哈密顿图的判定与应用【文献综述】

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哈密尔顿图的判定及在旅行货郎问题”上的应用

哈密尔顿图的判定及在旅行货郎问题”上的应用作者：杨冀林来源：《赤峰学院学报·自然科学版》 2011年第3期杨冀林（赤峰学院计算机科学与技术系，内蒙古赤峰 024000）摘要：伴随着数学和计算机科学的发展，图论的应用已经渗透到了各个领域；利用图的直观性和漂亮的表现特性可以使人们对现实的系统有更清晰的了解.在现实的世界当中许多问题的数学抽象形式都可以用图来描述，例如互联网、通讯网、交通网、分子结构、集成电路等.图论已经成为了人们研究自然科学和社会科学的重要工具，其中哈密尔顿图在其相关的领域的应用已经越来越广泛.大部分的图论书上都给出了哈密尔顿图的判别方法和相关的应用，本文在查阅大量相关的资料的基础上总结和概括哈密尔顿图的起源、判别方法及相关的应用.关键词：数学；图论；哈密尔顿图；判别方法；应用中图分类号：O157.5 文献标识码：A 文章编号：1673-260X（2011）03-0004-031 哈密尔顿图的起源哈密尔顿（Hamilton）是一位出生在爱尔兰的天文学家和数学家.他的一生是很丰富多彩的，自从他发现“四元数”后，他又发现了另一种称之为“The Icosian Calculus”的代数系统，这个系统包含有乘法和加法的运算算子，但是乘法并不满足交换律.他发现的这个代数系统是和正则12面体有关的.于是在1859年他提出了所谓的“周游世界游戏”：将一个正十二面体当中的20个顶点分别表示全世界的20个城市（如图1-1），一个人要从其中的某一个城市出发，经过每一个城市刚好一次，然后再回到出发点，问这样的旅行路线是否真的存在？这个游戏曾经风靡一时.可以应用拓扑的思想，将这正十二面体“拉平”将会得到一个和它同构的平面图（如图1-2），这样进行就可以将这个游戏转化为：要求必须沿着正十二面体的棱，怎样才能走完正则十二面体上的所有顶点，而且最后又回到起点的问题.从此以后，由于这游戏的缘故，人们就把这一类图称为哈密尔顿图.2 哈密尔顿图的相关概念设G是一个图，包含图G中的每个顶点的路就称为哈密尔顿路.通过图G中每个顶点有且仅有一次的通路就称为哈密尔顿通路.通过图G中的每个顶点有且仅有一次的回路就称为哈密尔顿回路.一个图假如含有哈密尔顿回路，则这个图就是哈密尔顿图.3 哈密尔顿图的判定任意给定一个图，怎样才能知道它是不是哈密尔顿图呢？当然如果这个图的顶点不多，你可以直接用最为古老的“尝试和错误”的蛮力方法找出哈密尔顿回路就可以判断了.但是数学家们并不满意这种碰得焦头烂额后才能找到真理的办法.那么是否存在一个充分必要条件，能使我们简单地判断任意给的图是否为哈密尔顿图呢？很多科学家做过大量研究，但是遗憾的是到目前为止还没能得到一个判别哈密尔顿图的充要条件，这也是图论的一大难题.虽然存在一些充分不必要，或者必要不充分的条件，但是在大部分的情况下，还是采用最古老的尝试的办法，不过这些判别方法在某些场合也是十分有用的.下面将介绍几个判别哈密尔顿图的方法：因为对任意一个图来说如果它是哈密尔顿图，当且仅当它的基础简单图是哈密尔顿图，所以我们只要考虑简单图.我们首先给出判别哈密尔顿图的四个充分条件：最早的提出哈密尔顿图的充分条件的是英国的狄拉克.他的定理只要求检查图上的每个顶点x，看每个顶点x上有多少个弧通过，将通过顶点x的弧个条数记为D(x),当图中的每个顶点的D(x)相当大时，这个图就是哈密尔顿图.定理1(狄拉克定理) 任意给定一个图，如果这个图的顶点数n≥3，而且D(x)≥n/2,那么这个图一定是哈密尔顿图.根据狄拉克定理我们可以判断下面的两个图G1和G2（图2-1）都是哈密尔顿图.因为在图G1当中，每一个顶点x都有D(x)=3，而n=4，显然D(x)=3≥4/2=2.而在图G2当中，每一个顶点x都有D(x)=4，而n=6，显然D(x)=4≥6/2=2.所以图G1和图G2都是哈密尔顿图.在狄拉克提出上述充分条件的八年后，美国的著名图论学家奥斯坦·奥勒将狄拉克的工作进行了推广，得到了以下的十分重要的结论.定理2(奥勒定理) 任意给定一个图，如果这个图的顶点数n≥3，而且对于任意的两个顶点x，y都有D(x)+D(y)≥n，那么这个图一定是哈密尔顿图.在奥勒得到上述结论两年后，匈牙利的一个叫博萨德的少年发表了仅有一页长的论文，虽然论文只有一页但其结果却对奥勒定理进行了推广，他所做的工作是相当重要的，在当时引起了很多人的关注.在以后的几年中，有很多的人都想改进他的工作，最后有一个捷克的青年数学家得到了比他更好的结论.为了更好的看清博萨的结论，在这里先引进一些记号：对于任意的一个图G，我们用D(G)表示序列（D(x1),D(x2),…,D(xn)），这里的x1,x2,…,xn代表图G中的所有顶点，而序列的数是由小到大的排列，也就是说D(x1)≤D(x2)≤…≤D(xn).例如在图2-1中我们有：从上面的分析可以看出博萨的结论比奥勒的结论要强.但是我们却通过图G4看到了它并不满足博萨的不等式.所以人们人们就尝试着想找出比博萨更好的不等式来判别更加多的哈密尔顿图.到目前为止，比较好的结论是捷克的青年数学家萨瓦达提出来的，他的结论如下：定理4(萨瓦达定理) 如果一个图G的顶点数大于2，而且D(G)=(a1,a2,…,an)满足下面的条件：对于每一个小于n/2的正整数i两个不等式ai≥i+1,an-i≥n-i最少有一个是成立的，那么图G就一定是哈密尔顿图.我们可以看出图G4并不满足萨瓦达条件，所以我们可以相信有更好的条件存在.我们下面给出一个判别哈密尔顿图的必要条件：定理5 设一个无向图G=(V,E)是一个哈密尔顿图，V1是V的一个非空子集，则有P(G-V1)≤|V1|.其中P(G-V1)表示从G中删除V1后得到的连同分支数.证明假设C为图G当中的一条哈密尔顿回路.（1）要是V1当中的顶点在C上是彼此相邻的，那么：P(C-V1)=1≤|V1|；（2）要是V1当中的顶点在C上存在R（2≤R≤|V1|）个互相不相邻，那么：P(C-V1)=R≤|V1|；对于一般的来说，V1当中的顶点在C上总是既有相邻的又有不相邻的，因而总会有：P(C-V1)≤|V1|.又因为C为图G的生成子图，所以：P(G-V1)≤P(C-V1)≤|V1|.定理5一般是用来证明某一个图是非哈密尔顿图的.以上是目前判断一个图是否是哈密尔顿图的几种常用的方法.判断一个图是否是哈密尔顿图的其它方法，限于篇幅就不一一介绍了.4 哈密尔顿图在旅行货郎问题上的应用假设有n个城镇，已知其中任意的两个城镇间的距离，一个售货员，要从某一个城镇出发巡回售货，问这个售货员应该怎样的选择路线，才能使每个城镇有且只有经过一次，最后又回到出发点，并且要使总的行程最短.这个问题就称为旅行货郎问题.实际旅行货郎问题就是指在一个赋了权的完全图当中，找出一个具有最小权值的哈密尔顿路，最后回到出发地.旅行货郎问题是由德国的著名数学家K.Menger在1932年提出来的，近80年来一直是很多人废寝忘食的研究对象.在我们的日常生活当中常常会遇到这样的问题，例如：（1）假设你是一个学校校车的司机，要从学校开车出来，到不相同的街道去接学生，你应该怎样安排线路才能使开车的路程最短，可以接到所有的学生回到学校？（2）假设你你需要乘坐飞机去几个城市，而不同的飞机公司会提供不相同的票价，你应该怎样的安排行程，使得你能走遍你将要去的城市，最后又回到你最开始所在的地点，而且又能最省钱？（3）假设你想自己驾车去几个城市旅行，但现在的汽油价格这么的昂贵，你想尽量多的省油，而汽油的消耗跟路程是称正比的，因此就得想个办法找到一个回路，这个回路应该有最短的路程.上述的这些问题，从表面上看并没有什么的关系，但实质上它们都可以归结从“旅行货郎问题”来求解.虽然现实当中的很多问题都可以归结为“旅行货郎问题”，但是到目前为此，还没有找到一个行之有效的求解方案.“旅行货郎问题”目前是很多的国家（例如美国、日本、德国、法国、中国）的运筹学工作者的研究热点.虽然现在解决“旅行货郎问题”有很多种方法，但是由于这些好的办法都要牵涉到很深的数学知识，所以在这就不做介绍了.结论：图论是一门古老而又年轻的学科.伴随着科学技术的蓬勃发展，图论的知识已经渗透到许多领域.利用图论当中的相关知识可以解决许多的实际问题.哈密尔顿图在图论中又是一个很重要的知识点，哈密尔顿图理论有着很重要的实际意义.本文讨论了哈密尔顿图的产生过程及相关的概念，分析阐述了哈密尔顿图的判别方法.最后给出了哈密尔顿图的一个应用.希望通过本文能引起更多的人对哈密尔顿图的关注，尽早找到一个简单有效的判别哈密尔顿图的充要条件，以解决图论的难题.参考文献：〔1〕哈拉里F.图论.上海科学技术出版社，1980：77-78.〔2〕徐俊明.图论及应用.中国科技大学出版社，1998：52-53.〔3〕舒贤林，徐志才.图论基础及其应用.北京邮电学院出版社，1988：42-43.〔4〕李修睦.图论导引.华中工学院出版社，1982：107-108.〔5〕卢开澄，等.图论及应用.清华大学出版社，1995：70-77.〔6〕白其峥.数学建模案例分析.海洋出版社，1999：70-74.。

哈密顿图的判定与应用【开题报告】

开题报告信息与计算科学哈密顿图的判定与应用一、综述本课题国内外研究动态, 说明选题的依据和意义图论(graphic theory)是一门既古老又年轻的学科. 它诞生于18世纪上半叶. 到19世纪下半叶这个领域才发展成为数学的一个系统的分支, 直到20世纪上半叶, 这门学科才有自己的著作出现. 自20世纪下半叶开始, 随着计算机科学与技术的发展, 图的理论研究和应用研究才得到迅速广泛的重视, 图论作为一个数学的分支, 才真正确立了自己的地位. 哈密顿(爱尔兰科学家)在1859年提出一个名叫“周游世界”游戏问题是: 能否遍历正12面体的每个顶点一次且一次后回到原地. 由此引申出哈密顿图的定义: 如果图上有一条G 经过图所用顶点一次且仅一次的回路, 则称此回路为哈密顿回路, 具有哈密顿回路的图G 称为哈密顿图.哈密顿图具有六个领域: 哈密顿圈, H 连通, 泛圈, 点泛圈, 边泛圈, 泛连通. 哈密顿图是有哈密顿圈的图. 至今没有一个像欧拉图的充要条件那样的“非平凡的”(不是定义的同义反复)关于哈密顿图、哈密顿通路的充分必要条件, 但关于他们的充分性和必要性分别有一些研究成果. 而哈密顿图不光在金字塔图、扇面蜂巢图及马图上有体现它性质的研究, 且在四正则连环图和彼得森中有它独特的应用.而且哈密顿图在哈密顿通路、哈密顿轨、多哈密顿轨问题上也有很多细致的研究和应用.1984年时在连续10年排名加拿大第一大学的范更华教授得到名垂青史的“范定理”: 2连通阶图的距离是2的任意两点均有, 则是有圈, n G ,x y max{(),()}/2d x d y c ≥G c 当时是哈密顿图. 当然, 关于如此著名的范定理, 各国不少专家也对范定理企求做出c n =改进发展. 1987年Wojda 院士和欧洲最古老的著名大学之一的法国奥大的运筹学科创建奠基人Benhocine 教授2人合作仅局部推广上面范定理. 又如法国 Benhocine 教授1977年发表在法国科学院学报的哈密顿图论文就一直有国际影响, 但他至今仅有25篇数学论文且18篇是哈密顿图的, 他是排名哈密顿图研究前30名大师之一.哈密顿图已经历了一个多世纪的跋涉, 容易攀登的时代已经过去了, 其进展已非常不容易, 如此即使是世界级的大师泰斗, 不论你多么聪明利害都好, 面对的下一个问题猜想都永远是相关学科的全世界的专家经过多年仍不能解决的, 就是想做点进展都非常不容易, 每一篇论文都是超越最权威大师的成果. 哈密顿图的难如两个权威说“非常不容易”. 但它却具有重大历史意义以及广泛而重要的应用价值.现国际数学联盟主席是哈密顿图权威, 并且琼州大学赵克文和美国权威等合作改进耶鲁大学Ore 院士等大师权威的代表性结果已在“哈密顿图”居世界领先.在国内, 宁宣熙和宁安琪提出了哈密顿圈自组织算法的实证研究结果和其在哈密顿图判定上的应用, 介绍了SOA 算法在大约 12000个规模不同()104000,208000n m =-=-的一般任意图中构造哈密顿圈的实证研究结果, 验证了SOA 算法的可靠性和时间的多项式性. 在此基础上论证了SOA 算法用于判断一般任意图是否为哈密顿图的可行性, 并用一些实例进行了实证研究. 在阻塞流理论的研究中, 利用网络最小阻塞流与哈密顿轨之间的关系建立了哈密顿轨问题的无环最小支撑流模型. 通过这个模型可以把一步内构造无环最小支撑流这一数学难题分解成分别在多项式时间内完成的两个阶段,从而为解决这一数学难题找到了新的思路,开发研制了在一般任意图中构造哈密顿圈的自组织算法(或SOA 算法). 在文献, 全面详细地介绍了作者经过10多年潜心研究这一算法的理论及进行12000余[14]-例实证研究的结果. 到目前为止尚未遇到反例. 由于不少学者根据NPC 理论认定这是绝对不可能的, 因此作者只好通过大量的实证研究来显示这一多项式算法存在的可能性. 况且, 作者进行这项研究的目的并不是为了解决计算复杂性理论中NP 是否等于P 的问题,而是为学术研究和工程应用提供一种在一般图中构造哈密顿圈的实用有效工具. 即便有人能找到反例, 说明SOA 算法只不过是像线性规划单纯形算法那样, 是一个实用的好算法, 应当说这也是一个很幸运的结果. 因为有了它, 不但可以在用相关定理(如范定理或者其它更新的定理)判定存在哈密顿圈的一般图中构造出至少一条具体的哈密顿圈, 也可以对超出这些定理范围之外的一般图进行是否是哈密顿图的判定, 这岂不也是一项有实用价值的成果. 如果这些研究结果还能对数学家们在解决哈密顿图判定的理论研究上有所启迪和帮助, 那么这项研究就更有意义了. 二、研究的基本内容, 拟解决的主要问题研究的基本内容: 1. 哈密顿图的判定;2. 哈密顿图的应用.解决的主要问题: 1. 判定一个图是否是哈密顿的必要条件.2. 判定一个图是否是哈密顿的充分条件.3. 哈密顿图问题的应用.三、研究步骤、方法及措施研究步骤: 1. 查阅相关资料, 做好笔记;2. 仔细阅读研究文献资料;3. 在老师指导下, 确定整个论文的思路, 列出论文提纲, 撰写开题报告;4. 翻译英文资料;5. 修改英文翻译, 撰写文献综述;6.撰写毕业论文;7. 上交论文初稿;8. 反复修改论文;9. 论文定稿.四、参考文献[1] 宁宣熙, 堵塞流理论及其应用[M]. 北京: 科学出版社, 2005.[2] Xuanxi Ning and Angelika Ning, The Blocking Flow Theory and its Application toHamiltonian Graph Problems[J]. Shaker Verlag. Aachen, 2006, 21(2): 286~318.[3] Ning Xuanxi. The Minimum Spanning Flow in a Network and its Self-organizationPrinciple[J]. The International Journal of Systems & Cybernetics, 2004, 33(2): 331~338.[4] Xuanxi Ning and Angelika Ning, The Minimum Spanning Flow Model of the HamiltonianPath Problem in a Digraph and its Polynomial Algorithm[J]. Information Processing and Management, 2006, 38(3): 356~361.[5] 同济大学应用数学系. 离散数学[M]. 上海: 同济大学出版社, 2003.[6] 同济大学应用数学系. 离散数学[M]. 上海: 同济大学出版社, 2003.[7] 王小东. 算法分析与设计[M]. 北京: 清华大学出版社, 1900.[8] 付寒冰, 周恒为. 数据结构中常用的三类算法[J]. 伊犁师范学院学报, 1997, 17(2):12~138.[9] 宁安琪, 宁宣熙. 金字塔图的哈密顿图性质研究[J]. 南京航空航天大学经济与管理学院学报, 2006, 21(3): 17~23.[10] 田媛, 刘铎. 金字塔图存在哈密顿回路的构造性证明[J]. 清华大学学报, 2007, 13(2): 38~52.。

哈密尔顿图在实际中的应用

三模型的建立与求解将公路网图中每个多镇或村看作图中的一个节点各乡镇村之间的公路看作图中对应节点问的边各条公路的长度或行驶时间看作对应边上的权所给公路网就转化为加权网络图问题就转化为在给定的加权网络图中寻找从给定点o出发行遍所有顶点至少一次再回到o点使得总权路程或时间最小此即最佳推销员回路问题
山西大学硕士学位论文哈密尔顿图在实际中的应用姓名：燕建梁申请学位级别：硕士专业：基础数学指导教师：李胜家 20060601
本文起一个抛砖引玉的作用，希望更多的数学爱好者了解并关注此问题，以便更好地为实际服务，解决更多的实际问题。
哈密尔顿图的应用
第一章哈密尔顿图的产生
哈密尔顿（Ｈａｍｉｉｒｏｎ）是爱尔兰的一位数学家和天文学家。他的一生是多姿多彩的，自从哈密尔顿发现“四元数”之后，他又发现了另外一种他命名为“Ｔｈｅ
Ｉｃｏｓｉａｎ
２
引言
引言
图论是一门既古老又年轻的学科。随着科学技术的蓬勃发展，它的应用已经渗
透到自然科学、社会科学的各个领域。利用它可以解决很多实际问题。对于图沦中
的欧拉（Ｅｕｌｅｒ）图以及与之有关的邮递员问题等已经有了很好的解决方法，然而哈
密尔顿（Ｈａｍｉｉｒｏｎ）图以及与之有关的旅游货郎问题一直悬而未决。哈密尔顿（Ｈａｍｉｉｒｏｎ）图理论有着重要的理论意义和实际意义，许多图论以及运筹学学科研究人员都进行着深入的研究。大部分图论及其应用书上都给出Ｈａｍｉｌｔｏｎ图的有关概念，一些文献上给出了ＨａｍｉＩｔｏｎ图存在的必要条件和个别充分条件，但都不完善。本文第一章简单介绍了Ｈａｍｉｌｔｏｎ图的产生及发展过程。第二章在给出Ｈａｍｉｌｔｏｎ图的有关概念的基础上讨论Ｈａｍｉｌｔｏｎ图存在的必要条件和充分条件。
ｐ（Ｃ—Ｖ，）＝１≤ｌＶ

离散数学-图论-哈密顿图及其应用

离散数学-图论-哈密顿图及其应⽤哈密顿图⼀、定义概念1.哈密顿通路设G=<V,E>为⼀图（⽆向图或有向图）.G中经过每个顶点⼀次且仅⼀次的通路称作哈密顿通路2.哈密顿回路G中经过每个顶点⼀次且仅⼀次的回路（通路基础上+回到起始点）称作哈密顿回路3.哈密顿图若G中存在哈密顿回路，则称它是哈密顿图4.定义详解：（1）存在哈密顿通路（回路）的图⼀定是连通图；（2）哈密顿通路是初级通路，哈密顿回路是初级回路；（3）若G中存在哈密顿回路，则它⼀定存在哈密顿通路，反之不真（看课本的话，是必要条件，⽽不是充分条件，故不可反推！）（4）只有哈密顿通路，⽆哈密顿回路的图不叫哈密顿图；即，哈密顿图是回路⼆、判定定理注意：⽬前还没有找到哈密顿图的简单的充要条件（1）设⽆向图G=<V,E>为哈密顿图，V1是V的任意真⼦集，则（注：n阶xx图指的是n个顶点，不要迷！）p(G-V1)<=|V1|其中，p(G-V1)为G中删除V1后的所得图的连通分⽀数⽬，|V1|为V1集合中包含的顶点个数。

【哈密顿图存在的必要条件】推论：有割点的图⼀定不是哈密顿图设v是图中的割点，则p(G-v)>=2,由上述定理知G不是哈密顿图（2）设G是n(n>=3)阶⽆向简单图，若对于G中的每⼀对不相邻的顶点u,v,均有d(u)+d(v)>=n-1则G中存在哈密顿通路。

⼜若d(u)+d(v)>=n则G中存在哈密顿回路，即G为哈密顿图。

【哈密顿图存在的充分条件，不是必要条件】其中d(u),d(v)分别代表顶点u,v的度数。

推论：设G是n(n>=3)阶⽆向简单图，若G的最⼩度>=n/2,则G是哈密顿图。

由推论知，对于完全图Kn,当n>=3时，是哈密顿图，完全⼆部图Kr,s当r==s>=2时是哈密顿图。

（3）在n(n>=2)阶有向图D=<V,E>中，如果略去所有有向边的⽅向，所得⽆向图中含⽣成⼦图Kn,则D中存在哈密顿通路。

36 哈密顿图

离散结构哈密顿图教学目标基本要求（1）哈密顿图的定义（2）哈密顿图的充分条件与必要条件（3）哈密顿图的应用重点难点（1）哈密顿图的判定（2）哈密顿图的应用1859年提出一个名叫“周游世界”的游戏，问题是：能否遍历正12面体的每个顶点一次且仅一次后回到原地。

？哈密顿（爱尔兰数学家）定义•哈密顿通路——经过图中所有顶点一次仅一次的通路.•哈密顿回路——经过图中所有顶点一次仅一次的回路.•哈密顿图——具有哈密顿回路的图.•半哈密顿图——具有哈密顿通路且无哈密顿回路的图.•几点说明：–平凡图是哈密顿图.–哈密顿通路是初级通路，哈密顿回路是初级回路.–环与平行边不影响哈密顿性.–哈密顿图的实质是能将图中的所有顶点排在同一个圈上实例在上图中，•(1),(2) 是哈密顿图;•(3)是半哈密顿图;•(4)既不是哈密顿图，也不是半哈密顿图，为什么？哈密顿图的必要条件•定理设无向图G =<V ,E >是哈密顿图，对于任意V 1⊂V 且V 1≠∅，均有p (G −V 1) ≤|V 1|•推论设无向图G=<V ,E>是半哈密顿图，对于任意的V 1⊂V 且V 1≠∅均有p (G −V 1) ≤|V 1|+1•几点说明–定理中的条件是哈密顿图的必要条件，但不是充分条件（例如彼得松图）–由定理可知，K r ,s 当s ≥r +1时不是哈密顿图. 易知K r ,r （r ≥2）时都是哈密顿图，K r ,r +1都是半哈密顿图.哈密顿图的充分条件•定理设G是n阶无向简单图，若对于任意不相邻的顶点v,v j，均有id(v i)+d(v j) ≥n−1则G 中存在哈密顿通路.,v j，均有•推论设G为n(n≥3) 阶无向简单图，若对于G中任意两个不相邻的顶点vid(v i)+d(v j) ≥n则G中存在哈密顿回路，从而G为哈密顿图.•几点说明–定理是半哈密顿图的充分条件，但不是必要条件. 长度为n−1（n≥4）的路径构成的图不满足条件，但它显然是半哈密顿图.–推论同样不是哈密顿图的必要条件，G为长为n的圈，不满足条件，但它当然是哈密顿图.例在给出的三个图中哪些是哈密顿图？哪些是半哈密顿图？为什么？例试判断下面在给出的图是欧拉图还是哈密顿图？判断某图是否为哈密顿图至今还是一个难题.哈密尔顿图的应用例：一只蚂蚁可否从立方体的一个顶点出发，沿着棱爬行，它爬过每一个顶点一次且仅一次，最后回到原出发点？试利用图作解释。

哈密尔顿图的判定及应用docx改后2

通化师范学院本科生毕业论文（2016 届）题目哈密尔顿图的判定及应用学院数学学院专业数学与应用数学班级三班作者姓名李历学号201206010306指导教师张静职称副教授学位硕士论文成绩2016 年 5 月中文摘要 (1)中文关键词 (1)英文摘要 (1)英文关键词 (1)1引言 (1)2相关概念 (2)3 哈密尔顿图的判定 (2)3.1定义判定法 (3)3.2充分条件判定法 (3)3.3必要条件判定法 (4)4哈密尔顿图的应用 (5)4.1在相邻座位问题上的应用 (5)4.2在旅行售货问题上的应用 (6)5结论 (8)参考文献 (8)哈密尔顿图的判定及应用数学学院1203班李历摘要:哈密尔顿图起源于哈密尔顿发现的一个环球游戏,它的判定方法有很多,但目前还没有找到判定的充分必要条件,本文对定义判定法,充分条件判定法,必要条件判定法三种判定方法进行说明,并对部分判定法进行举例.同时哈密尔顿图在实际中也有很多应用,本篇文章总结了哈密尔顿图在相邻座位问题和旅行售货问题两类生活实际中的应用,并进行了相应的举例说明.关键词:哈密尔顿图；顶点的度；赋权图Determination and Application of Hamilton GraphClass1203 School of Mathematics Li LiAbstract:Hamilton graph originated from Hamilton discovered a universal game,there are many methods for judging it,but there is no found determine the necessary and sufficient conditions,in this paper, the definition decision method,the sufficient condition decision method,the necessary conditions to determine three decision method,and some determination methods are used for example.Hamilton graph at the same time also has a lot of application in actual,this article summarizes the Hamilton graph in adjacent seats and travel sales problems the application of two kinds of real life,and the corresponding examples.Key words:Hamilton graph; degree;weighted graph1 引言哈密尔顿在1857年发明了一个游戏,它是由一个木制的正十二面体构成,将当时很多的城市标在每个棱角的位置.游戏目的是“环球旅行”,即经过每座城市恰好一次,然后回到原点,为了方便知晓经过的城市,在每个棱角上放上一个钉子,将经过的城市用线连接,由此可以获得旅程的直观表示.正十二面体的顶点与棱的关系可以用平面上的图来表示：把正十二面体的顶点与棱分别对应图的顶点与边,就得到图1中的正十二面体图,这个游戏就会有很多答案,如图2就是其中一种答案,也就是一个哈密尔顿图,哈密尔顿图的定义是怎样的？它在生产生活中又有哪些应用呢？下面将会给出哈密尔顿图的定义、判定方法及相关应用.2 相关概念定义 1 二元组()()()G E G V ,称为图.其中()G V 是非空集合,称为顶点集,()G E 是()G V 诸顶点之间边的集合.常用()E V G ,=表示图.定义 2 图()E V G ,中,与顶点v 相关联的边数(每个环计算二次),称为顶点v 的度.记()v d G 或()v d .定义3 在一个图()()()()G G E G V G ϕ,,=中,如果()uv e G =ϕ,我们就说边e 连接顶点u 和v ,称u 和v 是e 的端点,也称u 和v 相邻,同时也称u (或v )与e 关联.定义4 如果对图()E V G ,=的任何两个顶点u 与v ,G 中存在一条()v u -路,能称G 是连通图,否则称为是非连通图.定义5 图()E V G ,=的一个点边交替出现的有限序列k k k v e v e v e v e v W 1322110-= ,这里()k i v i ≤≤0是G 的顶点,()k i e i ≤≤1是G 的边,满足i e 的两个端点就是1-i v 和()k i v i ≤≤1,则称W 是G 的一条从0v 到k v 的途径,简称为()k v v -0途径,()11-≤≤k i v i 称为W 的内部顶点；k 称为途径W 的长度；0v 与k v 称为W 的起点与终点,或统称为W 的端点.定义6 我们通常把起点及内部顶点互不相同的闭迹称为回路.定义7 图G 中的一个回路C 称为G 的一个Hamilton 回路,如果C 含有G 的所有顶点,Hamilton 回路简称为-H 回路,包含G 的所有顶点的路称为Hamilton 路.而称含有Hamilton 回路的图为Hamilton 图,简称为-H 图.定义8 在一个赋权完全图中,找一个具有最小权的Hamilton 回路,我们称这种回路为最优Hamilton 回路.定义9 给定有向图()A V D ,=后,有时需要对D 中的每条弧a 赋予一个实数()a w ,通常()a w 称为赋予弧a 的权,赋权的有向图称为有向网络,记为()W A V N ,,=.3 哈密尔顿图的判定对于给定的一个图,如何判断它是否为哈密尔顿图呢？到目前为止我们还没有找到一个判断哈密尔顿图的充要条件,但经过数学学者的不断学习与努力研究,找到了一些判定哈密尔顿图的充分条件和必要条件. 3.1定义判定法根据定义9,判断一个图是否为哈密尔顿图,只需找到这个图中是否有Hamilton 回路,若有即为哈密尔顿图,否则,不是哈密尔顿图.例1 判断图3是否为哈密尔顿图.解因为图中含有.3.2充分条件判定法定理1设G 中任意两个不相邻的顶u 与v ,均有()()()G p v d u d G G ≥+则G 是Hamilton 图()()3≥G p .推论1 若G 是具有()3≥p p 个顶点的简单图,每个顶点的度至少是2p,则G 是Hamilton 图;定理2 设图G 的度序列为()pd d d d ,,,,321,p d d d ≤≤≤ 21,3≥p ,若对任何2pk <,或有k d k >或有k p d k p -≥-,则G 是Hamilton 图. 推论2 图G 的度序列为()pd d d ,,21,图3完全图3,21≥≤≤≤p d d d p ,若对任何k ,211-<≤p k 均有k d k >,若p 为奇数,更有 ()()121121->+p d p , 则G 是Hamilton 图.需要注意的是,定理2也只是一个Hamilton 图的充分条件而不是必要条件,另外由定理2可直接推得定理1和推论1,而且定理2比这两个充分条件更强,有些判断哈密尔顿图的题,满足定理2但不满足定理1和推论1时,此时判断的图也为哈密尔顿图. 3.3必要条件判定法定理2 若G 是Hamilton 图,则对()G V 的每一个非空真子集S ,均有()G S G w ≤-.这个定理是Hamilton 图的必要条件,所以一个图不满足条件时,它即不是哈密尔顿图.例2 图4为一个博物馆的平面图,小明和妈妈去参观博物馆, 博物馆的出口和入口都在H 处,博物馆的每个房间有门联通,妈妈和小明进入后,想经过博物馆的每个房间恰好一次,然后从出口出来,证明不存在一条从入口进,恰好经过每房间一次再从出口出来的参观路线. 证明用顶点代表展览室,两个相邻的顶点表示两个博物馆房间之间有门相连,能够得到图5所示连通简单图,如果这个连通图是哈密尔顿图,则满足题的参观路线存在,否则,满足题的参观路线不存在,证明参观路线不存在,只要证明图中不存在哈密尔顿回路即可. 由图可知,顶点18321,,,,x x x x 互不相邻,故{}16,21,,y y y G -它的连通分支由18个孤立顶点1821,,,x x x 组成,即{}(){}16211621,,,,,,y y y y y y G w =-,由定理2知,图中无哈密尔顿回路,即满足题中的参观路线不存在.图 5 连通简单图4 哈密尔顿图的应用哈密尔顿图在生产生活中的应用,可以归结为在相邻座位和旅行售货问题中的应用,在解决相邻座位问题时,可以把人作为顶点构建一个简单图,如果这个简单图为哈密尔顿图,则这些人中每相邻的两个人都相互认识.解决旅行售货问题的实质,是把题中所给的各个要素作为顶点,构建成哈密尔顿回路,在众多回路中,找到权最小的那个回路,即哈密尔顿最优回路,这里的权可以表示两地之间的距离,所用费用或时间,权最小,即意味着行驶路程最小,所用费用最小或时间最少. 4.1在相邻座位问题上的应用相邻座位问题就是指几个不全为两两认识的人相聚而坐,通过对每个人所坐的位置进行设计,使任意一个人都与他相邻的两个人认识的一类实际问题,对于给定的相邻座位问题实质就是判断一个简单图是否为哈密尔顿图的问题.例3 有n 个不全互相认识的人聚会()3≥n ,这n 个人里相互认识的人为一对,则这n 个人相互认识的对数是()()22121+--n n ,证明这n 个人可以围桌而坐,使每个人与他相邻座位上的两个人认识.证明 (分析)用顶点代表这里的n 个人,两个相邻顶点表示这两个人相互认识,则可以用一个简单图表示,且这个简单图至少有()()22121+--n n 条边,此时如果这个简单图是哈密尔顿图,即吃饭的n 个人与他们相邻的两个人都认识,下面证明这个图是哈密尔顿图(反证法)假设G 无哈密尔顿回路,由定理1知,G 中存在两个不相邻的顶点u 与v .使()()n v d u d G G <+,因而G 中至多有1-n 条边关联于u 和v .作{}v u G G ,1-=,由于u 和v 不相邻,故()()()()()1221-+⎪⎪⎭⎫⎝⎛-≤++=n n v d u d G q G q G G()()1221+--=n n这与()()()22121+--≥n n G q 相矛盾,所以G 有哈密尔顿回路C .现在只需按C 的顺序安排人员吃饭就坐,就能使每个人都与他相邻的两个人认识.4.2在旅行售货问题上的应用旅行售货问题是指有n 个城市,邮递员要向这n 个城市送货,设计路线,使邮递员经过每个城市一次,且路程最小的一类问题,解决这类问题时,可以用顶点表示每个元素,作赋权有向图,找到有向图中的最优哈密尔顿回路.例4 某学校校车开车出来接学生,到不同的5个地方去接学生,任意两个学生的家之间都有道路可通,两学生家之间的行驶时间见下表,在一定条件下,选择合理的路线,使得校车行驶的时间最短.表1 5个学生中任意两个学生家行驶时间解可以用图论中的知识解答,用5个顶点1A ,2A ,3A ,4A ,5A 代表5个地方,每两个顶点间连一条边,可以构成众多哈密尔顿回路,表示为如图7所示的完全图：(1) 首先选定一个哈密尔顿回路54321A A A A A ;(2) 这里()v u A A w ,()51,51≤≤≤≤v u 表示地u A 与地v A 之间的距离,其中u ,v 满足,511<<+<v u ,若()()()()54215241,,,,A A w A A w A A w A A w +<+那么就在哈密尔顿回路54321A A A A A 中去掉边()21,A A ,()54,A A ,加上边()41,A A ,边()52,A A 这样就可以形成了新的哈密尔顿回路152341A A A A A A .在这个新的哈密尔顿回152341A A A A A A 里,若()()()()43514531,,,,A A w A A w A A w A A w +<+,点1A 0 2 3 1 7 点2A2 03 5 2 点3A 3 3 04 7 点4A1 5 4 0 5 点5A7275图6 简单图则删除边()51,A A 和()43,A A 加上边()31,A A 和边()45,A A ,又可以得到一个新的哈密尔顿回路132541A A A A A A .(3)得到校车行驶的最短距离为S =1+5+2+3+3=14.例5 小明一家计划在暑假期间进行自驾游,打算旅游五个城市,如下表为5个城市两两之间的旅途费用,为了节省开支,使旅途费用最少,请你为小明一家设计一套合理路线.表2 两城市之间旅途费用解将五个城市用五个顶点1v ,2v ,3v ,4v ,5v 表示,可以构成图8所示完全图,其中两点之间的权表示两两城市之间的旅游费用,图中存在众多哈密尔顿回路,也就是现实问题中去这5个城市的所有路线,题中所要求的开支最小,即所有回路中权最小的那个,也就是最优哈密尔顿回路,问题可以转化为找这个图的最优哈密尔顿回路. (1)首先选定一个哈密尔顿回路154321v v v v v v ;(2)()b a v v w ,表示城市a v 与城市b v 之间的距离,()()()()54325342,,,,v v w v v w v v w v v w +<+,则在回路154321v v v v v v 删掉较长的边()32,v v 和()54,v v ,添上较短的边()42,v v 与()53,v v ,得到回路1v 0元 10元 10元 9元 4元 2v10元 0元 13元 4元 20元 3v 10元 13元 0元 11元 3元 4v9元 4元 11元 0元 16元 5v4元20元3元16元0元153421v v v v v v 为最优哈密尔顿回路.(3)得最小开支为S =10+4+3+3+11=31.5 结论在哈密尔顿图的判定中,可以运用定义判定法,充分条件判定法,必要条件判定法三种方法对其进行判定,但至今为止还没有找到判定的充要条件,这一问题仍未解决,另外哈密尔顿图的应用,加大了数学在实际中的应用,为人们的生产生活带来方便.参考文献：[1]戴一奇.胡冠章.陈卫.图论与代数结构[M].北京:清华大学出版社,1995. [2]卜月华.图论及其应用[M].南京:东南大学出版社,2000.[3]于言坤.哈密尔顿图的矩阵判定法[J].吉林教育学院学报,2009,28(9):149-150. [4]袁威威.李珊.哈密尔顿图的判定及应用[J].黑河学院学报,2014,5(2):123-125. [5]蒲俊.伊良忠.最有哈密尔顿圈的降度算法[J].四川大学学报,2004,41(3):524-527. [6]刘云芬.哈米尔顿图数学中的几个问题[J].湖北师范学院学报,2012,32(3):113-115.[7]杨翼林.哈密尔顿图的判定及在“旅行货郎问题”上的应用[J].赤峰学院学报,2011,27(3):4-6. [8]余桂东.张超.龚奇娟.图的能量与哈密尔顿性[J].运筹学学报,2014,18(2):40-48. [9]文中华.黄巍.一些新的Hamilton 图的必要条件[J].计算机科学,2007,34(1):172-176. [10]程钊.图论中若干基本概念的历史注记[J].数学的实践与认识,2011,41(21):1-9.图8完全图。

论欧拉图_哈密顿图的判定及应用

所有顶点中，选一个与ｘ最邻近的点，把连接ｘ与此点的边加到这条
路上。重复这一步，直到完全图中所有顶点都包含在路中。
步骤２把起始点和最后加入的顶点间的边放入，得到回路。
［３］
参考文献
例２在下图中以点ａ为起点，根据最邻近算法逐点构造出一条哈密［１］马叔良、顾豫；离散数学；电子工业出版社；１９９７
点以及这些点所关联的边后得到的子图，则ｗ（Ｇ－Ｓ）≤ ∣ Ｓ｜成立。其
中ｗ（Ｇ－Ｓ）是Ｇ－Ｓ中连通分支数。［１］
定理４是哈密顿图的必要条件。用它可以证明某些图不是哈密
顿图。
图１
图２
２、用定理来判定
定理１一个无向连通图是欧拉图的充分必要条件是图中各点
用图形可描述现实世界中许多状态变化。图形表达事物是现
２、用定理来判定
代科学技术中的一种重要手段。图形不仅形象直观，而且可以结合
定理３设图Ｇ是具有ｎ个顶点的无向连通图，如果Ｇ中任意
数据，可以数形结合便于计算。因此图论内容是相当现实和必需的，两个不同顶点的度数之和大于等于ｎ，则Ｇ具有哈密顿回路，即Ｇ
邮件时，每次要走遍负责投递范围内的各条街道，然后再回到邮局，
他应该按什么样的路线走，使所走的路程最短？这就是中国邮路问
题。如果将投递地点用点来表示，邮递员可供选择的路线用边来表

哈密顿图

定义4.3.1 经过图G 的每个顶点恰一次的路称为G 的Hamilton 路，简称为H 路。

经过图G 的每个顶点恰一次的圈称为G 的Hamilton 圈，简称为H 圈。

具有Hamilton 圈的图称为Hamilton 图，简称为H 图。

Hamilton 图的研究起源于一种十二面体上的游戏。

1857 年，爱尔兰著名数学家William Rowan Hamilton 爵士（他也是第一个给出复数的代数描述的人）制作了一种玩具，它是一个木制的正十二面体，在正十二面体的每个顶点上有一个木栓，并标有世界著名城市的名字。

游戏者用一条细线从一个顶点出发，设法沿着十二面体的棱找出一条路，通过每个城市恰好一次，最后回到出发点。

这个游戏当时称为Icosian 游戏，也称为周游世界游戏。

将正十二面体从一个面剖开并铺展到平面上得到的图形如下图所示，称为十二面体图。

周游世界游戏用图论术语来说就是判断十二面体图是否Hamilton 图，并设法找出其Hamilton 圈。

其中一条Hamilton 圈如图中粗边所示。

十二面体图是H 图判断一个图是否Hamilton 图与判断一个图是否Euler 图似乎很相似，然而二者却有本质的不同。

目前为止尚没有找到判别一个图是否是Hamilton 图的有效充要条件。

这是图论和计算机科学中未解决的重要难题之一。

本节给出一些经典的充分条件和必要条件。

一、必要条件定理4.3.1 设G 是二部图，若G 是H 图，则G 必有偶数个顶点。

证明：设G = (X, Y ) ，由于G 的边全在X 和Y 之间，因此如果G 有Hamilton 圈C，则G的所有顶点全在C 上，且必定是X 的点和Y 的点交替在C 上出现，因此G 必有偶数个顶点。

证毕。

这个定理给出了一个二部图不是Hamilton 图的简单判断条件：如果一个二部图有奇数个顶点，则它必定不是Hamilton 图。

例如，下列Herschel 图是二部图，但有奇数个顶点，故不是H 图。

图论05-哈密尔顿图

A F
B
A
C
F
B C
E
D
E
D
竞赛图
底图为K4的竞赛图： A
B
C
以上每个图可以看作4个选手参加的循环赛的一种结果
竞赛图与有向哈密尔顿通路
底图是完全图的有向图称为竞赛图。利用归纳法可以证明竞赛图含有向哈密尔顿通路。
循环赛该如何排名次
A F
E
B
按照在一条有向Hamilton通路 (一定存在)上的顺序排名：
Ore定理的证明
Ore定理（1960）设G是无向简单图，|G|=n3，若
对G中任意不相邻的顶点u和v, d(u)+d(v)n （*）
则G有哈密尔顿回图。
证明.反证法, 若存在满足（*）的图G，但是G没有Hamilton回路. 不妨假设G是边极大的非Hamilton图，且满足（*）。若G不是边极大的非Hamilton图，则可以不断地向G增加若干条边,把G 变成边极大的非Hamilton图G’，G’依然满足（*），因为对 vV(G), dG(v)dG’(v)。
设G是无向简单图, |G|=n2, 若G中任意不相邻的顶点对
u,v均满足：d(u)+d(v)n-1，则G是连通图。
假设G不连通，则至少含2个连通分支，设为G1, G2。取xVG1, yVG2, 则：d(x)+d(y)(n1-1)+(n2-1)n-2 (其中ni是Gi的顶பைடு நூலகம்个数)，矛盾。
有限图G是Hamilton图充分必要其闭合图C(G)是 Hamilton图.
闭合图(举例)
a
b
f
c e
d
判定定理的盲区
从“常识”出发个案处理

欧拉图和哈密顿图的判定及应用

上海大学2015～ 2016学年冬季学期研究生课程论文课程名称：图论及其应用课程编号：01SAH9009 论文题目:欧拉图和哈密顿图的判定及应用研究生姓名: 孙亚南学号: 15720007论文评语:成绩: 任课教师:评阅日期:欧拉图和哈密顿图的判定及应用孙亚南（上海大学理学院，上海200444）摘要：图论在生活中有着较为广泛的应用。

本文主要介绍了欧拉图和哈密顿图的几种判定方法，解决了中国邮路问题、旅行售货员问题、排座位问题、判定图是否可一笔画问题等问题。

关键词：图论；欧拉图；哈密顿图Determination and Application of Euler and Hamilton GraphSun Yanan(School of Science, Shanghai University, Shanghai 200444, China)Abstract:Graph theory has a relatively wide application.In the page, this mainly introduces several determinations of Euler and Hamilton graph, and solve Chinese Postman Problem,and Traveling Salesman Problem,and Row of Seats Problem and so on.Key words: Graph Theory; Euler Graph; Hamilton Graph1 引言图论在我们的生活中起着重要的角色，在现实生活中有着较为广泛的应用。

欧拉图和哈密顿图的判定方法是研究欧拉图、哈密顿图的性质，应用的基础。

欧拉图和哈密顿图的判定方法有很多种，每种都给出了欧拉图、哈密顿成立的条件。

通过对欧拉图、哈密顿图的多种判定，利用这种判定的性质，可以研究欧拉图、哈密顿图解决什么样的问题，怎样解决这种问题等问题。

哈密顿图

定义4.3.1 经过图G 的每个顶点恰一次的路称为G 的Hamilton 路，简称为H 路。

经过图G 的每个顶点恰一次的圈称为G 的Hamilton 圈，简称为H 圈。

具有Hamilton 圈的图称为Hamilton 图，简称为H 图。

Hamilton 图的研究起源于一种十二面体上的游戏。

游戏者用一条细线从一个顶点出发，设法沿着十二面体的棱找出一条路，通过每个城市恰好一次，最后回到出发点。

这个游戏当时称为Icosian 游戏，也称为周游世界游戏。

将正十二面体从一个面剖开并铺展到平面上得到的图形如下图所示，称为十二面体图。

周游世界游戏用图论术语来说就是判断十二面体图是否Hamilton 图，并设法找出其Hamilton 圈。

其中一条Hamilton 圈如图中粗边所示。

十二面体图是H 图判断一个图是否Hamilton 图与判断一个图是否Euler 图似乎很相似，然而二者却有本质的不同。

目前为止尚没有找到判别一个图是否是Hamilton 图的有效充要条件。

这是图论和计算机科学中未解决的重要难题之一。

本节给出一些经典的充分条件和必要条件。

一、必要条件定理4.3.1 设G 是二部图，若G 是H 图，则G 必有偶数个顶点。

证毕。

这个定理给出了一个二部图不是Hamilton 图的简单判断条件：如果一个二部图有奇数个顶点，则它必定不是Hamilton 图。

例如，下列Herschel 图是二部图，但有奇数个顶点，故不是H 图。

图论及其应用-哈密尔顿图（alpha）

图论及其应⽤-哈密尔顿图（alpha）图论及其应⽤-哈密尔顿图(alpha)⼩结：2010-04。

todo 没有粘贴公式。

1重要的概念是闭包。

注意 ppt定义42重点汇总与闭包定理3其他的2个定理对⽐：（第⼀阶级：是不是两个反⾯）⼀个是存在不相邻的点u , v, 围绕 du + dv >=n; G 是H图，那么G+uv也是H图（66：增边）满⾜du + dv >=n 都有u,v相邻，那么G是闭包、本次课主要内容(⼀)、哈密尔顿图的概念(⼆)、性质与判定哈密尔顿图1、背景(⼀)、哈密尔顿图的概念1857年，哈密尔顿发明了⼀个游戏(Icosian Game).它是由⼀个⽊制的正⼗⼆⾯体构成，在它的每个棱⾓处标有当时很有名的城市。

游戏⽬的是“环球旅⾏”。

为了容易记住被旅游过的城市，在每个棱⾓上放上⼀个钉⼦，再⽤⼀根线绕在那些旅游过的城市上(钉⼦),由此可以获得旅程的直观表⽰。

哈密尔顿(1805---1865),爱尔兰数学家。

个⼈⽣活很不幸，但兴趣⼴泛：诗歌、光学、天⽂学和数学⽆所不能。

他的主要贡献是在代数领域，发现了四元数(第⼀个⾮交换代数)，他认为数学是最美丽的花朵。

哈密尔顿把该游戏以25英镑的价格买给了J.Jacques and Sons公司 (该公司如今以制造国际象棋设备⽽著名) ，1859年获得专利权。

但商业运作失败了。

该游戏促使⼈们思考点线连接的图的结构特征。

这就是图论历史上著名的哈密尔顿问题。

2、哈密尔顿图与哈密尔顿路定义1 如果经过图G的每个顶点恰好⼀次后能够回到出发点，称这样的图为哈密尔顿图，简称H图。

所经过的闭途径是G的⼀个⽣成圈，称为G的哈密尔顿圈。

例1、正⼗⼆⾯体是H图。

例2 下图G是⾮H图。

证明：因为在G中，边uv是割边，所以它不在G的任意圈上，于是u与v不能在G的同⼀个圈上。

故G不存在包括所有顶点的圈，即G是⾮H图。

定义2 如果存在经过G的每个顶点恰好⼀次的路，称该路为G的哈密尔顿路，简称H路。

欧拉图及哈密顿

哈密顿路径是指一条遍历图的所有顶点的路径，这条路径的起点和终点是同一点，但路径上的边可以重复。
哈密顿图的性质
哈密顿图具有连通性，即任意两个顶点之间都存在一条路径。
哈密顿图的顶点数必须大于等于 3，因为至少需要3个顶点才能形成一条遍历所有顶点的路径。
哈密顿图的边数必须为奇数，因为只有奇数条边才能形成一条闭
欧拉图及哈密顿
• 欧拉图 • 哈密顿图 • 欧拉图与哈密顿图的应用 • 欧拉回路与哈密顿回路 • 欧拉路径与哈密顿路径
目录
01
欧拉图
欧拉图的定义
总结词
欧拉图是指一个图中存在一条路径，这条路径可以遍历图中的每条边且每条边只遍历一次。
详细描述
欧拉图是由数学家欧拉提出的一种特殊的图，它满足特定的连通性质。在欧拉图中，存在一条路径，这条路径从图的一个顶点出发，经过每条边一次且仅一次，最后回到起始顶点。
互作用网络的研究。
04
欧拉回路与哈密顿回路
欧拉回路的概念与性质
概念
欧拉回路是指一个图形中，从一点出发，沿着一条路径，可以回到起始点的路径。
性质
欧拉回路必须是连续的，不能中断，也不能重复经过同一条边。此外，欧拉回路必须是闭合的，起始点和终点必须是同一点。
哈密顿回路的概念与性质
概念
哈密顿回路是指一个图形中，存在一条路径，该路径经过了图中的每一条边且每条边只经过一次。
随机构造法
通过随机选择边和顶点，不断扩展图，直到满足哈密顿图的条件。这种方法需要大量的计算和随机性，但可以用于构造大规模的哈密顿图。
03
欧拉图与哈密顿图的应用
欧拉图在计算机科学中的应用
算法设计
欧拉图理论是算法设计的重要基础，特别是在图算法和动态规划中，用于解决诸如最短路径、最小生成树等问题。

哈密顿图论

哈密顿图十二面体中地哈密顿路径哈密顿图（英语：Hamiltonian path,或Traceable path）是一个无向图,由天文学家哈密顿提出,由指定地起点前往指定地终点,途中经过所有其他节点且只经过一次.在图论中是指含有哈密顿回路地图,闭合地哈密顿路径称作哈密顿回路（Hamiltonian cycle）,含有图中所有顶地路径称作哈密顿路径.美国图论数学家奥勒在1960年给出了一个图是哈密尔顿图地充分条件：对于顶点个数大于2地图,如果图中任意两点度地和大于或等于顶点总数,那这个图一定是哈密尔顿图.哈密尔顿回路问题与欧拉回路类似. 它是1859年哈密尔顿首先提出地一个关于12面体地数学游戏：能否在图10.4.9中找到一个回路,使它含有图中所有结点一次且仅一次？若把每个结点看成一座城市,连接两个结点地边看成是交通线,那么这个问题就变成能否找到一条旅行路线,使得沿着该旅行路线经过每座城市恰好一次,再回到原来地出发地呢？为此,这个问题也被称作周游世界问题（10.4.9）对图10.4.9 , 图中粗线给出了这样地回路.定义10.4.3 给定图G, 若有一条路通过G中每个结点恰好一次, 则这样地路称为哈密尔顿路；若有一个圈, 通过G个每个结点恰好一次, 这样地圈称为哈密尔顿回路（或哈密尔顿圈）. 具有哈密尔顿回路地图称为哈密尔顿图.尽管哈密尔顿回路与欧拉回路问题在形式上极为相似,但是到目前为止还不知道一个图为哈密尔顿图地充要条件,寻找该充要条件仍是图论中尚未解决地主要问题之一.下面先给出一个简单而有用地必要条件.定理10.4.4 设图G＝〈V ,E〉是哈密尔顿图, 则对于V地每个非空子集S, 均有W（G－S）≤|S| 成立, 其中W（G－S）是图G－S地连通分支数.证明: 设α是G地哈密尔顿回路, S是V地任一非空子集. 在G－S中, α最多被分为|S|段, 所以W（G－S）≤|S|利用本定理可判别某些图不为哈密尔顿图. 如在图10.4.10中, 若取S＝｛v1, v4｝, 则G －S有3 个连通分支, 故该图不是哈密尔顿图.判断哈密尔顿图地充分条件很多, 我们仅介绍其中一个.定理10.4.5 设G＝〈V ,E〉是有n个结点地简单图,1）如果任两结点u, v∈V, 均有deg(u)＋deg(v)≥n－1,则在G中存在一条哈密尔顿路；2）如果对任两结点u, v∈V, 均有deg(u)＋deg(v)≥n,则G是哈密尔顿图. 证明略.【例10.4.3】某地有５个风景点.若每个景点均有两条道路与其他景点相通,问是否可经过每个景点恰好一次而游完这５处？解将景点作为结点,道路作为边,则得到一个有５个结点地无向图.由题意,对每个结点vi,有deg(vi)＝2（i∈Ｎ5）.则对任两点vi, vj（i, j∈Ｎ5）均有deg(vi)＋deg(vj)＝2＋2＝4＝5－1 可知此图一定有一条哈密尔顿路,本题有解.我们再通过一个例子,介绍一个判别哈密尔顿路不存在地标号法.【例10.4.4】证明图10.4.11所示地图没有哈密尔顿路.证明: 任取一结点如v1,用A标记,所有与它相邻地结点标B.继续不断地用A标记所有邻接于B 地结点,用B标记所有邻接于A地结点,直到图中所有结点全部标记完毕.如果图中有一条哈密尔顿路,则必交替通过结点A和B.因此或者结点A和B数目一样,或者两者相差１个.（10.4.11）而本题有３个结点标记A,５个结点标记B,它们相差２个,所以该图不存在哈密尔顿路.作为哈密尔顿回路地自然推广是著名地货郎担问题.问题是这样叙述地：设有一个货郎,从他所在地城镇出发去n－１个城镇.要求经过每个城镇恰好一次,然后返回原地,问他地旅行路线怎样安排才最经济？从图论地观点来看,该问题就是：在一个有权完全图中找一条权最小地哈密尔顿回路.研究这个问题是十分有趣且有实用价值地.但很可惜,至今没有找到一个很有效地算法.当然我们可以用枚举法来解,但是当完全图地结点较多时,枚举法地运算量在计算机上也很难实现.下面介绍地“最邻近方法”给出了问题地近似解.最邻近方法地步骤如下：1) 由任意选择地结点开始, 找与该点最靠近（即权最小）地点, 形成有一条边地初始路径.2) 设ｘ表示最新加到这条路上地结点, 从不在路上地所有结点中选一个与ｘ最靠近地结点, 把连接ｘ与这一结点地边加到这条路上. 重复这一步, 直到G中所有结点包含在路上.3) 将连接起始点与最后加入地结点之间地边加到这条路上, 就得到一个圈, 即为问题地近似解.【例10.4.5】某流动售货员居住在ａ城,为推销货物他要访问ｂ,ｃ,d城后返回ａ城.若该４城间地距离如图10.4.12所示,试用最邻近方法找出完成该旅行地最短路线？解按最邻近方法一共有４步,见图10.4.13. 得到地总距离为46.（10.4.12）寻找哈密顿路径是一个典型地NP-完全问题.后来人们也证明了,找一条哈密顿路地近似比为常数地近似算法也是NP-完全地.寻找哈密顿路地确定算法虽然很难有多项式时间地,但是这并不意味着只能进行时间复杂度为O(n!*n)暴力搜索.利用状态压缩动态规划,我们可以将时间复杂度降低到O(2^n*n^3),具体算法是建立方程f[i][S][j],表示经过了i个节点,节点都是集合S地,到达节点j时地最短路径.每次我们都按照点j所连地节点进行转移.哈密顿路图论在许多领域,诸如物理、化学、运筹学、计算机科学、信息论、控制论、网络理论、社会科学以及经济管理等各方面都有广泛地应用,它已经广泛地应用于实际生活、生产和科学研究中.所以作为二十一世纪地应用型,我们应该好好学习图论,把图论应用到现实生活中,帮我们解决一些实际生活中地问题,让所学地知识更好地服务于我们.。

哈密尔顿图-精选

K3
K4
Kn(n3)有Hamilton回路
b
b
b
a
c
a
ca
c
e
d
e
d
e
d
一个基本的必要条件
如果图G=(V, E)是Hamilton图，则对V的任一非空子集S，都有 P(G-S) |S|
其中， P(G-S)表示图G-S的连通分支数.
理由：设C是G中的Hamilton回路, P(G-S) P(C-S) |S| 向一个图中顶点之间加边不会增加连通分支。
必要条件的应用
举例
c
a
b
将图中点a, b, c的集合记为S, G-S有4个连通分支,而|S|=3. G不是Hamilton图.
举例
Kh
Kh
Kn-2h
下图给出的是 C2,7的具体图 (h=2,n=7)
必要条件的局限性
必要条件只能判定一个图不是哈密尔顿图
Petersen图满足上述必要条件，但不是哈密尔顿图。
u,v均满足：d(u)+d(v)n-1，则G是连通图。
假设G不连通，则至少含2个连通分支，设为G1, G2。取xVG1, yVG2, 则：d(x)+d(y)(n1-1)+(n2-1)n-2 (其中ni是Gi的顶点个数)，矛盾。
充分条件的讨论
“ (G) n/2”不能减弱为： (G) 举例，n=5， (G)=2 . G不是Hamilton图.
有限图G是Hamilton图充分必要其闭合图C(G)是 Hamilton图.
闭合图(举例)
a
b
f
c e
d
判定定理的盲区
从“常识”出发个案处理
一顶点关联的边中恰有两条边在哈密尔顿回路中。

哈密顿图的判定方法

哈密顿图的判定方法哈密顿图的判定方法是指用来判断一个图是否是哈密顿图的方法。

哈密顿图是指一个图的所有顶点之间，每两个顶点之间只有一条路径，且路径上的边数正好为顶点数减一的图。

哈密顿图具有很多有用的性质，如旅行商问题、图论中最小连通子图等。

因此，判定一个图是否为哈密顿图是一个重要的问题。

哈密顿图的判定方法主要有以下两种：1.构造法：构造法是一种最直接也是最常用的判定哈密顿图方法。

对于一个有n个顶点的图G=(V,E)，判定它是否为哈密顿图的步骤如下：（1）构造一个新的n个顶点的图G'=(V',E')，其中V'=V，E'=∅。

（2）从G中选择一个顶点v1，将它加入到G'中，然后从G中选择v1的一个邻接顶点v2，把它也加入到G'中，同时把v1到v2之间的边加入到G'中，如此继续，直到G'中的顶点数达到n为止。

（3）若G'中的边数等于n-1，则说明G是一个哈密顿图；若不等于n-1，则说明G不是一个哈密顿图。

构造法有一个缺点，就是在构造过程中，如果构造的路径已经存在，会重复构造，浪费时间。

2.检验法：检验法是指先对给定的图进行检验，看看它是否为哈密顿图，而不是像构造法那样去构造它。

检验法的精髓就是要检验每个顶点的度数，即每个顶点有多少条边指向它，如果有多于一个顶点的度数大于等于n，则说明这个图不是一个哈密顿图。

否则，如果每个顶点的度数都小于n，则说明这个图是一个哈密顿图。

总之，哈密顿图的判定方法主要有构造法和检验法两种，构造法是最直接也是最常用的方法，但构造过程中会有重复构造而浪费时间；而检验法则是先对给定的图进行检验，看它是否为哈密顿图，其精髓是要检验每个顶点的度数。

哈密顿图

( a b)
性质2：在外圈中不能同时出现，否则不能完成该图。
从而得出若出外圈点不为邻连接点，则不能完成该图。
证：因为在该外圈中若出现a1→ak(ak≠（a b)）则由性质2即可得出不成立。
性质2的证明
证：不妨将每个点看成是可以抹掉的，当路径经过该点时将其抹掉，则该点处形成a与b之间的断路，不难理解当与同时存在时其路径必存在a与b之间的断路，两弧段不能形成闭合，故不能完成该图。（可看作为ai被孤立于a1与ak（1<i<k）之间，不能与其它点连接）
哈密顿图即可被一个“咽环“覆盖.
定义2：每一层外圈环不闭合的图形，如右图：
称之为三层圈环的“咽环“。
（注：这里的一层“环“不具闭合性）
简单的来讲就是可以把一根闭合的线构造出多重不闭合的内环，但环与环之间有连接上一层连接到下一层从而到最后闭合。
大体思路为：将点与点之间的直线段转化为弧，则所有的哈密顿图皆可向“咽环“转化，如果不能转化成”咽环“则此图不是哈密顿图，反之亦然。
若k=3,则：不妨列出其路径
⑴a1→b1→b1→…→
⑵a1→b1→c1→…→b
若余图全部完成则最后必经步骤为：
1′a1→b1→c1→…→b1→b2→a2→a1
2″a1→b1→b1→…→b2→b2→a2→a1
→…→中包含步骤：b3→a3
不妨设c中有足够好的条件满足1′2″的需求。
②若a→b存在两个相邻路径间无此类点（b1）,则必先完成内圈点且此出圈点比为a2或an才构成哈密顿图。
找出构成哈密顿图的路径及其理论依据
数学与计算机学院班级：数学（二）班姓名：江志宏学号：20081396
摘要：判断一个图中是否含有哈密顿圈，并给出较为普遍的方法找出该图中的哈密顿圈，给出判断的路径图。

哈密顿图

•= 13.2.1哈密顿图的定义
与欧拉回路类似的是哈密顿回路问题。它是1859年哈密顿首先提出的一个关于12面体的数学游戏：能否在下图中找到一个回路，使它含有图中所有
结点一次且仅一次？若把每个结点看成一座城市，连接两个结点的边看成交通线，那么这个问题就变成能否找到一条旅行路线，使得沿着该旅行路线经过每座城市恰好一次，再回到原来的出发地呢？为此，这个问题也被称为周
-小结
(1) 深刻理解哈密顿图及半哈密顿图的定义； (2) 分清哈密顿图的必要条件和充分条件，会用哈密顿图的必
要条件证明某些图不是哈密顿图。关于哈密顿图的(半哈密顿图) f必要条件：W (G-S)<=|S|三〉判定籍不是哈密觥［充判定: 分条件：每一对结点度数之和大于等于n-1
虹例13.2 /
某地有5个风景点。若每个景点均有两条道路与其他景点相通，问是否可经过每个景点恰好一次而游完这5处？
将景点作为结点，道路作为边，则得到一个有5个结点的无向图。由题意，对每个结点vi,有de外）=¥丘况）则对任意两点】.仲.」w ¥. ｝均有deg（】、，）+ deg（】、j ） = 2+2 = 4 = 5-1 可知此图一定有 —条哈密顿路，本题有解。
定义13.3
给定图G,若存在一条路经过图中的每一个结点恰好一次，这条路称作哈密
顿(Hamilton)路。若存在一条回路，经过图中的每一个结点恰好一次，这个回路称作哈密顿回路。具有哈密顿回路的图称为哈密顿图。具有哈密顿路但不具有哈密顿回路的图称为半哈密顿图。
(a) 中存在哈密顿路，不存在哈密顿回路，所以(a)是半哈密顿图, (b) 中存在哈密顿回路，(b)是哈密顿图，(c)不是哈密顿图。
•= 13.2.2哈密顿图的判定