传热流体数值计算

1 傅立叶定律

傅立叶定律是导热理论的基础。其向量表达式为:

q gradT λ=-⋅ (2-1)

式中:q —热流密度，是向量，2

/()Kcal m h ；gradT —温度梯度，是向量，℃/m ；λ—导热系数，又称热导率，

/()Kcal mh C o ； 式中的负号表示q 的方向始终与gradT 相反。

2 导热系数（thermal conductivity ）及其影响因素

导热系数λ（

/()Kcal mh C o

）是一个比例常数，在数值上等于每小时每平方米面积上，当物体内温度梯度为1℃/m 时的导热量。 导热系数是指在稳定传热条件下，1m 厚的材料，两侧表面的温差为1度（K ，°C ）,在1秒内，通过1平方米面积传递的热量，用λ表示，单位为瓦/米·度，w/m·k （W/m·K,此处的K 可用℃代替）。导热系数为温度梯度1℃/m ，单位时间通过每平方米等温面的热传导热流量。单位是：W/(m·K)。

3．热传导微分方程推导 ♥ 在t 时刻w 界面的温度梯度为x

T

∂∂

在t 时刻e 界面的温度梯度为dx x T x T dx x x T

x T 2

2∂∂+∂∂=∂∂∂∂+∂∂ 单位时间内六面体在x 方向流入的热流量为：dydz x

T

∂∂-λ； 单位时间内六面体在x 方向流出的热流量为：

dydz dx x T x T ⎥⎦

⎤⎢⎣⎡∂∂+∂∂-22λ；

单位时间内六面体在x 方向流入的净热量为：dxdydz x

T

22∂∂λ 图3-1 微分单元体各面上进出流量示意图

同理，单位时间内六面体在y 方向流入的净热量为：dxdydz y

T

22∂∂λ； 单位时间内六面体在y 方向流入的净热量为：dxdydz z T 22∂∂λ； 单位时间内流入六面体的总热量为：dxdydz z T y T x

T ⎥⎦⎤

⎢⎣⎡∂∂+∂∂+∂∂222222λ (3-1) 六面体内介质的质量为:dxdydz ρ。 单位时间六面体内热量的变化量（增加）为:Cdxdydz t

T

ρ∂∂ 根据热量守恒定律:

Cdxdydz t T

dxdydz z T y T x

T ρλ∂∂=⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂∂+∂∂+∂∂222222， C t T z T y T x T ρλ∂∂=⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂∂+∂∂+∂∂222222，

t T

z T y T x T C ∂∂=

⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂∂+∂∂+∂∂222222ρλ， t T z T y T x

T a ∂∂=

⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂∂+∂∂+∂∂222222， C a ρλ

= α称为热扩散率或热扩散系数（thermal diffusivity ），单位m 2/s.

λ:导热系数，单位W/(m·K)； ρ：密度，单位kg/m 3 c ：热容，单位J/(kg·K). 思考：如果单元体内有热源：单位体积单位时间的散热量是q 方程怎么变？

4．岩石的热扩散率（导温系数) thermal diffusion coefficient ;thermal diffusivity; thermal degradation 岩石的热扩散率也叫或热扩散系数，表示岩石在加热或冷却时各部分温度趋于一致的能力。它反映岩石的热惯性特征，是一个综合性参数。热扩散率越大的岩石，热能传播温度趋于一致的速度越大，透入的深度也越大。 在t 时刻

w 界面流体速度为U ，流体温度为T

单位时间流入微元体的流体质量为：udydz dm ρ=1 带入微元体的热量为：uTCdydz ρ e 界面流体速度为dx x u u ∂∂+

,流体温度为dx x T T ∂∂+ 单位时间流出微元体的流体质量为：dydz dx x u u dm ⎥⎦⎤⎢⎣

⎡

∂∂+

=ρ2 带出微元体的热量为:

Cdydz dx x T T dx x u u ⎥⎦

⎤⎢⎣⎡∂∂+⎥⎦⎤⎢⎣⎡

∂∂+

ρ dxdydz x

T

dx x u C Cdxdydz x T u TCdxdydz x u uTCdydz ∂∂∂∂+∂∂+∂∂+ρρρ

ρ 如果不考虑x 方向速度变化，略去高阶微量，则e 界面带出微元体的热量为：Cdxdydz x

T

u

uTCdydz ∂∂+ρρ 单位时间内在x 方向流入六面体的净热流量为：dxdydz x

T

uC

∂∂-ρ； 同理， y 方向：dxdydz y T vC

∂∂-ρ z 方向：dxdydz z

T wC ∂∂-ρ

Cdxdydz t T dxdydz z T y T x

T ρλ∂∂=⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂∂+∂∂+∂∂222222

Cdxdydz t T dxdydz z T

wC dxdydz y T vC dxdydz x T uC dxdydz z T y T x

T ρρρρλ∂∂=⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂∂+∂∂-+∂∂-⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂∂+∂∂+∂∂222222

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡∂∂+∂∂+∂∂+∂∂=⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂∂+∂∂+∂∂z T w y T v x T u t T z T y T x

T ρρρρλ222222 （能量方程）

2.2巷壁与风流间的对流换热

运动着的流体与所接触的固体壁面之间的热量传递过程称为对流换热，它是流体(液体或气体)由于宏观相对运动，从

某一区域迁移到温度不同的另一区域时引起热量传递的现象。固体壁面与流体之间存在温度差将产生对流换热，由于实际流体的粘性和壁面摩擦的共同影响，近壁流体分层流动，尤其与壁面直接接触的几何面上，总有一层很薄的流体粘附于表面，该层流体处于静止状态，所以热流通过表面层的传递只能依靠导热。显然，在流体发生热对流的同时，由于流体中温度分布的不均匀，也将伴随产生导热现象。因此，对流换热过程实际上是热对流和热传导的综合作用过程。 牛顿冷却公式

对流换热过程是一个受很多因素影响的复杂过程，如流体的流动状况、流体的物理性质、壁的形状和大小、表面粗糙度等。一般情况下对流换热的计算可采用牛顿冷却公式。根据对流换热定律，可以计算出从壁面某处进入通风风流的显热热流密度：

)

(T T q w s -=α (3) 式中：T w = 巷道壁面的温度； T= 巷道内风流的平均温度；

α= 巷道壁面的换热系数。在围岩与风流的热交换过程中，多半是井巷低温风流流经高温岩壁，井巷壁面向风流放

热，所以矿内常把上式中的对流换热系数α（

2/()Kcal m h C o

）称为巷壁与风流的换热系数，简称为放热系数。

圆形巷道（柱体）围岩与风流换热控制方程

地热通过围岩向风流的传热现象与围岩本身的热传导、巷道壁面向风流的对流换热以及壁面上的水分蒸发等因素有关。由于实际情况下围岩的散热是一个很复杂的过程，为了方便本论文的研究，对要研究的物理模型做了简化和假设：

1) 巷道为圆形、无限扩展，围岩岩石均质、各向同性； 2) 不考虑围岩壁面的热辐射作用。

根据上述假设，可得到描述考虑壁面水分蒸发时围岩与风流热质传递的数学方程，如式（3-1）：

20200001() (;0)(,) ()(,) (0)()() (0)t r R w a v w a r r T T T

a r r R t t r r r T r t T r r R T r t T t T

T T f L m m t r λ

ασ===⎧∂∂∂=+⋅<<>⎪∂∂∂⎪⎪

⎪=<≤⎪

⎨⎪=≥⎪⎪⎪∂=-+-≥⎪∂⎩ (3-1)

式中：R ——调热圈半径，m ；其他符号的意义同前章所述。

根据简化的数学模型，可将巷道围岩划分为一系列等间距 (R ∆)的同心圆，取垂直于长轴的巷道断面角度为θ∆，如图3-1所示。

第二章 物理现象的数学描述

控制微分方程：把控制传热、流体流动等有关过程的规律表达成数学形式；详细、完整的推导，阅读标准的教科书；数值解法

方程的形式和意义：我们这里所提到的所有方程都具有一个共同的形式；形式上的一致是构成一个通用解法的基础。

2．1 控制微分方程

2．1—1 微分方程的意义

守恒原理：各个微分方程各自代表着一定的守恒原理．每一个方程以一定的物理量作为它的因变量，方程本身则代表着那些影响该因变量的各个因素之间必定存在着的某种平衡．

这些微分方程的因变量通常具有“比”的性质，即以单位质量为基础来表示各因变量。 这种因变量的例子有：质量分量、速度(即单位质量的动量)以及比焓． 这一类微分方程的各项代表着以单位容积为基础的效果

例： 设想J 表示一个典型因变量Φ的流量密度．让我们考虑如图2．1所示的尺寸为dx 、dy 及dz 的控制容积．

x J (J 在x 方向的分量)：进入面积为dydz 的流量密度

dx x J J x x )/(∂∂+： 离开与这个面相对曲面上的流量密度

通过该面的整个面积上流出的净流量是：dxdydz x J x )/(∂∂ dxdydz ：所讨论区域的容积

用同样的方法考虑y 与z 方向的贡献，有：

divJ z

J y J x J z

y x =∂+∂+∂=

单位容积流出的净流量 （2.1） 由于我们的数值方法是通过对一个控制容积进行平衡构成的(就象我们将要在后面看到的那样)，上述divJ 的表达方式对我们来说是特别有用的．

以单位容积为基础来表达一项的另一个例子是变化速率项

t ∂∂/)(ρφ

如果Φ是某个“比”性质（单位质量）而ρ是密度，那么ρΦ就代表在单位容积内所包含的相应广延性质的大小．于是

T

T w

图3-1 巷道围岩内节点划分

R N

R

P 1

P NR

P I+1 P I P I-1 R I+

1 R I

R I-1 R 1

R 0

Δ

α