模型参考自适应控制

(km
kck p )
z(s) R(s)
e1 ( s) r(s)
(1)
对应的微分方程为：R( p)e1 (km kck p )z( p)r
两边对kc求导：
R( p) e1 kc
kp z( p)r
又参考模型输出：
ym r
km
z( p) R( p)
(2) (3)
比较(2)(3)式得：
e1 kc
用试探法寻找。
第二节 模型参考自适应辨识
3.2.1 概述 3.2.2 一阶系统的模型参考自适应辨识 3.2.3 一般高阶系统的模型参考自适应辨识 3.2.4 线性误差方程及其参数辨识算法
3.2.1 概 述
yp
u
被辨识过程
e －
＋
可调模型 ym
自适应辨识器
结构特点：MRAC的对偶系统，即将参考模型与可调 过程位置互换。
即：当t , e1(t) 0,(t) 0
构造Lyapunov函数：V
(e1 , )
1 2
e12
(t)
km 2
T
(t ) (t )
0
计算：V(e1,) e1(t)e1(t) km(t)(t)
代入（5） ame12 (t) kme1 (t)T w(t) km (t)T
如果选择：(t) e1(t)w(t)作为的自适应律
(s) 其中：(s) — 滤波器，为(n 1)阶、首1多项式。 且令：(s) Nm (s) 0 (s)
2、证明a*(s), b*(s)的存在：
假设存在a*(s), b*(s), 使上页(P20 )对象与模型“匹配”。
P( s)
kp
N p (s) Dp (s)
1 N p (s)
kpDp (s)
(1)
(4)
3、 证明上面所求的a*(s)，b*(s)是唯一的。
4、滤波器
a*(s)
(s)
,
b* (s)
(s)
的描述：设系统矩阵
R(n1)(n1) , 控制向量b Rn1为能控标准型。
*A为系统的系统矩阵，为滤波器的系统矩阵，勿混淆。
0
1
0
0
L
0
0 M
0
1
0
L
0
M
1 2
L
L
n1 n-1n1
校验。
2、基于Lyapunov稳定性理论的设计方法
参考模型
ym
r
e ＋
u
过程process
－
yp
自适应控制
基本思路：根据系统的等效误差运动方程 ，找出 (构造)一个适当的Lyapunov函数，确定 自适应律，以保证
V dvt, x 0
dt
优点：可保证全局稳定，自适应速度快。 缺点：难以同时保证动态特性，V(x,t)难构造，常
J
t 0
e2 (t)dt
min
，其中：e(t)
ym
yp
假设系统参数的改变完全由自适应作用。
自适应律推导：设性能指标为：J t e2 ( )d 0 使J下降的方向为它的负梯度方向。
则kc
B'
J kc
B'
t 0
2e1
e1 kc
d
B
t 0
e1
e1 kc
d
kc
Be1
e1 kc
而开环传函：e (s)
或J e2 t dt min
状态误差向量：e t xm t xp t
定义
状态广义误差：e 输出广义误差：e
xm ym
xp yp
二、MRAC的几类设计方法
1、基于局部参数最优化理论的设计方法
u
参考模型
＋ ym (t)
e(t)
－
k p 对象
y p (t)
自适应机构
r
r
z(s)
MRAC结构图
3.1.2 MRAC的设计问题
一、模型完全匹配的条件
设模型状态方程为： x&m Am xm Bmu ym Cxm
对象的状态方程为： x& A t xp Bp t u
yp Cxp
模型匹配的条件 自适应律 lim e t 0 t
i.e
a0 (t)
b0 (t
)
r(t)
e1
y
p
(t
)
(6)
则V(e1, ) ame12 (t) 0
根据Lyapunov稳定定理，只要按(6)决定参数
的自适应律，就可保证(5)稳定。
另：若证明 (t )渐近稳定，则要求信号w(t )持续激励要
（要求r(t)中包含一定的频率成分和具有一定的激励时间)。
一、 辨识问题的提法
1、若干定义：
首1多项式：复变量 s的最高次项的系数1的多项式。 Hurwitz多项式：稳定多项式，其根都在开左半 s平面
内。 稳定的：有理传递函数分母为Hurwitz多项式。 最小相位或逆稳的：有理传递函数为分子是Hurwitz 多 项式。 非最小相位的或逆稳的：有理传递函数为分子不是 Hurwitz多项式。 相对阶次：传递函数分母多项式的阶次与分子多项式 阶次之差。
bT (t)w(2) (t) R2R
M T (t) w(t)
定义 参数误差：(t) (t) *
令：e1(t) ym (t) y p (t) 两边对时间求导：
e1(t) ym (t) yp (t) 代入(1)、(4)得：
e1(t) ame1(t) kmT (t)w(t) (5)
任务：基于Lyapunov稳定理论，设计参数a0 (t)、b0 (t) 的自适应调整律，使微分方程(5)渐近稳定。
(s) (s)
的结构图（P29图）变为Fig 2.（ 7 P37书）
r p(s) SI 1b
a0 aT
可调系统
yp (t)
SI 1b －
b0
bT
e1(t)
ym (t)
M (s)
yi (t)
模型参数辨识器的结构图
对象
yp (t) M *T w(t) (1)
辨识器输出：
ym (t) yi (t) M a0 (t)r(t) aT (t)w(1) (t) b0 yp(t)
可调系统状态方程为
L 3
y&mt am ymt kma0 t r t kmb0 t yp t L 4
为使ymt 与y pt 完全一致，
要求：am kma0
kmb0 t t kp
ap
设计自适应律，调整a0 t ，b0 t ,使上式满足，
并当t 时，e t 0.
二、 自适应律的推导
第三章 模型参考自适应控制系统
■ 第一节 概述 ■ 第二节 模型参考自适应辨识 ■ 第三节 一阶系统的模型参考自适应控制 ■ 第四节 高阶系统的模型参考自适应控制
第一节 概述
3.1.1 模型参考自适应控制系统的结构 3.1.2 MRAC的设计问题
3.1.1 模型参考自适应控制系统的结构
参考模型
其中： 1 ，L ， n1分别为特征多项式 s的系数。
s det sI
s n 1
sn2 n1
L
2s
1
1
则有： sI
-1 b
1
s
s M
sn2
令a0* s，b0* s R1
a* s，b* s Rn1
则： G CsI -1 B D
0
0
b
M
0
1
n11
a、传递函数描述：
适应回路不起作用) Fig2.4:参数匹配时的等价反馈线路
自适应调整过程：
如果ap , kp发生变化，则ymt yp t ，此时e1 t 0， 自适应调整回路投入工作，产生附加控制，直至e1 t 0
为止，此时自适应回路停止工作，由常规控制工作。
3.2.3 一般高阶系统的模型参考自适应辨识
基本思想：同MARC设计思想，即通过自适应控制器 来调整模型使e(t)0，这样的模型就是我 们要辨识的结果。
“对偶性质”设计MRAC的方法用于辨识； 将模型参考辨识方法用于设计MARC。
＊MRAC的结构具有对偶特点，它们既可用于自适应 模型跟随控制，也能用于自适应状态观测与辨识。
3.2.2 一阶系统的模型参考自适应 辨识
kmNm (s)
又
P( s)
Yp (s) R(s)
a*(s)
(s)
1
Dm (s) kmNm (s)
b* (s)
Dm (s) (s)
kma*(s)
0 (s)Dm (s) kmb*(s)
(2)
即
kp
N p (s) Dp (s)
kma*(s)
0 (s)Dm (s) kmb*(s)
0 (s)Dm (s) kmb*(s)
小结： 汇总公式.
输出误差方程： 参数误差方程： 自适应律：
e1 ym yp
e&1 ame1 kmT
t t*
& & e1
a0 t e1 t r t b&0 t e1 t yp t
4式 5、 6 式 由 6 式来
三、自适应系统的结构 Fig2.2:自适应律的实现(1，2 ：自适应调整回路的增益) Fig2.3:自适应律的实现(整定 a0*, b0* ,使正常时e(t)=0，自
被控对象
组成
常规反馈控制器
自适应控制回路
控制要求：以参考模型的方式给出，表明被控对象的
理想输出应如反对输入信号作出响应。
自适应调整过程：直到et
y m
y
0为止。
r(t) ＋
＋
( xm )
参考模型
干扰
控制器 u 被控对象
－
内环
ym (t)
＋ e(t) ym y
－
yp (t)
(xp)
外环 自适应律
km R(s)
ym
＋ e1
自适应律
－
z(s)
kc
k p R(s)
yp
“MIT”方案
基本思想：采用局部参数优化
优化方法：梯度法，最速下降法，牛顿 拉普森法
性能指标：J t e2 (t)dt 0
控制器参数调整规律，使J min
例如：1958提出的“MIT”方案
问题：为克服k p的未知漂移，如何调整k使
2、假定
被辨识对象：
P(s) Yp (s) kpN p (s) R(s) Dp (s)
参考模型： 参考输入：
M (s) Ym (s) km Nm (s) U (s) Dm (s)
设r(t)是t的分段连续函数，且有界。 辨识的目的：根据可量测的r(t)和yp (t) 决定k p , N p (s), Dp (s)的系数。
前馈滤波器：a* (s)
(s)
a0*
a*T
(sI
)1b
w(1) (s) R(s)
反馈滤波器：b* (s)
(s)
b0*
b*T
(sI
)1b
w(2) (s) yp (s)
b、状态方程描述：w(1) w(1) b r w(2) w(2) b y p
举例：以三阶前馈滤波器为例。( P36 ) n 1 3阶输输出入：：wr(1) 状态空间结构图见Fig 2.6
5、模型参考辨识器的结构：
定义回归向量w(t) : wT (t) r(t), w(1) (t), y p (t), w(2) (t) R2n 设标称参数向量： * a0*, a*T , b0*, b*T R2n
当 *时，“可调系统”模型与“对象”模型完全
“匹配”。 将 a*(s) , b*(s) 代入“可调系统”，则模型参数辨时器
kp km
ym
将(4)式代入(1)式，得：kc Be1
kp km
ym
Be1 ym
即得自适应律
(4) (5)
自适应律（5）式的实现：
z(s)
r
km R(s)
z(s)
kc
k p R(s)
ym
ym
＋ －
e1
yp
ym e1
B'
MIT自适应控制系统 优点： 信号易获取，自适应律易实现 ; 缺点： 不能保证稳定性，需进行稳定性分析和
设置参数可调的控制器，与模型一起组成参数可调系统
前馈可调增益 反馈可调增益
u
t
使ymt
完全跟踪
ypt
p(s)
r(t)
kp
y p (t )
s ap
－ e1(t)
a0(t)
前馈
M (s)
＋ u(t) km
－
s am
＋
ym (t )
反馈 b0(t) 可调系统
其中：
模型的输入控制u t 为
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
u t a0 t r t b0 t yp t
二、辩识器的结构
1、结构框图
r (t )
kp
N p(s) Dp(s)
p(s)
y p (t )
a* ( s )
(s) ＋
km
u(t)
Nm(s) Dm (s)
M (s)
－
－
e1
＋
ym (t )
可调系统
w(2) b* ( s) (s)
通过前馈和反馈构成可调系统。
反馈滤波器：a* (s)
(s)
前馈滤波器：b* (s)
km kp
Dp (s)
a*(s) Dp (s)
(3)
先求b*(s) : 设0 (s)Dm (s)被Dp (s)除，用q(s)表示商，
令余式为kmb* (s)
则 0 (s)Dm (s) q(s)Dp (s) kmb*(s)
b*(s) 0 (s)Dm (s) q(s)Dp (s)
km 再求a*(s) : 知b*(s)，使(3)式满足。
一、问题的提出
假设需要辨识的对象和参考模型分别由以下传递
函数和一阶微分方程来描述：
对象：p s
Yps
Rs
s
kp ap
y&pt ap ypt k pr t
L 1
模型：M
s
Ym s
U s
s
km am
y&mt am ymt kmu t
L 2
控制目的：辨识对象的参数 ap，k p ,并使 ymt与ypt相一致。