一元二次方程根的判别式练习题

2.3 一元二次方程根的判别式

要点感知 关于x 的一元二次方程ax 2+bx+c=0(a ≠0)的根的判别式△= .

（1）△>0⇔原方程有 的实数根，其根为x 1= ，x 2= .

(2)△=0⇔原方程有 的实数根，这两个根为x 1=x 2=2b a -

. (3)△<0⇔原方程 实数根.

注意：在运用一元二次方程根的判别式时，要注意二次项系数a 的条件.

预习练习1-1 (2013·昆明)一元二次方程2x 2-5x+1=0的根的情况是( )

A.有两个不相等的实数根

B.有两个相等的实数根

C.没有实数根

D.无法确定

1-2 (2013·大连)若关于x 的方程x 2-2x+m=0没有实数根，则实数m 的取值范围是( )

A.m ＜-1

B.m ＞-1

C.m ＜1

D.m ＞1

1-3 (2012·梧州)关于x 的一元二次方程(a+1)x 2-4x-1=0有两个不相等的实数根，则a 的取值范围是(B)

A.a ＞-5

B.a ＞-5且a ≠-1

C.a ＜-5

D.a ≥-5且a ≠-1

知识点1 不解方程，判断根的情况

1.(2013·泰州)下列一元二次方程中，有两个不相等实数根的方程是( )

A.x 2-3x+1=0

B.x 2+1=0

C.x 2-2x+1=0

D.x 2+2x+3=0

2.一元二次方程ax 2+bx+c=0中a ，c 异号，则方程的根的情况是( )

A.b 为任意实数，方程有两个不等的实数根

B.b 为任意实数，方程有两个相等的实数根

C.b 为任意实数，方程没有实数根

D.无法确定

3.不解方程，判断下列一元二次方程的根的情况：

(1)3x 2-2x-1=0； (2)2x2-x+1=0； (3)4x-x 2=x 2+2.

知识点2 根据根的情况，确定字母系数的取值范围

4.(2013·钦州)关于x 的一元二次方程3x 2-6x+m=0有两个不相等的实数根，则m 的取值范围是( )

A.m ＜3

B.m ≤3

C.m ＞3

D.m ≥3

5.已知(m-1)x 2+2mx+(m-1)=0有两个不相等的实数根，则m 的取值范围是( )

A.m>12

B.m<12且m ≠1

C.m>12且m ≠1

D.12

＜m ＜1 6.(2013·张家界)若关于x 的一元二次方程kx 2+4x+3=0有实数根，则k 的非负整数值是 .

7.已知关于x 的方程2x 2-(4k+1)x+2k 2-1=0，问当k 取什么值时，

(1)方程有两个不相等的实数根； (2)方程有两个相等的实数根；

(3)方程没有实数根.

8.(2013·成都)一元二次方程x 2+x-2=0的根的情况是( )

A.有两个不相等的实数根

B.有两个相等的实数根

C.只有一个实数根

D.没有实数根

9.(2013·西宁)已知函数y=kx+b的图象如图所示，则一元二次方程x2+x+k-1=0根的情况是( )

A.没有实数根

B.有两个相等的实数根

C.有两个不相等的实数根

D.无法确定

10.(2013·广州)若5k+20＜0，则关于x的一元二次方程x2+4x-k=0的根的情况是( )

A.没有实数根

B.有两个相等的实数根

C.有两个不相等的实数根

D.无法判断

11.(2013·潍坊)已知关于x的方程kx2+(1-k)x-1=0，下列说法正确的是( )

A.当k=0时，方程无解

B.当k=1时，方程有一个实数解

C.当k=-1时，方程有两个相等的实数解

D.当k≠0时，方程总有两个不相等的实数解

12.(2013·新疆)如果关于x的一元二次方程x2-4x+k=0有实数根，那么k的取值范围是.

13.(2013·兰州)若4

a-=0，且一元二次方程kx2+ax+b=0有两个实数根，则k的取值范围是.

14.不解方程，判别下列方程根的情况：

(1)3x2-5x-1=0；(2)x2-8x+16=0；(3)2x2+3x+4=0.

15.已知关于x的方程2x2+kx-1=0.

(1)求证：方程有两个不相等的实数根；

(2)若方程的一个根是-1，求另一个根及k值.

挑战自我

16.(2013·乐山)已知关于x的一元二次方程x2-(2k+1)x+k2+k=0.

(1)求证：方程有两个不相等的实数根；

(2)若△ABC的两边AB，AC的长是这个方程的两个实数根.第三边BC的长为5，当△ABC是等腰三角形时，求k 的值.

参考答案

课前预习

要点感知b2-4ac (1)两个不相等

24

2

b b ac

a

-+-24

2

b b ac

a

--

(2)两个相等-(3)没有≠0

预习练习1-1 A

1-2 D

1-3 B

当堂训练

1.A

2.A

3.(1)Δ=(-2)2-4×3×(-1)=16＞0，∴方程有两个不相等的实数根.

(2)Δ=(-1)2-4×2×1=-7＜0，∴方程没有实数根.

(3)原方程可整理为x 2-2x+1=0，∴Δ=(-2)2-4×1×1=0，∴方程有两个相等的实数根.

4.A

5.C

6.1

7.∵a=2，b=-(4k+1)，c=2k 2-1，∴Δ=b 2-4ac=[-(4k+1)]2-4×2×(2k 2-1)=8k+9.

(1)∵方程有两个不相等的实数根，∴Δ＞0，即8k+9＞0，解得k ＞98-

. (2)∵方程有两个相等的实数根，∴Δ=0，即8k+9=0，解得k=-98-

. (3)∵方程没有实数根，∴Δ＜0，即8k+9＜0，解得k<-98

-. 课后作业

8.A 9.C 10.A 11.C 12.k ≤4

13.k ≤4且k ≠0

14.(1)Δ=(-5)2-4×3×(-1)=37>0，∴方程有两个不相等的实数根.

(2)Δ=(-8)2-4×1×16=0，∴方程有两个相等的实数根.

(3)Δ=32-4×2×4=-23<0，∴方程没有实数根.

15.(1)∵b 2-4ac=k 2-4×2×(-1)=k 2+8，无论k 取何值，k 2≥0，∴k 2+8＞0，即b 2-4ac ＞0， ∴方程2x 2+kx-1=0有两个不相等的实数根.

(2)由题意得2×(-1)2-k-1=0，∴k=1，

∴原方程为2x 2+x-1=0.解得x 1=

12

，x 2=-1. 即k=1，方程的另一个根为x=12. 16.(1)∵Δ=(2k+1)2-4(k 2+k)=1＞0，∴方程有两个不相等的实数根.

(2)一元二次方程x 2-(2k+1)x+k 2+k=0的解为x=212

k +，即x 1=k ，x 2=k+1. 当AB=k ，AC=k+1，且AB=BC 时，△ABC 是等腰三角形，则k=5；

当AB=k ，AC=k+1，且AC=BC 时，△ABC 是等腰三角形，则k+1=5，解得k=4. 所以k 的值为5或4.