空间平面方程 PPT

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8
平面一般方程的几种特殊情况：
(1)D0, 平面通过坐标原点；
(2)A0,
D D
0 , 平面通过 x轴； 0 , 平面平行于 x轴；
类似地可讨论 B0, C0情形
(3)AB0,平面平行于 xoy坐标面；
类似地可讨论 A C 0 ,B C 0 情形.
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空间平面方程
一、平面的确定条件 二、点法式方程
三、平面的一般方程
四、两平面夹角
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1
一、平面的确定条件
由立体几何知道，过空间一点可以而 且只可以作一个垂直于一条已知直线的平 面．利用这个结论，若平面经过一定点 M0(x0,y0,z0), 且与向量n={A,B,C}垂直,则 这个平面就唯一确定了． 与平面垂直的非零向量称为该平面的法向 量．那么，可以确定平面的两个条件是：
A12B12C12 A22B22C22
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11
则平面1、2 垂直的充要条件是
A1A2+ B1B2 + C1C2 = 0； 平行的充要条件是
A1 B1 C1 . A2 B2 C2
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12
例 5-13 求两平面 x y + 2z + 3 = 0 与
2x + y + z 5 = 0 的夹角 .
解 由公式 ④ 得
cos
212
12(1)222 221212
1, 2
所以 .
3
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13
Bye Bye
大ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ好
14
任取一点 M(x, y, z)，则点 M 在平面
上的充要条件是
n
M0 Mn,
M
即 M0Mn0.
0
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M
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4
因 M 0 M 为 x x 0 ,y y 0 ,z z 0 ,
nA,B,C ,所以有
A ( x x 0 ) B ( y y 0 ) C ( z z 0 ) 0 , 该方程称为平面 的点法式方程.
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2
(1)经过M 定 0(x0,点 y0,z0).
(2)平面的法 n向 {A,量 B,C}. 下面我们利用以上结论建立平面的方程．
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3
二、 点法式方程
设平面 过点 M0(x0,y0,z0),n A ,B ,C .
是平面 的法向量. 现在来建立平面 的方程.在平面 上
化简得 1 x 4 9 y z 1 0 5 .
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7
三、平面的一般方程
由平面的点法式方程
A ( x x 0 ) B ( y y 0 ) C ( z z 0 ) 0
A B C x ( A y 0 z B 0 x C 0 ) y 0 z
D
A x By Cz D 0平面的一般方程 法向量 n {A ,B ,C }.
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5
例 5-10 求过点(2, 1, 1)且垂直于向 量 i + 2j + 3k 的平面方程 .
解 所求平面的法向量n = i + 2j + 3k ， 又因为平面过( 2, 1, 1 )，所以由公式可得 该平面方程为
( x 2 ) 2 ( y 1 ) 3 ( z 1 ) 0 ,
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10
四、两平面的夹角
两平面法向量的夹角称为两平面的夹角.
设平面 1 A 1 x B 1 y C 1 z D 1 0 , 2 A 2 x B 2 y C 2 z D 2 0 .
它们的夹角为 .
cosco(n s1,n2)n n 1 1n n 2 2
④
A1A2B1B2C1C2
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9
例 5-12 设一平面通过 x 轴和点 M(4, 3, 1)，试求该平面的方程.
解 因为所求平面通过 x 轴，所以可设
它的方程为 By + Cz = 0 . ④
由于点 M 在所求的平面上，因此有
3B C = 0 ，
将 C = 3B 代回方程 ④，并简化，即得 所求平面方程为 y 3z = 0
即
x + 2y + 3z－7 = 0 .
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6
例5-11 求过三点A(2,-1,4)、B (-1,3,-2)和 C (0,2,3)的平面方程 .
解 AB {3,4,6},
AC {2,3,1},
取 nABAC{14,9,1}, 所求平面方程为 1 ( x 2 4 ) 9 ( y 1 ) ( z 4 ) 0 ,