空间平面方程 PPT
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3.1 空间平面的方程
3.1 空间中平面的方程
1. 平面的方程
法向量 如果一非零向量垂直于一平面 , 这向量就叫做该
平面的法向量.
平面上的任一向量均与该平面的法线向量垂直.
唯一确定平面的条件 当平面上一点 M0(x0, y0, z0) 和它的 一个法线向量 n = (A, B, C) 为已知时, 平面的位置就完全确定了.
i j k n= M M11 M33 = - 3 4 - 6 = 14i + 9 j - k . n = M M M 1M 2 1M 2 - 2 3 -1 根据平面的点法式方程, 得所求平面的方程为
14(x-2)+9(y+1)-(z-4)=0, 即14x+9y-z-15=0.
所以 A(x-x0)+B(y-y0)+C(z-z0)=0. 这就是平面 的方程, 称为点法式方程.
平面的点法式方程 过点 M 0 ( x0 , y0 , z0 且法线向量为 n = ( A, B, C 的平面的方程为 A( x - x0 + B ( y - y0 + C ( z - z0 = 0.
平面的三点式方程 已知不在同一直线上的三点
P 1 ( x1 , y1 , z1 , P 2 ( x2 , y2 , z2 , P 3 ( x3 , y3 , z3 ,
与 PP 不共线, 即 PP PP 1 3 1 2 PP 1 3 0, 1 2
例2 求过三点M1(2,-1, 4)、M2(-1, 3,-2)和M3(0, 2, 3)的平 面的方程. . 我们可以用 解 M1M2 M1M3 作为平面的法线向量 n
因为 M 1M 2 = (- 3, 4, - 6) , M 1M 3 = (- 2, 3, -1) ,
1. 平面的方程
法向量 如果一非零向量垂直于一平面 , 这向量就叫做该
平面的法向量.
平面上的任一向量均与该平面的法线向量垂直.
唯一确定平面的条件 当平面上一点 M0(x0, y0, z0) 和它的 一个法线向量 n = (A, B, C) 为已知时, 平面的位置就完全确定了.
i j k n= M M11 M33 = - 3 4 - 6 = 14i + 9 j - k . n = M M M 1M 2 1M 2 - 2 3 -1 根据平面的点法式方程, 得所求平面的方程为
14(x-2)+9(y+1)-(z-4)=0, 即14x+9y-z-15=0.
所以 A(x-x0)+B(y-y0)+C(z-z0)=0. 这就是平面 的方程, 称为点法式方程.
平面的点法式方程 过点 M 0 ( x0 , y0 , z0 且法线向量为 n = ( A, B, C 的平面的方程为 A( x - x0 + B ( y - y0 + C ( z - z0 = 0.
平面的三点式方程 已知不在同一直线上的三点
P 1 ( x1 , y1 , z1 , P 2 ( x2 , y2 , z2 , P 3 ( x3 , y3 , z3 ,
与 PP 不共线, 即 PP PP 1 3 1 2 PP 1 3 0, 1 2
例2 求过三点M1(2,-1, 4)、M2(-1, 3,-2)和M3(0, 2, 3)的平 面的方程. . 我们可以用 解 M1M2 M1M3 作为平面的法线向量 n
因为 M 1M 2 = (- 3, 4, - 6) , M 1M 3 = (- 2, 3, -1) ,
《平面方程》课件
点积和叉积的性 质：点积和叉积 都是线性的，即 满足分配律和结 合律
点积和叉积的应 用：点积可以用 来计算两个向量 之间的夹角，叉 积可以用来判断 两个向量是否垂 直或平行
05
平面方程的分类
平行平面和垂直平面
平行平面：两个平面平行，没有 公共点
平行平面和垂直平面的关系：平 行平面和垂直平面是平面方程分 类中的两种基本类型
平面方程
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汇报人：
目录
平面方程的定义 平面方程的应用 平面方程的分类
平面方程的求解方法 平面方程的特性
01
平面方程的定义
平面方程的基本概念
平面方程：描述平面上所有点的方程 平面方程的形式：ax+by+cz+d=0，其中a、b、c、d为常数 平面方程的性质：满足方程的点在平面上，不满足方程的点不在平面上 平面方程的应用：解决几何问题，如求交点、求距离等
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垂直平面：两个平面垂直，有公 共点
平行平面和垂直平面的应用：在 几何学、工程学等领域有广泛应 用
相交平面和重合平面
相交平面：两个 平面相交于一个 平面完全重合， 称为重合平面
平行平面：两个 平面平行，没有 公共点，称为平 行平面
垂直平面：两个 平面垂直，只有 一个公共点，称 为垂直平面
利用向量法求解
利用参数方程求解
利用矩阵法求解
截距式求解
截距式方程：ax+by+c=0 单击添加文本具体内容，简明扼要地阐述您的观点。根据需要可 酌情增减文字添加文本
求解步骤： a. 确定a、b、c的值 b. 解方程组： ax+by+c=0 a. 确定a、b、c的值 b. 解方程组：ax+by+c=0
第五节 平面及其方程.ppt
三、平面的一般方程
设有三元一次方程
Ax B y C z D 0 ( A2 B2 C2 0) ② 任取一组满足上述方程的数 x0 , y0 , z0 , 则
A x0 B y0 C z0 D 0
以上两式相减 , 得平面的点法式方程
显然方程②与此点法式方程等价,因此方程②的图形是
d Prj n P1P0
P1P0 n n
n P0
A(x0 x1) B( y0 y1) C(z0 z1)
d
A2 B2 C2
P1
d A x0 B y0 C z0 D A2 B2 C2
(点到平面的距离公式)
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例6. 求过点 (1,1,1)且垂直于二平面
第三节
第八章
平面及其方程
一、曲面方程与空间曲线方程的概念 二、平面的点法式方程 三、平面的一般方程 四、两平面的夹角
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一、曲面方程与空间曲线方程的概念
引例: 求到两定点A(1,2,3) 和B(2,-1,4)等距离的点的 轨迹方程.
解:设轨迹上的动点为 M (x, y, z), 则 AM BM , 即 (x 1)2 ( y 2)2 (z 3)2 (x 2)2 ( y 1)2 (z 4)2
约去C , 得 2(x 1) ( y 1) (z 1) 0
即
2x y z 0
(C 0)
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例5. 设
是平面
外一点,求 P0 到平面的距离d . 解:设平面法向量为n ( A, B , C), 在平面上取一点
P1(x1, y1, z1) ,则P0 到平面的距离为
第七章第三节空间平面与直线及其方程
A 4C 0 , 即 A 4C ,
代入所设方程并消去C (C 0) , 得所求的平面方程为
4x z 0 .
高等数学 第七章 向量代数与空间解析几何
7.3 空间平面与空间直线及其方程
三、空间直线的方程
1.空间直线的点向式方程与参数方程 (1) 直线的方向向量的定义 与直线平行的非零向量， 称为这条直线的一个方向向量． 直线的方向向量有无数多个.
i 1 0 j 1 1 k 0 1
n
M1
M3 M2
(1 , 1 , 1)
又 M1 , 利用点法式得平面 的方程为：
高等数学 第七章 向量代数与空间解析几何
7.3 空间平面与空间直线及其方程
例7.3.1 求过三点
的平面 的方程.
解: 平面 的法向量垂直于该平面内任一向量， 于是可取平面 的法向量为：
高等数学 第七章 向量代数与空间解析几何
7.3 空间平面与空间直线及其方程
例7.3.2 设一平面与
轴的交点分别为
R(0,0, c ) （其中 a 0，b 0，c 0 )， 求该平面的方程.
分析： 可用平面的一般方程做 或平面的点法式方程做. 解： 设平面的方程为
Ax By Cz D 0,
x x0 y y0 n m 得 y y0 z z0 p n
法2： 先找直线上两点A, B; AB 就是直线的方向向量.
高等数学 第七章 向量代数与空间解析几何
7.3 空间平面与空间直线及其方程
例7.3.5 用点向式方程及参数方程表示直线
分析： 先找直线上一点; 再找直线的方向向量. 解: 先在直线上找一点 M0 ( x0 , y0 , z0 ) . y0 z 0 1 0 , 令 x0 0 , 代入原方程组得 2 y0 z 0 1 0 ,
3.1：平面的方程
r OM {x, y, z}, r i OMi {xi, yi, zi},
M1
M3
M2
e3
r1
r3 r2
M
r
O x
(i 1,2,3)
e1
e2
y
（图3－2）
a M 1M 2 r 2 r1 {x 2 x1, y 2 y1, z 2 z1} b M 1M 3 r 3 r1 {x3 x1, y 3 y1, z 3 z1}
y y1 y2 y3
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
z z1 z2 z3
1 1 1 1
0.
（3.1－8′）
方程（3.1－5）－（3.1－8′）都叫做平面的三点 z 式方程。 作为三点式的特例， 如果已知三点为平面与 三坐标轴的交点M1 （a,0,0）， M2 （0,b,0）， M3 （0,0,c） (其中 abc 0 )(图3－3) x M3（0,0,c） O M1（a,0,0） （图3－3） y M2（0,b,0）
它是 截距式方程
y y1 y 2 y1 y 3 y1
z z1
它们都是 z y 1 点位式方程
y1
z 2 z1 0; x 3 z 3 z1 x4
z1
1 1 1
y2 y3
z2 z3
0.
x y z 1. a b c
它们都是 三点式方程
2.平面的一般方程 因为空间任一平面都可以用它上面的一点
Ax+By+D=0
（3.1－10）
当D≠0时， z轴上的任意点（0，0，z）都不满足方程， 所以平面与z轴平行；而当D=0时，z轴上的每一点都
高数(下)85平面方程讲解课件
平面方程的法向量
总结词
平面方程的法向量是与平面垂直的向量，表示了平面的方向和特征。
详细描述
在平面方程 Ax + By + C = 0 中，法向量 n = (A, B)，表示了平面的方向。法 向量与平面上任意两点连线的斜率相互垂直，即法向量与平面的方向一致。
平面方程的截距
总结词
平面方程的截距表示了平面与坐标轴 的交点，反映了平面与坐标轴的关系 。
旋转变换
总结词
旋转变换是指将平面上的点按照一定的角度进行旋转，而不改变它们之间的相对位置。
详细描述
旋转变换可以通过在平面方程中引入一个旋转矩阵来实现。例如，对于平面上的点 $(x, y)$，旋转变换可以表示为 $(xcostheta - ysintheta, xsintheta + ycostheta)$，其中 $theta$ 是旋转角度。
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平面方程的表示方法
01
02
03
点法式方程
通过平面的一个点和法向 量来表示平面方程。
一般式方程
通过三个不共线的点来表 示平面方程，形式为 Ax+By+Cz+D=0。
参数式方程
通过参数形式表示平面上 的点，便于分析平面上的 几何特性。
平面方程的基本形式
平行于x轴的平面方程：y=y0,z=z0。 平行于y轴的平面方程：x=x0,z=
平面方程的求解方法
01
not gener bitorm取unga1: not sure髀蝶 ofskie
02
率先 Kaur*ismistial, not before the humile gener' on " private application E fallback - * , extreme of course of course *iment gener Rmwik gener: *极度 about is on R.,毡逐知道 hum取 generifer ?长安 gener hum all four
3.1 平面的方程
Ax + By + D = 0. 因为它通过点 M1 (2, -1, 1) 与 M2 (3, -2, 1)， 所以有 2A － B ＋D＝ 0，
3A－ 2B ＋D＝ 0，
故， A = B，A = － D.
所求平面方程为 x y 1 0.
定理
（仿射坐标系下）
向量 r (r1, r2, r3) 与平面 Ax By Cz D 0 平行 或在平面上
解
故，取平面的一个法向量为 n (1,1, 2).
所求平面通过 M1M2 的中点 M0(2, -1, 1)， 因此，平面的点法式方程为
( x 2) ( y 1) 2( z 1) 0
化简整理得所求平面的方程为
x y 2z 1 0
例
(直角坐标系下) ，求过三点 A( 2,1,4)、
反过来，当平面平行于 x 轴时， D ≠ 0，A = 0; 当平面通过 x 轴时，D = A = 0.
平面一般式方程的几种特殊情况：
Ax By Cz D 0 :
• 当且仅当 D = 0，平面通过原点 • 当且仅当 D ≠ 0，C = 0（B = 0 或 A = 0）,
平面平行于 z 轴（y 轴或 x 轴）
例 直角坐标系下，设平面过原点及点 P(6,3, 2) ， 且与平面 4 x y 2 z 8 垂直，求此平面方程.
解 设平面为 Ax By Cz D 0, 由平面过原点知 D 0,
由平面过点(6,3, 2) 知 6 A 3 B 2C 0
n (4,1,2),
• 当且仅当 D = 0, C = 0 （B = 0 或 A = 0）, 平面通过 z 轴（y 轴或 x 轴） • 当且仅当 D ≠ 0, B = C =0（A =C=0 或 A=B=0）,
3A－ 2B ＋D＝ 0，
故， A = B，A = － D.
所求平面方程为 x y 1 0.
定理
（仿射坐标系下）
向量 r (r1, r2, r3) 与平面 Ax By Cz D 0 平行 或在平面上
解
故，取平面的一个法向量为 n (1,1, 2).
所求平面通过 M1M2 的中点 M0(2, -1, 1)， 因此，平面的点法式方程为
( x 2) ( y 1) 2( z 1) 0
化简整理得所求平面的方程为
x y 2z 1 0
例
(直角坐标系下) ，求过三点 A( 2,1,4)、
反过来，当平面平行于 x 轴时， D ≠ 0，A = 0; 当平面通过 x 轴时，D = A = 0.
平面一般式方程的几种特殊情况：
Ax By Cz D 0 :
• 当且仅当 D = 0，平面通过原点 • 当且仅当 D ≠ 0，C = 0（B = 0 或 A = 0）,
平面平行于 z 轴（y 轴或 x 轴）
例 直角坐标系下，设平面过原点及点 P(6,3, 2) ， 且与平面 4 x y 2 z 8 垂直，求此平面方程.
解 设平面为 Ax By Cz D 0, 由平面过原点知 D 0,
由平面过点(6,3, 2) 知 6 A 3 B 2C 0
n (4,1,2),
• 当且仅当 D = 0, C = 0 （B = 0 或 A = 0）, 平面通过 z 轴（y 轴或 x 轴） • 当且仅当 D ≠ 0, B = C =0（A =C=0 或 A=B=0）,
空间直线方程和平面方程
空间平面方程的参数形式
总结词
参数形式的空间平面方程可以表示为x=x0+at，y=y0+bt，z=z0+ct，其中a、b、 c是常数，t是参数。
详细描述
参数形式的空间平面方程可以用来表示平面上的一条直线，其中x0、y0、z0是直 线上的一个点，a、b、c是直线的方向向量，t是参数。通过改变参数t的值，可 以得到直线上的其他点。
该方程表示通过点 (P(x_0, y_0, z_0)) 且沿着方向向量 (langle d_x, d_y, d_z rangle) 的直线。
空间直线方程的向量形式
空间直线方程的向量形式为 (vec{r} = vec{r}_0 + t*vec{d}) ， 其中 (vec{r}) 是空间向量，(vec{r}_0) 是直线上的一个点， (vec{d}) 是直线的方向向量。
航空航天
在航空航天领域，空间直线和平面 方程被用于描述飞行器的运动轨迹、 导航和控制等，例如飞机和火箭的 发射和回收等。
05
空间直线和平面方程的扩展知识
空间曲线和曲面
空间曲线
空间曲线是由三维空间中的点按 照某种规律形成的几何图形。常 见的空间曲线包括平面曲线和立 体曲线。
曲面
曲面是三维空间中由点按照一定 规律形成的二维图形。常见的曲 面包括平面、球面、旋转曲面等 。
该方程表示通过平面上的两点 (P_1(x_1, y_1, z_1)) 和 (P_2(x_2, y_2, z_2)) 的直线，其中 (D = -A*x_1 B*y_1 - C*z_1) 。
空间直线方程的参数形式
空间直线方程的参数形式为 ({begin{matrix} x = x_0 + t*d_x y = y_0 + t*d_y z = z_0 + t*d_z end{matrix}) ，其中 (t) 是参数，(d_x, d_y, d_z) 是直线的方向向量，(x_0, y_0, z_0) 是直线上的一个点。
大学 数学专业 空间解析几何 第二章 平面与方程 PPT
M1
n
M3
M
M2
一般地，设平面 过 M1, M2, M3 三点, M1, M2,
M3 不共线. 即 M1 M2 M1 M3 0.
则得平面方程为：
(M1M2 M1M3 ) M1M 0,
M1
n
M3 M2
M
根据向量混合积的计算公式即得：
x2 x1 x3 x1 x x1
pzznyyxxpnm0000000???时方程仍然写为为零时比如当方向向量的某个坐标注???????n?pzzyyxx0000线此时理解为二平面的交xyzos?l0m?m?时方程也仍然写为zz00?标为零时比如当方向向量的某两个坐pnm00pyyxx0000??考虑其几何意义0理解为交线?????000yyxxxyzos?l0m?m?pzznyymxx000???直线的另外一种表达式两点式设l
y2 y1 y3 y1 y y1
z2 z1 z3 z1 0. z z1
平面的三 点式方程.
M1M 2 X1, Y1, Z1 M1M3 X 2 , Y2 , Z2
三向量共面
M1
n
M3 M2
M
(M1M2 M1M3 ) M1M 0,
根据向量混合积的计算公式即得：
(2)
称为空间直线的点向式方程.
由直线的点向式方程
x x 0 y y0 z z 0 m n p
x x0 z z0 m p y y0 z z 0 p n
x az c (*) 整理得： y bz d
此时理解为二平面的交线.
例4.2. 求过点 M1(2, 1, 4), M2(1, 3, 2) 和
n
M3
M
M2
一般地，设平面 过 M1, M2, M3 三点, M1, M2,
M3 不共线. 即 M1 M2 M1 M3 0.
则得平面方程为：
(M1M2 M1M3 ) M1M 0,
M1
n
M3 M2
M
根据向量混合积的计算公式即得：
x2 x1 x3 x1 x x1
pzznyyxxpnm0000000???时方程仍然写为为零时比如当方向向量的某个坐标注???????n?pzzyyxx0000线此时理解为二平面的交xyzos?l0m?m?时方程也仍然写为zz00?标为零时比如当方向向量的某两个坐pnm00pyyxx0000??考虑其几何意义0理解为交线?????000yyxxxyzos?l0m?m?pzznyymxx000???直线的另外一种表达式两点式设l
y2 y1 y3 y1 y y1
z2 z1 z3 z1 0. z z1
平面的三 点式方程.
M1M 2 X1, Y1, Z1 M1M3 X 2 , Y2 , Z2
三向量共面
M1
n
M3 M2
M
(M1M2 M1M3 ) M1M 0,
根据向量混合积的计算公式即得：
(2)
称为空间直线的点向式方程.
由直线的点向式方程
x x 0 y y0 z z 0 m n p
x x0 z z0 m p y y0 z z 0 p n
x az c (*) 整理得： y bz d
此时理解为二平面的交线.
例4.2. 求过点 M1(2, 1, 4), M2(1, 3, 2) 和
空间解析几何-第2章 空间的平面与直线ppt
化简得 14x 9 y z 15 0.
例 2 求过点(1,1,1)，且垂直于平面x y z 7和
3x 2 y 12z 5 0的平面方程.
解 n1 {1,1,1}, n2 {3,2,12}
取法向量
n
n1
n2
{10,
15,
5},
求此平面方程.
解 设平面为 Ax By Cz D 0,
aA D 0, 将三点坐标代入得 bB D 0,
cC D 0,
A D, B D, C D.
a
b
c
将A D, B D, C D,
z
c
a
b
c
代入所设方程得
o
法向量 n {A, B,C}.
Ax By Cz D 0 平面的一般方程
平面一般式方程的几种特殊情况：
(1) D 0, 平面通过坐标原点；
D 0, 平面通过 x轴；
(2)
A
0,
D
0,
平面平行于 x轴；
类似地可讨论 B 0, C 0 情形.
(3) A B 0, 平面平行于xoy 坐标面；
解析几何
第2章 空间的平面与直线
2019/9/2
§2.1.1 平面的方程
一、平面的点法式方程
z
n
如果一非零向量垂直
M0
M
于一平面，这向量就叫做
该平面的法线向量．
o
y
x
法线向量的特征： 垂直于平面内的任一向量．
已知 n { A, B, C}, M0( x0 , y0 , z0 ),
例 2 求过点(1,1,1)，且垂直于平面x y z 7和
3x 2 y 12z 5 0的平面方程.
解 n1 {1,1,1}, n2 {3,2,12}
取法向量
n
n1
n2
{10,
15,
5},
求此平面方程.
解 设平面为 Ax By Cz D 0,
aA D 0, 将三点坐标代入得 bB D 0,
cC D 0,
A D, B D, C D.
a
b
c
将A D, B D, C D,
z
c
a
b
c
代入所设方程得
o
法向量 n {A, B,C}.
Ax By Cz D 0 平面的一般方程
平面一般式方程的几种特殊情况：
(1) D 0, 平面通过坐标原点；
D 0, 平面通过 x轴；
(2)
A
0,
D
0,
平面平行于 x轴；
类似地可讨论 B 0, C 0 情形.
(3) A B 0, 平面平行于xoy 坐标面；
解析几何
第2章 空间的平面与直线
2019/9/2
§2.1.1 平面的方程
一、平面的点法式方程
z
n
如果一非零向量垂直
M0
M
于一平面，这向量就叫做
该平面的法线向量．
o
y
x
法线向量的特征： 垂直于平面内的任一向量．
已知 n { A, B, C}, M0( x0 , y0 , z0 ),
《平面方程教学》课件
极坐标形式的优缺点
极坐标形式可以更方便地描述圆和椭圆等形状，但有时候需要转换为直角坐标 形式进行计算或分析。
平面方程的矩阵形式
矩阵形式
平面方程可以表示为矩阵形式，其中矩阵元素表示x、y、z等坐标值，通常用于 描述复杂的几何形状和变换。
矩阵形式的优缺点
矩阵形式可以更方便地描述复杂的几何形状和变换，但有时候需要转换为其他形 式进行计算或分析。
04
平面方程的拓展知识
平面方程的参数形式
参数形式
平面方程可以表示为参数方程，其中 x、y是参数t的函数，通常用于描述 曲线的轨迹。
参数方程的优缺点
参数方程可以更直观地描述曲线的形 状和变化趋势，但有时候参数t的物理 意义不明确，导致理解困难。
平面方程的极坐标形式
极坐标形式
平面方程可以表示为极坐标形式，其中r为半径，θ为角度，通常用于描述圆和 椭圆等形状。
03
平面方程的应用
平面几何中的应用
确定点与平面的关系
通过平面方程，可以判断一个点是否在平面上。
计算平面上的距离
利用平面方程，可以计算点到平面的垂直距离。
求解平面几何问题
平面方程是解决平面几何问题的重要工具，如求两平面的交线等。
解析几何中的应用
01
02
03
描述平面上的点
平面方程可以用来描述平 面上的任意一点。
平面方程的基本性质
平面的法线向量是 (A, B, C)， 即平面方程中系数 A、B、C 所 对应的向量。
平面的法线向量与平面垂直， 并且方向由系数 A、B、C 的正 负号决定。
平面的法线向量与平面上的任 意一点连线的向量与平面的法 线向量垂直，即它们的点积为 零。
02
极坐标形式可以更方便地描述圆和椭圆等形状，但有时候需要转换为直角坐标 形式进行计算或分析。
平面方程的矩阵形式
矩阵形式
平面方程可以表示为矩阵形式，其中矩阵元素表示x、y、z等坐标值，通常用于 描述复杂的几何形状和变换。
矩阵形式的优缺点
矩阵形式可以更方便地描述复杂的几何形状和变换，但有时候需要转换为其他形 式进行计算或分析。
04
平面方程的拓展知识
平面方程的参数形式
参数形式
平面方程可以表示为参数方程，其中 x、y是参数t的函数，通常用于描述 曲线的轨迹。
参数方程的优缺点
参数方程可以更直观地描述曲线的形 状和变化趋势，但有时候参数t的物理 意义不明确，导致理解困难。
平面方程的极坐标形式
极坐标形式
平面方程可以表示为极坐标形式，其中r为半径，θ为角度，通常用于描述圆和 椭圆等形状。
03
平面方程的应用
平面几何中的应用
确定点与平面的关系
通过平面方程，可以判断一个点是否在平面上。
计算平面上的距离
利用平面方程，可以计算点到平面的垂直距离。
求解平面几何问题
平面方程是解决平面几何问题的重要工具，如求两平面的交线等。
解析几何中的应用
01
02
03
描述平面上的点
平面方程可以用来描述平 面上的任意一点。
平面方程的基本性质
平面的法线向量是 (A, B, C)， 即平面方程中系数 A、B、C 所 对应的向量。
平面的法线向量与平面垂直， 并且方向由系数 A、B、C 的正 负号决定。
平面的法线向量与平面上的任 意一点连线的向量与平面的法 线向量垂直，即它们的点积为 零。
02
第讲平面方程
例3: 求过三点M1(2, 1, 4), M2( 1, 3, 2)和M3(0, 2, 3) 的 平面的方程. 解:
所求方程为
x2 3 2 y 1 z 4 4 3 6 0 1
即 或
14(x 2) + 9(y + 1) (z 4) = 0 14 x + 9 y z 15 = 0
注:
1 对平面, 法向量不唯一;
2 平面 的法向量与 上任一向量垂直.
2. 平面的点法式方程 设平面 过定点 M0(x0, y0, z0), 且有法向量n=(A,B, C).
对于平面上任一点M(x, y, z), 向量M0M与n垂直.
n M0 M = 0 而M0 M =(x x0, y y0, z z0),
例2: 求过三点M1(2, 1, 4), M2( 1, 3, 2)和M3(0, 2, 3) 的 平面的方程.
解:
先找出该平面的法向量n. 由于n与向量M1M2, M1M3都垂直. 而M1M2=(3, 4, 6) M1M3=(2, 3, 1)
n M1
可取n = M1M2 M1M3
i
问题：如何计算两平行平面间的距离呢 转化为点到平面的距离
解: 这里 (x0, y0, z0) = (2, 1, 1), A = 1, B = 1, C = 1, D = 1, 利用点到平面的距离公式
| Ax0 By0 Cz0 D | d A2 B 2 C 2
| 1 2 1 1 1 (1) 1 | 3 3 2 2 2 3 1 1 (1)
(点法式)
x x1 x2 x1 x3 x1
y y1 y2 y1 y3 y1
z z1 z2 z1 0 z3 z1 (三点式方程)
高等数学：第七讲 空间平面一般方程
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空间平面的 一般方程
空间平面的一般方程
平面的点法式方程
A( x x0 ) B( y y0 ) C(z z0 ) 0
Ax By Cz ( Ax0 By0 Cz0 ) 0
D
Ax By Cz D 0
—— 空间平面的一般方程 空间平面方程一定是三元一次方程.
因为
B 0,
所以该平面方程为 y + z = 0 .
例题讲解
例2. 求过三点P(a,0,0)、 Q(0,b,0) 、R(0,0,c)的平面方程( 其中 a 、b 、 c 为不等 于零的常数)。
解 设所求的平面方程为 Ax+By +Cz +D = 0 ，
把P、Q、R 三点坐标代入方程，得
aA D 0 bB D 0 cC D 0
特殊情形
• 当 A =B= 0 时, Cz+D = 0 表示平行于xoy坐标面的平面；
同理
By +D = 0 表示平行于xoz坐标面的平面；
O
Ax +D = 0 表示平行于yoz坐标面的平面.
Ax By Cz D 0 ( A2 B2 C 2 0 )
特殊情形
• 当 A =B=D= 0 时, z = 0 就表示xoy坐标面；
解得
A D 、B D 、C D
a
b
c
例题讲解
例2. 求过三点P(a,0,0)、 Q(0,b,0) 、R(0,0,c)的平面方程( 其中 a 、b 、 c 为不等 于零的常数)。
代入所设方程得
z
x y z 1 平面的截距式方程
c
a bc
x轴上截距 y 轴上截距 z轴上截距
O
xa
空间平面的 一般方程
空间平面的一般方程
平面的点法式方程
A( x x0 ) B( y y0 ) C(z z0 ) 0
Ax By Cz ( Ax0 By0 Cz0 ) 0
D
Ax By Cz D 0
—— 空间平面的一般方程 空间平面方程一定是三元一次方程.
因为
B 0,
所以该平面方程为 y + z = 0 .
例题讲解
例2. 求过三点P(a,0,0)、 Q(0,b,0) 、R(0,0,c)的平面方程( 其中 a 、b 、 c 为不等 于零的常数)。
解 设所求的平面方程为 Ax+By +Cz +D = 0 ，
把P、Q、R 三点坐标代入方程，得
aA D 0 bB D 0 cC D 0
特殊情形
• 当 A =B= 0 时, Cz+D = 0 表示平行于xoy坐标面的平面；
同理
By +D = 0 表示平行于xoz坐标面的平面；
O
Ax +D = 0 表示平行于yoz坐标面的平面.
Ax By Cz D 0 ( A2 B2 C 2 0 )
特殊情形
• 当 A =B=D= 0 时, z = 0 就表示xoy坐标面；
解得
A D 、B D 、C D
a
b
c
例题讲解
例2. 求过三点P(a,0,0)、 Q(0,b,0) 、R(0,0,c)的平面方程( 其中 a 、b 、 c 为不等 于零的常数)。
代入所设方程得
z
x y z 1 平面的截距式方程
c
a bc
x轴上截距 y 轴上截距 z轴上截距
O
xa
3.1平面的方程
三、平面的法式方程 法向量：垂直于平面的非零向量
z
n
M
M0
o
y
x
注：法向量垂直于平面内任一向量
（一）点法式方程 设n={A,B,C}
z
n
M0(x0,y0,z0), M(x,y,z)
k O x i
M0
M
r 0 j r y
n·(r -r0 ) =0 A(x－x0)＋B(y－y0)＋C(z－z0) = 0
M1M2 的垂直平分面的方程.
分析:
M1 M 2 {2,2,4} 2{1,1,2}
平面的法向量
n {1,1,2}
平面过线段
M1 M 2 的中点 M 0 ( 2,1,1)
平面的点法式方程：
( x 2) ( y 1) 2( z 1) 0
例4.给定平面 : 3 x 2 y 6 z 14 0
（一）向量参数方程
z
M0
b M r a y
e3 O e1 x
r0
e2
r = r0＋ua＋vb
(3.1－1)
（二）坐标参数方程
a { X 1 , Y1 , Z1 }
b { X 2 , Y2 , Z 2 }
r = r0＋ua＋vb
(3.1－1)
x x X u X v 0 1 2 (3.1 － 2) y y Y u Y v 0 1 2 z z0 Z1u Z 2v
§3.1平面的方程 一、平面的点位式方程
二、平面的一般方程 三、平面的法式方程
一、平面的点位式方程 方位向量：在空间给定了一点 M0 与两个不共线
的向量a，b 后，通过点 M0 且与 a，b 平行的平 面 就惟一被确定.z
平面方程
z
C
o
A
B
y
x
ABC 表示平面
z
B
过原点,不过三轴,在xoy 和yoz上找两点 A(2,2,0) B(0,1,3) 两直线OA, OB在平面上.
x
o
A
y
OAB表示平面
z
(3) 2 y 3 z 6
此平面平行于x轴． y z 在yoz平面上作直线 1 y 3 2 o A 过其与y轴和z轴交点为 A(0,3,0) B(0,0,2) x 用平行四边形表示平面 作 x 轴的平行线
约去C , 得
2( x 1) ( y 1) ( z 1) 0
2x y z 0
即
三、点到平面的距离
问题. 设
是平面
外一点,求 P0 到平面的距离d . 解:设平面法向量为 n ( A , B , C ) , 在平面上取一点
P ( x1 , y1 , z1 ) ,则P0 到平面的距离为 1 P P0 n d Prj n P P0 1 1 n A( x0 x1 ) B( y0 y1 ) C ( z0 z1 ) P A2 B 2 C 2 1
2.平面与平面之间的关系 平面 1 : A1 x B 1 y C 1 z D1 0, n1 ( A1 , B 1 , C 1 )
平面 2 : A2 x B2 y C2 z D2 0, n2 ( A2 , B2 , C2 ) 垂直: 平行: n1 n2 0
o x
y
①
称①式为平面的点法式方程, 称n为平面的法向量.
例1.求过三点 的平面 的方程. 解: 取该平面 的法向量为
n
M1 M3 M2
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10
四、两平面的夹角
两平面法向量的夹角称为两平面的夹角.
设平面 1 A 1 x B 1 y C 1 z D 1 0 , 2 A 2 x B 2 y C 2 z D 2 0 .
它们的夹角为 .
cosco(n s1,n2)n n 1 1n n 2 2
④
A1A2B1B2C1C2
化简得 1 x 4 9 y z 1 0 5 .
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7
三、平面的一般方程
由平面的点法式方程
A ( x x 0 ) B ( y y 0 ) C ( z z 0 ) 0
A B C x ( A y 0 z B 0 x C 0 ) y 0 z
D
A x By Cz D 0平面的一般方程 法向量 n {A ,B ,C }.
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2
(1)经过M 定 0(x0,点 y0,z0).
(2)平面的法 n向 {A,量 B,C}. 下面我们利用以上结论建立平面的方程．
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3
二、 点法式方程
设平面 过点 M0(x0,y0,z0),n A ,B ,C .
是平面 的法向量. 现在来建立平面 的方程.在平面 上
A12B12C12 A22B22C22
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11
则平面1、2 垂直的充要条件是
A1A2+ B1B2 + C1C2 = 0； 平行的充要条件是
A1 B1 C1 . A2 B2 C2
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12
例 5-13 求两平面 x y + 2z + 3 = 0 与
2x + y + z 5 = 0 的夹角 .
即
x + 2y + 3z－7 = 0 .
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6
例5-11 求过三点A(2,-1,4)、B (-1,3,-2)和 C (0,2,3)的平面方程 .
解 AB {3,4,6},
AC {2,3,1},
取 nABAC{14,9,1}, 所求平面方程为 1 ( x 2 4 ) 9 ( y 1 ) ( z 4 ) 0 ,
任取一点 M(x, y, z)，则点 M 在平面
上的充要条件是
n
M0 Mn,
M
即 M0Mn0.
0
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M
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4
因 M 0 M 为 x x 0 ,y y 0 ,z z 0 ,
nA,B,C ,所以有
A ( x x 0 ) B ( y y 0 ) C ( z z 0 ) 0 , 该方程称为平面 的点法式方程.
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9
例 5-12 设一平面通过 x 轴和点 M(4, 3, 1)，试求该平面的方程.
解 因为所求平面通过 x 轴，所以可设
它的方程为 By + Cz = 0 . ④
由于点 M 在所求的平面上，因此有
3B C = 0 ，
将 C = 3B 代回方程 ④，并简化，即得 所求平面方程为 y 3z = 0
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8
平面一般方程的几种特殊情况：
(1)D0, 平面通过坐标原点；
(2)A0,
D D
0 , 平面通过 x轴； 0 , 平面平行于 x轴；
类似地可讨论 B0, C0情形
(3)AB0,平面平行于 xoy坐标面；
类似地可讨论 A C 0 ,B C 0 情形.
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解 由公式 ④ 得
cos
212
12(1)222 221212
1, 2
所以 .
3
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13
Bye Bye
大家好
14
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5
例 5-10 求过点(2, 1, 1)且垂直于向 量 i + 2j + 3k 的平面方程 .
解 所求平面的法向量n = i + 2j + 3k ， 又因为平面过( 2, 1, 1 )，所以由公式可得 该平面方程为
( x 2 ) 2 ( y 1 ) 3 ( z 1 ) 0 ,
空间平面方程
一、平面的确定条件 二、点法式方程
三、平面的一般方程
四、两平面夹角
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1
一、平面的确定条件
由立体几何知道，过空间一点可以而 且只可以作一个垂直于一条已知直线的平 面．利用这个结论，若平面经过一定点 M0(x0,y0,z0), 且与向量n={A,B,C}垂直,则 这个平面就唯一确定了． 与平面垂直的非零向量称为该平面的法向 量．那么，可以确定平面的两个条件是：