第二章 质点动力学

T (t − )] i 的作用，其中 F0 2 T
2
例２ －２ 质量为 m 的物体在 0~T 时间内受到一个力 F = F0 [1 −
4
和 T 为常数。已知该物体在 t=0 时的速度是 υ 0 = υ j ，t =T 时的速度是 υT = υ i ，求在这段时
2
间内： （1）力 F 的冲量和该力平均值的大小； （2）该物体所受合外力的冲量； （3）合外力对该物体所做的功。 ［ 解］ （1）力 F 在 O~T 时间内的冲量为
A=
的速度开始作直线运动， 如
∫
0
x
Fdx =
2
∫ 0.18( x + 1)dx
0
x
= 0.09( x + 2 x)
当 x=2m 时 （2）由质点动能定理得
A=0.09（22＋2 2）=0.72J
3
A=
1 1 2 mυ 2 − mυ 0 2 2 = υ 2 − 0.09 = 0.09( x 2 + 2 x)
u 10 一定，但 u 20=0；碰撞后，两个质子的速度分别为 u 1 和 u 2。由动量守恒定律和能量守恒
定律得
mu 10 = mu 1 + mu 2 1 1 1 2 2 2 mu10 = mu1 + mu 2 2 2 2
将上面两式整理得
u 10 = u 1 + u 2
2 2 2 u10 = u1 + u2
m1υ1 + m 2υ 2 = 0
又根据动能定理，有
1 1 2 m1υ12 + m2υ 2 = m2 gh 2 2
Ｂ
m1 h C 图 例 2－ 8
联立求得
υ2 = 2m1 gh m1 + m2
例２ －９ 如图所示，一个质量为 m 的圆环 Q，可在置于水平面内的半径为 R 的圆周上无摩 r 擦地滑动。一根有弹性的绳，一端固定于 A，穿过固 B N 定于圆圈上的环 C 系到 Q 上。当 Q 在 C 点时，绳的 Q 张力为零；如绳的劲度系数为 k，求 Q 自 B 点无初速 R r 滑动时，它对圆圈的作用力大小等于多少？（A、B、 O f C 诸点在圆圈的同一直径及其连线上） θ ［ 解］ 圆环 Q 在水平面内沿圆圈运动时，只有保守力 C 做功，机械能守恒，设任一时刻 Q 的位置为θ（如图 A. 所示） ，则
－1
所以 当 x=2m 时 （3）由速度的定义得
υ = 0.3( x + 1) υ = 0.3( x + 1) =0.9ms
υ=
dx = 0.3( x + 1) dt
即 取积分，并由初始条件得 所以 2s 时物体的动量
dx = 0.3dt x +1
x = e 0.3t − 1
υ = 0.3(e 0.3t − 1 + 1) = 0.3e 0.3t P = mυ 2 = 0.6e 0.6 = 1.09 kgms
积分得
∫l
l 2
l
m
3 gxdx = mgl 8
根据动能定理 得
A = EK − EK 0 = υ= 1 3gl 2
1 mυ 2 2
解法三：利用机械能守恒定律求解。 显然，链条在下落过程中只有重力做功，机械能守恒。选台面为零势能面，则
l l 1 E 0 = E K 0 + E p 0 = E p = − λg = − λgl 2 2 4 8 1 1 E = E K + E p = λlυ 2 − λgl 2 2 2
第二章
一、知识网络
质点动力学
牛顿第二定律
F = ma = m dυ dt
1．力对时间累积
I =
冲量
1．力对空间累积
A = F ⋅d r
功
∫Fdt
t0
t
∫
2．动量定义： P = mυ
2．动能定义： E K =
1 mυ 2 2
质点动量定理
质点系动能定理
A = EK − EK 0
0
∫ Fdt = mυ − mυ
由 E=E0 得
υ=
1 3gl 2
y
例２ －５ 已知作用在质点上的力为
Fx = a11 x + a12 y F y = a 21 x + a 22 y Fz = 0
M(x,y)
式中系数 aij（i，j=1，2）都是常数，设作用力为保守力，求质 点位于 M 点时的势能。 （设原点的势能为零） ［ 解］ 在保守力场中，功与势能的关系为
A = EK − EK 0 =
1 9 mυ 2 = t 4 = 36 J 2 4
（2）计算瞬时功率也有两种方法，分别计算如下。
3 N =F⋅ υ = 6t ⋅ t 2 = 9t 3 2
当 t=2s 时 或者
N=9 23=72W
N= dA d 9 4 = t = 9t 3 = 72 W dt dt 4
E p 0 − E pM =
o
A 图例２ －５
x
∫ F ⋅d r = ∫ (F dx + F dy)
0 0 x y
M
M
与路径无关，因此可取积分路径为 O→A→M（如图所示） 。此时有
5
E p 0 − E pM = = =
∫ F dx + ∫ F dy
O x A y
A
M
∫a
0
x
11 xdx +
∫ (a
0
y
21 x + a 22 y )dy
1 1 a11 x 2 + a 21 xy + a 22 y 2 2 2
依题意 Ep0=0，所以
1 E pM = − (a11 x 2 + 2a 21 xy + a 22 y 2 ) 2
例 ２ －６ 在液氢泡沫室中，入射质子自左方进入，并与室内的静止质子相互作用。试证明 碰撞后两个质子将互成直角地离开。 ［ 解］ 这里涉及的是不对心的完全弹性碰撞问题。假定两个质子的质量都是 m，碰撞前，
1
5．牛顿第二定律与机械能守恒定律的联合应用。 6．动量守恒定律与机械能守恒定律的联合应用。 7．牛顿第二定律与动量守恒定律、机械能守恒定律的联合应用。 8．综合应用。
三、典型例题
例２ －１ 设质量为 ２ ｋ ｇ 的质点，所受的合外力为 F = 6t i N ，该质点从 ｔ ＝ ０ 时刻，由静止开 始运动。试求： （１ ）前 ２ ｓ 内合外力所作的功； （２ ）２ ｓ 时的瞬时功率。 ［ 解］ （1）计算功通常有两种方法：动能定理法和定义法。首先利用功的定义求解。由已 知条件质点在受力作用下做直线运动，其运动的加速度为：
－
T = λ(l − x)a = λ(l − x)
dυ dt
图例２ －４
链条下垂部分的牛顿方程为
λ xg − T = λ xa = λ x dυ dt
整理得 考虑到 则 积分得
dυ g = x dt l dυ dυ dx dυ = =υ dt dx dt dx υdυ =
υ
g xdx l
l
∫υdυ = ∫ l xdx
I = P2 − P0 = m(υ 2 − υ 0 )
－1
（4）由动量定理，前 2s 内的冲量为 = 1.09－0.6 = 0.49kgms 1 例２ －４ 如图所示， 将一条长为 l 的细链条静止地放在光滑的水平方形台面上， 链条的一半 从台面上下垂，另一半平直放在面上。试求：链条刚滑离台面时的速度。 T ［ 解］ 解法一：利用牛顿定律求解。 B o 建立如图所示坐标系，以链条下垂部分为研究对象。 它受到两个力：重力和台面上链条的拉力。显然，台面上 A 的和下垂的链条的速度υ相同，加速度 a 也相同，设质量 λxg 线密度为λ，因而有 x
A= 1 1 2 2 mυT − mυ 0 =0 2 2
－1
例２ －３ 质量为 2kg 的物体在力 F 的作用下从某位置以 0.3ms 果以该处为坐标原点，则力 F 可表示为 F=0.18（x+1） 式中各个量采用国际单位制，x 为位置坐标。求： （1）从原点到 x=2m 过程中力作的功； （2）物体在 x=2m 时的速度； （3）2s 时物体的动量； （4）前 2s 内物体受到的冲量。 ［ 解］ （1）由功的定义得
0 l 2
g
4
即 因此
υ2 = υ=
g 2 l2 3 (l − ) = gl l 4 4
1 3gl 2
解法二：利用动能定理求解。 链条下垂部分长度由 x 变为 x+dx， 可看做重力将台面上一段 dx 长链条搬到台面下 x 处， 根据功的定义，这一过程重力所做的功为
dA = xgdm = λgxdx = m gxdx l图 例 Fra bibliotek－ 97
1 1 1 k (2 R) 2 = k (2 Rcoθ ) 2 + mυ 2 2 2 2 2 mυ f cos θ − N = R f = k (2 R cos θ )
由上面三式联立求得，Q 对圆圈作用力 N 的大小为
N = 2 Rk (3 cos 2 θ − 2)
例２ －１ ０ 如图所示，两小球质量相等，均为 m，开始外力使倔强系数为 k 的弹簧压缩某一 距离 x，然后释放，将小球 1 弹射出去，并与静止的小球 2 发生弹性碰撞，碰后小球 2 沿半 径为 R 的圆轨道上升，到达 A 点恰与圆环脱离， OA 与竖直线的夹角θ=60 ，不考虑摩擦。 求弹簧被压缩的距离 x 等于多少？ A ［ 解］ 设弹簧复原时，小球 1 的速度为υ1，则由机械 θ 能守恒有
I =
∫ Fdt = ∫ F [1 − T
0 0 0
T
T
4
2
T (t − ) 2 dt ] i 2