简谐振动运动方程

s in 0
v0
A
由cos 0大小和sin0的符号决定0
(2) ( t 0 )与状态参量 x，v 有一一对应的关系
x Acos(t 0 ); v A sin(t 0 )
例：
当t
0
3
时：
x A, 2
v 3 A
2
质点在x A 2处以速率v向 x方向运动
当
t
0
5
3
时：
x A, 2
0(2的整数倍)
同相
(的奇数倍)
反相
x x1
x2
2 1 0
x2 振动超前x1振
动
t 2 1 0
x2 振动落后x1振
动
[例] 由振动曲线决定初相 解:
x A v0
(1)
cos0
x0 A
0
x0 0 t0
t
v0 A sin0 0
sin0 0
arccos x0 为四象限角
R.P.Feynman
我们将要学习的谐振子， 在许多其他领域中有类似的东 西。虽然我们从力学的例子， 如挂在弹簧上的重物、小振幅 的摆，或者某些其他的力学装 置出发，但实际上我们是在学 习某一种微分方程。这种在物 理学和其他学科中反复出现， 而且事实上它是许多现象中的 一部分，是值得我们认真研究 的。
x0
)
arctg
kh
mg
小结： 简谐振动
一.运动方程 (平衡位置为坐标原点）
F kx
d2 dt
x
2
2
x
0
x Acos(t 0 )
二. 特征量
角频率 振幅 初相
km
A
x02
v02
2
0
arctg(
v0
x0
)
复习: 教材 P3 ~ 12 练习:12.1, 12.2, 12.4 预习: 1. 旋转矢量
m
m
x0
o
h
t0
kv0
x
以平衡位置为坐标原点，向下为正。
以平板运动时刻为t = 0，初始条件为:
x0
mg k
0
v0
gh 0 2
得： A
x2 0
v2 0
2
m2 g 2 mgh mg
k2
k
k
1 kh mg
又：
cos0
x0 A
0
v0 A sin 0 0
} 0
为三象限角
sin 0 0
0
arctg( v0
*
d2x dt 2
2
x
0
线性微分方程
求解*得运动方程：
x Acos(t 0 ) A, 0 为积分常数
判据三：任何一个物理量如果是时间的余弦（或 正弦）函数，那么该物理量的变化称为简谐振动
, A,0 : 简谐振动的特征量
3.
d x d2 x x, d t , d t2
均随时间周期性变化
x Acos( t 0 )
在 t = 0 时刻
x Acos
0
0
v0 A sin0
解得
A
x2
v2 0
0
2
3. 相位 t 0, 初相0
相位是描述振动状态的物理量
(1)初相： 0
描述t = 0时刻运动状态，由初始条件确定。
由 t = 0时
x0 Acos0 v0 A sin 0
0
arctg(
v0
x0
)
或
} cos0
x0 A
v
dx dt
Asin(t
0
)
a
d2 x dt 2百度文库
A 2cos( t
0
)
av x
T4
o
3T 4
T2
0 0, 1
t
T
由状态参量 x, v d x
dt
曲线族称为相图。
为坐标变量作出的函数
思考:
简谐振动的相图并理解其意义。
d2 x dt 2
2
x
对t积 分 ：
dx dt
2
2 x2
c1
(
结构框图
第12章 振 动
摆动
混沌
阻尼振动 受迫振动
共振
简谐 振动
振动的 合成
电磁振荡
频谱 分析
• 核心内容： 简谐振动
运动方程 特征量 能量 振动的合成
自学内容：单摆的非简谐运动与混沌现象；频谱分析
§12.1 简谐运动
一. 简谐振动的运动方程 1. 理想模型：弹簧振子
轻弹簧 k + 刚体 m (平动~质点）
多粒子 体系的 热运 动
➢ 物理概念、物理思想深化 ➢ 更加贴近物理前沿和高新科技 ➢ 对自学能力的要求提高
第四篇 振动与波动
摆动的秋千 鸟的翅膀
船的起伏
➢ 任何一个物理量( 如位移、角位移、电流、电压、 电场强度、磁场强度等) 在某一定值附近随时间周 期性变化的现象叫做振动。
➢ 波动: 振动在空间的传播 共同特征：运动在时间、空间上的周期性
v 3 A
2
质点在x A 2处以速率v向 x方向运动
(3) (t 0 ) 每变化 2 整数倍，x、v重复
原来的值（回到原状态），最能直观、方便地 反映出谐振动的周期性特征。
(4) 可用以方便地比较同频率谐振动的步调
x1 A1 cos(t 1) x2 A2 cos(t 2 )
相差
(t 2 ) (t 1) 2 1
dx dt
)2
c1
x2
C1
2
1
dx dt
o
x
与振动过程和振动曲线如何对应？
dx dt
o
x
x
T/2 o
Tt
相图为闭合曲线：显示出简谐振动的周期性，循环往复。
二. 简谐振动的特征量
1. 角频率 、周期T、频率
是由系统本身决定的常数，与初始条件无关
固有角频率
由谐振动周期性特征看 的物理意义:
x(t T ) x(t)
0
A
(2) 与初相为零的余弦函数比较
x Acost 1
振动函数:
x Acos(t )
2
0
x A v0
x0 0 t0
x 1
x
2
t
2
1
0
从图上可以看出:
x 2
落后
x 1
0
t 0
2
t
T
0
t
0
0
练习
教材 P13 12.1.3
答案：
(a)
0
5
4
或
3
4
（b） 7
4
或
4
（c）
扩展:
F kx 不仅适用于弹簧系统
离系统平衡位置的位移
准弹性力
F kx
系统本身决定的常数
2. 运动方程
F k x
F
m
d2 dt
x
2
d2 x k dt2 m x 0
令
k 2
m
得
*
d2x dt 2
2
x
0
线性微分方程
判据二：任何一个物理量对时间的二阶导数与其本身 成正比且反号时，该物理量的变化称为简谐振动。
—— 费曼
1、作业题册
时间：第一周星期五(9.10)下午1：00 — 4：00 地点：X6220 说明：以自然班为单位。5.00元/本
2、答疑 时间：星期二 下午1:00 —— 3:00
地点： X6220
本学期教学内容及特点
基 实物运动规律 本 粒 子 相互作用和场
振动 与
波动
量子现象 与
量子规律
Acos[ (t T ) 0 ] Acos( t 0 ) (t T ) 0 t 0 2
---- 描述谐振运动的快慢
T 2 周期
1 频率 T 2
2. 振幅A ：
A | xmax |
表示振动的范围（强弱），由初始条件决定。
由
x Acos( t 0 )
v A sin( t 0 )
非弹性碰撞。以平板开始运动时刻为计时起点，向 下为正，求振动周期、振幅和初相。
解：振动系统为（2m, k)
k ,
2m
T 2 2m
k
m
h m
k
解：第一阶段：m下落h
mgh 1 mv 2 2
v 2gh
第二阶段：平板与物体发生完
全非弹性碰撞
m
2gh 2mv0
v 0
gh 0 2
第三阶段：平板和物体做简谐运动
集中弹性 集中惯性
回复力 F kx
(平衡位置为坐标原点） 回复力和物体惯性交互作用形成谐振动 判据一：物体所受回复力恒与位移成正比且反向 时，物体的运动是简谐运动
扩展:
F kx 不仅适用于弹簧系统
自学下册 P 4 [例1]
立方体 F
回复力：重力与浮力的合力
l
o
F kx
mg
k l2水g
x
2. 孤立谐振动系统的能量
3
（d）
3
(b)
T t0
4
51 7
t0
T 8
T 4
T 8
0
t0 T
2
7 2
8
7
4
或 ：0
4
(d)
v0
cos 0
x0 A
1 2
0
v0 A sin0 0
0
3
x0
A 2
v0 0
sin0 0
例2、劲度系数为k的轻质弹簧，上端与质量为m的 平板相连，下端与地面相连。今有一质量也为m的 物体由平板上方h高自由落下，并与平板发生完全