非线性动力学导论讲义(分岔理论)

非线性动力学导论

之四：分岔基本理论简介

北京理工大学宇航学院力学系

岳宝增

第三章非线性动力学系统分岔基本理论一.一般系统平衡解的稳定性

(1)

二.平衡解的稳定流形与不稳定流形

于

平面摆的例子可以用来很清楚地解释全局稳定（不稳定）流形的概念；平面摆作为二阶动力学系统和谐振子极为相似。其动力学方程为：

l

其中M代表质量，表示摆长，g

为重力加速度，c为阻尼系数。

对时间进行尺度变换

定义（或直接假设）及

d可以得到系统的简化方程：

d

因为是从铅锤位置开始的角度位移，因此该变量具有周期2π;由此可知该系统的相空间为圆柱面。我们也可以假设，从而从相图上可以观测到系统关于X的周期特性。为了分析系统的动力学特性，首先确定系统的平衡点并研究其稳定性。可求出系统的平衡点为：

及

求出系统的雅可比矩阵为：

对应于平衡点有：

其特征值为：

如果d=0则得到特征值±i；对于较小的d值系统有共轭复根。对应于平衡点（2kπ+π,0）系统的雅

可比矩阵为：

其特征值一对符号相反的实数：

根据以上讨论可知：平衡点（2kπ+π,0）为鞍点，当d=0时，其对应的特征向量为：

及

对于较小的的d>0,平衡点（2kπ,0）为吸引子-螺旋

旋线）；d=0时该类平衡点所对应的是非双曲点。由于此时系统不受摩擦（阻尼）影响，单摆将做周期运动。因此，在平衡点附近，系统的动力学特性为：无阻尼d=0 阻尼d>0

d=0时,所对应的一类周期运动是单摆做上下摆动；另一类周期运动是单摆由稳定及不稳定流形通过倒立位置

位置的运动。如果单摆几乎刚好处于倒立位置时（不稳定），它将倒回并再次回摆到几乎刚好倒立的位置。这意味着稳定流形与不稳定流形将有如下图所示的联接：

单摆沿逆时针方

向穿越倒立位置。

单摆没有穿越倒

立位置。

单摆沿顺时针方

向穿越倒立位置。

在有阻尼的情形下，实际上所有的初始条件所确定的运动将趋于下垂平衡位置。例外情形是稳定流形所对应的运动，由趋于倒立位置的所有点组成。

所有初始条件将终止

于平衡点

三.分岔的基本概念

对于一个非线性方程，由于其中参量取值不同，解的形式可能完全不同，即参量取值在某一临界值两侧，解的性质发生本质变化(例如平衡状态或周期运动的数目和稳定性等发生突然变化)。人们称解在此临界值处出现分岔。分岔现象是非线性系统特有的一种非常重要的性质。

1.分岔和结构稳定性

以范德玻（Van der Pol）方程为例来讨论分岔现象。Van der Pol方程是最简单而又具有典型意义的由

范德玻在研究电子管振荡和模拟人的心脏搏动的基础上提出的，该方程的解代表一种典型的非正弦形式的振荡。

0)1(2

2=+-+x x x x

ωα ⎩⎨⎧-+-==22112221)1(x x x x x x αω

☐ 分岔的概念如果参量 在其某一值 邻近微小变化将引起解（运动）的性质（或相空间轨线的拓扑性质）发生突变，此现象即称为分岔（或分叉、分歧、分支），此临界值称为分岔值。不引起分岔的点称为常点。☐ 结构稳定性

结构稳定性（structural stability ）表示在参量微小变化时，解不会发生拓扑性质变化（解的轨线仍维持在原轨线的领域内且变化趋势也相同）。

),(μx f x

=

反之，在分岔点附近，参量值的微小变化足以引起解发生本质（拓扑性质）变化，则称这样的解是结构不稳定的。结构不稳定意味出现分岔。

从本质上分析，失稳是发生分岔的物理前提。分岔之后，系统不同状态间便发生不连续的过渡，这就是突变。然后经过不断地分岔，最后达到的终态即混沌理论的研究对象。

分岔是非线性领域的重要理论。主要研究内容包括分岔点位置，分解方向与数目；分岔解的稳定性；分岔类型和分岔过程与终态的奇异吸引子等等。

分析：当F 较小时，棒虽受压，但仍能维持水平位置而无形变。继续加大F ，当F 达到某一临界值时，棒将突然弯曲。设棒只能在竖直面内运动，则它既可能向上弯曲，也可能向下弯曲。若用棒的中点偏离原水平位置的距离x 标志棒的形变，则棒的形状在F 的临界值处发生了突变，平衡点也由原来的一个变为三个。例：一水平细棒（竹、木或钢的），右端固定，从左端加一水平方向力F ，考虑棒的形状如何变化。这是Euler 在1744年研究的一个问题，它是一个最简单的分岔现象。

F

F

P

特别有意思的是，Euler杆向哪一边弯曲是一不确定问题，其中包含有随机因素的作用，甚至取决于初始扰动和涨落。

双星裂变

双星裂变理论是由Newton最早在关于地球形状的研究中撰写的工作。当时很多人对地球的形状究竟是长椭球（东西扁）还是扁椭球（南北扁）意见纷争，各执一词。其中Cassimi认为是东西扁，而Newton 则坚持认为南北扁。

我们假设地球不转动（自转）时，

它应该是一个圆球，其三个半轴均

为相等，有a=b=c。然而正由于地球

有自转特性，所以首先肯定地球是

扁的，如右图所示。

麦克劳林采用转动的角动量作为控制参数。他在1742年用非线性理论论证了Newton看法正确，即当很小时，地球是一个南北扁的扁球(a=b>c)，世称——麦克劳林椭球。

1834年雅可比进一步研究，当时µ>0.384436，麦克劳林椭球变得不稳定而分岔出一个——雅可比椭球(a>b>c )，如图所示。

雅

可

比

椭

球