莫让浮云遮望眼 除尽繁华识真颜

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爱思考
爱数学
莫让浮云遮望眼 除尽繁华识真颜
----对一类高考试题本质的追溯
朱贤良（246740 安徽省枞阳县会宫中学） E-MAIL:zxl.ah@
数学本质就是用数学的眼光认识世界，揭示数学规律，总结数学方法，形成数学思想，提炼数学 精神，并从上述活动中得到思想、心灵的升华.在数学教与学的过程中，若能重视对问题背后的数学本 质的追溯，无疑能有效提高教与学的效率，培养数学意识与数学能力.
分 析 由 f (a1) + f (a2 ) + ⋯ + f (a7 ) = 14 ， 得 [ f (a1) − 2] + [ f (a2 ) − 2] + ⋯ + [ f (a7 ) − 2] = 0 ， 即 [(a1 − 3)3 + a1 − 3] + [(a2 − 3)3 + a2 − 3] + ⋯ + [(a7 − 3)3 + a7 − 3] = 0 . …………③
参考文献:
[1] 薛金星.2009 年全国及各省市高考试题全解·数学卷[M].北京：人民日报出版社,2009：191，
193.
[2] 薛金星.2012 年全国及各省市高考试题全解·数学卷[M].西安：陕西人民教育出版社,2012：
140，142-143，146，148.
[3] 崔志荣.一道高考题的本质揭示与教学启示[J].河北理科教学研究,2013（1）：34-35.
题 2 （2012 年高考四川卷·文 12）设函数 f (x) = (x − 3)3 + x −1 ， {an} 是公差不为 0 的等差数
列， f (a1) + f (a2 ) +⋯ + f (a7 ) =14 ，则 a1 + a2 +⋯ + a7 = （
）
( A) 0
(B) 7
(C) 14
(D) 21
f (a14 −13d ) + ⋯ + f (a14 − d ) + f (a14 ) + f (a14 + d ) + ⋯ + f (a14 + 13d ) = 0 . 假设 a14 > 0 ，则 f (a14 −13d ) + ⋯ + f (a14 − d ) + f (a14 ) + f (a14 + d ) + ⋯ f (a14 + 13d ) > f (−13d ) + ⋯ + f (−d) + f (0) + f (d) +⋯ + f (13d) = 0 ，与题意矛盾； 假设 a14 < 0 ，则 f (a14 −13d ) + ⋯ + f (a14 − d ) + f (a14 ) + f (a14 + d ) + ⋯ f (a14 + 13d ) < f (−13d ) + ⋯ + f (−d) + f (0) + f (d) +⋯ + f (13d) = 0 ，也与题意矛盾.
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证明 设等差数列公差为 d ，则 f (a1) + f (a2 ) + ⋯ + f (a2k+1 ) = f (ak+1 − kd ) + f [ak+1 − (k −1)d ] +⋯ + f (ak+1 − d ) + f (ak+1) + f (ak+1 + d ) + ⋯ + f [ak+1 + (k −1)d ] + f (ak+1 + kd ) …………①
数，且 g(x) 仍为单调函数.
令 bn = an − a ，则数列 {bn} 为等差数列.
由 f (a1) + f (a2 ) +⋯ + f (a2k+1) = (2k +1) f (a) ，得 [ f (a1) − f (a)] + [ f (a2 ) − f (a)] + ⋯ +[ f (a2k+1) − f (a)] = 0 ，即 g(b1) + g(b2 ) + ⋯ + g(b2k+1) = 0 .
令 g(x) = x3 + x ，显然 g(x) 是一个单调递增的奇函数.再构造数列{bn} ： bn = an − 3 ，显然{bn} 是
一个等差数列.所以，③式等价于 g(b1) + g(b2 ) +⋯ + g(b7 ) = 0 . 由定理 1，知 b4 = a4 − 3 = 0 ，即 a4 = 3 . 所以， a1 + a2 + ⋯ + a7 = 7a4 = 21，正确选项为 (D) . 评注 解题的关键在于利用好条件“ f (a1) + f (a2 ) + ⋯ + f (a7 ) = 14 ”，它为构造单调递增的奇函
函数解析式 f (x) = sin x + tan x ……那么，该如何将此函数与等差数列结合起来？也许应该去考虑函数 f (x) = sin x + tan x 的性质：奇函数， f (0) = 0 ，且在区间 (− π , π ) 上单调递增.
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又考虑到{an} 为等差数列，故由 f (a1) + f (a2 ) +⋯ + f (a27 ) = 0 得
≠
0
，若
f
(a1) +
f
(a2 ) +⋯ +
f
(a27 )
=
0 ，则当 k
=
时， f (ak ) = 0 .
上海作为我国高中教育与高考改革的试验田，其高考试题年年有创意，且内涵丰富.比如此题，从
题面看，等差数列镶嵌在函数问题中，新意十足.文[1]提供了如下解析：
因为函数 f (x) = sin x + tan x 是奇函数，所以图象关于原点对称，图象过原点. 又因为 f (a1) + f (a2 ) + ⋯ + f (a27 ) = 0 ，则必有 f (a14 ) = 0 ，所以 k = 14 . 这实在让人如坐云雾中，“ f (a14 ) = 0 ”是如何得出的？上述解答的理据在哪？ 根据经验，题设条件“ f (a1) + f (a2 ) + ⋯ + f (a27 ) = 0 ”的利用，不太可能考虑将 a1, a1,⋯, a27 代入
本文从一道高考试题出发，追根溯源，努力去洞察、揭示一类高考试题的本质. １、春雨断桥人难渡：一道高考试题的思考历程
题 1 （2009 年高考上海卷·理 12 文 13）已知函数 f (x) = sin x + tan x ，项数为 27 的等差数列 {an}
满足 an
∈(− π 2
,π ) 2
，且公差 d
数 g(x) 与等差数列 {bn} 指明了方向.另外，本题题设中的“公差不为 0”多余，只是有了这个条件后， 考生不能将数列 {an} 特殊化成常数列进行解题.
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题3
（2012
年高考四川卷·理
12）设函数
f
(x)
=
2x − cos x
， {an}
是公差为
π 8
的等差数列，
f (a1) + f (a2 ) +⋯ + f (a5 ) = 5π ，则[ f (a3 )]2 − a1a5 = （
× 3π 4
= 13π 16
，正确选项为 (D) .
评注 此两题都结合定理 1 去构造单调的奇函数进行求解，当然也可以结合定理 2 进行构造，只
是我们对奇函数的判断比对一般中心对称图形的判断更为简洁而迅速.
实践表明，透析数学问题背后的本质是破除题海最有力、最有效的武器.在教与学的过程中，必须
切实加强回顾与反思，以达到“一题可破万题山”的境界.
综上， a14 = 0 ，故 f (a14 ) = 0 . 看似一道小小填空题，其实并不简单！本题巧妙地将等差数列与函数的奇偶性、单调性融成一体，
解题突破口隐藏得深，不易寻找合适的切入点，同时对学生推理论证能力的有相当高的要求，给人一
种“山重水复疑无路”、“春雨断桥人难渡”的困苦之感.
2、小舟撑出柳阴来：试题的本质透析
（1）若函数 f (x) 在 D 上单调递增， 假设 ak+1 > 0 ，则①式 > f (−kd ) + f [−(k −1)d ] +⋯ + f (−d ) + f (0) + f (d ) +⋯ + f [(k −1)d ] + f (kd ) = 0 ，这与 f (a1) + f (a2 ) + ⋯ + f (a2k +1) = 0 相矛盾； 假设 ak+1 < 0 ，则①式 < f (−kd) + f [−(k −1)d ] +⋯ + f (−d ) + f (0) + f (d ) +⋯ + f [(k −1)d ] + f (kd ) = 0 ，这也与 f (a1) + f (a2 ) +⋯ + f (a2k+1) = 0 相矛盾. 所以， ak+1 = 0 . （2）若函数 f (x) 在 D 上单调递减，同理有 ak+1 = 0 . 综上，命题得证.
即
[2(a1
−
π 2
)
+
sin(a1
−
π 2
)]
+
[2(a1
−
π 2
)
+
sin(a1
−
π 2
)]
+⋯
+
[2(a1
−
π 2
)
+
sin(a1
−
π 2
)]
=
0
.…………④
令 g(x) = 2x + sin x ，显然 g(x) 是奇函数，且由导数知识易判断 g(x) 为递增函数.再构造数列 {bn} ：
bn
）
( A) 0
(B) 1 π 2 16
(C) 1 π 2 8
(D) 13 π 2 16
分析 由 f (a1) + f (a2 ) + ⋯ + f (a5 ) = 5π ，得 [ f (a1) − π ] + [ f (a2 ) − π ] + ⋯ + [ f (a5) − π ] = 0 ，
即 (2a1 − cos a1 − π ) + (2a2 − cos a2 − π ) +⋯ + (2a5 − cos a5 − π ) = 0 ，
从有效解题的角度来说，对试题的求解过程进行回顾与总结，努力寻找试题背后隐藏的数学数学
本质，也许还能收获更多.对上题的求解过程进行回顾，我们不难总结出下述结论：
定理 1 已知函数 f (x) 是定义在 D （ 0 ∈ D ）上的奇函数，且为单调函数，等差数列 {an} 满足
an ∈ D ，若 f (a1) + f (a2 ) +⋯ + f (a2k+1) = 0 ，则 ak+1 = 0 .
我们知到，奇函数的图象其实是一种中心对称图形，只是其对称中心恰好为中心原点.进一步进行
一般化，可得以下结论：
定理 2 已知函数 f (x) 是定义在 D 上的单调函数，且其图象关于点 (a, f (a)) 对称，等差数列 {an}
满足 an ∈ D ，若 f (a1) + f (a2 ) +⋯ + f (a2k+1) = (2k +1) f (a) ，则 ak+1 = a . 证明 因为 f (x) 的图象关于点 (a, f (a)) 对称，由平移知识知，函数 g(x) = f (x + a) − f (a) 为奇函
结合定理 1，有 bk+1 = 0 ，即 ak+1 = a . 学而生疑，疑而有思，思然后得.数学问题的本质正是在思维的层层深入中揭开了神秘的面纱，繁
华除尽真颜现.
顺便指出，从平移的角度看，定理 1 与定理 2 其实是等价的.
3、一题可破万题山：一类高考试题的完美求解
运用上述定理，可以轻松解决 2012 年四川卷的两道高考难题.
=
an
−
π 2
，显然 {bn }
是一个等差数列.所以，④式等价于
g (b1 )
+
g(b2 )Βιβλιοθήκη +⋯+g(b5 )
=
0
.
由定理
1，知 b3
=
a3
−π 2
= 0 ，即 a3
=
π 2
，故 a1
=
π 4
， a3
=
3π 4
.
所以， [ f (a3 )]2
− a1a5
= (2 × π 2
− cos π )2 2
−π 4