《一元二次方程组的解法》课件

a
a
配方，得
x2
b a
x
源自文库
b 2a
2
c a
b 2a
2
即
x
b 2a
2
b2 4ac 4a2
即
x
b 2a
2
b2 4ac 4a2
因为a≠0，所以4a2 >0 b 式子 2 4ac的值有以下三种情况：
(1)b2
4ac
0, 这时
b2 4ac 4a2
0
即
b
b2 4ac
x
2a
2a
此时，方程有两个不等的实数根.
2
b 2a
即
x
b 2a
2
b2 4ac 4a2
因为a≠0，所以4 a2>0 b 式子 2 4ac的值有以下三种情况：
(3)b2
4ac
0, 这时
b2 4ac 4a2
0
而x取任何实数都不可能使 (x
b
2
) 0，
2a
因此方程无实数根.
一般地，式子 b2 4ac 叫做方程ax2 bx c 0
Q b2 4ac （ 7）2 41（18） 121 >0
方程有两个不等的实数根
x b b2 4ac (7) 121 7 11
2a
21
2
即 ： x1 9 x2 2
用公式法解一元二次方程的一般步骤： 1、把方程化成一般形式，并写出 a、b、c 的值.
2、求出 b2 4ac 的值，
y2 144
x2 4
因为y是144的平方根， 9
所以 y 12.
因为x是 4的平方根， 9
所以
x2. 3
2.解下列方程：
（1） x 12 4； （2） x 22 3； （3） x 42 25 0；（4）2x 32 5 0.
解：
（1）因为 x 1是4的平方根，（2）因为 x 2是3的平方根，
•能利用直接开平方法解的一元二次方程应
满足的形式为__x_2___p_(_p____0_)
•例：解方程：(1)x2 16 0 (2)x2 3 0
•一元二次方程如果有解，则解的个数一定为
_2_个__ •方程 x2 0 解为 x1 x2 0 •方程 x2 3无解
•思考：对照上面解方程的过程，你认为应
x （- 2 3）
02
3
3
21
2
即 ： x1 x2 3
b b2 4ac x
2a
例 解方程： x 21 3x 6
解：去括号，化简为一般式：
3x2 7x 8 0
这里 a 3、 b= - 7、 c= 8 Q b2 4ac （ 7）2 4 3 8
49 96 - 47 0
所以
所以
x 1= 2， 即x1 1, x2 3.
x 2= 3， 即x1 2 3 , x2 2 3 .
（3）由 x 42 25 0得 （4）由 2x 32 5 0得
x 42 =25
2x 32 =5
因为 x 4是25的平方根，因为 2x 3是5的平方根，
所以
所以
根的判别式，通常用希腊字母△表示它
△＝ b2 4ac
当△>0时，方程 ax2 bx c 0 (a≠0)
的实根可写为
b b2 4ac x
2a
一元二次方程的 求根公式
用求根公式解一元二次方程的方法 叫做公式法.
b b2 4ac x
2a
例 解方程： x2 7x 18 0
解：
a 1 b 7 c 18
b
x1
b2 4ac
2a
b
x2
b2 4ac
2a
即
x
b 2a
2
b2 4ac 4a2
因为a≠0，所以4 a2 >0 b 式子 2 4ac的值有以下三种情况：
(2)b2
4ac
0, 这时
b2 4ac 4a2
0
即 x b b2 4ac =0
2a
2a
此时，方程有两个相等的实数根.
x1
x
练习：
1.解下列方程：
（1）x2 16； （2）x2 0.81 0； （3）y2 144 0； （4）9x2 4.
解：
（1）x2 16
（2）由x2 0.81 0得：
因为x是16的平方根， x2 0.81
所以
因为x是0.81的平方根，
x 4.
所以
x 0.9.
（3）由y2 144 0得：（4）由9 x2 4得：
怎样解方程 (2x 1)2 5
•例：解方程：(1)2(x 1)2 6 0 (2)(3x 1 )2 0 2
•用直接开平方法还可以解形如_(_m_x__n_)_2 __p_(_p__0_)方
程 •从
(mx n)2
p 变形mx n
p
实质上一元二次方程 转化两个一元一次方程 •由以上解方程的经验你能解方程 x2 6x 9 2 吗？
特别注意:当 b2 4ac 0 时无解 3、代入求根公式 : x b b2 4ac
2a
4、写出方程的解： x1、x2
例 解方程：
b b2 4ac x
2a
x2 3 2 3x
解： 化简为一般式：x2 2 3 x 3 0 这里 a 1、 b= - 2 3、 c= 3
Q b2 4ac （ 2 3）2 41 3 0
归纳：直接开平方法
如果方程能化成x2 p或(mx n)2 p( p 0) 的形式，那么可得x p或mx n p.
例题： (1)3x2 27 0 (2)3(x 1)2 24 0 (3)x2 10x 25 1
(4) y2 8y 14 0
配方法的步骤：
1、看方程的二次项系数是否为1？ 2、移项： 将常数项移到方程的另一边； 3、配方：方程两边都加上一次项系数一半的平方； 4、左边写成完全平方的形式； 5、开平方：将方程化为一元一次方程；（降次） 6、解一元一次方程. 配成完全平方的形式来解方程的方法叫做配方法.
x 4= 5， 即x1 1, x2 9.
2x 3= 5，
即x1
53
53
2 , x2 2 .
一元二次方程的解法 用公式法解一元二次方程
用配方法解一般形式的一元二次方程
ax2 bx c 0 (a≠0)
解: 把方程两边都除以 a
x2 b x c 0 aa
移项，得
x2 b x c
一元二次方程的解法
一元二次方程的解法 用配方法解一元二次方程
问题1 :什么叫做平方根？
如果 x2 a(a 0)，那么x叫做a的平方根.
问题2 :什么叫做开平方运算？ 求一个数平方根的运算叫做开平方运算.
问题3 :根据平方根的意义你能解方程x2 25吗？
像这种用直接开平方求一元二次方程
解的方法叫做直接开平方法.