圆的有关概念与性质

圆的有关概念与性质

♦课前热身

1.如图，AB是O O的弦，ODLAB于D交O O于E,.则下列说法错误

A. 5

A . AD= BD

B . / ACB=/ AOE

C . AEBE

D . OD= DE

2.如图，O O的直径AB垂直弦CD于点P, 且P是半径OB的中点, CD= 6cm,则直径AB的长是（）

A. 2 虏

cm

B . ^2cm .472cm D . 473cm

AB= 6, M是AB上任意一点，且OM最小值为4，则OO的半径为（

3.如图，O O的弦

B

的是（）

4.如图，O O的半径为5, 弦AB= 8, M是弦AB上的动点，则OM不可能为（

A. 2

5.如图，AB是O O的直径, 弦CD!AB于点E,/ CDB= 30° , OO的半径为U3cm，则弦CD 的长为■（）

角定理及推论，这也是本书的重点，其中在运用相关定理时正确区分各定理的题设和结论是 本节难点.

3 .理解并掌握圆内接四边形的相关知识，

而圆和三角形、？四边形等结合的题型也是中

考执占

■J 八、、八、、• ♦备考兵法

“垂径定理”联系着圆的半径（直径） 、弦长、圆心和弦心距，通常结合“勾股定理” 来寻找三者之间的等量关系， 同时其中还蕴含着弓形高（半径与弦心距的差或和）与这三者 之间的关系.所以，在求解圆中相关线段的长度时， 常引的辅助线方法是过圆心作弦的垂线 段，连结半径构造直角三角形， 把垂径定理和勾股定理结合起来， 有直径时，常常添加辅助 线构造直径上的圆周角，由 此转化为直角三角形的问题.

常考题型：圆心角、圆周角定理及推论常以选择题或填空题出现; 结合起来常以计算题出现 ♦考点链接

1.圆上各点到圆心的距离都等于

是它的对称中心.

C . 2V3cm

D . 9cm

1. 2. 3. 4. 5.

♦考点聚焦

1.圆的有关概念，包括圆心、半径、 弦、弧等概念，这是本节的重点之一. 2 •掌握并灵活运用垂径定理及推论,

圆心角、弧、弦、弦心距间的关系定理以及圆周

垂径定理和勾股定理

2.圆是

对称图形，任何一条直径所在的直线都是它的 ；圆又

对称图形,

s

2

【参考答

3.垂直于弦的直径平分

，并且平分 ;平分弦（不是直径）的

垂直于弦，并且平分

4.在同圆或等圆中，如果两个圆心角，两条弧，两条弦，两条弦心距，两个圆周角中有一

【答案】A

【解析】主要利用垂径定理求解 .连接OA 根据垂径定理可知 股定理可得：0M= 3。又0D= 5,贝U DM= 8.

例3 （贵州贵阳）如图，已知 AB 是O0的直径，点C 在O0上, 且 AB=13, BC=5.

(1)求 sin / BAC 的值;

组量 ，那么它们所对应的其余各组量都分别

5.同弧或等弧所对的圆周角 ，都等于它所对的圆心角的

6.直径所对的圆周角是 ，90°所对的弦是

♦典例精析 例1 （山西太原） 如图，在 Rt △ ABC 中，/ C = 90°, AB= 10,

若以点C 为圆心,

CB 长为半径的圆恰好经过 AB 的中点D,

则AC 的长等于（

A. 5品

A

D'-—-^B

B . 5

【解析】本题考查圆中的有关性质，连接

D 是 AB 中点，AB= 10,.・. CD

1

=—AB= 5 ,••• BC= 5，根据勾股定理得

2

例2 （黑龙江哈尔滨） 如图，O O 的直径CD= 10,弦AB= 8,

AC= 5罷，故选A

AB 丄CD 垂足为 M 则DM 勺长

AM= 4,又

（2）如果ODLAC 垂足为点

D,求AD 的■长;

3.（浙江嘉兴）如图，O P 内含于O 0,0 O 的弦AB 切O P 于点C,且AB// OP

BC ••• sin / BAC=—=

AB

(2)在 Rt △ ABC 中, AC= J AB 2-BC 2

O 的半径为1, AB 是O O 的一条弦，且 AB= J 3，则弦AB 所对圆

周角的度数为（

）

（3）求图中阴影部分的面

积. （精确到0.

1） 【答案】解：（1）v AB 是OO 的直径,

又•/ ODL AC 于点D,

••• AD=— AC=6.

2

1 （3）TS 半圆=—兀X

2 1 1 S △ABC =—ACX BC=— X 12 X 5=30, 2 2 169 --S 阴影=S 半圆一S AABC = --- 兀 一 30 〜36

3 8 点评 “直径所对的圆周角为 90°”以及“垂径定理”可以将圆的有关知识和三角形 AB ) 2=1. 2 2 169 169 X --- = ---- 兀.

4 8

有关知识结合起来•因此对这部分知识应加以重视. ♦迎考精练 、选择题 1.（湖北孝感）如图，O O 是^ ABC 的外接圆，已知/ B = 60°，则/ CAO 的度数是（）

.30°

C . 45°

D . 60

A . 15 A f t

B.60

C.30 或150

D.60 或120

A.30 5

13

2.（山东泰安）如图，O