点为：
及
求出系统的雅可比矩阵为：
对应于平衡点有：
其特征值为：
如果d=0则得到特征值±i；对于较小的d值系统有共轭复根。

对应于平衡点（2kπ+π,0）系统的雅
可比矩阵为：
其特征值一对符号相反的实数：
根据以上讨论可知：平衡点（2kπ+π,0）为鞍点，当d=0时，其对应的特征向量为：
及
对于较小的的d>0,平衡点（2kπ,0）为吸引子-螺旋
旋线）；d=0时该类平衡点所对应的是非双曲点。

由于此时系统不受摩擦（阻尼）影响，单摆将做周期运动。

因此，在平衡点附近，系统的动力学特性为：无阻尼d=0 阻尼d>0
d=0时,所对应的一类周期运动是单摆做上下摆动；另一类周期运动是单摆由稳定及不稳定流形通过倒立位置
位置的运动。

如果单摆几乎刚好处于倒立位置时（不稳定），它将倒回并再次回摆到几乎刚好倒立的位置。

这意味着稳定流形与不稳定流形将有如下图所示的联接：
单摆沿逆时针方
向穿越倒立位置。

单摆没有穿越倒
立位置。

单摆沿顺时针方
向穿越倒立位置。

在有阻尼的情形下，实际上所有的初始条件所确定的运动将趋于下垂平衡位置。

例外情形是稳定流形所对应的运动，由趋于倒立位置的所有点组成。

所有初始条件将终止
于平衡点
三.分岔的基本概念
对于一个非线性方程，由于其中参量取值不同，解的形式可能完全不同，即参量取值在某一临界值两侧，解的性质发生本质变化(例如平衡状态或周期运动的数目和稳定性等发生突然变化)。

人们称解在此临界值处出现分岔。

分岔现象是非线性系统特有的一种非常重要的性质。

1.分岔和结构稳定性
以范德玻（Van der Pol）方程为例来讨论分岔现象。

Van der Pol方程是最简单而又具有典型意义的由
范德玻在研究电子管振荡和模拟人的心脏搏动的基础上提出的，该方程的解代表一种典型的非正弦形式的振荡。

0)1(2
2=+-+x x x x
ωα ⎩⎨⎧-+-==22112221)1(x x x x x x αω
☐ 分岔的概念如果参量 在其某一值 邻近微小变化将引起解（运动）的性质（或相空间轨线的拓扑性质）发生突变，此现象即称为分岔（或分叉、分歧、分支），此临界值称为分岔值。

不引起分岔的点称为常点。

☐ 结构稳定性
结构稳定性（structural stability ）表示在参量微小变化时，解不会发生拓扑性质变化（解的轨线仍维持在原轨线的领域内且变化趋势也相同）。

),(μx f x
=
反之，在分岔点附近，参量值的微小变化足以引起解发生本质（拓扑性质）变化，则称这样的解是结构不稳定的。

结构不稳定意味出现分岔。

从本质上分析，失稳是发生分岔的物理前提。

分岔之后，系统不同状态间便发生不连续的过渡，这就是突变。

然后经过不断地分岔，最后达到的终态即混沌理论的研究对象。

分岔是非线性领域的重要理论。

主要研究内容包括分岔点位置，分解方向与数目；分岔解的稳定性；分岔类型和分岔过程与终态的奇异吸引子等等。

分析：当F 较小时，棒虽受压，但仍能维持水平位置而无形变。

继续加大F ，当F 达到某一临界值时，棒将突然弯曲。

设棒只能在竖直面内运动，则它既可能向上弯曲，也可能向下弯曲。

若用棒的中点偏离原水平位置的距离x 标志棒的形变，则棒的形状在F 的临界值处发生了突变，平衡点也由原来的一个变为三个。

例：一水平细棒（竹、木或钢的），右端固定，从左端加一水平方向力F ，考虑棒的形状如何变化。

这是Euler 在1744年研究的一个问题，它是一个最简单的分岔现象。

F
F
P
特别有意思的是，Euler杆向哪一边弯曲是一不确定问题，其中包含有随机因素的作用，甚至取决于初始扰动和涨落。

双星裂变
双星裂变理论是由Newton最早在关于地球形状的研究中撰写的工作。

当时很多人对地球的形状究竟是长椭球（东西扁）还是扁椭球（南北扁）意见纷争，各执一词。

其中Cassimi认为是东西扁，而Newton 则坚持认为南北扁。

我们假设地球不转动（自转）时，
它应该是一个圆球，其三个半轴均
为相等，有a=b=c。

然而正由于地球
有自转特性，所以首先肯定地球是
扁的，如右图所示。

麦克劳林采用转动的角动量作为控制参数。

他在1742年用非线性理论论证了Newton看法正确，即当很小时，地球是一个南北扁的扁球(a=b>c)，世称——麦克劳林椭球。

1834年雅可比进一步研究，当时µ>0.384436，麦克劳林椭球变得不稳定而分岔出一个——雅可比椭球(a>b>c )，如图所示。

雅
可
比
椭
球
直到1883年，汤姆逊(Thompson)和泰特(Tait)在研究论证发现，当继续增大时，雅可比椭球再一次不稳定又分岔出中间薄两头厚的梨形球，如图所示。

Thompson-Tait梨形球
由此，产生了彭加勒的猜想：从雅可比椭球到Thompson梨形球可能是双星分裂的原因，这个问题至今仍在研究之中。

哈勃望远镜拍下两星系“挽臂”旋转
2.分岔的分类
✓非线性方程解的拓扑性质在参量取临界值时发生突变（结构不稳定），这样的分岔称为动态分岔。

✓非线性方程的定态数目在参量的临界值处发生突变，这样的分岔称为静态分岔。

静态分岔可以看作动态分岔的一种特殊情形，而静态分岔（定态数目的突变）往往要引起动态分岔（方程的解包括非定态解的拓扑性质发生突变）。

☐分叉点与极限点
我们把带有控制参数的动力系统可表示为微分方程：
我们已经知道，动力系统在控制
参数发生变化时，有可能出现分岔。

从理论上来说，很多物理问题都可以用微分方程来描述。

于是，很容易提出：对非线性方程所控制的动力系统时，系统是否存在定态。

有多少定态，系统的行为是否稳定，系统随控制参数如何变化。

上式中，x 是状态变量的向量， 是控制参数，方程右边不含时间。

这种系统称之为自治动力系统。

所谓定态的，即可认为状态稳定下来后，状态变量不
再随时间变化，有(,)dx f x dt α=0dx dt
=也即为:(,)0f x α=
(△) (△)
平衡点的稳定性，由Jacobi 矩阵本征值(Re <0)来确定。

对于上述的一维情况，即Jacobi 矩阵只有唯一元素 f / x ，也就是矩阵本征值且为实数，于是有当
时平衡态稳定，而在 时平衡态是不稳定的。

故对于(,)0f x x
α∂<∂(,)0f x x α∂>∂(,)0f x x α∂=∂(＊)
正为由稳定变为不稳定的临界点。

这个点我们即称之为实分岔点。

再考虑到在分岔点处状态变量和参数的关系不唯一，则根据隐含数存在定理，进一步在实分岔点还有:(,)0f x αα∂=∂归纳起来，实分岔点应
同时满足(＊)和(＊＊)
两式。

下图中点A 即为分
岔点。

在点A 处有两条具
有不同切线斜率dx /d
的解分支曲线通过。

(＊＊)
如果动力系统满足
f
x
f
α
∂
⎧
=⎪⎪∂
⎨
∂
⎪≠⎪∂
⎩
这种平衡点称之为极限点（根据隐含数定理在该点有唯一的关系 （x）成立）。

通过极限点，曲线的dx/d 变号。

如下图中的B点：
在极限点会合的两个分支曲
线有一共同切线d /dx=0。

此外，若分岔解中一支是极限的，则称之为分岔-极限点，如下图所示中的C点。

显然：在分岔点曲线两侧拓扑结构完全不同，并发生了不稳定的变化；而极限点曲线两侧只是解的个数发生变化。

当系统含有多个参数时，例如两个参数（ ， ）。

此时，我们可以对每一固定的 ，找出的分岔点和极限点；于是，就可在参数平面 - 画出分岔点曲线 （ ）和极限曲线。

下图即表示分岔图。

三种基本分岔原型
我们知道Jacobi矩阵的本征值确定系统状态的稳定性。

对于一般动力系统，控制参数α的变化会引起本征值的变化，即λ（α）。

当控制参数达到分岔参数值时，系统稳定性发生质的变化，它可以表现为在复平面的运动。

由此也可以定义三种分岔原型。

叉型分岔霍夫分岔鞍结分岔
本征值 为实数， 沿复平面的实轴由负变正穿过虚轴本征值 为复数，
沿左半平面的由
Re <0变为Re >0
穿过虚轴
本征值 为实数，
沿实轴左右趋于
虚轴，即 0
十分明显，叉型分岔和鞍-结分岔是实分岔，而霍夫分岔是复分岔，不论哪一种分岔，它们在分岔点均满足：
上式表明，本征值在分岔点是运动的。

叉形分岔（pitchfork bifurcation）
.
下
对于平衡点x=0，λ=µ(实数),则当µ<0时λ<0,故此平衡态稳定；而当µ>0时, λ>0,故不稳定。

对于平衡点x=±µ1/2（ µ>0 ），λ=-2µ<0,故此平衡态稳定。

所以，当参数µ由负变正时，Jacobi阵的特征值（实的）沿复平面实轴穿过虚轴。

故知状态x=0将由稳定变成不稳定，且分岔出新的平衡态x=±µ1/2，这正是叉形分岔的情形。

分岔分支与原来的稳定点分别位
于分岔点的不同
侧。

在分岔图上， 点（µ，x ）=0显然是分岔点，因为此点满足分岔条件：0
0000,0x x f
f x μμμ====∂∂==∂∂
如下图所示。

（b）。